OREM A.1需要以下假设。假设A.1。假设是这样。）var[^Mδ]→ var[M（T）]asδ↓ 0.ii.）函数γ（u）是连续可微分的。定理A.1。假设c是通过α（δ，N）近似α=EM（T）的计算预算。假设A.1成立。然后，绘制N=O（c）试验并选择时间步长δ=O（c）是渐近最优的-1） 使均方根误差（RMSE）最小化，该均方根误差在mostO（c）处给出RMSE-).证据通过使用假设A.1，我们得到var[α（δ，N）]=NNXj=1var[^Mδj]=var[^Mδ]→ var[M（T）]（A.1）asδ↓ 0.注意e[（α（δ，N）- α） ]=var[α（δ，N）]+（α- E[Mδ]=Nvar[Mδ]+（E[M（T）-^Mδ]）。第一项渐近地受O（N）约束。第二项可以在每个采样路径上有界。观察| M（T）-^Mδ|=sup0≤T≤TZ（t）- sup0≤T≤T^Zδ（T）≤ sup0≤T≤T|Z（T）-^Zδ（t）|。每一次≤ t<ti+1且i=1，δT/Z-^Zδ（t）|=B（t）+Zttiγ（u）du- （B（t）+γi（t）- ti））≤Zttiγ（u）du- γi（t）- （ti）,≤ mδ，其中m=sup0≤T≤Tγ（T）是常数。最后一个不等式后面是泰勒定理和γ（u）连续可微的假设。因此，E[（M（T）-^Mδ）]≤ mδ。（A.2）通过组合（A.1）和（A.2），我们得到了[（^α（δ，N）- α） ]≤ 对于足够小的δ，mδ+Nvar[m（T）]（A.3）。设k为生成Ofi=supti的精确样本所需的恒定时间≤T≤ti+1^Zδ（t）。绘制N个^Mδ=max1的独立样本所需的总计算预算≤我≤T/δOiisc=k·T/δ·（N+1）。因此，通过选择N=O（c）和δ=O（c），可以最小化（A.3）的右侧-).此外，我们可以得出结论，RMSE是O（c）-).B定理6.1的证明。我们考虑两种不同的情况。首先，假设ω∈ {τ ≤ }.

然后，我们有了（Z（t））0≤T≤∧τa∈ dωZ() = 十、Q（Wt）0≤T≤∧τa∈ dωW= 十、=P（Z（t））0≤T≤τa∈ dω，Z() ∈ dx/P（Z）() ∈ dx）Q（Wt）0≤T≤τa∈ dω，W∈ dx/Q（W）∈ dx）=P（Z（t））0≤T≤τa∈ dω· P（Z）() ∈ dx | Z（τa）=a）Q（Wt）0≤T≤τa∈ dω· Q（W）∈ dx | Wτa=~a）×Q（W∈ dx）P（Z）() ∈ dx）。最后一个等式是利用布朗运动的强马尔可夫性质得到的。ObservethatP（Z() ∈ dx | Z（τa）=a）Q（W∈ dx | Wτa=~a）=exp2( - τa）十、- ~a-Zτaγ（u）du- （十）- a） ！=exp（ψ（ω））。从（5.3）开始，我们有（Z（t））0≤T≤τa∈ dωQ（Wt）0≤T≤τa∈ dω= 经验（硕士） + ~ma）·P（I=1 |ω）。因此，lettingc，exp（ma + ~ma）·Q（W∈ dx）P（Z）() ∈ dx），我们可以得出这个定理。类似地，在ω∈ {τ ≥ }, 我们有（Z（t））0≤T≤∧τa∈ dωZ() = 十、Q（Wt）0≤T≤∧τa∈ dωW= 十、=P（Z（t））0≤T≤∈ dω/P（Z）() ∈ dx）Q（Wt）0≤T≤∈ dω/Q（W）∈ dx）=c·P（I=1 |ω）。C定理6.2定义C.1的证明。表示BBx→yuto是[s，t]上从x到y的布朗桥。Letp（s，x；t，y），P0<BBx→yu<2，尽管如此∈ [s，t]0<BBx→余，为了你∈ [s，t].在Chen和Huang（2013）中，证明了对于任何s<t和x，y∈ [0,2]，我们有p（s，x；t，y）=1-P∞j=1（θj- θj）1- 经验(-2xy/（t）- s） ），（C.1），其中θj（s，x；t，y），exp-2（2j）- x） （2j）- y） t- s+ 经验-2（2（j）- 1） +x）（2（j）- 1） +y）t- sθj（s，x；t，y），exp-2j（4j+2（x- y） ）t- s+ 经验-2j（4j- 2（x）- y） t- s.定理6.2的证明。设BB（t）=1-是一个条件为BB（0）=1和BB的布朗桥吗() = 1.- r、 然后，我们有q（τa）≥ ) = Q(-A.≤ Wt≤ a | W= x、 W=0=Q（0）≤ BB（t）≤ 2，所有0≤ T≤ )= p（0，1，, 1.- r） QBB（t）≥ 0，为所有人0≤ T≤ .最后一个等式由陈和黄（2013）的第23页得出。

利用布朗桥的极大值分布，我们得到了QBB（t）≥ 0，为所有人0≤ T≤ = 1.- 经验-(1 - r）.定理的第二部分很简单。图3：通过离散化和精确方法计算的RMSE的收敛性。10210310-310-2时间（秒）RMSE离散方法精确方法精确格式的收敛速度为O（t）-1/2），且离散格式的收敛速度为O（t）-2/5).表2：估算E[M]的模拟结果(∞)] 在模型（8.1）测试步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，步骤，平均，90%的词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词词6100000 1.12E-03 1.0484[1.0433，1.0512[1.0433，1.0433，1.0512[1.0433，1.0433，1.0512]2.56E-03 1.0470[1.0428，1.0428，1.0512[1.0428，1.0512[1.0433，1.0512[1.0433，1.0433，1.0512]2.56E-3[2.56E-3 8，1.56E-3 8，1-3 8，1-3 8，1.5，1-3 8，1.5，1.28，1.048，1-3 8，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5，1.5 12，1.5，1，1.5，1.12[1.5[2.5[1.5[2.5[2.5[2.5[2.5[2.5[1.0566]4.95E-03 0 4.95E-03 26550000 NA 1.0421[1.0348,1.0494]4.43E-03 0 4.43E-03 341100000 NA 1.0453[1.0401,1.0504]3.13E-03 0 3.13E-03 69015000NA 1.0458[1.0416,1.0500]2.56E-03 0 2.56E-03 1049200000 NA 1.0468[1.0432,1.0504]2.21E-03 0 2.21E-03 1484