折扣随机对策中的平稳马氏完美均衡

2022-5-5 04:19:19

折扣随机对策中的平稳马氏完美均衡*魏和+孙业能2017年1月24日摘要

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2022-5-5 04:19:22

这个版本主要归功于一名编辑、一名助理编辑和两名裁判的仔细阅读和解释性建议。+香港香港中文大学经济系。电子邮件：他。wei2126@gmail.com——新加坡国立大学经济系，新加坡艺术中心1号，邮编：117570。电子邮件：ynsun@nus.edu.sgContents1简介32贴现随机博弈83主要结果114应用144.1内生冲击随机博弈。144.2价格竞争下的随机动态寡头垄断。175延期206讨论217结束语278附录288.1权利要求1的证明。288.2定理1的证明。298.3定理2的证明。318.4提议2的证明。338.5提议3的证明。358.6提案4和提案5的证明。37参考文献381引言随机对策类通过允许阶段对策随一些公共可观测状态而变化，丰富了重复对策模型。它考虑了重复博弈的应用。特别是，一个随机游戏由一组有限的玩家在离散时间内展示，所有玩家都可以观察到过去的历史。在每个阶段的开始，自然会随机抽取一些状态。状态实现后，玩家选择动作，每个玩家都会收到一笔分期付款，这取决于当前状态和动作。然后游戏进入下一阶段，并绘制一个新的随机状态，其分布取决于前一个状态和选择的动作。在新状态下重复该过程。

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2022-5-5 04:19:25

每个玩家的总支付是阶段支付的折扣之和。随机博弈中玩家的策略是一个完整的行动计划，在玩家可能被要求采取行动的每个意外事件中，为玩家指定一个可行的行动。然而，所谓的马尔可夫战略在文献中受到了广泛关注，它只依赖于当前的状态，而不是整个过去的国家历史和行动计划。如[32]所述，马尔可夫完美均衡的概念要求参与者只使用马尔可夫策略，它体现了各种实用价值和哲学考虑，包括概念和计算的简单性。考虑到随机博弈中的相关参数与时间无关，要求马尔可夫策略也与时间无关是很自然的。基于这种策略的均衡称为平稳马尔可夫完美均衡。在平稳马尔可夫完美均衡中，任何具有相同电流状态的子博弈都将以完全相同的方式进行。所以“过去”真的是“过去”；i、例如，过去的历史一点也不重要。从[43]开始，不可数随机对策的平稳马尔可夫完美均衡的存在性仍然是一个重要问题。

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2022-5-5 04:19:29

关于紧作用空间和有限/可数状态空间的随机对策中此类平衡点的存在性结果已在许多早期文献中得到证明。例如，考虑到这本书[35]（特别是关于经济应用的调查章节[4]），以及最近的调查章节[24]和[25]。具有有限作用和状态的零和博弈的结果是在具有一般状态空间的随机博弈在经济学各个领域的开创性纸质应用中建立的，在过去二十年中，这类博弈的平稳策略中均衡的存在性已被广泛研究。然而，到目前为止，除了一些特殊的随机对策类，文献中还没有得到普遍存在的结果。[10]和[40]证明了随机对策平稳马尔可夫完全相关方程的存在性。这些论文假设所有玩家都知道一个与游戏基本参数无关的加密装置。在[11]、[37]和[42]中已经证明了在状态转移上具有一些特殊结构的随机对策存在平稳马尔可夫完美均衡。论文[42]主要研究具有有限动作和状态独立转换的随机博弈。在[37]中研究了一类s-tochastic对策，其中转移概率有一组固定的可数原子，其无原子部分是无原子测度的有限组合，不依赖于状态和动作。[11]中考虑了具有特定产品结构的随机博弈，即带有噪声的随机博弈。尤其是[11]中的噪声变量是状态的一个与历史无关的组成部分，可能会影响到活动和转换。

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2022-5-5 04:19:33

最近，在[27]和[28]中发现，满足下面第2节所述的通常条件的随机博弈可能没有任何平稳的马尔可夫性能均衡。这意味着[43]提出了一个通用的解决方案。[15]和[44]显示了有限状态空间和紧动作空间的情况。[43]中的结果由[41]扩展到了具有有限状态空间和可数状态空间的非零和代数。可数状态空间和比较作用空间的存在性结果由[14]证明。[36]和[47]中考虑了近似平衡。有关随机遗传算法文献的详细讨论，请参见调查[24,25]。[3]、[5]、[9]、[23]、[39]、[46]研究了具有战略互补性的随机对策；有关进一步的讨论，请参见调查[45]中的第6节。[21]研究了一类相关的随机博弈，其中不同参与者之间的相互作用非常弱。在[19]中证明了在阶段支付和状态转移上具有有限作用和强可分性条件的两人博弈的平稳p-均衡的存在性。在[22]和[38]中考虑了代际随机对策中平稳马尔可夫平衡点的存在性。[2]和[6]研究了具有亚模块性的随机对策。所有这些论文都对支付函数和状态转移施加了特殊条件。[10]在更强的条件下获得了额外的遍历性质。[28]中指出了[27]相关示例中的一个错误，并在此给出了一个新示例。在新的例子中，折扣随机博弈有一个连续的状态、确切的玩家和动作，其中所有的状态转换都是绝对连续的。

