空间C（R+，R）由局部一致度量δlu（f，g）拓扑化：=∞XN=1-无机氮1.监督∈[0，N]| f（t）- g（t）|, f、 g∈ C（R+，R），参见，例如，Jacod和Shiryaev[25，第六章，第1节]。让f∈ C（R+，R）和fn∈ C（R+，R），n∈ N、 使得δlu（f，fn）→ 0作为n→ ∞. 放置F（t）：=Rtf（s）ds，t∈ R+，和Fn（t）：=Rtfn（s）ds，t∈ R+，n∈ 然后苏普∈[0，N]| F（t）- Fn（t）| 6新南威尔士大学∈[0，N]| f（t）- fn（t）|代表所有人∈ N、 因此，每K∈ N、 我们有δlu（F，Fn）=∞XN=K+1-无机氮1.监督∈[0，N]| F（t）- Fn（t）|+KXN=1-无机氮1.监督∈[0，N]| F（t）-Fn（t）|∞XN=K+1-N+KXN=1-无机氮1.监督∈[0，N]| f（t）- fn（t）|6 2-K+KXN=1N2-无机氮1.监督∈[f，1240]- fn（t）|6 2-K+δlu（f，fn）KXN=1N=2-K+K（K+1）δlu（f，fn）→ 2.-卡斯n→ ∞.因此，林超恩→∞δlu（F，Fn）6 2-KforAll K∈ N、 这样我们就得到了陈述。我们提出另一个简短的证明。应用Eth-ier和K-urtz[20]中的问题3.11.26，以及Jacod和S-hiryaev[25]中的命题VI.1.17，映射C（R+，R） F7→ （Rtf（u）du）t∈R+∈ C（R+，R）是连续的，因此是可测量的。下一个结果可以被认为是Ben Alaya and Kebaier[11]f或临界Heston模型中定理6第2部分的推广。6.2定理。如果∈σ, ∞, b=0，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈ R++×R，那么√对数T（蝙蝠）- （a）√对数T（bαT）- α） TbbTT（bβT）- β)D-→A.-σ1/2S1/2Za-YRYsdsα-XRYsds作为T→ ∞,（6.1）其中（Yt，Xt）t∈R+是SDE的唯一强解（dYt=a dt+σ√YtdWt，dXt=αdt+σ√Yt dWt+p1- dBt,T∈ R+，（6.2），初始值（Y，X）=（0，0），其中（Wt，Bt）t∈R+是一个二维标准Wiener过程，ZI是一个二维标准正态分布随机向量，独立于Y、 RYtdt，X,S在（2.4）中定义，S1/2表示其唯一确定的对称正定义平方根。证据

根据引理3.3，存在一个非唯一的极大似然估计baT，bbT，bαT，bβT（a，b，α，β）对于所有T∈ R++，其形式如（3.4）所示。到了（3.6），我们已经完成了（baT）- （a）=日志TRTdsYs1/2σRTdWs√YRTdsYs1/2-√log Tlog TRTdsYsTσRT√YsdWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs，plog T（bαT- α) =日志TRTdsYs1/2σRTdfWs√YRTdsYs1/2-√log Tlog TRTdsYsTσRT√YsdfWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs，TbbT=TRTYsdsRTdsYs1/2σRTdWs√YRTdsYs1/2-TσRT√YsdWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs和T（bβT- β） =TRTYsdsRTdsYs1/2σRTdfWs√YRTdsYs1/2-TσRT√YsdfWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs，前提是RTYSDSRTYSDS>T持有a.s.已知LOG TZTdsYsP-→A.-σ-1是T→ ∞,（6.3）参见，例如Overbeck[35，引理5]或Ben Alaya和Kebaier[10，命题2]。因此，RTdsYsa。s-→ 0和ztdsysa。s-→ ∞ 作为T→ ∞,（6.4）我们使用它的地方RtdsYsT∈R+是单调递增的，概率收敛意味着几乎肯定收敛的子序列的存在。注意tσRT√YsdWsRTYsds=T（YT- y）- 阿特提斯∈ R++，（6.5）TσRT√YsdfWsRTYsds=σσTσRT√YsdWsRTYsds+σp1- TRTYsds1/2RT√YsdBsRTYsds1/2，T∈ R++。（6.6）因此，（6.1）将遵循σRTdWs√YRTdsYs1/2，σRTdfWs√YRTdsYs1/2，RT√YsdBsRTYsds1/2，TYT，TZTYsds！D-→S1/2Z，Z，Y，ZYsds（6.7）作为T→ ∞, 其中Zi是一个标准正态分布随机变量，独立于Z、 Y，RYsds, 从（6.3）、（6.4）、（6.5）、（6.6）、Slutsky引理、连续映射定理和P赖斯∈ R++= 其中，Barczy等人的定理（1）中给出了。

