在我们的应用程序中，我们选择了^m∈ (0, 1).10.1045 0.5922 3.641 0.1259-1369 9 9 9 9 9 6 6 0.10 9 9 9 9 9 9 9 6 6 0.10 9 9 9 9 9 9 9 9 0.489 9 9 9 9 0.0 0 0.489 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.0 0.089 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5883.4.460 0.1386-941698标准。误差（`k=7）（1.314e-02）（3.962e-03）（4.801e-02）（3.704e-04）表2:MSMD模型对`k={1，…，9}的估计和对数似然值。5.3 TMSMD估计第4.3节之后，截断的MSMD模型是通过将MSMD模型与指数分布独立组合而形成的，该指数分布是为确定数据中观察到的最大贸易持续时间而选择的。TMSMD模型下的持续时间只是独立组件产生的最小持续时间。因此，MSMD部件的估算值与上述独立SMD模型的估算值相同，k=7。我们为TMSMD模型选择指数分布的目的是找到随机变量dExp，比如dExp~ Exp（νmax）Emax{dExp}= dmax，其中dmax=56315 ms是在我们的被动周期E-mini数据样本中观察到的最长交易持续时间。附录A推导了max{dExp}:E的期望值max{dExp}= νmaxnXi=1i。

（12） 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.3095400009520009500009480000946000944000942000940000λ0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.010100001000009900098000980009700000960000950000940000′γk12 34 5678 9 101010000100000000009900098000970009600000900095000940000B0。0.5 1.01.52.013000001250000120000011500001000110000010500010000095000000M0图11：模型参数协调方向上达到最大值（k=7）时MSMD对数似然曲面的曲线。我们注意到，预期值取决于观察到的持续时间的数量，这通常是预期持续时间v max本身的函数。作为近似值，我们将nequal设置为数据样本中的总时间（48600000毫秒）除以平均持续时间，并四舍五入到最接近的整数：n=最大48600000ν.因此，为了校准νmax的适当值，我们选择^νmax来最小化函数^νmax=argminνν[48600000/ν]Xi=1i- 56315.该问题的数值解为^νmax=5866，见表1。我们不提供该参数的标准误差，因为它是使用观测数据通过数值优化计算得出的，并且对总持续时间和数据的最大值高度敏感。由于在任何候选模型下，模拟持续时间内的变化，通过参数自举估计标准误差是不可靠的。如第4.4.5.4节交易时间高斯估计所示，用该指数截断前一节中的MSMD模型，可以更好地拟合观测持续时间的分布及其样本自相关，本文的关键观察结果在第3节中突出显示，在预先安排好的新闻时段之外观察到的交易时间收益具有高斯分布的良好特征。

此外，收益和相应的平方收益几乎不存在序列相关性，这表明它们可以被建模为独立的同分布。在这种情况下，分布参数的最大似然估计仅为交易时间收益率的样本平均值和标准偏差，具体值为m。表1的最后两列报告了m=1的这些估计值。相应的引导标准误差报告在估算值下方的括号中。5.5模拟时钟时间返回通过估计手头上的组件分布，我们使用高斯混合模型获得时钟时间返回分布的蒙特卡罗近似值，如方程（5）所示。我们以分层的方式进行这项工作，首先从指数、MSMD和TMSMD模型中模拟m=1的交易间持续时间，将持续时间与估计高斯密度的交易时间收益的独立提取配对，并最终在固定的时钟时间间隔内聚集单个收益。按照上面概述的程序，我们将时钟时间间隔τ=250、500、1000、5000、10000、30000}毫秒的返回进行聚合，直到我们分别获得n={208000、10400052000、10400、5200、1716}时钟时间返回，它们对应于这些时间间隔数据中的观察次数。指数、MSMD和TMSMD模型下的单独模拟使用相同的交易时间回报；它们只区分观察之间经过的时间。重要的是要提到我们为了模拟时钟时间返回而做的三个调整。首先，由于E-mini回报是离散的，且仅以0.25点的增量观测，因此我们模拟上述连续高斯分布的滴答时间回报，然后离散至最接近的0.25增量。

