不完全条件下高频交易的库存管理

2022-6-10 10:57:19

因此，在这种情况下，自然的交易是尽可能利用可用信息，同时控制相关库存。关键是，HFT不会*感谢两位匿名评论者的相关评论。+密歇根大学数学系，电子邮件sherrma@umich.edu.伦敦帝国理工学院数学系，电子邮件j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.该研究部分由CFM帝国定量金融研究所支持。本文的部分内容是作者在访问位于ethzürich的forschungsinstitutefür Mathematik时撰写的。§波士顿大学奎斯特伦商学院，电子邮件dpshang@bu.edu.P数学系，ETH Zürich，电子邮件：chen。yang@math.ethz.ch.部分由瑞士国家基金会赠款SNF 200020\\U 172815资助。在孤立的环境中做出这些决策，但多个竞争对手试图实施非常相似的战略。在本文中，我们按照[14，1]的精神研究了一个具有不对称信息的均衡模型，该模型允许我们以一种易于处理的方式分析这些特征之间的相互作用。我们认为，在这样一个市场中，风险中性、具有竞争力的交易商可以清除原始噪音交易员以及若干战略高频交易的订单。正如上文提到的潜在套利交易一样，这些高频交易在成为公众知识之前一段时间内可以获得未来资产价值的变化。反过来，他们又在激烈的竞争中利用这些额外的信息。与关于库存成本的经典文献（参见，例如，[11，15]）和许多最近的论文一样，他们的库存也会受到惩罚。

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2022-6-10 10:57:22

对于可跟踪性，这是由二次运行成本建模的，如【16，17】所示。由于我们的模型基于离散信息优势，我们从离散时间环境下的均衡开始，然后研究其在交易频率增加到高频极限时的收敛性。为了使离散时间模型平稳，我们不确定地推迟了终止时间，并表明对于频繁（但离散）的交易存在线性均衡。这里，“线性”指的是，交易商通过对净订单流量（如模型的风险中性版本，参见[14,1]和许多更近期的研究）和高频交易累积的头寸线性调整资产价值的公知部分来实现盈亏平衡。由于这些在实践中无法观察到，经销商使用基于市场观察的线性预测。为了获得一致的平衡，我们反过来要求HFT没有动机偏离经销商的预测。然后，HFT的最优策略也证明在其策略以及关于未来价格变化的信号方面是线性的。我们均衡的一个关键可跟踪性特征是，对于给定均衡定价规则的单个HFT的优化问题，其他HFT的预测库存是无关的；参见备注4.5。我们的平衡是由一个非线性代数方程组决定的。当离散化参数趋于零时，所有相关量都允许在其高频极限附近进行渐近展开。不管HFT的库存厌恶程度如何，该限制的几个方面对应于[1]所研究模型的ris k-中性版本。事实上，市场深度、HFT对未来信号的利用以及它们的最佳表现都与风险中性的对手趋同。

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2022-6-10 10:57:35

相反，随着交易频率的增加，相应的库存减少到零。因此，高度频繁的库存管理允许HFTs实现几乎与无风险启用时相同的性能。库存厌恶对市场流动性和福利经济的影响在我们扩张的下一个主要订单中可见。然而，我们通过数字示例说明，在与高频交易相关的非常短的时间尺度上，这些福利和流动性影响的程度很小。相反，几个HFT之间的纳什竞争在我们的均衡中起着至关重要的作用，就像在[1]中的风险中性均衡中一样。事实上，每个HFT只会将其价格影响对自己的负面影响内在化，而不会对其他人产生负面影响。因此，与通过集中规划器进行协调所能实现的高效分配相比，它们中的每一个都过于激进。因此，HFT之间的竞争加剧提高了市场流动性。相反，交易税具有相反的效果。事实上，正如【18】在风险中性HFT的单周期模型中首次观察到的那样，（二次）交易税迫使HFT缩减交易规模，从而使其更接近共谋最优。正如[18]所简要总结的，“这导致交易税产生了反作用：它降低了市场流动性（并增加了无信息交易员面临的不利价格影响），但也降低了信息交易员的利润”。这是在讨论交易时需要牢记的一个重要机制。这些趋同结果为直接研究具有小型短线交易轮的模型提供了新的依据，如【17】所示。税收是通过抑制高频交易来提高市场质量的工具。

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2022-6-10 10:57:38

为了实现社会最优，税收的这些负面影响必须通过降低信息获取成本或（过度）投资贸易技术来抵消。将这些特征纳入目前的动态平衡模型是一个有趣但具有挑战性的进一步研究方向。本文以[16]中研究的模型为基础，在两个关键方向上进行了扩展。首先，我们研究了几个可能具有异质风险规避参数的HFT之间的不完全纳什竞争，而不是关注单个知情代理。其次，我们求解完全均衡，其中执行价格允许交易商在每一轮交易中实现盈亏平衡，而不是仅在整个交易间隔内实现平均盈亏平衡。我们表明，在高频极限下，模型的大多数预测都是稳健的。这为使用【16】或【17，第4.1节】中的简单定价规则提供了一些理由。在我们的模型中，HFT反复获得短暂的信息优势，因为它们的所有私人信号都是在只进行了一轮交易后才显示出来的，如[1]所示。这补充了大量关于各种长期信息优势的文献[14、12、13、7、3、2、6、5、8]，主要是在风险中性的环境中。Rosu（17）更接近我们的工作，他研究了一种长期信息优势模型，但也考虑了对知情交易者的二次库存惩罚。为了解决由此产生的更复杂的过滤问题，[17]直接在交易时间间隔“非常短”的模型中工作，并在几个参数类esof交易策略中进行优化。