[5 ]).的确√对数T（蝙蝠）-（a）√对数T（bαT）- α） TbbTT（bβT）- β)D-→1.-Ryds·0A.-σ-1/2（S1/2Z）-A.-σ-1Y-阿里斯A.-σ-1/2（S1/2Z）-A.-σ-1X-αRYsdsRYsds·0·（S1/2Z）-Y-aRYsdsRYsds·0·（S1/2Z）-十、-α-RYsds作为T→ ∞, 其中S1/2Z=：（S1/2Z），（S1/2Z）, sin ceZ，Y，ZYsds，σσY- aRYsds+σp1- 赖斯1/2Z！D=Z、 Y，ZYsds，X- α-RYsds.（6.8）声明（6.8）相当于玩具ZYsds，σσY-aRYsds+σp1- 赖斯1/2Z！D=Y、 ZYsds，X- α-RYsds,（6.9）因为Zis独立于（Z，Y，RYsds）和（Y，RYsds，X）。（6.9）中分布的相等性源自其特征函数的相等性。也就是说，对于所有人（q，q，r）∈ 兰德·T∈ R++，Eexp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds+σp1- 赖斯1/2Z！）Y、 ZYsds！=exp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds）Eexp（irσp1- 赖斯1/2Z）Y、 ZYsds！=exp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds）exp(-rσ（1）- )RYsds），thusEexp（iqY+iqZYsds+irσσY- aRYsds+σp1- 赖斯1/2Z！）=Eexp（iqY+iqZYsds+irσ）σY-阿里斯-rσ（1）- )（赖斯）！。此外，通过（6.2），X- α=σZpYs( dWs+p1- dBs）=σσ（Y）- a） +σp1- ZpYsdBs，因此适用于所有（q，q，r）∈ 兰德·T∈ R++，我们有eExp（iqY+iqZYsds+irX- α-Ryds）是的，是的∈ [0, 1]!= Eexp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds+σp1- RYsdsZpYsdBs！）是的，是的∈ [0, 1]!= exp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds）×Eexp（irσp1）- RYsdsZpYsdBs）是的，是的∈ [0, 1]!= exp（iqY+iqZYsds+irσ）σY- aRYsds）exp(-rσ（1）- )RYsds），其中最后一个等式从（Yt）t的独立性开始∈R+和（Bt）t∈R+的条件分布√YSDBS（Ys）s∈[0,1]是正常的。ThusEexp（iqY+iqZYsds+irX- αRyds）！=Eexp（iqY+iqZYsds+irσ）σY-阿里斯-rσ（1）- )Ryds）！，因此我们得到（6.9）。现在我们来看看p罗夫（6.7）。

使用这个工具√Ys=σZTdWs√Ys+σp1- ZTdBs√Y，T∈ R++，（6.10）和“σρσp1”- ρ#“σσρσp1- ρ#= S、 （6.11）通过连续映射定理，证明（6.7），验证RTDWS是有效的√YRTdsYs1/2，RTdBs√YRTdsYs1/2，RT√YsdBsRTYsds1/2，TYT，TZTYsds！D-→Z、 Z，Y，ZYsds（6.12）作为T→ ∞. 首先我们要证明TYT，TZTYsdsD-→Y、 ZYsds作为T→ ∞.（6.13）根据Barczy等人[5]中备注2.7的第（ii）部分，我们泰特T∈R+D=（Yt）t∈R+代表所有T∈ R++。事实上，根据命题2.1，（Yt）t∈R+是一个正则过程，所谓的容许参数集对应于（Yt）t∈R+的形式是（0，σ，a，0，0，0），然后是Remark2的第（ii）部分。7在Barczy等人[5]中可以应用。因此，通过引理6.1，我们得到Y、 ZYsdsD=TYT，TZTYsds尽管如此，T∈ R++。然后，通过Slutsky引理，为了证明（6.13），必须证明收敛性（YT）- YT）P-→ 0，TZT（Ys）- Ys）dsP-→ 0，作为T→ ∞.（6.14）在Barczy等人[5]的（3.21）中，我们有（| Yt- Yt |）6 y，t∈ R+，（6.15）亨西T（YT）- YT）泰→ 0，ETZT（Y）- Ys）dsTZTE（| Ys）- Ys |）ds 6Ty→ 0，作为T→ ∞ 暗示（6.14）。因此，我们得出结论（6.13）。我们将用连续性定理证明（6.12）。通过编程（4.10），我们可以编写σZTdWs√Ys=对数YT- 圆木+σ- A.中兴通讯∈ R++，（6.16）henceRTdWs√关于σ-代数σ（Ys，s）是可测的∈ [0，T]）。为所有人（u，u，u，v，v）∈ 兰德·T∈ R++，我们有EEXP（iuRTdWs√YRTdsYs1/2+iuRTdBs√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivTYT+ivTZTYsds是的，是的∈ [0，T]！=exp（iuRTdWs）√YRTdsYs1/2+ivTYT+ivTZTYsds）×Eexp（iZTuRTdtYt1/2√Y+uRTYtdt1/2个！星展银行（dBs）是的，是的∈ [0，T]！=exp（iuRTdWs）√YRTdsYs1/2+ivTYT+ivTZTYsds）×exp(-ZTurtyTys+UrtyTys+2uuRTdtYtRTYtdt1/2!ds）=exp（iuRTdWs）√YRTdsYs1/2+ivTYT+ivTZTYsds）实验(-（u+u）-图尤RTdtYtRTYtdt1/2），其中我们使用了Y和B的独立性。

