定义GΘf-1在方程93中，可原谅（f+pg）×（p+f）矩阵G。然后，在n中渐近，√N维希G^Θ-1f- 维希GΘf-1.N0，HOhmH>, （94）其中h=-LΘf-1. Θf-1.-~G>~G>~GΘf~G>-1.~GΘf~G>-1.~G~GD.此外，我们可能会更换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.4.6条件期望和多元异方差在这里，我们从第4.4节扩展模型，以接受多个异方差“特征”。首先要注意的是，如果我们将fit重新定义为fisi，我们可以重写方程84中的模型，即[xi+1si | si，fi]=Bfi，Var（xi+1si | si，fi）=∑，这可以通过fl atting技巧推广到向量值s。[6] 假设你观察到状态变量q-vector si和f-vector fiat，在需要进行投资决策以获取xi+1之前的某个时间。s和f不一定是独立的。对于模型的合理解释来说，s的所有元素都是积极的是有道理的。通用模型是Nowevecxi+1si>|是的，菲= Bfi，Varvecxi+1si>|是的，菲= ∑，（95），其中B是某个（pq）×f矩阵，∑现在是一个（pq）×（pq）矩阵。在观察si的条件下，f资产上的投资组合^ν可以表示为投资组合向量^νsi->收益为vectorvec的（pq）资产xi+1si>; 给你->指的是元素方面的，或阿达玛，是Si>的逆。因此，我们可以在（pq）资产的扩大空间上执行投资组合条件优化，然后，在si条件下，施加子空间约束，要求投资组合由（Ip>si）>的列空间跨越，其中>用于表示具有si的Kronecker积-1，Si的哈达玛逆。然后，我们可以结合第4.1节和第4.4节的结果来解决投资组合优化问题，并对该投资组合进行推理。

下面是引理4.11和引理4.1的类似物。引理4.16（条件夏普比率最优投资组合）。假设返回符合等式95中的模型，并假设观察到Si和Fi。LetJ=（Ip>si）>，假设jbfi不全是零。然后投资组合优化问题argmaxν：Var（ν>xi+1|si，fi）≤重新ν> xi+1 | si，fi- r的rpVar（ν>xi+1 | si，fi），（96）≥ 0，R>0由ν求解*= cJ>J∑J>-1JBfi，c=Rq（Bfi）>J>（J∑J>）-1J（Bfi）。此外，当r>0时，该解是唯一的。该投资组合实现了q（Bfi）>J>（J∑J>）的最大目标-1J（Bfi）-rR。引理4.16中投资组合的样本类似物的分布基本上由定理4.4给出，适用于条件期望回归的情况。5约束估计现在考虑人口参数Θf先验已知或怀疑满足某些约束的情况。然后，在构建马科维茨投资组合、实施对冲等之前，希望对样本估计施加相同的约束，以避免约束估计不是正定义的可能性，或需要锥规划来确定估计，在这里，我们假设约束可以用Θf的（较低）Cholesky因子表示。注意，它的形式为Θf1/2=“Γf1/2BΓf1/2∑1/2#，（97）这可以通过将上述值乘以其转置来证实。5.1线性约束现在考虑一致矩阵a，T的形式AB=T的等式约束，这是多元一般线性假设的一种不太一般的形式，其更多内容见下文。通过这种形式的等式，可以将某些资产的平均值限制为零（例如，要对冲的资产），或者强制fito的某些要素对XI+1的某些要素没有边际预测能力。

当满足此约束条件时，请注意-塔塔Θf1/2我= 0，可以重写为0=I 0-塔塔vecΘf1/2,=I 0-塔塔五十> 维希Θf1/2.这促使对formD vech实施质量限制Θf1/2= b、 （98）其中D是一些nc×nvmatrix，b是nc向量，其中nv=（p+f+1）（p+f）/2是向量中的元素数Θf1/2.现在考虑优化问题minz:Dz=bZ- 维希^Θ1/2f>WZ- 维希^Θ1/2f, （99）其中W是一些对称的正定义nv×nv‘加权’矩阵，它们在园艺品种应用中的一致性。这个问题的解决方案可以通过拉格朗日乘子技术简单地识别到bez*= 维希^Θ1/2f+ W-1D>D> W-1D-1.B- 德维奇^Θ1/2f,= W-1D>D> W-1D-1b+hI-W-1D>DW-1D>-1驾驶^Θ1/2f.定义为nv×nv矩阵，其Cholesky因子解决了最小化问题99:Θf=dfvec-1（z）*)vec-1（z）*)>.当总体参数满足约束条件时，该样本估计是渐近无偏的。定理5.1。假设德维奇Θf1/2= 对于给定的nc×nv矩阵D和nc向量b，设W是一个对称的、正定义的nv×nv矩阵。假设f=dfnPixi+1xi+1>，基于HF>的NI.i.d.样本，x>i>，其中xi+1=dfhfi>，xi+1>i>。允许Ohm 是维希的方差吗~xx>. 定义这一点Θ1/2f= W-1D>D> W-1D-1b+hI-W-1D>DW-1D>-1驾驶^Θ1/2f.然后，在n中渐近地，√N维希Θf- 韦奇（Θf）N0，HOhmH>, （100）式中H=HHHde飞灰=L（I+K）Θf1/2 我,H=L>hI-W-1D>DW-1D>-1Di，H=L（I+K）Θf1/2 我L>-1，其中K是交换矩阵。此外，我们可能会替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.证据将函数f（X）、f（X）、f（X）定义如下：f（X）=vechXX>,f（X）=tril-1.W-1D>D> W-1D-1b+hI-W-1D>DW-1D>-1DiX,f（X）=vechX1/2,特里尔在哪里-1（X）是一个函数，它将一个保形向量带到下三角矩阵。

