Heston模型极大似然估计的渐近性质

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Asymptotic properties of maximum likelihood estimators for Heston models
based on continuous time observations》
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作者：
Matyas Barczy, Gyula Pap
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We study asymptotic properties of maximum likelihood estimators for Heston models based on continuous time observations of the log-price process. We distinguish three cases: subcritical (also called ergodic), critical and supercritical. In the subcritical case, asymptotic normality is proved for all the parameters, while in the critical and supercritical cases, non-standard asymptotic behavior is described.
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中文摘要：
我们研究了基于对数价格过程连续时间观测的Heston模型最大似然估计的渐近性质。我们区分三种情况：亚临界（也称为遍历）、临界和超临界。在亚临界情况下，证明了所有参数的渐近正态性，而在临界和超临界情况下，描述了非标准渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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mingdashike22

2022-5-5 03:10:26

基于连续时间观测的Heston模型最大似然估计的渐近性质*,和Gyula Pap*** 宾夕法尼亚州德布勒森大学信息学院。12，H–4010匈牙利德布勒森。**匈牙利塞格德H-6720塞格德阿拉迪v\'ertan\'uk tere 1，塞格德大学博莱研究所。电子邮件：barczy。matyas@inf.unideb.hu（巴茨先生），papgy@math.u-塞格德。胡（G.帕普）。通讯作者。摘要研究了基于对数价格过程连续时间观测的赫斯顿模型极大似然估计的渐近性质。我们区分了三种情况：亚临界（也称遍历）、临界和超临界。在亚临界情况下，证明了所有参数的渐近正态性，而在临界和超临界情况下，描述了非标准渐近行为。1简介金融过程，尤其是赫斯顿模型，经常被应用于金融数学中，因为它们可以很好地适用于金融时间序列，也因为它们的计算可处理性。它们的特点是其特征函数在状态变量中呈指数形式。Du ffee等人[19]给出了精确的数学公式和规则过程的完整特征。Baldeaux和Platen[4]最近的一本专著详细介绍了金融数学中的有效过程及其应用。让我们考虑一个赫斯顿模型（dYt=（a- bYt）dt+σ√YtdWt，dXt=（α- βYt）dt+σ√Yt dWt+p1- dBt,t>0，（1.1），其中a>0，b，α，β∈ R、 σ>0，σ>0， ∈ (-1,1）和（Wt，Bt）t>0是一个二维标准维纳过程。本文研究了基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的最大似然估计（MLE）∈[0，T]当T>0时，从某个已知的非随机初始值（Y，X）开始p过程（Y，X）∈ (0, ∞) ×R。

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mingdashike22

2022-5-5 03:10:29

我们不认为过程（Yt）t∈[0，T]被观察到，因为它可以通过观察（Xt）T来确定∈[0，T]，见备注2.5。我们不估计参数σ，σ和, 因为原则上，这些参数至少可以用观测值（Xt）t来确定（而不是估计）∈[0，T]，见备注2.6。此外，2010年数学学科分类：60H10、91G70、60F05、62F12。关键词和短语：赫斯顿模型，最大似然估计。M.Barczy和G.Pap的研究是在T\'AMOP 4.2.4的框架内实现的。A/2-11-1-2012-0001，国家卓越计划——制定和运营内陆学生和研究人员个人支持系统”。该项目由欧洲联合国资助，欧洲社会基金会协办。结果表明，在计算（a，b，α，β）的最大似然误差时，不需要知道参数σ>0，σ>0和 ∈ (-1，1），见（3.4）。还要注意，（Yt，Xt）t>0是一个状态空间为[0，∞) x R，见命题2.1。在金融数学的语言中，如果β=σ/2，人们可以解释：=expXt- α+σt作为资产价格，Xt-α+σt作为原木价格（原木现货）和σ√Y为t>0时资产价格的波动率。事实上，通过应用It^o公式，使用（1.1），如果β=σ/2，那么wehavedSt=（α+σ/2）Stdt+σpYtSt dWt+p1- dBt, t>0，这是Heston[22]中的E q值（19）。平方波动过程（σYt）t>0是一个具有移民的连续时间连续状态分支过程，在gersoll-Ross（CIR）过程中也被称为Cox，Feller首次对其进行了研究[21]。连续时间模型的参数估计有很长的历史，例如，请参见利普瑟和Shiryaev[33，第17章]、库托扬茨[29]和比什瓦尔[13]的专著。