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能者818

2022-5-5 04:19:36

由于在这个随机博弈中只有有限的多个动作，任何关于动作的连续性假设都将自动满足。存在性结果只能在某些合适的条件下成立。本文的第一个贡献是引入一个一般条件来保证随机对策中平稳马尔可夫完美平衡点的存在性。基于这个条件，我们统一了文献中的各种存在性结果，如前一段所讨论的，并且还提供了一类新的随机博弈，它对于经济应用是有用的，不能由现有的结果来处理。我们的第二个贡献是方法论。我们首次建立了s-ToCastic博弈中的均衡收益对应关系与对应关系的条件期望的一般结果之间的联系，henceare能够为平稳马尔可夫均衡的存在提供一个简单的证明。在以下段落中，我们将详细讨论我们的情况和结果。一般随机博弈中的转移概率是根据前一阶段的行为和状态定义的。如上所述，在[10]、[11]、[40]和[42]中，假设前一时期的行为和状态没有进入状态的太阳黑子/噪声/冲击分量的过渡期。因此，这些论文中转移概率的一个关键组成部分不受前一时期的行为和状态的影响。然而，带有随机冲击的动态经济模型是常见的，并且似乎可以自然而然地假设，s型冲击的转变可能内在地取决于前一阶段的一些重要因素（行动/状态）。

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2022-5-5 04:19:39

如[28]中的反例所示，如果对转移核没有任何限制，平稳马尔可夫完美平衡可能不存在。我们引入了一个新的模型，称为“具有内生冲击的随机博弈”，该模型允许当前时期的冲击分布直接依赖于前一时期的状态和行动的“离散”成分。为了证明一般随机对策中一个等式的存在性结果，所有这些文献都研究了一般支付，但对状态转移施加了特殊的结构。这里的转移核是指转移概率相对于状态空间上某些参考测度的Radon-Nikodym导数；RadonNikodym衍生品的定义见脚注15。与[10]和[40]中的太阳黑子思想不同，[11]的创新之处在于允许噪音成为舞台报酬的一部分。这一特点也被本研究中考虑到的具有内生冲击的仓促博弈所分享。动态经济模式中，行为和状态的许多离散成分是常见的，例如[13]和[20]中的企业进入或退出。这包括具有内生冲击的随机博弈和状态转移具有可分解特征的博弈类（例如，参见[37]和[42]），我们提出了一个称为“可分解的粗糙过渡核”的条件，即过渡核被分解为若干个组成部分的总和，每个组成部分是“更粗糙”的历史相关过渡函数和历史无关密度函数的乘积。对于具有内生冲击的随机博弈，历史无关的密度函数代表冲击。

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2022-5-5 04:19:42

特别是，前一阶段的状态和动作的每个离散分量自然会在过渡内核中贡献一个分量，它描述了激波分布的历史依赖性。因此，它揭示了随机冲击的分布可以直接依赖于前一时期的行为和状态的直觉。我们的理论1表明，在可分解的粗转移核条件下，随机对策具有平稳的马尔可夫完美均衡。通过在[12]关于对应关系的条件期望的凸型结果和随机对策中的平衡存在性问题之间提供一个新的联系，给出了一个非常简单的证明。作为定理1的推论，我们知道在一个具有内生冲击的随机博弈中存在一个平稳的马尔可夫完美均衡。定理2扩展了定理1，在跃迁概率中加入了原子部分，并将[37]中的主要存在结果作为一个特殊情况进行了说明。作为具有内生冲击的随机博弈的说明性应用，我们考虑[30,31]中研究的动态寡头垄断模型的随机版本。注：我们关于具有内生冲击的随机博弈和随机动态寡头垄断模型的结果不能被相关文献中的现有结果所覆盖，因为冲击分量在状态中的转移明确取决于前一阶段的参数。为了研究具有平稳结构的动态问题，标准ap计划使用具有递归结构的简化问题，其中玩家的支付由舞台支付和玩家的预期连续值的凸组合根据Bellman方程给出。

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2022-5-5 04:19:46

为了解决存在的问题，进一步的应用将在备注2中讨论。对于一个随机博弈问题，通常需要使用一个由状态变量s和连续值函数v参数化的一次性辅助博弈，其中纳什均衡集m payoff s用Pv（s）表示。虽然相对应的PV（·）是闭值的，并且在v方面是连续的，但它一般不是凸值的。因此，每个理想的凸性、封闭性和上半连续性属性都将包含连续值函数空间中的对应关系R，其在连续值函数V处的值是对应关系Pv（·）的可测量选择的集合。因此，经典的Fan-Glicksberg不动点定理（见[1]中的推论17.55）不适用于对应关系R。请注意，对应关系的x点将对应于随机博弈的平稳马尔可夫完美均衡。另一方面，R的凸包对应co（R）不具有上述理想性质。因此，co（R）有一个固定点，对应于[10]和[40]中所述的随机博弈的平稳马尔可夫完美相关均衡。ou r证明的关键洞见是，在可分解的粗糙过渡核条件下，通过显示co（r）和r的条件期望的等价性，可以放松这种强加的凸性限制，这导致对应关系r的固定点（而不是co（r））。从技术角度来看，我们对这种“一次性游戏”方法的最低条件也得到了证明，即条件如第4和第5点所示是严格的。论文的其余部分组织如下。第二节给出了折扣随机对策的一般模型。第3节给出了主要结果。

