高频金融中的半马尔可夫模型

2022-5-5 07:10:24

第三章高频金融中的半马尔可夫模型：综述，*, 菲利波·彼得罗尼2+和弗拉维奥·普拉蒂科3，佩斯卡拉、基耶蒂、阿齐达利科学经济研究院、卡利亚里、卡利亚里、英格里亚工业大学、戴尔信息与经济大学、戴尔阿奎拉、拉奎拉、埃奎拉、，本文描述了三种基于半马尔可夫链的随机模型及其推广，以研究交易股票的高频价格动态。这三种模型分别是：简单半马尔可夫链模型、指数半马尔可夫链模型和加权指数半马尔可夫链模型。我们通过蒙特卡罗模拟表明，这些模型能够将金融时间序列的重要类型化事实再现为波动的持续性。特别是，我们分析了2007年1月1日至2010年12月底意大利股市的高频数据，并应用了半马尔可夫链模型和指数半马尔可夫链模型。相反，最后一个模型应用于2007年1月1日至2010年12月底意大利和德国股市的数据。关键词：半马尔可夫；高频金融；蒙特卡罗模拟；自相关函数1。引言半马尔可夫链（SMC）是一类广泛的随机过程，它同时推广了马尔可夫链和更新过程。SMC的主要优点是*电子邮件地址：g。damico@unich.it+电子邮件地址：fpetroni@unica.it——电子邮件地址：FL avio。prattico@univaq.it2Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio Pratticothat他们允许使用任何类型的等待时间分布来模拟从一种状态到另一种状态的过渡时间。

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2022-5-5 07:10:27

相反，马尔可夫模型对状态中的等待时间分布有约束，这些约束必须用无记忆分布（连续和离散时间分别为指数分布或几何分布）来表示。这种主要的灵活性需要付出代价：需要估计的参数更多。SMC还推广了基于连续时间随机游走的非马尔可夫模型，该模型在经济物理学界广泛使用，例如[18,20]。SMC已被用于分析财务数据，并描述从信用评级数据建模[4]到期权定价[5,21]的不同问题，以及与财务数据建模类似的风能建模问题，如数据的强持久性，请参见[10,11,12]。随着金融业的全面计算机化，记录的数据量，从每日收盘一直到逐笔交易，都呈爆炸式增长。如今，从业者和研究人员都可以随时获得这种逐点高频数据[13,19]。然后，试图验证高频数据回报率的半马尔可夫假设似乎很自然，见[7]。在[7]中，我们提出了一个半马尔可夫模型，表明它能够产生一些典型的经验事实，例如，回报中没有自相关和收益/损失不对称。在那篇论文中，我们还证明了收益平方的自相关性比马尔可夫模型更高。不幸的是，这种自相关性与经验相关性相比仍然太小。为了克服低自相关的问题，在另一篇论文[8]中，我们提出了一个指数化的半马尔可夫价格收益模型。

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2022-5-5 07:10:30

更准确地说，我们假设日内收益率（高达一分钟的频率）由离散时间齐次半马尔可夫过程描述，在该过程中，我们引入了一个记忆指数，该指数考虑了市场中不同的可用性周期。众所周知，市场波动是自相关的，因此高（低）波动期可能会持续很长时间。我们假设半马尔可夫过程的核心取决于当时市场的波动水平。值得注意的是，加权记忆指数是一个随机过程，它依赖于与半马尔可夫链相关联的马尔可夫更新链。然后，在我们的模型中，高自相关是在不引入外部或潜在辅助随机过程的情况下内生获得的。为了进一步改进我们之前的结果，在[9]中，我们提出了一个指数加权指数。论文的其余部分组织如下。第2节描述了财务回报的半马尔科夫模型。第3节介绍了三种不同模型应用于实际财务数据的结果。第4节讨论了一些结论。2.财务回报模型在本节中，我们介绍了用于财务回报建模的模型。我们特别展示了SCM、索引半马尔可夫链（ISMC）和加权索引半马尔可夫链（WISMC）。高频金融中的半马尔可夫模型：综述32.1。半马尔可夫链模型我们用有限状态空间E={1,2，…，m}中的值定义SMC，参见示例[16,14]。

