多元瞬时价格影响与矩阵值正定

2022-5-5 03:02:06

多元瞬时价格影响和矩阵值正定义函数*弗洛里安·克罗克——亚历山大·希德**第一版：2013年10月16日第一版：2015年9月9日摘要我们考虑多个资产的线性瞬时价格影响模型，该模型考虑了交叉资产影响。我们的主要目标是挑出需要在衰变核上应用的属性，以便该模型允许行为良好的最优交易执行策略。我们首先证明，假设衰变核对应于一个矩阵值的正定义函数，这类策略的存在是有保证的。然而，一个例子说明，仅仅是积极的不确定性并不能保证最佳策略的良好表现。在一维情形的基础上，我们研究了对称K×K矩阵中一类非增、非负、凸的衰减核。我们证明，这些衰变核总是正定义的，当它们甚至是严格正定义时，它们都具有特征，这一结果可能具有独立的意义。如果需要衰变核也是交换的，则此类核的最优策略表现得尤为出色。我们展示了如何通过矩阵函数构造这样的decay核，并提供了一些例子。特别地，我们完全解决了矩阵指数衰减的情况。关键词：多元价格影响、矩阵值正定义函数、最优交易执行、最优投资组合清算、矩阵函数1简介价格影响指交易对资产报价的反馈影响，并负责产生执行成本。经验证明，价格影响主要是暂时的；例如，见Moro等人[2009]。

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2022-5-5 03:02:09

当交易速度非常低时，暂时性的影响可以减少到只考虑暂时性和永久性*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MathRisk ENPC-INRIA-UMLV，法国马恩拉山谷77455号布莱斯帕斯卡大道6-8号桥学院。alfonsi@cermics.enpc.fr——德国曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆。**曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆，德国。schied@uni-曼海姆。作者感谢匿名审稿人的评论，这些评论有助于大幅改进原稿的前一版本。A.A.感谢Risque基金会“主席Risque金融家”的支持。F.K.和A.S.感谢Martin Schlather和Marco Oesting的讨论，并衷心感谢德意志金融服务集团通过研究基金SCHI 500/3-1提供的财务支持。价格影响部分[Bertsimas和Lo，1998年，Almgren和Chriss，2001年]。然而，对于更高的交易速度，我们需要一个明确描述交易双方价格影响衰减的模型。Bouchaud等人[2004]和Obizhaeva and Wang[2013]首次提出了此类模型。这些模型后来被阿方西等人[20082010]、Gathereal[2010]、阿方西等人[2012]、Gathereal等人[2012]、Predoiu等人[2011]、Fruthet等人[2014]和Lokka[2012]扩展到各个方向，仅举几例。在Gathereal和Schied[2013]中可以找到更全面的参考文献列表。

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2022-5-5 03:02:13

我们还参考郭[2013]对上述介观模型背后的微观订单图片的介绍。上述所有瞬时价格影响模型只涉及一种风险资产。虽然暂时性和永久性价格影响的多资产模型[Sch¨oneborn，2011]或forgeneric价格影响函数[Schied等人，2010年，Kratz和Sch¨oneborn，2013年]被认为更昂贵，但我们不知道以前有任何方法来分析暂时性跨资产价格影响的具体影响。本文的目标是提出并分析K种不同风险资产之间的瞬时价格影响的简单模型。继Gatherel[2010]的一维ansatzof之后，时间t对ithasset价格的影响将由时间s<t时jthasset的一个单位产生，用数字Gij（t）来描述- s）对于某个函数Gij:[0，∞) → R.矩阵值函数G（t）=（Gij（t））i，j=1，。。。，K将被称为多资产价格影响模型的decay内核。在具体情况下建立这样一个模型时，人们遇到的第一个问题是如何选择衰变核。已经在一维情况下，K=1，decaykernel G需要满足一定的条件，以便由此产生的价格影响模型具有一些最小的规律性性质，如最优交易执行策略的存在，Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵的存在，或振荡策略的不发生。Alfonsi等人[2012]表明，当G为非负、非递增和凸时，这些性质是满足的。在这里，我们将继续相应的分析，并将其扩展到矩阵值衰减核G。我们的第一个观察结果是，G必须对应于某个矩阵值正定义函数。

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2022-5-5 03:02:16

这些函数以前曾被克拉姆[1940]、奈马克[1943]、法尔布[1969]等学者定性和分析过。然而，一个例子说明，仅仅是积极的不确定性并不能保证最佳策略是良好的。因此，我们引入了一类在对称K×K矩阵中具有值的非增、非负和凸decaykernel。我们证明了这些衰变核始终是正定义的，当它们甚至是严格正定义时，我们在定理2.15中对其进行了刻画。如果一个额外的条件是衰变核是交换的，那么这类核的最优策略不允许振荡。基于这一结果，我们将在第2.5节中讨论在时间网格和策略上同时优化的问题，并根据合适的连续时间限制说明解决方案。最后，我们展示了如何通过矩阵函数构造这种衰变核，并提供了一些例子。特别地，我们完全解决了矩阵指数衰减的情况。我们的主要一般结果在第2节中说明。第3节给出了衰变核及其最优策略的转换结果，以及几个显式示例。由于K>1的情况比一维情况要复杂得多，我们在第4节总结了从我们的结果中得出的主要结论。这些结论将集中在我们最初的问题上：应该从哪类函数中选择瞬态价格影响的衰变核？第5.2节“一般结果说明”给出了大多数证据。在本节中，我们首先介绍了Kdi不同风险资产的具有瞬时价格影响的线性市场影响模型。然后，我们讨论衰变核应该满足哪些属性，以便相应的市场影响模型具有某些期望的特征和属性。