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2022-5-5 04:19:49

第四节考虑了具有内生冲击的随机博弈和随机动态寡头垄断模型。第5节通过允许转换内核具有原子部分，提供了对主existenceresult的扩展。第6节讨论了我们的存在定理与文献中几个相关结果之间的关系，并证明了我们条件的极小性。第二部分是论文的结论。附录收集证据。有关详细信息，请参见第8.2.2小节“折扣随机博弈”m人折扣随机博弈可以定义为（1）状态空间，（2）每个玩家的状态相关可行动作对应关系，（3）每个玩家的分期付款，这取决于状态和动作文件，（4）每个玩家的贴现因子，（5）取决于状态和动作文件的转移概率。形式上，折扣随机对策上的m-pers被描述为：oI={1，····，m}是参与者的集合（S，S）是一个可测量的空间，代表自然状态，S是合理生成的每一次我∈ 一、 Xi是游戏者I的动作空间，这是一个非空紧度量空间，赋予了它的Borelσ-代数B（Xi）。设X=Q1≤我≤mXiand B（X）=1.≤我≤mB（Xi）。那么X是所有可能的行动计划的空间每一次我∈ 一、玩家I在s状态下的可行行为集由Ai（s）给出，而Ai是s到Xi的s-可测量、非空且紧值的响应。

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2022-5-5 04:19:52

让A（s）=Qi∈每种类型的IAi∈ S.o对于每个i∈ 一、 ui:S×X→ R是玩家i的舞台报酬，带有绝对的d C（即，对于每个i∈ I和（s，x）∈ S×X，| ui（S，X）|≤ C表示某个正实数C），使得ui（s，x）对于每个x是s-可测量的∈ x，每个s在x中连续∈ S.oβi∈ [0，1）是玩家i的贴现因子。o状态的运动定律由转移概率Q:s×X×s给出→ [0, 1].也就是说，如果s是t和x阶段的状态∈ X isIt意味着S有一个可共数子集D，使得S由D中的集合生成。这个条件被广泛采用。例如，[10]、[11]和[27]中的状态空间分别被假定为compa c t度量空间、Polish空间、Polish空间的Borel子集，因此都是可数生成的。如果对于Xi的任何闭（或开）子集B，集合{S∈ S:Ai（S）∩ B 6=} 属于S；参见[1]的定义18.1。在文献中，有一些论文假设对应关系是弱可测的；例如，参见[11]和[40]。这两个可测量性概念在我们的环境中出现，因为它们是完全不同的；参见[1]中的引理18.2。请注意，支付和转移概率Q只需要在m个参与者在该阶段同时选择的行动文件图上定义，然后Q（E | s，x）是阶段t+1的状态属于集合Egiven s和x.1的概率。Q（·| s，x）（缩写为Q（s，x））是对所有（s，s）的概率度量∈ S和x∈ 十、尽管如此∈ S、 Q（E |·，·）是S吗 B（X）-可测量。2.对于所有s和x，Q（·| s，x）对于（s，s）上的概率测度λ是绝对连续的。

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2022-5-5 04:19:55

让q成为S s B（X）-从S×S×X到R+的可测函数∈ S和x∈ 十、 q（·s，X）（也称为q（·s，X）或q（s，X））是q（·s，X）的相应RadonNikodym导数。为了所有的人∈ S、映射x→ Q（·s，x）是范数连续的；也就是说，对于任何动作序列{xn}收敛到某个x，序列{Q（·| s，xn）}在总变化中收敛到Q（·| s，x）。正如在[32]中，一个随机游戏的历史一直持续到t阶段≥ 1可定义如下。我们使用stand XT来分别描述状态和行动计划instage t。设h=s∈ S、 ht=（S，x，S，…，xt）-1，st）代表t≥ 2，xj在哪里-1.∈A（sj）-1）和sj∈ 2美元≤ J≤ t、而这就是所有这一切的空间。我为每个阶段指定了球员的策略≥ 1，从空间Ht到参与者i的混合行动集M（Xi）的可测量映射（称为阶段t的混合行动计划），将概率1放置在每个状态st的可行行动集Ai（st）上∈ 对于任何策略文件f={fi}i∈关于球员和每个初始状态∈ S、定义在（S×X）上的概率度量∞以规范的方式；例如，参见[7]。考虑到从s状态开始的游戏中的策略文件f，玩家i的预期收益是EfsP∞t=1βt-1UI（st、xt）, 西娅在哪里。为了简单起见，我们按照文献在整个产品空间S×X上定义它们，如[10]、[27]、[28]和[40]所示。设（S，S，λ）为概率空间。对于任意D，有限测度ν相对于λif是绝对连续的∈ S、 λ（D）=0意味着ν（D）=0。在这种情况下，存在一个（λ-几乎）唯一的λ-可积函数q，使得对于任意D，ν（D）=RDq（s）λ（ds）∈ 这种函数q被称为ν对λ的theRadon-Nikodym导数，参见[29]中的第134页。（S，S）上两个概率度量u和ν的总变化距离为ku- νkT V=supD∈S|u（D）-ν（D）|。