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2022-5-5 07:10:34

让(Ohm, F、 P）是一个概率空间；我们考虑两个随机变量序列：Jn：Ohm → ETn:Ohm → 在（1）中，分别表示系统第n次跃迁的状态和时间。我们假设（Jn，Tn）是状态空间E×IN上的一个马尔可夫更新过程，具有核Qij（t），i，j∈ E、 t∈ 在里面内核有以下概率解释：P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |σ（Jh，Th），h≤ t、 Jn=i]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |Jn=i]=Qij（t）（2），结果是pij=limt→ ∞Qij（t）；i、 j∈ E、 t∈ 其中P=（pij）是嵌入马尔可夫链Jn的转移概率矩阵。此外，如果从状态ibij（t）=P[Jn+1=j，Tn+1在时间零点开始，则引入在状态j时刻t发生下一次转变的概率是有用的- Tn=t | Jn=i]=Qij（t）- Qij（t）- 1）如果t>00，如果t=0（3），我们定义分布函数shi（t）=P[Tn+1- Tn≤ t |Jn=i]=Xj∈EQij（t）（4）表示状态i中的生存函数。Radon-Nikodym定理保证函数Gij（t）的存在，使得Gij（t）=P{Tn+1- Tn≤ t |Jn=i，Jn+1=j}=（Qij（t）pijif pij6=01，如果pij=0（5），它表示状态i中的等待时间分布函数，因为下一次转换过程将处于状态j。逗留时间分布Gij（·）可以是任何分布函数。当Gij（·）都是几何分布时，我们恢复离散时间马尔可夫链。可以定义SMC Z（t）asZ（t）=JN（t），T∈ 式中N（t）=sup{N∈ IN:Tn≤ t} 。然后Z（t）代表每个等待时间的系统状态。我们用φij（t）=P[Z（t）=j | Z（0）=i]表示SMC的跃迁概率。它们满足以下演化方程：φij（t）=δij（1- 嗨（t））+Xk∈EtXτ=1bik（τ）φkj（t- τ ).

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mingdashike22

2022-5-5 07:10:38

（7） 4 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio PratticoTo解方程（7）SMC文献[1,14]中有许多著名的算法。在这一点上，我们介绍了离散后向递推时间过程B（t）连接到SMC。每一次∈ 在本文中，我们定义了以下随机过程：B（t）=t- 总氮（t）。（8）如果半马尔可夫链Z（t）表示系统在时间t的状态，B（t）表示自上次跳转以来的时间。图1。时间向后的SMC轨迹。在图1中，我们展示了SMC的轨迹。在时间t时，过程Z（t）处于状态j-1最后一次转换发生在时间-1当时间t时，反向过程保持sb（t）=t- Th-1.联合随机过程（Z（t），B（t），t∈ IN）的值为E×IN是一个马尔科夫过程，参见示例[16]。也就是说：P[Z（T）=j，B（T）≤v′|σ（Z（h），B（h）），h≤ t、 Z（t）=i，B（t）=v]=P[Z（t）=j，B（t）≤ v′|Z（t）=i，B（t）=v]。[7]提出的SMC价格模型假设研究资产的价值由时变资产价格S（t）描述。时间变量t∈ {0，1，…，n}其中n是所考虑的单位周期数。在长度为1的时间间隔内计算的时间t的收益定义为z（t）=S（t+1）- S（t）S（t）。（9）我们假设Z（t）是一个具有有限状态空间E={-zmin, . . . , -2., -, 0, , 2., . . . , 求最大值}核Q=（Qij（γ）），i、 j∈ E和γ∈ 在里面高频金融中的半马尔可夫模型：综述52.2。带记忆的半马尔可夫模型在本小节中，我们提出了SMC的一个推广，它能够表示状态变量连续观测之间的高阶依赖关系。增加过程记忆的一种方法是使用[17]中定义的高阶SMC。