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2022-5-5 03:02:19

其中两个性质是Huberman和Stanzl[2004]意义上的最优策略的存在和价格操纵策略的缺失，我们都将通过建立正定矩阵值函数理论来描述这两个性质。然而，要求积极的不确定性通常不足以保证最佳策略的良好表现。因此，我们将对正定矩阵值函数和相关的二次极小化问题进行更详细的分析，这一分析可能具有独立的意义。2.1准备工作我们在这里介绍一个针对在K种不同证券中交易的投资者的市场影响模型。当投资者不活跃时，这些资产的未受影响价格过程由右连续的K维鞅（St）t给出∈[0，T]定义在过滤概率空间上(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）。现在假设投资者可以在时间网格T={T，…，tN}的时间进行交易，其中∈ N和0=t<t<··<tN（第2.5节将考虑可能存在交易不连续时间的扩展设置）。ithasset在时间tkis的订单大小由Ftk可测量的随机变量ξik描述，其中正值表示买入，负值表示卖出。通过ξk=（ξk，…，ξKk）>我们表示在时间tk处绘制的所有顺序的列向量。我们主要关注的是P-a.s.清算agiven初始投资组合X的可接受策略∈ RK。当最初的投资组合太大而无法立即清算时，这种策略在实践中是必要的；例如，参见Almgren和Chriss[2001]。定义2.1。设T={T，…，tN}为时间网格。T的一个可容许策略是有界k维随机变量的序列ξ=（ξ，…，ξN），使得每个ξkis ftk可测量；如果每一个ξIk不依赖于ω，则称ξ为确定性的∈ Ohm.

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2022-5-5 03:02:22

给定初始投资组合X的可接受清算策略集∈ RK和T定义为asX（T，X）：=nξ=（ξ，…，ξn）ξ是容许的，X+NXk=1ξk=0 P-a.s.o.（1）X（T，X）中的确定性清算策略集用Xdet（T，X）表示。我们现在转向定义可接受策略产生的价格影响。正如导言中更详细地讨论的那样，近年来提出了几种模型，其中考虑了价格影响的暂时性。然而，所有这些模型只考虑一种风险资产。在本文中，我们的目标是将模型从Alfonsi et al.[2012]扩展到风险资产大于1的情况，Alfonsi et al.[2012]本身是Gathereal[2010]模型的线性和离散版本。衰变内核将是一个连续函数[0，∞) -→ RK×kboundness在这里是为了简单而假设的，并且很容易放松；例如，假设ξ和都是平方可积的就足够了。由于一项资产的股份总数始终是有限的，因此从经济角度来看，可以在不丧失一般性的情况下假设有界性。取空间RK×Kof中所有实K×K矩阵的值。当ξ是一段时间的容许策略时，网格T={T，…，tN}和T≥ tk∈ T、 Gij（T）的值- tk）描述了通过交易一个单位的jthasset attime tk而产生的对ithasset价格的时间影响。因此，我们定义了受影响的价格过程asSξt=St+Xtk<tG（t- tk）ξk，t≥ 这里是G（t）- K×K矩阵G（t）的应用- tk）到K维向量ξK。让我们写Sξ，它是价格向量Sξt=（Sξ，1t，…，Sξ，Kt）>。kthorderξk的执行使ITH资产的价格从SξITkT线性地转移到Sξitk+。因此，ithasset的股票指令ξik以平均价格（Sξ，itk++Sξ，itk）执行。

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2022-5-5 03:02:26

因此，执行ITH资产的ξIk股份的过程如下所示：-ξik（Sξ，itk++Sξ，itk）。由此得出，策略ξ产生的总收入为byR（ξ）=-NXk=1ξ>k（Sξtk++Sξtk）。（3）在续集中，可以方便地将收入转换为成本，成本定义为X>S- R（ξ），收益低于初始投资组合的账面价值X>S。备注2.2。在我们的模型的一维版本中，通常会添加买卖价差，以便提供对ξkas的解释。ξkas是放置在区块形状的限价指令簿中的市场指令；例如，参见Alfonsi and Schied[2010]中的第2.6节。然而，在实践中，执行算法将使用各种不同的订单类型，人们应该将价格影响和成本视为这些订单类型的总和。例如，虽然在下达市场买入指令时必须支付一半的差价，但在执行限价卖出指令时可以获得相同的差价。其他订单类型在执行时可能会产生折扣，或允许以中间价格执行。将买卖价差计算出来可能比将其添加到订单的每次执行中更现实。在本文中，我们将研究一个策略的预期成本最小化问题，在许多情况下，这是一个确定最优交易执行策略的合适优化问题。然而，我们的主要兴趣是提供衰变核G的条件，在衰变核G下，模型是充分正则的。

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2022-5-5 03:02:29

正如Gatherel和Schied[2013]中详细讨论的那样，市场影响模型的规律性应该通过最小化预期成本的执行策略的存在和行为来衡量，因为模型的规律性应该独立于使用该模型的代理可能具有的风险规避来考虑。为了分析可容许策略ξ=（ξ，…，ξN）的预期成本，识别特定实现ξ（ω）=（ξ（ω），ξN（ω），具有张量积空间RN的元素 RK。我们还将为时间网格的基数写| T |。引理2.3。战略的预期成本ξ∈ 时间网格T的X（T，X）由[X>S]给出- R（ξ）=E[CT（ξ）]，（4）其中成本函数CT:R |T| RK→ R由ct（ξ）=NXk，`=1ξ>桶（tk）给出- t`）ξ`（5）用于函数eg:R→ RK×Kde定义字节（t）：=G（t）对于t>0，（G（0）>+G（0））对于t=0，G(-t） >对于t<0。（6）现在我们将讨论在类X（T，X）中最小化预期成本的可容许策略的可能存在性和结构。同时优化T和策略ξ的问题∈ X（T，X）将在第2.5节中讨论。引理2.4。在所有策略η中，X（T，X）中存在一个最小化预期成本E[CT（η）]的策略∈ X（T，X）当且仅当存在使代价函数CT（ξ）在所有ξ上最小化的确定性策略∈ Xdet（T，X）。在这种情况下，任何极小值η*∈ X（T，X）可以看作是Ohm 进入Xdet（T，X），它取成本函数CT（·）的确定性极小值集中的P-a.s.值。条件[CT（η）]≥ 0代表所有T，X∈ Rk和η∈ X（T，X）（7）可以被视为基础市场影响模型的一个规律性条件。它排除了通过利用自身价格影响获得积极预期收益的可能性；例如，见阿方西等人。