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何人来此

2022-5-5 03:10:33

为了估计金融中使用的连续时间模型，Phillips和Yu[36]概述了最大似然法和高斯法。由于只有在特殊情况下（如几何布朗运动、Ornstein–Uhlenbeck过程、CIR过程和平方根逆过程）才能构造出精确的似然，因此人们一直致力于开发用于近似似然的方法。Ait-Sahalia[1]提供了基于离散时间观测的多元扩散对数似然函数的闭合形式展开式。他证明了，在某些条件下，近似最大似然几乎肯定存在，并且随着分离观测值的时间间隔趋于0，近似和真实最大似然的差异在概率上收敛到0。上述赫斯顿模型的闭式展开式可在Ait-Sahalia和Kimmel[2，Ap pendix A.1]中找到。我们注意到，在Soren sen[38]中，我们可以找到ait-Sahalia应用程序roach的简要概述。事实上，Sorensen[38]综述了在离散时间点观察到的静态和能量（一维）扩散过程的估计技术。除了上述Ait-Sahalia的方法外，她还回顾了特别强调鞅估计函数和所谓的简单估计函数的估计函数，以及离散观测扩散过程的Bayesian分析。Azencott和Gadhyan[3]考虑了Heston模型（1.1）的另一个参数化，他们只研究了次临界（也称为遍历）情况，即b>0时（见定义2.3）。他们开发了一种算法，根据对资产价格和波动性的离散时间观察来估计赫斯顿模型的参数。他们假设σ=1和β=1/2，并估计参数σ和β 也

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kedemingshi

2022-5-5 03:10:36

他们假设分离两个连续观测的时间间隔也是未知的，并使用基于Euler和Milstein离散格式的最大似然估计。他们表明，使用近似极大似然估计的约束优化从欧拉格式导出的参数估计是强一致的。注意，我们也得到了关于MLE的符号行为的结果，而不是仅在亚临界情况下。Hurn等人[23]开发了一种准最大似然法，用于基于离散时间观测估计多维差异离子的参数，方法是用一阶矩和二阶矩近似未知密度的真矩取代原始传递度。对于一个有效的漂移和扩散，这些时刻正是真正的过渡密度。以赫斯顿随机波动率模型为例，分析了次临界情况。然而，他们并没有研究估计量的一致性或渐近行为。最近，Varughese[41]研究了SDE基于iscr-ete时间观测给出的时间不均匀多维扩散过程的参数估计。用所谓的鞍点近似法估计了在离散时间点采样的问题微分过程的似然od。通常，鞍点近似是基于随机变量累积量生成函数的代数表达式。如果已知随机变量的前几阶矩，但难以获得相应的概率密度，则可以计算密度的鞍点近似值。参数估计值被认为是使这种近似可能性最大化的值，可以通过马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）程序进行估计。然而，估计量的渐近性质尚未被研究。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:10:39

例如，sadd lepoint MCMC用于将2009年12月至2010年11月期间的标准普尔500指数和VIX指数拟合为次临界赫斯顿模型。在e维CIR过程Y的情况下，a和b的参数估计可以追溯到Verbeck和Ryd\'en[34]（条件最小二乘估计（LSE）），Overbeck[35]（MLE），以及Bishwal[13，示例7.6]和Ben Alaya和Kebaier[10]，[11]（MLE）的最新论文。我们还注意到，Li和Ma[31]开始研究由稳定噪声（他们称之为stableCIR模型）驱动的CIR模型的漂移参数（加权）条件LSE的渐近行为，这些噪声来自一些离散观测的低频数据集。据作者所知，到目前为止还没有解决多维过程的参数估计问题。由于金融数学中经常使用五个过程，因此需要很好地研究它们的参数估计问题。在Barczyet等[5]中，我们通过SDE（dYt=（a）给出的一个简单的非平凡二维微分过程开始了讨论- bYt）dt+√YtdWt，dXt=（m- θXt）dt+√YtdBt，t>0，（1.2），其中a>0，b，m，θ∈ R、（Wt，Bt）t>0是一种二维标准维纳过程。Chen和Joslin[14]发现了模型（1.2）在金融数学中的若干应用，见他们的方程（25）和（26）。在b=0，θ=0的特殊临界情况下，我们描述了基于离散时间观测X，X，Xnas n→ ∞. （m，θ）的LSE在其他临界情况b=0，θ>0或b>0，θ=0的渐近行为的描述仍然是开放的。在Barczy等人。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:10:42