例如，0.13的模拟滴答时间回报将离散为0.25，而0.12的模拟滴答时间回报将离散为零。其次，我们对模拟的持续时间（在所有模型下）进行类似的离散化，将数值四舍五入到最短的毫秒。由于在我们的框架中不允许零持续时间，所有低于1毫秒的模拟持续时间都向上舍入。最后，我们下面报告的统计测试要求模型将概率质量（对于锁定时间收益的离散化分布）放在与数据的经验密度相同的支持度上。然而，在某些情况下，模型下的聚合模拟回报在数据中观察到的一组值之外。在这些情况下，我们只需将回报设置为零。虽然这可能会影响模型的结果，但除了一种情况（如下所述）外，其他所有情况下的回报都非常少，因此调整与经验几乎没有关联。表3为每个模型和每个时间尺度报告了以这种方式调整的值的数量（以及它们在总模拟中所占的比例）。对于所有模型的网络时间尺度，这些数字都很低，并且随着τ的增加而增加。独立的MSMD模型在这一维度上表现最好，几乎没有调整，而指数模型在τ=30000 ms时调整16%的回报。然而，对于较小的τ值，指数模型在经验支持之外产生的时钟时间回报要少得多。最后，在最坏的情况下（τ=30000 ms），TMSMD模型需要调整1.1%的模拟回转，但对于τ的所有其他值，分数远低于1%，通常是一个或两个数量级。图12显示了我们考虑的每个τ值的时钟时间返回模拟的Q-Q图。

前三行中的面板分别对应于指数、MSMD和TMSMD模型。图中最后一行的面板是图3所示E-mini被动周期时钟时间Q-Q图的复制品。从图中可以很明显地看出，MSMD和TMSMD模型下的时钟时间返回显示出重τ250 500 1000 10000 30000Exp计数（分数）2（1e-05）10（0.0001）63（0.00126）158（0.0158）149（0.0298）272（0.16）MSMD计数（分数）0（0.0）1（1e-05）1（2e-05）1.0（0.0001）0（0.0）0（0）0（0.0）0）0（分数）35（0.00075）40（0.0004）24（0.00024）0（0.00024）019（0.011176）表3：在离散观测数据值的支持下，被调整为下降的模拟时钟时间返回数（括号中的分数）。所有τ值的尾部，而指数模型在捕捉峰度方面做得很差，τ的最低值除外。这归因于MSMD模型的特殊性质：它可以被解释为指数分布的混合，它很好地捕捉了观察到的贸易间持续时间相对于简单指数的过度分散。特别是，MSMD模型中潜伏期的持续存在会导致交易间持续时间相对于指数分布的更多变化，从而导致方程（5）中高斯密度的更不均匀混合，从而导致更严重的轻量级荨麻疹。从图12中也可以立即看出，TMSMD返回的分布比MSMD返回的分布更接近数据。事实上，MSMD返回分布将过多的概率质量分配给rτ（t）=0。

这直接归因于MSMD持续时间的分布，如图7和图8所示。从这些图中可以看出，MSMD分布的右尾比数据分布的右尾要重得多。这导致大部分交易被很长的持续时间分隔，这导致价格在时钟时间间隔内保持不变（零回报），频率过高。TMSMD模型通过截断MSMD分布的右长尾，并更紧密地拟合数据中观察到的经验分布的尾部，纠正了这个问题。结果是，TMSMD模型下的回报与数据的回报更为一致。为了提供一个正式的fit度量，表4的前三行报告了三种持续时间模型下收益分布的卡方检验统计数据，与收益的经验分布相关。卡方检验是对离散图12的相似性检验：模拟时钟时间返回的样本Q-Q图。上三行面板对应于指数、MSMD和TMSMD模型（分别）下模拟的几个时钟时间间隔τ的返回。面板底部一行是图3所示E-Mini被动周期时钟时间Q-Q图的复制品。分布：在相同分布的零假设下，每个模型和数据的直方图中差异的适当加权总和应以χ（k）的形式分布，其中自由度k小于直方图单元数（随机变量可以假设的唯一值）。表4第四行报告了概率为0.95的分位数——超过这些值的卡方检验统计数据在5%的水平上拒绝了零假设。