因此，（6.12）左侧随机向量的关节特征函数采用公式Eexp（iuRTdWs）√YRTdsYs1/2+iuRTdBs√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivTYT+ivTZTYsds）！=E-（u+u）/2exp（ξT（u，v，v）-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)!,式中ξT（u，v，v）：=iuRTdWs√YRTdsYs1/2+ivTYT+ivTZTYsds。Ben Alaya和Kebaier[11，定理6的证明]证明了（6.17）logyt- 圆木+σ- A.RTdsYs√日志T，YTT，TZTYsds！D-→σqa-σZ，Y，ZYsds作为T→ ∞, 其中Zi是一个一维标准正态分布随机变量，独立于Y、 RYtdt. 使用（6.16）我们有RTDWS√YRTdsYs1/2=√对数Tσ对数YT- 圆木+σ-A.RTdsYs日志TRTdsYs1/2，T∈ 通过（6.3）和（6.17），我们得出（6.18）RTdWs√YRTdsYs1/2，YTT，TZTYsds！D-→Z、 Y，ZYsds作为T→ ∞,因此，我们导出了（6.12）左侧三个坐标的联合收敛性。因此（6.19）E（exp{ξT（u，v，v）}）→ E经验iuZ+常春藤+常春藤作为T→ ∞为所有人（u、v、v）∈ R.使用|exp{ξT（u，v，v）}|=1，我们得到Eexp（ξT（u，v，v）-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)!- E（exp{ξT（u，v，v）}）6e | exp{ξT（u，v，v）}|经验(-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)- 1.!= E经验(-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)- 1.!→ 0作为T→ ∞,根据矩收敛定理（参见Stroock[39，引理2.2.1]）。实际上，通过（6.4），（6.18），连续映射定理和Slutsky引理，经验(-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)- 1.=经验(-uuRTdtYt·TRTYtdt1/2)- 1.P-→ 0作为T→ ∞,那家人呢经验(-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)- 1., T∈ R++是一致可积的，因为根据Cauchy–Schwarz不等式，经验(-图尤RTdtYtRTYtdt1/2)-1.exp（T|uu|RTdtYtRTYtdt1/2)+ 16（exp{uu}+1）表示所有T∈ R++。

使用（6.19），我们得出了√YRTdsYs1/2+iuRTdBs√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivTYT+ivTZTYsds）！→ E-（u+u）/2E实验（iuZ+常春藤+常春藤）作为T→ ∞.请注意，由于Zis独立于Y、 赖斯, 我们有-（u+u）/2E经验iuZ+常春藤+常春藤= E（eiuZ）E（eiuZ）E（eiuZ）E经验常春藤+常春藤,其中（Z，Z）是二维标准正态分布随机向量，与Z、 Y，RYsds, 我们通过Z:=（Z，Z）得到（6.12）。6.3备注。（i） 作为定理6.2的一个结果，我们得到了（a，b）的极大似然估计对于循环过程（Yt）t的渐近行为的描述∈在危急情况下，只要∈σ, ∞由Ben Alaya和Kebaier[11，定理6，第2部分]证明。我们注意到Ben Alaya和Kebaier[11，定理6，第1部分]描述了（a，b）的极大似然估计（MLE）在临界情况下的渐近行为∈R+和a=σ。（ii）Theorem 6.2不包括a=σ的情况，我们放弃考虑它。（iii）Ben Alaya和Kebaier对定理6第2部分的证明依赖于四重态矩生成拉普拉斯变换的显式形式日志Yt，Yt，ZtYsds，ZtdsYs, T∈ R+。使用这种显式形式，他们导出了收敛性（6.17），这是定理6.2证明的基石。下一个定理可以被认为是定理6.2的一个对应物，通过合并ran-domscaling。6.4定理。如果∈σ, ∞, b=0，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈ R++×R，那么RTdsYs1/2（蝙蝠）- （a）RTdsYs1/2（bαT- α)RTYsds1/2bbTRTYsds1/2（bβT-β)D-→S1/2Za-Y赖斯1/2α-十、赖斯1/2作为T→ ∞,（6.20）其中（Yt，Xt）t∈R+是SDE（6.2）的唯一强解，初始值（Y，X）=（0，0），Zis是一个独立于Y、 RYtdt，X,S的定义见（2.4）。证据