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2022-5-5 04:19:58

一系列概率测度{un}被称为收敛于总变化的概率测度u，如果limn→∞kun- ukT V=0。对于完全可分度量空间中的Borel集D，设M（D）是D上所有Borel概率测度的集。期望是关于概率测度Pfs的。如果为每个阶段指定了混合行动计划，则层的策略称为马尔可夫策略≥ 1只取决于州政府∈ 正如[32]中所强调的，马尔可夫策略的优势在于，这些策略只依赖于游戏中与支付相关的数据。在本文中，我们将重点讨论一类特殊的马尔可夫策略，即“平稳马尔可夫策略”，在这种策略中，玩家根据当前状态而不是日历时间做出决策。即，为每个阶段指定的混合行动计划≥ 1是相同的映射。静态马尔科夫策略对于折扣支付评估来说是很自然的，因为在相同状态下开始的子博弈在策略上是等价的，因为玩家在这些子博弈中拥有相同的支付。此外，平稳马尔可夫策略特别有用，因为它们易于分析。从形式上讲，游戏者i的静态马尔科夫策略是S-可测映射fi:S→ 对于每一个集，Ai fi（s）的概率为1∈ 平稳马尔可夫策略文件f称为平稳马尔可夫完美均衡ifEfs∞Xt=1βt-1UI（st，xt）！≥ E（gi，f）-i） s∞Xt=1βt-1UI（st，xt）！无论如何，我∈ 一、 s∈ 在下面，我们将从递归结构的角度考虑平稳马尔可夫完美均衡，它更容易处理。根据动态p程序设计和随机博弈的标准结果（例如，参见[8]和[40]），该公式等同于上文定义的均衡概念。

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2022-5-5 04:20:01

在平稳马尔可夫策略文件f中，连续值v（·，f）给出了从S到Rm的非连续有界S-可测映射，这是唯一性，它是可测的、非空的和紧值的，根据[1]中的定理18.6，对应关系有一个可测图。然后，根据[1]中的第18.27节，AI有一个可测量的选择。因此，游戏者i的平稳马尔可夫策略集对于每个i都是非空的。由以下公式vi（s，f）=ZX确定(1 - βi）ui（s，x）+βiZSvi（s，f）Q（ds | s，x）f（dx | s）。（1）如果每个参与者i的损失预期收益通过其策略五个状态s最大化，则策略文件f是一个平稳的马尔可夫完美均衡∈ 这意味着连续值v解决了以下递归m最大化问题：vi（S，f）=maxxi∈Ai（s）ZX-我(1 - βi）ui（s，xi，x）-i） +βiZSvi（s，f）Q（ds | s，xi，x）-（一）F-i（dx-i | s），（2）其中x-土地X-我有美的含义，f-i（s）是产品概率j6=ifj（s）在状态s下除参与者i之外的所有参与者的行动空间的乘积上。3主要结果在本节中，我们证明了统计随机对策的平稳马尔可夫完美均衡的存在性。特别地，我们引入了“（可分解的）粗糙过渡核”的概念，并给出了我们的主要结果。第8分节。2.通过在随机博弈和条件期望对应之间建立新的联系，提出了一个简单的证明。在讨论条件和结果之前，我们需要一个亚σ-代数上原子的正规概念。设λ是可测状态空间（S，S）上的概率测度。设G是S.a-S-et-D的次σ-代数∈ 如果G和stod的限制σ-代数本质上相同，则称Sof正测度为G-原子。

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2022-5-5 04:20:05

当相关的σ-代数被用来表示信息时，一个事件D∈ S是一个G原子，简单地说，在给定实现的情况下，每个参和者的连续值的存在性和唯一性遵循标准压缩映射参数，参见[8]。例如，在随机博弈的上下文中，S代表状态空间的全部信息，而G代表由事件D的转移核q生成的信息。S和D G携带相同的信息。形式上，让Gd和Sd分别是σ-代数{D∩ D′：D′∈ G} 和{D∩ D′：D′∈ S} 关于D.赛特∈ 据说S是一个G-atomif，它有力地完成了GDis SD。定义1。如果对于S的子σ-代数G，q（·| S，x）对所有S都是G-可测的，则称折扣随机对策具有更粗糙的传递核∈ S和X∈ 十、 S没有G原子（λ以下）。如果对于S的子σ-代数G，S没有G原子（在λ下），并且对于某个正整数J，q（S | S，x）=P1，则称贴现随机对策具有可分解的粗糙传递核≤J≤Jqj（s，s，x）ρj（s），其中qjis sB（X）可联合测量，而qj（·，s，X）对于每个s是G-可测量的∈ S和x∈ 十、 qj（·，s，X）和ρjare在无原子概率空间（s，s，λ）上非负可积，j=1，注：在“较粗过渡核”条件下，是“可分解较粗过渡核”条件的特例。下面，我们提供一个简单的例子来说明“一个可分解的粗糙过渡核”的条件。例1。假设状态空间为S=[0,1]×[0,1]（分别为S=[0,1]×[0,1]），通用元素为S=（h，r）（分别为S=（h，r）），λ是单位平方上的均匀分布，作用空间为X Rl。

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2022-5-5 04:20:08

为了简单起见，下面构造的密度函数不依赖于x∈ 设ρ（s）=h，ρ（s）=r；q（s，s）=h+h2/3+h，q（s，s）=2h+r1+r；q（s | s）=q（s，s）=q（s，s）ρ（s）+q（s，s）ρ（s）。[17]和[34]中考虑了G原子的概念，另见[26]中的定义1.3.3。本文作者感谢一位匿名的裁判提供了这些参考资料。λ下GDin S的强完备是形式E中所有集合的集合△E、 E在哪里∈ gd和Eis是SD中的λ-null集，E△E消除对称差异（E\\E）∪ （E\\E）。当G是平凡的σ-代数{S，}, S没有G原子当且仅当λ是无原子的。如果（S，S，λ）有一个原子D∈ S在通常意义上（即，D是平凡σ-代数上的一个原子），则D自动地是S的任何子σ-代数G的G-原子。这也意味着，如果S在λ下没有G-原子，则（S，S，λ）是无原子的。很容易检查q（s，s）关于子的积分是否为1∈ 设我们是[0,1]×[0,1]和G=B（[0,1]）上的Borelσ-代数{, [0,1]}，其中b（[0,1]）是[0,1]上的Borelσ-代数。对于任何人来说∈ S、 q（·，S）和q（·，S）都是手的线性函数，不依赖于r。因此，{q（·，S），q（·，S）}S生成的σ-代数∈很明显S没有G原子。因此，密度函数q满足可分解的粗糙传递核的条件。注意函数{q（·，s）}s∈关于σ代数S是可测的。下面，我们证明了S确实是由函数集合{q（·S）}S生成的∈证据留在附录中。权利要求1。