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mingdashike22

2022-5-5 07:10:41

在这里，我们提出了一个更为简洁的模型，其目标是定义一个新的模型，以恰当地描述金融时间序列的经验规律。为此，我们扩展了上述模型，允许在股票回报的平方中重现长期依赖性。该模型由[8]提出，可以找到更完整的处理方法。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，考虑随机过程j-（m+1），J-m、 J-（m）-1), ..., J-1，J，J。。。有限状态空间E={1,2，…，S}。在我们的框架中，随机变量Jn描述了第n次转变时的价格回报过程。让我们考虑一下随机过程-（m+1），T-m、 T-（m）-1), ..., T-1，T，T。。。在IR中有值。随机变量Tn描述价格返回过程第n次转换发生的时间。让我们也考虑一下随机过程-（m+1），U-m、 U-（m）-1), ..., U-1，U，U。。。在IR中有值。随机变量在第次转换时取消描述索引过程的值。参考文献[7]将过程{Un}定义为与马尔可夫更新过程{Jn，Tn}相关的奖励累积过程。在本文中，我们介绍了一种不同的indexprocess Umn，定义如下：Umn=Tn- Tn-（m+1）mXk=0ZTn-kTn-1.-kf（Jn）-1.-k、 s）ds，（10）式中f:E×IR→ IR是一个Borel可测有界函数-（m+1）。。。，这是已知的，非随机的。过程UMNCA可以解释为累积报酬过程的移动平均值，函数f作为单位时间报酬率的度量。函数f取决于系统Jn的状态-1.-作为一个例子，你可以考虑m=1和f（Jn，s）=（Jn）的情况。

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2022-5-5 07:10:45

在这个简单的例子中，我们得到了：Un=Tn- Tn-2（Jn-1） ·（Tn）- Tn-1） +（Jn）-2） ·（Tn）-1.- Tn-2)!, （11）它表示在收益平方序列上执行的m+1=2阶移动平均数，权重由fractionsTn给出- Tn-1Tn- Tn-2.Tn-1.- Tn-2Tn- Tn-2.（12）6 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio PratticoIt应注意，移动平均线的顺序取决于转换次数。因此，移动平均是在可变长度的时间窗口上执行的。为了构造索引模型，我们必须指定变量之间的依赖结构。为此，我们采用以下假设：P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |σ（Jh，Th，Umh），h=-M0, ..., n、 Jn=i，Umn=v]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |Jn=i，Umn=v]：=Qmij（v；t），（13）式中σ（Jh，Th，Umh），h≤ n是三变量过程的自然过滤。函数矩阵Qm（v；t）=（Qmij（v；t））i，j∈EHA在我们将要揭示的理论中起着基础性作用。认识到它的重要性，我们称之为索引半马尔可夫核。嵌入在索引半马尔可夫核中的联合过程（Jn，Tn）依赖于移动平均过程Umn，后者作为一个随机指标。

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2022-5-5 07:10:48

此外，索引过程通过函数关系（10）依赖于（Jn，Tn）。为了描述模型在任何时候的行为，我们需要定义额外的随机过程。给定三维过程{Jn，Tn，Umn}和索引半马尔可夫核Qm（v；t），我们定义byN（t）=sup{n∈ N:Tn≤ t} )；Z（t）=JN（t）；嗯（t）=t- T（N（T）-θ)-mmXk=0Zt∧T（N（T）-θ)+1-kT（N（t）-θ)-kf（J（N（t）-θ)-k、 s）ds，（14）式中，TN（t）≤ t<TN（t）+1和θ=1{t=TN（t）}。（14）中定义的随机过程分别代表截至时间t的转换次数、系统在时间t的状态（价格回报）和截至时间t的指数过程（价格回报函数的移动平均值）。我们将Z（t）称为一个指数半马尔可夫过程。过程Um（t）是过程Umn的推广，其中时间t可以是一个过渡时间或一个等待时间。很容易意识到如果m、如果t=tn，我们就有了，嗯（t）=Umn。Letpmij（v）：=P[Jn+1=j | Jn=i，Umn=v]。是嵌入索引马尔可夫链的转移概率。它表示下一个转变处于状态j的概率，假设当前过程进入状态i，索引过程为v。很容易实现PMIj（v）=limt→∞Qmij（v；t）。（15）设Hmi（v；·）为状态i中的停留时间累积分布∈ E:Hmi（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Umn=v]=Xj∈EQmij（v；t）。（16）高频金融中的半马尔可夫模型：综述7考虑到指数过程为v，它表示从逗留时间较少或相等的状态i过渡到t的概率。条件等待时间分布函数G表示以下概率：Gmij（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Jn+1=j，Umn=v]。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:10:51

