最后，通过引理2.8（a），对称正定矩阵值函数Hk\'只取实值的事实简化了H(-t） =H（t）。因此，H等于度量N（A）：=（M（A）+M的傅里叶变换(-A） ）A∈ B（R）。但是，根据定理2.10，由于M由H唯一确定，我们得到N=M，因此M必须在R上对称。引理2.14的证明。我们以矛盾的方式假定存在x∈ RK，t*> 0和ε>0，使得gx（t）：=x>G（t）x满足gx（t）*) = -ε. 我们将证明函数轴不是正定义的。设置tk=k·t*对于k，xk=1∈ N.自| tk- tl|≥ T*对于k6=land gxis非递增，我们有gx（| tk）- tl |）≤ -ε表示k6=l。因此，Pnk，l=1xkxlgx（| tk- tl |）≤ngx（0）-（n）-n） ε。如果n足够大，则后一个表达式为负值。因此，gxis不是正定义，因此G不能是正定义。现在我们开始准备定理2.15的证明，并给出一个凸的、非增的、非负的和对称的函数G:[0，∞) → RK×K.为此，让我们首先观察到，对于这样的G，极限G(∞) := 极限↑∞G（t）在非负定义矩阵集合中定义良好。的确，对于任何x∈ RK，gx（t）=x>G（t）x是一个凸的、非递增的、非负函数，因此收敛到我们用gx表示的极限(∞). 让eidenote成为它的向量。通过极化，我们得到了Gij（t）=（gei+ej（t）- 盖伊-ej（t）），这个表达式收敛到Gij(∞) =（gei+ej）(∞) - 盖伊-ej(∞)). 特别是gx(∞) = x> G(∞)对于任何x∈ RK。提议5.1。让G:[0，∞) → RK×Kbe凸、非递增、非负、对称和连续。在（0，∞) 一个可测函数∧：（0，∞) → S+（K）使得G（t）=G(∞) +Z（0，∞)（r）- t） +λ（r）u（dr）。

（17） 此外，G是非负有限矩阵值measureM（dγ）=G的傅里叶变换(∞) δ（dγ）+Φ（γ）dγ，其中Φ：R→ S+（K）是由Φ（x）=πZ（0）给出的连续函数，∞)1.- cos xyx∧（y）u（dy）。证据通过Gathereal等人[2012]中的引理4.1和4.2，我们发现每x∈ RkIsa氡测量uxon（0，∞) 这样gx（t）=gx(∞) +Z（0，∞)（r）- t） +ux（dr），t>0。（18） 此外，gx（t）是Rux（dt）=x>G上以下非负氡测量值的傅里叶变换(∞)xδ（dt）+~nx（t）dt，（19），其中δ是集中在0中的狄拉克量度，且Фx（t）=πZ（0，∞)1.- cos-tytux（dy）。（20） 我们考虑有限集Z:={ei±ej | i，j=1，…，K}和定义u=Pz∈ZuZ。然后每个uZ都带有Z∈ Z相对于μ是绝对连续的，并且具有Radon-Nikodym导数λZ=duZ/du。我们设置∧ij（r）：=λei+ej（r）- λei-ej（r）, r>0。（21）显然，∧ij（r）=∧ji（r），还有待证明∧是u-a.s.非负定义。让x∈ RK。因为gx（t）=PKi，j=1xixj（gei+ej（t）- 盖伊-ej（t）），我们必须从（18）：gx（t）- gx(∞) =Z（0，∞)（r）- t） +ux（dr）=Z（0，∞)（r）- t） +KXi，j=1xj∧ij（r）u（dr），t>0。写作（r）-t） +asR∞{t≤s<r}ds，按部分积分，并对tgives0求导数≤ ux（t）+∞)=Z（t+∞)KXi，j=1xixj∧ij（r）u（dr）对于任何t≥ 0和soPKi，j=1xj∧ij（r）≥ 0代表R6∈ Nx，其中Nx表示u（Nx）=0。Wede FINE N=Sx∈QKNx。然后u（N）=0，通过连续性，PKi，j=1xixj∧ij（r）≥ 0代表所有x∈ RK和R6∈ N.