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2022-5-5 04:20:11

在例1中，{q（·s）}s生成的σ-代数∈Sis S S.对动作对应、阶段效应、转移概率和转移核的可测性要求仅仅意味着σ-代数S由四组m ap ping{Ai（·）}i生成∈一、 {ui（·，x）}I∈一、 x∈十、 {Q（E |·，X）}E∈S、 x∈x和{q（·s，x）}s∈S、 x∈X.当转换核的形式为q（s | s，X）=P1时≤J≤Jqj（s，s，x）ρj（s），设G是由映射{qj（·s，x）}j生成的σ代数∈J、 s∈S、 x∈在例子1的上下文中，如果一个人处理一些S-可测量的动作对应和阶段性动作，那么映射{Ai（·）}i∈一、 {ui（·，x）}I∈一、 x∈十、 {Q（E |·，X）}E∈S、 x∈x和{q（·s，x）}s∈S、 x∈生成σ-代数S=B（[0，1]） B（[0，1]）（由{q（·| s，x）}s生成）∈S、 x∈十、如权利要求1）所示。另一方面，由{q（·，s），q（·，s）}s生成的σ代数∈Sis G=B（[0,1]）{, [0, 1]}. 在这种情况下，由于S没有G原子，所以满足了可分解的更粗糙跃迁核的条件。特别地，“粗糙”一词表示由{q（·，s），q（·，s）}s导出的σ-代数∈给定任何非平凡事件，Sis比游戏原语中的σ-代数S粗糙。现在我们陈述本文的主要结果。如果σ-代数是可重测的最小σ-代数，则称σ-代数是由在某些完全可分度量空间中取值的一组映射生成的。例如，设D为S的子集[0,1/2]×[0,1]。然后，集合[0,1/2]×[1/2,1]在SDN中，而不是在GD中，这意味着D不是G原子。定理1。每一个具有（可分解）粗转移核的折扣随机对策都有一个平稳的马尔可夫完美均衡。4.应用在本节中，我们将介绍一些应用。

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2022-5-5 04:20:16

我们特别介绍第4小节。1.具有可分解粗转移核的随机对策的一个子类，其中动作和状态中的离散分量可以直接影响随机冲击的转移。这个子类中的博弈称为具有内生冲击的随机博弈。作为说明性应用，我们将在第4小节中考虑。2[30,31]中研究的动态寡头经济模型的随机版本。4.1具有内生sh-ocksEconomic模型的随机博弈是常见的，同时具有离散和连续的动作成分。例如，企业会做出离散的选择，比如市场的进入或退出，以及连续的选择，比如产品的质量和价格。在这里，我们将考虑随机博弈，其中离散的选择可能发挥独特的作用。为了达到这个目的，我们假设每个玩家∈ 一、她的动作空间有两个组成部分，形式为Xi=Xdi×X-i、其中XDII是表示离散选择的有限集，X-iis是一个紧凑的度量空间，可能表示其他类型的操作。设Xd=Qi∈伊克斯迪亚德X-=气∈九-i、由于前一阶段的动作可能是当前状态的一部分，状态空间也可能有离散和连续的成分。另一方面，随机冲击形成了各种经济模型的共同特征。因此，我们假设状态空间的形式为S=Hd×H-x R.这里R模拟了随机冲击。组件HDH和HDH-分别代表一组基本参数和两个状态下基本参数的剩余部分。如第2节所述，随机博弈中的状态转移一般如[11]所述，我们也允许随机冲击进入玩家的阶段性支付。取决于前一阶段的行动和状态。

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2022-5-5 04:20:19

然而，如[28]中的反例所示，如果不限制转移核，随机博弈中的平稳马尔可夫完美均衡可能不存在。事实上，正如[10]、[11]和[40]中所考虑的，限制是假设随机博弈中随机冲击的传递不明确地依赖于前一阶段的行为和状态。对于状态空间为S=Hd×H的随机博弈-x R，我们的创新是允许随机冲击的传递直接取决于状态的离散分量hd和xd以及前一时期的动作。现在，我们将在第2节中正式描述具有内生冲击的阿斯查斯特博弈中的状态空间和运动定律，以及其他参数和条件。1.状态空间可以写成S=Hd×H-x R和S=Hd H- R、其中，Hd是一个有限的设置，其电源设置为Hd，H-R是赋有Borelσ-代数H的完全可分度量空间-而且是相对的。表示H=Hd×H-H=Hd H-.2.回想一下Q:S×X×S→ [0，1]是转移概率。福斯∈ S、 x∈ 十、设QH（·| s，X）是Q（·| s，X）在H上的边缘。在（H，H）上有一个固定的概率测度κ，对于所有s和X，QH（·| s，X）相对于κ与相应的可测Radon-Nikodym导数φ（·| s，X）是绝对连续的。对于每个人来说∈ S、 QH（·| S，x）在x.3中是范数连续的。r′的分布∈ 当期的R取决于h′∈ 本期为H，上期为hd和xd。特别是QR:Hd×Xd×H×R→ [0，1]是一个转移概率，对于alls=（hd，h-, r），x=（xd，x-), 还有Z∈ S、我们有q（Z|S，x）=ZHZRZ（h′，r′）QR（dr′|hd，xd，h′）QH（dh′|S，x）。对于任何集合A，A的指示器函数1AA是一个函数，如果y，则1A（y）为1∈ A否则。4.