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2022-6-10 10:57:41

相反，我们从一个完全离散的模型开始，求解相应的平衡点，然后研究其收敛到高频极限。在我们的信息结构中，线性自回归策略确实是最优的。然而，尽管[17]模型中的高频交易“不再投机长期价值，而只是将其库存传递给速度较慢的交易者”，但我们的模型预测，它们最初利用交易信号的方式与风险中性交易对手非常相似，但在其信息边缘消失后，会迅速平仓。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了信息不对称市场的基本要素。随后，在第3节中，我们讨论了单一HFT垄断额外信息访问的基准案例。（通过变量的变化，这也可以解释为共谋均衡，即几个同质的HFT通过让社会规划师最大化其总福利来协调。）第4节依次研究了几个可能不均匀HFT之间存在不完全竞争的完整模型。为了更好的可读性，所有的校样都委托给了附录。2市场我们考虑风险资产的市场。每次tn=nt，t>0，n=1，2，新的增量Snof揭示了其基本价值。这可以解释为各交易所的全国最佳出价（NBBO）价格的变化。文献中考虑了其他类型的异质性。例如，[10]比较两组风险厌恶型高频交易，这两组高频交易在两个周期的模型中的不同回合获得私人信息。

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2022-6-10 10:57:45

[7] 考虑初始私有信号的异质性；有关此模型的连续时间版本，另请参见[2]。特别是，我们的高频交易策略是由任何交易频率下的预期收益和投资成本之间的最佳权衡决定的。相反，库存成本在[17]的最小模型中消失，因此新信号的最佳权重和库存管理的速度都是通过最大化与较慢代理的交易的预期利润来确定的。均为独立正态分布，均数为零，方差为σSt>0。Therisky资产的交易时间为tn，n=1，2。，三类市场参与者：（i）噪声交易者，他们根据自己的目标（例如长期投资或对冲）进行交易，并且没有关于下一个增值的私人信息。它们在tn时的聚合订单大小由一个外部随机变量建模Kn，正态分布，平均值为零，方差σKt>0且独立于风险资产的基础价值。（ii）高频贸易商（HFT），初始库存L∈ R、已经观察到增量的人员在时间t进行交易之前，Snof the asset value，并利用它来选择交易Lnat time tn最大化其相应方形库存的折扣预期利润。（iii）风险中性、具有竞争力的经销商，他们在时间tN设定执行价格，在该时间tN，他们可以清空市场，同时在每次实现净订单流量的条件下实现零预期利润Yn=千牛+Ln和过去的值增量{Sm，m<n}。这意味着经销商整合了有关基本价值的信息，这些信息已经成为公共知识。

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2022-6-10 10:57:48

以当前订单流量为条件意味着价格取决于数量，类似于限额订单簿中的报价。3与垄断内部人的均衡我们首先考虑单个HFT的情况，该HFT垄断下一期增值信息的获取。3.1经销商定价规则第n轮交易前的经销商信息集包括过去的价值增量{Sm，m<n}以及过去和当前的顺序流{Ym，m≤ n} ，我们用een[·]表示相应的条件期望算子。他们引用的执行价格Pn允许他们在每一轮交易中平均获利：Pn=eEn[Sn]=Sn-1+eEn[Sn]，n=1，2。我们关注formPn=Sn的线性定价规则-1+ λYn+uMn-1.（3.1）我们不认为经销商可以观察HFT库存的变化。因此，经销商的定价规则取决于库存预测过程m=（Mn）n，而不是实际头寸≥0由M=土地给出Mn=β序号- ^1Mn-1，对于某些β>0和Д∈ （0，1）。（3.2）执行价格Pn依次调整基本值Sn-1经销商预测Mn中已经线性显示的内容-1 HFT库存和新订单流量Yn。为了获得一致的均衡，我们要求HFT没有偏离经销商库存预测的动机，因此该估计确实是准确的，参见下面的定义3.3。也就是说，基本值的高频极限是波动率σS的布朗运动wS。也就是说，噪声交易的高频极限是布朗运动wK，与驱动基本值的布朗运动wK无关。噪声信号的更真实情况是未来研究的一个富有挑战性的方向；见备注3.5。备注3.1。

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2022-6-10 10:57:51

预计所有四个系数u、λ、β、Д在平衡时均为正：o订单流量敏感性λ类似于“Kyle’s lambda”，因为如果大额订单流量表明HFT想要购买以利用资产价值的增长，它允许经销商收取更高的价格。o库存敏感度u调整HFTimplements再平衡交易的执行价格，以管理其库存。例如，非常大的库存使HFT对销售具有吸引力，因此相同的正订单流量可能对应更大的价值增长，需要更高的执行价格信号灵敏度β描述了预测HFT对其值变化信息的反应强度库存敏感性Д确定预测HFT减少大型（正或负）库存的速度。备注3.2。我们假设初始库存预测是正确的，即M=L。实际上，经销商不知道HFT的实际初始库存。然而，由于HFT很不愿意隔夜持有库存，因此在我们的背景下，交易日开始时零库存L=0是一个合理的假设。此外，正如我们在备注4.4中所讨论的，如果初始库存预测不正确，则HFT最好逐渐减少这种差异。从经销商的角度来看，初始库存是随机的，导致与噪声信号类似的困难（见备注3.5）。3.2 HFT的优化HFT有一个贴现率ρt型∈ （0，1）和【17，16】中的持有成本γt/2>0对风险资产中的方形库存征税。

