关于套利、近似套利和基本定理的注记

nandehutu2022

605

收藏 2022-05-05

英文标题：
《A note on arbitrage, approximate arbitrage and the fundamental theorem
of asset pricing》
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作者：
Claudio Fontana
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
We provide a critical analysis of the proof of the fundamental theorem of asset pricing given in the paper \"Arbitrage and approximate arbitrage: the fundamental theorem of asset pricing\" by B. Wong and C.C. Heyde (Stochastics, 2010) in the context of incomplete It\\^o-process models. We show that their approach can only work in the known case of a complete financial market model and give an explicit counterexample.
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中文摘要：
我们对B.Wong和C.C.Heyde（Stochastics，2010）在不完全It o过程模型背景下发表的论文《套利和近似套利：资产定价基本定理》中给出的资产定价基本定理的证明进行了批判性分析。我们证明了他们的方法只能在完全金融市场模型的已知情况下工作，并给出了一个明确的反例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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kedemingshi

2022-5-5 05:53:09

关于套利、近似套利和资产定价的基本定理的说明Fontanalaboratoroire Analysis et ProbabilityéUniversitéd'Evry Val d’Essonne，23 bd de France，91037，'Evry（法国）电子邮件：claudio。fontana@univ-埃弗里。frThis version:2013年11月27日摘要我们对B.Wong和C.C.Heyde（Stochastics，2010）在不完全It过程模型背景下发表的论文《套利和近似套利：资产定价基本定理》中给出的资产定价基本定理的证明进行了批判性分析。我们证明，他们的方法只能在已知的完整金融市场模型的情况下工作，并给出了一个明确的反例。关键词：套利；资产定价基本定理；信息技术——过程；完全市场；等价局部鞅测度；鞅消去器。理学硕士（2010）：60G44、60H05、91B70、91G10。1简介数学金融的核心成果之一是资产定价基本定理（FTAP），在局部有界过程的情况下，断言了无风险午餐（NFLVR）条件与等价局部鞅测度（ELMM）的存在性之间的等价性，其中贴现资产价格是局部鞅（见[1]，推论1.2）。从局部鞅到σ-鞅，这一基本结果在[3]中被推广到一般半鞅模型。让我们回顾一下，NFLVR强化了经典的无套利条件，相当于[12,16]中考虑的无近似套利的概念（参见例如[5]，引理6.2）。尽管FTAP很重要，但[1,3]中给出的连续时间模型的FTAP证明在过去二十年中并未成功简化。

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mingdashike22

2022-5-5 05:53:12

据我们所知，唯一的例外是经典论文[12]，其中FTAP是在一个完整的It过程模型的背景下，依靠纯概率参数证明的，论文[10]，在指数Lévy模型的背景下，以及最近的论文[13]，作者成功地给出了连续半鞅的FTAP的一个透明证明，其特征相对于勒贝格测度是绝对连续的。最近，[16]提出了基于信息技术过程的一般不完全金融市场背景下FTAP的概率和简单证明，从而扩展了[12]的分析。众所周知，FTAP证明中的困难步骤在于证明无套利（NFLVR意义上）意味着存在ELMM。[16]中给出的证明依赖于可实现索赔的一般特征以及随机指数族成对最大化下的封闭性，对应于ELMM的候选密度过程（见[16]，第3-4节）。在本文中，我们证明了[16]所采用的技术无法提供FTAP的新证明。更具体地说，我们证明了[16]所声称的一系列随机指数在最大化下的封闭性，以及[16]的方法本身，只能在完全金融市场的背景下产生FTAP，正如[12]所考虑的那样。此外，我们提供了一个明确的反例，表明一般来说，为了开发FTAP的替代证明，不可能采用[16]中的观点。本文的结构如下。为了方便读者，第2节回顾了[16]中考虑的金融市场模型。第三节批判性地分析了他们主要结果的证明，而第四节包含了反例。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:53:15

