无模型金融的路径随机积分

2022-5-5 05:44:24

Bernoulli 22（4），2016，2486–25 20DOI:10.3150/15-BEJ735法国巴黎多芬大学现代自由金融机构PERKOWSKI和DAVID J.P R–OMELCEREMADE&CNR UMR 7534的路径随机积分。电子邮件：perkowski@ceremade.dauphine.frHumboldt-柏林大学，德国数学研究所。电子邮件：proemel@math.hu-柏林。deWe在无摩擦模型的金融数学中提出了两种不同的随机积分方法。第一种是基于It^o积分的精神，基于一种特定的拓扑结构，该拓扑结构由对应于最小超边缘价格的外部度量所诱导。第二种方法是基于受控粗糙路径积分。我们证明了每一条“典型价格路径”都有一条自然关联的粗糙路径，并证明了受控粗糙路径积分在金融中的应用，证明它是非预期黎曼和的极限，这本身就是一个新结果。与第一种方法相比，粗糙路径的缺点是严重限制了被积函数的空间，但它是一种Banach空间理论。这两种方法都完全基于财务论证，不需要任何概率结构。关键词：F¨ollmer积分；模型不确定性；崎岖的道路；随机积分；Vovk\'souter测量1。引言在本文中，我们使用Vovk[40]的博弈论方法，在无摩擦模型的金融数学中发展了两种不同的随机积分技术。首先，在无模型的环境中，积分问题非常重要，因为我们不分别假设任何概率的半马尔廷格尔结构。因此，我们无法使用It^o集成，大多数已知技术完全崩溃。对于非概率连续时间环境中的积分问题，我们只知道两种通用的解决方案。

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2022-5-5 05:44:29

一个是由[15]提出的，他简单地将自己局限于有界变化的交易策略（被积函数）。虽然这已经解决了许多相互关联的问题，但在一个无摩擦的市场模型中做出这样的假设并不是很自然的。事实上，在[15]中，我们开发了一种通用的对偶方法，用于定价在时间上Lipschitz连续的路径依赖型衍生产品。这是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2016年，第22卷，第4期，2486–2520。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2016年ISI/BS2 N.Perkowski和D.J.Pr–omelsupremum规范，但到目前为止，他们的方法不允许根据波动性处理衍生品。[9]提出了另一个有趣的解决方案（使用了一个可以追溯到[31]的想法）。他们将“可能的价格路径”的集合限制在那些承认二次变量的人身上。这使得他们可以应用F¨ollmer的路径It^o演算[17]来定义公式的路径随机积分F（S）dS。在[31]中，该方法被用于推导波动性不确定性下美国和欧洲期权的价格。在[9]中，Givenada是欧洲看跌期权价格的固定数量，以及将要定价的衍生工具isa加权方差掉期。

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2022-5-5 05:44:32

Vovk[40]证明了“典型价格路径”（定义见下文）允许二次变化，从而证明了对二次变化路径集的限制。我们在第一条道路上工作，而不是在第一条道路上工作Ohmd维连续路径（代表所有可能的资产价格轨迹）。我们跟随Vovk引入了一个关于Ohm 它被定义为可怜的最低超边际价格（在适当的意义上），因此具有纯粹的财务解释，不来自艺术强加的亲婴儿结构。我们的第一个观察结果是，Vovk的外部度量使我们能够定义一个流程的拓扑结构Ohm, 阶跃函数的“自然积分”在该拓扑中是某种感官连续的。这使我们能够将积分扩展到c`adl`ag自适应积分，我们将得到的积分称为“无模型It^o积分”。我们强调，整个建设仅基于财务论证。我们还要强调，积分的连续性是最重要的方面。如果不参考任何拓扑结构，构造肯定不会非常有用，因为在类概率设置中，几乎所有应用都是It^o积分（SDEs、随机优化、对偶理论等）基于它是一个连续运算符这一事实。这也激发了我们的第二种方法，更符合[9,15,31]的精神。虽然在第一种方法中，我们确实有一个连续算子，但它仅对伪度量序列是连续的，而且似乎不可能找到与其兼容的Banach空间结构。这是一个遗憾，因为Banach空间理论是经典金融数学理论中的关键工具之一，如[13]所强调的。

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2022-5-5 05:44:35

然而，使用无模型的It^o积分，我们能够证明每个“典型价格路径”都有一条与之相关的自然It^o粗路径。由于在金融应用中，我们总是可以将自己局限于典型的价格路径，这一观察结果为在无模型金融中应用受控粗路径积分[21,32]打开了大门。受控粗糙路径积分的优点是，它是一种完全线性的Banach空间理论，同时扩展了：oS对[15]使用的有界变差函数的Riemann–Stieltjes积分Young积分[43]：对于每一个p>2，典型的价格路径都有有限的p-变化，因此对于每一个F-变化，都有有限的q-变化≤ q<2（因此1/p+1/q>1），积分Rf dS被定义为非预期黎曼和的极限F¨ollmer[17]的路径It^o积分，被[9,31]使用。据我们所知，这是本文首次对无模型融资的路径随机积分进行了严格的验证，尽管[19]中也包含了一些这方面的观察结果，但这是受控路径积分的一种特殊形式。换句话说，我们的第二种方法涵盖了之前所有已知的无模型金融数学中的集成技术，而第一种方法更为一般，但代价是离开Banach空间。只有一个陷阱：粗糙路径积分通常被定义为补偿黎曼和的极限，没有明显的财务解释。这破坏了只使用财务论证的整个哲学。这就是为什么我们证明，在某些弱条件下，每个粗糙路径积分Rf dS都被视为不需要补偿的非预期黎曼和的极限——这是首次对广义粗糙路径积分给出这样的陈述。

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2022-5-5 05:44:38

当然，这不会改变具体应用中的任何东西，但从哲学角度来看，这是至关重要的。事实上，在经典金融数学中使用It^o积分的合理性主要基于这样一个事实，即它是非预期黎曼和的极限，即使在“每天的应用”中，没有人提到这一点；例如，参见[31]中的讨论。这篇论文的计划。下面我们给出了在模型不确定性和离散时间无模型环境下（两者都是先验的，比连续时间无模型情况简单得多）的随机集成问题的一个非常不完整的解决方案列表，并介绍了本文中将使用的一些符号和约定。在第二部分中，我们简要回顾了Vovk对数学金融的博弈论方法，并介绍了我们的外部度量。我们还构造了由外部测度导出的过程的拓扑。第3节专门讨论freeIt^o积分模型的构造。第四部分回顾了粗糙路径理论的一些基本结果，并继续构建与典型价格路径相关的粗糙路径。这里我们还证明了路径积分是作为非预期黎曼和的极限给出的。此外，我们还比较了F¨ollmer的路径It^o积分和粗糙路径积分，并证明后者是前者的推广。附录A让人想起了沃夫克的路径选择。在附录B中，我们证明了Davie的一个结果，它也允许计算作为黎曼和极限的路径积分，这是我们在第4节中的结果的一个特例。模型不确定性下的随机积分。研究模型不确定性下期权定价问题的第一批工作是[3]和[31]，这两项工作都考虑了波动性不确定性的情况。如上所述，[31]正在使用F¨ollmer的pa来阻止它。

