U（s，1）对[0，1]上η的Radon-Nikodym导数为：q（s | s）=1.-党卫军∈ [s，1），0 s∈ [0，s）。给定Q（s，x）的特殊形式，我们可以认为对于某些正整数J，Q（·s）=P1≤J≤Jqj（·，s）ρj（·）f或任何s∈ [0,1），其中qjis乘积可测，qj（·，s）和ρj（·）是非负的且η-可积的。此外，对于[0,1]上的Borelσ-代数的某些子σ-代数G，qj（·，s）对每个j，s是G-可测的，并且＠s没有G-原子。考虑一个简单的情况，即ρjis对[0,1]对所有j严格正∈ [0,1），letDs={s∈ [0,1:qj（s，s）=0，j=1，J} ，这是G-可测量的。如果∈ [0，s），然后q（s | s）=0，这意味着所有1的qj（s，s）=0≤ J≤ J因此s∈ Ds。如果是∈ [s，1），然后q（s | s）=1-s、 这意味着对于一些1，qj（s，s）6=0≤ J≤ J因此s/∈ Ds。因此，Ds=[0，s）在G中，由s的任意选择决定∈ [0，1），我们知道G与区间类{[0，S）}S生成的!∈[0,1）。这意味着S有一个G原子[0,1]，这是一个矛盾。通过假设a（可分解）的存在，我们证明了不可数随机对策中平稳马尔可夫完美平衡的存在性粗过渡内核。这就提出了一个问题：我们的条件是否是最低限度的，如果是，那么在什么意义上。命题3C也可以由[28]中的不存在性结果和我们的定理2所暗示。然而，在[28]中的论点是深刻的，我们的证明明确地证明了为什么他们的例子不能满足定理2中的充分条件。正如导言中所讨论的，随机对策存在性论证中的主要困难是由于由状态和连续值函数v参数化的一次性辅助对策的平衡点P的凸性失效。

如第8小节所示。2.对应关系R（v）是从平衡支付对应关系P（v，·）中选择的集合，如果存在连续的状态，它将生活在有限维空间中。因此，即使P在v中具有这些性质，理想的闭性和上半连续性性质也会得到满足。要处理这些问题，标准方法是使用凸壳co（R）。通过使用以下结果，我们绕过了这种强加的凸性限制：对于任何S-可测、可积边界和闭值相关G，如果S没有G-原子，则I（S，G，λ）G=I（S，G，λ）co（G），其中I（S，G，λ）G={Eλ（G | G）：G是G的S-可测选择（I（S，G，λ）co（G）被类似地定义），并对λ取条件期望。此外，对于一个可分解的粗糙过渡核的条件，我们假设过渡核可以分为许多部分。以下命题从技术角度证明了我们的条件的极小性。提议4。假设（S，S，λ）有一个λ（D）>0的G原子D。然后存在一个从（S，S，λ）到{0，1}的可测对应关系G，使得I（S，G，λ）G6=I（S，G，λ）co（G）。在8.2小节的定理证明中，我们需要的关键结果是S-可测选择v的存在性*关于G的一个对应关系，使得eλ（v*ρj|G）=Eλ（v′ρj|G）每1≤ J≤ J、 其中v′是co（G）和{ρJ}1的S-可测选择≤J≤Jare将函数定义为可分解的粗糙过渡核的定义1。问题是，如果我们将可分解的较粗过渡核的条件从一个原子推广到一个可数的SUM，类似的结果是否成立。我们将证明这是不可能的。设（S，S，λ）为勒贝格单位区间（L，B，η）。

