Markowitz投资组合的渐近分布

2022-5-5 06:12:48

MarkowitzPortfolioSteven E.Pav的渐近分布*2021年8月17日抽象了马科维茨投资组合的渐近分布，^∑-对于一般情况（假设存在收益的四阶矩），以及多变量正态收益的情况，导出了1μu。该推导允许对四阶矩的异方差和自相关具有鲁棒性的推理。另一方面，由于协方差矩阵估计错误，可以估计马科维茨投资组合中的误差比例。给出了一个似然比检验，它推广了邓普斯特的协方差选择检验，允许对精度矩阵和马科维茨投资组合的线性组合进行推断。[15] 给出了处理套期保值投资组合、条件异方差、条件期望和约束估计的主要方法的扩展。结果表明，hotelling-Lawley统计量推广了条件期望模型下的（平方）Sharpe比率。在假设随机协变量的情况下，找到了所有四种常见“MGLH”统计量的渐近分布。[60]举例说明了这些结果的可能用途。1简介假设p资产的预期收益率为u，收益协方差为∑，则投资组合定义为ν*=dfλ∑-1u（1）在现代投资组合理论中起着特殊的作用。[38,5,9]它被称为“有效投资组合”、“相切投资组合”，以及非正式的“马科维茨投资组合”。对于各种λ，它出现在许多投资组合优化问题的解决方案中。除了经典的均值-方差公式外，它还解决了（总体）夏普比最大化问题：maxν：ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> 式中，∑r≥ 0表示无风险或“灾难性”回报率，R>0表示给定的“风险预算”。

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2022-5-5 06:12:51

这个优化问题的解是λ∑-1u，其中λ=R/pu>∑-1u.*steven@gilgamath.comIn实际上，马科维茨的投资组合有一段曲折的历史。人口参数u和∑未知，必须从样本中估计。估计误差导致一个可行的投资组合，^ν*, 价值可疑的。米肖甚至把均值-方差优化称为“误差最大化”[44]有人提出，简单的投资组合启发法在实践中优于马科维茨投资组合。[13] 本文主要研究样本Markowitz投资组合的渐近分布。通过将问题表述为线性回归，布里顿·琼斯非常聪明地设计了关于ν元素的假设检验*, 假设多变量高斯回报。[7] 在一系列引人注目的论文中，Okhrin和Schmid，Bodnar和Okhrin给出了v的点积的（单变量）密度*和非终结向量，同样适用于高斯回报的情况。[50,3]Okhrin和Schmid还表明，所有的^ν时刻*/1>^ν*大于或等于一的秩序并不存在。[50]这里我推导出^ν的渐近正态性*, ν的样品类似物*, 假设只有前四个时刻存在。^ν方差的可行估计*易受异方差和自相关稳健推理的影响。[68]还导出了高斯回报下的渐近分布。在估计^ν的协方差之后*, 可以计算^ν元素的瓦尔德检验统计量*, 可能会导致一方放弃对价中的部分资产（“股权分散”）。对协方差进行估计也可以允许Portfolio收缩。[14，31]本文中的推导实际上解决了一个比样本马科维茨投资组合的分布更一般的问题。^ν的协方差*和“精度矩阵”^∑-1是派生的。

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2022-5-5 06:12:54

例如，这允许我们估计马科维茨投资组合中由于协方差矩阵估计错误而产生的误差比例。根据lore的说法，投资组合权重的误差主要是由于对u的错误估计，而不是∑的错误估计。[8,43]最后，假设高斯回报率，推导出一个似然比检验，用于对马科维茨投资组合和精度矩阵的元素的线性组合进行推断。该测试推广了Dempster的一个程序，仅对精度矩阵进行推理。[15] 2增广的第二个动量挑战x是p资产的收益数组，平均值为u，协方差为∑。设xbe x前面有一个1:~x=1，x>>. 考虑第二个力矩x:Θ=dfEhxx>i=1 u>u Σ + uu>. （3）通过检查，我们可以确定Θ的倒数是Θ-1=1 + u>Σ-1u -u>Σ-1.-Σ-1u Σ-1.=1 + ζ*-ν*>-ν*Σ-1., （4）在哪里*= Σ-1^u是马科维茨投资组合，ζ*=pu>∑-1u是该投资组合的最大值。矩阵Θ包含x的一阶矩和二阶矩，但也是x的非中心二阶矩，这一事实使其易于通过中心极限定理进行分析。上述关系仅仅是线性代数的事实，因此也适用于样本估计：1 ^u>^u^Σ + ^u^u>-1=1 +^ζ*-^ν*>-^ν*^Σ-1.,式中，^u，^∑是u和∑，以及710ν的一些样本估计*=^Σ-1^u,^ζ*=^u>^Σ-1^u.给定NI.i.d.观测值xi，设X为矩阵，其行为向量xi>。naive样本估计量^Θ=dfn＠X>＠X（5）是一个无偏估计量，因为Θ=Eh＠X>＠xi。2.1矩阵导数需要一些关于矩阵的符号和技术结果。定义2.1（矩阵运算）。对于矩阵A，让vec（A）和vech（A）是向量和半空间向量算子。

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2022-5-5 06:12:57

前者将一个p×p矩阵转化为一个pvector，该pvector中的列相互堆叠；后者将对称（或下三角）矩阵向量化为非冗余元素向量。设L为“消去矩阵”，一个由0和1组成的矩阵，其性质为vech（a）=L vec（a）。“复制矩阵”D是0和1的矩阵，可以反转这个运算：D vech（A）=vec（A）。[36]注意这意味着ld=I（6=DL）。我们将K设为“交换矩阵”，即矩阵的行区域置换为单位矩阵的行，使得K vec（A）=vecA>对于平方矩阵A.定义2.2（导数）。对于m-向量x和n-向量y，让导数ydxb表示n×m矩阵，其第一列是y相对于x的偏导数。这遵循所谓的“分子布局”约定。格式Y和X，定义YDX=dfdvec（Y）d向量（X）。引理2.3（杂项衍生物）。对于对称矩阵Y和X，dvech（Y）d vec（X）=LdYdX，dvec（Y）d vech（X）=dYdXD，dvech（Y）d vech（X）=LdYdXD。（6）证据。对于第一个方程，注意vech（Y）=L vec（Y），因此根据链式规则：dvech（Y）d vec（X）=dL vec（Y）d vec（Y）=LdYdX，通过导数的线性。其他身份也类似。引理2.4（矩阵逆的导数）。对于可逆矩阵A，dA-1dA=-A.-> A.-1.= -A> A.-1.（7）对于对称A，关于非冗余部分的导数为vechA.-1.d vech（A）=-LA.-1. A.-1.D.（8）注意这个结果如何推广标量导数：dx-1dx=-十、-1x-1..证据方程式7是一个已知的结果。