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2022-6-10 10:57:54

（这意味着ρ和γ分别是单位时间的贴现率和库存成本。）第n轮交易前的高频交易信息集包括过去和当前的价值增量{Sm，m≤ n} ，我们用En[·]表示相应的条件期望。接下来，我们推导HFT的目标函数。我们将终点时间推迟到最后，以获得一个平稳的目标。也就是说，HFT优化了她预期的一个周期财富变化的折扣总额，因为持有大量库存而受到惩罚，类似于[9]。考虑第n轮交易。在交易之前，HFT持有Ln-1风险资产的份额（和现金头寸），并提交一份规模排序自然对数。本订单按照经销商的执行价格Pn执行。由于市场价格基于经销商的劣质信息，我们假设HFT使用自己的、更准确的基本价值预测来评估其风险头寸。因此，由于n轮isLnSn交易，HFT的财富发生了变化- 自然对数-1Sn-1.- Pn编号Ln=Ln-1.Sn+（Sn- Pn）自然对数；这里，Ln-1Sn-1和lns分别以n和Pn为单位计算HFT在交易前后对风险头寸的估值Ln是交易导致的现金头寸变化自然对数。自从Snand Ln公司-1独立且Snhas表示0，财富变化Ln-1.与第n轮交易前已持有的股份相对应的Sn预期为零，因此需要考虑财富变化（Sn-Pn）Ln对应于购买或出售第n轮中的Lshares表示，经销商选择了一个定价规则（λ、u、β、Д）以及相应的库存预测过程M。

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2022-6-10 10:57:57

然后，采购LnCostspn时的新股Ln=（序号-1+ λYn+uMn-1)自然对数。将其与HFT的估值Sn=Sn进行比较-1+ SN考虑到噪音等级与平均值零无关，因此，新贸易导致的HFT财富预期变化为(序号- λ自然对数- uMn-1)自然对数。现在，用库存惩罚γ来补充这一点t（Ln-1+ Ln）对于第n轮交易，使用简单的复合加成因子（1）贴现时间tn的预期财富变化和库存罚款- ρt） n.对于有限的规划范围，这将导致以下平稳目标功能：E∞Xn=1（1-ρt） nn型序号- λ自然对数- uMn-1.自然对数-γt（Ln-1+ Ln）o→ 最大值L∈A.（3.3）此处，A=n(Ln）n≥1： E[Ln]在可容许策略集的nodenotes中有界。我们注意到M∈ 引理A.6。利用这一点，我们可以表明（3.3）中的预期对所有人都是明确的L∈ A、 3.3平衡的定义我们现在可以正式定义我们的平衡概念。如上所述，关键的一致性条件是经销商的库存预测确实实现了，因为HFT没有偏离它们的意愿：定义3.3。设（λ，u，β，Д）为定价规则，其对应的库存预测过程如（3.2）所示。如果：（i）给定定价规则（λ，u，β，Д），经销商的库存预测M是一种可接受的策略，对于HFT的目标函数（3.3）是最优的。（ii）鉴于HFT采用了该策略M、经销商在每轮交易中的有条件预期利润为零：eEn[Sn]=λYn+uMn-1，n≥ 1.（3.4）有几句话要说。备注3.4。线性平衡的系数（λ、u、β、Д）与时间无关。这是由于两个事实：（i）HFT的优化问题具有有限的时间范围。

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2022-6-10 10:58:00

如果HFTs优化问题有一个有限的时间范围，那么最优策略（以及定价规则）将变得依赖于时间。（ii）HFT的信息优势在每轮交易后完全重置：旧的增量向公众披露，HFT接收到一个新的信号，该信号与之前的观测值不相关，而过去的订单流量观测值则不相关。如果从经销商的角度来看，HFT的库存中存在未披露的随机性（例如，由于随机初始库存或噪音信号），那么经销商将使用过去的订单流量观测来计算预期的价值增量，定价规则可能会变为时间依赖性的。备注3。5.回想一下，在我们的模型中，HFT观察到SNT在tn交易之前。更现实的假设是HFT只接收到噪声（相关）观测鼻涕序号：。在该模型的风险中性版本【1】中，噪声信号可以很容易地被接收。然而，随着库存厌恶，出现了具有挑战性的问题。在n轮交易之前考虑经销商的情况。鉴于零利润条件（3.4），经销商需要计算条件期望值een[序号]基于过去和当前订单流量{Ym:m≤ n} 和过去的值增量{Sm:m<n}。在我们的均衡中，经销商可以根据以下条件完美预测HFT的库存{Sm:m<n}。因此，经销商可以预测HFT在第n轮的交易量，作为序号：。由于pastorder Flows Y，Yn公司-1与下一个增值不相关序号，仅限与计算条件期望有关[序号]。如果HFT接收到噪声信号，情况就不同了。