我们参考[5,7]对一般连续金融模型中的几种无套利条件进行统一分析，更具体地说，参考调查文件[6]，了解非金融条件不一定成立时It过程模型的性质。2基于给定概率空间的金融市场模型(Ohm, F、 P），让进程W={W（t）；0≤ T≤ T}是一个Rd值布朗运动，带T∈ (0, ∞) 表示固定的时间范围，并设F=（Ft）0≤T≤TBP——增强的自然过滤W。假设k+1（带k≤ d）证券可以交易，其价格由Rk+1值连续半鞅X={X（t）；0表示≤ T≤ T}。通常，0thsecurity表示本地无风险储蓄账户流程：X（t）=expZtr（u）du, 尽管如此，t∈ [0，T]，对于渐进可测利率过程r={r（T）；0≤ T≤ T}与rt|r（T）|dt<∞P-a.s.剩下的k证券是有风险的，它们的价格是X，Xkare由下列SDE的解给出，对于i=1，k:dXi（t）=Xi（t）ui（t）dt+Xi（t）dXj=1σij（t）dWj（t），Xi（0）=Xi>0，（2.1）带u={u（t）；0≤ T≤ T}Rk值的渐进可测量过程，RTKu（T）kdt<∞P-a.s.和σ={σ（t）；0≤ T≤ T}an Rk×d值渐进可测过程满足pki=1Pdj=1RTσij（T）dt<∞ P-a.s.（注意[16]中缺少正方形）。这些假设证明了SDEs系统（2.1）存在唯一的强解。此外，在[16]中，我们假设矩阵σ（t）对于每个t都有（P-a.s.）满秩∈ [0，T]，这意味着金融市场不包含冗余资产（另见[6]，备注4.2.2）。定义2.1。一个渐进可测过程π={π（t）；0≤ T≤ 在Rkis中取值据说是一种可接受的交易策略π（t）u（t）- r（t）Ikdt<∞ P-a.s.（2.2a）ZTπ（t）σ（t）dt<∞ P-a.s。

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大多数88

2022-5-5 05:53:18

（2.2b）如果过程r·X（t）-1π（t）（u（t）- r（t）Ik）dt+r·X（t）-1π（t）σ（t）dW（t）是P-a.s.一致有界的f，从下面开始，带表示换位和Ik:=（1，…，1）∈ Rk。我们用A表示所有可接受的交易策略族。对于π∈ A、 πi（t）表示在t时投资于资产i的财富金额，对于i=1，k和t∈ [0，T]。通常，我们假设交易是以自我融资的方式进行的。这相当于要求X贴现财富过程`Vx，π={Vx，π（t）；0≤ T≤ 与策略π相关的T}∈ A、从x的初始捐赠开始∈ R+，满足以下SDE：（d’Vx，π（t）=X（t）-1π（t）u（t）- r（t）Ikdt+X（t）-1π（t）σ（t）dW（t），\'Vx，π（0）=x（2.3），依次为（x，π）∈R+×A，未贴现财富过程Vx，π={Vx，π（t）；0≤ T≤ T}，由Vx定义，π（T）：=X（T）~Vx，π（T），满足Vx，π（0）=X和dvx，π（T）=r（T）Vx，π（T）dt+π（T）u（t）- r（t）Ikdt+π（t）σ（t）dW（t）。（2.4）备注2.1。我们想指出[16]不需要可积条件（2.2a）。如果条件（3.2）成立，那么（2.2a）从（2.2b）开始，这可以通过简单应用柯西-施瓦兹不等式（参见[6]，引理4.3.21）来验证。然而，条件（2.2a）通常是必要的，以确保（2.3）和（2.4）中出现的dt积分得到很好的定义。定义2.2。交易策略π∈ 如果PV0，π（T）≥ 0= 1和PV0，π（T）>0> 0.备注2.2。在[16]中，如果P\'Vx，π（t）≥ -1.T∈ [0，T]= 1.可以很容易地检查到，当且仅当存在具有可接受交易策略的套利机会时（在定义2.1的意义上，根据[1,2,3]的术语），存在具有平淡策略的套利机会。我们指出σ（t）有P-a.s的假设。