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2022-5-5 06:13:00

[18,37]然后，方程8使用单MMA 2.3.2.2马科维茨投资组合的渐近分布，将均值和协方差收集到二阶矩矩阵中，给出样本马科维茨投资组合的共有分布，无需做很多工作。在某种意义上，这种计算推广了多重资产夏普比率的“标准”渐近分析。[27,34,32,33]定理2.5。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x.Let的NI.i.d.样本Ohm 是维希的方差吗~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，HOhmH>, （9）其中h=-LΘ-1. Θ-1.D.（10）此外，我们可以替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.证据在多元中心极限定理下[65]√N维希^Θ- 韦奇（Θ）N（0，Ohm) , （11）在哪里Ohm 是向量的方差~xx>, 一般来说，这是未知的。通过德尔塔法[65]，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，“dvechΘ-1.维希（Θ）#Ohm“德威奇Θ-1.d维奇（Θ）#>.导数由引理2.4给出，结果如下。估计向量的协方差^Θ-1., 在协方差计算中插入^ΘforΘ，并使用一些一致的估计值Ohm, 叫它^Ohm. 计算^的一种方法Ohm 是通过向量vech的样本协方差~xi ~~xi>=h1，xi>，vech西溪>>i> 。例如，可以使用更精细的协方差估计来处理违反i.i.d.假设的情况。[68]请注意，因为vech的第一个元素~xi ~~xi>是一个确定性的1，它是Ohm 都是零，我们不需要估计。2.3夏普比率最优投资组合MMA 2.6（夏普比率最优投资组合）。假设u6=0，且∑是可逆的，投资组合优化问题argmaxν：ν>∑≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（12）表示r≥ 0，R>0由νR求解，*=dfRpu>∑-1uΣ-1u. （13）此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。

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2022-5-5 06:13:03

该投资组合实现的最大目标为：∑-1u - r/r=ζ*- 证明。通过拉格朗日乘子技术，最优投资组合求解以下方程：0=cu- c∑ν- γΣν,ν>Σν ≤ R、其中γ是拉格朗日乘子，c是标量常数。解第一个方程得到的是ν=c∑-1u.这将问题简化为单变量优化maxc:c≤R/ζ*符号（c）ζ*-r | c |ζ*, （14） ζ在哪里*= u>Σ-1u. 最佳值出现在c=R/ζ时*, 此外，当r＞0时，最优解是唯一的。请注意，vech的第一个元素Θ-1.是1+u>∑-1u，元素2tp+1为-ν*. 因此，νR，*, 使Sharperatio最大化的投资组合是vech的一些转型Θ-1., 德尔塔方法的另一个应用给出了它的渐近分布，如下面对定理2.5的推论。推论2.7。让我们，*=Rpu>∑-1uΣ-1u，（15）和类似地，让，*作为样本模拟，其中R是一些风险预算。然后√n（^νR），*- νR，*) N0，HOhmH>, （16）在哪=-2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D,ζ*=dfu>∑-1u.（17）此外，我们可以将H表示为-e> Θ-1.1.- ζ*2ζ*νR，*,Rζ*Σ-1.-Σ-1uu>Σ-12ζ*D.（18）证据。通过delta方法和定理2.5，可以证明dνR，*d维希（Θ-1)= -2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0.为了说明这一点，请注意νR，*是-R乘以向量的元素2到p+1Θ-1.除以ζ*=pe>vech（Θ-1) - 1，其中ei是identitymatrix的第i列。

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kedemingshi

2022-5-5 06:13:06

结果来自基本微积分。要建立方程18，请注意，只有第一个p+1列的dνR，*d维希（Θ-1）有非零项，因此消去矩阵L可以忽略右边的项，我们可以写出导数asdνR，*d维希（Θ-1） =e> -2ζ*νR，*,Rζ*知识产权.我们可以写出产品asH=-e> Θ-1.2ζ*νR，*,Rζ*知识产权Θ-1.D.执行矩阵乘法以查找2ζ*νR，*,Rζ*知识产权Θ-1=1 + ζ*2ζ*νR，*-Rζ*Σ-1u, -2ζ*νR，*u>Σ-1+Rζ*Σ-1.,=1.- ζ*2ζ*νR，*, -2ζ*νR，*u>Σ-1+Rζ*Σ-1.,这进一步简化了给定的形式。样本统计量^ζ*是，直到n，只是霍特林的统计。[1] 可以对ζ进行推断*通过这个统计，至少在高斯分布下，T的分布是（非中心）F分布。然而，请注意ζ*是任何投资组合的最大总体夏普比，因此它是样本投资组合的夏普比的上界，*. 对ζ的估计没有多大意义*当样本投资组合的夏普比率很小，甚至为负时。因为ζ*是一个投资组合的夏普比的上界，似乎奇怪的是，声称样本投资组合的夏普比可能与平均ζ渐近正态*. 事实上，delta方法将失败，因为ζ的梯度*关于投资组合，在νR处为零，*. 这个难题的一个解决方案是估计“信噪比”，结合严格的正r。在这种情况下，投资组合可能会获得高于ζ的值*-r/r，由νr实现，*, 违反风险预算。为了推进这个论点，我们构造了信噪比函数的二次近似。假设r>0，r>0，并假设总体参数Θ是固定的。定义信噪比asSNR（ν；Θ，r）=dfν>u- R√ν>Σν.