根据引理3.3，存在一个非唯一的极大似然估计baT，bbT，bαT，bβT（a，b，α，β）对于所有T∈ R++，其形式如（3.4）所示。到（3.6），我们已经中兴通讯1/2（蝙蝠）- a） =σRTdWs√YRTdsYs1/2-RTdsYs1/2TσRT√YsdWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs，ZTYsds1/2bbT=TRTYsds1/2RTdsYs1/2σRTdWs√YRTdsYs1/2-σRT√YsdWs（RTYsds）1/21-TRTYsdsRTdsYs，中兴通讯1/2（bαT- α） =σRTdfWs√YRTdsYs1/2-RTdsYs1/2TσRT√YsdfWsRTYsds1-TRTYsdsRTdsYs，以及ZTYsds1/2（bβT- β) =TRTYsds1/2RTdsYs1/2σRTdfWs√YRTdsYs1/2-σRT√YsdfWs（RTYsds）1/21-TRTYsdsRTdsYs，前提是RTYSDSRTYSDS>T持有a.s.我们有σRT√YsdWsRTYsds1/2=YT- Y- 在RTYsds1/2=T（YT）- y）- A.TRTYsds1/2，T∈ R++，（6.21）σRT√YsdfWsRTYsds1/2=σσσRT√YsdWsRTYsds1/2+σp1- RT√YsdBsRTYsds1/2，T∈ R++，（6.22），因此（6.20）遵循（6.3），（6.4），（6.5），（6.6），（6.7），（6.8），（6.10），Slutsky引理，连续映射定理和P（Ryds）∈ R++=1（已在Barczy等人[5]的定理3.1的p屋顶中显示）。的确RTdsYs1/2（蝙蝠）- （a）RTdsYs1/2（bαT- α)RTYsds1/2bbTRTYsds1/2（bβT- β)D-→1.-Ryds·0（S1/2Z）-0·Y-aRYsds（S1/2Z）-0·X-αRYsds（RYsds）1/2·0·（S1/2Z）-Y-a（RYsds）1/2（RYsds）1/2·0·（S1/2Z）-十、-α（RYsds）1/2作为T→ ∞, 其中S1/2Z=（S1/2Z），（S1/2Z）, sinceZ，Y，ZYsds，σσY- A.赖斯1/2+σp1- ZD=Z，Y，ZYsds，X- α赖斯1/2!,其显示方式与（6.8）相同。6.5备注。对于具有a的临界（即b=0）CIR模型∈σ, ∞, 使用随机标度，Overbeck[35，定理3，第（ii）部分]已经分别描述了BatandBBT的渐近行为，但他没有考虑它们的j点渐近行为。7极大似然估计的渐近行为：超临界情形我们考虑超临界Heston模型，即当∈ R--.7.1定理。

如果∈hσ，∞, B∈ R--, α, β ∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈ R++×R，那么球棒- abαT- αe-bT/2（bbT）-b） e-bT/2（bβT- β)D-→电动汽车σeV+σp1- R-1/beYudu-1/2Z-嗯-1/bb-1/2S1/2Z（7.1）作为T→ ∞, 在哪里∈R+是由SDEdeYt=adt+σqeYtdWt，t给出的CIR过程∈ R+，初始值EY=y，其中（Wt）t∈R+是一个标准的Wie ne R过程，eV:=logeY-1/b- 对数年-1/beYudu+σ- a、 Zi是一维标准正态分布随机变量，Zi是二维标准正态分布随机向量-1/b，R-1/beYudu）、Zand Zare independent和S在（2.4）中定义。通过随机缩放，我们得到球棒- abαT- αRTYsds1/2（bbT）- b）RTYsds1/2（bβT- β)D-→电动汽车σeV+σp1- R-1/beYudu-1/2ZS1/2Z（7.2）作为T→ ∞.证据根据引理3.3，存在一个非唯一的极大似然估计baT，bbT，bαT，bβT（a，b，α，β）对于所有T∈ R++，其形式如（3.4）所示。根据（3.6）和σZTdfWs√Ys=σZTdWs√Ys+σp1- ZTdBs√是的，我们找到蝙蝠了- a=σRTdWs√YsRTdsYs-T ebT/2RTdsYs（ebTRTYsds）1/2σRT√YsdWs（RTYsds）1/21-tebtertrysdsrtdsys，bαT- α =σRTdWs√YsRTdsYs+σ√1.-RTdsYs1/2RTdBs√YRTdsYs1/2-T ebT/2RTdsYs（ebTRTYsds）1/2σRT√YsdfWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，e-bT/2（bbT）- b） =T ebT/2ebTRTYsdsσRTdWs√YsRTdsYs-（ebTRTYsds）1/2σRT√YsdWs（RTYsds）1/21-安第斯州TebTebTRTYsdsRTdsYs-bT/2（bβT- β） =T ebT/2ebTRTYsdsσRTdWs√YsRTdsYs+σ√1.-RTdsYs1/2RTdBs√YRTdsYs1/2!-（ebTRTYsds）1/2σRT√YsdfWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，如果RTYSDSRTYSDS>T持有a.s.申请（4.10），则可以写入σZTdWs√Ys=对数YT- 圆木+σ- A.中兴通讯+bT，T∈ 因此，通过（4.7）和（4.9），（7.3）σRTdWs√YsRTdsYs=log（ebTYT）- 对数yRTdsYs+σ- aa。s-→日志V- 对数年∞dsYs+σ- 原子吸收光谱法→ ∞.