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nandehutu2022

2022-6-10 10:58:03

从经销商的角度来看，HFT的噪音信号会导致HFT库存中的噪音（因为假设噪音信号在每一轮交易后都会向公众披露是不现实的）。因此，在bes t，经销商可以预测HFT的交易量作为Snand Ln公司-因此，Ynis与Snand Ln公司-1、但Ln-1还取决于之前的所有噪声信号。因此，人们期望条件期望[Sn]不仅取决于当前订单流量，还取决于所有订单流量，Yn公司-这会导致更复杂的计算。3.4存在与渐近如果交易频率非常高，则存在线性均衡，并且在提议的类别中是唯一的。所有相关的量都可以用四次方程的解来表示。在高频极限下，这将通过隐函数定理得到闭合形式近似。这些结果的证明是下面更一般的定理4.2的一个特例，它建立在附录a定理3.6中。（i）对于足够小的t型≥ 0，四次方程0=β（1-ρt）- (2 - ρt+βγt）σKσSβ+σKσS(1 -βγt）（3.5）具有独特的溶液β∈ （0，σKσS）。此解具有以下渐近性：t型→ 0：β=σKσS-γσK2σS1/2√t+O(t）。（ii）对于非常小的t型≥ 0，λ=βσSσK+βσS=σS2σK-γt+O((t） 3/2），（3.6）Д=1-λβ1 - λβ=2γσKσS1/2√t+O(t），（3.7）u=λД=γσS2σK1/2√t+O(t）。（3.8）注意λβ<1，因此很好地定义了Д。那么，对于足够小的t>0时，定价规则（λ，u，β，Д）形成线性均衡。

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2022-6-10 10:58:06

特别是战略Ln=Mn=β序号- ^1Mn-1是HFT的最佳选择。（iii）HFT在时间0时的最佳性能为-铝+硼S- 氯S+D，其中=（1-ρt）（1）- φ)1 -(1 - ρt）（1）- φ)γt型=√γ1/2σSσK1/2√t+O(t），B=（1- ρt） β（2（1- λβ) -β（A+γt））=σKσS-√γ1/2σKσS3/2√t+O(t），C=（1- ρt）（β（1-^1）（A+γt） +^1（1- λβ)) =√γ1/2σKσS1/2√t+O(t），D=（1）-ρt） BσS2ρ=σSσK2ρ-√γ1/2σ1/2Sσ3/2Kρ√t+O(t）。备注3.7。定理3.6中的线性平衡对于非常小的t>0。我们概述了论点的主要步骤。设（λ，u，β，Д）为线性平衡。经销商的零利润条件要求λ和u分别通过（3.6）和（3.8）与β和Д相关。接下来，可以使用动态编程或扰动参数来分析策略的最优性(Mn）n≥1对于HFT，即HFT没有任何动机偏离经销商的预测。这就产生了（3.7）用λ和β表示的ν，并且β满足四次方程（3.5）。因此，仍需分析四次方程的哪些解会产生平衡。结果表明，四次方程（3.5）正好有两个不同的实根。第一步位于（0，σKσS），并导致定理3.6的平衡。第二根位于（σKσS，∞ ).然而，β>σKσ简化了相应的平均回归参数Д为负。因此，根据引理A.6，相应的策略(Mn）n≥1不允许。此外，在任何更大的受理类别中，这种策略也不是最优的。事实上，战略的绩效(Mn）n≥1可以使用引理A证明中的显式表示形式，显式计算β、Д和λ。

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2022-6-10 10:58:09

然后，结果表明，对于φ<0且非常小的t>0时，库存惩罚支配预期利润并导致绩效-∞.3.5比较静态我们现在讨论定理3.6平衡的最优交易策略、定价规则和最优HFT性能。高频限值 t型→ 平衡点的0与其风险中性对应点一致[1]；库存厌恶的影响只有在优先顺序中才可见Ln由于M=Lby假设，经销商在等式中的库存预测在任何时候都是正确的，即对于所有n，Mn=LN。特别是，HFT的最优策略可以等效地计算为Ln=β序号- ^1Ln-1.0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.970.980.991.001.01β0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt50100150200φΔt图1：新信号（左面板）和平均反转速度的交易权重β/根据离散化参数绘制t（右面板）t：高频限值（虚线）、一阶近似值（虚线）和实际解（实线）。请注意，0.004=1/250约为一个交易日。更正条款t>0。事实上，在这个限度内，最佳的交易策略Ln=σKσSSn和线性定价规则Pn=Sn-1+σS2σKyn与[1]的风险中性均衡一致。在本节的其余部分，我们将讨论非常小但积极的情况t、库存厌恶的影响变得明显的地方。对于图1-3中的数值说明，我们使用波动率σS=σK=1，如[18]，库存厌恶参数γ=1，与[17]中使用的参数值具有相同的数量级，贴现率ρ=5%；然而，请注意，与高频限值一样，几乎所有结果在任何情况下都与ρ无关。

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2022-6-10 10:58:12

（唯一的例外是最佳性能D，对于该性能，限额和领先订单修正与贴现率成反比。）交易策略。HFT的平衡位置（Ln）n≥0遵循一阶自回归过程，其中平均回归速度由参数Д控制，新值由β乘以值增量给出序号：。均值回归分量确保HFT的位置不会变得太大（正或负）。请注意，此库存管理术语不随对于离散化的Ornstein-Uhlenbeck过程。相反，它可以扩展为√因此，随着交易频率的增加，高频交易头寸的半衰期收敛到零。这允许HFT在高频限制下实现与无库存厌恶相同的性能。图1显示了平衡信号灵敏度β和平均回复率ν/t作为离散化参数的函数t、我们看到，即使离散化参数的值很大，β（相对而言）也接近其高频极限t、相比之下，最佳平均回复率对并随着交易频率的增长迅速爆发。尽管如此，定理3.6中Д的一阶展开式提供了最佳均值回复率的极好近似值。HFT的最佳性能。不出所料，库存厌恶对数量D有负面影响，这衡量了HFT从零位开始，在没有初始信号的情况下可以实现的最佳性能。根据离散化参数绘制最优性能图图2中的t。