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2022-5-5 04:20:22

对于任何hd，xd和h′，QR（·| hd，xd，h′）对于（R，R）上的无原子概率测度ν与相应的Radon-Nikodym导数ψ（·| hd，xd，h′）是ab溶质连续的。备注1。[11]中考虑的一个有噪声的随机博弈是hd和xd是单态的情况。当双方都-还有X-由于QR在前一时期完全依赖于（hd，xd），因此，当前时期的随机冲击可能完全依赖于前一时期的行动文件和国家的基本部分；例如，请参见下一小节中的随机动态寡头垄断模型。下面的Remark2考虑了Hd、Xd、H-还有X-他们都不是单身汉。下面的结果是定理1的一个简单推论。推论1。具有内生冲击的随机博弈具有可分解的粗糙转移核，因此具有平稳的马尔可夫完美均衡。证据设λ=κ ν、 G=H {, R} 。因为ν是无原子的，所以S没有G原子λ。很明显，对于所有的s=（hd，h-, r），x=（xd，x-), 还有Z∈ S、我们有q（Z|S，x）=ZH×RZ（h′，r′）φ（h′，S，x）·ψ（r′|hd，xd，h′）λ（d（h′，r′），这意味着对应的跃迁kernelq（S′，S，x）=φ（h′，x）·ψ（r′，hd xd，h′）对于S=（h′，r′）。对于任何固定的xd∈ xD和hd∈ 高清，定义和S s 其中，由一个随机分量a（xdn）和另一个随机分量a（xdn）构成的博弈（xdn）由一个随机分量a（xdn）构成。[11]中的主要定理暗示了辅助随机对策G′中平稳马尔可夫完美均衡的存在性。

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2022-5-5 04:20:25

然而，这种均衡策略对于G′不是平稳的马尔可夫完美均衡，因为它依赖于原始博弈中前一阶段的（hd，xd）（因此不是针对G的马尔可夫策略）。为了清晰和简单，我们使用s，（h，r）和（hd，h）-, r）可交换（类似于他们的“主要”版本）。对于任何s′=（h′，r′）∈ S、 S=（hd，h）-, r）∈ S和x=（xd，x-) ∈ 十、 φ（hd，xd）（s′，s，X）=φ（h′，s，X）·1{（hd，xd）}（高清、高清）;oψ（hd，xd）（s′）=ψ（r′|hd，xd，h′）。很明显，对于任何固定的s和x，φ（~hd，~xd）（·s，x）都是G-可测的。然后我们有q（s′|s，x）=φ（h′|s，x）·ψ（r′|h′，hd，xd）=x~hd∈高清，~xd∈Xdφ（hd，Xd）（s′，s，x）·ψ（hd，Xd）（s′）。由于hd和xd都是有限的，具有内生冲击的随机博弈是一个可分解的更粗糙的过渡核，以及一个由Th eorem1确定的平稳马尔可夫均衡。4.2具有价格竞争的随机动态寡头垄断如前一小节所述，将某些经济情况建模为具有内生冲击的随机博弈是很自然的。在本小节中，我们将考虑[30,31]中研究的动态寡头异步选择模型的随机模拟。我们证明了这种随机动态寡头垄断模型实际上是一个具有内生冲击的随机博弈。推论1允许我们证明平稳马尔可夫完美平衡点的存在性。两个企业（i=1，2）之间的竞争是在有限时间内离散发生的。每个时期都以一系列活跃在市场上的公司、前一时期的价格因素和需求冲击开始。活跃的公司会做出价格决定，而非活跃的公司会遵循上一阶段的价格。企业的利润取决于企业的价格和需求冲击。该模型是[31]中考虑的模型的扩展，其中企业可以选择移动。

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2022-5-5 04:20:28

相比之下，我们考虑了不活跃企业和活跃企业之间的任何可能过渡，并引入了[31，第587页]中考虑的内生需求冲击。从形式上讲，参与者的集合是I={1,2}。集合Θ={θ，θ，θ}中的元素θ表示在每个周期开始时哪些玩家是活跃的。如果θ=θ（分别为θ），则播放器1（分别为播放器2）处于活动状态；如果θ=θ，两个p层都是活动的。也就是说，我们没有把重点放在两个时段的固定短期承诺上，而是允许随机承诺（更多讨论见[30]）。与[31，第573页]的模型一样，价格空间p=p=p被假定为有限的，这意味着企业不能以小于（比如）一便士的单位设定价格。设P=P和P=P×P表示前一个iod的价格集合。设R是一组需求冲击，它是欧几里德空间Rl的一个封闭子集。然后用向量（θ，（~p，~p），r）总结市场状态。公司i的决定是提出一个价格ai∈ 圆周率。在状态（θ，（~p，~p），r）下，如果θ=θiorθ，则i项的可行动作集为π，否则为{pi}。如果一家公司是活跃的，那么它可以选择Pi中的任何价格。如果该公司处于非活跃状态，则该公司必须从上一时期开始承诺其价格。考虑到前一阶段的状态s=（θ，（~p，~p），r）和动作文件（p，p），当前阶段的状态，由（θ′，（~p′，~p′，r′）表示，确定如下：。θ′由s和（p，p）决定，遵循转移概率κ（·s，p，p）；2.~pi′=pifor i=1，2，这意味着前一个季度的行动计划在当前期间被公开观察和视为国家的一部分；3.

