基于agent的货币涌现模型中的多尺度边缘效应

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Multiscaling edge effects in an agent-based money emergence model》
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作者：
Pawe{\\l} O\\\'swi\\k{e}cimka, Stanis{\\l}aw Dro\\.zd\\.z, Robert
G\\k{e}barowski, Andrzej Z. G\\\'orski, Jaros{\\l}aw Kwapie\\\'n
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
An agent-based computational economical toy model for the emergence of money from the initial barter trading, inspired by Menger\'s postulate that money can spontaneously emerge in a commodity exchange economy, is extensively studied. The model considered, while manageable, is significantly complex, however. It is already able to reveal phenomena that can be interpreted as emergence and collapse of money as well as the related competition effects. In particular, it is shown that - as an extra emerging effect - the money lifetimes near the critical threshold value develop multiscaling, which allow one to set parallels to critical phenomena and, thus, to the real financial markets.
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中文摘要：
一个基于代理的计算经济玩具模型，用于从最初的易货交易中产生货币，该模型的灵感来自门格尔的假设，即货币可以在商品交换经济中自发产生，受到了广泛的研究。然而，所考虑的模型虽然可以管理，却非常复杂。它已经能够揭示可以被解释为货币出现和崩溃的现象以及相关的竞争效应。特别是，研究表明，作为一种额外的新兴效应，接近临界阈值的货币寿命会发展成多尺度，这使得人们能够将临界现象与真实金融市场进行类比。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Physics and Society 物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Multiscaling_edge_effects_in_an_agent-based_money_emergence_model.pdf
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mingdashike22

2022-5-5 07:26:35

基于代理的mone-yemergence模型中的多尺度边缘效应Pawe l O’swie,cimkaa，Stanis law Dro˙zd˙za，Robert Ge,barowskib，Andrzej Z.G’orskia，贾罗斯·劳·夸比纳复杂系统理论系，美国联邦理工大学波利沙学院核物理研究所。波兰克拉科夫理工大学物理、数学和计算机科学学院，波兰克拉科夫24、31-155，波兰克拉科夫，波兰理工大学物理、数学和计算机科学学院，拉兹科夫斯基戈152，31-342克拉科夫，基于代理的计算经济玩具模型，用于从最初的易货交易中涌现货币，其灵感来自门格尔的假设，即货币可以在商品交换经济中自发出现，被广泛研究。然而，所考虑的模型虽然可以管理，但非常复杂。它已经能够揭示可以被解释为货币出现和崩溃的现象以及相关的竞争效应。特别是，研究表明，作为一种额外的涌现效应，接近临界阈值的货币寿命会发展成多尺度，这使得人们能够将临界现象与真实金融市场进行平行。PACS编号：89.65。生长激素，05.45。Df，05.70。Jk1。导言一种通常被称为金钱的现象的极端复杂性来自几个因素。从当代的角度来看，作为一个外汇（Forex）市场，它可以被认为是世界上最大、最重要的金融市场，完全分散，横跨所有国家，最高的日交易量达到数万亿美元。有大量证据[1]表明，外汇的动态比任何其他市场的动态都要复杂。缺乏独立的参考框架使得绝对货币定价几乎不可能，给定货币的价值是通过某种其他货币来表达的，而另一种货币也仅以货币计价。

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大多数88

2022-5-5 07:26:38

此外，在全球范围内，外汇市场受到世界各地其他市场当前形势的影响，这使得外汇市场特别敏感和不可预测。这些事实（1）2 2018年10月17日印刷的文本，以及其他外汇特殊关系，如联系三种货币相互汇率的三角形规则[2,3]，是造成外汇结构高度复杂[4,5,6]的因素之一。货币作为一种通用交换媒介的复杂性，使其能够避免易货贸易的困难，这种易货贸易需要“需求的双重巧合”，并构成价值的衡量和存储，甚至可以追溯到其起源。门格尔[7]提出货币可以在商品交换经济中自发产生。因此，每种商品都有其自身的适销性，反映了其在市场中的地位。货币是一种商品，通过类似于物理自发对称性破缺[8]的过程，它获得了非常高的适销性和特殊的交换媒介地位[9]。Katsuhito[10,11]根据最初的Menger的想法开发了一个模型，并证明了货币是由一种所谓的引导机制控制的，也就是说，它在任何时间、任何地点都被接受，因为它处于货币的位置。Yasutomi[12,13]和G\'orski等人[14]进一步研究了这种模型的基于代理的变量，他们通过数值模拟证明，它们能够揭示货币的出现及其崩溃。总的来说，基于代理的模型[15,16]在经济学[12,17,18,19,20,21]和社会科学[22,23,24,25,26]的各个领域中发现了越来越多有前景的应用[27,28,29]，并且越来越有力地表达了对这种相关现象进行研究的必要性，尤其是在经济背景下[27,28,29]。