假设{n} n≥0isA对应G：（S，S，λ）→ 如果存在可积函数φ：（S，S，λ），则称Rn为可积有界函数→ R+使kG（s）k≤ 对于λ-almos t all s，k·k通常在Rn上没有rm。L（S，S，λ）中的完全正交系价值{-1,1}andRSndλ=0 f或每n≥ 1和≡ 1.设ρn=n+1每n≥ 1和ρ=. 让{En}n≥0是S、Ennonempty和qn（S）=1的可数可测分区≥ 0.假设一个转移核q分解为一个可数和q（s | s，x）=Pn≥0qn（s）ρn（s）。以下命题表明，J是有限的情况下的论点对于这种扩展是无效的。提议5。设G（s）={-1，1}表示s∈ S、 f是co（G）的可测量选择，取常数值0。然后，对于任何次σ-代数F S、 不存在Eλ（gρn | F）=Eλ（Fρn | F）F或任何n的g的S-可测选择g≥ 因此，我们的条件是最小的，如果我们想采用文献f中使用的“一次性博弈”方法或获得平稳马尔可夫完美均衡，那么这是一个紧条件。7.结论性意见我们考虑一般状态空间下折扣随机对策中的平稳马尔可夫完美均衡。到目前为止，这种均衡已经被证明只存在于几类特殊的随机博弈中。本文在一些一般条件下证明了平稳马氏完全平衡点的存在性，从而拓宽了随机对策的潜在应用范围。我们通过两个例子来说明这种应用，即带有内生冲击的随机博弈和随机动态寡头垄断模型。

我们的结果统一并超越了[10]、[11]、[37]、[40]和[42]中的各种存在性结果，也为最近一个没有平衡稳定策略的反例提供了一些解释。在文献中，存在论的标准递归方法是使用由状态和连续值函数参数化的一次性辅助博弈。我们采用了这种方法，并在“可分解的”较粗过渡核的条件下提供了一种非常简单的预防方法。这个预测基于s-ToCastic博弈和条件句之间的新联系，条件句是一个著名的李雅普诺夫例子的变体。对通信的期望。我们从技术角度证明，对于标准的“一次性游戏”方法，我们的条件是最小的。8附录8。1.ClaimLet F是由函数集合{q（·S）}S生成的S的子σ代数的证明∈设（^h，^r）=（0，0）（resp.（~h，~r）=（，0）），并将^q（resp.~q）表示为q（S，^h，^r）（resp.q（S，~h，~r））的对应值。那么^q和^q都是可测沙F的函数。我们有以下方程组：^q=h+2hr，（3）~q=h+h+2hr。（4） 我们可以看到（^q，^q）的两个函数。通过从方程（3）中减去方程（4），我们得到^q- q=h-h、 根据定义，对于给定值^q，该方程必须有关于HF的解- 因此，我们有+2（^q）- ~q）≥ 0，h=+q+2（^q）- q）或-q+2（^q）- q），其中至少有一个在[0,1]中。我们可以计算α（q，~q）=+q+2（^q）- q），如果+q+2（^q- ~q）∈ [0, 1];-q+2（^q）- q），否则。通过将h=^α（^q，~q）代入eq方程（3），我们可以求解（^q，~q）的函数，其表示为r=^α（^q，~q）。设πhandπrbe分别是πh（h，r）=handπh（h，r）=r上的p投影映射。

由于^q和q都是S上的F-可测函数，且πh=^α（^q，~q）和πr=~α（^q，~q），因此π手π稀有映射也是可测的。因此，B（[0,1]） {, [0,1]}和{, [0, 1]}  B（[0,1]）包含在F中。因此，S 自 通过F的定义，我们得到了F=S。通过构造，^α和^α显然都是Borel可测函数。8.2定理1的证明在这一部分中，我们将证明定理1。设L（（S，S，λ），Rm）和L∞（（S，S，λ），Rm）是土地L∞具有通常范数的从S到RMS的所有可测映射的空间；也就是说，L（（S，S，λ），Rm）={f:f是S-可测的，zskfk dλ<∞},L∞（（S，S，λ），Rm）={f:f是S-可测且在λ}下本质有界的，其中k·k是Rm中的常用范数。根据Riesz表示定理（见[1]的定理13.28），L∞（（S，S，λ），Rm）可以看作是L（（S，S，λ），Rm）的对偶空间。然后我∞（（S，S，λ），Rm）是一个局部凸的hausdorff拓扑向量空间*拓扑结构。设V={V∈L∞（（S，S，λ），Rm）：kvk∞≤ C} ，其中C是s分期付款函数u和k·k的上界∞是L的基本支持标准∞（（S，S，λ），Rm）。然后是非空的和凸的。此外，V在弱态下是紧的*拓扑比亚洛格鲁定理（见[1]中的定理6.21]）。因为S是可数生成的，L（（S，S，λ），Rm）是可分的，这意味着V在弱空间是可度量的*拓扑结构（见[1]第6.30节）。给定任何v=（v，··，vm）∈ V和s∈ S、 我们考虑游戏Γ（v，S）。玩家i的动作是人工智能。玩家i的报酬与行动计划∈ A（s）由ui（s，x）（v）=（1）给出- βi）ui（s，x）+βiZSvi（s）Q（ds | s，x）。（5） 玩家i的混合策略是M（Ai（s））中的一个元素，而混合策略文件是i中的一个元素∈IM（Ai（s））。