现在我们已经展示了ux（dr）=PKi，j=1xixj∧ij（r）u（dr），我们从（18）中得到（17）。下一步，我们从（20）中得到φx（t）=πZ（0，∞)1.- cos-tytKXi，j=1xixj∧ij（y）u（dy）。同样，我们通过极化Φ（t）ij=（~nei+ej（t）来定义- ~nei-ej（t））。然后我们得到Φ（t）=πZ（0，∞)1.- cos-tyt∧（y）u（dy）和Βx（t）=x>Φ（t）x。加上（19），这就给出了权利要求。定理2.15的证明。

从定理2.10和gxis对每个x的正定义，我们已经知道G是正定义。还要注意的是，如果存在一些非零x，G就不能是严格的正定义∈ 那是什么→ x> G（t）x是常数，因为选择z=x和z=-x给定spi，j=1z*iG（ti）- tj）对于所有t，t，zj=0∈ R.因此，如果ζ>G（t）ζ对于任何ζ都是非常数的，则仍需证明G严格定义为正∈ RK。我们首先认为，在证明这一论断时，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设G是连续的。为此，再次考虑函数gx（t）：=x>G（t）x代表x∈ RK。由于这些函数是凸的和非递增的，所以它们在（0，∞) 并允许右极限，gx（0+）：=limt↓0gx（t）≤ gx（0）。利用命题5.1前一段中的极化，我们得出结论，G在（0，∞), 允许一个右边的limitG（0+），并且G（0）：=G（0）- G（0+）是非负定义。另一方面，连续矩阵值函数Gcont（t）：=G（t+）也满足我们的假设，因此当连续矩阵值函数的断言成立时，它将是严格的正定义。但随后G（t）=Gcont（t）+{0}（t）G（0）也将是严格的正定义，因为G（0）是非负定义。现在，让M，Φ，λ和u如命题5.1所示。根据这个命题，对于ζ=（ζ，ζ，…，ζN）∈ CN CKT，t，tN∈ RNXk，`=1ζ*桶（tk）- t`）ζ`=NXk，`=1ζ*KZRei（tk）-t`）γM（dγ）ζ`=NXk=1ζk*G(∞)NXk=1ζk+ZNXk=1e-itkγζk*Φ(γ)NXk=1e-itkγζkdγ=v（0）*G(∞)v（0）+Zv（γ）*Φ（γ）v（γ）dγ，其中v（γ）：=PNk=1e-itkγζk.我们现在要展示RV（γ）*Φ（γ）v（γ）dγ严格为正，除非ζ=0。为此，我们首先注意到向量场v（·）的分量是γ的全纯函数∈ C.当ζ6=0时，这些组分中至少有一个是非常数的，因此仅在最多可数个γ中消失∈ R

因此v（γ）6=0表示所有但可数个γ∈ R.此外，我们接下来将讨论矩阵Φ（γ）对于除可数多个γ外的所有γ都是严格正定义的∈ 因此，v（γ）*对于Lebesgue Almosteryγ，Φ（γ）v（γ）>0∈ R、 接下来就是pζ*桶（tk）- t`）ζ`>0。现在让我们证明，矩阵Φ（γ）对于除可数γ外的所有γ都是严格正定义的∈ R.为此，我们首先注意到∈ CKgz（t）=z*G(∞)z+z（0，∞)（r）- t） +z*∧（r）zu（dr）。由于矩阵∧（r）对于所有r都是非负定义，因此对于z 6=0，Gz是非常数的事实意味着z（0，∞)Z*λ（r）zu（dr）>0表示z 6=0。（22）现在让D是所有y>0的集合，使得u（{y}）>0，并且让uD（E）：=u（D）∩ E） 和uc（E）：=u（Dc∩ E） 分别为u的离散部分和连续部分。显然，N：=十、∈ R对于某些y，cos xy=1∈ D=[y]∈D十、∈ Rcos xy=1最多是可数的。此外，集合{y>0 | cos xy=1}是所有x 6=0的uc-空集合。因此，该措施-cos xyxu（dy）相当于所有x的u/∈ N∪{0}. 