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2022-5-5 03:02:32

[2012]或Gathereal and Schied[2013]进行详细讨论。特别是，它排除了Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵策略的存在。因此，在续集中，我们将重点讨论满足（7）的衰变核。事实证明，（7）可以通过要求（6）中的函数G是以下意义上的正有限矩阵值函数来等价刻画。定义2.5。函数H:R→ CK×Kis称为所有N的正定义矩阵值函数if∈ N、 t，tN∈ R、 z，锌∈ CK，NXi，j=1z*iH（ti）- tj）zj≥ 0，（8）其中*-上标表示复向量或矩阵的通常共轭转置。如果（8）中的等式仅适用于z=···=zN=0，则H称为严格正定义。当K=1时，我们说H是（严格地）正定义函数。请注意，在整条实线R上定义了一个正定矩阵值函数H，并允许在复矩阵中取值。另一方面，衰变核G仅在[0]上定义，∞) 取实矩阵RK×K中的值。考虑到CK×K值正定义函数的扩展框架，将便于我们的分析。下一个命题解释了正定义函数和具有非负预期成本的衰变核之间的关系。提议2.6。对于衰变核G，下列条件是等价的。（a） E[CT（η）]≥ 0表示所有时间网格T，初始投资组合X∈ RK和η∈ X（T，X）。（b） CT（ξ）≥ 0表示所有时间网格T和ξ∈ R|T| RK。（c）对于所有时间网格T，CT:R | T| RK→ R是凸的。（d）（6）中定义的eG是一个正定义的矩阵值函数。此外，如果满足这些等价条件，则等式CT（ξ）=0适用于所有时间网格T，仅当且仅当ifeG严格为正定义时，ξ=0适用于ξ=0。

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2022-5-5 03:02:35

在这种情况下，CT:R | T|RK→ Ris对于所有T都是严格凸的。EG的正不确定性不仅排除了价格操纵策略的存在。下面的命题表明，它还保证了在类X（T，X）中存在最小化预期成本的策略。这种策略在续集中将被称为最佳策略。一旦确定了最优策略的存在性，就可以通过二次规划的标准技术来计算它们（参见Boot[1964]或Gill等人[1981]）。提议2.7。假设EG为正定义。然后在Xdet（X，T）（因此在X（X，T））中存在一个针对所有X的最优策略∈ Rk和每个时间网格T。此外，Astragyξ∈ 当且仅当存在λ时，Xdet（X，T）是最优的∈ RKsuch thatNX`=1eG（tk- t`）ξ`=λ对于k=1|T |。（9）如果EG是严格的正定义，那么（9）中的最优策略和拉格朗日乘数λ是唯一的。命题2.6和命题2.7表明，多元价格影响的衰减核G的构造应确保（6）中相应的函数G是一个正定义的矩阵值函数。以下基本引理的（a）部分暗示，这可以通过定义G（t）来实现：=H（t）表示t≥ H:R时为0→ RK×Kis是一个给定的连续正定数矩阵值函数，因为我们将自动得到haveeG=H引理2.8。让H:R→ CK×Kbe是一个正定义的矩阵值函数。然后：（a）矩阵H（0）是非负定义，我们有H(-t） =H（t）*每一个t∈ R

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2022-5-5 03:02:38

特别是H(-t） =H（t）>如果H取RK×K的值（b）也取t7→ H（t）*是一个正定义的矩阵值函数；它是严格正定义，只有H是严格正定义。由于衰变核与非负预期成本和连续RK×K值正定义函数之间建立了一对一的对应关系，因此我们将使用以下术语。定义2.9。衰变核G:[0，∞) → 如果（6）中对应的函数如为（严格）正定义的矩阵值函数，则RK×Kis称为（严格）正定义。2.2正有限衰变核的积分表示我们现在转向矩阵值函数正有限性的表征。在一维情况下，K=1，Bochner定理[Bochner，1932]将所有连续的正有限函数描述为非负有限Borel测度的傅里叶变换。Bochner定理在矩阵或算子值函数的情况下有几个扩展。其中一些结果将在下面的定理2.10和推论2.11中结合起来。对于相应的陈述，我们首先介绍一些术语。通常，复矩阵N∈ Cn×n称为非负定义，如果z*新西兰≥ 0代表everyz∈ 中国。即使是z*Nz>0对于每一个非零z，N称为严格正定义。非负有限复矩阵N∈ Cn×N必然是厄米特的，即N=N*. 特别是一个实矩阵N∈ Rn×nis非负定义当且仅当它属于非负定义对称实n×n矩阵的集合+（n）。用S（n）表示Rn×n中的全对称矩阵集。任意实矩阵M∈ Rn×nw将被称为非负ifx>Mx≥ 每x为0∈ 对于所有非零x，如果x>Mx>0，则为严格正∈ 注册护士。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:02:42