（17）如果pmij（v）6=01，如果pmij（v）=0，则很容易确定gmij（v；t）=（Qmij（v；t）pmij（v）。（18）为了正确评估系统的概率行为，我们引入了转移概率函数：φm（i-（m+1），i-M我j）（t）-（m+1），t-MTt、 V）：=P[Z（t）=j，Um（t）≤ V | J=i。。。，J-（m+1）=i-（m+1），T=T。。。，T-（m+1）=t-（m+1）]。（19） [8]表明ISMC的转移概率函数满足arenewal型方程。2.3. 加权指数半马尔可夫模型在本小节中，我们描述了上述SMC模型的进一步改进，称为加权指数半马尔可夫链（WISMC）模型，该模型允许以非常有效的方式重现股票收益平方的长期依赖性；[9]提出并研究了该模型。假设所研究金融资产的价值由时变资产价格S（t）描述。在时间间隔为1的时间内计算的时间t的回报率定义为（t+1）-S（t）S（t）。返回过程在时间上改变值，然后我们用{Jn}n表示∈在有限状态空间E={1，2，…，s}的随机过程中，描述了第n次跃迁时返回过程的值。让我们考虑随机过程{Tn}n∈在中包含值。随机变量Tn描述价格返回过程第n次转变发生的时间。让我们也考虑随机过程{Uλn}n∈在IR中使用值。随机变量Uλn描述了第n次转变时的指数过程值。参考文献[8]将过程{Un}定义为与马尔可夫更新过程{Jn，Tn}相关的奖励累积过程；在[8]中，过程{Un}被定义为奖励过程的移动平均值。

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2022-5-5 07:10:54

在这里，基于对财务回报的应用，我们考虑一个更灵活的指数过程，定义如下：Uλn=n-1Xk=0Tn-K-1Xa=Tn-1.-kf（Jn）-1.-k、 a，λ，（20）式中f:E×IN×IR→ IR是一个Borel可测有界函数，Uλ已知且非随机。8 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio PratticoThe过程Uλnca可以被解释为一个累积奖励过程，其函数f是单位时间内加权奖励率的度量。函数f取决于当前时间a和状态Jn-1.-kvisited在当前时间和代表重量的参数λ上。在下一节中，将选择f的特定函数形式，以生成realdata应用程序。为了构建WISMC模型，我们必须指定变量之间的依赖结构。为此，我们采用以下假设：P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |σ（Jh，Th，Uλh），h=0。。。，n、 Jn=i，Uλn=v]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |Jn=i，Uλn=v]：=Qλij（v；t），（21）式中σ（Jh，Th，Uλh），h≤ n是三变量过程的自然过滤。函数矩阵Qλ（v；t）=（Qλij（v；t））i，j∈EH在我们将要揭示的理论中起着基础性作用，鉴于其重要性，我们称之为加权指数半马尔可夫核。联合过程（Jn，Tn）取决于过程Uλn，后者作为一个随机指标。此外，指数过程Uλ通过函数关系（20）依赖于（Jn，Tn）。观察ifP[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Uλn=v]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t | Jn=i]对于所有值v∈ 索引过程的IR，然后在普通半马尔可夫核中生成加权索引半马尔可夫核，WISMC模型与经典半马尔可夫链模型等价，如[14]和[2]中所示。三重过程{Jn，Tn，Uλn}仅在对应于过渡时间Tn的情况下描述系统的行为。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:10:59