因此（22）意味着*Φ（x）z=πz（0，∞)1.- cos-xyz*∧（r）zu（dy）>0对于所有z 6=0，只要x/∈ N∪{0}. 证据到此结束。命题2.17的证明。我们首先证明（11）。为此，给出O.for t存在的建设性证据∈ R、 我们写RK=Etλ（t）⊕ ··· ⊕ 对于不同特征值λ（t）对应的G（t）的特征空间的正交直和。G（t）的λ`（t）（t）。根据交换性质，G（t）的本征空间在映射G（s）下是稳定的，因为λi（t）G（s）v=G（t）G（s）v如果v∈ Eλi（t）。让我们≥ 定义D=P`（t）i=1（dim（Etλi（t））- 1)+≤ K- 1.如果有任何问题≥ 0和1≤ 我≤ `（t） 存在ui（s），使得G（s）v=任何v的ui（s）v∈ Etλi（t），我们通过考虑每个特征空间Etλi（t）的正交基（vi，…，vdii）和设置O=（v，…，vd，…，v`。

，vd``）表示“：=”（t）。如果D=0，情况必然如此。否则就没有了≥ 0这样，对于至少一个∈ {1，…，`（t）}，分解Etλi（t）=（Etλ（t）∩ Etλi（t））⊕ ··· ⊕ （Etλ`（t）（t）∩ Etλi（t））是这样的dim（Etλi（t））- 1>λ`（t）Xk=0dim（Etλk（t）∩ Etλi（t））- 1.+.我们写k=M1≤我≤`（t） ，1≤我≤`（t） Etλi（t）∩ Etλi（t）和D=P`（t）i=1P`（t）i=1（dim（Etλi（t）∩Etλi（t））-1） +<D.再次，如果有任何问题，我们就完蛋了≥ 0, 1 ≤ 我≤ `（t） 和1≤ 我≤ `（t） ，ui，i（s），使得G（s）v=ui，i（s）v表示任何v∈ Etλi（t）∩ Etλi（t）。当D=0时就是这种情况。否则，就有tsuch thatD=`（t）Xi=1`（t）Xi=1`（t）Xi=1dim（Etλi（t）∩ Etλi（t）∩ Etλi（t））- 1.+< 我们最多重复这个过程K次，得到（11）。我们现在证明性质（a）-（e）。设Vi为O的Ith列，则Vi为Gi（t）的本征向量，表示本征值Gi（t）。给定的x∈ Rki可以写成x=PKi=1αivi。ThenOx=PKi=1αiei，其中ei是单位向量。由（11）可知，gx（t）=PKi=1αigi（t）。从这里，断言（a）-（d）是显而易见的。第（e）部分来自提案3.3。命题2.18的证明。让O和g，gKbe与命题2.17相同。我们让v，Vkbetheo的列。根据Alfonsi等人[2012]的定理1，存在一维最优策略ηi=（ηi，…，ηi | T |）∈ 一维、非递增、非负和凸衰变核gi的Xdet（T，1）和ηih仅为非负分量。根据命题2.17的（e）部分，ξ（i）：=ηivi是满足条件（a）的Xdet（T，vi）中G的最佳策略。当X=PKi=1αivi时∈ 根据命题2.17（e），在给定的条件下，具有分量αiηivi的策略是Xdet（T，X）中的最优策略。定理2.23的证明。第（a）部分的证明可以按照Gathereal等人的第2.20节的证明进行。

[2012]注意到提案2.18（b）产生了最优策略ξ交易股份数量的上限∈ X（S，X）均匀分布在时间网格S上 T:X1≤N≤|S |，1≤J≤K |ξjn |≤KXi=1 |αi | KXj=1 | vji |。细节留给读者。至于第（b）部分，Gatherel等人[2012]中定理2.20的证明的论点尤其是，E[CTn（ξ（n））]减少到E[CT（X）*) ] 如果没有 T ··· 有限时间网格在T中是稠密的，而ξ（n）在X（Tn，X）中是最优策略。这证明了（b）。命题3.1的证明。