根据Ben Alaya和Kebaier[11]中的定理4- 对数年∞dsYs+σ- aD=logeY-1/b-对数年-1/beYudu+σ- a=：eV。此外，（4.8）和（4.9）Yieldtebtebtrysdsrtdsysa。s-→-VbR∞dsYs=0作为T→ ∞,（7.4）T ebT/2EBTRYSDSA。s-→-Vb=0作为T→ ∞.（7.5）因此，（7.1）将从（7.6）开始RTdBs√YRTdsYs1/2，σRT√YsdWsRTYsds1/2，σRT√YsdfWsRTYsds1/2，ebTYT，ebTZTYsds，ZTdsYsD-→Z、 S1/2Z，eY-1/b，-嗯-1/bb，Z-1/比尤都！作为T→ ∞,从（4.8），（7.3），（7.4），（7.5），Slutsky引理，连续映射定理和P（eY）-1/b∈ R++=1，P（R）-1/beYudu∈ R++=1（由于P（eYt）∈ R++，T∈ R+=1）。的确球棒- abαT- αe-bT/2（bbT）- b） e-bT/2（bβT- β)D-→D-→1.--嗯-1/bbR-1/beYudu电动汽车-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）σeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）-嗯-1/bbeV--嗯-1/bb1/2（S1/2Z）-嗯-1/bbσeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z！--嗯-1/bb1/2（S1/2Z）作为T→ ∞, 其中S1/2Z=（S1/2Z），（S1/2Z）.使用σZTpYsdfWs=σZTpYsdWs+σp1- ZTpYsdBs，T∈ 用连续映射定理证明（7.6），证明（7.7）是有效的RTdBs√YRTdsYs1/2，RT√YsdWsRTYsds1/2，RT√YsdBsRTYsds1/2，ebTYT，ebTZTYsds，ZTdsYsD-→Z、 Z，eY-1/b，-嗯-1/bb，Z-1/比尤都！作为T→ ∞,定理A.2在连续局部m artin gale Mt:=Rt中的应用√YsdWs，t∈ R+，具有二次变化过程hMit=RtYsds，t∈ R+，对于Q（t）：=ebt/2，t∈ R++和forv：=五、-Vb，R∞dsYs（另请参见(Ohm , F、 P），我们得到ebt/2ZtpYsdWs，V，-Vb，Z∞dsYsD-→-Vb1/2ξ，V，-Vb，Z∞戴西！作为t→ ∞, 式中，ξ是独立于V和R的标准正态分布随机变量∞dsYs。实际上，在（4.8）中，我们得到了ebthMit=ebtRtYsdsa。s-→ -Vbas t→ ∞.