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何人来此

2022-5-5 05:53:21

每个t的满秩∈ [0，T]只能通过假设u（T）来放松- r（t）Ik∈ {σ（t）x:x∈ Rd}P-每t的a.s∈ [0，T]（对应于排除被称为增加利润的逻辑套利可能性；见[6]，命题4.3.4），Ik:=（1，…，1）∈ Rk，并替换矩阵σ（t）（σ（t）σ（t）)-1利用（3.1）中σ（t）的Moore-Penrose伪逆。3在分析本节[16]的主要结果时，我们批判性地分析了[16]中给出的FTAP的证明。我们首先表明，随机指数不具备[16]中引理3.3所述的封闭性，除了完整金融市场的特殊情况。3.1 ris k和鞅定义的市场价格，因为矩阵σ（t）被假定为每个t的满秩∈ [0，T]，我们可以定义风险过程的市场价格θ={θ（T）；0≤ T≤ T}如下所示，对于所有T∈ [0，T]：θ（T）：=σ（T）σ（t）σ（t）-1.u（t）- r（t）Ik. （3.1）如[16]第3-4节所述，我们介绍了以下关于θ的长期假设：ZTkθ（t）kdt<∞ P-a.s.（3.2）让我们简要地评论一下上述可积性条件的含义。定义3.1。严格正局部鞅Z={Z（t）；0≤T≤Z（0）=1的T}被认为是一个鞅变量，如果乘积Z\'Vx，π是一个局部鞅，对于所有π∈A和x>0。我们用D表示所有鞅定义的集合。只要（3.2）成立，我们总是可以定义严格正连续局部鞅Z={Z（t）；0≤ T≤ T}作为随机指数Z:=E-RθdW. 标准应用分部积分公式（见[6]，命题4.3.9），再加上（2.3）和（3.1），得出Z∈ D.这表明D 6= 如果条件（3.2）成立。备注3.1。我们想指出，在套利理论的背景下，鞅函数的存在具有精确的意义。

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能者818

2022-5-5 05:53:24

事实上，如[11]的定理4所示，D6=当且仅当不存在第一类套利时成立，在[11]定义1的意义上（与[5]定理5.4进行比较）。下一个结果阐明了[16]中考虑的随机指数类的重要性。我们用K（σ）表示所有Rd值的渐进可测过程的族ν={ν（t）；0≤ T≤ T}使得rtkν（T）kdt<∞ P-a.s.和σ（t）ν（t）=0 P-a.s.表示a.e.t∈ [0，T]。提议3.2。严格正局部鞅Z={Z（t）；0≤ T≤ Z（0）=1的T}当且仅当存在一个Rd值过程ν={ν（T）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）如此，对于所有的t∈ [0，T]：Z（T）=E-Z（θ+ν）dWt=Z（t）E-ZνdWt=：Zν（t）。（3.3）此外，元素Z∈ D是一个ELMM的密度过程当且仅当它是一个（统一整数）鞅，即当且仅当e[Z（T）]=1。证据回顾过滤F是由W生成的，该主张遵循鞅表示定理和分部积分公式，使用（2.3）和（3.1）（与[6]相比，引理4.3.15）。最后一个断言来自Bayes规则以及正局部鞅Zν、f或ν的超鞅性质∈ K（σ）。在他们的研究中，[16]主要依赖于以下说法（见他们的引理3.3）：存在一个过程λ={λ（t）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）使得zλ（t）=ess supν∈K（σ）Zν（t），对于所有t∈ [0，T]。（3.4）不幸的是，属性（3.4）不能成立，除了平凡的情况K（σ）={0}，根据命题3.2，它反过来等价于D={Z}。事实上，在证明他们的MMA 3.3时，[16]试图证明{Zν（t）：ν∈ 对于所有t，K（σ）}在成对最大化下是闭合的∈ [0，T]。