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大多数88

2022-5-5 07:26:41

基于所有这些原因，在本文中，我们进一步基于一个基于代理的模型进行模拟，该模型从最初的易货交易能够自发地将其中一个社区提升为货币状态。我们特别关注同质商品和新兴货币阶段之间的过渡区域，旨在通过多重分形标度确定这种过渡的复杂性特征。下面我们列出了所用模型的主要成分。2.模型在模型[12,14]中，我们有N个代理，每个代理产生一种类型的货物，由k=1，N为了简单起见，我们假设代理人编号k产生了一个由k表示的良好类型。两个代理人的基本互动（“交易”）包括几个步骤，包括搜索共同交易商、交换特定商品、改变代理人的购买偏好，以及最终的生产和消费阶段。N个连续事务的序列称为回合。在一轮中，N个代理人中的每一个都有机会参与商品交换、生产和消费。对于每个代理，比如k，2018年10月17日打印的AttributeText是三个N维向量。占有向量P（k）i，i=1，N，具有非负整数分量，表示目前第k个代理拥有第i个商品的多少个单位。需求向量D（k）i实际上是一个“购物清单”，也就是说，它计算代理人k将要购买多少i类商品。最后，具有非负实分量的“世界视图”向量V（k）i与kth代理的购物偏好有关。这些偏好会随着时间的推移而变化，这取决于其他经纪人（共同交易者）的偏好以及交易者之前交易的成功与否。向量V（k）iis根据toNXi=1V（k）i=N标准化，k、 0≤ V（k）i≤ N

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2022-5-5 07:26:44

（1） V（k）i的值越高，就越愿意购买代理k的商品。此外，在任何第k个代理的每次迭代中，都有一个属性明确的整数w（k）等于数字j=1，N指第j位代理人生产的第k位代理人目前急需的货物。这样的商品被独立于KTH代理商偏好（V（k）i）列入购物清单。购物清单上的其他商品将根据“世界观”（偏好）向量的值添加。特别是，如果向量Vi的分量i的值大于模型的唯一外部参数Thresh∈ [0，N]，我将把它添加到购物清单中。模型算法由以下步骤定义：步骤1。代理人（“交易者”）k是随机选择的。第二步。交易者k选择一个拥有大量通缉货物w（k）的共同交易者（比如，代理人l）。第三步。两个交易者都会检查他们拥有什么和想要什么。第四步。交易员们交换意见。首先，如果他们之前的需求没有得到满足，即D（n）j>0，他们会将组分V（n）（n=l，k）的值增加1.0==> V（n）j→ V（n）j+1（n=l，k）。然后两个交易者都接受一个平均值：V（n）j→ [V（k）j+V（l）j]/2（n=l，k）。最后，根据条件（1）重新规范化新视图。第五步。交易者创建他们的“购物清单”，即他们决定要买什么。对于交易者k：如果P（l）j>0∧（w（k）=j∨V（k）j>T hresh）==> D（k）j=P（l）j，否则D（k）j=0。同样是对称的（k<-> l）对于所有类型的商品，j=1，N.4 2018年10月17日打印的文本第6步。交换程序。交易者根据他们的购物清单D（n）j，n=l，k，j=1，N