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大多数88

2022-6-10 10:58:15

我们观察到，对于中间产品0.001 0.002 0.003 0.004Δt9.79.89.910.0D0.00001 0.00002 0.00003 0.00004Δt9.79.89.910.0D，库存效应清晰可见。图2：根据离散化参数绘制的HFTs最佳性能Dt：高频极限（虚线）、一阶近似（虚线）和精确解（实线）。左侧面板显示的中间交易频率低于每天一次。右面板放大了更高的交易频率，每天超过100笔交易。交易频率，但如果交易频率高于每天100次，交易频率会迅速下降到1%以下。在与高频交易相对应的更短的时间尺度上，在[17]中直接研究的（风险中性）高频限额显然是一个很好的近似值。定价规则。均衡定价规则调整已披露的零件序号-资产基础价值的1与净订单流量呈线性关系Ynin交易轮n和HFT的预测库存Mn-1（参见（3.1））。在前序中，价格影响参数λ在库存厌恶参数γ中减小：HFT的库存管理干扰了在ris k-中性情况下可能的信息优势的优化利用。这反过来允许经销商以较小的价格影响参数实现平均盈亏平衡。在库存厌恶参数γ中，执行价格相对于HFT预测库存的均衡敏感度u=λД增加，顺序为O(√t）。原因是，对于给定的预测库存（例如，正），较大的风险规避参数γ意味着HFT有较强的卖出动机。因此，相同的净订单流量可能对应更大的购买激励，需要通过更高的执行价格来设定。

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2022-6-10 10:58:19

最后，观察u=λИ导致均衡执行价格pn=Sn-1+ λYn+uMn-1=序号-1+ λ(Kn+βSn）不（功能上）取决于HFT的预测库存。图3显示了描述均衡定价规则的参数λ和u，作为t、对于定价规则对净订单流量的灵敏度λ，我们发现高频极限，其渐近展开到订单项t、定理3.6中四次方程的精确解实际上是一致的，即使交易频率低到一天一次。这表明Kyle的lambda公式【14】对于引入库存厌恶非常稳健。特别是，在目前的模型和[16]的部分均衡设置中，噪声传播者的明显福利差异在实践中可以忽略不计。与高频限值不同，执行价格对HFT预测库存的敏感度u非零，但定理3.6的一阶扩展再次提供了一个极好的近似值，即使对于低交易频率也是如此。备注3.8。让我们将我们的结果与[16]的模型进行比较，后者侧重于λ>0但u=0的定价规则。因此，在他们的模型中，经销商无法在每一轮交易中实现盈亏平衡，即0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.49000.5000.5050.5100.515λ0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.0050.0100.0150.0200.0250.030μ图3：根据Discretization参数绘制的均衡定价规则参数λ（左面板）和u（右面板）t：高频极限（虚线）、一阶近似（虚线）、精确解（实线）。但仅在整个时间范围内。尽管存在这些差异，但两种模型中β、λ和Д的高频限值是相同的。

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nandehutu2022

2022-6-10 10:58:24

这为关注简单的定价提供了一些理由，这些定价不依赖于HFT的位置，如【17、16】所示。在下一个领先订单中，经销商的仓位相关定价规则的影响变得显而易见。转化为我们的符号，[16]得到以下渐近：β=σKσS-γσKσS1/2√t+O(t），λ=σS2σK-γσSσK1/2√t+O(t），^1=γσKσS1/2√t+O(t）。在【16】的部分均衡设置和当前的完全均衡中，经销商都可以通过库存厌恶HFT增加市场深度（即减少λ），因为这必须平衡其信息优势的利用与库存管理。然而，在我们的模型中，流动性的增加逐渐小于[16]（O(t）在（3.6）中也进行了比较(√t）在【16】中。因此，我们模型中噪声交易者的预期损失相对较大。从这个意义上说，噪音交易者为在每一轮交易中实施交易者的零利润条件付出了代价，而不仅仅是在整个时间范围内。对于信号灵敏度β和平均回复速度Д，一阶修正为O阶(√t）在这两种模型中，但相应修正项的系数不同。由于对订单流量的敏感性较低，HFT比[16]更积极地利用其关于未来价格变化的信号，因为β系数比高频限值降低得更少。由于当HFT的位置更大时，位置依赖执行价格更高，HFT也可以采用一个平均反转速度Д，该速度通过系数√与[16]相比，我们的模型中为2。4与竞争内部人的均衡4.1纳什竞争我们现在转向k>1的可能异质HFT的情况，他们竞争利用他们关于下一期价值增量的常见信息。