静态博弈Γ（v，s）的混合策略纳什方程组，用N（v，s）表示，是一个非空紧子网∈弱者之下的IM（Xi）*Fan-Glicksberg定理（参见[1]中的[16]和推论17.55]）导致的拓扑结构。设P（v，s）是N（v，s）中的纳什均衡所诱导的支付向量集，co（P）是P的凸包。那么co（P）是从V×S到Rm的对应关系。设R（v）（resp.co（R（v）））是P（v，·）（resp.co（P（v，·））的S-可测选择的λ-等价类的集合∈ 五、遵循[40]中引理6和引理7中的参数（另见[33]），对于eachv∈ V，P（V，·）（缩写为Pv（·））是S-可测的紧值，而co（R（V））是非空的，凸的，弱的*紧值和上半连续。然后对应co（R）：V→ V映射非空、凸、弱*紧集V（局部凸Hausdorff拓扑向量空间的子集）是V的一个空的凸子集，它在弱空间中有一个闭图*拓扑结构。根据经典的Fan-Glicksberg不动点定理，存在一个不动点v′∈ v按v′键∈ co（R）（v′）。也就是说，v′是co（P（v′，·））的S-可测选择。还记得一封G:S的信件吗→ Rn被称为是可积束缚的edif存在一些可积函数，使得kG（s）k≤ 对于λ-almostall s，则为φ（s）。此外，对于从s到Rm的任何可积有界对应G，I（s，G，λ）G={Eλ（G | G）：G是G}的s-可测选择，其中条件透视是关于λ的。下面的引理来自[12，定理1.2]。引理1。如果S没有G原子，那么对于任何S-可测的λ-可积边界闭值对应G，I（S，G，λ）G=I（S，G，λ）co（G）。现在我们准备好证明定理1。证据给定v′，letH（s）={（a，a·ρ（s），…，a·ρJ（s））：a∈ Pv′（s）}，co（H（s））是H（s）的凸壳∈ s

很明显，H是可测的，λ-可积有界的，闭值的。然后I（S，G，λ）H=I（S，G，λ）co（H）byIn[40]，对转移概率Q施加了一个稍微严格的条件，即映射Q（·S，x）满足x中所有S的l连续性条件∈ 他们关于凸性、紧性和上半连续性的争论在我们的环境中仍然成立。在[12]中，一组D∈ 如果λ（D）>0且G存在任何D，则称S为G原子∈ SD，λs∈ S:0<λ（D|G）（S）<λ（D|G）（S）= 0.在[12]以及我们的论文和书[26]中，S没有G原子的条件是等价的；参见[18]中的引理2。在[12]中，对应的e G被称为是可测量的，如果是任何x∈ Rm，函数d（x，G（s））是可测的，其中d是欧氏空间中的常用度量。他们对相关性可测性的概念与我们对相关性可测性的定义一致，见[1]中的定理18.5。引理1，这意味着存在一个S-可测选择v*例如Eλ（v*ρj|G）=Eλ（v′ρj|G）每1≤ J≤ J

