用g（β∑，βi）表示（4.5）的右侧，t） ，即g（β∑，βi，t） =（1）- ρit） βiβ∑- (2 - ρit+β∑γit）σKσSβiβ∑+σKσS(1 -βiγit） 。首先，我们展示了t>0且β∑>0，存在唯一的bβi=ui（β∑，t） 满足G（β∑，bβi，t） =0和0<bβiβ∑<σK/σS。对于任何t>0且β∑>0，二次函数g的判别式（β∑，·，t） 为正：4β∑γiσKσS+β∑σKσSt型+γiσKσS+β∑（β∑γi- ρi）σKσS(t） >0。β∑，β，…，的渐近展开式，βkup至订单O(t） 可以通过计算导数ESX′（0），y′（0），利用隐函数定理得到y′k（0）。因此，g（β∑，·，t） 有两个不同的实根。自进一步Moreg（β∑，0，t） =σKσS>0，gβ∑，σKβ∑，σS，t型= -γiσKσS+β∑σKβ∑σSt<0，limβi→∞gβ∑，βi，t型= ∞,该断言源自中间值定理。接下来，我们认为t>0 s小于ρit<1，功能ui（·，t） 在（0，∞). 作为ui（β∑，t） 是一个二次方程的（较小）解，我们有一个明确的公式ui（β∑，t） 。通过直接计算和简化，可以证明其偏导数用户界面βΣ(βΣ, t） β∑>0和0<ρi为负值t<1。最后，FIXt>0足够小，设（β∑，β，…，βk）和（β′∑，β′，…，β′k）为（4.4）–（4.6）的两个解。尤其是，对于所有i=1，…，βi=ui（β∑）和β′i=ui（β′∑），k、 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设β∑≤ β′Σ. 那么，通过上述公式，β′i=ui（β′∑）≤ ui（β∑）=βifor i=1，k、 因此，β′∑=β′+···+β′k≤ β+···+βk=β∑。我们得出结论，如果alli=1，…，则β∑=β′∑和βi=β′，k、 设（~β，β∑）=（β，…，βk，β∑）如定理4.2（i）所示。现在我们来看第4.2条的第二部分。我们首先注意到，Дi=1-λβi1-λβ∑定义良好，因为λβ∑∈ [0，1）通过λ的定义。此外，写入Дi=1-λ（β∑+βi）1-λβ∑表示Дi<1。

展开式（4.9）–（4.11）源自βi和β∑的相应展开式。尤其是，对于t>0足够小。根据引理A.6，这意味着策略的可接受性定义于（4.1）：引理A.2。对于t>0足够小，惯性矩∈ A对于所有i=1，k、 接下来，我们证明，对于定理4.2中定义的定价规则和策略，经销商的零利润条件成立。引理A.3。假设经销商使用定理4.2中定义的定价规则（λ、~u、~β、~Д），并且每个HFT i使用该策略Mias定义见（4.1）。然后零利润条件（4.3）成立。证据鉴于Miin（4.1），Yn=Kn+kXj=1美赞臣=Kn+β∑序号-kXj=1хjMjn-1，其中β∑=Pkj=1βj.自克南德Snare独立正态分布随机变量，随机向量(Sn，Xn），其中Xn：=Yn+kXj=1хjMjn-1= Kn+β∑Sn具有二元正态分布。此外，对于时间n处的经销商信息集，X是可观察的。因此，通过二元正态随机向量的条件边际平均值公式，我们发现[Sn]=Cov(Sn，Xn）Var（Xn）Xn=β∑σSσK+β∑σSYn+kXj=1хjMjn-1..零利润条件（4.3）现在遵循λ和ujin（4.9）和（4.11）的定义。为了完成定理4.2（ii）的证明，我们需要证明给定经销商的优先级（λ，~u，~β，~Д），策略(MMk）形成HFT的纳什均衡。So fi xi∈ {1, . . .

，k}，并假设经销商使用定价规则（λ，~u，~β，~Д），并且每隔一个hft j，j 6=i，使用该策略Mjn=βj序号- ^1jMjn-1、将j 6=i的这些策略插入HFT i的目标函数（4.2）中，并使用uj=λИjb定义ujin（4.11），我们看到其他HFT的库存消失：E∞Xn=1（1-ρit） nn型(1 -λPj6=iβj）序号- λ林- u亚胺-1.林-γit（Lin-1+ Lin）o.（A.4）也就是说，在我们的k个竞争性HFT均衡中，HFT i的个体优化问题降低到了单个HFT的优化问题，该HFT面临定价规则（λ，ui，βi，Дi），并且正在交易一个风险集，其值增量的标准差改变了因子1-λPj6=iβj。可以方便地表示HFT i的策略LI相对于其预测惯性矩。因此，我们考虑了一个新的状态变量Zi，定义为viaLin=Min+Zin，（a.5），该变量跟踪HFT i的实际库存LIO与相应预测Mi的偏差。这显然等同于控制锂∈ A或Zi公司∈ A（注意A是avector空间惯性矩∈ 引理A.2），我们需要证明Zi公司≡ 0是最佳值。将（A.5）替换为（A.4），并再次使用主要涉及以下简化优化问题：J（Mi，S、 Zi；Zi）=E∞Xn=1（1-ρit） nf（最小值-1.锡、锌-1.Zin）→ 最大值Zi公司∈A.（A.6）式中f:R→ R由f（M，S、 Z；Z） =（ηS- λZ） （βiS- ^1iM+Z）-γit（βiS+（1- ^1i）M+Z+Z） η=1- λβΣ. （A.7）下一个引理提供了（A.6）的值函数，并表明最优反馈控制的形式如下Zi=- ζi对于某些ζi∈ (0, 1). 特别地，由于Mi=Li，我们haveZi=0，所以Zi公司≡ 0是（A.6）的最佳值。因此，Li=Mi是HFT i的最优策略。这证明了命题4.3，并与引理A.2–A.3一起完成了定理4.2（ii）的pro。引理A.4。修复i∈ {1, . . .