为了描述模型在过渡时间或等待时间内的行为，我们需要定义额外的随机过程。给定三维过程{Jn，Tn，Uλn}和加权指数半马尔可夫核Qλ（v；t），我们定义byN（t）=sup{n∈ N:Tn≤ t} )；Z（t）=JN（t）；Uλ（t）=N（t）-1+θXk=0（t∧TN（t）+θ-（k）-1Xa=TN（t）+θ-1.-kf（JN（t）+θ-1.-k、 a，λ，（22），其中θ=1{t>TN（t）}。（22）中定义的随机过程分别代表到时间t的过渡次数、到时间t的系统状态（价格回报）和到时间t的指数过程值（价格回报函数的加权移动平均值）。我们把Z（t）称为加权指数半马尔可夫过程。过程Uλ（t）是过程Uλn的推广，其中时间t可以是高频金融中的半马尔可夫模型：回顾时间或等待时间。很容易认识到，如果t=tn，则Uλ（t）=Uλn.Letpλij（v）：=P[Jn+1=j | Jn=i，Uλn=v]是嵌入索引马尔可夫链的转移概率。它表示下一个转变处于状态j的概率，假设在当前时间过程进入状态i，指数过程等于v。很容易实现pλij（v）=limt→∞Qλij（v；t）。（23）设Hλi（v；·）为状态i中的逗留时间累积分布∈ E:Hλi（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Uλn=v]=Xj∈等式λij（v；t）。（24）它表示从停留时间小于或等于的状态i过渡到t的概率，给定索引过程为v。条件等待时间分布函数G表示以下概率：Gλij（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Jn+1=j，Uλn=v]。（25）很容易确定gλij（v；t）=Qλij（v；t）pλij（v）如果pλij（v）6=01如果pλij（v）=0。(26)3.

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2022-5-5 07:11:02

实证结果为了检验我们模型的有效性，我们比较了真实数据回报和基于模型的蒙特卡罗模拟产生的回报的行为。在本节中，我们描述了用于分析的真实数据数据库，以及用于模拟综合收益时间序列的方法，最后，我们比较了真实数据和模拟数据的结果。3.1. 数据库描述我们用来比较真实数据与SMC模型和ISMC模型结果的数据是从www上下载的指数和股票的逐点报价。borsaitaliana。2007年1月至2010年12月（四个完整年份）。数据已重新采样，频率为1分钟。考虑一天（比如第1天）≤ K≤ d）其中d是时间序列中的交易天数。在我们的案例中，我们考虑四年的交易（从2007年1月1日开始，对应于d=1076）。意大利市场在上午9点后的第一分钟内随机确定开盘价，连续交易在下午5点25分之前立即开始，最后收盘价在下午5点30分之后确定。因此，让我们将S（t）定义为上午9.01.00之前最后一次交易的价格，S（t+1）定义为上午9.02.00之前最后一次交易的价格，依此类推，直到10 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio Prattico 2 4 50510x 104个州过渡图2。嵌入马尔可夫链的转换次数。S（nk）为下午5:25.00前最后一次交易的价格。如果在这一分钟内没有交易，价格保持不变（即使在所有权被暂停并在同一天重新开放的情况下）。还确定S（nk+1）为开盘价，S（nk）为收盘价。用这个选项n=507。2009年9月28日之前有一个小的差异，因为连续交易在上午9点05分开始，因此在该日期之前我们有n=502。

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2022-5-5 07:11:05

最后，如果产权延迟开盘或提前关闭（暂停但未重新开盘），则只考虑有效交易记录。在这种情况下，n将小于507。然后，每个股票的分析收益数约为50.8万。我们分析了FTSEMIB的所有股票，这是意大利股市中资本化程度最高的40只股票。为了能够将收益建模为SMC，必须对状态空间进行离散化。在所示的例子中，我们将收益离散为5种状态，选择它们相对于等于零的收益对称。由于股票价格的离散化，回报率实际上已经在实际数据中离散化，而股票价格由每个证券交易所确定，并取决于股票的价值。举个例子，在意大利股票市场上，股票的价值在5之间。0001欧元和10欧元——最小变化固定为0.005欧元（通常称为滴答）。Wethen试图尽可能接近这种离散化。在图2中，我们展示了嵌入马尔科夫链从状态i过渡到所有其他状态的次数示例。对于WISMC模型，我们从意大利证券交易所（“Borsa Italiana”）和德国证券交易所（“Deutsche B¨orse”）的两个实时股票报价数据库中选择了4只股票。选择的股票是意大利数据库中的埃尼和菲亚特，以及德国数据库中的安联和大众。从2007年1月到2007年12月的时间段。数据已重新采样，频率为1分钟。然后分析的回报数量大约为500* 每只股票10英镑。在这4个例子中，我们将收益离散为5个状态，选择与高频金融中的半马尔可夫模型对称：回顾11"i！"i\" #$ "i\" "i%#$ % %#$ \" \" #$ !&’“"i（\'）*+，）-.”/0-+1-，0,21.3）*+14*5图3。