每一次我∈ 一、 s∈ S和x∈ 十、 我们有ZSV*i（s）Q（ds | s，x）=X1≤J≤JZSv*i（s）qj（s，s，x）ρj（s）λ（ds）=X1≤J≤JZSEλ（v）*iρjqj（·，s，x）|G）（s）λ（ds）=X1≤J≤JZSEλ（v）*iρj | G）（s）qj（s，s，x）λ（ds）=X1≤J≤JZSEλ（v′iρj | G）（s）qj（s，s，x）λ（ds）=X1≤J≤JZSEλ（v′iρjqj（·s，x）|G）（s）λ（ds）=X1≤J≤JZSv′i（s）qj（s，s，x）ρj（s）λ（ds）=ZSv′i（s）Q（ds | s，x）。通过等式（5），Γ（v）*, s） =任何s的Γ（v′，s）∈ S、 因此P（v*, s） =P（v′，s）。因此，v*是Pv的S-可测量选择*.通过定义Pv*, 这些存在一个S-可测映射f*来自S toNi∈IM（Xi）使f*（s） 是博弈Γ（v）的混合策略纳什均衡*, s） 和v*（s） 是每个s对应的均衡报酬吗∈ 很明显，方程式（1）和（2）适用于v*和f*, 这就是f*是一种静态马尔可夫效应平衡。8.3定理2Let-Vabe的证明由C编码的S-可测映射ping的λ-等价类集合∈ 一、 让我们用fib表示所有fi:Sl的集合→ M（Xi）等fi（s）人工智能（s）= 一个给所有人∈ Sl，F=Qi∈如果。设vl是由C定义的从sl到Rmboun的映射集，它被赋予了上确界度量，并注意到v*实际上是λ-几乎所有s的相应平衡支付∈ 然而，你可以修改v*在一个空集合上，使得声明对所有∈ s例如，参见[40]。因此是一个完整的度量标准。考虑到∈ S、 弗吉尼亚州∈ VAL和vl∈ Vl，考虑一下游戏Γ（va，Vl，s）。玩家i的行动空间是Ai（s）。玩家i和动作文件x的报酬∈ A（s）由Φi（s，x，va，vl）=（1）给出- βi）ui（s，x）+βiP1≤J≤JRSavai（sa）qj（sa | s，x）ρj（sa）λ（dsa）+βiPsl∈Slvli（sl）q（sl | s，x）λ（sl）。（6） 博弈Γ（va，vl，s）中的混合策略纳什均衡集表示为asN（va，vl，s）。

设P（va，vl，s）是由N（va，vl，s）中的纳什均衡诱导的支付向量集，co（P）是P的凸壳。给定va∈ 弗吉尼亚州∈ F，定义一个从VL到VL的映射∏，以便每个∈ 一、 vl∈ VLAN sl∈ Sl，πi（va，f）-i） （vl）（sl）=最大φi∈菲兹-iZXiΦi（sl，xi，x-i、 va，vl）φi（dxi | sl）f-i（dx-i | sl）。（7） 设β=max{βi:i∈ 一} 。那么对于任何va∈ Va，vl，vl∈ Vl，x∈ X和s∈ Sl，Φi（s，x，va，vl）- Φi（s，x，va，vl）≤ βiXsl∈Slvli（sl）- “vli（sl）q（sl | s，x）λ（sl）≤ βisupsl∈Slvli（sl）- “vli（sl）≤ βsupsl∈Slvli（sl）- “vli（sl）.因此，∏是一个β-收缩映射。有一个独特的“vl”∈ 使得∏i（va，f-i） （vl）（sl）=每个i的vli（sl）∈ 我和sl∈ Sl.L和W（va，f）是所有φ的集合∈ F这样，对于每个∈ 我和sl∈ Sl，\'vli（Sl）=ZX-iZXiΦi（sl，xi，x-i、 va，\'vl）φi（dxi | sl）f-i（dx-i | sl）。（8） 设¨vl是由上述va和f生成的Sl上的f函数，R（va，f）是S-可测选择P（va，¨vl，·）的λ-等价类集合，限制为Sa。然后，凸包co（R（va，f））是co的可测选择的λ-等价类的集合P（va，`vl，·）仅限于Sa。表示ψ（va，f）=co（R（va，f））×W（va，f）表示每个va∈ VAF和∈ F正如[37]中所述，ψ是非空的、凸的、紧值的和上半连续的。根据Fan-Glicksberg的不动点定理，ψh作为一个不动点（va′，fl′）∈ Va×F。设vl′是由va′和fl′通过上述β-收缩映射∏生成的从sl到rm的映射。那么va′是可测量的co选择P（va′，vl′，·）仅限Sa；而且我们每个人都有∈ 我和sl∈ Sl，vl′i（Sl）=ZX-iZXiΦi（sl，xi，x-i、 va′，vl′）fl′i（dxi|sl）fl′-i（dx-i|sl）、（9）πi（va′，fl′）-i） （vl′）（sl）=vl′i（sl）。