注意，一个实矩阵M∈ Rn×nis非负当且仅当其对称部分（M+M>）为非负定义。设B（R）是R.A映射M:B（R）上的Borelσ-代数→ 如果每个分量都是具有有限总变差和矩阵M（a）的复测度，则CK×k将被称为非负定义的矩阵值测度∈ CK×Kis每A的非负定义∈ B（R）。以下定理结合了Cram\'er[1940]、Falb[1969]和Naimark[1943]的结果；我们参考Gl¨ockner[2003]对这一结果的扩展和全面的历史记录。定理2.10。对于连续函数H:R→ CK×k以下为等效值。（a） H是一个正定义的矩阵值函数。（b）每一个z∈ CK，复函数t7→ Z*H（t）z为正定义。（c） H是非负有限矩阵值测度M的傅里叶变换，即H（t）=t的ZReiγtM（dγ）∈ R.（10）此外，任何具有（10）的矩阵值测度M都是由H.证明唯一确定的。Falb[1969]证明了（b）和（c）的等价性。（a）和（c）的等价性来源于Gihman和Skorohod[1974]在书中的两个陈述，即第四章§1中的定理1和第四章§2中的定理5。Mis标准的唯一性。当考虑在对称实K×K矩阵的空间S（K）中取值的正有限函数时，上述定理简化如下。根据引理2.8（a），此类函数H对应于正有限衰变核G，其对称性为G（t）>=G（t）≥ 在这种情况下，我们有H（t）=eG（t）=G（|t |）∈ R.推论2.11。

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2022-5-5 03:02:45

对于连续函数H:R→ CK×k下列语句是等效的。（a） H（t）∈ S（K）表示所有t，H是一个正定义的矩阵值函数。（b） H（t）∈ S（K）表示所有t，以及实函数t7→ x> H（t）x是everyx的正定义∈ RK。（c） H允许一个表示（10），其具有非负的有限度量M，该度量取RK×K中的值（因此在S+（K））并在R上对称，即M（a）=M(-A）尽管如此∈ B（R）。备注2.12（不连续的正定义函数和临时价格影响）。设Hbe为非零非负有限矩阵。那么H（t）：=H{0}（t）是一个非连续的正微分矩阵值函数，因此不允许表示（10）。然而，对于满足一定有界条件的不连续矩阵值正定义函数，也可以给出类似的积分表示。为此，需要在加法（半）群R或R+的较大字符空间上，用非负的有限矩阵值度量替换度量M；参见Gl–ockner[2003，Theorem15.7]。在价格影响建模的背景下，对于一些非负矩阵GCA，与形式为G（t）：=G{0}（t）的不连续衰减核相关的成本（5）可以被视为临时价格影响的结果，该影响仅影响触发它的顺序，并在之后立即消失；一维模型中的临时价格影响见Bertsimas和Lo[1998]以及Almgren和Chriss[2001]。更一般地说，考虑到不连续性G（0）- G（0+）∈ S+（K），则必须通过假设R（ξ）=-PNk=1ξ>k（Sξtk+G（0）ξk）（注意这是G（0）而不是G（0+）。最后，让我们提到，0处的不连续性是实践中唯一相关的：其他不连续性会产生奇怪且可预测的价格影响。

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2022-5-5 03:02:49

因此，暂时的价格影响可以单独处理，并且假设G continuous没有限制性。2.3凸、非递增和非负衰变核如Alfonsi等人[2012]所示和讨论的，并非每个衰变核G:[0，∞) → R具有正定义EEG是单一资产模型中价格影响衰减的合理模型。具体而言，研究表明，对于K=1，要求衰变核为非负、非递增和凸的是有意义的。由于在我们的多元设置中也可以观察到与阿方西等人[2012]类似的效果（见图1），我们需要引入并分析G需要满足的进一步条件。为了激发以下定义，考虑两个交易ξ和ξ在时间t<t时放置。数量ξ>G（t- t） ξ描述了订单ξ引起的部分清算成本。当ξ=ξ时，直觉上很清楚，这些成本在t中应该是非负且非递增的- t、定义2.13。一个矩阵值函数G:[0，∞) → RK×Kis称为（a）非递增，如果每x∈ RKT函数→ x> G（t）x是非递增的；（b）非负，如果G（t）是每个t的非负矩阵∈ [0, ∞);（c）（严格地）凸的，如果对于所有x∈ 函数t7→ x> G（t）x是（严格）凸的。在这里以及下面的引理2.14和定理2.15中，我们不假设G是连续的。请注意，上述定义中引入的属性仅取决于G的对称性（G>+G）。我们对定义2.13中引入的两个属性得出以下简单结果。引理2.14。假设G:[0，∞) → RK×Kis是一种非递增的正定义的癸烯酮。那么G是非负的。如果G是非递增、非负且凸的，那么函数gx（t）：=x>G（t）x foreach x∈ RK。

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2022-5-5 03:02:52

因此，t 7→ gx（|t |）是一个正定义函数，这是由于一个通常被归为P\'olya[1949]的标准，尽管这个标准也是Young[1913]的一个简单结果。从推论2.11可知，只要asG对称且连续，矩阵值函数EG就是正定义的。但是，一个更强大的结果是可能的：只要gxis对于每个非零x都是非递增、非负、凸和非恒定的，G甚至是严格正定义的∈ RK。这是我们随后定理的内容，它扩展了K=1的相应结果（关于两个不同的证明，参见Sasv\'ari[2013]中的定理3.9.11和3.1.6或Alfonsi等人[2012]中的命题2），并具有独立的意义。定理2.15。如果G:[0，∞) → RK×Kis是对称的、非负的、非递增的和凸的，当G是正定义时。此外，G甚至是严格正定义的当且仅当t7→ x> G（t）xis对于每个非零x是非常数的∈ RK。我们将在命题3.9中看到，在定理2.15中，我们通常不能免除G对称以得出正不确定性的要求。2.4交换衰变核我们现在将介绍衰变核的另一个特性。定义2.16。衰变核G:[0，∞) → 如果G（t）G（s）=G（s）G（t）对所有s，t都成立，则RK×Kis称为交换≥ 如果对称衰变核是可交换的，它可以同时对角化，其性质可以通过一维衰变核的结果集合来表征，如下面的命题所述。提议2.17。对称衰变核G是可交换的当且仅当存在非正交矩阵O和函数G，gK:[0，∞) → R使得g（t）=O>diag（g（t），gK（t））O。