然后我们定义了vechΘf作为fFF^Θf. 通过中心极限定理和矩阵链规则，可以证明他在f（f（Θf））处求出f（·）的导数，他在f（Θf）处求出f（·）的导数，他在f（Θf）处求出f（·）的导数。这些都是由引理A.1和引理A.2的方程式121建立的，并且假设D向量Θf1/2= b、 这意味着f（f（Θf））=f1/2。选择W并不是件小事。用定理5.1和Θ和的知识武装起来Ohm, 人们会试图最小化估计量Θf的协方差。因为这些是未知的总体参数，所以必须以某种方式对它们进行估计。[16,12]线性等式约束可以推广到单个半空间不等式约束。也就是说，德维奇Θf1/2≤ b、 （101）对于dA 1×nV矩阵和bA标量。[61,62]然而，多重不平等约束的一般情况要困难得多，仍然是一个悬而未决的问题。5.2等级约束另一种可能的约束类型是等级约束。在这里，（p+f）×（p+f）矩阵Θfh的秩r<p+f是先验的。有这种信念的投资组合经理的一个明智的反应是将^ft投影到秩矩阵，取伪逆，并使用（负）角子矩阵作为马科维茨系数。（参考引理4.13）这里我们考虑降秩Markowitz系数的渐近分布。为了确定带有秩约束的Θf样本估计的渐近分布，需要降秩分解的导数。[54,26]引理5.2。设A是秩为r的实J×J对称矩阵≤ J.Letvj（A）是返回A的jtHeigen值的函数，类似地，Letvj（A）计算相应的特征向量。然后dvj（A）d vech（A）=vechVj（A）Vj（A）>>D、 （102）dVj（A）D vech（A）=（vj（A）I-（A）+Vj（A）> 我D.（103）证据。这些衍生物是已知的。

[54，等式（67）-（68）]这里的形式来自代数和引理2.3。由此，对于任意非零p，可以计算具有对角线[v（A）p，v（A）p，…，vr（A）p]>的r×r对角矩阵相对于向量（A）的导数。类似地，列为v（A），v（A），vr（A）可以用向量（A）来计算。由此可以计算秩r近似对A的伪逆对向量（A）的导数。然后，利用delta方法，可以建立A的秩r近似的伪逆的渐近正态分布。方差的公式最好不要写成，因为它太复杂了，不可能有启发性，而且最好通过自动差异来构建。6多元一般线性假设从方程84中去掉条件异方差项，我们有模型E[xi+1 | fi]=Bfi，Var（xi+1 | fi）=∑，未知量B和∑可以通过多元多元线性回归估计。通过多变量一般线性假设（MGLH）检验B元素的重要性。[45,59,60,49,63,67]对于a×p矩阵a，f×c矩阵c和a×c矩阵T，MGLH可以被设置为：ABC=T，（104）。我们要求a和c具有满秩，a≤ p和c≤ f、 在园艺品种应用程序中，通过让A和C成为恒等矩阵来测试B是否全部为零，以及T A矩阵是否全部为零。MGLH测试通过四个测试统计数据中的一个进行，每个数据由两个矩阵、模型方差矩阵^H和误差方差矩阵^E定义，定义为^H=df公元前710年-TC> ^Γ-1fC-1.公元前710年-T>,^E=dfA>^∑A，（105）式中^f=nPififi>。请注意，通常在非金融应用中，累加器是确定性的，由实验者控制（由此产生术语“设计矩阵”）。