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能者818

2022-5-5 05:53:28

然而，正如我们现在要展示的那样，这不是事实。对于两个不同的元素，K（σ）6={0}和∈ K（σ），让我们定义可测集χ（t）：={Zν（t）≥ Zν（t）}，每t∈ [0，T]。然后定义过程ν={ν（t）；0≤ T≤ T}∈ K（σ）如下，对于所有t∈ [0，T]：ν（T）：=ν（T）1χ（T）+ν（T）1χ（T）c。很明显，Zν（0）=1，使用符号（3.3）：dZν（t）=-Zν（t）θ（t）+ν（t）dW（t）。（3.5）另一方面，对于所有∈ [0，T]，我们有：Zν（T）∨ Zν（t）=Zν（t）1χ（t）+Zν（t）1χ（t）c=Zν（t）+Zν（t）- Zν（t）+. （3.6）通过田中迈耶公式（见[8]，第4.1.8节），我们得到以下动力学：dZν（t）- Zν（t）+= 1{Zν（t）>Zν（t）}dZν（t）- Zν（t）+Lν，ν（t），（3.7），其中Lν，ν={Lν，ν（t）；0≤ T≤ T}表示连续局部鞅的局部时间- 0级的Zν。从（3.6）-（3.7）我们得到：dZν（t）∨ Zν（t）= -Zν（t）1χ（t）cθ（t）+ν（t）dW（t）- Zν（t）1χ（t）θ（t）+ν（t）dW（t）+Lν，ν（t）=-Zν（t）∨ Zν（t）θ（t）+ν（t）dW（t）+Lν，ν（t）。（3.8）通过比较（3.5）和（3.8），我们立即看到Zν（t）∨ 因此，与[16]第193页的主张相矛盾。还请注意，作为Skorokhod引理的结果（见[8]，引理4.1.7.1），它认为Lν，ν（t）=sups≤T-北区（s）, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中局部鞅N={N（T）；0≤ T≤ T}定义为：N（T）：=ZtsignZν（u）- Zν（u）Du（νZ）- Zν（u）, 尽管如此，t∈ [0，T]。这意味着（3.8）中出现的局部时间Lν，ν当且仅当Zν=Zν时消失，即当且仅当ν（t）=ν（t）P-a.s.对于a.e.t∈ [0，T]。事实上，如果后一个条件成立，那么很明显Lν，ν消失了。相反，如果Lν，ν（t）=0 P-a.s.对于所有t∈ [0，T]，然后他们的身份Lν，ν（T）=sups≤T-北区（s）这意味着局部鞅N是P-a.s.非负的，因此，作为Fatou引理的结果，它是一个超鞅。因为N（0）=0，这意味着N=0 P-a.s.反过来，hZν- Zνi=hNi=0 P-a.s。

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可人4

2022-5-5 05:53:31

这意味着对于a.e.t.，ν（t）=ν（t）P-a.s∈ [0，T]。因此，与（3.5）和（3.8）一起，我们已经证明了平凡的caseK（σ）={0}是（3.4）可以成立的唯一情况。更一般地说，过程λ的不存在性∈ 满足（3.4）的K（σ）也可以从以下（几乎微不足道的）结果中推导出来。引理3.3。设Mi={Mi（t）；0≤ T≤ T}是右连续局部鞅，对于i=1，2，M（0）=M（0）P-a.s，那么M:=M∨ Mis是局部鞅当且仅当MandMare不可区分。证据如果M=M∨ 如果是局部鞅，则过程N={N（t）；0≤ T≤ N（T）：=M（T）-M（t）+M（t）/2.尽管如此∈ [0，T]是一个非负局部鞅，根据Fatou引理，它也是一个超鞅。因为N（0）=0 P-a.s.，所以对于所有的t，超级鞅属性将N（t）=0 P-a.s∈ [0，T]，意味着所有T的M（T）=M（T）P-a.s∈ [0，T]。右连续性意味着PM（t）=M（t），T∈ [0，T]= 1.逆向含义是ev ident。备注3.2。除了{Zν（t）：ν族成对极大化下的闭性失效∈ K（σ）}，[16]中引理3.3的证明来自另一个技术问题。事实上，在[16]中，作者定义了一个过程Z*= {Z*（t） )；0≤ T≤ T}asZ*（t）：=ess supν∈K（σ）Zν（t），对于所有t∈ [0，T]和[0，T]值随机变量序列{τk}k∈Nbyτk:=inf{t∈ [0，T]：Z*（t）≥ k}∧ T代表k∈ 然而，我们先验地不知道这个过程*可逐渐测量（或至少允许正确的连续修改），因此τkc不能作为停止时间。3.2可实现的cla ims和[16]中定理1.1的证明[16]中给出的FTAP的证明依赖于可实现权利要求的特征。