（10） 遵循与定理1证明相同的论点，存在一个可测量的选择va*关于P（va′，vl′），使得E（va′）*ρj|G）=E（va′ρj|G）对于each1≤ J≤ J、 其中，条件期望（Sa，SSa，λSa）采用λsat，归一化概率测度（Sa，SSa）。对于任何人来说∈ S和x∈A（s），Φi（s，x，va′，vl′）=Φi（s，x，va*, vl′），Γ（va′，vl′，s）=Γ（va*, 因此P（va′，vl′，s）=P（va*, vl′，s）。因此，弗吉尼亚州*是P（va）的S-可测选择*,vl′），存在S-可测映射fa*: Sa→镍∈我（Xi）s uch thatfa*（s） 是博弈Γ（va）的混合策略纳什均衡*, vl′，s）和va*（s） 相应的均衡收益。让v*（s） 成为va*（s） 对于s∈ s的Saand vl′（s）∈ Sl和f*（s） 成为fa*（s） 对于s∈ Saand fl′（s）代表s∈ Sl.为sa∈ 自弗吉尼亚州以来*是P（va）的可测量选择*,vl′）onSa，fa的平衡性质*（sa）则意味着方程（1）和（2）适用于v*和f*. 接下来是sl∈ 单位Φi（Sl，x，va′，vl′）=Φi（Sl，x，va*, vl′）意味着当va′被va替换时，方程（9）和（10）仍然成立*, 这意味着E q值（1）和（2）适用于v*和f*. 因此，f*是一个平稳的马尔可夫完美平衡。8.4命题2的证明在本小节中，我们将遵循第4.1小节中的注释。正如在Remark1中讨论的d，一个有噪声的随机对策是一个具有内生冲击的随机对策，其中Hd和Xd都是单态。因此，我们可以通过将QR视为从H×R到[0，1]的映射，并将其RadonNikodym导数ψ视为定义在H×R上的映射，来稍微滥用旋转。为简单起见，我们表示νH（·）=QR（·H）。设λ（Z）=RHRRZ（h，r）ψ（r | h）ν（dr）κ（dh）对于所有Z∈ S、 G=H {, R} 。回想一下，φ（·s，x）是QH（·s，x）相对于κ的Radon-Nikodym导数。对于每个（s，x），φ（·| s，x）是一个不依赖于r的映射，henceis G-measure ab le。

我们需要证明S在λ下没有G原子。修复任何Borel子集D λ（D）>0的S。有一个从（D，SD）到（L，B）的可测映射α，使得α可以生成σ-代数SD，其中L是赋予Borelσ-代数B的单位区间。设g（h，r）=h表示每个（h，r）∈ D、 Dh={r:（h，r）∈ D} 和HD={h∈ H:νH（Dh）>0}。表示每个h的gh（·）=g（h，·）和αh（·）=α（h，·）∈ 高清。定义映射F:HD×L→ [0,1]如下所示：f（h，l）=νhα-1h（[0，l]）νh（Dh）。同样地，对于每个h，表示fh（·）=f（h，·）∈ 高清。对于κ-几乎所有的h∈ HD，νhimpliesνh的无原子性o α-1h（{l}）=0表示所有l∈ 因此，分布函数fh（·）对于κ-几乎所有h在L上是连续的∈ 高清。设γ（s）=f（g（s），α（s））对于每个s∈ D、 D=γ-1（[0，]），这是D的一个集合，表示h∈ HD，让我成为麦克斯{l∈ L:fh（L）≤} 如果fh是连续的，否则为0。当fh连续时，fh（lh）=1/2。对任何人来说∈ H、 letD=（E×R）∩ D、 E=E∩ 高清。如果λ（D）=0，那么λ（D\\D）=λ（D）=ZHDνho α-1小时o F-1小时[0,]κ（dh）=ZHDνhα-1h（[0，lh]）κ（dh）=ZHDf（h，lh）νh（dh）κ（dh）=ZHDνh（dh）κ（dh）=λ（D）>0。如果λ（D）>0，那么λ（D\\D）=ZEZRD\\D（h，r）νh（dr）κ（dh）=ZEνho α-1小时o F-1小时(, 1]κ（dh）=ZEνho α-1小时o F-1小时[0, 1] \\ [0,]κ（dh）=ZEνh（dh）κ（dh）=λ（D）>0。因此，D不是G原子。因此，S没有G原子，且满足粗跃迁核的条件。8.5命题证明假设状态跃迁的无原子部分满足关于某些概率测度λon（S，S）的可分解粗跃迁核条件。给定状态转移Q（s，x）的形式，λ的无原子部分集中在Sa=[0，1）上，而λ在Sl={1}上有一个原子。对于隐式性，我们替换第5节中使用的符号（Sa，SSa，λ| Sa）。设)Sbe Sa=[0，1]，)λ限制λ| | s，以及)s上的Borelσ-代数。