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何人来此

2022-5-5 07:11:08

回报的离散化。关于收益等于零，并保持分布形状不变。同样在这种情况下，回报已经离散化。在图3中，我们展示了一个离散化分析股票收益的例子。根据离散化收益，我们估计了生成所描述模型的合成轨迹的概率P和Gij（t）。为此，我们推导了蒙特卡罗算法，以模拟给定模型在时间间隔[0，T]内的轨迹。选择的时间序列（如合成时间序列）与真实时间序列的长度相同。该算法的输出包括连续访问状态{J，J，…}，跳跃时间{T，T，…}直到T。下面的算法是半马尔可夫模型的蒙特卡罗模拟示例：1）集合n=0，J=i，T=0，水平时间=T；2）从pJn中取样J，·并设置Jn+1=J（ω）；3）从GJn、Jn+1（·）中取样W，并设置Tn+1=Tn+W（ω）；4）如果Tn+1≥ T停止设置n=n+1并转到2）。自相关函数的结果股市数据的一个非常重要的特征是，虽然收益率是不相关的，并且表现出类似i.i.d.的行为，但它们的平方或绝对值是长期相关的。非常重要的是，回报的理论模型确实再现了这一特征。然后，我们测试模型，以检查它是否能够重现这种行为。我们提醒一下自相关函数的定义：如果Z表示收益，收益平方的时间标记（τ）自相关定义为∑（τ）=Cov（Z（t+τ），Z（t））V ar（Z（t））（27）我们估计了真实数据和用不同模型模拟的收益时间序列的∑（τ）。使时滞τ从1分钟运行到100分钟。

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2022-5-5 07:11:11

要注意的是，要想让古列尔莫·达米科、菲利波·彼得罗尼和弗拉维奥·普拉蒂科都能做到这一点！\" ! #! $! %! &! !! ’! (!! ’&! ’\"! ’)*+, - ./01.2, +3405*67688- /0*+63..9 - 0/.: 0*0; - , +< 08=6>; - , +< 08=6>., ?&!; - , +< 08=6>., ?) !; - , +< 08=6>., ?&（！图4.标签中描述的真实数据（实线）和4个合成时间序列的自相关函数。比较∑（τ）的结果每个模拟时间序列的生成长度与实际数据相同。图4显示了索引半马尔可夫模型（m值很少）、真实数据和无索引的asemi马尔可夫模型的结果。正如预期的那样，真实数据确实显示了波动性的长期相关性，让我们来分析合成时间序列的结果。简单的半马尔可夫模型从相同的值开始，但持续时间很短，经过几个时间步后，自相关系数降至零。一个非常有趣的行为由带有memoryindex的半马尔可夫模型显示。如果使用一个小内存（在所示示例中为m=10），则自相关已经持续，但其下降速度再次快于实际数据。在较长的内存（m=30）下，自相关在很长一段时间内保持较高，并且其值非常接近真实数据的值。如果m进一步增加，自相关性再次下降到较小的值。这种行为表明存在最佳记忆m。在我们看来，短记忆不足以确定市场的波动状态，太长的记忆混合了不同的状态，然后大部分信息在平均水平上丢失，这就证明了这种行为的合理性。所有这些都如图5所示，其中计算了模拟时间序列的每个自相关函数与作为m函数的真实数据的自相关函数之间的均方误差。

