离散时间动态极限增长指数

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Dynamic Limit Growth Indices in Discrete Time》
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作者：
Tomasz R. Bielecki, Igor Cialenco, Marcin Pitera
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We propose a new class of mappings, called Dynamic Limit Growth Indices, that are designed to measure the long-run performance of a financial portfolio in discrete time setup. We study various important properties for this new class of measures, and in particular, we provide necessary and sufficient condition for a Dynamic Limit Growth Index to be a dynamic assessment index. We also establish their connection with classical dynamic acceptability indices, and we show how to construct examples of Dynamic Limit Growth Indices using dynamic risk measures and dynamic certainty equivalents. Finally, we propose a new definition of time consistency, suitable for these indices, and we study time consistency for the most notable representative of this class -- the dynamic analog of risk sensitive criterion.
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中文摘要：
我们提出了一类新的映射，称为动态极限增长指数（Dynamic Limit Growth Index），旨在衡量离散时间环境下金融投资组合的长期绩效。我们研究了这类新测度的各种重要性质，特别是，我们给出了动态极限增长指数成为动态评估指数的充要条件。我们还建立了它们与经典动态可接受性指数的联系，并展示了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态极限增长指数的示例。最后，我们提出了一个适用于这些指标的时间一致性的新定义，并研究了这类指标中最显著的代表——风险敏感准则的动态模拟——的时间一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Dynamic_Limit_Growth_Indices_in_Discrete_Time.pdf
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nandehutu2022

2022-5-5 06:19:33

离散时间的动态极限增长指数。Bieleckibielecki@iit.eduIgor Cialencoigor@math.iit.eduMarcin皮特拉马辛。pitera@im.uj.edu.plDepartment伊利诺伊理工大学应用数学研究所，芝加哥，60616伊利诺伊州，美国数学研究所，波兰克拉科夫贾吉隆尼亚大学首次发布日期：2013年12月3日本版本：2014年7月15日摘要我们提出了一类新的映射，称为动态极限增长指数，旨在测量离散时间设置中金融投资组合的长期绩效。我们研究了这类新测度的各种重要性质，特别是为动态极限增长指标成为动态评估指标提供了必要和充分的条件。我们还建立了它们与经典动态可接受性指数的联系，并介绍了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态增长指数的示例。最后，我们提出了一个新的时间一致性定义，适用于这些指标，并研究了这类指标中最显著的代表——风险敏感标准的动态模拟——的时间一致性。关键词：动态极限增长指数、动态评估指数、动态适应性指数、绩效衡量、风险敏感控制、风险敏感标准、凯利准则、熵风险衡量、动态时间一致性。MSC2010:91B30、62P05、97M30、91B06。1简介在本文中，我们研究了一些旨在衡量金融投资组合长期绩效的映射。

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可人4

2022-5-5 06:19:36

金融从业者普遍认识到衡量投资组合长期增长的重要性，并在文献中进行了广泛讨论（例如参见[2,15]和其中的参考文献）。在这里，我们将重点关注量化投资组合增长与相关风险之间权衡的措施，并及时进行适当的标准化。在几种可能的测量方法中，最受关注的是所谓的风险敏感性标准[17,6,7]。在f act中，本文的出发点是调查风险敏感性标准是否属于所谓的动态可接受性指数[11,5]家族，该指数已知为夏普比率、损益比率、，事实证明，风险敏感性标准确实是一个动态的可接受性指数。但是，这项研究也让我们引入了一类新的映射，用来衡量投资组合长期累积增长的效率，我们称之为动态极限增长指数。因为，在本文中，我们根据离散量子来测量时间，所以我们这里只考虑离散时间中的动态极限增长。在之前研究动态可接受性指数[11,5]的一些工作中，采用了所谓的标准化假设。在这里，我们去掉了标准化假设，从而为更丰富的动态性能度量打开了一扇大门，比如我们的动态极限增长指数。在本文中，我们研究了这个新类的各种重要性质。特别是，我们提供了动态极限增长指数到bea动态评估指数（cf。

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可人4

2022-5-5 06:19:40

[4] ），我们研究了它们与经典动态可接受性指数的关系，我们展示了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态极限增长指标的样本[9]，我们提出并研究了时间一致性的定义。本文的组织结构如下。在第2节中，我们提供了一组贯穿全文的基本概念。在第三节中，我们介绍了动态极限增长指数（DLGI）的概念，这是本文的主要研究对象。此外，我们还提出了DLGI作为一个动态系统的必要和充分条件。接下来，我们展示了动态极限增长指数和动态可接受指数之间的联系。在本节的结尾，我们提供了几类DLGI函数。第四部分研究了DLGI的时间一致性。我们提出了时间一致性的新定义，并将其与现有文献联系起来。最后，在第三节中，我们详细研究了动态风险敏感准则。我们证明了动态风险敏感准则是一个动态评估指标，并研究了它与风险敏感参数的时间一致性。所有的证据都交给了检察官。2.预备课程(Ohm, F、 F={Ft}t∈T、 P）是一个过滤概率空间，T=N∪{0}和F={Ohm, }.对于G 我们用L表示(Ohm, G、 P），bL(Ohm, G、 P）和(Ohm, G、 P）所有G-可测随机变量的集合，其值为(- ∞ , ∞), [-∞, ∞) 及[-∞, ∞], 分别地此外，我们将使用符号Lp:=Lp(Ohm, F、 P），Lp（G）：=Lp(Ohm, G、 P）和Lpt:=Lp(Ohm, Ft，P）代表P∈ {0, 1, ∞}. 类似的定义将适用于tobLand’L。自始至终，我们将使用∞ - ∞ = -∞ 和0·±∞ = 特别是，我们将此约定用于Ft条件期望，即。

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何人来此

2022-5-5 06:19:43

为了X∈\'L，E[X|Ft]：=E[X+|Ft]- E[X-|Ft]，其中X+=（X∨ 0）和X-= (-十、∨ 0），其中E[X | Ft]=limn→∞E[X∧ n | Ft]，代表X≥ 0.在本文中，X表示随机变量的空间，即L，或适应过程的空间，即。（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报. 对于这两种情况，我们将考虑标准的逐点顺序，几乎可以肯定地理解。在下面的内容中，我们还将使用表示为·的乘法运算符，定义为：m·tV:=（V，…，Vt）-1，mVt，mVt+1，…），m·tX:=mX（2.1）表示V∈（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报, 十、∈ 土地m∈ Lt.为了简化符号，如果没有出现融合，我们将从上面的产品中删除·t，我们将分别编写mV和MX，而不是m·tV和m·tX。我们注意到，由于乘法·t的定义，X不是L-模[14]。然而，在下文中，我们将采用L-模理论中的一些概念，这自然会融入我们的研究中。具体来说，让K X是一个L∞t-凸锥，即（m·tX+m·tY）∈ K、对于X，Y∈ K和非负m，m∈ L∞t、地图f:K→\'Lis:oL∞t-local if IAf（X）=IAf（IA·tX）；oL∞t-拟凹如果f（λ·tX+（1）- λ） ·泰）≥ f（X）∧ f（Y）；oL∞如果f（β·tX）=f（X）；ot-尺度不变量如果X是单调的≤ Y=> f（X）≤ f（Y），对于任何X，Y∈ K、 A∈ Ft，λ，β∈ L∞坦德0≤ λ ≤ 1, β > 0.在下文中，我们将使用byV分别定义的集合V和集合V：=（Vt）t∈T | Vt≥ 0，Vt∈ Lt，和Vt=Vt∧τV，t∈ T,安第夫：=五、∈ V | Vt>0，ln Vt∈ 中尉，t∈ T,式中τV:=inf{t∈ T | Vt=0}。请注意，对于任何t∈ T、 V是一个L∞t-凸锥（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报. V的要素可以被视为金融证券投资组合的（累积）价值过程。