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2022-5-5 03:02:55

（11）此外，以下断言也成立。（a） G（严格地）是正定义的当且仅当R值函数t7→ gi（t）对于所有i（b）G是非负的当且仅当gi（t）≥ 所有i和t为0。（c）G为非递增当且仅当GI为所有i.-1000-500为非递增图1：X=（10，0），N=23的最佳策略ξ，严格正定义的decaykernel G（t）=exp(-（tB）对于B=1 ρρ 1. ξ的第一个分量以绿色绘制，第二个分量以黑色绘制。请注意，振荡幅度超过初始资产位置的110倍以上。G是严格的正定义，由Remark2得出。20.（d）G是凸的当且仅当gi对所有元素都是凸的，即（e）如果G是正定义，则策略ξ=（ξ，…，ξ| T |）∈ 当且仅当Xdet（T，X）的形式为ξj=O>（ηj，…，ηKj）>，其中ηi=（ηi，…，ηi | T |）时，Xdet（T，X）是最优的∈ R|T| R是一维衰变核gi的Xdet（T，（OX）i）中的最优策略（这里（OX）idenotes向量OX的ithcomponent）。对于K=1，我们知道一个非负非增凸函数是正定义的，当它是非常数时，甚至是严格的正定义。因此，命题2.17在交换衰变核的特殊情况下暗示了定理2.15。在K=1的情况下，Alfonsi等人[2012]观察到存在非递增、非负和严格正的有限衰减核G，对于这些核，最优策略在买卖订单之间表现出强烈的振荡（“交易触发的价格操纵”）；参见图1了解我们多元设置中的示例。Alfonsi等人[2012]中的定理1给出了排除K=1的这种振荡策略的条件，并保证最优策略是只买或只卖：G应该是非负的、非递增的和凸的。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:02:58

然而，当K>1时，情况会发生变化，人们不能期望排除同一资产中买卖订单的共存。原因是，清算第一项资产的头寸可能会通过交叉资产价格影响导致第二项资产的价格漂移。利用第二资产的这种漂移进行往返可能有助于降低清算资产组头寸所产生的成本；参见图2。因此，人们不能希望完全排除所有非对角线的德卡克内尔人往返旅行。然而，我们的下一个结果给出了关于G的条件，在此条件下，最优策略可以表示为K策略与只买/只卖成分的线性组合，这将导致最优策略交易的股票总数的统一界限，防止出现如图1所示的大振荡。这个结果也将允许我们在下面第2.5节的非离散时间网格上构造极小值。提案2.18。设G是对称的、非负的、非递增的、凸的和可交换的衰变核。然后存在一个正交基v，vKof RKand，对于每个时间网格T，最优策略ξ（i）∈ Xdet（T，vi），i=1，K、使下列条件成立。（a）每个ξ（i）的组成部分包括只买或只卖策略。更准确地说，fori，j∈ {1，…，K}和n，m∈ {1，…，T}我们有ξ（i），jmξ（i），jn≥ 0.（b）对于X=PKi=1αivi∈ 给定，ξ：=PKi=1αiξ（i）是Xdet（T，X）中的一个最优策略。注意，对于K=1，每个衰变核都是对称的和可交换的。因此，对于K=1，递减命题简化为Alfonsi等人[2012]中的定理1：一维、非恒定、非负、非递增和凸衰减核的最佳策略是只买或只卖。备注2.19。

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2022-5-5 03:03:01

如图1所示，交易策略的波动可以通过为每笔交易增加足够高的交易成本来防止。如果只允许市场指令，则此类交易成本自然产生；例如，参见Busseti和Lillo[2012]中的第7.1节和第7.2节。然而，如备注2.2所述，实际交易策略通常会产生比仅使用市场指令的策略低得多的交易成本，并且，如果交易成本足够低，波动可能只会被抑制，而不会完全消除。事实上，高频交易者的振荡交易策略在2010年5月6日的“闪电崩盘”中起了重要作用；见CFTC-SEC[2010年，第3页]。命题2.17和命题2.18不仅给出了某些衰变核的优良性质的表征。它们还提供了一种构造衰变核G的方法，这种衰变核G具有所有期望的性质。我们只需要从正交矩阵O和非递增、凸和非恒定函数g开始，gK:[0，∞) → [0, ∞) 然后定义一个衰变核asG（t）=O>diag（g（t），gK（t））O.这种构造的一个特例是所谓的矩阵函数，我们将在后继中解释；有关此上下文中的几个示例，请参见第3.2节。让g:[0，∞) → R是一个函数，B是∈ S+（K）。然后存在一个正交矩阵Osuch，其中B=O>diag（ρ，…，ρK）O，其中ρ，ρK≥ 0是B的特征值。矩阵g（B）∈ 然后将S（K）定义为asg（B）：=O>diag（g（ρ），g（ρK））O；（12）例如，参见Donoghue[1974]。因此，我们可以定义衰变核G:[0，∞) → S（K）byG（t）=g（tB）=O>diag（g（tρ），g（tρK））O，t≥ 0.（13）我们在下面的注释中总结了G的性质。在第3.2节中，我们将分析作为矩阵指数出现的衰减核，并明确计算相应的优化策略。备注2.20。

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2022-5-5 03:03:05

（13）中定义的衰变核G是通勤。此外，它是gi（t）=g（tρi）的形式（11），因此命题2.17表征了g的性质。特别是，它是正定义的当且仅当t7→ g（|t |）是一个正定义函数。此外，当且仅当g具有相应的性质时，它将是非负的、非递增的或凸的。此外，最优策略可以通过命题2.17（e）进行计算。备注2.21。设G为非负对称交换衰变核，f:[0，∞) →[0, ∞) 是一个凸的非减量函数。我们用F（t）：=F（G（t））定义核F，如（12）所示。我们很容易从命题2.17得到，如果G也是非增凸的，F是非增凸的。因此，在这种情况下，这是积极的定义。2.5非离散时间网格的策略 T、然后X（T，X） X（T，X）和henceminξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]≥ minξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]。因此很明显，在ξ上联合最小化E[CT（ξ）]的问题∈ X（T，X）和时间网格T在有限时间网格类中通常没有解。因此，考虑将我们的框架扩展到非离散时间网格是很自然的。Gathereal等人[2012]针对一维情况K=1开发了相应的框架。提案2.18（b）将使我们能够在目前的框架内获得类似的扩展。定义2.22。设T是[0，T]的任意紧子集。T是一个左连续、自适应、有界的K维随机过程（Xt）的容许策略，使得T 7→ i=1，…，的有限变化，对于所有t>t，K和satis Xt=0。我们进一步假设向量值随机测度dxts在T上受支持，且其分量具有p-a.s.有界全变差。