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2022-6-10 10:58:27

每个HFT i都有一些初始库存∈ R、个人持有成本γit/2>0对其风险资产中的平方库存征收，且单个贴现率ρit型∈ (0, 1).经销商现在清理了由k HFT和噪音交易员组成的市场。他们对每个HFT使用单独的库存预测过程：对于每个i，过程Mi=（Min）n≥0由Mi=Liand定义最小值=βi序号- ^1iMin-1，（4.1）对于某些~β=（β，…，βk）∈ Rkand ~Д=（Д，…，Дk）∈ （0，1）k.因此，经销商的线性定价规则现在的格式为pn=Sn-1+ λYn+kXj=1ujMjn-1，对于某些λ∈ R和~u=（u，…，uk）∈ Rk。与之前一样，风险中性HFT最大化了对其一个时期财富变化的预期。对于多个HFTs，购买成本Lin HFT i isPn时的新股林=序号-1+ λYn+kXj=1ujMjn-1.林。这里，Yn=Kn+Pkj=1Ljn是第n轮交易中的净订单流量。将该执行价格与HFTs的估值SN进行比较，并考虑噪音交易Knare独立，平均值为零，因此，考虑到其他HFTs交易Ljn，j 6=i，由于她的新交易，我的财富预期变化Linis公司序号- λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.Lin.现在，用库存罚款、折扣作为补充，并将终端时间发送给单位。这进而导致HFT的以下固定目标函数：E∞Xn=1（1-ρit） nn型序号-λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.林-γit（Lin-1+ Lin）o, （4.2）其中Lj，j 6=i是固定的可接受策略，优化运行锂∈ A、我们的目标是找到以下意义上的平衡：定义4.1。设（λ，~u，~β，~Д）为具有相应库存预测过程的定价规则，（4.1）中的Mkas。如果：（i）给定定价规则（λ，~u，~β，~Д），策略(MMk）是容许的，并形成阿纳什平衡。

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2022-6-10 10:58:32

也就是说，每个HFT i都无法通过偏离策略来提高其绩效Miwhile其他HFT的策略Mj，j 6=i，保持不变。（ii）鉴于H FTs使用这些策略(MMk），经销商在每轮交易中的有条件预期利润为零：eEn[Sn]=λYn+kXj=1ujMjn-1，n≥ 1，（4.3）其中Yn=Kn+Pkj=1MJ是第n.4.2轮交易中的净订单流量存在性和渐近性。以下结果通过非线性方程组确定了k个竞争HFT的纳什均衡：定理4.2（均衡）。（i）对于足够小的t型≥ 0，约束系统β∑=kXj=1βj，（4.4）0=（1- ρit） βiβ∑- (2 - ρit+β∑γit）σKσSβiβ∑+σKσS(1 -βiγit），i=1，k、（4.5）0<β∑，d 0<βiβ∑≤σKσS，i=1，k、（4.6）有唯一的溶液（β∑，~β）=（β∑，β，…，βk）。此解决方案具有以下渐近性t型→ 0：βi=k-σKσS-（1+k）1/22k3/42γ1/2i-kkXj=1γ1/2jσKσS3/2√t+O(t），（4.7）β∑=kσkσS-（1+k）1/22k3/4kXj=1γ1/2jσKσS3/2√t+O(t）。（4.8）（ii）定义，对于足够小的t型≥ 0，λ=β∑σSσK+β∑σS=k1/21+KσSσK+k1/4（K-1） 2（1+k）3/2kkXj=1γ1/2jσSσK1/2√t+O(t），（4.9）Дi=1-λβi1-λβ∑=（1+k）1/2k1/4γ1/2iσKσS1/2√t+O(t），（4.10）ui=λДi=k1/4（1+k）1/2γ1/2iσSσK1/2√t+O(t），（4.11）并设置~Д=（Д，…，Дk）和~u=（u，…，uk）。那么，对于足够小的t>0时，定价规则（λ，~u，~β，~Д）形成线性平衡。请注意，λβ∑<1，因此可以很好地定义Дiis。此外，βiin（4.6）的上限相当于Иibeingnonegative。可以根据βi、β∑和模型参数明确计算HFT i在平衡状态下的最佳性能：命题4.3（HFT i的优化）。设（λ，~u，~β，~Д）如定理4.2所示。回想一下，foreach j=1。

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2022-6-10 10:58:35

，k，库存预测过程Mj=（Mjn）n≥0由Mj=Ljand定义Mjn=βj序号- ^1jMjn-1、修正i并假设经销商使用定价规则（λ、~u、~β、~Д），并且彼此HFT j 6=i使用该策略乔丹。那么，对于足够小的t>0，策略Miis是HFT的最佳人选，她在TIME 0的最佳表现是-Ai（Li）+Bi(S）- 西里S+Di，其中i=（1-ρit）（1）- ^1i）1- (1 - ρit）（1）- ^1i）γit=k1/42（1+k）1/2γ1/2iσSσK1/2√t+O(t），Bi=（1- ρit） βi（2（1- λβΣ) - βi（Ai+γit））=k1/2（1+k）σkσS+2k3/4（1+k）3/2h（2+6k）kkXj=1γ1/2j-5（1+k）γ1/2iiσKσS3/2√t+O(t），Ci=（1- ρit）（βi（1-^1i）（Ai+γit） +^1i（1-λβ∑）=2k1/4（1+k）1/2γ1/2iσKσS1/2√t+O(t），Di=（1-ρit） BiσS2ρi（4.12）=k1/2（1+k）σSσkρi+4k3/4（1+k）3/2h（2+6k）kkXj=1γ1/2j- 5（1+k）γ1/2iiσ1/2Sσ3/2Kρi√t+O(t）。定理4.2和命题4.3的证明见附录A备注4.4。定理4.2中的均衡对于预测失误的库存具有一定的稳定性。事实上，附录A中命题4.3的证明（特别是引理A.4）表明，HFT i的最优策略如下所示：Lin=分钟- ζi（Lin-1.-分钟-1），对于某些ζi∈ (0, 1).如果经销商的初始库存预测正确（Mi=Li），这表明李=Mifor HFT i.但即使经销商的库存预测不正确，HFT也有一个激励因素，即逐渐缩小其实际库存与预测之间的距离：（李- Mi）n=-ζi（Lin-1.- 分钟-1).备注4.5。在平衡状态下，HFT i的目标函数（4.2）相当简单。实际上，通过插入uj=λИjandLjn=Mjn=βjSj公司- ^1jMjn-1into（4.2）对于j 6=i，库存预测过程Mj，j 6=i，退出优化标准。