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nandehutu2022

2022-5-5 06:19:46

在本文中，我们主要对具有可积增长（累积对数回报）的投资组合感兴趣，这就是我们引入s eteV的原因。对于K等于Lor等于V，我们可以说一个{ft}t族∈Tof映射ft:K→“LTI是局部的、单调的等，如果每个t∈ T映射ftis L∞t-局部，单调，等等。此外，如果K=l，我们回忆起一个{ft}t族∈飞行时间地图→？Lis被称为：o现金添加剂，如果用于任何t∈ T函数ftis Lt cash addition，即对于任何X，ft（X+m）=ft（X）+m∈ 土地m∈ Lt；o对于任何t，如果ft（0）=0，则标准化∈ T、 oLif-fs（X）中的强时间一致性≥ 财政司司长（Y）=> 英尺（X）≥ ft（Y），代表s，t∈ T、 s≥ t、 X，Y∈ L.o动态风险度量，如果{-ft}t∈这是单调的、规范化的、现金加法的和局部的如果存在U:\'R，则动态确定性等效→R，在R上连续增加，这样对于任何X∈ 陆地t∈ T:ft（X）=U-1（E[U（X）| Ft]）；（2.2）o动态货币熵效用（如果存在γ）∈ R、使f或所有t∈ T、安德斯∈ 五十、 ft（X）=（γlne[exp（γX）| ft]如果γ6=0E[X | ft]如果γ=0（2.3），在下面的内容中，我们将用参数γ表示动态货币熵效用∈T、 o随机变量{ft}t的动态评价指标∈它是局部的、单调的、拟凹的。另一方面，如果K=V，则族{ft}t∈飞行时间地图ft:V→\'Lis被称为：ot的ft（X+m·tI{k=t}）=ft（X+m·tI{s=t}）的平移不变∈ T、 m∈ 中尉，X∈ V和k，s≥ t、这样（X+m·tI{k=t}）∈ V和（X+m·tI{s=t}）∈ V；o如果ft（X）=t的ft（X′）与过去无关∈ T和所有X，X′∈ V使得任何s的X=X′s≥ t、 o如果{ft}t，过程的动态评估指数（DAI）∈它是局部的、单调的、拟凹的。让我们看看英国《金融时报》：L→\'Lt，并定义映射bft:bL→\'Ltasbft（X）：=lim in fn→∞英尺十、∨ (-n）, N∈ N.（2.4）显然，对于单调ft，可以用（2.4）中的lim替换lim inf。

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mingdashike22

2022-5-5 06:19:49

下一个命题表明，函数B是ft的大部分属性，尽管一般来说，函数B不是ft的扩展，除非它满足Fatou属性（见备注2.2）。i、 e.R严格递增且连续，U（±∞) = 画→±∞U（n）。注意，（2.3）是动态熵风险度量的负数，与[8]中介绍的“动态货币熵效用函数”类似，我们使用“动态货币熵效用”这个名称。关于风险和绩效衡量的现有文献中有几个版本的法头地产，我们使用了[3]中的版本。我们说{Xn}n∈如果存在Y，则为L-支配序列∈ 对所有人来说都是如此∈ N我们有| Xn |≤ |Y |。对于任意L-支配序列，如{Xn}n，函数f都具有Fatou性质∈在Xna。s--→ 十、我们有f（X）≥ 林尚→∞英尺（Xn）。提议2.1。让我们看看英国《金融时报》：L→“它应该是局部的、单调的。然后1）b是mon oton e，即如果X≥ Y，然后bft（X）≥X，Y的bft（Y）∈bL；2） bftis Lt local，即IAbft（X）=A的IAbft（IAX）∈ 英尺，X∈bL；3）如果ftis Lt现金添加剂和ft（0）6=∞, 然后bft（X+m）=bft（X）+m，对于X∈bL，m∈bLt；4） ft（X）=X的bft（X）∈ L∞. 此外，如果fta具有Fatou属性，那么ft（X）=bft（X）代表X∈ L.备注2.2。一般来说，bftm可能不是ft的扩展。对于t=0，考虑示例f（X）=ess sup（X）+ess inf（X）就足够了。该函数是单调的L-局部函数。福尔克斯~ N（0，1）我们有f（X）=∞ - ∞ = -∞ andbf（X）=lim infn→∞(∞ - n） =∞.备注2.3。在下面的内容中，函数ft:bL→对于相应的ft:L，LTT将被理解为BFTF→“Lt，即我们将放弃（2.4）中使用的符号。3动态极限增长指标本文研究的主要对象是动态极限增长指标及其修正，如下所述。定义3.1。

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可人4

2022-5-5 06:19:52

动态极限增长指数（DLGI）是一个{~nt}t族∈Tof映射φt:V→\'\'ltt，以确保φt（V）=lim infT→∞ut（lnvt）t，（3.1）其中ut:bL→\'Lt和{ut}t∈这是地方性的，单调的。我们会说DLGI是在寻找，如果另外{ut}t∈因此，对于t，ut（X）=ut（X+）∈ T和X∈bL.我们经常提到{ut}t∈Tas是定义DLGI的一系列映射。地图在定义3中产生。我有一个自然的财务解释。一段时间内的累积对数收益率（t，t）是衡量过程增长的常用方法。因为这是一个随机变量，所以我们使用效用度量，比如ut，它代表我们的偏好（attime t）。最后，我们将结果除以T，以便及时将其正常化。将liminf作为Tgoes来衡量我们价值过程的长期效率。我们使用LIMINF是因为我们想衡量我们投资组合的实际（最坏情况）效率。它还使这一措施更加稳健（至少对损失是如此）。我们还引入了风险偏好DLGI，因为它是寻求风险的投资者更合适的标准选择。注意，如果映射族{ut}t∈t生成一个DLGI，然后映射族eut（X）：=ut（X+），t∈ T、产生一个危险的DLGI。Arisk seeking DLGI忽略了损失，因为它将所有损失（负对数收益）替换为0。我们希望使用DLGI来评估价值过程的绩效：DLGI的价值越大，投资组合的绩效越好。这与[4]中提出的动态评估指标理论是一致的。因此，我们感兴趣的是确定DLGIs是DAI的条件。为此，我们提供支持3。2.这为DLGI成为DAI提供了充分和必要的条件。提议3.2。让{~nt}t∈t根据{ut}t定义的DLGI∈T