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2022-5-5 03:03:09

给定初始条件X的策略类将由X（T，X）表示，X（T，X）中确定性策略的子集将由xdet（T，X）表示。如果T={T，…，tN}是有限时间网格，ξ∈ 在定义2.1中，X（T，X）是一个可接受的策略，那么XξT:=X-Xtk∈T、 tk<Tξk（14）在定义2.22的意义上是一种可接受的策略。因此，定义2.22与定义2.1一致。现在让T是[0，T]的任意紧子集，G是衰变核。为了X∈ X（T，X）我们定义了相关成本asCT（X）：=ZTZTeG（t- s） dXs>dXt。当T是有限时间网格时，ξ∈ X（T，X），Xξ由（14）定义，那么我们显然有CT（Xξ）=CT（ξ），因此成本函数的定义也与我们早期对离散时间网格的定义一致。我们得到以下结果。定理2.23。设G是对称的、非负的、非递增的、凸的、非常数的、可交换的衰变核，T是[0，T]的紧子集。那么下面的断言就成立了。（a）为了X∈ 但是，只有一种策略X*∈ X（T，X）使所有策略X的预期成本E[CT（X）]最小化∈ X（T，X）。此外，X*是确定性的，可以被描述为Xdet（T，X）中的唯一策略，它为某些λ解以下广义的Redholm积分方程∈ RK，ZTeG（t- s） dXs=所有t的λ∈ T.（15）（b）让T表示T中所有有限时间网格的类别∈Tminξ∈X（T，X）E[CT（ξ）]=E[CT（X*) ].3例3。1.通过变换构造衰变核在本节中，我们现在来看一些衰变核的变换。第一个结果涉及简单形式G（t）=G（t）L的衰变核，其中G:[0，∞) → R是函数，L是函数∈ RK×Kis是一个固定矩阵。提议3.1。为了我∈ S+（K）和正定义函数g:R→ R、衰变核g（t）：=g（t）L为正定义。

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2022-5-5 03:03:12

此外，如果g是一个严格正定义函数，L是一个严格正定义矩阵，那么g也是严格正的。前面命题中的简单衰变核提供了一类例子，下一个结果也适用于这些例子。特别是，通过在随后的命题3.2中选择decay核作为G（t）：=G（t）Id表示G:R→ R阳性定义和Id∈ RK×K通过身份矩阵，我们可以看到，形式为g（t）L的衰变核的最优策略∈ S+（K）不依赖于I6=j的交叉资产影响g（t）。因此，只有当g的成分以不同的速率衰减时，交叉资产影响才会变得相关。提议3.2。设G为衰变核，定义GL（t）：=LG（t）∈ RK×K.当G和眩光都为正时，那么Xdet（T，X）中G的每个最优策略也是GL的最优策略。结合命题3.1和命题3.2得出的主要信息如下：如果所有资产对之间的价格影响以相同的速度衰减，则可以忽略交叉资产影响，只需单独考虑每项资产。接下来，我们展示了同余变换也能保持正的不确定性。这是提案2.17（e）的结尾。提议3.3。如果G是（严格）正定义的衰变核，L是可逆的lek×K矩阵，那么GL:=L>G（t）L是（严格）正定义的。此外，如果ξ是Xdet（T，LX）中G的最优策略，那么ξL:=（L-1ξ, . . . , L-1ξ| T |）是GLinXdet（T，X）的最佳策略。例3.4（永久性冲击）。设G（t）=G，其中任意时间网格t，X的任意固定矩阵为RK×K∈ RK和ξ∈ 然后我们得到CT（ξ）=X>GX。因此，只要G为非负，G即为正定义。

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2022-5-5 03:03:15

通过使用Gsuch X>GX≥ 对于某些非零x和Y>GY<0，对于另一些人，我们得到一个例子，说明不可能定义命题2.6.3.2指数衰减核的第（a）部分。在本节中，我们将讨论价格影响指数衰减的衰减核。Obizhaeva和Wang[2013]引入了ForK=1指数衰减，并对其进行了进一步研究，例如，Alfonsi等人[2008]和Predoiu等人[2011]对其进行了进一步研究。下一个例子将Obizhaeva和Wang[2013]以及Alfonsi等人[2008]的结果扩展到一个多变量环境，其中decaykernel是根据矩阵指数定义的。本节的剩余结果在更一般但二维的背景下陈述。这些例子的主要信息是，一方面，通过矩阵函数很容易构造具有所有期望属性的衰变核。但是，另一方面，通常不容易建立定义为坐标的衰变核的正不确定性等属性。示例3.5（矩阵指数）。对于正交矩阵O，ρ，ρK≥ 0，且b=O>diag（ρ，…，ρK）O∈ S+（K），衰变核G（t）=exp(-tB）的形式为（13），g（t）=e-t、因此G是非负的、非递增的和凸的。特别是，Gis正定义。当矩阵B是严格正定义时，我们将从现在开始假设，衰变核G甚至是严格正定义。我们现在计算初始投资组合X的最优策略ξ=（ξ，…，ξN）∈ Rk和时间网格T={T，…，tN}。为此，我们将使用提案2.17的（e）部分。设ηi:=（ηi，…，ηiN）是初始位置yi和一维衰变核gi（t）=e的最优策略-tρi.勒坦：=e-（tn）-tn-1） ρi和λi：=-yi1+ai+PNn=31-ain1+ain。Alfonsi等人[2008]中的定理3.1意味着最优策略ηi=（ηi。