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何人来此

2022-5-5 05:53:34

[16]第3节含蓄采用的可达到性概念对应于以下定义。我们总是认为长期假设（3.2）成立。定义3.4。如果存在π，则可以得到FT可测的非负随机变量B∈ A和x∈ R+使得Vx，π（T）=bpa.s，如果存在一个鞅函数Zν∈ 使得ZνVx，π是鞅。只要D6=, 在[15]的定理3.2中的一般半鞅设置中，已经建立了可实现权利要求的以下特征（在当前设置中，还与[9]、定理8.5和[14]、第3章的定理5进行比较）。特别要注意的是，不一定假设ELMM的存在。提案3.5。设B为可测非负随机变量。那么，在假设（3.2）下，以下是等价的：（i）B是可实现的；（二）λ ∈ K（σ）使得e[Zλ（T）B/X（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）B/X（T）]<∞.此外，最初的捐赠∈ 复制可实现的权利要求B所需的R+由x=supν给出∈K（σ）E[Zν（T）B/X（T）]。在[16]第4节中，含义（ii）=>（i）命题3.5的B=X（T）与性质（3.4）一起使用，以得到元素π的存在性∈ 从初始投资c开始，π（T）=X（T）P-A.s:=E[Zλ]。如果不存在任何ELMM，那么c<1（见命题3.2的最后一个主张）和组合过程V0，π={V0，π（t）；0≤ T≤ 定义为V0，π（T）：=Vc，π（T）- cX（t），代表所有t∈ [0，T]从定义2.2的意义上认识到了一个不可预测的机会，因为V0，π（T）=（1-c） X（T）>0 P-a.s.这将证明，没有套利机会（连同不包括第一类套利的长期假设（3.2），见备注3.1）意味着存在无利率市场模型。

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何人来此

2022-5-5 05:53:38

不幸的是，如第3.1节所示，（3.4）未能保持的事实使[16]中提出的FTAP的上限无效。事实上，可以证明，当且仅当金融市场是完整的，即每英尺可测量的非负随机变量B，使得B/X（T）是有界的是可附加的，性质（3.4）以及[16]中定理1.1的证明中使用的参数是有效的。事实上，如果金融市场是完整的，[15]的结果（另见[4]，理论4.5.13）暗示D={Z}。由于命题3.2，后一个性质等价于toK（σ）={0}，在这种情况下，性质（3.4）基本成立。相反，如果财产（3.4）成立，则含义（ii）=>（i）提案3.5立即表明金融市场是完整的。特别是，如果金融市场是完整的，那么收益X（T）可以由组合风险投资π乘以c=E[Z（T）]和π∈ A.在这种情况下，[16]第4节中使用的相同论证允许证明，没有套利机会意味着这是（唯一）ELMM的密度过程。因此，我们已经证明了[16]提出的证明仅在完整金融市场的背景下有效，正如[12]最初所考虑的。我们想指出的是，鉴于其含义（ii）=>（i）在命题3.5中，[16]中的定理1.1的证明实际上并不需要（不真实）性质（3.4）的全部强度，而只需要过程λ的存在∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]。