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2022-5-5 05:44:42

在[3]中，通过推导波动率的“最坏情况”模型，将问题简化为经典情况。模型不确定性下金融数学中的一个强大工具是Karandikar的It^o积分的横向构造[5,24]，它允许在所有半鞅测度下同时构造c`adl`ag被积函数的It^o积分。使构造有用的关键点是，在每个半鞅测度下，It^o积分是一个连续算子。虽然它的路径定义允许我们在无模型的环境中使用相同的结构，但在这种情况下，输出的含义甚至不清楚（例如，结构取决于分区的特定序列，改变序列将改变输出）。当然，一旦我们处理了4 N.Perkowski和D.J.Pr–omelof半鞅测度，Karandikar积分在任何拓扑中是否是连续的是出了名的。[34]中给出了It^o积分的更一般的路径构造，但它克服了无模型金融应用中的一些缺点。[14]提出了模型不确定性下随机分析的一般方法，该方法基于准确定性分析。在模型不确定性下工作时，这种方法非常有用，但它也不允许我们在无模型的环境中定义随机综合图。在一个相关但略有不同的方向上，在[7]中研究了非半鞅模型（如果限制了可接受的策略集，则不违反套利假设）。

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2022-5-5 05:44:46

虽然作者在一个固定的概率测度下工作，但他们的价格过程不是半鞅这一事实阻止了他们使用它，这一困难通过使用Russo–Vallois积分来克服[37]。当然，如果我们把自己限制在离散时间内，所有这些技术问题都会消失。事实上，在这种情况下[4]为模型不确定性下的衍生品定价发展了一个本质上完全满意的对偶理论。符号和约定。在整篇论文中，我们∈ (0, ∞) 我们写Ohm := C（[0，T]，Rd）表示d维连续路径空间。坐标过程Ohm 表示为St（ω）=ω（t），t∈ [0，T]。因为我∈ {1，…，d}，我们也将其写入（ω）：=ωi（t），其中ω=（ω，…，ωd）。过滤（Ft）t∈[0，T]定义为Ft:=σ（Ss:s≤ t），weset F:=FT。停止时间τ和相关的σ-a代数Fτ通常被定义。除非另有明确说明，Ft型不等式≥ Gt，其中F和Gare处理Ohm, 都应该保持ω∈ Ohm, 而不是像随机分析中通常假设的那样，模零集。集合a的指示器功能由1A表示。[0，T]的划分π是一组有限的时间点，π={0=T<T<·T<·tm=T}。偶尔，我们会用整数{[t，t]，[t，t]，…，[tm]的集合来识别π-1，tm]}，并写出像ep[s，t]这样的表达式∈π.对于f:[0，T]→ n和t，t∈ [0，T]，表示ft，T:=f（T）- f（t）并定义f的变量，限定为[s，t] [0，T]askfkp var[s，T]：=sup（m）-1Xk=0 | ftk，tk+1 | p！1/p:s=t<··<tm=t，m∈ N），p>0，（1）（可能取+∞). 我们设置kfkp-var:=kf-kp-var[0，T]。

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2022-5-5 05:44:50

我们写作T:={（s，T）：0≤s≤T≤ T}对于单纯形，定义函数g的p-变量：T→ RN以同样的方式，将ftk，tk+1in（1）替换为g（tk，tk+1）。对于α>0和α := max{z∈ Z:Z≤ α} ，空间Cα由以下函数组成：α 时间连续可微，具有（α-α)-连续梵蒂冈阶α （在α的情况下，具有α阶的连续偏导数。）=α). 空间Cαb包含Cα中有界的函数及其偏导数，我们通过设置kfkcαb来定义范数k·kCαbb：=αXk=0kDkfk∞+ 1α>α杜兰特αfkα-α,无模型金融5的路径随机积分，其中k·kβ表示β的β-H¨older范数∈（0,1）和k·k∞表示最高标准。对于x，y∈ 对于通常的内积，我们写xy:=Pdi=1xiyi。然而，我们经常会遇到形式dS或SSS、TF或s、t的术语∈ [0，T]，我们在这里重新调用S de notes，the coordination process onOhm. 这些表达式应理解为矩阵（RSidSj）1≤i、 j≤d、同样地，对于SSS，t，解释通常会根据上下文进行，否则我们会做一个r e标记来澄清事情。我们使用符号a。b如果存在一个常数c>0，与考虑的变量无关，例如≤c·b，我们写一个b如果a。b和b。a、如果我们想强调c对变量x的依赖性，那么我们写a（x）。xb（x）。我们约定0/0:=0·∞:= 0, 1 ·∞ := ∞ 和inf := ∞.2.超级边缘和典型价格路径2。1.外部度量及其基本属性在最近的一系列论文中，Vovk[39–41]引入了一种无模型、基于套期保值的数学模型方法，该方法利用套利考虑来检查哪些属性符合“典型价格路径”。