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nandehutu2022

2022-5-5 06:19:54

然后，{~nt}t∈TisDAI当且仅当对于任何t∈ T、还有任何V∈ 五、 lim infT→∞ut（lnvt）t=lim infT→∞ut（ln VT）t.（3.2）关系式（3.2）表示，时间t时DLGI的值与时间t时过程V的值无关。如上所述，DLGI的目的是测量V的长期增长，直观上不应依赖于当前状态。备注3.3。条件（3.2）的等效公式要求∈ T、 m∈ Ltand{XT}T∈那是什么∈我们已经通知你了吗→∞ut（XT+m）t=lim infT→∞ut（XT）t。特别是，如果存在一系列地图ft:Lt，这将得到满足→ 那么对于所有的X∈bL，|ut（X+m）-ut（X）|≤ 集合{ut（X）6=±∞}, 以及{ut（X）=±上的ut（X）=ut（X）∞}. 例如，如果是现金添加剂，则ft（m）=| m |（另请参见命题3.6）。推论3.4。让{ut}t∈t局部单调，且{~nt}t∈由{ut}t生成的DLGI∈T.然后{~nT}T∈它具有适应性、局部性、尺度不变性和独立于过去的特点。此外，i f{ut}t∈Tsatis fies（3.2），然后{~nt}t∈它是单调的、准凹的和平移变体。备注3.5。因此，根据推论3。4.{ut}t生成的任何DLGI∈Twhich admitsrepresentation（3.2）充分满足了[5]中介绍的动态可接受性指数的所有核心条件（时间一致性和积极性除外），以及[11]中介绍的静态情况。回想一下，动态可接受性指数是绩效的衡量标准，因此，DLGI可以被视为给定价值过程绩效的动态衡量标准。类似的注意事项适用于定义为[~nt（V）]+的DLGIs。值得一提的是，这类地图在[11]的意义上不是标准化的。接下来，我们将展示同样是DAI的DLGIs可以通过动态风险度量或动态确定性等价物轻松生成，如下面两个命题所示。i、 e.~nt（V）=∞, 如果V≥ 如果V<0，则0和φt（V）=0。提议3.6。

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可人4

2022-5-5 06:19:58

对于任何动态风险度量{ρt}t∈T、家庭{-ρt}t∈这是局部的、单调的（因此生成DLGI）和满足条件（3.2）。此外，如果{eρt}t∈t由eρt（X）=ρt（X+）给出，然后{-eρt}t∈这也是局部、单调和满足条件（3.2）。提案3.7。让{ut}t∈t相当于动态确定性。然后，{ut}t∈这是局部的和单调的（因此产生了一个DLGI）。此外，如果从（2.2）isbi Lipschitz在R上加上U（即U和U-1是利普希茨。），然后{ut}t∈Tsatis fies（3.2）。推论3.8。根据命题3。6和命题3.2，由ut生成的任何DLGI=-ρt，t∈ T、用{ρT}T∈作为动态风险度量，是一种DAI（用于过程）。4动态风险度量和动态绩效度量理论中的关键属性之一是动态时间一致性属性。对于风险度量，该属性通常与动态规划原则有关（例如，参见审查文件[1]），但如[5]所示，动态可接受性指数的时间一致性是不同的。正如我们在Remark3中提到的。DLGIs家族是尺度不变的，并且与后者密切相关。因此，我们引入了与[5]中引入的概念相关的时间一致性概念。如上所述，X将表示随机变量的空间（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报, 和K 十、我们现在准备提出时间一致性的定义。定义4.1。我们会说一个家庭∈飞行时间地图ft:X→\'Ltis supermartingaletime在K iffs（X）中一致≥ ms==> 英尺（X）≥ E[ms | Ft]，（4.1）适用于所有s，t∈ 这样就可以了≥ 0，X∈ K和ms∈“是的。我们分别说{ft}t∈在K iffs（X）中，次鞅时间一致≤ ms==> 英尺（X）≤ E[ms | Ft]，（4.2）适用于所有s，t∈ 这样就可以了≥ 0，X∈ K和ms∈“是的。备注4.2。

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能者818

2022-5-5 06:20:01

命题4中的术语“超鞅/次鞅时间一致性”。下文第3段。如果我们只考虑∈在Ltin（4.1）和（4.2）中，我们基本上得到了[5]中介绍的动态可接受性指数的时间一致性定义，这表明我们的定义略强。此外，对于∈\'Ltand{ft}t∈t作为一种动态风险度量，子部分时间一致性（4.2）的定义等同于[1]中引入的弱时间一致性概念。因此，我们对次可分时间的定义虽然U定义在R上，但我们要求U仅在R上是双Lipschitz，其一致性强于[1]中研究的弱时间一致性（对于随机变量）的定义。另一方面，次鞅时间一致性并不意味着也不意味着强时间一致性。例如，动态平均风险值的负值是次鞅时间一致的，但不是强时间一致的[12]。相反，货币熵效用是强时间一致的，但对于γ>0，它不是次鞅时间一致的，见命题5。3.类似的推理适用于超鞅时间一致性。下面的命题表明，我们对s上鞅/下鞅相容性的定义可以用上鞅/下鞅性质来描述。提案4.3。让{ft}t∈Tbe族→\'Lt.Then1）{ft}t∈K中的超马氏时间一致当且仅当{ft}t∈这是一个超级艺术家K，即英尺（X）≥ E[fs（X）| Ft]表示所有X∈ K和s，t∈ 这样就可以了≥ 0.2）{ft}t∈K中的次鞅时间一致当且仅当{ft}t∈这是一个亚马尔丁莱因K，即。

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kedemingshi

2022-5-5 06:20:04

英尺（X）≤ E[fs（X）| Ft]表示所有X∈ K和s，t∈ 这样就可以了≥ 0.我们以对时间一致性定义的直观解释结束本节。随着时间的推移，有关价值过程的信息在某种意义上会增加财政司司长≤ s、因此，如果指数是次可分时间一致的，那么人们可以预期附加信息将对指数的（有条件的）平均值产生积极影响，因为指数的未来值在当前可用信息上的投影不小于指数的当前值。命题4中的属性2）证实了这一点。3.另一方面，超启动时间一致性意味着附加信息的影响平均为负。请参阅示例（5.2）、（A.31）和（A.30）以了解更多信息。5动态风险敏感标准我们在本节研究的风险敏感标准的动态模拟[6]是DLGI最显著的例子之一。定义5.1。动态风险敏感标准是一个{~nγt}t族∈γt:V的Tof映射→\'Lt，由γ索引∈ R、定义为γt（V）=（lim infT→∞Tγlne[VγT | Ft]如果γ6=0，lim infT→∞如果γ=0，则TE[ln VT | Ft]。（5.1）备注5.2。众所周知（参考文献[13]和其中的参考文献），对于一些马尔可夫过程V，γt（V）的值是恒定的（尤其与t无关）。当然，在这种情况下，下面进行的分析是琐碎的。例如，让V∈ V应为V>0且Vt=Vexp（Pti=1Xi），其中{Xt}t∈经过调整，XT独立于Ft-1和xt~ N（0，1）。在这种情况下，γt（V）≡γ. 然而，过程V的类别相当丰富，其中γt（V）是一个非常数过程；参见例如（5.2）和（A.31）。我们认为，如果γ<0，则动态风险敏感标准为风险规避，如果γ=0，则为风险中性，如果γ>0，则为风险寻求。