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2022-5-5 06:13:09

（19）我们通常会放弃对Θ和rand的依赖，只需写入SNR（ν）。定义νR，*如等式13所示，注意SNR（νR，*) = ζ*- r/r引理2.8（信噪比的二次泰勒展开）。让我们，*将SNR（ν）定义为等式26。然后snr（νR，*+ ) = 信噪比，*) +rRζ*u>+R>信噪比，*) - 2rRuu>ζ*- 信噪比，*) Σ + . . .证据根据泰勒定理，SNR（νR，*+ ) = 信噪比，*) +dSNR（x）dxx=νR，*!+>HxSNR（x）|x=νR，* + . . .通过简单的微积分，dSNR（ν）dν=√ν>Σνu -ν>u-R√ν>ΣνΣνν>Σν=√ν>Σνu - SNR（ν）∑νν>∑ν（20）要计算海森，取这个梯度的导数：H SNR=-h^ν>∑+∑νu>- 3信噪比（^ν）∑ν∑√^ν>∑ν+SNR（^ν）p^ν>∑∑∑i^ν>Σ^ν在δ=21/710时，*=R/pu>∑-1uΣ-1u，导数的取值为nr（x）dxx=νR，*=Ru- (ζ*- r/r）rζ*uR=rRζ*μ，黑森函数取hxsnr（x）|x=νR，*=ζ*ζ*- 3rRuu>-ζ*-rR∑R，完成证明。结合引理2.8和推论2.7，我们得到如下结果：推论2.9。让我们，*和^νR，*定义为推论2.7。作为问题2.6，信噪比（νR，*) = ζ*- r/r.让我来Ohm 是维希的方差吗~xx>.然后，在n，SNR（^νR，*) N信噪比，*) ,nh>OhmH, （22）其中>=-rRζ*, u>, 0-LΘ-1. Θ-1.D. （23）此外，我们可以表示h>ash>=-r2Rζ*1 + ζ*, -u>Σ-1.1.- ζ*, u>Σ-1.D.（24）证据。通过delta方法和链式规则SNR（^νR，*) N信噪比，*) ,nh>OhmH, h> =dSNR（νR，*)dνR，*>dνR，*维希（Θ）。从推论2.7中，我们得到了h>=dSNR（νR，*)dνR，*>-2ζ*νR，*, -Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D.取引理2.8中SNR（·）的导数，dSNR（νR，*)dνR，*>-2ζ*νR，*, -Rζ*Ip，0= -rRζ*u>2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0,= -rRζ*, u>，0.（25）为了建立方程24，我们继续进行推论2.7的证明。小心由于u和∑是总体参数，因此SNR（^νR，*) 这是一个无法观察到的量。

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2022-5-5 06:13:11

然而，我们可以估计SNR的方差（^νR，*), 并可能使用样本统计数据构建it的置信区间。在r=0的情况下，这个推论是无用的，当考虑r&0时，它给出了一些令人震惊的结果，因为它表明NR（^νr）的方差，*) 归零。事实并非如此，因为推论中的收敛速度是r的函数。要考虑r=0的情况，必须采用信噪比函数的二次泰勒展开式。推论2.10。假设R>0，R=0，thusSNR（^ν）=df^ν>up^ν>∑∑∑∑ν。（26）让νR，*和^νR，*定义为推论2.7。根据引理2.6，信噪比（νR，*) = ζ*, 我们取r=0。允许Ohm 是维希的方差吗~xx>.然后，在n，n[SNR（^νR，*) - 信噪比，*)]trHOhm1/2>FHOhm1/2zz>, （27）其中z~ N（0，Ip），其中f=Ruu>ζ*- ζ*Σ,H=-2ζ*νR，*,Rζ*Ip，0-LΘ-1. Θ-1.D,就像推论2.7一样。证据引理2.8SNR（νR，*+ ) = 信噪比，*) +>F + . . . ,F=Ruu>ζ*- ζ*Σ.根据推论2.7， = ^νR，*- νR，*N0，新罕布什尔州OhmH>,所以，渐近地√NHOhm1/2z、 z在哪里~ N（0，Ip），其结果如下。我们现在试图将最佳可实现清晰度的样本估计与样本马科维茨组合的已实现信噪比联系起来。^ζ的大小*（连同n）是我们可以估计样本马科维茨投资组合是否良好的唯一信息。如果我们把它们都看作Θ的函数-1.我们可以找到它们的期望值以及它们之间的任何协方差。令人惊讶的是，最不相关的两个量是不相关的。因此，对于下面的定理，让我们滥用符号将等式26中定义的信噪比函数表示为某个向量的函数：SNR（x；Θ，r）=（[0，Ip，0]x）>u- rq（[0，Ip，0]x）>∑（[0，Ip，0]x）。

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2022-5-5 06:13:15

（28）然后维希^Θ-1.; Θ，r对应于方程式26中的定义。此外，将“最佳信噪比”函数定义为向量asSNR的函数*（x） =pe>x- 1.（29）我们有信噪比*维希Θ-1.= ζ*, 如你所愿。在滥用符号的情况下，我们只需写SNR即可^Θ-1.Θ，r信噪比*^Θ-1.而不是写出向量函数。定理2.11。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的n i.i.d.样本。假设ζ*> 0.让我们Ohm 是维希的方差吗~xx>. 定义（·）和信噪比*（·）如等式28和等式29所示。然后，渐近为n，信噪比^Θ-1.Θ, 0ζ*+第2次HOhm1/2>FHOhm1/2zz>,^ζ*= 信噪比*^Θ-1.ζ*+h>Ohm1/2z2ζ*√N-trh>Ohm1/2>h>Ohm1/2zz>8ζ*n、 ^ζ-1.*= 信噪比*^Θ-1.-1ζ-1.*1.-h>Ohm1/2z2ζ*√n+3 trh>Ohm1/2>h>Ohm1/2zz>8ζ*N,（30）其中z~ N（0，Ip），其中矩阵H和F如推论2.10所示，其中H>=-1 + ζ*, -u>Σ-1.1 + ζ*, -u>Σ-1.D.证据。SNR（x；Θ，0）的分布是推论2.10的重述。改善^ζ的分布*, 执行泰勒函数的SNR展开*（·）：信噪比*（x+) = 信噪比*（x） +dSNR*（x） dx +>HxSNR*（十） + . . .= 信噪比*（x） +e>2SNR*（十）->ee>4SNR*（十） + . . .通过类似推理，SNR*（x+)=信噪比*（十）-e>2SNR*（十）+>3ee>8SNR*（十） + . . .现在通过定理2.5，我们知道了Θ的渐近分布-1，因此我们得到了一些h的分配形式，其中h=e>-LΘ-1. Θ-1.D.我们可以消去L，写出eas a（p+1）长度向量，或者更确切地说ase> e> ，其中，这是一个（p+1）长度向量。Kronecker乘积是矩阵积soh=-e> Θ-1.e> Θ-1.D、建立h的恒等式。该定理建议使用可观测量^ζ*对未知量进行推断，信噪比^Θ-1.Θ, 0. 渐近地，它们之间的相关性很低，误差很小，我们在下面的推论中对此进行了量化。推论2.12。