该表清楚地表明，对于τ的所有值，每个模型在5%的水平上都未通过卡方拟合优度检验。然而，这一结果并不令人惊讶：我们先验地知道，我们的模型都不是真实数据生成过程的精确表征。相反，我们的目标是找到一个合适的近似模型。在这种情况下，由于数据集非常大，5.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MSMD2447.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MSMD247.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15229.0 0 0 7519.8 8 8 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9029 0.11033 0.11152 0.0414540.0076904 0.014179表4：指数和MSMD持续时间模型下模拟收益的拟合优度统计。前三行报告了相对于我们考虑的每个时钟时间间隔τ的观测数据的χ拟合优度度量。后三行报告了Kullback-Leibler与观测数据之间的差异。卡方检验只是告诉我们，我们有很多数据，我们的模型并不完全正确。然而，更有趣的是，平方统计的大小：MSMD统计一致优于指数统计（通常为一个数量级），而TMSMD统计一致优于MSMD统计（多达两个数量级）。

事实上，虽然在τ=10000和τ=30000 ms时，TMSMD模型被剔除，但考虑到数据样本和模拟的大小，卡方统计数据与经验对应数据非常接近。为了提供分布距离的另一个衡量标准，表4的最后三行报告了三种持续时间模型下每种收益分布相对于收益经验分布的库尔贝克-莱布勒差异。与卡方检验不同，库尔贝克-莱布勒散度（见库尔贝克和莱布勒（1951））不是对形式假设的统计检验，而是使用一个分布作为另一个分布的近似值时信息损失的度量。对于离散分布F和G overvalues{x}ni=1，G与F的Kullback-Leibler散度定义为asD（F | | G）=nXi=1logF（xi）G（xi）F（xi），这是对数概率比的期望值（在分布F下）。与卡方统计的大小相反，表4显示，指数模型下的回报分布最接近于τ=250 ms和τ=500 ms的数据分布，且一致地接近于MSMD回报的分布。然而，对于较大的τ值，TMSMD模型占主导地位，通常为一个或两个数量级。在该指标下，MSMD模型失效的原因是放置在rτ（t）=0上的高概率质量。图13显示了在每个持续时间模型下模拟的收益率的样本自相关函数，每列面板对应一个时间尺度τ={250、5001000、5000、10000、30000}毫秒。如图12所示，前三行分别描述了指数、MSMD和TMSMD模型下的自相关，而最后一行是图4中E-mini被动周期时钟时间返回的自相关的再现。

与数据非常相似，模型的返回ACF显示出很小的自相关，尽管MSMD模型似乎具有非常高的非零自相关频率，并且没有显示任何模式。虽然没有一个模型能够捕捉到在单一样本数据（低τ）的低滞后时，由于出价/出价反弹和均值回归而产生的负自相关，但我们的框架中没有明确地对这种动态进行建模，也不期望出现这种动态。在每种模型下模拟的平方收益的样本自相关如图14所示。MSMD和TMSMD模型中存在自相关的持久性，但指数模型中不存在自相关。更重要的是，与独立MSMD相比，TMSMD的平方收益自相关与数据的一致性更高。这种动态是我们推广的框架的一大优势：截断复合多重分形过程可以共同解释瘦肉症和波动性聚集。特别是，图14显示，在TMSMD模型下，平方收益的自相关通常小于被动期E-mini数据的自相关，但随着时间尺度τ的增加，它们表现出类似的下降。图13：模拟时钟时间返回的样本自相关函数。上三行面板对应于指数、MSMD和TMSMD模型下模拟的几个时钟时间间隔τ的收益。面板底部一行是图4中E-mini被动周期时钟时间返回的自相关性的再现。作为模型Fit的最终衡量标准，表5报告了数据中以及三个模型下收益和平方收益自相关函数的Ljung-Box统计数据。

Ljung-Box统计定义为Q=n（n+2）lXi=1^ρin-i、 式中，^ρiis是滞后i的样本自相关，n是数据中的观测数，l是计算统计的滞后数。在零假设下，所有的自相关都为零，Q~ χ（l）。对于表5中报告的统计数据，weset l=20，但结果对各种其他选择都是可靠的。l的选择决定了χ0.95（20）=31.41的共同5%临界值。表5的前四行报告图14：模拟时钟时间平方返回的样本自相关函数。上三行面板对应于指数、MSMD和TMSMDM模型下模拟的几个时钟时间间隔τ的收益。面板底部一行是图5中E-mini被动周期时钟时间平方返回的自动相关性的再现。返回的ACF的Ljung Box统计数据。有趣的是，对于τ的最低三个值，数据没有通过5%水平的测试，这是因为出价/出价反弹和均值回归具有较大的负自相关。与此相反，指数回归永远不会通过测试，而MSMD回归总是会通过测试，尽管它们的测试统计量随着τ的增加而下降，与数据类似。对于与数据完全相同的τ值，TMSMD返回的结果未能通过测试，但图13的目视检查并不表明存在系统原因。然而，对于τ≥ 5000毫秒时，TMSMD返回不会失败，且具有与数据非常相似的测试统计数据。表5下四行报告了squaredreturns ACF的Ljung Box统计数据。