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2022-5-5 05:44:54

这是通过最便宜的超高价格给出的另一个度量来实现的。还记得吗∈ (0, ∞) 和Ohm = C（[0，T]，Rd）是连续路径的空间，带有坐标过程S，自然过滤（Ft）T∈[0，T]，F=FT.A过程H：Ohm×[0，T]→如果存在停止时间0=τ<τ<····，且Fτn可测量有界函数Fn，则RDI称为简单策略：Ohm → Rd，这样每ω∈ Ohm 我们有τn（ω）=∞对于所有的n，但绝大多数n，以及Ht（ω）=∞Xn=0Fn（ω）1（τn（ω），τn+1（ω）]（t）。在这种情况下，积分（H·S）t（ω）：=∞Xn=0Fn（ω）（Sτn+1）∧t（ω）-Sτn∧t（ω））=∞Xn=0Fn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）对所有ω都有很好的定义∈ Ohm, T∈ [0，T]。这里是Fn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）表示Rd上通常的内积。对于λ>0，如果（H·S）t（ω），一个简单的策略H是可容许的≥ -λ表示所有ω∈Ohm, T∈ [0，T]。λ-容许简单策略集用Hλ表示。定义2.1。一个物体的外部尺寸 Ohm 定义为1A最便宜的超高价格，即isP（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞（λ+（Hn·S）T（ω））≥ 1A（ω）ω ∈Ohmo、一组路径 Ohm 如果外部度量值为零，则称为空集。6 N.Perkowski和D.J.Pr–omelth术语外部度量将由引理2进行调整。下文第3段。我们对P的定义与Vovk[40]使用的定义非常相似，但并不完全相同。有关讨论，请参见第2节。下文第3段。根据定义，每个It^o随机积分都是随机积分相对于简单策略的极限。因此，我们对最便宜的超级磨边价格的定义基本上与经典设置相同，但有一个重要的区别：我们要求所有ω的超级磨边∈Ohm, 而且不只是几乎肯定。备注2.2（[40]，第564页）。P的等效定义将发出哔哔声（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞监督∈[0，T]（λ+（Hn·S）T（ω））≥ 1A（ω）ω ∈Ohmo、很明显，eP≤P要查看相反的不等式，le-teP（A）<λ。

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2022-5-5 05:44:58

让（Hn）n∈N Hλ是一系列简单的策略，使得lim infn→∞监督∈[0，T]（λ+（Hn·S）T）≥ 1A，且ε>0。定义τn:=inf{t∈ [0，T]：λ+ε+（Hn·S）T≥ 1}. 那么停止的s策略gnt（ω）：=Hnt（ω）1[0，τn（ω））（t）在Hλ中Hλ+ε和lim infn→∞（λ+ε+（Gn·S）T（ω））≥林恩芬→∞{λ+ε+supt∈[0，T]（Hn·S）T≥1}(ω) ≥1A（ω）。因此（A）≤ λ+ε，因为ε>0是任意的P≤eP，因此P=eP。引理2.3（[40]，引理4.1）。P实际上是一个外部度量，即定义在Ohm 这样–P() = 0;–P（A）≤ P（B）如果A B、－如果（An）n∈Nis是一个序列的子集Ohm, 然后（斯南）≤PnP（An）。证据单调性与p() = 0是显而易见的。让（An）是Ohm. 设ε>0，n∈ N、然后让（Hn，m）m∈Nbe（P（An）+ε2序列-N-1） -可接受的简单策略→∞（P（An）+ε2-N-1+（Hn，m·S）T）≥ 1安。定义∈ N（PnP（An）+ε）-可容许简单策略Gm:=Pmn=0Hn，m.然后是byFatou的lemmalim infm→∞∞Xn=0P（An）+ε+（Gm·S）T！≥kXn=0P（An）+ε2-N-1+lim infm→∞（Hn，m·S）T≥ 1Skn=0ANF适用于所有k∈N.由于左侧不依赖于k，我们可以替换1Skn=0anbysnan，证明就完成了。也许P最重要的性质是，对于外测度为零的集合存在套利解释。无模型金融的路径随机积分7引理2.4。一套 Ohm 当且仅当存在一系列1容许简单策略（Hn）n时，n是一个完整集Hsuch thatlim infn→∞（1+（Hn·S）T（ω））≥ ∞·1A（ω），（2）其中我们使用约定0·∞ = 0和1·∞ := ∞.证据

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2022-5-5 05:45:02

如果存在这样一个序列，那么我们可以通过任意因子ε>0来缩小它，以获得一个在Hε中的策略序列，该序列超过1A，因此P（a）=0。如果逆p（A）=0，则每n∈ N存在一系列简单的策略（Hn，m）m∈N H-N-1如此2-N-1+lim infm→∞（Hn，m·ω）T≥ 1A（ω）表示所有ω∈ Ohm.定义Gm:=Pmn=0Hn，m，以便Gm∈H.每k∈ N、我们得到了信息→∞（1+（Gm·S）T）≥kXn=0-N-1+lim infm→∞（Hn，m·S）T≥（k+1）1A。由于左侧不依赖于k，因此序列nc e（Gm）满足（2）。换句话说，如果集合a的外部度量值为0，那么我们可以通过投资a的路径来获得最终收益，而不必冒损失超过初始资本1的风险。这激发了以下定义。定义2.5。我们说，如果（P）被违背的集合是一个空集合，那么对于典型的价格路径，一个属性（P）成立。Vovk的基本思想（我们将在下文中采用）是，我们只需要专注于典型的pric e路径。事实上，“非典型价格路径”可以被排除在外，因为它们在某种意义上“太好了，不可能是真的”：它们将允许投资者在不承担任何风险的同时实现最终收益。2.2. 套利概念和与经典数学金融的联系在我们继续之前，让我们讨论不同的套利概念，并将我们的外部度量与经典数学金融联系起来。我们首先观察到p是一个外部测度，它同时支配所有的局部鞅测度Ohm.命题2.6（[40]，引理6.3）。设P为概率m(Ohm, F），使得坐标过程S是一个P-局部鞅，并且∈ F.然后P（A）≤P（A）。证据设λ>0，设（Hn）n∈NHλ为lim infn（λ+（Hn·S）T）≥ 1A。然后（A）≤ EPhlim infn（λ+（Hn·S）T）i≤lim infnEP[λ+（Hn·S）T]≤ λ、 8 N.Perkowski和D.J。

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2022-5-5 05:45:06

在最后一步中，我们使用了λ+（Hn·S）是非负P-局部鞅，而它是P-超鞅。这表明p-空集是完全退化的，在这个意义上，它们在所有局部鞅测度下都是空集。然而，如果这是我们定义典型价格路径的唯一原因，那么基于无模型套利机会的定义同样有效。地图X：Ohm → [0, ∞) 如果X不等同于0，且存在c>0和序列（Hn），则为无模型任意概率 HCN，使lim infn→∞（Hn·S）T（ω）=X（ω）表示所有ω∈ Ohm. 参见[1,10]，其中（类似的）定义用于离散时间设置。因此，如果一处房产的互补指标功能是一个无模型的打点机会，那么说它适用于典型的价格路径似乎比使用定义2更自然。5.这种“套利定义”还意味着，在每一个局部鞅测度下，任何适用于典型价格路径的房地产几乎肯定是满足的。尽管如此，我们坚决主张我们的定义是“正确的”。首先，套利的定义将使我们的生活更加困难，因为它似乎不太适合工作。当然，这只是一种方便，不能作为我们方法的证明。相反，我们将这两个概念与经典数学金融联系起来进行论证。为此，回想一下资产定价的基本定理[11]：如果P是(Ohm, F）其中S是半鞅，则存在一个等价测度Q，使得S是一个Q-局部鞅当且仅当S不允许有消失风险的免费午餐（NFLVR）。