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mingdashike22

2022-5-5 06:20:08

请注意，当t=0时，我们得到了（静态）风险敏感标准的标准定义[6]；特别是，当γ=0时，风险敏感标准称为凯利标准。为了继续，我们首先需要回顾一些关于动态货币熵的事实。提议5.3。设{μγt}t∈一个具有γ的动态货币熵效用∈ R.Then1）{uγt}t∈这是一个动态确定性等价物；2） {uγt}t∈在L中具有很强的时间一致性；3） {uγt}t∈t随γ的增加而增加；4）如果γ≥ 0，然后{uγt}t∈这是在L中一致的超起始时间；5）如果γ≤ 0，{uγt}t∈关于1）的证明，参见例[16]；[16]中的证明是针对L的情况给出的∞, 但可以适用于L的情况。为了证明2），我们首先需要回顾，DynamicCentropic风险度量在L中是上半连续的（参见[3,10]），然后参考[4]。为了证明3），我们需要回顾动态熵风险度量的稳健表示在LFramew[10]中是成立的，然后参考[16]。房地产4）和5）直接来自房地产3），结合房地产的动态规划重新表述2）；参见[1]和[12，命题6]，其中对L的情况进行了证明∞, 但可以适用于L的情况。我们现在准备展示本节的主要结果。可以论证的是，理论中所述的属性。4个是最有趣的。定理5。4.让我来∈ R和let{~nγt}t∈Tbe是一个动态的风险敏感标准。

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可人4

2022-5-5 06:20:11

Then1）{~nγt}t∈由{uγt}t生成的Tis-DLGI∈T2） {~nγt}t∈提斯戴；3）如果γ>0，那么γt（V）+是一种追求风险的DLGI。4） {~nγt}t∈Tis随γ-ineV的增加而增加；5）如果γ>0，则{~nγt}t∈这是时间一致的超马尔可夫ineV；6）如果γ<0，则{~nγt}t∈这是次鞅时间一致的ineV。接下来我们将展示定理5中的属性3）、5）和6）。4实际上是一大类过滤概率空间的必要和充分条件。提议5.5。如果(Ohm, F、 F，P）包含一个子空间同构于（[0,1]，B（[0,1]），{H}t∈T、 λ），其中λ是Borel测度，他的平凡，H=B（[0,1]），H=H=。，然后是定理5中的性质3）、5）和6）。4成为当且仅当条件，即3\'）如果γ≤ 0，那么γt（V）+不是一个追求自由的人；5’）如果γ≤ 0，然后{~nγt}t∈这并不是时间一致的超马尔科夫；6’）如果γ≥ 0，然后{~nγt}t∈这不是次鞅时间一致的ineV。备注5.6。特别是命题5。5适用于标准过滤概率空间。在本节结束时，我们将展示一个与属性4、5和6相关的示例。例5.7。设（[0,1]，B（[0,1]），{Ft}t∈N、 P）是一个过滤的概率空间，其中P是标准的勒贝格测度，f是平凡的，Ft=σ（Kt，…，Kt），其中Kit:=[2（i-1） t+1,2it+1]。设X（ω）=ω表示ω∈ [0,1]，并让{bVT}T∈Nbe定义为BVT（ω）=eT E[X | FT]（ω）。（5.2）我们将推导出动态风险敏感准则γt的显式公式。我们从γ=-1.

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可人4

2022-5-5 06:20:14

固定时间∈ N、我们得到了-1t（bV）=lim infT→∞-1Tln E[E]-T E[X | FT]| FT]=lim infT→∞(-1） lne[（E）-E[X | FT]）T |FT]1/T.ω的下一个∈ 基特∈ T、注意到-E[X | FT]）T | FT]1/T（ω）实际上是一个幂平均值，我们得到了→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）≤ 林监督→∞[ess supω∈工具包（e）-E[X | FT]（ω））]≤ ess upω∈风筝-X（ω）=e-2（i）-1） t+1。（5.3）另一方面，使用Jensen不等式，对于任何T∈ T、这样我们就得到了支持→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）=lim supT→∞E[E[E]-te[X|FT]|FT]|FT]1/T（ω）≥ lim s upT→∞E[E]-T E[E[X | FT]| FT]1/T（ω）=lim s upT→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）=ess supω∈风筝-E[X | FT]=E-（2（i）-1） t+1+t+1）。（5.4）让T→ ∞, 结合（5.3）和（5.4），我们得出ω∈ Kit，~n-1t（bV）（ω）=(-1）在e-2（i）-1） t+1=2（i）- 1） t+1。i、 e.同构于（[0,1]N，B（[0,1]N），{F′t}t的空间∈N、 λN），其中B是Borelσ代数，λNis是Borel测度和{F′t}t的乘积∈Nis由协调函数产生的过滤（参见[16]）。使用类似的计算，很容易证明，对于γ∈ R和ω∈ 基特，我们有γt（bV）（ω）=2（i）-1） t+1γ<0,2（i）-1） +2it+2γ=0,2it+1γ>0。现在，从上面的公式可以清楚地看出，γt（bV）随γ的增加而增加，因此属性4）是完整的。此外，就过滤{Ft}t而言，我们可以很容易地检查过程t（bV）是否是一个次鞅（分别为超鞅）∈N、当γ<0时（分别为γ>0）。值得注意的是，γt（bV）的值分为三种状态：风险寻求（γ>0）、风险中性（γ=0）和风险规避（γ<0）。命题2的附录证明。1.