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2022-5-5 06:13:18

这两个量的协方差是渐近的N-2.:冠状病毒信噪比^Θ-1.Θ, 0, 信噪比*^Θ-1.ON-2., （31）并且它们的相关性是渐近ON-1/2.证据找到信噪比的时刻^Θ-1.Θ, 0和^ζ*, 我们认为z是多元标准正态分布，因此奇数幂次产品的期望值为零。它们的协方差完全来自二次项（z）的乘积。根据同样的逻辑，信噪比的渐近标准误差^Θ-1.Θ, 0是O吗N-1.,而^ζ*是O吗N-1/2.推论2.13。不同的信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*具有以下渐近均值和方差：EhSNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*i2ntrH>FH+hh>4ζ*!Ohm!. （32）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*4ζ*nh>Ohmh、（33）其中h，F和h在定理中给出。它们的比率具有以下渐近均值和方差：E信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*1+2nζ*trH>FH+3hh>4ζ*!Ohm!. （34）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*4ζ*nh>Ohmh、（35）这一推论给出了在NR上建立信任的方法^Θ-1.Θ, 0通过观察到的ζ*, 即通过插入样本估算Ohm 这个结果与信噪比的“夏普比率信息准则”估计器相当^Θ-1.Θ, 0. [51]要使用这个推论，可能需要一个H>FH的紧凑表达式。Westart方程18，writeH>FH=H>e> Θ-1. F1.- ζ*2ζ*νR，*,Rζ*Σ-1.-Σ-1uu>Σ-12ζ*D.但请注意F∑-1u=0（因此FνR，*= 所以我们可以写eh>FH=H>e> Θ-1.0，Rζ*F∑-1.D、 =RH>e> Θ-1.0,uu>Σ-1ζ*- 我D、 =ζ*D>Θ-1ee>Θ-1.\"0 0>Σ-1uu>Σ-1ζ*- Σ-1#!D.（36）类似地，hh>:hh>=D>e> Θ-1Θ-1ee> Θ-1Θ-1eD.（37）3高斯回归下的分布本节的目的是推导定理2.5的一个变体，用于x服从多元高斯分布的情况。首先，假设x~ N（u，∑），我们可以用p，N和Θ来表示x和^的密度。引理3.1（高斯样本密度）。假设x~ N（u，∑）。

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2022-5-5 06:13:21

让x=1，x>>, Θ=Eh＠x＠x>i，那么x的负对数似然为- 对数fN（x；u，∑）=cp+log |Θ|+trΘ-1*x*x>, （38）对于常数cp=-+plog（2π）。证据根据块行列式公式，|Θ|=|1|Σ + uu>- u1-1u>= |Σ|.还要注意（x- u)>Σ-1（x）- u）=x>-1x- 1.这些关系在不假设x的特定分布的情况下成立。x的密度为fn（x；u，∑）=p（2π）p |∑| exp-（十）- u)>Σ-1（x）- u),=|Σ|-（2π）p/2exp-~x>Θ-1x- 1.,= (2π)-p/2 |Θ|-经验-~x>Θ-1x- 1.,= (2π)-p/2exp-日志|Θ|-trΘ-1*x*x>,结果如下。引理3.2（高斯二阶矩矩阵密度）。让x~ N（u，∑），x=1，x>>, 和Θ=Eh＠x＠x>i.给定NI.i.d.样本xi，让^Θ=nPi＠xi＠xi>。然后是^Θisf的密度^Θ; Θ= 经验中国，p^ΘN-P-2 |Θnexp-ntrΘ-1^Θ, （39）对于某些cn，p.证明。设X为矩阵，其行为向量xi>。根据引理3.1，并使用迹线的线性，负对数密度X为-日志fN~X；Θ= ncp+nlog | | |+trΘ-1~X>~X,∴-2日志fN~X；Θn=2cp+log |Θ|+trΘ-1^Θ.通过Press[55]的引理（5.1.1），这可以表示为^Θ上的密度：-2日志f^Θ; Θn=-2日志fN~X；ΘN-NN- P- 2log^Θ-Np+1N-P对数π-p+1Xj=1logΓn+1- J,=2cp-p+1nN-P对数π-np+1Xj=1logΓn+1- J+ 日志|Θ|-N- P- 2nlog^Θ+ trΘ-1^Θ,= 中国，p- 日志^ΘN-P-2n |Θ|+trΘ-1^Θ,其中cn，pis是第三行括号中的术语。考虑因素-2/n，取一个指数得出结果。推论3.3。随机变量n^Θ与具有n个自由度和尺度矩阵Θ的p+1维Wishart随机变量具有相同的密度，最大密度为康斯坦丁p和n。因此n^Θ是一个条件Wishart，条件为^Θ1，1=1。[55,1]推论3.4。对数似然的导数由dlog f给出^Θ; Θd向量（Θ）=-nhvecΘ-1.- Θ-1^ΘΘ-1.i> ，dlog f^Θ; Θd vec（Θ-1)= -nhvecΘ -^Θi> 。（40）证据。

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2022-5-5 06:13:24

插入日志f中的日志^Θ; Θd向量（Θ）=-Ndlog|Θd vec（Θ）+dtrΘ-1^Θd vec（Θ）,然后标准矩阵演算给出第一个结果。[37,54]过程同样给出了第二个结果。这立即给出了最大似然估计量。推论3.5（MLE）。^Θ是Θ的最大似然估计量。要计算向量（Θ）的协方差，Ohm, 在高斯情况下，我们可以计算Fisher信息，然后利用Θ是最大似然估计这一事实。然而，由于vech（Θ）的第一个元素是确定性1，因此Ohm 都是零。这是一条不幸的皱纹。一种解决方案是计算关于非冗余变量的Fisher信息；然而，直接暴力方法也是可能的，并给出更一般的结果，如以下部分所示。3.1椭圆回归下的分布我们对^Θ的分布寻求一个更一般的结果，假设x是独立于椭圆分布绘制的，具有平均值u、协方差∑和“峰度因子”κ，我们指的是每个XI的多余峰度3（κ- 1). 在高斯情况下，κ=1。具体来说，我们假设x=u+a∧1/2zkzk，其中~ N（0，In），其中是独立于z的标量随机变量。协方差∑通过∑=E与矩阵∧相关A.n∧。然后将峰度参数定义为κ=nn+2EA.E[a]。Isserlis定理在椭圆分布上的扩展给出了x元素乘积的矩。[64，29]该结果与Iwa*****a和Siotani方程（2.1）中给出的中心二阶矩的协方差相当，但适用于非中心二阶矩。[25]定理3.6。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的NI.i.d.样本，假设为具有峰度参数κ的椭圆分布。

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2022-5-5 06:13:27

与x如何从x中生成x类似，定义u=df1, u>>, 和∑=df0 0>0 Σ. （41）请注意Θ=＠∑+＠u＠u>。Thenn Varvec^Θ= Ohm= (κ - 1)vec~Σvec~Σ>+ （I+K）∑~Σ（42）+（I+K）hΘΘ - ~u~u> 一、由于这是一项繁琐而乏味的工作，我们把证据放在附录中。然后，中心极限定理给了我们以下推论。推论3.7。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ- 韦奇（Θ）N0，LOhmL>, （43）在哪里Ohm如等式42所示。利用定理2.5，我们也立即得到以下推论3.8。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N0，HLOhm五十> H>, （44）在哪里Ohm在等式42中定义，h=-LΘ-1. Θ-1.D.（45）同样推论的更丑陋形式明确给出了协方差。有关证据，请参见附录。推论3.9。在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N维希^Θ-1.- 维希Θ-1.N（0，B），（46）式中，B=（κ- 1） LhvecΘ-1.- ee>vecΘ-1.- ee>>iL>+2（κ- 1）在Θ-1.- ee>Θ-1.- ee>N> L>+2LNΘ-1. Θ-1.- ee> ee>N> L>。我们经常关注信噪比和样本Markowitz组合，其联合渐近分布我们可以从之前的推论中挑选出来：推论3.10。