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2022-5-5 05:45:10

但是（NFLVR）相当于无套利（NA）（直觉上：无风险无收益）和第一类无套利机会（NA1）（直觉上：无风险无非常大的收益）。（NA）属性为每个c>0和每个序列（Hn）保存IFF 哪一个limn→∞（Hn·S）T（ω）存在于所有ω，我们有P（limn）→∞（Hn·S）T<0）>0或P（limn）→∞（Hn·S）T=0=1。当{1+（H·S）T:H时，（NA1）性质成立∈H} 在P概率中有界，即iflimc→∞嘘∈HP（1+（H·S）T≥c） =0。严格地说，这是简单策略的（NA1），但正如[26]所观察到的，（NA1）和简单策略的（NA1）是等价的；另见[2,23]。事实证明，典型价格路径的套利定义对应于（NA），而我们的定义对应于（NA1）。提议2.7。让我们∈ F是一个空集，P是一个概率测度(Ohm, F）使协调过程满足（NA1）。那么P（A）=0。证据让（Hn）n∈N 使1+lim infn（Hn·S）T≥ ∞·1A。然后对于每一个>0P（A）=PA.∩nlim infn→∞（Hn·S）T>co≤ 嘘∈HP（{（H·S）T>c}）。无模型金融的路径随机积分9通过假设，右侧收敛为0，即c→∞ 因此P（A）=0。备注2.8。命题2.7实际上是命题2.6的结果，因为如果Ssatis fies（NA1）在P下，则存在一个支配度量Q>> P、这样S就是Q-局部鞅。连续S的情况见[36]，一般情况见[23]。关键的一点是，（NA1）是每个合理模型必须满足的基本性质，而（NA）是很好的，但不是严格必要的。事实上，（NA1）相当于无界效用函数的存在，使得最大预期效用是有限的[23,25]。（NA）是除了（NA1）之外，为了获得等价的局部鞅测度[11]所需要的。

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2022-5-5 05:45:13

但也有完全违反（NA）的瓶模型，例如，三维贝塞尔过程[12,25]。通过研究典型价格路径的套利定义，我们一定会忽略这些模型。2.3. 与Vovk外部测量的关系外部测量的定义与Vovk的定义不完全相同[40]。我们的定义更加直观，也使ems更易于使用。然而，由于我们依赖于Vovk建立的一些结果，让我们比较这两个概念。对于λ>0，Vovk定义了一组过程λ：=(∞Xk=0Hk:Hk∈Hλk，λk>0，∞Xk=0λk=λ）。每G=Pk≥0Hk∈Sλ，每ω∈ Ohm 每一个t∈ [0，T]，积分（G·S）T（ω）：=Xk≥0（Hk·S）t（ω）=Xk≥0（λk+（Hk·S）t（ω））- λ定义得很好，并且取值[-λ, ∞]. 然后Vovk定义了 Ohm 廉价的电子零售价格asQ（A）：=inf{λ>0：G∈ SλS.t.λ+（G·S）t≥1A}。该定义对应于从外部内容（即，仅为完全次可加且不可数次可加的外部度量）构造外部度量的常用结构；参见[16]第1.4章或[38]第1.7章。在这里，只使用简单的策略，以最便宜的超高价格提供外部内容。人们很容易看出，比亚克是一个以Pis为主导的公司。引理2.9。让我们Ohm. 然后P（A）≤ 问题（A）.10 N.珀科夫斯基和D.J.公关部。设G=PkHk，带Hk∈HλkandPkλk=λ，假设λ+（G·S）T≥A.然后（Pnk=0Hk）n∈在Hλ中定义一系列简单策略，例如→∞λ+nXk=0Hk·sT！=λ+（G·S）T≥1A。如果Q（A）<λ，那么P（A）≤ λ、因此P（A）≤ 问题（A）。推论2.10。对于每一个p>2，集合Ap:={ω∈ Ohm : kS（ω）kp var=∞} 如果外部测量值为零，则isP（Ap）=0。证据Vovk[39]的定理1指出，Q（Ap）=0，因此P（Ap）=0由引理2.9得出。

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2022-5-5 05:45:16

[40]的一个显著结果是Ohm = C（[0，∞), R）（即，如果资产定价过程是一维的），如果 Ohm 是“在时间变化下不变的”，并且对于所有ω，S（ω）=0∈A、然后∈ F和q（A）=P（A），其中P表示维纳测度。这可以解释为一个路径达比-杜宾斯-施瓦兹定理。2.4. 路径依赖函数上的拓扑这对于在路径依赖函数上引入拓扑非常有用Ohm. 为此，让我们确定X，Y：Ohm → 对于典型价格路径，如果X=Y，则为R。很明显，这定义了一个等价类，我们写了等价类的空间。然后，我们在本文中介绍了概率收敛的分析：（Xn）在外测度toX iflimn中收敛→∞P（|Xn）-X |>ε=0表示所有ε>0。我们遵循[40]定义期望运算符。如果X：Ohm → [0, ∞], thenE[X]：=infnλ>0:（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞（λ+（Hn·S）T（ω））≥ X（ω）ω ∈ Ohmo、特别地，P（A）=E[1A]。期望E是可数次加的、单调的、正齐次的。这是一个很容易的解释：d（X，Y）：=E[|X-Y|∧1] 仅定义公制。引理2.11。距离d度量外部度量的收敛。更精确地说，序列（Xn）在外测度中收敛于X的当且仅当limnd（Xn，X）=0。此外，（L，d）是一个完备的度量空间。无模型金融的路径随机积分。这些参数在经典设置中是相同的。利用期望算子的次可加性和单调性，我们得到了εP（|Xn）-X|≥ε) ≤E[|Xn-X|∧ 1] ≤ P（|Xn）-所有ε的X |>ε）+ε∈ （0，1），表明外测度的收敛等价于关于d的收敛。至于完备性，设（Xn）是关于d的柯西序列。