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nandehutu2022

2022-5-5 06:20:17

让我们看看英国《金融时报》：L→“‘LTI’应该是本地的、单调的。1）单音紧随其后。2）至于地点，我们有IABFT（IAX）=IALMN→∞英尺（IAX）∨ (-n）= 艾琳→∞英尺IA（X）∨ (-n） )= 画→∞伊夫特IA（X）∨ (-n） )= 画→∞伊夫特十、∨ (-n）= 艾琳→∞英尺十、∨ (-n）= IAbft（X），其中我们适当地使用约定0·∞ = 0.3）假设ftis是现金添加剂，让X∈bL(Ohm, F、 P）。首先，我们将证明BFTM的现金可加性∈ 我们知道bft（X+m）=limn→∞英尺（X+m）∨ (-n）= 画→∞英尺十、∨ (-N- m） +m= 画→∞英尺十、∨ (-N- m）+ M因此，只要证明bft（X）=limn就足够了→∞英尺十、∨ (-N- m）. （A.1）对于任何k∈ N、我们有{-k<m<k}hX∨ (-N- k）我≤ 我{-k<m<k}hX∨ (-N- m）我≤ 我{-k<m<k}hX∨ (-n+k）i.由于L∞ft的t-局部性，我们知道了{-k<m<k}bft（X）=I{-k<m<k}limn→∞英尺十、∨ (-N- m）.自从我∈ 中尉，我们有那个P[{-k<m<k}]→ 1作为k→ ∞ 这证明了等式（A.1）。现在，让我∈bL(Ohm, F、 P）。使用上述结果，由于^ftand offact的局部性，I{m>-∞}M∈ 我们推断-∞}bft（X+m）=I{m>-∞}（bft（X）+m）。另一方面{m=-∞}bft（X+m）=I{m=-∞}画→∞英尺((-∞) ∨ (-n））=I{m=-∞}画→∞（英尺（0）- n） =I{m=-∞}(-∞) = 我=-∞}（bft（X）+m）。结合以上两个等式，^fta的现金可加性立即出现。4）如果X∈ L∞, 然后就有了n∈ N这样X∨ (-n） =X，这是证明的结论。现在让X∈ 土地让我们假设FTA拥有法头地产。放置Xn:=X∨ (-n）为了n∈ N.序列{X}N∈Nis L——由X主导，而且是Xna。s--→ 因此，我们有bft（X）=limn→∞英尺（Xn）≤ 林尚→∞英尺（Xn）≤ 英尺（X）≤ 画→∞ft（Xn）=bft（X），其中最后一个不等式是任意n∈ N我们有X≤ Xn，表示英尺（X）≤ 英尺（Xn）。命题3.2的证明。让{~nt}t∈由{ut}t生成的DLGI∈T、因此{uT}T∈这是地方性的，单调的。(<=) 让{ut}t∈Tsatisfy（3.2），我们将展示{~nt}t∈这是傣族。单调性很简单。

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何人来此

2022-5-5 06:20:20

让V，V′∈ 五、以至于≥ V′。我们将展示出φt（V）≥ 任何t的φt（V′）∈ T.想想T，T∈ T、以至于≥ t、自从≥ V\'T，我们有≥ ln V′T，因此uT（ln VT）T≥ut（ln V′t）t，对于任何t≥ t、因此，lim infT→∞ut（ln VT）t≥ lim infT→∞ut（ln V′t）t.接下来我们证明局域性。让我们来看看∈ T和A∈ 英国时报≥ t、使用约定0的局部性∞ = 0，我们推导出aаt（1A·tV）=1Alim infT→∞ut（ln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（ln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（1Aln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（1Aln VT+1Aln 1A）t=lim infT→∞Aut（1Aln VT）t=lim infT→∞Aut（ln VT）t=1Aut（V）。最后，我们来证明拟康涅狄格性。让我们∈ T、 V，V′∈ V和λ∈ Lt，0≤ λ ≤ 1.在不丧失一般性的情况下，由于ut的局部性，我们认为0<λ<1。自对数ismonotone和V，V′以来≥ 0，我们有φt（λ·tV+（1）- λ） ·电视‘）=lim英寸→∞ut（ln[λVT+（1- λ） V′T]）T≥ lim infT→∞hminnut（lnλVT）t，ut（ln（1- λ） V′T）Toi=minlim infT→∞ut（ln VT）+lnλt，lim infT→∞ut（ln V′t）+ln（1）- λ） T= ~nt（V）∧ νt（V′），这就完成了证明的这一部分。(=>) 假设{~nt}t∈这是傣族。让我们∈ 电视∈ 五、对于s6=t，定义V′s=vss，V′t=min（1，Vt）。注意V′∈ 五、和V≥ V′。通过φt的单调性，我们得到→∞ut（lnvt）t≥ lim infT→∞ut（lnV′TV′t）t，由于ut的Lt局部性，我们继续{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（1{Vt≥1} lnV′TV′t）t。下一步，因为在{Vt）上V′t=1≥ 1} 我们有{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（1{Vt≥1} 在V′T）T中，由于VT=V′T对于T>T，我们最终得出{VT≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（ln VT）t.注意1{VT≥1} LNvt≤ 1{Vt≥1} 对于T>T，通过uT的单调性，我们得到{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≤ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（ln VT）t.结合上述不等式，我们得出等式（3.2）在集合{VT）上成立≥ 1}.集合{Vt<1}的证明是相似的。命题3.6的证明。设{ρt}t∈t是一种动态风险度量。

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可人4

2022-5-5 06:20:25

函数的单调性和局部性{-ρt}t∈t直接从动态风险度量的定义开始。让我们来解释一下∈ T.首先，我们将证明条件（3.2）满足{-ρt}t∈T.换V∈ 五、我们已经通知了→∞-ρt（lnvt）t=lim infT→∞-ρt（ln VT）- ln VtT=lim infT→∞-ρt（ln-VT）t.上述等式在集{VT>0}上是直接的，sinceln-VT→ 0，T→ ∞. 在集合{Vt=0}上，我们得到了I{Vt=0}Vt=0，并且通过-ρt，我们得到两边相等(-∞).其次，单调性和局部性{- eρt}t∈这很简单。现在我们将证明（3.2）对{eρt}t也成立∈让我们∈ V.在Ft可测集{Vt=0}上，（3.2）的两边都等于0。由于这一点，以及eρt的局部性，我们可以假设P[Vt>0]=1。然后，很容易注意到LIM infT→∞-ρt（[lnvt]+）t=lim infT→∞-ρt（I{VT>VT}lnvt）t=lim infT→∞-ρt（I{VT>VT}ln VT- 此外，人们可以很容易地推导出下列不等式- 2 | ln Vt |≤ I{VT>VT}ln VT- I{VT>VT}ln VT≤ I{VT>1}ln VT+|ln VT |。从上面，以及动态风险度量的单调性，我们得到→∞-ρt（[ln VT]+- 2 | ln Vt | T≤ lim infT→∞-ρt（[lnvt]+）t≤ lim infT→∞-ρt（[ln VT]++2 | ln VT |）t-ρ是现金添加剂，连续输入→∞-ρt（[ln VT]+±2 | ln VT |）t=lim infT→∞-ρt（[ln VT]+）±2 | ln VT | t=lim infT→∞-ρt（[ln VT]+）t，这是证明的结论。命题3.7的证明。让{ut}t∈t如（2.2）所定义的动态确定性等价物，U是一个连续的递增函数。显然这是可以测量的。单调性很简单。让我们来看看∈ T.让X，Y∈bL，X≥ Y因为ui增加了变换，我们得到了U（X）≥ U（Y）和E[U（X）| Ft]≥ E[U（Y）| Ft]。现在，你-1也是一个递增函数，所以U-1（东[U（X）|英尺]）≥ U-1（东[U（Y）|英尺]）。接下来，我们证明局部性。在任何确定函数中，注意-1.是本地的。