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kedemingshi

2022-5-5 07:26:48

如果两个购物清单（需求）上的商品总量相同，PjD（k）j=PjD（l）j，则他们的需求完全满足，购物清单归零。如果一个交易者（例如，k）的购物清单大于其合作交易者的购物清单，那么交易者k的所有需求都无法满足。因此，在交换之后，向量D（k）j将具有非零分量，用于无法购买的商品。在这种情况下，购物清单（k）较大的交易者只能部分满足他的需求。特别是，他从他的合作交易者中选择了一个单位的好j，其中D（k）j的成分最小（即，代理人更喜欢获得更稀有的商品）。此过程逐单元重复，直到购物清单D（l）jis归零。如果其中一名交易员的购物清单为空（所有成分均为零），则根本没有交易，整个交易在没有任何交易的情况下完成。但是请注意，尽管如此，世界视图向量的更新已经完成（步骤5）。同样在这一步中，两个交易者的过程向量P（k），P（l）也会被更新。第七步。最后一步包括消费和生产。tradersk，l分别消费变量w（k），w（l）指定的商品。然后，如果P（k，l）=0，交易者产生一个单位的好k，l。最后，我们为交易者选择新的需求：随机选择变量w（k），w（l）的新值w（k）6=k。这结束了基本的交易过程。初始条件如下：P（k）j=δkj，D（k）j=0，V（k）j=1，和w（k）从集合{1，2，…，N}中为每个k随机选择。

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可人4

2022-5-5 07:26:51

特别是，最初的购物清单是空的，所有商家的“视图”都是相同的，对所有商品的分布都是相同的。在模型中，货币被定义为满足以下四个条件的商品：（i）这是所有代理人最想要的，即PkV（k）j/N最大化（=Vmax），对应于发挥货币作用的商品的j值；（ii）总贸易应不为零；（iii）与其他商品相比，货币应该相对频繁地交换；（iv）货币寿命应足够长（适用于许多行业）。图1显示了人口规模N=50的该模型主要特征的时间演化示例，其动态变量如下：（a）Vmax，（b）商品生产，（c）最想要的商品的供应，以及（d）“货币转换”点，即最想要的商品被另一种商品取代时的点。因此，在本模型中，连续时间点之间的距离被解释为“金钱寿命”。这些图是2018年10月17日打印的阈值文本50 2000 4000 80002000 4000 80001×102×103×10（a）（b）（c）（d）图1。N=50和阈值Thresh=2.5的模型行为。（a） Vmax的时间演化；（b）生产商品；（c）最想要的商品（“金钱”）的供应；（d）垂直线表示前10圈的“换钱”时间。Thresh=2.5，当N=50时，它标志着货币开始出现的区域的中心。从复杂性科学和金融现实的角度来看，这是最有趣的领域。图1的图（d）中所示的“货币寿命”结构表明了他们的分形组织，因此，在增加参数hresh值的同时，从无钱阶段过渡到货币阶段的关键特征。这在Fig.中更具启发性。

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2022-5-5 07:26:55

2显示T hresh=1.0和T hresh=2.5的连续“资金寿命”，以交易次数衡量。在前一种情况下，我们看到的是一种寿命很短的类似白噪声的结构，而在后一种情况下，充满商品的货币标准往往在多达35000个交易回合中占据主导地位。后一种情况下的整体结构显示出一种特征“挥发性聚类”，这是临界性和多尺度性的标志[17,30]。因此，在下文中，我们使用印于2018年10月17日的6文本现代形式主义，对当前模型的这一特定方面进行了更系统的定量研究。2.连续的“货币寿命”，以交易次数衡量，在此期间，给定的商品充满了作为货币的标准，模型的阈值参数Thresh=1.0（顶部面板）和Thresh=2.5（底部面板）的两个值。注意不同的尺度。多重分形[1]。对“货币转换”动态的多重分形分析多尺度[31,32]代表了一个普遍接受的概念，以把握复杂性的最本质特征。事实上，多重分形谱的相关度量提供了一个吸引人的紧凑框架，用于量化尺度层次及其交织组织的特定性。这尤其适用于复杂性的时间方面，因此非常适合当前的“货币转换”动态问题。目前，确定多重分形谱的算法主要有两种。通常提供最稳定结果的方法[33]构成了去趋势波动分析（DFA）[34,35]的自然延伸，被称为多重分形去趋势波动分析（MFDFA）[36]。