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2022-5-5 05:45:19

然后存在一个子序列（Xnk），使得d（Xnk，Xnk+1）≤ 2.-k代表所有k，所以Xk（|Xnk-Xnk+1|∧1)≤XkE | Xnk-Xnk+1|∧1]=Xkd（Xnk，Xnk+1）<∞,这意味着（Xnk）对于典型的价格路径收敛。定义X:=lim infkXnk。然后我们得到了所有n和kd（Xn，X）≤ d（Xn，Xnk）+d（Xnk，X）≤ d（Xn，Xnk）+Xl≥kd（Xnl, Xnl+1) ≤ d（Xn，Xnk）+2-k、选择n和kla rge，我们看到d（Xn，X）趋于0。3.无模型It^o积分本节致力于构造无模型It^o积分。主要成分是一种（弱）无模型的It^o等距，它允许我们根据阶跃函数的振幅和价格路径的二次变化来估计阶跃函数的积分。使用第2节中介绍的拓扑。4.通过连续性参数，很容易将积分推广到c`adl`ag被积函数。由于我们处在一个不寻常的环境中，让我们详细说明以下标准定义。定义3.1。过程F：Ohm ×[0，T]→ 如果随机变量ω7→ Ft（ω）是所有t的可测Ft∈ [0，T]。如果采样路径t7→ Ft（ω）是所有ω的c`adl`ag∈ Ohm.为了证明我们的弱It^o等距，我们需要一个适当的停止时间序列：让n∈ N.对于每个i=1，定义归纳式σn，i:=0，σn，ik+1:=inf{t≥ σn，ik:|坐下-Siσn，ik|≥ 2.-n} ，k∈ N.由于我们使用的是连续路径，并且我们考虑了进入闭集的时间，所以这些映射（σN，i）实际上是停止时间，尽管（Ft）既不完全也不完全连续。表示πn，i:={σn，ik:k∈ N} 。为了得到一个递增的划分序列，我们取（πn，i）的并集，即定义σn:=0，然后定义σnk+1（ω）：=min（t>σnk（ω）：t∈d[i=1πn，i（ω）），k∈ N、（3）12 N.Perkowski和D.J。

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2022-5-5 05:45:22

我们写πn:={σnk:k∈ N} 对于相应的分区。引理3.2（【41】，定理4.1）。对于典型的价格路径ω∈Ohm, 沿（πn，i（ω））n的二次变化∈Nexists。也就是Vn，它（ω）：=∞Xk=0（Siσn，ik+1∧t（ω）- Siσn，ik∧t（ω），t∈ [0，T]，n∈N、一致收敛于函数hSii（ω）∈C（[0，T]，R）表示所有i∈ {1，…，d}。为了以后的参考，让我们估计Nnt:=max{k∈ N:σnk≤t和σnk6=0}，πn中的停止时间σnk6=0的数目，其值在[0，t]中：引理3.3。总而言之ω∈Ohm, N∈ N、和t∈ [0，T]，我们有-2nnt（ω）≤dXi=1Vn，it（ω）=:Vnt（ω）。证据因为我∈ {1，…，d}定义Nn，it:=max{k∈ N：σN，ik≤ t和σn，ik6=0}。由于Si是连续的，我们有| Siσn，ik+1-Siσn，ik |=2-只要σn，ik+1≤T因此，我们得到nnt（ω）≤dXi=1Nn，it（ω）=dXi=1Nn，it（ω）-1Xk=0-2n（Sσn，ik+1（ω）- Sσn，ik（ω））≤22ndXi=1Vn，它（ω）。我们将从构造阶跃函数的积分开始，阶跃函数定义类似于简单策略，除了可能的无界：过程F：Ohm ×[0，T]→如果存在停止时间0=τ<τ<·和Fτn-可测函数Fn，则Rdiscaled为阶跃函数：Ohm → Rd，这样每ω∈ Ohm 我们有τn（ω）=∞ 对于所有人来说，除了一个普通人，这是ft（ω）=∞Xn=0Fn（ω）1[τn（ω），τn+1（ω））（t）。为了便于说明，我们现在考虑在左侧闭合的区间[τn（ω），τn+1（ω）。这允许我们定义积分（F·S）t：=∞Xn=0FnSτn∧t、 τn+1∧t=∞Xn=0FτnSτn∧t、 τn+1∧t、 t∈[0，T]。下面的引理将是构造积分的主要组成部分。无模型金融的路径随机积分13引理3.4（It^o等距的无模型版本）。设F为阶跃函数。那么对于所有的a，b，c>0，我们有p（{k（F·S）k）∞≥ab√c}∩{kF k∞≤a}∩{hSiT≤c} )≤2经验(-b/（2d）），其中集合{hSiT≤ c} 应理解为{hSiT=limnVnTexists and saties hSiT≤c} 。证据

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2022-5-5 05:45:26

假设Ft=P∞n=0Fn[τn，τn+1）（t）并设置τa:=inf{t>0:| Ft |≥ a} 。让n∈ Nand定义ρn:=0，然后是k∈ Nρnk+1:=min{t>ρnk:t∈ πn∪{τm:m∈N} }，我们回忆起πN={σnk:k∈ N} 是S为t生成的并矢分划的第N代∈ [0，T]，我们有（F·S）τa∧t=PkFρnkSτa∧ρnk∧t、 τa∧ρnk+1∧t、通过定义πn（ω）和τawe getsupt∈[0，T]| FρnkSτa∧ρnk∧t、 τa∧ρnk+1∧t|≤ A.√d2-n、因此，路径Hoe-ff-ding不等式，即附录A中的引理A.1，产生了每个λ∈ R 1-容许简单策略Hλ，n的存在性∈Hsuch that1+（Hλ，n·S）t≥经验λ（F·S）τa∧T-λ（N（ρN）t+1）2-第2条=: Eλ，nτa∧t所有t∈ [0，T]，其中n（ρn）T:=max{k:ρnk≤t}≤ Nnt+N（τ）t:=Nnt+max{k:τk≤t} 。通过外稃3。3.我们有Nnt≤22nVnt，所以eλ，nτa∧T≥经验λ（F·S）t-λVnTad-λ（N（τ）T+1）2-第2条.如果现在k（F·S）k∞≥ab√c、 kF（ω）k∞≤a和hSiT≤c、 thenlim infn→∞监督∈[0，T]Eλ，nt+E-λ、新界≥经验λab√C-λcad.对于λ=b/（a），指数内的参数最大化√在这种情况下，我们得到1/2 exp（b/（2d））。下面的声明来自备注2.2。当然，我们实际上并没有建立等距，只是建立了积分的上界。但这个估计是关键因素，它使我们能够将自由模型14 N.Perkowski和D.J.Pr¨omelIt^o积分扩展到更多的一般被积函数，而术语“it^o等距的无模型版本”所指的正是这种与经典设置的类比。让我们扩展第2节的拓扑结构。4到流程：我们确定X，Y：Ohm×[0，T]→ Rmif对于典型的价格路径，我们对所有的t都有Xt=YT∈ [0，T]，我们编写（[0，T]，Rm）来获得等价类的结果空间，我们用距离∞（X，Y）：=E[kX-Y k∞∧1].理想情况下，我们希望阶跃函数的随机积分相对于d是连续的∞. 然而，使用命题2。6很容易看出P（k（（1/n）·S）k∞>ε） =1全部n∈ N和ε>0。