让我们∈ RK×Kbe非负微分矩阵L的对称平方根，因此L=a=a>a。对于t，tN∈ R和ζ，ζN∈ CKletηk:=Aζk。它跟随着nxk，`=1ζ*桶（tk）- t`）ζ`=NXk，`=1ζ*kA>g（| tk- t`|）Aζ`=NXk，`=1η*千克（|塔克）- t`|）η`=KXi=1NXk，`=1ηikηi`g（|tk）- t`|），这是非负的，因为函数g是正定义的。现在，让我和g都严格地确定。那么矩阵A是非奇异的，所以我们有η=·η=ηN=0当且仅当ζ=·ζ=ζN=0。因此，在所有其他情况下，上面的右侧都是严格的正值。道具的证明。3.2. 让ξ∈ Xdet（T，X）是衰变核G的最优策略。根据命题2.7，存在拉格朗日乘子λ∈ RKsuch thatNX`=1eG（tk- t`）ξ`=λ对于k=1|T |。通过将方程的两边乘以L，我们得到nx`=1eGL（tk- 对于k=1，…，t`）ξ`=Lλ|T |，也就是命题2.7，意味着ξ对GL也是最优的。命题3.3的证明。因为L是可逆的，所以变换ξ7-→ ξL:=（L）-1ξ, . . . , L-1ξ| T |）是从Xdet（T，LX）到Xdet（T，X）的一对一映射。我们也有0≤Xk，`ξ>桶（tk）- t`）ξ`=Xk，`（ξLk）>eGL（tk）- t`）ξL`表示所有的t和ξ。在相应的策略类别上最小化这两个和会产生结果。为了研究K=2资产的例子，我们将经常使用以下简单引理。引理5.2。

一天，d≥ 0和b，c∈ R、 矩阵M:=（abcd）是非负的当且仅当（b+c）≤ 当b∈ C、 厄米矩阵N：=a b’b d非负定义当且仅当| b|≤ 广告证明。矩阵M是非负的当且仅当其对称化fM:=（M+M>）是正定义。因为对称矩阵是非负定义的当且仅当其所有引导主子矩阵都是非负的且因为detfM=ad-（b+c），结果如下。在埃尔米特一案中，未成年人也有同样的情况。引理5.3。让G:[0，∞) → RK×Kand假设t的G（t）=Rt∧（s）ds≥ 0.那么，当且仅当-对于a.e.s.∧（s）是非负的。如果另外∧是分段连续的，那么G是凸的当且仅当-∧是非递增的。证据函数G是非增的当且仅当对于任何ζ∈ RK，Rtζ>λ（s）ζds是非递增的。这使得ζ>λ（s）ζ≥ 0代表s6∈ Nζ，其中Nζ是勒贝格测度为零的集合。Wede FINE N=∪ζ∈QKNζ和连续性ζ>λ（s）ζ≥ 0表示任何s 6∈ N、 ζ∈ RK。会话的应用以及其他等价性是显而易见的。命题3.7的证明。（a） ：根据引理5.2，G是非负的当且仅当对于每个t≥ 0（aexp(-bt）+aexp(-（英国电信）≤ aexp(-bt）aexp(-英国电信）。也就是说，当且仅当（aexp(-2bt）+2aaexp(-（b+b）t）+aexp(-20吨）≤ aaexp(-（b+b）t）。如果G为非负，则取t=0表示（a+a）≤ aa，同时发送t→ ∞ showsmin{b，b}≥（b+b）。相反，如果这些不等式成立，G是非负的。（b） ：G是连续可区分的。根据引理5.3，G因此是非递增的当且仅当且仅当每t≥ 0-G（t）=abexp(-bt）abexp(-bt）abexp(-bt）abexp(-（英国电信）是非负的。与（a）类似，结果如下。（c） ：与（b）类似，引理5.3g是凸的当且仅当≥ 0其二阶导数eg（t）=abexp(-bt）abexp(-bt）abexp(-bt）abexp(-（英国电信）是非负的。