对于某些正整数J，Radon-Nikodym导数)q（)s | s，x）（)s∈（无原子部分）~Q（S，x）U（S，1）相对于λ（以及∧λ）的∧S）可以表示为1≤J≤对于任何s，J ~qj（~s，s，x）ρJ（~s）∈ S和x∈ 十、 当e~qjis乘积可测时，~qj（·，s，X）和ρj（·）在负和∧可积上为n。此外，对于一些在<<S=[0，1]上的<<S的次σ代数G，>>qj（·，S，x）对于每个j，S，x是G-可测的，并且>>S在>>λ下没有G-原子∈ [0,1），以及一个动作文件XP，其中p层C、C′、D和D′播放策略1；然后Q（s，x）=（1-s） 。从上面的段落可以看出，u（s，1）是关于λ的绝对连续的u（s），与相应的g RadonNikodym导数q（~s | s）（~s）是绝对连续的∈ [0,1]）为1≤J≤J（1）-s） ~qj（~s，s，x）ρj（~s）。表示（1）-s） qj（s，s，x）乘以qj（s，s）。然后，我们有q（~s | s）=P1≤J≤Jqj（~s，s）ρj（~s）对于任何~s∈ [0，1），其中qj（·，s）是G-可测的。从上一段可以看出，勒贝格测度η=U（0，1）相对于λλ与相应的Radon-nikodym导数q（·| 0）是绝对连续的（为了简单起见，用¨q（·）表示）∈ [0,1]：q（~s）>0}。然后∧（~D）>0和η（~Dc）=R＠Dc＠q（~s）~λ（D＠s）=0，其中＠dcs是[0,1]中集合＠D的补项。U（s，1）对[0,1）上的勒贝格测度η的Radon-Nikodym导数为：q（~s＠s）=1.-ss∈ [s，1），0s∈ [0，s）。因此，U（s，1）关于∧λ的Radon-Nikodym导数q（·s）可以表示为^q（·s）’q（·因此，我们得到了q（·s | s）=^q（·s）’q（·s）=P1≤J≤Jqj（~s，s）ρj（~s）对于任何~s∈ [0,1）.表示Dj={s∈~D:ρj（~s）=0}表示1≤ J≤ J.因为所有的q（~s）>0∈~D和^q（~s | s）>0表示0≤ s≤ ~s<1，我们必须∩1.≤J≤JDj=, 因此∧∩1.≤J≤JDj= 0.首先假设所有j的∧λ（Dj）=0。让¨D=∪1.≤J≤JDj；那么λ（\'D）=0。修正s′∈ [0,1）.设Ej={s∈~D:qj（~s，s′）=0}和E=∩1.≤J≤杰。