在这种情况下，假设^Γ对人口模拟物Γf进行了无误的模拟，尽管已经对“随机解释变量”的情况做了一些工作[60]MGLH的四个测试统计数据是：Hotelling-Lawley trace:^T=dftr^E-1^H= trIa+^E-1^H- a、 （106）Pillai-Bartlett迹：^P=dftrIa+^E-1^H-1., （107）威尔克轻轨：^U=dfIa+^E-1^H-1., （108）罗伊最大根：^R=dfmaxeig^E-1^H, （109）=最大值eigIa+^E-1^H- 1.在这四个词中，罗伊最大的词根历来是最不为人所知的。[28]每一个都可以被描述为矩阵Ia+^E特征值的函数-1^H.在零假设下，H，矩阵^H\'应该是全零，在某种意义上，这将在以后变得精确，因此霍特林-劳利迹和罗伊的最大根“应该”等于零，皮莱-巴特利特迹“应该”等于a，威尔克的LRT“应该”等于1。可以用前面几节中给出的矩阵的渐近展开来描述MGLH测试统计。如第4.4节所述，设xi+1=dfhfi>，xi+1>i>。（110）Θx的二阶矩为Θf=dfEhxx>i=ΓfΓfB>BΓf∑+BΓfB>. （111）我们可以用定义为Θf的两个矩阵的乘积来表示MGLH统计。设M为（f+p）×（c+a）矩阵xm=df如果0 A.线性代数证实了这一点M> ΘfM-1=^Γ-1f+A^B>A∑A>-1.A^B-^B>A>A∑A>-1.-A∑A>-1A^BA∑A>-1..（112）ThusG=dfC> T>M> ΘfM-1.计算机断层扫描=C> ^Γ-1fC+公元前710年-T>A∑A>-1.公元前710年-T. （113）现在defineg=dfC>如果>p>ΘfIfp-1C！-1=C> ^Γ-1fC-1.（114）暴徒=Ic+C> ^Γ-1fC-1.公元前710年-T>A∑A>-1.公元前710年-T. （115）这个矩阵在道德上等同于向量矩阵Ia+^E-1^H, 因为它们具有相同的特征值。这是因为eig（AB）=eig（BA）。

[54，等式（280）]考虑到它们有不同的大小（一个是a×a，另一个是c×c），MGLH统计数据可以表示为：^T=tr（GG）- c、 ^P=tr（GG）-1.+ A.- c、 ^U=（GG）-1.,^R=max（eig（GG））- 1.为了确定GG和MGLH检验统计量的渐近分布，需要找到上述矩阵相对于Θf的导数。在实践中，通过自动差异肯定可以更好地实现这一点。[56]然而，对于具体性，这里给出了导数。还必须注意，直接应用deltamethod会导致MGLH统计的渐近正态近似。然而，就其本质而言，这些统计数据看起来更像（非中心）卡方或F统计数据。[49]有必要对这一问题进行进一步研究，或许可以使用霍尔的方法。[21]引理6.1（一些衍生物）。defi neG=dfC>如果>p>ΘfIfp-1C！-1，G=dfC> T>M> ΘfM-1.计算机断层扫描.（116）引用我的顾问诺埃尔·沃金顿的话。然后dgdΘf=fP如果>p>ΘfIfp-1.CfPΘf；Ifp,dGdΘf=C> T>C> T>fP（Θf；M），dG-1dΘf=C> C>fPΘf；Ifp,dG-1dΘf=fPM> ΘfM-1.计算机断层扫描fP（Θf；M），其中我们定义fP（X；J）=df-J> XJ-1.J> XJ-1.J> J>.证据它们来自引理A.1和链式法则。引理6.2（MGLH衍生物）。定义GLH统计asT=dftr的人口类似物Ia+E-1小时- a、 P=dftrIa+E-1小时-1., （117）U=dfIa+E-1小时-1., R=dfmaxeigIa+E-1小时- 1，（118），其中h=df（ABC-（T）C> Γf-1C-1（ABC）-T） >，E=dfA>方程式111中的∑A.defineΘfas。LetQT=dfdTdΘf，同样定义QP、QU、QR。

然后qt=vecG>>dGdΘf+vec（G）>dG>dΘf，QP=vecG->>dG-1dΘf+vecG-1.>dG->dΘf，QU=|GG|-1.vecG->>dGdΘf+vecG->>dGdΘf,QR=ν> ν>（一）G） dGdΘf+G> 我dGdΘf,式中，ν是GG的主要特征向量，标准化为ν>ν=1，式中，Gand Gare在等式113和等式114中定义，其关于引理6.1中给出的Θfare的导数。证据这些数据来源于MGLH统计数据的定义，以及引理A.1的方程式122、125和126。定理6.3。假设f=dfnPixi+1xi+1>，基于HF>的NI.i.d.样本，x>i>，其中xi+1=dfhfi>，xi+1>i>。允许Ohm 是维希的方差吗~xx>. 定义方程式105中的^H和^E，原谅a×p矩阵a、f×c矩阵c和a×c矩阵T。定义MGLH测试统计数据，如方程式106至109中的^T、^p、^U和^R，并将T、p、U和R作为它们的人口类似物。然后，在n中渐近地，√N^T- TN0（QTD）Ohm（QTD）>,√N^P- PN0，（QPD）Ohm（QPD）>,√N^U- UN0，（圣城）Ohm（圣城）>,√N^R- RN0，（QRD）Ohm（QRD）>,其中QT，QP，QU，qr在引理6.2中给出。此外，我们可能会替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.证据这源自delta方法和引理6.2.7示例7。1随机数据根据经验，基于定理2.5的近似，马科维茨投资组合中零权重的边际瓦尔德检验与布里顿-琼斯过程产生的统计几乎相同。[7] 这里随机生成了5项资产1024天的高斯收益率，平均值为零，以及一些随机生成的协方差。Britten Jones的程序主要适用于每项资产。瓦尔德统计量也通过定理2.5“插入”样本估计来计算，以估计标准误差。