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2022-5-5 06:13:30

在前一个定理的条件下，渐近式为n，√N1 +^ζ*-^ν*-1 + ζ*-ν*N（0，C），（47）其中C=2ζ*2 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*-1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ν*>-1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ν*1 + κζ*Σ-1+ (2κ - 1) ν*ν*>.此外，如果Q是正交矩阵（QQ>=I），那么Σ1/2-1u=ζ*e、式中，∑1/2是∑的下三角Cholesky因子，然后渐近inn，√N1 +^ζ*Q∑>/2^ν*-1 + ζ*ζ*EN（0，D），（48）其中=2ζ*2 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ζ*e>1 + ζ*+ 3 (κ - 1) ζ*ζ*E1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>.我们注意到^ζ的渐近方差*我们在这里发现，对于高斯回报（κ=1）的情况，通过与霍特林T的联系，它与我们从非中心F分布计算出的精确方差一致。该方差（假设，正如我们在这里所做的，^∑是用分子中的n而不是n来估计的）- 1）不是吗ζ*+ 2ζ*+ NP- 4ζ*- 2p（n）- P- 2）（n）- P- 4)= 2ζ*2 + ζ*不适用N-2..正如人们所预料的，我们的渐近方差只捕捉到前导项。在等式48中，选择通过Q和∑>/2重新缩放是值得解释的。首先请注意，^ν的真实预期回报率*等于u>^ν*= u>Σ1/2-1.>Σ>/2^ν*=Σ1/2-1u>Q> Q∑>/2^ν*= ζ*e> Q∑>/2^ν*.也就是说，预期收益完全由q∑>/2^ν的第一个元素决定*. 现在请注意^ν的波动性*等于向量的欧几里德范数：^ν*>Σ^ν*=Σ>/2^ν*>Σ>/2^ν*=Σ>/2^ν*>Q> QΣ>/2^ν*=Q∑>/2^ν*.旋转也给出了对角渐近协方差。

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kedemingshi

2022-5-5 06:13:33

也就是矩阵1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>是对角的，所以我们处理向量q∑>/2^ν中的误差*渐近不相关。我们可以利用这些事实得出马科维茨投资组合信噪比的近似渐近分布，通过函数SNR（ν）确定*) =dfν*>upν*>Σν*.由上面的*) = ζ*e> Q∑>/2^ν*Q∑>/2^ν*.渐近地，我们可以认为这个asSNR（^ν）*) = ζ*ζ*+ λzq（ζ）*+ λz）+λpz+…+zp,式中λ=n-1/2p（1+κζ）*) + (2κ - 1) ζ*, λp=n-1/2p（1+κζ）*),其中Zi是独立的标准法线。现在考虑反正弦的正切，或“tas”，转换定义为asftas（x）=x/√1.- x、 [52]将此转换应用于重新缩放的信噪比，就可以得到FTAS信噪比（^ν）*)ζ*=ζ*+ λzλpqz+…+zp看起来很像一个非中心t随机变量。所以写塔斯信噪比（^ν）*)ζ*=λp√P- 1ζ*λ+zqz+…+zp/√P- 1=λp√P- 1t，（49），其中t是一个非中心t随机变量，p-1自由度和非中心参数ζ*/λ. 但是，有关模拟，请参见第7.1.2节，该模拟表明，为了使该近似值具有任何用途，需要不合理的大样本量。我们可以再执行一次转换，并在地图x7上使用delta方法onceagain→√十、- 1将等式48转换为√N^ζ*Q∑>/2^ν*-ζ*ζ*EN（0，D），（50）其中=1 +2+3(κ-1)ζ*1 + ζ*+(κ - 1) ζ*e>1 + ζ*+(κ - 1) ζ*E1 + κζ*I+（2κ）- 1) ζ*ee>.注意ζ的方差*这里给出的是夏普比标准误差的梅尔滕形式，假设椭圆分布的倾斜度为零，峰度为3（κ）- 1).

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2022-5-5 06:13:35

[42]我们可以通过交换^ζ来更进一步*ζ*到达√NQ∑>/2^ν*-^ζ*EN（0，D），（51）其中=1 + κζ*我-1 +2 + (κ - 1)ζ*ee>。现在对t随机变量执行相同的转换，以声明FTA信噪比（^ν）*)ζ*=λp√P- 1t，（52）式中，t是带p的非中心t随机变量- 1自由度和非中心参数^ζ*/λ、 λ=n-1/2r2+3（κ- 1)ζ*, λp=n-1/2p（1+κζ）*).这表明了另一个置信极限，即t是非中心t分布的α分位数，p- 1自由度和非中心参数^ζ*/λ、式中λ和λp插入^ζ*ζ*在需要的地方，将等式52变换为SNR的置信限（^ν*). 然而，该置信限值也是可疑值，请参见第7.1.1节。注意，等式49中的关系要求知道ζ*. 对信噪比（^ν）进行参考*) 鉴于观察到的数据，我们将推论2.13应用于椭圆回报的情况。定理3.11。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x的NI.i.d.样本，假设为具有峰度参数κ的椭圆分布。让我们*作为马科维茨投资组合的样本，以及*成为该投资组合的夏普比率样本。确定^ν的信噪比*asSNR（ν；Θ，0）=dfν>u√ν>Σν.然后，在n中渐近地，差异SNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*具有以下均值和方差：EhSNR^Θ-1.Θ, 0-^ζ*我κζ*+ 1.(1 - p） +（3κ）-1)ζ*+ 12nζ*. （53）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*(3κ-1)ζ*+ 1n。（54）比率具有渐近均值和方差信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*1 +κζ*+ 1.(1 - p） +3(3κ-1)ζ*+ 1.2nζ*. （55）Var信噪比^Θ-1.Θ, 0^ζ*(3κ-1)ζ*+ 1nζ*. （56）我们把冗长的证据放在附录中。请注意，类似的推理线应该会产生霍特林的Tunderellical回报的渐近分布，这可以与Iwashita给出的形式进行比较。