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2022-5-5 07:26:59

2018年10月17日印刷的文本7其他算法-小波变换模极大值（WTMM）[37,38]基于信号的小波分解。就结果的稳定性而言，该算法需要更加小心。然而，它同时可以更好地可视化相关结构。我们使用以下算法来分析这两个时间序列的一致性。3.1. MFDFA和结果MFDFA算法由以下几个步骤组成。首先，对于时间序列，根据以下等式计算xia信号曲线：Y（j）=jXi=1[xi- < x>]j=1。。。N、（2）式中，<>表示对长度为N的时间序列进行平均。然后，从时间序列的开始和结束处开始，将曲线分成长度为s的2ms离散段。对于每个框，通过最小二乘法拟合m阶多项式P（m）ν来估计假设趋势。根据我们自己的经验（O\'swi,ecimka等人2006），在目前的分析中，我们使用m=2作为最佳值。接下来，计算去趋势数据的方差：F（ν，s）=s∑sk=1{Y（（ν）- 1） s+k）- P（m）ν（k）}，（3）最后，通过对所有段ν上的F（ν，s）函数求平均值，根据以下等式导出aq阶函数：Fq（s）={2Ms∑2Msν=1[F（ν，s）]q/2}1/q，qR \\ {0}. （4）为了确定Fq（s）函数的统计特性，对不同的s值重复上述步骤。在分形时间序列的情况下，函数Fq（s）揭示了幂律依赖性：Fq~ sh（q），其中h（q）表示广义赫斯特指数。对于单分形时间序列，h（q）独立于q，等于众所周知的赫斯特指数h（q）=h。然而，在多重分形相关的情况下，h（q）依赖于q，并且在q=2时获得赫斯特指数。

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何人来此

2022-5-5 07:27:02

根据h（q）指数，可以根据以下方程计算多重分形谱：α=h（q）+qh′（q）和f（α）=q[α-h（q）]+1，其中α表示霍尔德指数，f（α）表示具有该特定α的点集的分形维数。对于多重分形时间序列，奇点谱的形状通常类似于一条倒抛物线，其宽度被视为多重分形程度的度量，因此它在2018年10月17日印刷的8个文本中缩小到一个点，即单分形的情况。通过使用这种方法，我们可以解决货币寿命时间序列中的相关性问题。对于该时间序列（如图1（d）或图2中所示），SOE评估的函数Fq（s）集合的标度s依赖性(-4.≤ Q≤ +4）关于货币出现的临界阈值，从Thresh=1.0到Thresh=3.5，步进为0.5，如图3所示。可以清楚地看到，这些函数在大约两个数量级的标度范围内发展成幂律形式。然而，相应幂律指数的q依赖性随着阈值参数T hresh显著变化，并且在T hresh=2.5左右，这种依赖性（此处为-4.≤ Q≤ +4）是最突出的，它标志着非平凡的多重分形。当从下方接近这个阈值时，多重分形的程度会系统地增加，但当超过这个阈值时，多重分形的程度会急剧下降。101102103104105 Fq（s）101102103104105 Fq（s）101102103104 Fq（s）101102103104 Fq（s）102103104 S10101102103104 Fq（s）102103104S10101102103104 Fq（s）Thresh=1.0 Thresh=2.0 Thresh=3.0 Thresh=3.5 Thresh=1.5 Fig。3.波动函数Fq（对于q=-4.

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2022-5-5 07:27:06

+4）对于阈值参数从Thresh=1.0到Thresh=3.5，步长为0.5的模型生成的货币寿命时间时间序列。图4给出了与图3相同的参数Thresh值序列的奇异性谱f（α）。事实上，最广泛的光谱——反映了2018年10月17日印刷的最复杂的底层文本900,20,40,60,81,21,41,61,82,22,2,4α0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,1Thresh=1.0Thresh=2.0Thresh=3.500,40,40,1,4α0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,1Thresh=1.0Thresh=1.5Thresh=2.0Thresh=3.0Thresh=3.0Thresh=3.0Thresh=3.500,20,40,6α0,60,8 Fig。4.奇异谱f（α），通过MFDFA算法计算，适用于与图3相同的原始货币寿命时间序列序列，以及（插图）适用于相同但随机的货币寿命时间序列。动力学[1]-对应于Thresh=2.5，在任何方向偏离该值都会使f（α）变窄，最大值向α=0.5移动，就像单分形不相关信号一样。将这些奇异性谱与随机（shuêed）数据的类似量进行比较，如图4的插图所示，清楚地表明了这一结果的重要性。在这种时间相关性的破坏之后，所有的光谱都变窄，并且位于α=0.5附近。因此，这种比较表明，代表连续货币寿命的时间序列的多重分形性质主要是由于长期的时间相关性。3.2. WTMM和结果如上所述，WTMM方法是检测信号分形特性的替代技术。该算法的核心是小波变换Tψ，它是信号x（i）和2018年10月17日打印的10个文本的卷积小波ψ[39]：Tψ（n，s）=sNXi=1ψ（i）- ns）x（i），（5），其中n表示小波核的移位，s表示尺度。