[7]我们使用相同的模型（1.2），但在所谓的次临界（遍历）情况下：b>0，θ>0，我们考虑了（a，b，m，θ）的最大似然估计（MLE）和（m，θ）的最小似然估计（LSE），基于连续时间观测。为了在亚临界情况下进行分析，我们需要检查（1.2）给出的模型是否存在唯一的平稳分布和遍历性。我们在一篇配套论文Barczy等人[6]中解决了这个问题。接下来，我们总结了我们与Overbeck[35]和Ben Alaya及Kebaier[10]，[11]的结果，并对论文的结构进行了概述。第二节引出了一些初步情况。我们记得SDE（1.1）有一个路径唯一的强解，并表明它是一个规则过程，见命题2.1。我们描述了（Yt，Xt）t>0的第一时刻的渐近行为，并在此基础上介绍了SDE（1.1）给出的Heston过程分类，见命题2.2和定义2.3。也就是说，如果b>0、b=0或b<0，我们分别称（Yt、Xt）t>0为亚临界、临界或超临界。我们回顾了（1.1）中的第一个方程在亚临界情况下给出的过程（Yt）t>0存在唯一平稳分布和遍历性的结果，见定理2.4。在第3节中，我们将考虑具有非随机初始值的赫斯顿模型（1.1）。在第三节中，我们研究了（a，b，α，β）的极大似然估计的存在性和唯一性，并给出了该极大似然估计的一个显式公式。结果表明（a，b）的最大似然估计基于观测（Yt）t∈[0，T]对于CIR过程，Y与基于观测（Xt）T的（a，b）的MLE相同∈[0，T]对于SDE（1.1）给出的Heston过程（Y，X），参见公式（3.4）和d Overbeck[35，公式（2.2）]或Ben Alaya和Kebaier[11，第3.1节]。在第4节中，我们研究了最大似然估计的一致性。

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mingdashike22

2022-5-5 03:10:46

对于亚临界Heston模型，我们证明了当a∈σ, ∞（这是Overbeck[35，定理2（ii）]证明的（a，b）的极大似然估计的强相合性的一个扩展，见备注4.5），以及每当a=σ时的弱相合性（这是（a，b）的极大似然估计的弱相合性的一个扩展，从Ben Alaya和Kebaier[11]的第1部分开始，见备注4.5），见定理4.1。对于具有∈σ, ∞, 我们得到了（a，b，α，β）的极大似然估计的弱相合性（作为定理6.2的一个推论），这是（a，b）的极大似然估计的弱相合性在Ben Alaya和Kebaier[11]的定理6之后的一个推广，见备注4.6。对于模型a∈σ, ∞, 我们得到了b的极大似然估计的强相合性，见定理4.4，β的极大似然估计的弱相合性，见定理7.1，并且证明了a和α的极大似然估计不是弱相合的，见推论7.3。这是Overbeck[35，定理2，第（i）和（v）部分]的扩展，参见备注4.7。第5、6和7节分别研究了亚临界、临界和超临界Heston模型的（a、b、α、β）极大似然估计的渐近行为。在第5节中，我们证明了（a，b，α，β）在具有a的亚临界情况下是渐近正态的∈σ, ∞, 这是Ben Alaya和Kebaier[11，定理5]证明的（a，b）的极大似然估计的渐近正态性的推广，参见备注5.2。我们还证明了（a，b，α，β）的极大似然估计的随机s标度渐近正态性，推广了（a，b）的极大似然估计的随机标度渐近正态性，由于toOverbeck[35，定理3（iii）]，见备注5.2。在第6节中，我们描述了在临界情况下的极大似然估计的渐近行为∈σ, ∞推广Ben Alayaand Kebaier[11]中定理6的第二部分，见备注6.3。