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kedemingshi

2022-5-5 03:03:18

，ηiN）inXget（T，yi）由ηi=λi1+ai，ηiN给出=1+ain-ain+11+ain+1λifor n=2，N- ηiN=λi1+aiN。通过命题2.17的（e）部分，我们现在可以计算最优策略ξ。考虑衰变核D（t）的最优策略η：=diag（exp(-ρt），经验(-ρKt）和初始位置OX。然后η=（η，…，ηK）>对于yi:=（OX）i.定义Qn:=D（tn-tn-1） andeλ=-2（Id+Q）-1+NXn=3（Id- Qn）（Id+Qn）-1.-1OX，η=（η，…，ηN）可以方便地表示为：η=（1+Q）-1eλ，ηn=（Id+Qn）-1eλ- Qn+1（Id+Qn+1）-1eλ，对于n=2，N- 1，ηN=（Id+QN）-1eλ。根据命题2.17的（e）部分，G和Xis的最优策略ξ现在由ξ=OTη给出。要从这些表达式中删除O，请定义An=e-（tn）-tn-1） B=O>QnO和λ：=-Id+A-1+NXi=3身份证件- 艾岛Id+Ai-1.-1X。通过观察（Id+An）-1=O>（Id+Qn）-1O和λ=O>eλ，我们发现最优策略ξ的组成部分为ξ=Id+A-1λ，ξn=Id+An-1λ - 安+1Id+An+1-n=2时为1λ，N- 1，ξN=Id+AN-1λ.最后，让我们考虑一下等距时间网格ti=i的情况-1N-1.在这种情况下，所有矩阵a都等于一个矩阵a。我们的λ公式变成λ=-（Id+A）奈德- （N）-2） A-1X。因此，最优策略的公式简化为ξ=-奈德- （N）-2） A-1X，ξi=（Id- A） ξ对于i=2，N- 1，ξN=ξ。通过像Gatheralet al.[2012，示例2.12]那样的论证，不难将这一结果扩展到第2.5节的设置。细节留给读者。当g:R→ R是一个解析函数，对于非对称矩阵，g（B）的定义也可以通过Letting g（B）实现：=∞Xk=0akBk，其中g（x）=P∞k=0akxk是g的幂级数展开。在下面的例子中，我们分析衰变核g（t）的性质：=exp(-tB）对于特殊的非对称但严格正的2×2-矩阵B=（b10b），B>0。

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2022-5-5 03:03:22

我们将看到，根据b的特殊选择，G可能是正定义的，也可能不是正定义的。因此，对于定义为对称矩阵的矩阵函数的衰变核，我们得到的一般结果不适用于非对称情况。例3.6（非对称矩阵指数衰减）。设B=（b10b），其中B>0，并考虑以下衰变核g（t）=e-肺结核=经验(-肺结核）-经验(-tb）0经验(-肺结核）.应用引理5.2和5.3，我们很容易看到G不是对称的，不是非负的，不是递增的，也不是凸的。但G是正定义的当且仅当b≥ 1/2. 为了看到这一点，我们通过计算傅里叶逆变换来观察，即eg（t）=rreizm（z）dz，m（z）=πbb+z-12（b+iz）-12（b）-iz）bb+z-1.5-1.0-0.50.00.5图2:G的最优策略ξ，如推论3.8中的κ=1，κ=1.8，ρ=0.3，X=(-50,1）>，T=5，N=11。左：ξ，ξ、右：ξ，ξ.根据定理2.10和引理5.2，G是正定义的当且仅当对于所有z∈ R（b+z）≤bb+z,这反过来相当于1/2≤ B对于下面的结果，我们不再要求衰变核以矩阵函数的特殊形式给出。提案3.7。LetG（t）=aexp(-bt）aexp(-bt）aexp(-bt）aexp(-（英国电信）a，a，a，a，b，b，b>0。（a） G是非负的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（a+a）≤ aa。（b） G是非增的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（ab+ab）≤阿巴布。（c） G是凸的当且仅当min{b，b}≥（b+b）和（ab+ab）≤ 阿巴布。（d）设G为非递增且a=a，则G为正定义。（e） G是可交换的当且仅当b=b=b=b，或b=band b=banda=a。对于以下更简单且对称的衰变核，结果紧随前面的命题。请参见图2，以了解相应的最佳策略。推论3.8。

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2022-5-5 03:03:26

设ρ，κ，eκ>0和g（t）=经验(-κt）ρexp(-eκt）ρexp(-eκt）exp(-κt）.（a） G是非负的当且仅当κeκ≤ 1和ρ≤ 1.（b）G是非增的当且仅当ρ≤κeκ≤ 1.在这种情况下，它也是非负的。（c） G是凸的当且仅当ρ≤κeκ≤ 1.（d）如果G是非递增的，则G是正定义。（e） G是通勤。下面的命题表明，我们不能放弃定理2.15中的对称性假设。提案3.9。LetG（t）=经验(-T∧ 1）经验(-2（t）∧ 1））经验(-3（t）∧ 1））经验(-T∧ 1).G是连续的、凸的、非递增的、非负但非正的定义。3.3线性衰减在本节中，我们分析K=2资产价格影响的线性衰减。提案3.10。LetG（t）=（a）- bt）+（a- bt）+（a- bt）+（a- （英国电信）+a，a，a，a，b，b，b>0。（a） G是非负的当且仅当max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和（a+a）≤ aa。（b） G是非增的当且仅当max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和（b+b）≤ bb。（c）假设max{ab，ab}≤ min{ab，ab}和a=a。那么，G是正定义的，且仅当G是对称的（即a=a和b=b），ab=ab=aband b时≤ bb。在这种情况下，我们设置λ=aband haveG（t）=（λ- （t）+bbbb,G也是非递增的，凸的，可交换的。4结论我们在本文中的目标是分析不同风险资产具有瞬时价格影响的线性市场影响模型。我们特别感兴趣的是阿德凯内核应该满足哪些属性，以便相应的市场影响模型具有某些期望的特征和属性。