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2022-6-10 10:58:38

因此，HFT i的价值函数只需要跟踪价值增量和HFT i自身的实际库存联合库存预测MIB，而不需要跟踪其他HFT的库存预测。这将问题的维数从2+k减少到3.4.3比较静力学我们现在讨论几个相互竞争的HFT的平衡的比较静力学。高频限值。对于定理3.6所涵盖的垄断情况，所有相关量的高频极限在高频交易相关的快速交易点是非常好的近似值。对于经销商的均衡定价规则，（4.9）和（4.11）显示出收敛于[1，18]研究的具有不完全竞争的风险中性模型。事实上，就像One垄断者HFT一样，其敏感性u，uk与HFT头寸相关的执行价格以比率消失√t、而相对于净订单流量的灵敏度λ收敛于其风险中性对应物。同样，新交易信号的权重βithat也会转化为风险中性的对应方。与垄断情况一样，平均复归率Дi/t随着交易频率的增加而变化。因此，HFT i的性能接近其风险中性对应物，因为库存惩罚在高频限值中消失。纳什竞争。为了了解HFT之间的纳什竞争如何影响高频限值的缩放，将其与HFT通过旨在最大化其聚合性能的中央规划师协调其行动所获得的相应结果进行比较是很有帮助的。我们关注具有相同成本和偏好参数γ和ρ以及初始库存的k个同质HFT的高频极限。

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nandehutu2022

2022-6-10 10:58:40

然后，中央规划师问题简化为第3节中研究的垄断性HFT的情况，但用γ/k代替γ。也就是说，“总HFT”累积了所有单个库存公差。由于定理3.6中的限制价格影响和交易策略与库存厌恶无关，我们观察到纳什竞争对交易和福利的典型影响。事实上，在不完全竞争的情况下，HFT过度利用了其共同的信息优势，因为其聚合信号灵敏度太大：与β∑=σK/σSwithcoordination相比，β∑=k1/2σK/σSunder竞争。正如【18】所观察到的，这是经典的“公地悲剧”的化身：HFT过度使用其共同利益，即市场上可用的流动性。换言之，他们中的每一个人都只会将自己的价格影响成本内部化，而不会对其他人产生负面影响。这种过剩的交易量（具有相同的信息优势）将高频交易系统的总体表现降低了2千1/2/（1+k）倍∈ （0，1）。这反过来又允许经销商使用较小的价格影响参数λ实现盈亏平衡；该参数减少了相同的系数2k1/2/（1+k）∈ （0，1）.库存厌恶。在纳什竞争下，价格影响参数λ（参见（4.9））的一阶修正项为(√t）并且随着库存厌恶参数γ的增大而增大。这与垄断情况形成鲜明对比，垄断情况下的一阶修正项为O阶(t）和γ的减少（参见（3.6））。这种最初令人惊讶的影响可以用纳什竞争导致的过度交易来解释。事实上，在库存厌恶的情况下，HFT会根据（4.8）中的β∑所述信号缩减其总交易量。

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2022-6-10 10:58:44

这使HFT更接近其协调平衡，并迫使经销商通过增加λ来恢复其损失的交易利润。关于HFT的个人表现，增加库存厌恶有两个相反的影响。一方面，增加库存厌恶当然会降低HFT的绩效，尽管库存惩罚较高。另一方面，如上所述，它将竞争性HFTscloser移动到其协调平衡，从而提高每个HFT的个人绩效。该对策反映在HFT绩效Diin（4.12）的一阶修正项中。例如，在均质HFT的情况下，k的一阶校正项为负≤ 2，k为正≥ 4，当k=3时消失。在激烈的竞争中，库存○○○○○○○○○○++++++++++△△△△△△△△△△2 4 6 8 10k0.300.350.400.450.50λ○○○○○○○○○○++++++++++△△△△△△△△△△2 4 6 8 10k0.300.350.400.450.50λ图4：对于每天1个交易轮（左图）和每天100个交易轮（右图），相对于竞争HFT数量k绘制的净订单流量，执行价格的灵敏度λ：高频限值（三角形）、一阶近似值（十字）和精确解（圆形）。与相应的风险中性平衡相比，厌恶情绪对HFT的表现有着有利的影响。异质性虽然个体HFT的库存厌恶情绪中总的信号敏感性β∑总是在下降，但HFT i的个体信号敏感性βi（参见（4.7））的一阶修正的迹象取决于她的库存厌恶情绪与其他HFT的库存厌恶情绪的关系。事实上，如果HFT的库存成本与其他HFT相比非常低，那么不完善的竞争允许比风险中性情况下更积极地利用价格信号，从而也提高了各自的性能（参见。