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何人来此

2022-5-5 03:10:50

结果表明，a和α的极大似然估计是渐近正态的，但b和dβ的极大似然估计有不同的极限性质，见定理6.2。在定理6.4中，对于临界Heston模型（a，b，α，β）的最大似然估计（MLE）推广了Overbeck[35]中定理3的第（ii）部分，参见备注6.5。在第7节中，对于超临界Heston模型∈σ, ∞, 我们证明了a和α的最大似然估计有一个弱极限，没有任何标度（因此，不是弱一致的，见推论7.3），适当归一化的B和β的最大似然估计有一个混合的正态极限分布，这是O verbeck[35]的第三部分（i）的推广，见备注7.2。我们还展示了（b，β）的最大似然估计的随机标度渐近正态性，推广了b的最大似然估计的随机标度渐近正态性，这是由于过度检查[35，第3（i）条第一部分]，见备注7.2。在附录中，我们重新证明了一些连续局部鞅的极限定理，以研究MLEof（a，b，α，β）的渐近性质。在证明中，主要针对临界和超临界情况，我们广泛使用了Ben Alaya和Kebaier[10，命题3和4]，[11，定理4和6]：对于b>0和a=σ，RTDSYSAS T的弱收敛性→ ∞; 当b=0且a>σ时，四重态矩母函数的显式形式日志YT，YT，RTYsds，RTdsYs, T>0；对于b<0和a>σ，表示ebTYT，RTdsYs作为T→ ∞. 然而，我们的结果并不是Ben Alaya和Kebaier的简单结论，我们必须找到导出的MLE的适当分解，然后通过连续性定理研究组件的联合弱收敛性。在Barczy等人。

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kedemingshi

2022-5-5 03:10:53

[9] 我们从已知的非随机初值（y，x）出发，研究了赫斯顿模型（1.1）漂移参数（a，b，α，β）的条件最小二乘估计∈ [0, ∞) 基于离散时间观测的x R（Yi，Xi）i∈{1，…，n}，在亚临界条件下，我们描述了它的渐近性质。最后，请注意，Benke和Pap[12]研究了假设a下Heston模型（1.1）似然比的局部渐近性质∈σ, ∞. 在亚临界情况下，当b=0和β时，证明了子模型的局部渐近正态性∈ 在危急情况下，R是n。此外，当a∈σ, ∞和α∈ R在超临界情况下是已知的。因此，这些模型中存在任意估计量的渐近极小极大界，对于有界损失函数，MLE（对于临界和超临界情况下的适当子模型）达到了该界，并且MLE在H’ajek卷积定理意义下是渐近有效的，参见Benke和Pap[12]。2预备小集N，Z+，R，R+，R++，R++，R-和R--分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数和负实数的集合。对于x，y∈ R、我们将使用符号x∧ y:=min（x，y）和x∨ y:=max（x，y）。通过kxk和kAk，我们得到了向量x的欧氏范数∈ Rd与m矩阵a的诱导矩阵范数∈ 分别为Rd×d。凭身份证∈ Rd×d，表示d维单位矩阵。允许Ohm, F、 P成为一个概率空间。