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2022-5-5 03:03:29

让我们总结一下从我们的结果中可以得出的瞬时价格影响模型实际应用的一些主要信息。（a）为了排除Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵，并确保最优策略的存在，衰变核应该是定义2.9意义上的正定义（命题2.6和命题2.7以及引理2.8）。（b）仅要求积极的不确定性通常不足以保证最佳策略表现良好（图1）。特别是，Decay核的非参数估计可能会有问题。（c）假设衰变核是对称的、非负的、非递增的、凸的和交换的，保证了最优策略具有许多期望的性质，并且易于计算（命题2.17和命题2.18）。t 7的附加假设→ x> G（t）xis对所有x都是非常数的∈ 保证最优策略是唯一的（定理2.15和命题2.7）。在这种情况下，人们还可以在时间网格和策略上进行联合优化，并传递到一个连续的时间限制。（d）矩阵函数（13）为构造满足（c）性质的衰变核提供了一种方便的方法。矩阵指数衰减的最优策略可以用封闭形式计算（例3.5）。（e）如果所有资产对之间的价格影响以统一的速度衰减，则可以忽略交叉资产影响，并且可以单独考虑每项资产（命题3.1和命题3.2）。5引理2.3的证明。

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2022-5-5 03:03:32

利用G的连续性和S的右连续性，我们得到-E[R（ξ）]=EhNXk=1ξ>k（Sξtk++Sξtk）i=ENXk=1ξ>kStk+ ENXk=1ξ>kG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>kG（tk- t`）ξ`.从沙的鞅性质出发，给出了Pnk=1ξk=-我们得到了NXk=1ξ>kStk= EhNXk=1ξ>kSTi=-十> 此外，NXk=1ξ>kG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>kG（tk- t`）ξ`=NXk=1ξ>keG（0）ξk+NXk=1k-1X`=1ξ>桶（tk- t`）ξ`+NXk=1k-1X`=1ξ>`eG（t`- tk）ξk=CT（ξ）。这证明了（4）。引理2.4的证明。假设一个极小值η∈ E[CT（η）]的X（T，X）存在，但矛盾的是，不存在CT（·）的确定性极小值。那么就不可能有ξ∈ Xdet（T，X）使得CT（ξ）≤ E[CT（η）]。自η（ω）∈ Xdet（T，X）对于P-a.e.ω，我们必须有CT（η（ω））>e[CT（η）]对于P-a.e.ω∈ Ohm. 但这是一个矛盾。其余断言的证据也是显而易见的，留给读者。命题2.6的证明。条件（a）和（b）的等价性来自引理2.4。为了证明（b）和（c）的等价性，有必要观察CT（ξ）是R | T上的二次型| 众所周知，二次型是凸的当且仅当它是非负的。接下来我们证明（b）和（d）的等价性。显然，（d）立即暗示（b）使用CT（·）的表示（5）并将其与（8）与zi进行比较∈ RK。为了证明反义词的含义，我们，tN∈ 显然，我们可以在不失去普遍性的情况下假设，T={T，…，tN}是一个时间网格，在这个意义上，0=T<T<·tN.。N元组ζ：=（ζ，…，ζN）与ζi∈ Ck可以看作张量积CN中的一个元素 CK。因此，让我们定义线性映射L:CN CK→ CN CKbyLζ=NXj=1eG（t- tj）ζj，NXj=1eG（t- tj）ζj，NXj=1eG（tN- tj）ζj. （16）我们声称我是赫米特人。

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2022-5-5 03:03:37

的确，对于η，ζ∈ CN CK，CN的内积 η和Lζ之间的系数由hη给出，Lζi=NXi，j=1η*ieG（ti）- tj）ζj=NXi，j=1ζ*杰格（ti）- （tj）*ηi=NXi，j=1ζ*杰格（tj）- ti）ηi=hζ，Lηi，其中我们使用了以下事实：- （tj）*=eG（ti）- tj）>=eG（tj）- ti）。因此，L到RN的限制RK是对称的，由于条件（b），满足0≤ CT（ξ）=hξ，Lξ∈ 注册护士 RK。根据L的对称性，由于L只有实项，所以它遵循Hζ，Lζi≥ 0表示所有ζ∈ CN CK，与（8）相同，因此产生（d）。剩下的评估是显而易见的。命题2.7的证明。我们首先证明了当NEG为正定义时存在最优策略。我们将使用命题2.6证明中介绍的符号。为了X∈ Rk和T，N=|T |固定，CT（ξ）对ξ的最小化∈ Xdet（T，X）等价于对称正半无限二次型RN的最小化RK3ξ7→ hξ，Lξi在等式约束Aξ=X下，其中L如（16）和A:RN所示RK→ Rk是线性映射Aξ：=PNk=1ξk。对于固定η∈ Xdet（T，X），每隔ξ∈ 对于某些ξ，Xdet（T，X）可以写成ξ=η+ξ∈ Xdet（T，0）。然后，由于L的对称性，hξ，Lξi=hη，Lηi+2hLη，ξi+hξ，Lξi，我们的问题现在等价于右边表达式的无约束极小化∈ Xdet（T，0）。显然，Lξ=0也意味着2hLη，ξi=2hη，Lξi=0。因此，Boot[1964]中第2.4.2节给出了极小值的存在。严格正定义的最优策略的唯一性直接来自ξ7的严格凸性→ CT（ξ）（见命题2.6）。如（9）所示，通过拉格朗日乘子描述最优策略是标准的。引理2.8的证明。（a） H（0）为非负定义，取N=1（8）。

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