结果与（a）类似。（d） ：假设a=增强了G的连续性。我们得到了Eg（t）=RReiγtM（dγ），其中M（dγ）=2π∧（γ）dγ，厄米矩阵∧（γ）=abb+γab-iγ+ab+iγab-iγ+ab+iγabb+γ！。根据定理2.10，G是正定义的当且仅当矩阵∧（γ）对于几乎全部γ是非负的∈ R.根据引理5.2，这相当于a（b+b）（b+γ）（b+γ）≤ 4abb+γabb+γ。这个条件反过来等价于a（b+b）（b+γ）（b+γ）≤ 4abab（b+γ）（b+γ）。比较γ、γ和γ的系数，我们发现有a（b+b）bb是有效的≤ 4aabb（23）a（b+b）（b+b）≤ 4abab（b+b）（24）a（b+b）≤ 4abab。（25）注意（25）紧跟在（b）之后，因为G是非递增的，a=a。要显示（23），请注意√bb≤（b+b）≤ min{b，b}，所以bb≤ （min{b，b}）≤ bb。结果如下。现在，我们宣称b+b≤ b+b，加上（25）得到（24）。为了了解这一点，我们定义了m=min{b，b}，并在不损失一般性的情况下假设b≤ b、 自（b+b）≤ m、 我们有b∈ （0，m]和b+b≤ （2米）- b） +b≤ 因为多项式函数x∈ [0，m]7→ （2米）-x） +x达到x的最大值∈ {0，m}。（e） ：我们发现G（0）G（t）的左上角- G（t）G（0）是aa（e）-英国电信- E-soG（0）G（t）=G（t）G（0）意味着b=b。鉴于此，直接计算表明G（0）G（t）=G（t）G（0）相当于a（e）-英国电信- E-bt）+a（e-英国电信- E-bt）=0。如果a=a，这意味着b=b。如果a6=a，则通过等效方程式a- a=ae-（b）-b） t- ae-（b）-b） 我们看到b=b=b。相反，如果a=a和b=band b=b，或者b=b=b=b，直接计算表明，对于所有s，t≥ 0.命题3.9的证明。

显然，G是连续的，命题3.7给出了G是非负的、非递增的和凸的-Gis不增加。为了证明G不是正定义，使用Mathematica我们发现G（t）=RReiγtM（dγ），其中M（dγ）=C∧（γ）dγ+dδ（dγ），常数C>0，矩阵d∈ R2×2，0处的Diracmeasureδ和∧（γ）由2e给出(- cos（γ）γ+eγ-sin（γ））γ+γ5eγ-（（3+2e）γ+6i）(-1+e）cos（γ）+（i(-3+2e）γ-6（1+e）sin（γ）8γ（γ（γ+i）+6）5eγ-（3（γ+2i）+2e（γ-3i）cos（γ）+(-2ieγ+3iγ-6e-6） sin（γ）8γ（γ+2i）（γ-3i）2e(- cos（γ）γ+eγ-sin（γ））γ+γ！。如果G是正定义，那么∧（γ）的所有本征值在γ6=0时都是正的。但使用Mathematica我们发现∧（γ）的一个特征值是8（γ+4）（γ+9）（γ+γ）16eγ+ 1γ+ 4γ+ 9γ-16eγ+ 1γ+ 4γ+ 9cos（sin+γ）-γγ+ 1γ+ 4γ+ 99+4e+25eγ-10e（3+2e）γcos（γ）+12eγ- 6.cos（2γ）-60eγsin（γ）-2 cos（γ）+e+e+ 361+e,对于所有γ为负，0<|γ|<0.02。所以G不是正定义。命题3.10的证明。（a） ：根据引理5.2，G是非负的当且仅当对于每个t≥ 0（（a）- bt）+（a）- bt）+）≤ （a）- bt）+（a- 英国电信+。假设G是非负的。选择t=0收益率（a+a）≤ aa。选择t=min{ab，ab}得到前面等式的右边为零。所以左手边必须为零，这意味着max{ab，ab}≤ t、 相反，假设（a+a）≤ aa和max{ab，ab}≤ min{ab，ab}。不管怎样≥ 0，我们有max{（1）-蝙蝠+，（1）-蝙蝠）+}≤ min{（1）-蝙蝠+，（1）-蝙蝠）+}。因此，（（a）- bt）+（a）- bt）+=a1.-球棒++ A.1.-球棒+!≤（a+a）最大值(1.-球棒+,1.-球棒+)!≤ 啊(1.-球棒+,1.-球棒+)!≤ aa1.-球棒+1.-球棒+= （a）- bt）+（a- 英国电信+。所以G是非负的。（b） ：G与导数eg（t）绝对连续=-b{t<ab}-b{t<ab}-b{t<ab}-b{t<ab}！根据引理5.2和5.3，G是非递增的当且仅当几乎所有t>0（b{t<ab}+b{t<ab}）≤ b{t<ab}b{t<ab}。假设G是非递增的。然后选择足够小的t（b+b）≤ bb。