MSMD和TMSMD模型都模拟了数据，并未能通过所有τ250 500 1000 10000 30000 lb rExp25的测试。2 28.707 25.64 19.6 18.261 18.848磅rMSMD860。02483.01311.5695.95595.20776.485LB rT MSMD45。206 53.868 47.937 23.578 20.614 28.109LB Rdata 1930。1351.88 110.36 18.059 28.569 20.303磅rExp32。536 11.004 22.702 16.973 19.24 16.647磅rMSMD2397。52435.31855.0409.8452.78 135.69LB rT MSMD6559。74135.71780.7624.93345.768.076LB rData27412。0 16306.0 6767.5 1249.4 625.47 190.64表5：指数、MSMD和TMSMD持续时间模型下模拟收益的Ljung Box统计数据，以及我们考虑的每个时钟时间间隔τ的观测数据。前四行报告收益ACF的Ljung-Box统计数据，后四行报告平方收益ACF的Ljung-Box统计数据。当指数模型永不失效时，τ的值。这证实了复合泊松过程无法解释波动性聚集。虽然SMD统计数据（对于平方收益）的大小更接近于τ=10000 ms和τ=30000 ms的数据，但TMSMD统计数据更符合数据。总之，我们发现截断复合多重分形模型很好地捕捉了时钟时间内的厚尾和波动持续性，同时几乎没有自相关的返回水平。这些特征主要归因于底层的MSMD模型。

相比之下，复合泊松过程（对应于从指数分布中提取的持续时间）产生的时钟时间回报是连续不相关的，但不表现出波动持续性，也不表现出实际数据中观察到的厚尾。6应用：价格形成和股票市场结构在与新闻事件不直接相关的交易期间，前瞻性复合TMSMD/高斯模型在交易率和给定证券的实际波动率之间提供了直接联系。我们现在利用这种联系来预测压力时期的市场行为。我们用CME-Mini近月标普500期货合约的其他历史交易数据来说明这种联系。使用了近一个月的电子迷你合同，我们使用了我们用来制作模型的相同工具。然而，我们选择检查不同（且实质上更长）的历史范围，以便与用于构建复合TMSMD/高斯模型的数据相比，数据超出样本范围。具体而言，新数据集包含了2010年4月27日至2012年8月17日之间577次交易的毫秒戳交易事件。该数据所涵盖的时期（如2010年5月初闪电崩盘前后的几天，以及2011年8月的市场低迷）的波动性明显高于2013年5月至8月的样本期。对于数据集中的577天中的每一天，我们收集东部时间下午3:00到下午4:00之间发生的所有电子迷你交易的毫秒精度时间戳。这段时间相当于美国股市交易日的最后一个小时。在股市交易的最后一个小时，交易率通常很高，在这个每日窗口期间，有非常少的有计划的市场变动新闻发布。

如前所述，当在单个毫秒内发生多次交易时，我们将其作为单个交易进行汇总，并使用毫秒的最终有效价格作为交易价格。最后，我们计算每天这些交易的主题交易间持续时间τmed。对于577个交易日中的每一个交易日，我们还根据英国央行发布的数据记录了近月第二个月VX-CBOE波动性指数期货的每日收盘价。然后，我们使用相同的方法，将近月和第二个月的期货收盘价结合起来，创建一个月的恒定加权平均期货到期日ologyhttp://cfe.cboe.com/Data/HistoricalData.aspxunderlyingiPath标准普尔500 VIX短期期货ETN（股票代码VXX）。这种计算并不是VXX收盘价的精确复制，因为它不考虑反向拆分和每日滚动。然而，它是VIX价值的可交易替代物。图15中的数据显示为灰色圆圈，显示了波动性期货价格和E-mini交易率之间的明显相关性。对于一组特定的参数，复合TMSMD模型允许构建时钟时间返回及其相应的年化波动率的合成序列。使用表1和表2中的TMSMD和高斯估计值，我们改变基线强度参数λ∈ [0.01,6]绘制与2010年4月至2012年8月数据中观察到的中值持续时间相同的收益序列，然后计算与每个中值交易持续时间对应的模型隐含年化波动率。这些值在图15中被描述为“k=5”的TMSMD模型的绿色圆圈，以及一个适合模拟数据的三次多项式。图中剩余的线是类似于TMSMD模型下模拟数据的多项式，k={3,4,6,7}。