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大多数88

2022-5-5 03:10:57

通过Cc（R+×R，R）和C∞c（R+×R，R），我们分别表示紧支撑下R+×R上的两次连续可微实值函数集，以及紧支撑下R+×R上的完全可微实值函数集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，它还指出（Y，X）是一个正则过程。请注意，（1.1）的第一个等式的这些陈述是众所周知的。2.1提议。设（η，ζ）为独立于（Wt，Bt）t的随机向量∈R+P（η）∈R+=1。那么，尽管如此∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1，1），有一个（路径）唯一强解（Yt，Xt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（（Y，X）=（η，ζ））=1和P（Yt）∈ R+代表所有t∈ R+=1。此外，对于所有s，t∈ R+和s 6 t，Yt=e-b（t）-（s）Y+aRtse-b（s）-u） du+σRtse-b（s）-u）√尤德武,Xt=Xs+Rts（α- βYu）du+σRts√于( dWu+p1- dBu）。（2.1）此外，（Yt，Xt）t∈R+是一个规则的有效过程，具有最小生成器（Af）（y，x）=（a- by）f′（y，x）+（α- βy）f′（y，x）+yσf′1,1（y，x）+2σf′1,2（y，x）+σf′2,2（y，x）,（2.2）式中（y，x）∈ R+×R，f∈ Cc（R+×R，R），和f′i和f′i，j，i，j∈ {1,2}，分别表示f关于其第i个变量、第i个变量和第j个变量的一阶和二阶偏导数。证据根据山田和渡边的一个定理（例如，见Karatzas和Shreve[27，命题5.2.13]），对于（1.1）中的第一个方程，s强烈的唯一性成立。池田和渡边[24，例8.2，第221页]，有一个（路径）唯一的非负强解（Yt）t∈（1.1）中第一个方程的R+，任何初始值η，使得P（η∈ R+=1。显然，（2.1）中的第二个方程给出了（路径）唯一的斯特龙g解（Xt）t∈（1.1）中s秒方程的R+。

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mingdashike22

2022-5-5 03:11:00

接下来，应用It^o的过程公式（Yt）t∈R+，我们得到（ebtYt）=bebtYtdt+ebtdYt=bebtYtdt+ebt（a）- bYt）dt+σpYtdWt= 所有t的aebtdt+σEBTPYTDWT∈ R+，这意味着（2.1）中的第一个等式。现在我们来检查一下（Yt，Xt）t∈R+是一个具有给定最小生成器的有效过程。我们可以假设初值是确定的，比如，（Y，X）=（Y，X）∈ R+×R，因为时间齐次马尔可夫过程的最小生成元不依赖于马尔可夫过程的初始值。根据它的公式，对于所有的f∈ Cc（R+×R，R）我们有f（Yt，Xt）=f（y，x）+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+p1- 星展银行+Ztf′（Ys，Xs）（a）- bYs）ds+Ztf′（Ys，Xs）（α- βYs）ds+σZtf′1,1（Ys，Xs）Ysds+2σ∑Ztf′1,2（Ys，Xs）Ysds+σZtf′2,2（Ys，Xs）Ysds= f（y，x）+Zt（Af）（Ys，Xs）ds+Mt（f），t∈ R+，其中mt（f）：=σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+σZtf′（Ys，Xs）pYsdWs+p1- 星展银行, T∈ R+，Af由（2.2）给出。这足以证明（Mt（f））t∈R+是一个局部马丁盖尔，与（Wt，Bt）t对应的强化过滤有关∈R+和（η，ζ），按照Karatzasand Shreve[27，第5.2节]的规定建造。然而，事实证明，这是一个关于这个过滤的平方可积鞅，因为中兴（（f′（Ys，Xs））Ys）ds 6 CZtE（Ys）ds<∞, T∈ R+，中兴通讯（（f′（Ys，Xs））Ys）DS6 CZtE（Ys）ds<∞, T∈ R+，带有一些常数C，C∈ R++，其中积分的完整性后跟（2.3）E（Ys）=E-bsy+aZse-南部布杜∈ R+，参见Cox等人[15，等式（19）]或Jeanblanc等人[26，定理6.3.3.1]。最后，我们检验了转移半群（Pt）t∈状态空间R+×R对应于（Yt，Xt）t的R+∈R+是一个正则半群，具有（2.2）给出的极小生成元。