选择≥ min{ab，ab}得出前面等式的右边为零。所以左手边必须是零，这意味着max{ab，ab}≤ min{ab，ab}。相反，如果（b+b）≤ bb和max{ab，ab}≤ 很明显，G是非递增的。（c） ：通过计算傅里叶逆变换，我们很容易得到a，b+，b的结果- > 0，{t≥0}（a）- b+t）+{t<0}（a+b）-t） +=ZReiγt2πγb+（1）- E-aγb++b-(1 - eaγb-)dγ。由于假设a=a，eG是连续的，且g（t）=RReiγtM（dγ），M（dγ）=2πγ∧（γ）dγ，厄米矩阵∧（γ）=2b（1- cos（abγ））b（1- E-iaγb）+b（1）- 环境影响评估γb）b（1）- E-iaγb）+b（1）- eiaγb）2b（1）- cos（abγ）！。根据定理2.10，G为正定义当且仅当∧（γ）为每个γ的正定义∈ R.使用引理5.2，∧（γ）是正定义的当且仅当| b（1）- E-iaγb）+b（1）- 环境影响评估（b）|≤ b（1）- cos（abγ））b（1- cos（abγ）），即当且仅当b（1）- cos（abγ））+b（1- cos（abγ））+bsin（abγ）- bsin（abγ）≤ 4b（1）- cos（abγ））b（1- cos（abγ）），相当于toab=ab=ab=ab，b≤ bb。其中一个含义是显而易见的。为了看到另一个，我们将这个条件应用于γ=2πba，它给出了sabba∈ 安达巴∈ N、 thusabba=abba=1，因为max{ab，ab}≤ 假设的min{ab，ab}。同样，考虑γ=2πbagivesabba=abba=1。特别是，b=band。γ=0的条件给出了b的不等式。余数是显而易见的。参考资料a。阿方西和A.希德。限价订单模型中的最优交易执行和无价格操纵。暹罗J.金融数学。，1:490–522, 2010.A.阿方西、A.弗鲁思和A.希德。限制订单簿模型中的约束投资组合清算。班纳赫中心出版物，83:9-252008。A.阿方西、A.弗鲁思和A.希德。具有一般形状函数的极限订单书中的最优执行策略。定量。《金融》，2010年10:143-157。A.阿方西、A.希德和A.斯林科。

订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。暹罗·J·费南。数学3(1):511–533, 2012.阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5-392001。D.贝尔西马斯和A.洛。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1:1–501998。博希纳。Vorlesungen–uber Fouriersche积分。1932年，莱比锡，阿卡德米舍维拉格塞尔沙夫特。J.C.G.靴子。二次规划。算法，异常，应用。《数学与管理经济学研究》，第二卷。北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1964年。J-P.布乔德、Y.格芬、M.波特和M.怀亚特。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。