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2022-5-5 06:13:39

[24]同样值得注意的是Paulsen和S¨ohl[51]的结果，他们表明对于高斯回归，E信噪比^Θ-1.Θ, 0-^ζ*+1.- pn^ζ*= 0.该定理表明，NR的α置信区间如下：^Θ-1.Θ, 0, 通过插入^ζ*对于未知量ζ*:^ζ*+κ^ζ*+ 1.(1 - p） +c(3κ-1)^ζ*+ 1.2n^ζ*±Z1-α/2s（3κ-1)^ζ*+ 1n，（57）式中，差分公式取c=1，比率公式取c=3。然而，这些置信区间没有得到模拟的很好支持，因为它们需要非常大的n才能提供接近标称的覆盖率，参见第7.1.1.3.2节矩阵正态分布。我们考虑（增加的）回报遵循矩阵正态分布的情况。也就是说，我们假设存在一个n×（1+p）矩阵M和对称正半有限矩阵Ξ和ψ，它们的大小分别为（1+p）×（1+p）和n×n，使得~X~ N（vec（M），Ξ Ψ) .此表格允许我们考虑Allowenge对i.i.d.假设的偏差。g、，随时间变化的u，收益的自相关等。在这种情况下，我们不考虑椭圆分布，因为它可以在收益之间施加长期依赖性，即使它们是不相关的。我们现在求^Θ=n ~X>~X引理3.12的矩。矩阵正态返回向量~X~ N（vec（M），Ξ ψ），gram的平均值和协方差为ehX>Xi=M>M+tr（ψ）Ξ，（58）和varvec~X>~X= （I+K）Ξ ΞtrΨ+M> ψM Ξ + Ξ M> ψM.（59）作为检验，我们注意到这个结果与i.i.d.情况下的定理3.6是一致的，它对应于M=1μ>，ψ=i，Ξ=Ξ∑。引理3.13。让vec~X~ N（vec（M），Ξψ），其中ψ和Ξ是重新标度的，因此tr（ψ）=n。

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2022-5-5 06:13:42

设^Θ=n)X>XDe fineΘ=limn→∞纳米>米+Ξ。然后在n中渐近，√N^Θ-1.- Θ-1.N（0，B），（60）带B=2NΘ-1ΞΘ-1.Θ-1ΞΘ-1.trΨ+ 2NhΘ-1M>ψMΘ-1.Θ-1ΞΘ-1.+Θ-1ΞΘ-1.Θ-1M>ψMΘ-1.i、特别是，让ζ*= e> Θ-1e- 1和^ζ*= e> ^Θ-1e- 1那么√N^ζ*- ζ*N0，b, （61）对于b=e> e>B（e） e）。证明遵循推论3.10的思路，省略了。这一推论有助于发现^ζ的渐近分布*（和霍特林斯特）在与i.i.d.常态的某些差异下。例如，我们可以通过使ψi，j=ρi来施加一般的自相关-j |对于某些ρ∈ (-1, 1). 人们可以施加异方差结构，其中M=lu>和ψ=diaglλ对于一些标量lambda。研究表明，夏普比率与类似配置下的假设偏差相对较小。[53]3.3 Markowitz-portfolioLet的似然比检验我们再次考虑x采用高斯分布，而不是一般的光学分布。考虑一下无效假设：tr艾Θ-1.= 哎，我=1，m、（62）约束必须合理。例如，它们不能违反Θ的积极特性-1、对称性等。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设A是对称的，因为Θ是对称的，对于对称的G平方H，tr（GH）=trGH+H>, 所以我们可以用Ai+Ai>.利用拉格朗日乘子技术，零假设下的最大似然估计，称之为Θ，解出以下方程0=dlog f^Θ; ΘdΘ-1.-Xiλidtr艾Θ-1.dΘ-1,= -Θ+^Θ -XiλiAi。因此，空值下的MLE为Θ=^Θ-XiλiAi。

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2022-5-5 06:13:46

（63）根据等式62中的约束条件，通过求解λi，在数值上找到约束条件下的最大似然估计量。这个框架稍微推广了Dempster的“协方差选择”[15]，它简化为每个ais为零的情况，每个ais是一个全零矩阵，除了右下角p×p子矩阵中的两个（对称）1之外。然而，在所有其他方面，这里的解决方案都遵循Dempster。基于牛顿步的最大似然估计迭代方法如下。[48]设λ（0）是λi的向量的一些初始估计（通过滥用第2.2节中的渐近正态性结果，可能会得到一个好的初始估计）kthestimate的残差λ（k）为（k） i=dftr艾岛^Θ -Xjλ（k）jAj-1.- 人工智能。（64）关于λ（k）isd的元素的剩余量的雅可比矩阵（k） idλ（k）l=tr艾岛^Θ -Xjλ（k）jAj-1Al^Θ -Xjλ（k）jAj-1.,= vec（Ai）>^Θ -Xjλ（k）jAj-1.^Θ -Xjλ（k）jAj-1.vec（Al）。（65）牛顿法是迭代格式λ（k+1）← λ（k）-D（k） dλ（k）-1.（k）。（66）何时（如果？）迭代格式收敛于最优值，将λ（k）插入方程63中，得到零位下的最大似然估计。似然比检验统计量为-2对数∧=df-2原木LΘ^ΘLΘ无限制MLE^Θ,= N日志Θ^Θ-1.+ trhΘ-1.-^Θ-1i^Θ,= N日志Θ^Θ-1.+ trΘ-1^Θ- [p+1],（67）根据推论3.5，使用^Θ是无限制MLE的事实。根据威尔克斯定理，在零假设下，-2 log∧在n中渐近分布为具有m个自由度的卡方分布。[66]然而，大多数“有趣的”空值测试假定Θ位于可接受值的边界上；对于这样的测试，渐近收敛到其他一些分布。

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2022-5-5 06:13:49

[2] 4扩展对于大样本，使用上述程序计算的Markowitz Portfolio元素的Wald统计数据往往与Britten Jones程序产生的统计数据非常相似。[7] 然而，这里提出的技术允许一些有趣的扩展。这些扩展的脚本都是一样的：定义然后解决某个投资组合优化问题；证明了该解可以通过Θ的某些变换来定义-1.基于^Θ的相同变换，给出构建样本投资组合的隐式方法-1.确定样本投资组合在以下方面的渐近分布：Ohm.4.1子空间约束考虑约束投资组合优化问题maxν：J⊥ν=0,ν>Σν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（68）其中J⊥是a（p- 秩p的pj）×p矩阵- pj，ris为灾难率，andR>0为风险预算。让J的行跨越J的行的空空间⊥;就是说，J⊥J> =0，JJ>=I。我们可以解释正交约束tj⊥ν=0表示ν必须是J>列的线性组合，因此ν=J>ξ。J>列可被视为“篮子”资产，我们的投资受到限制。我们可以通过求解ξ来重写投资组合优化问题，但随后可以找到结果ν的渐近分布。注意，投资组合ξ的预期收益和协方差分别为ξ>Ju和ξ>J∑J>ξ。因此，我们可以将Ju和J∑J>插入引理2.6，得到以下类似物。引理4.1（子空间约束的夏普比率最优投资组合）。