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2022-5-5 05:45:29

这就是为什么我们还为c>0引入伪度量Cdc（X，Y）：=E[（kX- Y k∞∧1） 1hSiT≤c]≤ D∞（X，Y），然后是DLOC（X，Y）：=∞Xn=1-ndn（X，Y）≤ D∞（X，Y）。距离dlocis在某种程度上类似于用于度量紧集上一致收敛拓扑的距离，除了我们不在时间上局部化，而是控制二次变化的大小。对于阶跃函数F和G，我们从引理3得到。4dc（（F·S），（G·S））≤ P（{k（（F）-G） ·S）k∞≥ab√c}∩{kF- Gk∞≤a}∩{hSiT≤c} ）+dc（F，G）a+ab√C≤ 2经验-b2d+dc（F，G）a+ab√cWhena，b>0。设置a:=pdc（F，G）和b:=pd | log a |，我们推导出dc（（F·S），（G·S））。(1 +√c） dc（F，G）1/2-ε（4）对于所有ε>0的情况，尤其是对于rdloc（（F·S），（G·S））。∞Xn=1-n/2dn（F，G）1/2-ε. D∞（F，G）1/2-ε.定理3.5。设F是一个适应的c`adl`ag过程，其值在Rd中，则存在srf-dS∈L（[0，T]，R）使得对于满足limnd的每个阶跃函数序列（Fn）∞（Fn，F）=0我们有limndoc（（Fn·S），RF dS）=0。对于典型的价格路径，积分过程Rf dS是连续的，并且存在一个与之相适应的代表，尽管它可能取±∞. 我们通常写RF-Dss:=RF-dS（t），我们称RF-dS为F相对于S的无模型It^o积分。无模型金融的路径随机积分15映射F 7→RF dS是线性的，令人满意ZF dS，ZG dS. D∞（F，G）1/2-ε表示所有ε>0，无模型版本的It^o等距延伸到该设置：PZF dS∞≥ab√C∩{kF k∞≤a}∩{hSiT≤c}≤2经验(-b/（2d））对于所有的a，b，c>0。证据从（4）到Lemma2，一切都以一种简单的方式进行。11.我们必须使用F被调整和c`a dl`ag的事实，以便通过逐步函数统一地逼近它。

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2022-5-5 05:45:32

我们的It^o等距的无模型版本的另一个简单结果是Kara ndikar[24]pathwis e It^o积分的强化版本，它适用于所有典型的价格路径，而不仅仅是在局部鞅测度下的准确定。推论3.6。在理论的设定中。5，让（Fm）m∈Nbe一系列带kFm（ω）的st-ep-fu序列- F（ω）k∞≤ 对所有ω∈ Ohm 而我∈ N.那么对于典型的价格路径ω，存在一个常数C（ω）>0s uch（Fm·S）（ω）-ZF-dS（ω）∞≤C（ω）cmplog m（5）对所有m∈ N.S o，如果cm=o（（对数m）-1/2），然后对于典型价格路径（Fm·S）收敛。证据当c>0时，模型自由度为0（Fm·S）-ZF dS∞≥cmp4d日志√C∩{hSiT≤c}≤m、由于这是以m为单位求和的，因此该索赔遵循fr om Hore l Cantelli（该索赔仅要求可计算的次加性，因此可适用于外部测量）。备注3.7。收敛的速度（5）比[24]中的参数所能得到的要快，其中需要（cm）的可和性。备注3.8。我们希望扩展在定理3中得到的鲁棒It^o积分。5到一般的局部平方可积可积函数，即具有可测轨迹的过程，并且使得Rths（ω）dhSis（ω）<∞ 对于时间t之前具有连续二次变化hSi（ω）的所有t和所有ω，我们的16 N.Perkowski和D.J.Pr–omelmethods在这种设置中崩溃的原因是，我们的“It^o等距的无模型版本”需要被积函数上的统一界作为输入。

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2022-5-5 05:45:35

然而，即使有对C`adl`ag积分的限制，我们稳健的It^o积分也适用于所有（金融）应用，这是Karandikar的路径随机积分[24]，具有“无模型”而不仅仅是“准确定”对象的巨大优势。同样地，将定理3.5的n扩展到c`adl`ag积分器也是非常困难的。不幸的是，无论是外测度ep还是Vovk的外测度Q都没有明显合理地扩展到所有c`adl`ag函数的空间D（[0，T]，Rd）。问题是在这个空间中没有非零容许策略。正如在[41]中提出的那样，可以考虑D（[0，T]，Rd）中所有路径的子空间上的P或Q，其在时间T>0时的跳跃大小由其到时间T的上确界的函数所限定。然而，在这种情况下，有必要开发新技术来获得理论M3.5，因为例如，路径霍夫丁不等式（Lemma.1）将不再适用。4.典型价格路径的粗糙路径积分无模型随机积分的第二种方法是基于粗糙路径积分，它的优点是在banach空间之间是一个连续的线性算子。缺点是，我们必须将被积函数集限制为那些“局部看起来像S”的，模化一个更平滑的余数。我们在这一节中的两个主要结果是，每个典型的价格路径都有一个自然关联的粗糙路径，并且粗糙路径积分可以被构造为黎曼和的极限。让我们首先回顾一下粗糙路径理论的基本定义和结果。4.1. 里昂-古比内利粗糙路径积分在这里，我们大致遵循课堂讲稿[19]，我们指的是对粗糙路径的温和介绍。更高级的专著有[20,29,33]。