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2022-5-5 07:11:14

可以注意到，内存m存在一个最佳值，使模拟数据的自相关性接近真实数据的自相关性。对于第2.3节中描述的WISMC模型，这需要在定义加权指数Uλnin（20）时指定函数f。让我们简要回顾一下，真实市场的波动性是长期的正自相关，然后在时间上聚集。这意味着，在股票市场中，高频金融中存在高和低半马尔可夫模型：回顾130 50 100 150 20000.0050.010.015记忆（m）均方误差图5。真实数据和合成数据的自相关函数之间的均方误差，作为记忆值m的函数。波动。基于这一经验事实，我们假设，转换概率也取决于市场处于高波动期还是低波动期。与索引半马尔可夫模型相比，我们决定使用更合适的F表达式。我们使用返回平方的指数加权移动平均（EWMA），其表达式如下：f（Jn-1.-k、 a，λ）=λTn-aJn-1.-kPn-1k=0PTn-K-1a=Tn-1.-kλTn-a（28），因此指数过程变为λn=n-1Xk=0Tn-K-1Xa=Tn-1.-kλTn-aJn-1.-kPn-1k=0PTn-K-1a=Tn-1.-kλTn-A.（29）指数Uλ也被离散为低、中低、中、中高和高波动性的5种状态。分析中使用的离散化示例如图6所示。鉴于指数函数中存在参数λ，我们测试了作为λ函数的自相关行为。请注意，在定义指数变量时，EWMAI对所有之前的收益平方及其权重进行了计算。在总结所有过去的回报之前，我们决定检查是否存在更好的记忆时间m。

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何人来此

2022-5-5 07:11:17

出于这个原因，我们也对照其他参数检查了我们的模型。使用此选择公式14 Guglielmo D\'Amico、Filippo Petroni和Flavio Prattico 1 2 3 EwmicontinuousdiscretizedFigure 6。索引值的离散化。（29）的形式为：Uλn（m）=n-1Xk=n-mTn-K-1Xa=Tn-1.-kλTn-aJn-1.-kPn-1k=n-mPTn-K-1a=Tn-1.-kλTn-A.（30）在图7中，我们显示了所分析的四只股票以及不同m和λ的实际和模拟收益（指数过程使用定义（30））之间的∑（τ）均方误差。让我们考虑一下图7所示的结果：m应尽可能大，然后定义（29）是合适的，只要λ小于1，在最后一种情况下，定义（29）相当于无权重的移动平均值，结果在[8]中表示为m。在图8中，我们再次显示了均方误差，但仅作为权重λ的函数，然后使用定义（29）进行指数过程。我们可以注意到，即使λ的最佳值对于所有被分析的岩块都不相同，但对于不同的被分析岩块，其行为非常相似。因为可以看到菲亚特、埃尼、安联和大众的最佳λ值分别为0.96、0.97、0.97和0。分别为98。图9显示了各股票λ最佳值的自相关与实际数据之间的比较。该图显示，真实数据和合成数据对收益平方的自相关函数几乎相同。4.总结：我们通过半马尔可夫模型对金融价格变化进行了建模。我们的工作是由市场中存在的低波动和高波动时期推动的。simplesemi-Markov模型和索引半Markov模型能够捕捉真实数据中收益平方的几乎所有相关性。

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2022-5-5 07:11:21

这两个模型之间的比较表明，ISMC模型很好地再现了市场收益的行为，这得益于将过去的波动率用作记忆指数。我们已经证明了高频金融中的时间长度半马尔可夫模型：回顾150 50 10000.010.02Fiat0 50 10000.010.02ENI0 50 10000.010.02Allian0 50 10000.010.02VolksWagenmemory（m）均方误差0.9h 0.92h 0.94h 0.96h 0.98h 1图7。真实数据和模拟数据的自相关函数之间的均方误差，作为m的函数，以及λ.0.9 0.95 100.0050.01Fiat0的不同值。9 0.95 100.0050.01ENI0。9 0.95 100.0050.01安联。9 0.95 100.0050.01大众银行最小错误图8。真实数据和模拟数据的自相关函数作为λ.16 Guglielmo D\'Amico、Filippo Petroni和Flavio Prattico0 50 10000.10.20.3h=0.96Fiat0 50 10000.10.20.3h=0.97ENI0 50 10000.10.20.3h=0.97Allianz0 50 10000.10.20.3h=0.98VolksWagentime（min）相关性的函数之间的均方误差真实数据合成数据图9。分析股票的真实数据（实线）和合成（虚线）时间序列的自相关函数。在重现正确的自相关持久性方面，记忆的变化确实起着关键作用，这表明存在一个最佳值。相反，WISMC模型的结果表明，如果将过去的波动率用作指数加权指数，该模型能够比ISMC模型更准确地再现市场收益行为。

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