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何人来此

2022-5-5 03:11:03

用Dawson和Li[16]，“0 00 0#，S，”aα#，“-b 0-β 0#, 0, 0!是一组与有效过程（Yt，Xt）t相对应的容许参数∈R+，式中（2.4）S:=“σ”σσσσσ#.因此，Duffee等人[19]中的定理2.7（另见Daws on和Li[16]中的定理6.1）表明，对于这组容许参数，存在一个正则半群（Qt）t∈由（2.2）给出的最小生成器中的R+。杜菲等人[19]中的T heorem 2.7，C∞c（R+×R，R）是对应于半群（Qt）t的最小生成元的核心∈R+。我们检查了相应的半单元生成器∈R+和（Qt）t∈R+（定义在R+×R上的边界实值函数的Banach空间上）重合∞c（R+×R，R），通过定义一个核，我们得到它们在R+×R上有界实值函数的Banach空间上重合∈R+是微型发电机（2.2）中的一个常规有效过程。我们还注意到，我们可以使用Du ffee等人[19]中的Lemm a 10.2来得出（Yt，Xt）t∈R+是一个带有内置发电机（2.2）的常规有效流程，因为我们已经检查了（Mt（f））t∈R+是关于过滤（Ft）t的鞅∈R+代表任何人∈ Cc（R+×R，R）。接下来，我们给出一个关于（Yt，Xt）t的第一时刻的结果∈R+。我们注意到，Hurn等人[23，等式（23）]推导出了（Yt，Xt），t的期望值的相同公式∈ R+，通过不同的方法。还要注意的是，E（Yt），t的公式∈ R+是众所周知的。2.2提议。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1和E（Y）<∞, E（|X |）<∞.

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可人4

2022-5-5 03:11:07

然后“E（Yt）E（Xt）#=”E-英国电信-βRte-布杜1#“E（Y）E（X）#+”Rte-布杜0-βRt后悔-bvdvdu t#“aα，t∈ R+。因此，如果b∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=ab，limt→∞T-1E（Xt）=α-βab，如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=a，极限→∞T-2E（Xt）=-βa，如果b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab，limt→∞ebtE（Xt）=βbE（Y）-βab.证明。当（Y，X）=（Y，X）具有任意（Y，X）时，证明该陈述是有效的∈ R++×R，从那时起，命题的陈述遵循总期望定律。E（Yt），t的公式∈ R+可以在Cox等人[15，等式（19）]或Jeanblanch等人[26，定理6.3.3.1]中找到。接下来我们观察到ZtpYud(Wu+p1- Bu）T∈R+（2.5）是一个平方可积鞅，因为“ZtpYud(Wu+p1- Bu）#=中兴（于）都∞,其中积分的完整性如下（2.3）。取（2.1）中第二个方程的两边的期望值，并利用（2.5）中过程的鞅性质，我们得到e（Xt）=x+Zt（α）- βE（Yu））du=x+αt- βZtE-购买+蓝色-bvdvdu=x- βyZte-budu+αt- β-aZt祖伊-bvdv达特∈ R+。此外，如果b∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=limt→∞E-bty-ab（e）-英国电信- 1)=ab，limt→∞T-1E（Xt）=极限→∞xt+β再见-英国电信- 1t+α+βabtE-英国电信-1.-B- T= α -βab.如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=极限→∞T-1（y+at）=a，极限→∞T-2E（Xt）=limt→∞xt-βyt+αt-βa= -βa.If b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=limt→∞y+ab（ebt）- 1)= Y-ab，limt→∞ebtE（Xt）=xlimt→∞ebt+βbylimt→∞(1 - ebt）+αlimt→∞tebt+βablimt→∞1.- ebt-B- 特伯特=βby-βab。基于期望（E（Yt），E（Xt））作为t的渐近行为→ ∞ , 我们将介绍SDE给出的Heston过程分类（1.1）。2.3定义。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1。