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何人来此

2022-5-5 06:20:29

因此，对于任何t∈ T和A∈ Ft，我们有ut（X）=IAU-1（E[U（X）| Ft]）=IAU-1（IAE[U（X）| Ft]）=IAU-1（E[1AU（X）| Ft]）=IAU-1（E[U（1AX）| Ft]）=IAut（1AX），这证明了ut的局部性。最后，我们将证明命题3的第二部分。7.让你成为LU的双唇函数∈ R和LU-1.∈ R是相应的Lipschitz常数。考虑者∈ T和V∈ V.在Ft可测集{Vt=0}上，I{Vt=0}Vt=0，因此（3.2）的两边等于-∞.从现在起，我们（合理地）假设P[Vt>0]>0，这是由于ut的局部性，允许我们假设P[Vt>0]=1。首先，我们证明了对于固定T∈ T、我们得到{U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=-∞} = {U-1（E[U（lnvt）| Ft]）=-∞}. （A.2）当U严格增加时，我们知道（A.2）相当于{E[U（ln VT）| Ft]=U(-∞)} = {E[U（lnvt）|Ft]=U(-∞)}. （A.3）接下来我们考虑两种情况：A）U(-∞) > -∞ b）U(-∞) = -∞.情况a）很明显，集合{E[1{VT=0}|Ft]=1}是（a.3）中两个集合的子集。因此，有必要证明ph{E[U（ln VT）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}i=0（A.4）和ph{E[U（lnvt）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}i=0。让我们来证明。LetB:={E[U（ln VT）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}。注意B∈ Ft.相反，让我们假设P[B]>0。然后p[{VT>0}∩ B] =E[1BE[1{VT>0}|Ft]>0。因为{VT>0}∩ B=Sn∈N{VT>N}∩ B、我们知道有n∈ N、这样的p[{VT>N}∩ B] >0。利用它我们得到[1BE[U（ln-VT）|Ft]=E[1BE[1{VT>n}U（ln-VT）+1{VT≤n} U（ln VT）| Ft]]≥ E[1BE[1{VT>n}U（lnn）+1{VT≤n} U(-∞)|Ft]]=E[1B∩{VT>n}U（lnn）+1B∩{VT≤n} U(-∞)]> E[1BU(-∞)]. （A.6）不平等（A.6）与B的定义一起导致与P（B）>0的假设相矛盾，这验证了（A.4）的正确性。（A.5）的证明是类似的，sinceP（Vt>0）=1。案例b）足以证明{E[U（ln VT）|Ft]=-∞} = {E[U（lnvt）|Ft]=-∞}.

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kedemingshi

2022-5-5 06:20:32

（A.7）现在，因为U是Lipschitz，Vt>0，那么，在集合{Vt>0}上，我们得到U（ln-Vt）- 卢| ln Vt |≤ U（LNVT）≤ U（ln VT）+LU | ln VT |。（A.8）此外，上述不等式在集合{VT=0}上显然成立，因为在这个集合上我们有U（ln VT）=U（lnvt）=U(-∞) = -∞. 因此，E[U（ln VT）|Ft]- 卢| ln Vt |≤ E[U（LNvt）|英尺]≤ E[U（ln VT）| Ft]+LU | ln VT |。（A.9）类似地，我们得到[U（lnvt）| Ft]- 卢| ln Vt |≤ E[U（ln VT）|英尺]≤ E[U（lnvt）| Ft]+LU | lnvt |。（A.10）结合（A.9）和（A.10），我们获得了平等（A.7）。所以，（A.2）已经被证明了。接下来，注意到VT<∞, 应用类似于（A.2）证明的推理，我们可以证明{U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=+∞} = {U-1（E[U（lnvt）| Ft]）=+∞}. （A.11）现在，莱克-T:={U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=-∞}, K+T:={U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=∞}, T∈ T.结合（A.2）和（A.11），我们在Ft-可测量集K上获得uT（ln-VT）=uT（ln-VT）-T∪K+T.在片场（K-T∪ K+T）cwe get|uT（ln VT）|<∞ 和|ut（LnVT）|<∞. 此外，由于U是严格增加的，我们也得到了| E[U（ln VT）| Ft]|<∞ 和| E[U（lnvt）| Ft]|∞ . 因此，用f表示U是双李普希茨，然后，在集合（K）上-T∪ K+T）c，我们得到| U-1（东[U（lnvt）|英尺]）- U-1（E[U（ln VT）| Ft]）|≤ 鲁-1 | E[U（lnvt）| Ft]- E[U（ln VT）|英尺]|≤ 鲁-1LU | ln Vt |。（A.12）我们现在终于准备好证明主要陈述。莱克-:= {ω ∈ Ohm :XT∈TK-T（ω）<∞}, K+：={ω∈ Ohm :XT∈T（K+T）c（ω）=∞}.使用（A.12），在场景K中-∩ K+我们得到了信息→∞|ut（LnVT）- ut（ln VT）|t≤ lim infT→∞露露-1 | ln Vt | T=0。这证明了这个集合的等式（3.2）。利用（A.2）我们得到（K）上的等式（3.2）-)C同样地，使用（A.11）我们得到（K+c）上的（3.2）。这就完成了证明。命题的证明。3.我们将只证明上鞅部分（下鞅的证明类似）。(=>) 设ms=fs（V）。因为fs（V）≥ fs（V），使用（4.1），我们得到ft（V）≥ E[fs（V）| Ft]。(<=) 设msbe使fs（V）≥ 太太

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能者818

2022-5-5 06:20:35

利用这一点，以及ft（V）是超鞅的事实，我们立即得到ft（V）≥ E[fs（V）| Ft]≥ E[ms | Ft]。证据到此结束。定理5.4的证明。对于固定的γ∈ R、设{~nγt}t∈这是一个动态的风险敏感标准。1）这足以证明γt（V）=lim infT→∞γt（lnvt）t，t∈ 电视∈ V.（A.13）注意，在Ft-可测集{Vt=0}上，I{Vt=0}Vt=0，因此（A.13）的两边相等-∞. 因此，由于ut的局部性，考虑情况P[Vt>0]=1就足够了。对于固定V∈ V和t∈ 我们不是有消息吗→∞μγt（lnvt）t=lim infT→∞lne[exp（γlnvt）| Ft]γT=lim infT→∞hTγlne[VγT | Ft]-Tln Vti=γt（V）。对于γ=0，我们立即得到lim infT→∞ut（lnvt）t=lim infT→∞他[ln VT | Ft]T-ln VtTi=lim infT→∞这是推论的直接结果。8和1），自{-γt}t∈这是一个动态的风险度量。3）这足以证明，对于γ>0，我们有γt（V）+= lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t.（A.14）与前一种情况一样，在不丧失一般性的情况下，我们可以假定P[Vt>0]=1。早期的∈ T和V∈ 五、我们推断Lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t=lim infT→∞lne[exp（γ[lnvt]+）|Ft]γT=lim infT→∞Tγln Ehmax（vt，1）γ| Fti=lim infT→∞Tγln Ehmax（VT，VT）γVγT | Fti=lim infT→∞hTγln E[最大（VT，VT）γ|英尺]-Tln Vti=lim infT→∞Tγlne[max（VT，VT）γ| Ft]。（A.15）使用上述内容，以及VT≤ 最大值（VT，VT）和γt（[lnvt]+）≥ 0，为所有V∈ 五、我们有以下不平等信息→∞Tγlne[VγT | Ft]i+≤ lim infT→∞接下来，我们将证明逆不等式。在不丧失普遍性的情况下，使用局部性，并且函数[·]+是非负的，我们可以假设lim inf→∞μγt（[lnvt]+）t>0。（A.17）设XT:=E[I{VT>VT}VγT|Ft]。