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2022-5-5 05:45:40

下面的推导[19]的主要区别在于，我们使用p-变异来描述规律性，而不是H–older连续性，因为并非所有典型的价格路径都是H–older连续的。此外，我们努力给出合理清晰的结果，而[19]的重点更多地在于材料的教学呈现。我们强调，在本小节中，我们只是收集经典结果。定义4.1。控制函数是连续映射c：T→ [0 , ∞) c（t，t）=0表示所有t∈ [0，T]以及c（s，u）+c（u，T）≤c（s，t）代表所有0≤ s≤ U≤ T≤ T注意如果f:[0，T]→ Rdsatis fies | fs，t | p≤ c（s，t）代表所有人（s，t）∈ T、然后，f的变分由c（0，T）1/p.无模型金融定义4.2的路径随机积分从上方限定。让p∈ (2, 3). p-粗路径是一个映射S=（S，A）：T→ Rd×Rd×dsuch Chen的关系Si（s，t）=Si（s，u）+Si（u，t）和Ai，j（s，t）=Ai，j（s，u）+Ai，j（u，t）+Si（s，u）Sj（u，t）适用于所有1≤ i、 j≤ d和0≤ s≤ U≤ T≤ 并且存在一个控制函数C，其| S（S，T）| p+| a（S，T）| p/2≤c（s，t）（换句话说，s具有有限的p变化，A具有有限的p/2变化）。在这种情况下，我们称A为S.备注4.3的区域。Chen的关系式简单地表示s是函数的增量，即s（s，t）=s（0，t）- S（0，S）=Ss，t对于St:=S（0，t），对于所有i，j，存在函数fi，j:[0，t]→R使得Ai，j（s，t）=fi，j（t）-菲，j（s）-事实上，设置fi，j（t）：=Ai，j（0，t）+SiSj0，t是必要的。“区域”这个名称（严格来说是不正确的）源于以下事实：ifS:[0，T]→ Ris是一个二维光滑函数，如果i，j（s，t）=ztszrsdirdsjr=ZtsSis，rdSjr，那么a（s，t）的反对称部分对应于曲线（Sr）r所包围的代数区域∈[s，t]。

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可人4

2022-5-5 05:45:43

这是Lyons[32]的一个深刻见解，证明了F¨ollmer的一个猜想，即面积正是以路径连续方式求解S驱动的微分方程所需的额外信息，并将随机积分构造为连续矩阵。实际上，[32]解决了一个更为普遍的问题，并证明了如果驱动信号对于某些p>1是有限的p-变化，那么就必须使用高阶的迭代积分进行计算 P-1以获得连续积分映射。为我们提供了相关案例p∈ （2,3）已在[30]中接受治疗。例4.5。如果S是一个连续的半鞅，如果我们设置S（S，t）：=Ss，tas wellasAi，j（S，t）：=ZtsZrsdSirdSjr=ZTSSSIS，rdSjr，其中积分在It^o或Stratonovich意义下都可以小于d，那么几乎可以肯定S=（S，a）是所有p的p-粗路径∈ (2, 3). 如[6]所示，我们将在下面给出一个简化的无模型证明（事实上，我们将证明e非常典型的价格路径及其无模型It^o积分是所有p∈ （2，3），关于连续半鞅的陈述很容易从这里开始）。18 N.Perkowski和D.J.Pr–Omelf从现在开始，我们∈ （2,3）我们假设S是一条p-粗路径。Gubinelli[21]观察到，对于每一条粗糙路径，都有一个自然关联的被积函数B anach空间，即受控路径空间。试探性地，路径F由S控制，如果它局部“看起来像S”，则模化光滑余数。具体定义如下。定义4.6。让p∈ （2,3）和q>0，使得2/p+1/q>1。设S=（S，A）为p-粗路径，设F:[0，T]→ r与F′[0，T]→ Rn×d。如果受精F′具有有限的q-变异，我们说配对（F，F′）由S控制，剩余的Rf：T→ Rn，定义byRF（s，t）：=Fs，t-F′sSs，t在1/r=1/p+1/q时有明确的r变化。

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2022-5-5 05:45:46

在这种情况下，我们写（F，F′）∈ CqS=CqS（Rn）和definek（F，F′）kCqS:=kF′kq-var+kRFkr-var。配备了范数| F |+| F′|+k（F，F′）kCqS，空间CqS是一个Banach空间。当然，函数F′应该被解释为F相对于S的导数。考虑环偶（F，F′）而不仅仅是函数F的原因是，余数rf的规则性要求通常不会决定对给定路径F唯一地挖掘F′。例如，如果F和S都有有限的r-变化，而不仅仅是有限的p-变化，那么对于有限的q-变化中的每一个F′，我们都有（F，F′）∈ CqS。注意，我们不要求F或F′是连续的。我们将在备注4中指出。下面是为什么这不会造成任何问题。为了对q上的条件有一个更“定量”的感觉，让我们假设我们可以选择任意接近2的p>2（在连续半鞅粗路径的例子中就是这种情况）。然后2/p+1/q>1，只要q>0，那么导数F′本质上可以是我们想要的不规则的。对于1/r=1/p+1/q，剩余的r变量必须是有限的r变量，因此换句话说，对于某些r<2，它应该是有限的r变量，因此比连续lo c almartingale的样本路径稍微规则。例4.7。让ε∈ （0，1）使（2+ε）/p>1。让我们∈ C1+ε带定义Fs:=а（Ss）和F′s:=а′（Ss）。然后（F，F′）∈ Cp/εS：显然F′具有有限的p/ε变化。因此，我们有| RF（s，t）| p/（1+ε）=|~n（St）-~n（Ss）-ν′（Ss）Ss，t|p/（1+ε）≤k~nkC1+εbc（s，t），其中c是s的一个控制函数。由于连续路径s的图像是紧凑的，因此实际上没有必要假定φ是有界的。