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2022-5-5 06:13:52

假设J行跨越J行的空空间⊥, Ju6=0，∑是可逆的，投资组合优化问题maxν：J⊥ν=0,ν>Σν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（69）表示r≥ 0，R>0由νR，J求解，*=dfcJ>J∑J>-1Ju，c=Rqu>J>（J∑J>）-1Ju。当r>0时，解决方案是唯一的。我们可以很容易地找到^νR，J，*, 引理4.1中最优投资组合的样本类比。首先定义子空间二阶矩。定义4.2。设J为（1+pj）×（p+1）矩阵，~J=df100J.简单代数证明了下面的引理。引理4.3。~J>~JΘ~J>-1~J是~J>~JΘ~J>-1~J=“1+u>J>J∑J>-1Ju-u>J>J∑J>-1J-J>J∑J>-1JuJ>J∑J>-1J#。特别是-维希~J>~JΘ~J>-1~J是公文包^νR，J，*引理4.1中定义的，直至标度常数c，即R与向量的第一个元素的平方根的比率~J>~JΘ~J>-1~J负一。向量的渐近分布~J>~JΘ~J>-1~J由以下定理给出，该定理与定理2.5类似。定理4.4。假设^Θ是基于x的n i.i.d.样本的无偏样本估计值。假设J定义为定义4.2。允许Ohm 是维克的变异~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希~J>J^ΘΘJ>-1~J- 维希~J>~JΘ~J>-1~JN0，HOhmH>,（70）其中h=-LJ>~J>~JΘ~J>-1.~JΘ~J>-1.~J~JD.证据。

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2022-5-5 06:13:54

通过多元delta方法，可以证明h=dvech~J>J^ΘΘJ>-1~J维希（Θ）。通过引理2.3，证明DJ>~JΘ~J>-1~JdΘ=-~J>~J>~JΘ~J>-1.~JΘ~J>-1.~J~J.关于矩阵操作的一个众所周知的事实[37]isvec（ABC）=C> A.因此，vec（B）dABCdB=C> A.使用这个和链式规则，我们有：dJ>~JΘ~J>-1~JdΘ=d~J>~JΘ~J>-1~Jd~JΘ~J>-1d~JΘ~J>-1dJΘJ>dJΘJ>dΘ=~J>~J>D~JΘ~J>-1dΘJΘJ>~J~J.引理2.4给出了中间项，完成了证明。推论2.7的类似物给出了νR，J的渐近分布，*在引理4.1.4.2套期保值约束考虑中定义，现在是约束投资组合优化问题，maxν：G∑ν=0，ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（71）其中G现在是秩为pg的pg×p矩阵。我们可以解释G约束，假设可行投资组合的收益与权重位于给定G行的投资组合的收益的协方差应等于零。在这个问题的园艺品种应用中，G由识别矩阵的pgrows组成；在这种情况下，就G选择的PGAssets而言，可行的投资组合被“对冲”（尽管它们可能在对冲资产中持有一些头寸）。引理4.5（约束夏普比率最优投资组合）。假设u6=0，∑是可逆的，投资组合优化问题maxν：G∑ν=0，ν>∑ν≤Rν>u- R√ν> ∑ν，（72）表示r≥ 0，R>0由νR，G求解，*=dfcΣ-1u - G>G∑G>-1Gu,c=Rqu>∑-1u - u>G>（G∑G>）-1Gu。当r>0时，解决方案是唯一的。证据通过拉格朗日乘子技术，最优投资组合求解以下方程：0=cu- c∑ν- γΣν - ∑G>γ，ν>∑ν≤ R、 G∑ν=0，其中γi是拉格朗日乘数，c是标量常数。求解第一个方程得到了ν=cΣ-1u - G> γ.将其与对冲方程相协调，我们得到0=G∑ν=cG∑Σ-1u - G> γ,因此γ=G∑G>-1Gu。

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2022-5-5 06:13:59

因此，ν=ch∑-1u - G>G∑G>-1Gui.将其插入目标将问题归结为单变量优化Maxc:c≤R/ζ*,Gsign（c）ζ*,G-r | c |ζ*,G、 ζ在哪里*,G=u>∑-1u - u>G>G∑G>-1Gu。最佳值出现在c=R/ζ时*,G、当r>0时，最优解是唯一的。引理4.5中的最优套期保值投资组合是引理2.6中的无约束最优投资组合与引理4.1中的子空间约束投资组合的差异，直至可扩展。这一“三角洲”类比将在本节的其余部分继续进行。定义4.6（δ反二阶矩）。设G为（1+pg）×（p+1）矩阵，~G=df100克.将“增量反二阶矩”定义为GΘ-1=dfΘ-1.-~G>~GΘ~G>-1~G.简单代数证明了以下引理。引理4.7。元素GΘ-1是GΘ-1=\"u>Σ-1u - u>G>G∑G>-1Gu-u>Σ-1+u>G>G∑G>-1克-Σ-1u+G>G∑G>-1Gu∑-1.- G>G∑G>-1G#。特别是-维希GΘ-1.投资组合是νR，G，*引理4.5中定义，直至标度常数c，即R与向量第一个元素的平方根之比GΘ-1..统计^u>^∑-1^u - ^u>G>G∑G>-1G^u，对于G是p×p单位矩阵的某些行的情况，首先由Rao提出，其在高斯回报下的分布后来由Giri发现。[57,20]该测试统计数据可用于测试无风险工具交易情况下的投资组合跨度。[23,30]的渐近分布G^Θ-1由以下定理给出，该定理与定理2.5类似。定理4.8。设^Θ为Θ的无偏样本估计，基于x.Let的NI.i.d.样本GΘ-1定义如定义4.6所述，以及类似定义G^Θ-1.让我们Ohm 是维希的方差吗~xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希G^Θ-1.- 维希GΘ-1.N0，HOhmH>, （73）其中h=-LΘ-1. Θ-1.-~G>~G>~GΘ~G>-1.~GΘ~G>-1.~G~GD.证据。定理4.4证明的微小修改。小心