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nandehutu2022

2022-5-5 04:20:33

r′由无原子转移概率u（·|θ′，p，p，θ，~p，~p）决定，这意味着需求冲击直接由价格和企业在前一个和当前时期的相对位置决定。假设市场需求函数D:P×R→ R+和成本函数c:R→ R+都是有界的。在状态s=（θ，（~p，~p），r）下，企业利润由ui（p，p，r）给出=（pi）- c（r））D（pi，r）pi<pj；（pi）-c（r））D（pi，r）pi=pj；0 pi>pj。其中（p，p）为本期的行动计划。公司i通过贴现系数0<βi<1对未来进行贴现。我们将讨论如何将这种随机动态双寡头模型视为具有内生冲击的随机博弈。对于这两种情况，Xdi=计划X-iis是一个只有一个元素的集合。设Hd=Θ×P，H-是一个单态集，且H=Hd×H-. 设κ为H上的计数概率测度，且ν=JX（θ，θ′）∈Θ（p，p）∈P×P，（~P，~P）∈Pu（·|θ′，P，P，θ，~P，~P），其中J是P乘积空间的基数×P。那么边际测度qh（·| s，P，P）相对于κ是绝对连续的，dqr（·| h′，hd，P，P）=u（·|θ′，P，P，θ，P，~P）相对于ν是绝对连续的。由于行动空间是有限的，支付函数和转移核的连续性要求自动得到满足。因此，下面的命题来自推论1。提议1。上述动态双寡头模型具有平稳的马尔可夫分布。备注2。在上述模型中，企业的地位（活跃或不活跃）是随机确定的，因此不是一个选择变量。我们可以考虑一个动态市场模型，其中企业的头寸由内部进入/退出决策决定；例如，参见[11]、[13]和[20]。

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2022-5-5 04:20:37

特别是，在[11]中关于企业进入、退出和投资的应用程序中，每个企业都需要就进入/退出以及生产计划做出决策。因此，actionspace自然有两个组件。状态空间可分为三个部分：第一部分Z提供了当前期间市场上存在或不存在的公司列表；第二部分K是当前时期的可用资本存量；最后一部分R代表外部给定的随机冲击，即i.i.d，其密度与Lebesgue测度有关。这在[11]中被描述为一个有噪声的随机博弈，也可以被视为一个带有内生冲击的随机博弈，其中HDA是一个单态集，H-= Z×K。这个模型可以通过让Hd=Z，H来扩展-= K、而收益率的转变取决于企业在之前和当前时期的地位。这种对随机冲击的依赖性可以解释为，活跃企业数量的变化以及一些企业的市场头寸转移对需求/供应冲击至关重要。例如，一家大公司退出市场的决定是一种冲击，可能会严重扭曲需求方的预期，而一家小公司的退出决定可能不会引起注意。扩展模型仍然是一个具有内生冲击的随机博弈，具有平稳马尔可夫完美均衡。5在第3节中，我们假设概率测度λ在（S，S）上是无原子的。下面，我们考虑更一般的情况，即λ可能有原子。为了保证静态马尔可夫完美平衡点的存在，我们仍然假设了可分解的粗糙转移核的条件，但仅限于无原子部分。1.存在不相交的S-可测子集SAA和SLSA∪ Sl=S，λ| sai是λ的无原子部分，而λ| sli是λ的纯原子部分。

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2022-5-5 04:20:40

子集SLI是可数的，每个单态{sl}都有sl∈ 当λ（sl）>0.2时，Slis S可测量。对于sa∈ 转换核q（Sa | s，x）=P1≤J≤Jqj（sa，s，x）ρj（sa）对于某些正整数j，对于每个s∈ S和x∈ 十、其中qjis乘积是可测的，而qj（·s，X）和ρjare在j=1的无原子测度空间（Sa，SSa，λ| Sa）上是非负的和可积的，J.定义2。设G是SSa的次σ代数。贴现随机模型在atomlessIf 1和0分别代表活跃或不活跃的企业，则活跃（不活跃）企业的市场地位转移意味着其地位从1改变为0（0到1）。正如引言中所指出的，我们关于随机对策的存在性结果，即冲击分量的状态转移显式地依赖于前一阶段的参数，不能被早期的结果所覆盖。这些包括推论1，P位置1，正如我们在备注2中所建议的结果。这个假设只是为了简单。在通常的测量理论意义上，我们可以立即将我们的结果推广到SLI是最多相当多原子的集合的情况。注意，对于s中有一个元素的集合{s}，我们使用λ（s）来表示该集合的度量，而不是λ（{s}）。很明显，对于任何一个E∈ S、转移概率Q（E | S，x）=RE∩Saq（sa | s，x）λ（dsa）+Psl∈对于任意s，SlE（sl）q（sl | s，x）λ（sl）∈ S和x∈ X.如果Ssa在λ| s下没有G原子，那么qj（·，s，X）在Saforeach s上是G-可测的∈ S和x∈ 十、 j=1，J.下列定理表明平衡存在性结果仍然成立。定理2。每个在无原子部分具有可分解粗转移核的折扣随机对策都有一个平稳的马尔可夫完美方程。6讨论在本节中，我们将讨论我们的结果与几个相关结果之间的关系。