本·阿拉亚和凯贝尔[11，定理4]，-Vb1/2ξ，V，-Vb，Z∞戴西！D=-嗯-1/bb！1/2Z，eY-1/b，-嗯-1/bb，Z-1/beYudu,其中Zi是一个标准的正态分布随机变量，独立于Ey-1/bandR-1/比尤都。通过（4.7），（4.8），（4.9）和引理A.3，我们得到ebt/2ZtpYsdWs、ebtYt、ebtZtYsds、ZtdsYs-ebt/2ZtpYsdWs，V，-Vb，Z∞dsYsP-→ 0as t→ ∞, 因此ebT/2ZTpYsdWs、ebTYT、ebTZTYsds、ZTdsYsD-→D-→-嗯-1/bb！1/2Z，eY-1/b，-嗯-1/bb，Z-1/beYudu作为T→ ∞.应用连续映射定理，从P（eY）-1/b∈ R++=1，我们得到（7.8）RT√YsdWsRTYsds1/2，ebTYT，ebTZTYsds，ZTdsYsD-→Z、 嗯-1/b，-嗯-1/bb，Z-1/比尤都！作为T→ ∞, 因此，我们导出了（7.7）左侧四个坐标的联合收敛性。我们将用连续性定理证明（7.7）。应用（1.1），可以写出σZTpYsdWs=YT- Y-ZT（a）- bYs）ds，T∈ R++，henceRT√YSDW相对于σ-代数σ（Ys，s）是可测的∈ [0，T]）。为所有人（u，u，u，v，v，v）∈ 兰德·T∈ R++，我们有EEXP（iuRTdBs）√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdWsRTYsds1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）是的，是的∈ [0，T]！=exp（宫内节育器）√YsdWsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）×Eexp（iZTu）RTdtYt1/2√Y+uRTYtdt1/2个！星展银行（dBs）是的，是的∈ [0，T]！=exp（宫内节育器）√YsdWsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）×exp(-ZTuRTdtYt1/2·√Y+uRTYtdt1/2个！ds）=exp（iuRT）√YsdWsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）×exp(-（u+u）-图尤RTYtdtRTdtYt1/2），其中我们使用了依赖于Y和B的。

因此，（7.7）左侧随机向量的特征函数采用公式eExp（iuRTdBs）√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdWsRTYsds1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）！=E-（u+u）/2exp（ξT（u，v，v，v）-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)!,式中ξT（u，v，v）：=iuRT√YsdWsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs。按（7.8），适用于所有人（u，v，v，v）∈ R、 E（exp{ξT（u，v，v，v）}）→ Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！（7.9）作为T→ ∞. 利用| exp{ξT（u，v，v）}|=1，我们得到Eexp（ξT（u，v，v，v）-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)!- E（exp{ξT（u，v，v，v）}）6e | exp{ξT（u，v，v，v）}|经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.!= E经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.!→ 0作为T→ ∞,由支配收敛定理，自，由（4.8）和（4.9），exp(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1=exp(-T ebT/2uuEBTRTYTDTRTYT1/2)- 1a。s-→ 0作为T→ ∞,根据柯西-施瓦兹不等式，经验(-图尤RTYtdtRTdtYt1/2)- 1.6 exp（T|uu|RTYtdtRTdtYt1/2）+16 exp{uu}+1对于所有T∈ R++。使用（7.9），我们得出结论（iuRTdBs）√YRTdsYs1/2+宫内节育器√YsdWsRTYsds1/2+宫内节育器√YsdBsRTYsds1/2+ivebTYT+ivebTZTYsds+ivZTdsYs）！→ E-（u+u）/2Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！作为T→ ∞. 注意，由于Zis独立于ofeY-1/bandR-1/比尤都，我们有-（u+u）/2Eexp（iuZ+iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/比尤都）！=E（eiuZ）E（eiuZ）E（eiuZ）Eexp（iveY）-1/b+iv-嗯-1/bb！+伊夫兹-1/beYudu），其中（Z，Z）是二维标准正态分布随机向量，与（Z，eY）无关-1/b，R-1/beYudu），因此我们得到了（7.7），其中Z:=（Z，Z）。最后，我们证明了（7.2）。以类似的方式，到（3.6），我们有ZTYsds1/2（bbT）- b） =T ebT/2（ebTRTYsds）1/2σRTdWs√YsRTdsYs- σRT√YsdWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，以及ZTYsds1/2（bβT- β） =T ebT/2（ebTRTYsds）1/2σRTdWs√YsRTdsYs+σ√1.-RTdsYs1/2RTdBs√YRTdsYs1/2!- σRT√YsdfWs（RTYsds）1/21-TEBTETRTYSDSRTDSYS，前提是RTYSDSRTYSDS>T持有a.s。