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kedemingshi

2022-5-5 06:20:38

使用（A.16），（A.15），因为E[I{VT≤Vt}Vγt|Ft]≤ Vγt，我们收到通知了→∞Tγln-XT≤hlim infT→∞Tγlne[VγT | Ft]i+≤ lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t=lim infT→∞Tγlne[max（VT，VT）γ| Ft]≤ lim infT→∞Tγln（XT+VγT）。（A.18）由于（A.17），以及γ>0的事实，我们有（XT+Vγt）t→∞-→ ∞, 然后是Xtt→∞-→ ∞. 因此，|ln（XT+Vγt）- ln（XT）|→ 0，T→ ∞.利用（A.18）我们得出结论。4）这是动态货币熵效用负的类似性质的直接结果。见命题5。3.5）让我们≥ T≥ 0∈ 电视∈埃夫和ms∈“是的。这就足以证明eγs（V）≥ ems=> eγt（V）≥ eE[ms | Ft]。（A.19）很容易注意到，即s（V）=elim infT→∞Tγlne[VγT | Fs]=elim infT→∞自然对数E[VγT | Fs]γT= lim infT→∞埃尔恩E[VγT | Fs]γT= lim infT→∞E[VγT | Fs]γT。利用这一点，我们得出结论，（A.19）相当于以下lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ ems=> lim infT→∞E[VγT | Ft]γT≥ eE[ms | Ft]。（A.20）假设lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ ems。由于塔的属性，我们已经通知→∞E[VγT | Ft]γT=lim infT→∞EE[VγT | Fs]| Ft因为，0<γT<1，对于足够大的T，我们得到函数f（x）=xγT，x>0，是凹的。因此，通过詹森不等式，我们继续→∞EE[VγT | Fs]| FtγT≥ lim infT→∞EE[VγT | Fs]γT | Ft.因为，E[VγT | Fs]γ对于每个T都是非负的∈ T、通过Fatou引理，我们得出结论→∞EE[VγT | Fs]γT | Ft≥ Elim infT→∞E[VγT | Fs]γT | Ft.最后，使用lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ 通过Jensen不等式f（x）=ex，我们得到lim infT→∞E[VγT | Fs]γT | Ft≥ E[ems | Ft]≥ eE[ms | Ft]，这就完成了证明。6）让我们∈ 电视∈eV和γ<0。我们想证明这一点∈ T、 s>T和ms∈\'Ls，我们有两个s（V）≤ 太太=> γt（V）≤ E[ms | Ft]。（A.21）进行与5）类似的操作，我们推断（A.21）等价于tolim infT→∞E[VγT | Fs]γT≤ ems=> lim infT→∞E[VγT | Ft]γT≤ eE[ms | Ft]。

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nandehutu2022

2022-5-5 06:20:42

（A.22）因为对于γ<0且非负x，函数f（x）=xγ是递减的，所以（A.22）等价于hlim infT→∞E[VγT | Fs]γTiγ≥ eγ质谱=>hlim infT→∞E[VγT | Ft]γTiγ≥ eγe[ms | Ft]，因此相当于→∞hE[VγT | Fs]γTiγ≥ eγ质谱=> lim s upT→∞hE[VγT | Ft]γTiγ≥ eγe[ms | Ft]，由此，我们得出结论，（A.19）相当于tolim supT→∞E[VγT | Fs]T≥ eγ质谱=> lim s upT→∞E[VγT | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]，（A.23），因此我们将验证这一含义。为了更好地直观地证明（a.23），首先，我们将考虑t=0，即我们将证明，对于任何ms∈“是的，我们有一个→∞E[VγT | Fs]T≥ eγ质谱=> lim s upT→∞E[VγT]T≥ eγe[ms]。（A.24）假设s>0，ms∈\'Ls，以及LIM supT→∞E[VγT | Fs]T≥ 注意，存在一个集合C∈ Fs，使得P[C]>0和ICeγms≥ 冰[eγms]。因此，IClim支持→∞E[VγT | Fs]T≥ 冰[eγms]。根据詹森不等式，我们继续支持→∞E[VγT | Fs]T≥ 冰γE[ms]。（A.25）设>0，设BT:={ω∈ Ohm : E[VγT | Fs]T（ω）≥ eγe[ms]-. 注意C 林监督→∞BT，这意味着PHLIM支持→∞BTi>0。（A.26）从这里，通过Borel-Cantelli引理，我们得到了P∞T=1P[BT]=∞. 自从上一个序列发散以来，存在一个子序列{Tk}（k=1，2，…）这样的话[BTk]≥（Tk）。利用这一点，我们有以下一连串的不平等Lim supT→∞E[VγT]T=lim s upT→∞E[E[VγT | Fs]]T≥ lim s upT→∞E[IBTE[VγT|Fs]]T≥ lim s upT→∞E[IBTe（γE[ms]-）T]T≥ eγe[ms]-lim supT→∞P[BT]T≥ eγe[ms]-lim supTk→∞P[BTk]Tk≥ eγe[ms]-lim supTk→∞h（Tk）iTk=eγe[ms]-.因此，考虑到>0是任意选择的，暗示（A.24）立即出现。t>0的证明遵循了与t=0类似的思路，尽管这有点技术性。为了完整起见，我们也将在这里提供证据。证明是矛盾的：假设（A.21）对某些s不成立∈ T、 s>T。