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mingdashike22

2022-5-5 07:27:09

特别是小波核ψ可以任意选择。唯一的标准是它在空间和频率域的良好定位。为了进行分析，我们选择了高斯ψ（3）（x）=ddx（e）的三阶导数-x/2），因为它去除了可以用多项式逼近到二阶的趋势。在数据中存在奇点的情况下，可以观察到Tψ系数的标度关系：Tψ（n，s）~ sα（n）。（6）然而，这种关系在密集的奇点情况下可能是不稳定的。因此，建议确定Tψ的局部极大值，然后根据方程Z（q，s）=Xl计算配分函数∈L（s）| Tψ（nl（s），s）|q（7），其中L（s）表示标度s的所有极大值的集合，nl（s）是特定极大值的位置。为了保持Z（q，s）函数族的单调性，需要附加条件：Z（q，s）=Xl∈L（s）（sups′）≤s|Tψ（nl（s′，s′）|）q.（8）在分形信号的情况下，τ（q）指数表征配分函数的幂律行为：Z（q，s）~ sτ（q）。（9）对于多重分形时间序列，τ（q）是q的非线性函数，反之则是线性函数。奇点谱由勒让德变换τ（q）得到，公式如下：α=τ′（q）和f（α）=qα- τ（q）。（10）图5显示了两个表示小波变换Tψ（n，s）的映射示例，这些小波变换是从与之前相同的货币寿命时间序列中计算出来的，对于我们的模型，T hresh=1.0和T hresh=2.5。这些信号的分形特征已经可以在2018年10月17日11日印刷的视觉文本上看到，从小波变换最大值的分叉结构中可以非常令人信服地表现出来。对于Thresh=2.5（右侧离岸）。

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能者818

2022-5-5 07:27:13

5）最大值的强度随标度的变化而变化，而对于Thresh=1.0（图5的左侧），它们在很大程度上保持同质，这表明在前一种情况下，与分形成分有关。当然，我们已经从之前的MFDFA分析中了解到，Thresh=2.5的情况是强烈的多重分形，而Thresh=1.0的情况基本上是单分形的，在这里我们找到了这一事实的替代迹象。根据上述WTMM算法，确定与inFig相同的六种情况下的模型阈值参数Thresh的奇异谱。4给出了图6所示的结果。比较MFDFA和WTMM的结果表明，即使在完全定量的水平上，趋势也基本相同：最广泛的奇异谱表征了货币出现临界阈值附近的动态。这些比较在图7中根据最大跨度的阈值参数相关性进行了整体总结在MFDFA和WTMM方法中获得的相应奇异谱的α。这两种方法一致指出Thresh=2.5是模型阈值参数的值（对于N=50），其中货币转换动态是最复杂的。图5。货币寿命时间序列的小波变换Tψ。左面板和右面板指的是相应地以treshold值T hresh=1.0和T hresh=2.5生成的时间序列。根据自然光光谱从蓝色（最小Tψ）到红色（最大Tψ）的128种颜色，在每个尺度上独立地对小波系数进行编码。计算中使用的小波是高斯（ψ（3））的第三个竞争。2018年10月17日打印的12个文本0,20,40,60,81,21,41,61,82,22,2,4α0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,1Thresh=1.0Thresh=2.0Thresh=3.0Thresh=3.50,20,4 0,6 0,8 1,1,2 1,1,4 1,1,6 1,8α0,20,60,8图。6.