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可人4

2022-5-5 05:53:42

然而，这一过程并不一定存在于不完整的市场中（如果套利机会不是先验排除的话），第4节将通过一个明确的反例说明这一点。这意味着[16]的方法（或其扩展）不能在基于It流程的一般不完全金融市场的背景下产生FTAP的替代证明。4反例本节展示了一个不完整金融市场的简单模型，其中FTAP无法通过依赖[16]中采用的技术（或其扩展）来证明。鉴于上一节末尾的讨论，我们将构建一个市场模型f，其中不包含λ元素∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]。更准确地说，我们将证明E[Zν（T）]<1f或全部ν∈ K（σ），而supν∈K（σ）E[Zν（T）]=1。让(Ohm, F、 F，P）是给定的过滤概率空间，其中F表示实值布朗运动W的自然P-增强过滤，F=FT。对于固定常数a>0，定义停止时间τ：=inf{t∈ [0，T]：W（T）≥ a}∧ T很明显，P（τ<T）>0。假设≡ 0，并将单个风险资产的价格过程S作为以下SDE的解给出：（dS（t）=1{t>τ}1/S（t）dt+1{t>τ}dW（t），S（0）=1。引理4.1。SDE（4.1）允许一个唯一的强解S={S（t）；0≤ T≤ 那个isP-a.s.绝对是肯定的。此外，{τ<T}上的E[1/S（T）|Fτ]<1p-a.S。证据让我们来定义fifiltrationef=（eFt）0≤T≤TbyeFt:=F（τ+t）∧T、对于T∈ [0，T]，进程fW={fW（T）；0≤ T≤ T}byfW（T）：=W（τ+t）∧ T- W（τ），对于t∈ [0，T]。很明显，过程fw是连续的、eF适应的，并且满足fw（0）=0。

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kedemingshi

2022-5-5 05:53:47

此外，布朗运动W的强马尔科夫性质意味着FW也是布朗运动（stopped atT）- τ）关于过滤系数（尤其是，它独立于过滤系数=Fτ）。关于过滤概率空间(Ohm, F、 eF，P），让我们考虑以下SDE：（deS（t）=1/eS（t）dt+dfW（t），eS（0）=1。（4.2）SDE（4.2）允许一个唯一的强解={eS（t）；0≤ T≤ T- τ} ，称为三维贝塞尔过程（见[8]，第6.1节），它满足（t）>0 P-a.s.的所有t∈ [0，T- τ ]. 然后定义一个过程S={S（t）；0≤ T≤ T}by S（T）：=1{T≤τ} +1{t>τ}eS（t- τ），尽管如此∈ [0，T]。显然，由于τ是F-停止时间，F是右连续的，因此过程是F-适应的，P-a.s.严格正的，满足s（0）=1。此外，sinceeS是连续的：dS（t）=1{t>τ}deS（t- τ）=1{t>τ}1/eS（t）- τ)dt+1{t>τ}dfW（t- τ）=1{t>τ}1/S（t）dt+1{t>τ}dW（t），从而表明过程S解SDE（4.1）。在集合{τ<T}:E[1/S（T）| Fτ]=E上，引理的第二个a序列可以证明如下1/eS（T）- τ）|eF= E1/eS（美国）u=T-τ= 2 Φ√T- τ- 1<1，（4.3），其中，由于W和F的独立性，第二个等式以及τ的可测性，以及[8]练习6.1.5.5中的第三个等式，其中Φ（·）表示标准高斯随机变量的分布函数。根据第3.1节中介绍的符号，风险过程θ的市场价格由θ（t）=1/S（t）1{t>τ}给出，对于t∈ [0，T]。由于S的连续性，长期假设（3.2）得到满足，因此，通过I^ot^o的公式：Z（t）=exp-ZTτS（t）dW（t）-ZTτS（t）dt=S（T）。（4.4）在本文中，实值渐进可测过程ν={ν（t）；0≤ T≤ T}属于K（σ）当且仅当它满足ν（T）=ν（T）1{T≤τ} P-a.s.适用于所有t∈ [0，T]和rτν（T）dt<∞ P-a.s。