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可人4

2022-5-5 06:20:46

既然（A.21）与（A.23）等价，就存在V∈~V女士∈“LSA∈ Ft，P[A]>0，使forlim支持→∞E[VγT | Fs]T≥ eγM和lim supT→∞E[VγT | Ft]T<EγE[ms | Ft]。（A.27）几乎可以肯定的是，A.注意存在>0和A∈ 英国《金融时报》，A A、 P[A]>0，这样的话→∞E[VγT | Ft]T≤ 1AeγE[ms | Ft]-2. （A.28）让我们考虑以下设置：∈ A:E[VγT | Fs]T（ω）≥ eγe[ms | Ft]（ω）-,Dα：={ω∈ A:∞XT=1E[1BT|Ft]<α，α∈ N∪ {+∞}.注意，Dn∈ FTN∈ N、 Dn DMN≤ m、和D∞= ∪N∈NDn∈ 接下来我们考虑两种情况：a）P[D∞] > 0和b）P[D∞] = 0.病例a）自P[D]以来∞] = P[limn→∞Dn]=limn→∞P[Dn]>0，存在n>0使得P[Dn]>0。因此∞XT=1P[BT∩ 从这里，通过Borel Cantelli引理，我们得到了Phlim supT→∞[BT∩ Dn]i=0，这意味着dnlim supT→∞E[VγT | Fs]T≤ 1DneγE[ms | Ft]-.这与（A.27）中的一些积极措施相矛盾。例b）设P[D∞] = 0.首先请注意，lim supT→∞E[VγT | Ft]T=lim s upT→∞E[E[VγT | Fs]| Ft]T≥ lim s upT→∞E[IBTE[VγT | Fs]| Ft]T≥ lim s upT→∞E[IBTe（γE[ms|Ft]-）T | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]-lim supT→∞E[1BT | Ft]T.（A.29）自D∞ A、和P[D∞] = 0，几乎每个ω都有∈ 存在一个序列{T，ωk}k∈恩苏奇茅草BT，ωk|Ft(ω) ≥（T，ωk）。利用这个和（A.29），我们得出结论，对于（几乎）每个ω∈ 阿利姆·苏普特→∞E[1BT | Ft]T（ω）≥ lim supT，ωk→∞E[1BT，ωk|Ft]T，ωk（ω）≥ lim supT，ωk→∞h（T，ωk）iT，ωk=1。因此，在Alim supT上几乎所有地方→∞E[VγT | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]-.将最后一个不等式与（A.28）结合，我们得到了Eγ[ms | Ft]-2≥ 1后勤主管→∞E[VγT | Ft]T≥ 1AeγE[ms | Ft]-，这会导致矛盾，因为P[A]>0。命题的证明。5.Let（[0,1]，B（[0,1]），{Ft}t∈N、 λ）是一个过滤概率空间，F={[0,1]，} 对于γ=-1考虑一个简单的例子bvt（ω）=（e）就足够了-Tω∈ [0，e]-T] ，eTω∈ [e]-T、 1]。对于任何γ<0的情况，都可以很容易地修改该示例。

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可人4

2022-5-5 06:20:49

对于γ=0，考虑bv′T（ω）=（e）就足够了-Tω∈ [0，T]，eTω∈ [T，1].5\'）Letγ=1，Let{bVT}T∈Nbe由BVT（ω）=（Tω）定义∈ [0，T]，eTω∈ [T，1]。（A.30）对于ω6=0，我们有-1（bVT）（ω）=lim infT→∞-1TlnbVT（ω）=lim infT→∞[(-ln TT）·I[0，T]（ω）+1·I[T，1]（ω）]=1。另一方面-1（bVT）=lim infT→∞-1Tln E（bVT）=直线英尺→∞-1Tln（1+T）- 1Te-（T）≤ 林在英国《金融时报》→∞- ln 1T=0。因此，当m=1时，我们得到-1（英属维尔京群岛）≥ m6=> φ-1（英属维尔京群岛）≥ E[m | F]，这与超马氏体的一致性相矛盾。这个反例可以很容易地对任何γ<0的情况进行调整。同样，对于γ=0，我们考虑bv′T（ω）：=（e-Tω∈ [0，T]，eTω∈ [T，1].6\'）与前一种情况一样，我们只考虑γ=1和γ=0。对于γ=1，我们取{bVT}T∈由bvt（ω）=（T eTω）定义∈ [0，T]，1ω∈ [T，1]。（A.31）那么，我们有φ（bVT）（ω）=lim infT→∞TlnbVT（ω）=lim infT→∞[（1+ln-TT）·I[0，T]（ω）+0·I[T，1]（ω）]=0，ω6=0。另一方面，ψ（bVT）=lim，单位为英尺→∞Tln E（bVT）=以英尺为单位的直线度→∞Tln（eT+T）- 1T）≥ lim infT→∞TT=1。因此，当m=0时，我们得到了φ（bV）≤ m6=> ~n（英属维尔京群岛）≤ E[m | F]，这与次鞅一致性相矛盾。同样，对于γ=0，我们考虑bv′T（ω）=（eTω∈ [0，T]，1ω∈ [T，1]。感谢Tomasz R.Bielecki和Igor Cialenco感谢NSF拨款DMS0908099和DMS-1211256的支持。Marcin Pitera感谢波兰科学IPP基金会项目“物理模型中的几何和拓扑”中运营的项目提供的支持，该项目由欧盟欧洲区域发展基金会（EU European Regional Development Fund，2007-2013年创新经济运营项目）共同资助。参考文献[1]B.Acciaio和I.Penner，《动态风险度量》，载于G.Di Nunno和B."Oksendal（编辑）《金融高级数学方法》（2011年），第1-34页。[2] A.Arapastathis，V.S.Borkar，E.Fernández Gaucherand，M.K.Ghosh和S.I.Marcus，具有平均成本标准的离散时间受控马尔可夫过程：A S Survey，暹罗控制与优化杂志31（1993），第。

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nandehutu2022

2022-5-5 06:20:52

2, 282–344.[3] S.Biagini和M.Frittelli，关于Namioka-Klee定理的推广和关于风险度量、最优性和风险的Offatou性质——数学金融的现代趋势，Springer Berlin H eidelberg，2010，第1-28页（英文）。[4] T.R.Bielecki，I.Cialenco，S.Drapeau和M.Karliczek，《动态评估指数》，ArXiv电子版（2013年）。[5] T.R.Bielecki，I.Cialenco和Z.Zhang，《动态一致可接受性指数及其在金融中的应用》，数学金融（2013）。[6] T.R.Bielecki和S.R.Pliska，风险敏感动态资产管理，应用。数学擎天柱。39（1999），第337-360号。[7] ，投资组合管理风险敏感标准的经济性质，《会计与金融评论2》（2003），第3-17页。[8] P.Cheridito，F.Delbaen和M.Kupper，有界离散时间过程的动态货币风险度量，概率电子期刊11（2006），第3期，57-106。[9] P.Cheridito和M.Kupper，《差异优先级的递归性和翻译变量偏好》，数学和金融经济学2（2009），第3期，第173-188页。[10] P.Cheridito和T.Li，Orlicz心脏的风险测量，数学。《金融》第19期（2009），第2189-214号。[11] A.S.Cherny和D.B.Madan，《绩效评估的新措施》，金融研究综述22（2009），第7期，2571–2606。[12] K.Detlefsen和G.Scandolo，《条件与动态凸风险度量》，金融与随机9（2005），第4期，539–561（英文）。[13] G.Di Masi和L。Stettner，最小化性质下离散时间马尔可夫过程的有限期风险敏感控制，暹罗控制与优化杂志46（2007），第1231-252期。[14] D.Filipovi'c、M.Kupper和N.Vogelpoth，《局部凸模中的分离和对偶》，功能分析杂志2 5 6（2009），第12期，3996–4029。[15] W·H·弗莱明和S·J。

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mingdashike22

2022-5-5 06:20:54

《风险敏感控制与最优投资模型》，数学金融10（2000），第2期，197-213页。[16] M.Kupper和W.Schachermayer，《法律不变时间一致性函数的表示结果》，数学和金融经济学2（2009），第3期，189-210。[17] P.Whittle，《风险敏感最优控制》，威利纽约，1990年。

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