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kedemingshi

2022-5-5 03:11:10

我们称之为（Yt，Xt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地。在续集中-→,D-→ 安达。s-→ 将分别表示概率收敛、分布收敛和几乎确定收敛。下面的结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的遍历性∈在亚临界情况下，如Feller[21]，Cox等人[15，方程（20）]，Li和Ma[31，定理2.6]或定理3.1（α=2，T heorem4），由（1.1）中的第一个方程给出R+。Barczy等人[6]中的1.定理2.4。设a，b，σ∈ R++。让（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y）的第一个方程的唯一强解∈ R+=1。（i）然后YtD-→ Y∞作为t→ ∞, 以及Y的分布∞再见了吗-λY∞) =1+σ2bλ-2a/σ，λ∈ R+，（2.6）即Y∞具有参数为2a/σ和2b/σ的伽马分布，henceE（Yκ∞) =Γ2aσ+κ2bσκΓ2aσ, κ ∈-2aσ，∞.尤其是E（Y）∞) =ab.如果a∈σ, ∞, 然后是EY∞=2b2a-σ.（ii）假设随机初始v值yh与Y的分布相同∞, 过程（Yt）t∈R+是严格静止的。（iii）对于所有Borel可测函数f:R→ R使得E（| f（Y∞)|) < ∞, 我们有（2.7）TZTf（Ys）dsa。s-→ E（f（Y）∞)) 作为T→ ∞.在下一句话中，我们解释为什么我们只假设过程X被观察到。2.5备注。我很高兴∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1,1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，然后通过SDE（1.1），hXit=σZtYsds，t∈ R+。根据Jacod和Shiryaev[25]中的定理I.4.47 a）和I.4.52，新界Xi=1（Xin）- 十一-1n）P-→ hXitas n→ ∞, T∈ R+。这种收敛几乎只适用于一个合适的子序列，该序列的成员是（Xs）s的可测函数∈[0，t]，因此，利用Dudley[18]中的定理4.2.2和4.2.8，我们得出hXit=σRtYsds是（Xs）s的可测函数∈[0，t]。

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大多数88

2022-5-5 03:11:58

然后Slutsky引理产生√T球棒- 修道院院长- bbαT-αbβT- βD-→我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.ηZD=N（0，∑）作为T→ ∞,其中（应用身份） B）= A. B和（A） B）（C） D） =（交流）（BD）∑：=我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.sEY∞-1.-1 E（Y）∞)我EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.= （ISI）EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.EY∞-1.-1 E（Y）∞)EY∞-1.-1 E（Y）∞)-1.= sEY∞-1.-1 E（Y）∞)-1，它产生（5.1）E（Y∞) =阿巴德EY∞=2b2a-σ.Slutsky引理与（5.1）屈服RTdsYs1/2I“RTdsYs-TRTYsdsRTdsYs- T1/2#!球棒- 修道院院长- bbαT- αbβT- β=TRTdsYs1/2I“TRTdsYs-1.TRTYsds·TRTdsYs-1.1/2#!√T球棒-修道院院长-bbαT- αbβT- βD-→EY∞1/2I“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!N0，S“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1.D=N（0，∑）作为T→ ∞,其中（应用身份） B）= A. B和（A） B）（C） D） =（交流）（BD）∑：=EY∞我“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!s“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1.×I“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#!=EY∞（ISI）“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#“EY∞-1.-1 E（Y）∞)#-1英寸EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#= s 一、自从“E”Y∞-1.-1 E（Y）∞)#=EY∞“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞- 1.1/2#“EY∞-1.E（Y）∞) EY∞-1.1/2#.因此我们得到（5.2）。5.2备注。对于次临界（即b∈ R++）CIR模型，对于（a，b）的MLE，Ben Alaya和Kebaier[11，定理5和7]在∈σ, ∞, 当a=σ时，导出了具有非正态极限分布的阿利米特定理。对于次临界（即b∈ R++）CIR模型，对于（a，b）的最大似然估计，具有随机标度，Overbeck[35，定理3（iii）]显示了共正态性。6极大似然估计的渐近行为：临界情况我们考虑临界赫斯顿模型，即当b=0时。首先我们给出一个辅助引理。6.1引理。映射C（R+，R） F7→Rtf（u）duT∈R+∈ C（R+，R）是连续的，可度量的，其中C（R+，R）表示定义在R+上的实值连续函数集。证据

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