最上面的一行对应于“k=3”，最下面的一行对应于“k=7”。有趣的是，尽管“k=7”的TMSMD模型提供了2013年5月至8月的最佳样本数据（主要是由于持续时间），但“k=5”提供了交易率/波动性关系的最佳样本数据。在任何情况下，我们的模型子集都覆盖了观测数据的范围，并重现了一般的经验关系。TMSMDM模型还为推断577个交易日期间未观察到的高波动率和低波动率提供了基础。2010年4月至2012年8月，最后一个交易小时的最小中间交易持续时间发生在2010年6月6日，观测值τmed=9 ms。当日的单月到期VX加权收盘价为VVXX=33.12。在实际波动率仅略大于577天样本中观察到的波动率的情况下，我们的模型预测CME的中间交易持续时间将大幅下降至τmed=10 ms以下。鉴于CME的交易活动是E-mini期货价格的唯一决定因素，假设交易基础设施本身能够在消息传递和计算负载增加的情况下顺利运行，那么没有特殊的changehttp://www.ipathetn.com/static/pdf/vix-prospectus.pdfFigure15：灰色圆圈：观察到的VX期货每日收盘价（调整权重以实现一个月不变到期日）与东部时间下午3:00到下午4:00观察到的每月E-mini S&P 500期货合约交易的每日中间交易持续时间。绿圈：由驱动高斯随机游动的TMSMD模型（`k=5）模拟产生的年化波动率。实线是TMSMD模型下模拟数据的三次多项式拟合，k={3,4,5,6,7}。

为了保持清晰，模拟数据仅针对¨k=5进行描述。在1ms–10ms范围内，τmedi的值预计为in行为。事实上，美国股票市场的价格形成通常被认为发生在电子迷你合同中，这是由于该工具的组成、流动性及其名义交易价值（Hasbrouck（2003））。然而，E-minicontract在其500支成份股中的可替代性意味着股权交易（在成份股本身中，或在SPY（State Street Advisors S&P 500ETF）等跟踪工具中）可能会控制价格发现过程中不可忽略的一部分。CME订单匹配引擎（位于伊利诺伊州奥罗拉）和美国股票交易所（均位于新泽西州郊区）的匹配引擎之间的物理分离为定量评估价格发现过程提供了机会。如果一个交易场所负责价格形成，那么价格创新将传播到外围交易所，并建立明确的超前-滞后关系。Laughlin等人（2014年）表明，可以通过分析高度相关证券之间价格变化交易的滞后结构来评估价格形成，特别是E-mini近月期货合约和SPY ETF。最近的基础设施改进现在使远程交易市场数据和交易订单以接近光速的速度在物理距离较远的交易所之间流动，这在奥罗拉、伊利诺伊州和新泽西州郊区之间的往返时间略高于8毫秒。为了评估价格形成的实际位置，我们在上述577天的数据集中依次查看埃米尼交易记录。在CME期货交易所和美国。