ThenEj∈ GD为1≤ J≤ J、 因此E∈ GD.适用于任何s∈ [s′，1）∩因为q（~s|s′）=q（~s|s′）-q（~s）>0，所以存在1≤ J≤ 使得qj（|s′）大于0，这意味着/∈ 内贾德/∈ 因此，E [0，s′）∩对于任何∈（[0，s′）∩~D）\\\'D, 对于每个1，我们有q（~s|s′）=0和ρj（~s）>0≤ J≤ J、 这意味着每1的qj（|s′）=0≤ J≤ J、 以及∈ E.也就是说，（[0，s′）∩~D）\\\'D E.因此，λ（E）△（[0，s′）∩~D））=0。因此，[0，s′）∩~D∈ 所有s′的GD∈ [0，1）.由于区间类{[0，s′）}s′∈[0,1]在[0,1]上生成了Borelσ-代数，我们得到了G＠D与＠S＠Dunder＠λ的关系。因此，＠S在＠λ下有一个G原子＠D。这是一个矛盾。接下来假设＠λ（Dj）=0不适用于所有j。然后存在一个S et，sayD，使得＠λ（D）>0。设Z={K {1，…，J}:1∈ K、 λ（DK）>0}，其中DK=∩J∈KDj。因此，{1}∈ Z、 Z为有限，n为空。设Kbe为Z中包含大多数整数的元素；就是，K≥K对于任何K∈ Z、 在哪里K是K的心度。由K的定义，λDK> 0.设Kc={1，…，J}\\K.那么Kc是非空的sin ce∧∩1.≤J≤JDj= 0.此外，λDK∩ 流行音乐播音员= 0代表任何j∈ Kc。否则，λDK∩ 流行音乐播音员> 0代表一些j∈ KCS和etK∪ {j} 在Z中，这与K的选择相矛盾。Let^D=∪K∈KcDK∩ Dk;那么∧（^D）=0。对所有人来说∈ DK，q（~s | s）=Pk∈所有s的Kcqk（~s，s）ρk（~s）∈ [0,1）.修正s′∈ [0,1.L et Ek={s∈~D:qk（~s，s′）=0}和EKc=∩K∈KcEk。然后是埃克∈ Gd适用于任何k，因此适用于EKc∈ GD.适用于任何s∈ [s′，1）∩~D，因为q（~s|s′）大于0，所以存在k∈ 使qk（~s，s′）大于0，这意味着/∈ 埃坎德斯/∈ EKc。因此，EKc [0，s′）∩~D和EKc∩ DK [0，s′）∩ DK。现在，对于任何∈[0，s′）∩ DK\\^D, 对于eachk，我们有q（~s|s′）=0，ρk（~s）>0∈ Kc，这意味着每k的qk（~s，s′）=0∈ Kc和s∈ EKc。就是，[0，s′）∩ DK\\^D EKc∩ DK。

因此，（[0，s′）∩ DK）\\（EKc∩ DK）^D，和∧（EKc）∩ DK）△（[0，s′）∩ DK）= 因此，[0，s′]∩ DK∈ GDKfor alls\'∈ [0，1）.由于区间类{[0，s′）}s′的存在∈[0,1]在[0,1]上生成了Borelσ-代数，我们得到了GDKcoincides与SDKunderλ。因此，在λ下有一个G原子dk。这又是一个矛盾。8.6命题的证明4和5命题的证明4.定义一个对应={0,1}s∈ D{0}s/∈ D.我们声称I（S，G，λ）G6=I（S，G，λ）co（G）。设g（s）=D，其中1d是集合D的指示函数。然后，对co（g）进行s-可测选择。如果存在S-可测选择gof G，使得Eλ（G | G）=Eλ（G | G），那么存在asubset D D使得g（s）=1D。因为D是G原子，对于任何S-可测子集E D、 有一个子集E∈ G使得λ（E）△（E）∩ D） ）=0。然后λ（E）∩ D） =ZSE（s）g（s）λ（ds）=ZSEλEDg | Gdλ=ZSEEλg | gdλ=ZSEEλg | gdλ=ZSEDdλ=λ（E）∩ D） =λ（E）。因此，通过选择E=D，λ（D）=λ（D）>0。然而，通过选择E=D，λ（D）=λ（D），这意味着λ（D）=0。这是一个矛盾。命题5的证明。假设存在一个S-可测选择g of g，使得任意n的Eλ（gρn | F）=0≥ 0.然后存在一个集合E∈ 就是这样=1s∈ E-1s/∈ E.因此，λ（E）- λ（Ec）=ZSgρdλ=ZSEλ（gρ| F）dλ=0，这意味着λ（E）=。此外，ZSgndλ=ZSgρndλ-ZSg dλ=ZSEλ（gρn | F）dλ- 每n 0=0≥ 1，与以下条件相冲突：{n} n≥0是一个完全正交的茎。参考文献[1]C.D.Aliprantis和K.C.Border，有限维分析：AHitchhiker指南，柏林斯普林格，2006年。[2] R.Amir，《资本积累与凸转移的连续随机博弈》，博弈与经济行为15（1996），111–131。[3] R.Am ir，《折扣随机博弈中的互补性和对角优势》，运筹学年鉴114（2002），第39-56页。[4] R。

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