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mingdashike22

2022-5-5 07:27:16

奇点谱f（α），通过WTMM算法计算，适用于与图3相同的原始货币寿命时间序列序列，以及（插图）适用于相同但随机的货币寿命时间序列。4.总结性评论我们使用基于代理的计算经济模型对货币的创造进行了广泛的数值模拟，根据Menger[7]最初提出的货币可以在商品交换经济中自发产生的路线进行了发展。这种模式下的货币被定义为最想要的商品。本文研究的这一模型的一个变体允许货币的出现和崩溃。该模型的可行性由唯一的外部参数Thresh决定，Thresh的大小反映了个体集体行动的倾向，并诱发记忆效应。最有趣的情况发生在没有资金出现的阶段和资金稳定的阶段之间的边缘。在这个中间区域，其中一种商品自发地成为普遍的商品，并在相当长的时间内保持这种地位，因此可以被视为货币。在这些边缘条件下，贸易动态的特点是一种永久性的竞争，这种竞争导致特定货币的崩溃和另一种商品的超越。2018年10月17日出版的一篇有趣的复述文章131,9 2,1 2,2,2,3 2,42,5 2,62,7 2,8 2,9 3,1 thresh0,30,60,91,21,5MFDFAWTMMFig。7.奇异谱的宽度α是模型阈值参数的函数。黑色圆圈和红色方块分别表示MFDFA和WTMM算法。我们在模拟过程中看到的相关影响是，在一对特定的商品中，这种情况经常交替发生。

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kedemingshi

2022-5-5 07:27:20

从暂时的角度来看，这可能可以解释为这种模式能够以两种货币竞争的精神产生影响，从而成为世界领先的货币（如美元对欧元）。从理论角度来看，最有趣的影响是，在边缘模型中出现的连续货币的生命周期形成了时间序列，形成了显著的多重分形特征，如两种独立算法所验证的：多重分形去趋势波动分析（MFDFA）和小波变换模极大值（WTMM）。被视为阈值参数函数的相应奇点谱（图7）的宽度代表物理系统中的λ形连续相变，最近甚至在复杂网络动力学中也发现了这种相变[40]。当接近临界点时，多重分形谱的跨度越来越大（因此复杂性也越来越高），这一转变可以与临界现象平行。自2018年10月17日印刷的14篇文本以来，当前模型产生上述效果的能力似乎非常苛刻。大多数自然的创造性行为通常被认为与临界性有关[41]。还有经验证据[42]表明，股票市场上连续的交易时间形成了多重分形的时间序列。有人可能会推测，目前的“货币终身”问题与股市的相互交易时间之间存在某种相似性：在给定的“终身”期间，货币是相同的；同样，价格可能只在交易过程中发生变化。从这个角度来看，交易时间可以被视为“价格寿命”。参考文献[1]J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，Phys。众议员515115（2012年）。[2] Y.Aiba，N.Hatano，H.Takayasu，K.Marumo，T.Shimizu，Physica A 310467（2002）。[3] S.Dro˙zd˙z，J.Kwapie˙n，P.O\'swi,ecimka，R.Rak，New J.Phys。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:27:23

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卡达诺·弗夫，I.普罗卡西亚，B.I.施莱曼，物理系。牧师。A 331141（1986年）。[32]H.G.E.Hentschel，I.Procaccia，Physica D 8435（1983）。[33]P.O\'swi,ecimka，J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，Phys。牧师。E 74016103（2006）。[34]C.K.Peng，S.V.Buldyrev，S.Havlin，M.Simons，H.E.Stanley，A.L.Goldberger，Phys。牧师。E 491685（1994）。[35]J.W.坎特哈特、E.科斯切尔尼·邦德、H.H.A.雷戈、S.哈夫林、A.邦德、Physica A 295441（2001）。[36]J.W.坎特哈特，S.A.兹奇涅，A.邦德，S.哈夫林，E.科斯切尔尼·邦德，H.E.斯坦利，Physica A 316，87（2002）。[37]J.F.Muzy，E.Bacry，A.Arneodo，Int.J.Chaos 04245（1994）。[38]A.Arneodo，E.Bacry，J.F.Muzy，Physica A 213，232（1995）。[39]A.Grossmann，J.Morlet，S.I.A.M.J.Math。肛门。15, 723 (1984).[40]M.Wili\'nski，B.Szewczak，T.Gubiec，R.Kutner，Z.R.Struzik，欧洲。菲斯。J.B 88，34（2015年）。[41]P.Bak，《自然如何运作：自组织临界性的科学》，斯普林伯格，纽约，1996年。[42]P.O\'swi,ecimka，J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，Physica A 347626（2005）。

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