股票交易所是开放的，我们在每个毫秒间隔结束时确定有效价格（最近的交易价格），并筛选电子迷你交易的发生，其中有效交易的价格比前一个1毫秒间隔的最近有效交易的价格发生变化。当有效电子商务交易中以价格上涨结束的1毫秒间隔被确定时，我们会在电子商务价格变动交易事件前后的30个1毫秒间隔中搜索几乎一致的间谍交易。如果发生了价格变化的间谍交易，我们将观察到的间谍交易价格变化（δl）添加到一个数组中，该数组保持这些价格变化的累积和，从滞后=-30毫秒到滞后时间=+30毫秒。在强制电子商务交易中，价格下降也遵循预测程序。然而，在这些下降的情况下，我们补充说：-1×δlto保持累积和的数组。这有助于将价格上涨和价格下跌合并到一个估计器中。我们的综合响应基于N=14078656价格变化的E-mini tradeshttp://www.wallstreetandtech.com/trading-technology/latency-at-the-speed-of-light/d/d-id/1268776?Our2010年4月27日至2012年8月17日的毫秒戳戳间谍交易记录可从纽约证券交易所TAQ数据中获取，该数据适用于美国综合市场系统，涵盖纳斯达克、纽约证券交易所Arca、纽约证券交易所、BATS BZX、BATS BYX、EDGX、纳斯达克、CBSX、NSX和CHX。在分析所涉期间，间谍交易的日均名义价值为246亿美元。在数据覆盖的577天时间间隔内观察到，如图16所示，我们绘制了相对于E-mini价格变化交易的SPY与毫秒滞后的dP/dt。

很明显，更大的间谍价格反应发生在正滞后时，这加强了价格形成主要发生在CME，但不是完全发生在CME的结论。图16：交易间谍价格对E-mini价格变动交易的响应。指示芝加哥和纽约之间来回的±4ms光旅行时间。y轴值根据价格变化的交易基准进行标准化。累积的积极滞后反应，P（tf）+可以通过将dP/dt从0积分到滞后tf来量化，P（tf）+=ZTFDPDTT，累积负滞后反应，P（tf）-, 可以通过将dP/DT0从0到滞后进行积分来量化-tf，P（tf）-= -Z-tfdPdtdt。P（tf）+和P（tf）-如图17所示。很明显P（tf）+>P（tf）-, 再次表明E-mini是主要的间谍。比率P=P（tf）+/P（tf）-=6.26表明E-mini是P的一个因素~ 6.26倍于间谍不确定价格形成。因此，在股票交易所进行交易有着可衡量的影响，价格发现在CME并不完全本地化。图17:E-mini价格变动交易的累积交易价格响应。正滞后的综合SPY响应比负滞后的综合SPY响应大6.26倍。芝加哥和新泽西交易所之间的价格发现共享以及这些地点之间大约1200公里的物理分离意味着理论上的最小信息流往返时间约为8毫秒。这是交易持续时间的有效边界，此时交易率将饱和。根据compoundTMSMD模型，当k=5时，8ms的交易持续时间对应于约36%的标普500年波动率。

用“k”≤ 4.相应的模型隐含的可用性为45%或更高。如果潜在的市场压力促使交易利率突破当前的距离限制，那么由此产生的波动可能会导致市场大幅波动，无论是上升还是下降。在美国证券交易委员会于2013年4月在交易所之间实施协调的限额规则之前，如此大规模的市场波动可能会导致CMean的E-mini交易停止，随后交易兴趣和价格形成转移到新泽西的股票交易所。在这种情况下，物理分离（d≤ 新泽西州郊区交易所之间的56公里）将对应于0.3毫秒或更小的新有效交易持续时间范围，我们的模型表明，这与市场波动率显著大于100%有关。幸运的是，截至2013年4月8日，SEC已在断路器之间实施了协调，这在很大程度上排除了此类级联事件。然而，如果其他一些市场事件导致价格形成发生在单一的实际地点（伊利诺伊州或新泽西州），一段时间的市场压力可能会导致资产交易率的极高饱和点和相应的高市场波动性。结果是，股票和期货市场之间的协调限制规则对于防止极端波动和潜在的市场失灵可能至关重要。虽然E-mini和Spy合约并不代表整个市场，但它们构成了市场流动性的很大一部分，并表明了其他资产中可能发生的情况。我们的模型表明，交易所之间的物理分离和分布式价格形成有利于施加市场范围内的波动上限。我们的模型还表明，交易所之间的协调限制规则可能对维持市场稳定至关重要。