，k}，并将βi，β∑，λ，Дi，Ai，Bi，Ci，Dibe定义为定理4.2和命题4.3（对于t>0（非常小）。（i） 存在唯一的Ei>0和dζi>0，使得EI1-ρit=2λζi和ζi=Ei+γitEi+γit+2λ。（A.8）（ii）用于t>0非常小，非常细，GibyFi1- ρit=λИiζi+（1- ζi）（1-^1i）γitДi+（1- ^1i）（ζi（1-ρit） +ρit） ，（A.9）Gi1- ρit=-βi（1-ζi）（Fi+γit） +ζi（λβi- η). （A.10）然后，函数v（M，S、 Z）=-AiM+Bi(S）- CiM公司S+Di-EiZ公司- FiMZ+GiSZ是动态规划方程（DPE）v（M）的解，S、 Z）1-ρit=辅助Z∈R{f（M， S、 Z；Z） +E[v（m，σS√tX，z）]| m=βiS+（1-^1i）M，z=z+Z} ，（A.11），其中（M，S、 Z）∈ Rand X是标准正态随机变量。此外，在以下位置可达到右侧的最高点：Z=-ζiZ。（iii）定义bZi=(Zin）n≥1bybZi=ZiandbZin=-ζibZin-1、那么，bZi公司∈ A是（A.6）的优化器，最大值由v（Mi，S、 Zi）。证据为了简化符号，我们在证明中删除了所有的子字母和上标字母“i”。（i） ：在消除ζ后，系统简化为E中的二次方程，该方程具有唯一的正解。（ii）：首先，我们表明Z=-ζZ使我们的候选值函数v的dpe（A.11）右侧的上确界最大化。使用thatE[v（m，σS√tX，z）]| z=z+Z=-Am+BσSt+D-E（Z+Z）- F m（Z+Z） ，将（A.11）的右侧简化为Z、 解决其第一个订单条件Z收益率Z=η-β（F+γt+λ）E+γt+2λS-（F+γt） （1）- φ) - λνE+γt+2λM-E+γtE+γt+2λZ。注意，HFT i的最优策略是在Zi中均值恢复到零。

也就是说，如果经销商的初始库存预测不正确，HFT有动机逐渐将其实际库存与经销商的预测相一致。从这个意义上讲，对于预测失误的库存，均衡是稳定的。λ、Дi和ui的渐近展开式直接从（4.7）–（4.8）开始。因为Z系数等于-ζ、 必须证明其他两项消失了。我们在F+γ下面显示引理A.5t=λД/（1）-φ). 因此，M系数消失，而且η的S系数简化-β(λφ1-φ+ λ) = η -βλ1-^1=0乘以（4.10）和（A.7）。其次，我们证明v满足DPE。插入优化器后Z=-ζZ且简化后，DPE（A.11）的右侧变为-h（A+γt） （1）- ^1）iM+h2βη-β（A+γt） 我(S）-hβ（1- ^1）（A+γt） +ДηiMS+hBσSt+Di-h（E+γt） （1）- ζ） +2λζiZ-h（1-ζ)(1 - ^1）（F+γt） +ζλИiMZ+h- β(1 - ζ） （F+γt） +ζ（λβ-η） 我深圳。用命题4.3和（A.9）–（A.10）中A、B、C、D、F和G的定义代替，可以验证M的系数(S） ，MS、 M Z，和SZ全部匹配DPE左侧的（A.11）。因此，仍需考虑Z项，并表明-E2（1- ρt） =-h（E+γt） （1）-ζ） +2λζi。但使用（A.8）中的第二个等式消除ζ后，右侧简化为-E+γtE+γt+2λλ=-λζ = -E2（1- ρt） ，其中我们使用（A.8）中的两个等式来表示最后两个等式。我们得出结论，v满足了PE（A.11）。（iii）：让Z∈ A、 我们需要证明j（M，S、 Z；Z）≤ v（M，S、 Z）如果Z=bZ。当v满足DPE时，我们为每个n≥ 1该（1-ρt） nf（锰-1.锡、锌-1.锌）≤ (1 - ρt）n-1v（Mn-1.锡、锌-1) - (1 - ρt） 嫩【v（Mn，锡+1，锌）]。这里，根据（ii）的最后一个断言，这个不等式变成了锌=-ζZn-1、将两边的期望值E[·]相加n=1。