《定量金融》，2004年4:176–190。E.Busseti和F.Lillo。在存在临时市场影响的情况下，对金融交易的最佳执行进行校准。统计力学杂志：理论与实验，2012（09）：P090102012。美国商品期货交易委员会。关于2010年5月6日市场事件的调查结果。报告，2010年。H.克莱姆。关于平稳随机过程的理论。《数学年鉴》，41（1）：215-2301940。W.F.Donoghue，Jr.单调矩阵函数和解析延拓。斯普林格·维拉格，纽约，1974年。第207乐团，数学大师维森查滕。P.福尔布。关于Bochner的一个定理。出版物《国际数学杂志》，36（1）：59-671969。A.弗鲁斯、T.朔尼伯恩和M.乌鲁索夫。具有时变流动性的订单中的最优交易执行和价格操纵。数学金融，24:651–6952014。J.Gatheral。没有动态套利和市场影响。《定量金融》，10:749–7592010。J.Gatheral和A.Schied。市场影响的动态模型和订单执行算法。J.-P.Fouque和J.Langsam编著的《系统性风险手册》，第579-602页。剑桥大学出版社，2013年。J

Gathereal、A.Schied和A.Slynko。瞬时线性价格影响和Fredholm积分方程。《数学金融》，22（3）：445–4742012年7月。I.Gihman和A.Skorohod。随机过程理论I.Springer Verlag，1974。P·E·吉尔、W·默里和M·H·赖特。实用优化。学术出版社[Harcourt BraceJovanovich出版社]，伦敦，1981年。H.格罗克纳。有限维凸锥上的正定义函数。男。艾默尔。数学Soc。，166（789）：xiv+128，2003年。十,郭。限制订单簿中的最佳位置。《运营研究教程》第10卷第191-200页编辑H.托帕洛格鲁。2013年，G.Huberman和W.Stanzl。价格操纵和准套利。《计量经济学》，74（4）：1247-1275，2004年7月。P.克拉茨和T.肖尼伯恩。黑暗池中的最优清算。2009年卑尔根全民教育会议文件。SSRN，2013年。统一资源定位地址http://ssrn.com/abstract=1344583.A.洛卡。乘法极限指令簿中的最优执行。预印本，2012年。E.莫罗、J.维森特、L.G.莫亚诺、A.格里格、J.D.法默、G.瓦格利卡、F.利洛和R.N.曼特尼亚。股票市场中隐藏订单的市场影响和交易业绩。物理评论E，80（6）：066-1022009。奈马克先生。交换群上的正有限算子函数。公牛阿卡德。Sci。乌尔斯·塞尔。数学[Izvestia Akad.Nauk SSSR]，7:237-244，1943年。A.奥比扎耶娃和J.王。最佳交易策略和供需动态。《金融市场杂志》，2013年16:1-32。G.P\'olya。关于特征函数的评论。《伯克利数理统计与概率对称学报》编辑J.内曼，第115-123页。加州大学出版社，1949年。S.Predoiu、G.Shaikhet和S.Shreve。一般单边限制订单簿中的最优执行。暹罗J.金融数学。，2:183–212, 2011.Z.萨斯瓦里。多变量特征和相关函数，德格鲁伊特数学研究第50卷。

Walter de Gruyter&Co.，柏林，2013年。A.Schied、T.Schoneborn和M.Tehranchi。CARA投资者的最优一揽子清算是确定性的。应用数学金融，17:471–4892010。T.Sch–oneborn。自适应篮子清算。预印本，2011年。W·H·杨。关于有界函数的傅里叶级数。伦敦数学学会会刊（2），12:41-701913。