公平地说，当交易时间回报率演变为高斯随机游动时，该模型只能用于推断静态状态下（而不是受主要新闻到达影响的时期）的行为。然而，我们认为上述结果突显了市场疲软的潜在根源。7结论本文的经验和理论工作与Mandelbrot（1963）、Clark（1973）、Brada等人（1966）、Mandelbrot和Taylor（1967）以及Aneand Geman（2000）的工作密切相关，这些工作表明厚尾收益分布与aGaussian随机游动一致，并服从于适当的随机过程。我们的经验观点是，在控制了预先安排的、市场范围内的新闻发布后，高流动性市场总量（E-Mini S&P 500近月期货合约）的排序过程只是以高频交易到达模型为特征。我们的理论贡献是开发了一个简洁的交易间持续时间模型，该模型作为一个适当的从属变量，并将其与高斯随机游走组合，以得出时钟时间内回报的分层模型。具体而言，我们发现，Chen等人（2013年）开发的马尔可夫转换多重分形持续时间模型的修正可以调整，以提供贸易到达过程的统计正确描述。分布尾部的收益是由于交易率较高的时期产生更快的随机游动，而波动持续性是由潜在的马尔可夫转换冲击之间的相关性产生的。

结果是，在预先安排的新闻影响期之外，观察到的E-mini回报分布的非高斯性完全可以归因于交易的时间聚集。我们使用我们的模型来推断交易持续时间和市场波动性之间的关系，并探索市场压力可能导致灾难性高波动性和潜在市场失败的条件。我们注意到，这可能发生在大型市场波动的一段时间内，以及导致价格形成在单一实体场所发生的情况下，导致系统性交易间持续时间的当前距离效应范围减小。虽然我们的模型没有经过调整以明确处理市场压力机制，但我们的结果可能会指出当前体系中存在的潜在弱点。进一步的工作似乎是必要的。E-mini吸引了大量的书籍，每天的名义交易量超过1000亿美元。因此，小新闻事件，比如与一家公司有关的事件，很少会导致指数发生实质性变化。然而，tick Time Returns的高斯光谱可能是一个在很大程度上特定于交易量很大的E-mini的特征。将本文的工作扩展到更广泛的资产集合可能会导致该模型的重大创新。此外，调整模型以解释在市场压力条件下收益率的演变也是有用的。指数随机变量的最大值的期望假定随机变量{Xi}ni=1独立且相同地分布为具有平均参数ν的指数。然后它们的公共PDF和CDF是fx（x）=νexp-xνFXi（x）=1- 经验-xν.如果我们让Yn=max{X，X，…，Xn}，那么YnisGn（y）的CDF=P（Yn）≤ y） =P（X）≤ y、 X≤ Y

，Xn≤ y） =P（X）≤ y） P（X）≤ y） ·P（Xn）≤ y） =nYi=1FXi（y）=FX（y）n=1.-经验-yνn、 （13）因此，YniSign（y）=nFX（y）n的PDF-1fX（y）=nνexp-yν1.-经验-yνN-1，（14）可以被证明有期望值，E[Yn |ν]=Z∞y经验-yν1.-经验-yνN-1dy=νnXi=1i。（15） 参考Aldrich，E.M.（2013），“完全市场一般均衡下的交易量”，工作文件。Ane，T.和Geman，H.（2000），“订单流、交易时钟和资产周转的正常性”，《金融杂志》，LV，2259-2284。巴塞利尔，L.（1900），巴黎：高蒂尔别墅。Black，F.and Scholes，M.（1973），“期权定价和公司负债”，政治经济学杂志，81637–654。Bollerslev，T.（1986），“广义自回归条件异方差”，《计量经济学杂志》，31307-327。Bouchaud，J.-P.（2005），“金融随机游动的微妙本质。”混乱，1526104。Brada，J.，Ernst，H.，和van Tassel，J.（1966），“股价差异的分布：毕竟是高斯分布？”运筹学，14334-340页。Brogaard，J.，Hendershott，T.，和Riordan，R.（2013），“高频交易和价格发现”，工作论文。Calvet，L.和Fisher，A.（2001），“预测多重分形波动率”，计量经济学杂志，105，27–58（2002），“资产回报的多实践性：理论与证据”，《经济学与统计学评论》，84381-406。Calvet，L.，Fisher，A.和Mandelbrot，B.（1997），“大偏差和价格变化的分布”，考尔斯基金会讨论文件第1165号。Calvet，L.E.（2004），“如何预测长期波动性：制度转换和多重分形过程的估计”，《金融计量经济学杂志》，第2期，第49-83页。Calvet，L.E.和Fisher，A.J。

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