，N yieldsEhNXn=1（1-ρt） nf（锰-1.锡、锌-1.Zn）i≤ v（M，S、 Z）- (1 - ρt） NE[v（MN，锡+1，锌）]。（A.12）接下来，我们要发送N→ ∞ 在（A.12）中。为此，我们首先观察到，由于函数v和f的量子结构，存在一个常数c>0，因此对于所有（L，S、 Z，Z）∈ R、 | v（M，S、 Z）|≤ c（1+M+(S） +Z），| f（M，S、 Z；Z） |≤ c（M+(S） +Z+(Z） ）。此外MZ∈ A意味着P∞n=1（1- ρt） 氮（1+锰）-1+ (锡）+锌-1+ (Zn）是可集成的。这与v和f的估计值一起意味着（A.12）右侧的第二项收敛为零，即N→ ∞ （A.12）的左侧收敛于j（M），S、 Z；Z） 作为N→ ∞. 总之，我们得到了j（M，S、 Z；Z）≤ v（M，S、 Z）。此外，这种不平等变成了Z=bZ。下列恒等式用于引理A.4（ii）的证明。引理A.5。在引理A.4的设置中，我们有Fi+γit=λДi1-^1i.证明。通过一个简单但繁琐的计算，可以从方程（4.5）得出这一结论。我们删除了的前一个pro中的订阅。依次使用F in（A.9）、Дin（4.10）和λin（4.9）的定义，可以验证F+γt型-λφ1 - ^1=c(λφρ -γ)t（1- φ) + λφ= cβλ(1 -ρt）- β(1 - βΣλ)(γt+λ（2- ρt） ）+（1- βΣλ)= c(1 -ρt） ββ∑-(2 - ρt+β∑γt）σKσSββΣ+σKσS(1 -βγt）= 0，其中c是一个从一行到另一行变化的非零项。最后，以下引理表明，只要库存管理参数Д位于（0，2）中，候选均衡策略是可接受的。引理A.6。定义M=（Mn）n≥0byMn=β序号- ^1Mn-1对于某些M、β、Д∈ R、 那么M∈ A当且仅当∈ (0, 2).证据进程M具有显式表示mn=（1- ^1）纳米+βn-1Xj=0（1-^1）j序号-j、 由于值增量为i.i.d。

平均值为零，方差σSt、 因此e[Mn]=（1-^1）2nM+βσS田纳西州-1Xj=0（1-^1）2j=（1- ^1）2nM+βσSt（1-(1-^1）2n1-(1-φ), |1 - ^1| 6=1，n，| 1-φ| = 1.因此，E[Mn]在n中有界当且仅当∈ (0, 2).参考文献【1】A.R.Admati和P.P fleiderer。日内模式理论：交易量和价格变化。修订版。财务部。螺柱。，1(1):3–40, 1988.[2] K.Back、C.H.Cao和G.A.Willard。信息交易者之间的不完全竞争。J、 《金融》，55（5）：2117–21552000。[3] K.Back和H.Pedersen。长期信息和日内模式。J、 财务部。《市场》，1（3）：385–4021998年。[4] B.比亚斯、T.福柯和S.莫伊纳斯。均衡快速交易。J、 财务部。经济。，116(2):292–313, 2015.[5] R.Caldentey和E.Stacchetti。有随机期限的内幕交易。《计量经济学》，78（1）：245–28320010。[6] M.C hau和D.Vayanos。与垄断内部人士保持良好的沟通能力。牧师。财务部。螺柱。，21(5):2275–2306, 2008.[7] F.D.Foster和S.Viswanathan。代理人预测他人预测时的战略交易。J、 《金融》，51（4）：1437–14781996年。[8] T.福柯、J.霍姆伯特和I.Rosu，《新闻交易与速度》。J、 《金融》，71（1）：335–3822016。[9] N.G\'rleanu和L.H.Pedersen。具有可预测回报和交易成本的动态交易。J、 《金融》，68（6）：2309–23402013年。[10] D.Hirshleifer、A.Subrahmanyam和S.Titman。《证券分析和一些投资者在其他s.J.Finance之前收到信息时的交易模式》，49（5）：1665–16981994。[11] T.Ho和H.R.Stoll。交易和回报不确定性下的最优经销商定价。J、 财务部。经济。，9(1):47–73, 1981.[12] C.W.Holden和A.Subrahmanyam。Long生活在私人信息和不完全竞争中。J、 《金融》，47（1）：247–270，1992年。[13] C.W.Holden和A.Subrahmanyam。风险规避、不完全竞争和长期信息。《经济学快报》，44（1-2）：181-1901994年。[14] A.S.凯尔。

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