表1给出了这5种资产的两个测试值，它们非常匹配。渐近方法的价值在于，它允许第4节的推广，并允许对Ohm. [68]rets1 rets2 rets3 rets4 RETS5已编写。Jones 0.4950 0.0479 1.2077-0.4544-1.4636Wald 0.4965 0.0479 1.2107-0.4573-1.4635表1:Britten Jones[7]的t统计量，以及定理2.5中插入^Θ的沃尔德统计量，给出了5种资产在1024天的高斯回归中的零均值。统计数据用4个重要数字表示，以说明两种方法的数值差异，并不是因为这些统计数据值得如此精确。7.1.1正态回归我们测试定理3.11和等式52中随机数据的置信区间。我们从多元正态分布中得出回报，其中κ=1。我们计算数据天数n、资产数量p和最佳信噪比ζ*, 并进行了2.5×10的模拟。然后我们让n在100到1.28×10天之间变化；我们让p在2到16之间变化；我们让ζ*以“年化”单位（每平方根年）从0.5到2不等，我们假设每年252天。我们根据定理中的差异和比率形式，计算样本Markowitz投资组合的信噪比SNR（ν；Θ，0）的置信下限。置信限通过使用实际ζ进行非常优化的计算*在信噪比均值和方差的表达式中^Θ-1.Θ, 0-^ζ*信噪比^Θ-1.Θ, 0/^ζ*. 对于信心极限的“TA”形式，我们使用^ζ*一次在非中心参数中，但另一次使用实际ζ*计算参数时。

因此，虽然这并没有以实际使用的方式测试置信限值（例如，等式57），但即使有了这一点洞察力，结果仍然令人沮丧，无法推荐它们的普遍使用。我们根据差异和比率形式以及“TAS”变换计算0.05置信下限。然后我们计算经验型Irate。在图1中，这些都是根据n绘制的。我们展示了ζ的刻面列*,和p的刻面行。置信区间未能达到标称覆盖率，可能除了最大的n值，尽管这些值比实际使用的要大得多。作为检验，我们还将我们的实验所得的Markowitz投资组合信噪比的经验平均值与定理3.11的理论渐近值进行了比较，即κζ*+ 1.(1 - p） 2nζ*.我们在图2中绘制了经验和理论平均值，再次对比ζ的n和分面柱*, 对于较大的样本量，理论渐近值给出了一个很好的近似值，但只需要大约6年的日常数据。注意，理论值随着nζ的增加而变差*→ 0，正如人们所期望的：任何投资组合的信噪比不得大于ζ*绝对值，但理论值-∞.7.1.2现在，我们通过模拟测试等式48。我们计算数据天数n、资产数量p和最佳信噪比ζ*, 和峰度因子κ，并进行10次模拟。我们让n从100天到1600天不等；我们让p在4到16之间变化；我们让κ在1到16之间变化；我们让ζ*从0变化。5到2个“年化”单位（每平方根年），我们假设每年252天。

当κ=1时，我们从多元正态分布中得出；当κ>1时，我们从多元移位t分布中得出。对于每个模拟，我们收集向量的第一个和最后一个元素√NQ∑>/2^ν*- ζ*ED-1/2.●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ●●●●● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●年化信噪比：0.5年化信噪比：1年化信噪比：2p:2p:4p:8p:16100 1000 000.000.250.500.751.000.00.20.40.60.000.250.500.750.000.250.500.751.00天数数据在名义0.05水平下的经验I型费率●●●I型利率，差异形成I型利率，比率形成I型利率，tas形成0.05 CIs对马科维茨投资组合信噪比的理论和经验覆盖率，使用一些透视法，正常回报。图1：信噪比的三种不同单侧置信区间的I型经验比率^Θ-1.Θ, 0, 马科维茨投资组合的信噪比如图所示，其中名义I型比率为0.05。日收益率来自多元正态分布，ζ变化*, n、 还有p。