到（4.8），我们得到了ebT/2ebTRTYsds1/2a。s-→-Vb1/2=0作为T→ ∞,因此，（4.8），（7.3），（7.4），（7.5），（7.6），（7.7），Slutsky引理，连续映射定理和P（eY）-1/b∈ R++=1，P（R）-1/beYudu∈ R++=1（由于P（eYt）∈ R++，T∈ R+=1）接受第二个语句。的确球棒- abαT- αRTYsds1/2（bbT）- b）RTYsds1/2（bβT- β)D-→D-→1.--嗯-1/bbR-1/beYudu电动汽车-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）σeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z-R-1/beYudu-嗯-1/bb1/2（S1/2Z）-嗯-1/bb1/2eV- （S1/2Z）-嗯-1/bb1/2\"σeV+σ√1.-R-1/beYudu1/2Z#- （S1/2Z）作为T→ ∞, 其中S1/2Z=（S1/2Z），（S1/2Z）. 7.2备注。Overbeck[35，定理3]已经推导出了超临界CIR过程中具有非随机和随机标度的BBT的渐近行为。我们还注意到，Ben Alaya和Kebaier[10，定理1，案例3]描述了超临界过程b的MLE的渐近行为，假设a∈ R++是众所周知的。事实证明，在这种情况下，极限分布与我们在（7.1）中得到的不同。7.3推论。在定理7.1的条件下，b和β的极大似然估计是弱相合的，而a和α的极大似然估计不是弱相合的。（还记得早些时候，b的MLE事实上是强一致的，见定理4.4。）证据为了说明a和α的最大似然估计不是弱一致的，它需要说明P（eV 6=0）>0，因为Zis独立于随机向量（eY）-1/b，R-1/beYudu），以及R-1/beYudu>0= 1（见备注2.6末尾）。我们有P（eV=0）=P洛基-1/b- 圆木=A.-σZ-1/beYudu6便士嗯-1/b>y< 1，y在哪里∈ R++。事实上，池田和渡边[24，第222页]，E（E）-λeY-1/b）=1 +σ(-2b）λ-2a/σ，λ∈ R+，亨西-1/bhas伽马分布，参数2a/σ和-2b/σ。附录A连续局部鞅的极限定理下面我们回顾一些连续局部鞅的极限定理。

我们利用这些极限定理来研究（a，b，α，β）的极大似然估计的渐近性质。首先，我们回顾连续局部鞅的强大数定律。A.1定理。（Liptser和Shiryaev[33，引理17.4]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。设（ξt）t∈R+是一个渐进的可测量过程，如PZtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ztξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（A.1）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（A.2）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被放松到可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近性质，参见van Zanten[42，定理4.1]。A.2定理。（van Zanten[42，定理4.1]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P成为满足通常条件的过滤概率空间。Mt（t）∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。假设存在一个函数Q:R+→ Rd×d证明Q（t）是allt的一个不变（非随机）矩阵∈ R+，极限→∞kQ（t）k=0和q（t）hM-itQ（t）P-→ ηη作为t→ ∞,其中η是一个d×d随机矩阵。

然后，对于定义在(Ohm, F、 我们有（Q（t）Mt，v）D-→ （ηZ，v）as t→ ∞,式中，Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。我们注意到，如果函数Q仅在区间[t]上定义，定理A.2仍然成立，∞)用一些t∈ R++。为了推导定理A.2的结果，可以使用下面的引理，这是由于K\'atai和Mogyor\'odi[28]而产生的L emma 3的多维版本，参见Barczy和Pap[8，引理3]。A.3引理。让我们∈R+是一个k维随机过程，使得t将不分布转化为t→ ∞. 让（Vt）t∈R+成为一个l-维随机过程，如VtP-→ 瓦斯特→ ∞, 其中V是一个l-多维随机向量。如果g:Rk×Rl→ RDI是一个连续函数，theng（Ut，Vt）- g（Ut，V）P-→ 0作为t→ ∞.参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.（2008）。闭式似然表达式表示多变量差异。《统计年鉴》36（2）906–937。[2] Ait-Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007年）。随机波动模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》83 413–452。[3] Azen cott，R.和Gadhyan，Y.（2009）。耦合随机动力学的精确参数估计。离散和连续动力系统，A系列。动力系统，微分方程和应用。第七届AIMS会议，美国德克萨斯州阿灵顿，补充l.，44-53。[4] 巴尔多，J。和Platen，E.（2013年）。多维差异的泛函与金融应用。博科尼和斯普林格系列5，查姆斯普林格，博科尼大学出版社，米兰。[5] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2013）。关于临界过程的参数估计。电子统计杂志7647–696。[6] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2014）。网络因子模型的平稳性和遍历性。