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2022-5-5 05:45:49

我们可能总是考虑紧支撑的C1+ε函数ψ，使得ψ在S的图像上与ψ一致。无模型金融19的路径随机积分这个例子表明，通常RF（S，t）不是形式RF（S，t）=G（t）的路径增量-对于[0，T]上定义的某些函数，但实际上是两个变量的函数。例4.8。设G为某些r的有限r变化路径，其中1/p+1/r>1。设置（F，F′）=（G，0），我们得到CqS中的受控路径，其中1/q=1/r- 1/p.与Theore m4相结合。9下面，这个例子特别显示了受控路径积分扩展了Young积分和Riemann–Stieltje s积分。粗路径集成的基本思想是，如果我们已经知道如何定义dS，并且如果F在小规模上看起来像S，那么我们也应该能够定义dS。下面的定理给出了精确的结果。定理4.9（见[19]中的定理4.9，另见[21]，定理1）。让p∈ （2,3）和q>0都是2/p+1/q>1。设S=（S，A）为p-粗路径，设（F，F′）∈ CqS。然后存在一个独特的函数rf dS∈ C（[0，T]，Rn）满足以下条件：ZtsFudSu-FsSs，t-F′sA（s，t）. kSkp var、[s，t]kRFkr var、[s，t]+kAkp/2-var、[s，t]kF′kq-var、[s，t]适用于所有（s，t）∈ T、积分作为补偿Riemann-sumsZtFudSu=limm的极限给出→∞X[s，s]∈πm[FsSs，s+F′sA（s，s）]，（6）其中（πm）是[0，t]的任何划分序列，网格大小为0。图（F，F′）7→ （G，G′）=（RFudSu，F）从CqSto和（G，G′）KCP连续。kF kp var+（kF′k∞+ kF′kq-var）kAkp/2-var+kSkp-varkRFkr-var。备注4.10。据我们所知，还没有任何出版物使用p-变化规律来描述粗糙路径的控制路径逼近。关于这一主题的参考文献都是连续的。

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2022-5-5 05:45:51

但在p-变分环境中，所有的证明都与H¨older环境中的证明完全相同，并且翻译[19]中定理4.9的证明（这是基于我们将在下面遇到的杨的最大不等式）以获得定理4.9是一个简单的练习。只有一个小陷阱：我们不要求F或F′是连续的。不连续函数的路径积分有些棘手，参见[18,42]。但是这里我们没有遇到任何问题，因为被积函数S=（S，A）是连续的。只要被积函数和积分器没有共同的不连续性，基于杨氏最大不等式的构造就有效，见[43]第264页的定理。如果现在∈ C1+εb对于某些ε>0，则使用泰勒展开可以证明存在p>2和q>0，且2/p+1/q>0，从而（F，F′）7→ （~n（F），~n′（F）F′）是一张从CPS到CqS的局部20 N.Perkowski和D.J.Pr–Omelbunded地图。结合粗糙路径积分是CqSto CpS中的有界映射这一事实，不难证明粗糙微分方程XT=x+Zt~n（Xs）dSs，（7）t的解的存在性∈[0，T]，其中X∈ CpS，R~n（Xs）dss表示粗路径积分，S是典型的价格路径。同样，如果∈ C2+εb，然后映射（F，F′）7→ 从CpS到CqS（φ（F），φ′（F）F′）是局部Lipschitz连续的，这将解的唯一性证明为（7）——至少是Banach空间CpS中的函数。详见[21]第5.3节。有一条关于严格的规则性要求的评论。在SDEs的经典理论中，函数^只要求是Lipschitz连续的。但要解决Stratonovich SDE，我们需要更好的规则性。

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2022-5-5 05:45:55

这是很自然的，因为Stratonovich SDE可以重写为It^o SDE，并带有一个Strato novich校正项：e quationsdXt=ˋ（Xt）o dwtandxt=а（Xt）dWt+а′（Xt）а（Xt）dt是等价的（其中W是标准布朗运动，dWt表示它的^o积分，以及odWtdenotes Stratonovich集成）。为了求解第二个方程，我们需要а′а是Lipschitz连续的，如果а∈ Cb。但粗糙路径理论无法区分It^o积分和Stratonovich积分：如果我们定义使用It^o（分别为Stratonovich）积分的区域，那么方程的粗糙路径解将与It^o（分别为Stratonovich）解相一致。因此，在粗糙路径设置中，函数φs至少应满足与Stratonovich设置中相同的条件。对φ的规则性要求基本上是严格的，见[8]，但有界性假设可以放宽，见[28]。参见[20]第10.5节，了解布朗情况下规则性要求的轻微放宽。当然，粗糙路径理论最有趣的结果是，对任意微分方程的解在驱动信号上不断衰减。这是以下观察的结果。提案4.11（第[19]号提案9.1]）。让p∈（2,3）和q>0，其中2/p+1/q>0。

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2022-5-5 05:45:58

设S=（S，A）和＠S=（＠S，＠A）是两条p-粗路径，设（F，F′）∈ CqSand（~F，~F′）∈ CqS。那么每M>0，就存在CM>0，这样Z·FsdSs-Z·)Fsd)Ssp-var≤厘米（|英尺）-~F |+|F′-~F′|+kF′-~F′kq-var+kRF-RFkr var+kS-~Skp var+kA-~Akp/2-var），无模型金融21的路径随机积分，只要是最大{F′|+k（F，F′）kCqS，|F′|+k（~F，~F′）kCqS，kSkp var，kKP/2-var，k | Skp var，k |Akp/2-var}≤M.换句话说，粗糙路径积分依赖于被积函数和积分器，以局部Lipschitz连续的方式，因此，由粗糙路径驱动的微分方程的解连续依赖于信号也就不足为奇了。4.2. 粗糙路径的典型价格路径无模型金融数学中随机积分的第二种方法基于粗糙路径积分。在这里，我们证明了对于非常典型的价格路径，对于所有的p，p（S，A）是一条p-粗路径∈（2，3），其中A corr对应于我们在第3节中构造的无模型It^ointegrals dS。我们还证明了许多黎曼和逼近都一致地满足某种粗粒度正则性条件，我们将在下一节中使用这些条件来证明，在我们的设置中，粗路径积分可以被计算为黎曼和的极限（而不是OREM 4.9中的补偿黎曼和）。证明的主要内容是我们的收敛速度。定理4.12。对于（s，t）∈ T、 ω∈ Ohm, 而我，j∈{1，…，d}defineai，js，t（ω）：=ZtsSirdSjr（ω）- Sis（ω）Sjs，t（ω）：=ZtSirdSjr（ω）-ZsSirdSjr（ω）-Sis（ω）Sjs，t（ω），其中dsjis是定理3.5中构造的积分。如果p>2，则对于典型价格路径A=（Ai，j）1≤i、 j≤dhas fin ite p/2-变异，尤其是S=（S，A）是一个p-粗路径。证据确定并矢停止时间（τnk）n，k∈Nbyτn：=0和τnk+1：=inf{t≥ τnk:|St-Sτnk |=2-n} ，并设置Snt:=PkSτnk[τnk，τnk+1）（t），使kSn-Sk∞≤2.-N

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