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2022-6-10 10:58:47

(4.12)). 对于库存成本相对较高的HFT，情况正好相反。从理论角度来看，上述效应很有趣。然而，图4表明，虽然库存厌恶的影响在较低的交易频率（如每日）下明显可见，但随着t趋于零。因此，这些效应仅在高频环境中起着次要作用。4.4交易税交易税通常被认为是通过抑制高频交易来提高市场质量的一种可能工具。与[18]的风险中性单期模型一样，二次交易税也可以纳入本框架。这意味着高频交易产生的额外交易成本与其各自交易的平方大小成比例。然后，stationarygoal函数（4.2）变为∞Xn=1（1-ρit） nn型序号-c林- λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.林-γit（Lin-1+ Lin）o对于某些交易税参数c>0。其他规定（如与贸易规模成比例的税收）不易处理，因为它们会导致非线性过滤问题。然而，我们期望这类模型的大致结论是相似的。0.00 0.05 0.10 0.15 0.20c0.500.600.650.700.00 0.05 0.10 0.15 0.20c0.500.550.600.650.70图5：对于垄断HFT（左面板）和两个竞争对手（右面板），相对于交易税参数c绘制的净订单流量，总交易成本λ+c（虚线）和价格影响λ（实线）。交易频率为每天100次。与定理4.2类似，可以证明均衡定价规则由约束系统β∑=kXj=1βj，0=（1）的（β∑，β，…，βk）的解确定- ρit） βiβ∑+2cσKσS+ βΣ-2cσKσS+ βΣ+ βΣ(2 -ρit） +β∑γit型σKσSβi+σKσS(1 -βiγit），i=1，k、 0<β∑，0<βi≤σK2c（σK+β∑σS）+β∑σS，i=1。

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2022-6-10 10:58:49

，k.图5描述了垄断HFT和两个竞争对手的相应价格影响参数λ和总交易成本λ+c。我们的结果证实了具有风险中性HFT的单期模型中[18]的发现。在这两种情况下，总交易成本λ+c在交易税c中都会增加。仅就价格影响而言，在垄断和寡头垄断的情况下，比较静态是不同的。对于垄断的内部人士来说，小额交易税可以降低价格影响。相反，在纳什竞争中，交易税往往会增加价格影响。原因再次是H FTs选择中固有的负外部性：“没有交易税，[…]他们最终在均衡状态下交易“太多”，也就是说，以一种耗散的方式，他们的利润减少了市场上知情代理人的总数，从而导致更大的市场流动性。交易税导致他们缩减交易规模，当他们的净交易税利润在税收中减少时，交易税利润总额在税收中增加。这导致交易税产生了反作用：它降低了市场流动性（并增加了无信息交易者面临的不利价格影响），但它也降低了知情交易者的利益“[18]。虽然λ和ui仍然分别由（4.9）和（4.11）给出，但由Дi=1确定的Дiis-（λ+2c）βi1-λβΣ. βiis上的上界等于非负的φib。在高频交易的背景下讨论交易税时，应牢记这一基本机制。

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2022-6-10 10:58:52

在这里考虑的mo-deling框架中，市场流动性不能通过税收来改善，而只能通过鼓励HFT之间的更多竞争来改善，比较图4。然而，如果考虑到信息获取的成本或贸易技术的（过度）投资，税收可能会成为社会上的首选。将这些特性纳入当前模型是未来研究的一个具有挑战性但重要的方向。在这一节中，我们证明定理4.2和命题4.3。我们从系统（4.4）–（4.6）的局部解决方案的存在开始t、引理A.1。ε>0使得对于所有t型∈ [0，ε），系统（4.4）–（4.6）具有唯一解（β∑，β，…，βk），具有渐近性（4.7）–（4.8）。证明。步骤1。我们注意到t=0，系统（4.4）–（4.6）简化为β∑=kXj=1βj，βiβ∑=σKσS, 0<β∑，0<βiβ∑≤σKσS，i=1，k、它有唯一的解‘|∑=kσkσS，’βi=k-σKσS，i=1，k、第2步。接下来我们证明了一个解的存在性t>0。首先，我们将系统（4.4）–（4.6）转换为符合隐函数定理的等效系统。请考虑以下域的重新参数化（0，∞) 变量的x R1+k(t、 β∑，β，βk）：δ=√t、 x=δβΣ-βΣ, yi=δβi-βi, i=1，k、在将变量的这种变化插入（4.4）–（4.6）中，简化结果方程，并将其乘以方便的非零项后，可以得出任何0<t=δ，原始系统（4.4）–（4.6）等于系统0=h（δ，x，y，…，yk），0=hi（δ，x，y，…，yk），i=1，k、（A.1）-\'β∑<δx，-σKσS<δ′βi（x+kyi）+δxyi≤ 0，i=1，k、（A.2）其中h（δ，x，y，…，yk）=x-kXj=1yj，hi（δ，x，y，…，yk）=（x+kyi）- k（1+k）γiσKσS+ (*) δ + (*) δ+ (*) δ+ (*) δ.在这里(*)-术语代表x，y。

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