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2022-5-5 06:14:02

在本文考虑的套期保值投资组合优化问题中，最优投资组合通常会在G的行空间中持有资金。例如，在园艺品种应用中，通过包括一个广阔市场的ETF，并将G作为身份矩阵的对应行，对冲对“市场”的敞口，最终投资组合可能会在大市场ETF中持有一些头寸。这是ETF的定义，但人们可能希望对冲不可交易回报流的风险——比如指数的回报。在G行被J行跨越的情况下，将本节的对冲约束与第4.1节的子空间约束结合起来是很简单的。然而，更一般的情况要复杂得多。4.3条件异方差上述方法忽略了“波动率聚类”，并假设为同方差。[11,47,4]为了解决这个问题，考虑一个严格正的scalarrandom变量si，在投资决策需要捕获xi+1时可以观察到。出于稍后显而易见的原因，将SIA视为“平静”指标或加权回归的“权重”更为方便。条件异方差的两个简单竞争模型是（常数）：E[xi+1 | si]=si-1u，Var（xi+1 | si）=si-2∑，（74）（浮动）：E[xi+1 | si]=u，Var（xi+1 | si）=si-2Σ. （75）在等式74中的模型下，最大夏普比ispu>∑-1u，与硅无关；根据等式75，它是sipu>∑-1u. 模型名称反映了最大夏普比是否随si而变化。两种模型下的最优投资组合是相同的，如下面的引理所述，通过简单使用引理2.6来证明。引理4.9（条件夏普比率最优投资组合）。

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2022-5-5 06:14:05

在方程74或方程75中的模型下，在观察si的条件下，组合优化问题argmaxν：Var（ν>xi+1|si）≤重新ν> xi+1 | si- r的rpVar（ν>xi+1 | si），（76）≥ 0，R>0由ν求解*=siRpu>∑-1uΣ-1u. （77）此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。对公文包进行推理*根据引理4.9，在方程74的“常数”模型下，将无条件技术应用于sixi+1的采样秒矩。然而，对于方程式75的“浮起”模型，需要对技术进行一些调整。定义xi+1=dfsi xi+1；也就是说，xi+1=si，sixi+1>>.考虑第二个力矩，即=γγu>γu Σ + uγu>, 式中γ=dfEs. （78）ΘsisΘs的倒数-1=γ-2+ u>Σ-1u -u>Σ-1.-Σ-1u Σ-1.（79）invech再次出现了最佳投资组合（达到比例和符号）Θs-1.. 类似地，确定样品模拟物：^Θs=dfnXixi+1xi+1>。（80）我们可以找到向量的渐近分布^Θs在无条件的情况下使用相同的技术，如以下类似定理2.5：定理4.10。假设^Θs=dfnPixi+1xi+1>，基于s、 x>>. 允许Ohm 是维希的方差吗xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1s- 维希Θs-1.N0，HOhmH>, （81）其中h=-LΘs-1. Θs-1.D.（82）此外，我们可以替换Ohm 在这个具有渐近一致估计的方程中，^Ohm.与无条件情况的唯一真正区别在于，我们不能自动假定Ohm 是零（除非s实际上是常数，这没有抓住要点）。此外，估算Ohm 在高斯分布下，如果没有一些修补，返回是无效的，这是留给读者的练习。最大夏普比率与波动率的依赖性或独立性是一种消费，理想情况下，可以用数据进行测试。

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2022-5-5 06:14:09

包含这两个特征的混合模型可以写成如下：（混合）：E[xi+1 | si]=si-1u+u，Var（xi+1 | si）=si-2Σ. （83）然后可以测试u或u的元素是否为零。分析这个模型有点复杂，没有像续集中那样转移到更一般的框架。4.4条件期望和异方差假设你观察到随机变量si>0，并且在投资决策需要捕捉xi+1的某个时间之前观察到f-向量。s和f不一定是独立的。一般模型现在是（双条件）：E[xi+1 | si，fi]=Bfi，Var（xi+1 | si，fi）=si-2∑，（84），其中B是一些p×f矩阵。如果没有siterm，这些是战术资产配置中常用的“预测回归”方程。[10,22,5]通过让=硅-1, 1>我们恢复方程83中的混合模型；然而，双条件模型要普遍得多。条件最优投资组合由以下引理给出。再一次，证明只需在引理2.6中插入条件预期收益率和波动率。引理4.11（条件夏普比率最优投资组合）。在等式84中的模型下，在观察siand fi的条件下，投资组合优化问题argmaxν：Var（ν>xi+1 | si，fi）≤重新ν> xi+1 | si，fi- r的rpVar（ν>xi+1 | si，fi），（85）≥ 0，R>0由ν求解*=siRqfi>B>∑-1Bfi∑-1Bfi。（86）此外，当r>0时，这是唯一的解决方案。小心显然，投资组合不是*从引理4.11来看，每个时间步都是长期夏普比最优的。当有条件的夏普比率较低时，可以通过向下杠杆操作来实现更高的长期夏普比率。最优长期投资策略属于“多期投资组合选择”的范畴，是一个活跃的研究领域。

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2022-5-5 06:14:13

[46,17,5]矩阵∑-1B是马科维茨投资组合的推广：它是一个模型的乘子，在该模型下，最优投资组合在特征SFI中是线性的（达到可伸缩性以满足风险预算）。我们可以把这个矩阵看作“马科维茨系数”。如果∑的整列-1B为零，表明在投资决策中可以忽略相应的f元素；如果∑的整个行程-1B为零，表明相应的工具不会产生回报或对冲收益。在观察fiand si的条件下，最大可实现的平方信噪比为ζ*|si，fi=dfEν*>xi+1 | si，fipVar（ν）*>xi+1 | si，fi）！=fi>B>∑-1Bfi。这与si无关，但取决于fi。最大平方信噪比的无条件期望值为thusEfζ*=dfEfhtrft>B>∑-1英尺i、 =EfhtrB> ∑-1Bftft>i、 =trB> ∑-1BEfhftft>i,= trB> ∑-1BΓf.这个量就是霍特林-劳利轨迹，通常用于检验所谓的多变量一般线性假设。[58,45]见第6节。要对马科维茨系数进行推理，我们可以按照上面的步骤进行。设▽xi+1=dfhsfi>，sixi+1>i>。（87）考虑第二个力矩，即=ΓfΓfB>BΓf∑+BΓfB>, 式中，Γf=dfEhsff>i.（88）ΘfisΘf的倒数-1=Γf-1+B>-1B-B> ∑-1.-Σ-1B∑-1.（89）马科维茨系数（达到比例和符号）再次出现在invechΘf-1..下面的定理与定理2.5相似，并与定理2.5共享一个证明。定理4.12。假设f=dfnPixi+1xi+1>，基于H的NI.i.d.样本，f>，x>i>，其中xi+1=dfhsfi>，sixi+1>i>。允许Ohm 是维希的方差吗xx>. 然后，在n中渐近地，√N维希^Θ-1f- 维希Θf-1.N0，HOhmH>, （90）其中h=-LΘf-1. Θf-1.D

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