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2022-5-5 04:20:43

特别地，我们证明了我们的结果涵盖了相关平衡点、噪声随机对策、具有状态独立跃迁的随机对策以及具有常数跃迁核混合的随机对策作为特例的存在性结果。我们还明确说明了为什么最近的反例不能满足我们的条件，并讨论了我们条件的最小值。相关均衡[40]证明了在我们第2节描述的设置中，折扣随机对策中存在平稳的马尔可夫完美相关均衡。[10]在强条件下得到了su ch相关平衡态的遍历性质。他们基本上假设玩家可以在每个阶段做出决定之前观察到公共随机化设备的结果。因此，新的状态空间可以被视为S′=S×L，并赋予乘积σ-代数 B和产品测量λ′=λ η、其中，L是Borelσ-代数B和Lebesgue测度η赋予的非it区间。表示G′=S{, 五十} 。吉文斯，吉文斯∈ S′和x∈ 十、新的转换核q′（s′|s′，X）=q（s′，X），其中s（resp.s）是s′（resp.s′）在s上的投影，q是状态空间s的原始转换核。因此，对于任何s′，q′（·s′，X）相对于G′是可测的∈ S′和x∈ 从[18]中的引理2中可以明显看出，S′没有G′-原子。有关这种公共随机化装置或“太阳黑子”的详细讨论，请参见[10]及其参考文献。然后对扩展状态空间（S′，S′，λ′）满足更粗转移核的条件，并从定理1得到静态马尔可夫完美平衡点的存在性。这种方法的缺点是“太阳黑子”与游戏的基本参数无关。

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2022-5-5 04:20:46

我们的结果表明，它确实可以进入Payoff u阶段，即可行行动A和转移概率Q的对应关系。具有有限行动和状态独立转移的随机博弈[42]中，他们研究了具有有限行动和状态独立转移的随机博弈。也就是说，每个i都有明确的定义∈ I和转移概率Q不直接依赖于s（用Q（·| x）表示）。让卡片（X）成为行动计划的有限集合X的基数。我们将检查这样的惊人博弈是否满足可分解的粗糙过渡核的条件。设λ为概率测度card（X）Px∈XQ（·| x）。然后，对于每个x，Q（·| x）相对于λ是绝对连续的，相应的Radon-nikodym导数由Q（·| x）（缩写为qx）表示。对于固定的x∈ 十、设1{X}为单态集合{X}的指示函数：如果y=X，则1{X}（y）=1，否则为0。然后我们有q（s′|x）=Xy∈X{X}（y）qy（s′）。很明显，可分解的较粗过渡核的条件满足G={, S} 。然后，根据定理1，一个平稳的马尔可夫完美平衡点存在。[37]中考虑了无原子部分上具有转移概率的可分解常数转移Kernels随机对策，其转移概率为无原子部分上的若干测度的组合。具体而言，[37]中的转移概率结构如下所示。如[40]所述，Caratheodory定理的随机版本意味着，人们可以将静态马尔可夫相关均衡策略发现为平稳马尔可夫策略的随机凸组合。Sis是S的一个可数子集，S=S，Sis S S-测度中的每个点。2.

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nandehutu2022

2022-5-5 04:20:49

有集中在S上的无原子非负测度ujc，集中在S上的非负测度δkc和可测函数qj，bk:S×X→ [0, 1], 1 ≤ J≤ J和1≤ K≤ K、其中J和K是正整数。每一个原子的跃迁几率Q（·| s，x）=δ（·| s，x）+Q′（·| s，x）∈ S和x∈ 十、式中δ（·s，X）=P1≤K≤Kbk（s，x）δk（·）和Q′（·| s，x）=P1≤J≤Jqj（s，x）uj（·）。对于任意j和k，对于任意s，qj（s，·）和bk（s，·）在X上是连续的∈ 我们将证明，具有上述结构的任何随机博弈在无原子部分满足可分解的粗糙变换核的条件。在不丧失普遍性的情况下，假设ujandδkare是所有概率测度。设λ（E）=J+KP1≤J≤JuJ（E）+P1≤K≤KδK（E）对任何人来说∈ S.然后μjis相对于λ绝对连续，并假设ρjis处的th为1的Radon-nikodym导数≤ J≤ J.如果有任何问题∈ S和x∈ 十、 letq（s′|s，X）=P1≤J≤Jqj（s，x）ρj（s′），如果s′∈ sδ（s′|s，x）λ（s′，如果s′）∈ 砂λ（s′）>0；0，如果s′∈ 沙λ（s′）=0。那么Q（·| s，x）对于λ是ab连续的，Q（·| s，x）是过渡核。无原子p部分上可分解的粗糙过渡核的条件满足G={, S} 。当一个平稳的马尔可夫平衡点通过定理2存在时。噪声随机博弈[11]证明，在有噪声的随机博弈中存在平稳马尔可夫完美均衡，噪声是状态的一个组成部分，是非原子分布的，不受前一阶段状态和行为的直接影响。在一个特殊的随机博弈中，如HdMarks和HdMarks都是随机的。根据推论1，一个有噪声的随机对策有一个可分解的粗糙传递核。下面，我们直接展示了任何嘈杂的随机博弈都有一个粗糙的转换内核。

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