应用概率的进展46（3）878–898。[7] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2014）。亚临界双f因子模型的参数估计。统计规划与推理杂志151-152 37–59。[8] Barczy，M.和Pap，G.（2010）。非齐次扩散过程最大似然估计的渐近行为。《统计规划与推理杂志》140（6）1576–1593。[9] Barczy，M.，Pap，G.和Szab\'o，T.T.（2014）。基于离散时间观测的次临界Heston模型参数估计。可在ArXiv上获得：http://arxiv.org/abs/1403.0527[10] Ben Alaya，M.和Kebaier，A.（2012年）。平方根差的参数估计：遍历和非遍历情况。随机模型28（4）609–634。[11] Ben A laya，M.和Kebaier，A.（2013）。遍历和非遍历平方根差的最大似然估计的渐近行为。随机分析与应用31（4）552–573。[12] Benke，J.和Pap，G.（2015）。与赫斯顿模型有关的统计实验的局部渐近二次性。可在ArXiv上获得：http://arxiv.org/abs/1501.03664[13] Bishwal，J.P.N。(2008). 随机微分方程中的参数估计。柏林海德堡春天酒店。[14] 陈汉德·乔斯林，S.（2012）。金融过程和应用的广义变换分析。金融研究综述25（7）2225–2256。[15] 考克斯，J。C.，英格索尔，J.E.和罗斯，S.A.（1985）。一种关于利率结构的理论。计量经济学53（2）385–407。[16] Dawson，D.A.和Li，Z.（2006）。斜卷积半群和一个有效的马尔可夫过程。《概率年鉴》34（3）1103–1142。[17] Dietz，H.M.和Kutoya nts，Y u.A.（1997）。具有遍历性质的扩散过程的一类最小距离估计。统计和决定15 211–227。[18] 达德利，R.M.（1989）。

真实分析和概率。Wadsworth&Brooks/Cole AdvancedBooks&Software，加利福尼亚州帕西克格罗夫。[19] Duffie，D.，Filipovi\'c，D.和Schachermayer，W.（2003年）。一个有效的财务流程和应用程序。应用概率年鉴13 984–1053。[20] Ethier，S.N.和Kurtz，T.G.（1986）。马尔可夫过程。约翰·威利父子公司，纽约。[21]费勒，W.（1951年）。两个奇异的差异离子问题。数学年鉴54（1）173-182。[22]赫斯顿，S.（1993年）。具有随机波动性的期权的闭式解，应用于债券和现金期权。金融研究综述6327–343。[23]Hurn，A.S.，Linds ay，K.A.和Mc Clelland，A.J.（2013）。一种估计多元差异参数的准最大似然法。计量经济学杂志172106–126。[24]池田，N.和渡边，S.（1981）。随机微分方程和微分过程。北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，纽约；东京科丹莎有限公司。[25]Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（2003）。随机过程的极限定理，第二版，Springer-Verlag，柏林。[26]Jeanblanc，M.，Yor，M.和Chesney，M.（2009）。金融市场的数学方法。S pringer Verlag伦敦有限公司。[27]Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1991）。布朗运动与随机微积分，第二版，斯普林格-维拉格，纽约。[28]K\'atai，I.和Mo gyor\'odi，J.（1967年）。关于变量稳定序列的一些注记。德布勒森数学出版社14 227–238。[29]Kutoyants，Yu A.（2004）。遍历扩散过程的统计推断。Springer Verlag伦敦有限公司。[30]K¨uchler，U.和Sorensen，M.（1997）。随机过程的指数族，SpringServerLag，纽约。[31]李振和马，C.（2013）。稳定Cox-Ingersoll-Ross模型中估计量的渐近性质。

随机过程及其应用125（8）3196–3233。[32]Liptser，R.S.和Shiryaev，A.N.（2001）。随机过程统计I.应用，第二版。施普林格·维拉格，柏林，海德堡。[33]Liptser，R.S.和Shiryaev，A.N.（2001）。随机过程统计2。申请，第二版。施普林格·维拉格，柏林，海德堡。[34]Overbeck，L.和Ryd\'en，T.（1997年）。Cox-Ingersoll-Ross模型中的估计。计量经济学理论13（3）430–461。[35]奥弗贝克，L.（1998）。连续b分支过程的估计。斯堪的纳维亚统计杂志25（1）111–126。菲利普斯，P.C。。B.和Yu，J.（2009）。金融中连续时间模型的最大似然和高斯估计。In:安徒生、托本·G、戴维斯、理查德·A、克雷、延斯·彼得、米科什、托马斯（编辑），《金融时间序列手册》，第497-530页，柏林，斯普林格。[37]Revuz，D.和Yor，M.（1999年）。连续鞅与布朗运动，第三版，柏林海德堡。[38]Sorensen，H.（2004年）。在离散时间点观察到的扩散过程的参数推断：综述。《国际统计评论》72（3）337–354。[39]斯特罗克，D.W.（1993）。概率论，一种分析观点。剑桥大学出版社，剑桥。[40]范德法特，A.W.（1998）。渐近统计，剑桥大学出版社。[41]Varughese，M.M.（2013）。多元扩散系统的参数估计。计算统计和数据分析57 417–428。[42]van Zanten，H.（2000年）。连续局部鞅的多元中心极限定理。统计与概率字母50（3）229–235。[43]冯·魏茨阿克，H.和温克勒，G.（1990）。随机输入。介绍，高级数学讲座。弗里德。布伦瑞克省维尤格和孙。