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2022-5-5 05:53:50

命题3.2、方程（4.4）和引理4.1则意味着，对于每一个ν∈ K（σ）：E[Zν（T）]=EZ（T）E-ZνdWτ= ES（T）E-ZνdWτ= EES（T）FτE-ZνdWτ< EE-ZνdWτ≤ 1，其中最后一个不等式是由于E的上鞅性质-RνdW, 为了ν∈ K（σ）。由于命题3.2的最后一个断言，这意味着本节中考虑的金融市场模型不支持ELMM。此外，不存在元素λ∈ K（σ）使得E[Zλ（T）]=supν∈K（σ）E[Zν（T）]，正如我们现在要展示的。每n∈ N、设νN:=n1[[0，τ]]。显然，我们有∈ K（σ）和E-RνndW是一个一致可积鞅（在τ处停止），对于所有n∈ 因此，根据命题3.2和方程（4.3）-（4.4），我们得到，对于任何N∈ N:E[ZνN（T）]=EZ（T）E-ZνndWτ= ES（T）E-ZνndWτ= EE-ZνndWτ+ EE-ZνndWτS（T）- 1.{τ<T}= 1.- 2 EE-ZνndWτ1.- Φ√T- τ{τ<T}= 1.- 2 E经验-nτaτ+n1.- Φ√T- τ{τ<T}.通过支配收敛，最后一个等式意味着：1=limn→+∞E[Zνn（T）]≤ supν∈K（σ）E[Zν（T）]≤ 1，从而表明supν∈σ（η）T[1]。特别是，上确界不是由任何元素ν获得的∈ K（σ）。致谢这项研究得到了玛丽·居里欧洲内部研究金的支持，该研究金属于第七个欧洲共同体框架项目，根据PIEF-GA-2012-332345赠款协议。作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见，这些意见有助于改进论文。这项研究的一部分是在作者是MATHRISK团队的博士后研究员atINRIA Paris Rocuncourt时进行的。基于三维贝塞尔过程的模型是金融市场的经典例子，这些金融市场提供了机会，例如[2]、[4]中的例子6.8和[6]中第59页的例子。参考文献[1]Delbaen，F.和Schachermayer，W。

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2022-5-5 05:53:53

（1994），资产定价基本定理的一般版本，Mathematische Annalen 300，第464-520页。[2] Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1995），《贝塞尔过程中的套利可能性及其与局部鞅的关系》，概率论和相关领域102，第357-366页。[3] 德尔班，F.&沙切迈耶，W。（1998），《无界随机过程的资产定价基本定理》，Mathematische Annalen 312，第215-250页。[4] Fontana，C.（2012），四篇金融数学论文，博士论文，帕多瓦大学。[5] Fontana，C.（2013），连续金融市场的弱和强无套利条件，预印本，可在http://arxiv.org/abs/1302.7192.[6] Fontana，C.和Runggaldier，W.J.（2013），《不含鞅测度的金融市场基于差异的模型》，载于《风险测度和态度》，F.Biagini，A.Richter和H.Schlesinger编辑，EAA系列，伦敦斯普林格，第45-81页。[7] Hulley，H.（2009），连续金融市场模型中的严格局部鞅，悉尼理工大学PhDthesis。[8] Jeanblanc，M.，Yor，M.和Chesney，M.（2009），《金融市场的数学方法》，伦敦斯普林格。[9] Karatzas，I.，Lehoczky，J.P.，Shreve，S.E.，和Xu，G.-L.（1991），《不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法》，暹罗控制与优化杂志29，第702-730页。[10] Kardaras，C.（2009），《投资约束下指数Lévy m模型的无免费午餐等价物》，数学金融19，第161-187页。[11] Kardaras，C.（2010），《有限可加概率与资产定价基本定理》，当代定量金融：纪念埃克哈德·普莱滕的论文，C.Chiarella和A.Novikov编辑，柏林斯普林格——海德堡，第19-34页。[12] 南卡罗来纳州利文塔尔和斯科罗霍德。

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2022-5-5 05:53:56

（1995），《不存在驯服投资组合风险的必要和有效条件》，应用概率年鉴5，第906-925页。[13] Lyaso Off，A.（2012），一类连续时间金融市场资产定价的两个基本定理，预印本，将出现在数学金融中。[14] Ruf，J.（2011），《套利下的最优交易策略》，哥伦比亚大学博士论文。[15] Stricker，C.和Yan，J.-A.（1998），关于可选分解定理的一些评论，载于Séminaire de ProbabilitéS XXXII，J.Azéma，M.Emery，M.Ledoux和M.Yor，编辑，第1686卷数学讲稿，柏林斯普林格-海德堡-纽约，第56-66页。[16] Wong，B.和Heyde，C.C.（2010）套利和近似套利：资产定价的基本原理，随机82，第189-200页。

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