非平稳反射布朗运动的精确模拟

2022-5-5 08:14:40

非平稳反射布朗运动的精确模拟Mohammad Mousavi*, Peter W.Glynn+2018年11月5日摘要本文提出了第一种方法，用于精确模拟具有非平稳漂移和微小方差的反射布朗运动（RBM）。在任意时间t生成非平稳RBM的精确样本的运行时间由O（1/？）γ一致限定，其中，？γ是过程的平均漂移。该方法可用于规划具有非平稳到达率和/或服务时间的复杂排队系统的仿真。*对应的作者。斯坦福大学管理科学与工程系，电子邮件：mousavi@stanford.edu，网址：www.stanford。埃杜/~穆萨维。+斯坦福大学管理科学与工程系，电子邮件：glynn@stanford.edu，网址：www.stanford。埃杜/~格林。1简介本文研究了具有非平稳漂移和极小方差的反射布朗运动（RBM）的精确模拟。我们对该模型的兴趣源于这样一个事实，即RBMis通常被用作单站队列的程式化表示（并且经常被用作提取重交通中队列的数值近似值的模型）；见伊格哈特和惠特（1970年）。在排队模型的许多（实际上是大多数）实际应用中，由时间、星期或季节性影响引起的到达率和/或服务时间要求存在非平稳性。此外，在某些情况下（如在生产或库存环境中），当产品进入市场或过时时，也可能存在与产品需求上升或下降相关的非平稳性。

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2022-5-5 08:14:44

在此类应用中，对工作量过程X=（X（t）：t的简化描述≥ 0）是假设它满足随机微分方程（SDE）dX（t）=u（t）dt+σ（t）dB（t）+dL（t），（1.1），其中L=（L（t）：t≥ 0）连续非递减过程是否满足i（X（t）>0）dL（t）=0≥ 0，B=（B（t）：t≥ 0）是标准布朗运动，且u=（u（t）：t≥ 0）和σ=（σ（t）：t≥ 0）是给定的（可测量的）确定性函数。请注意，这种风格化的模型允许分别指定瞬时漂移和波动率，这与排队文献中之前研究过的非平稳M（t）/M（t）/1模型不同（例如，参见Massey（1981）），其中瞬时漂移必须始终匹配瞬时波动率。假设X（0）=X，我们的目标是提供一种算法，用于生成复杂度在t内有界的X（t），至少当X完全清空时，几乎可以肯定（a.s.）。如果系数函数是平稳的（因此u（·）和σ（·）是常数），我们发送t→ ∞, 有证据表明，这是一个非平稳的模拟，精确模拟了正循环马氏过程。因此，我们使用术语“精确模拟”来指代我们的非平稳问题。当然，如果RBM具有平稳漂移和微小方差，则X的瞬态和稳态分布以闭合形式已知，无需进行模拟。在非平稳的情况下，跃迁密度p（t，x，y）dy(= P（X（t）∈ dy | X（0）=X）将被期望满足Kolmogorov正偏微分方程（PDE）sp（s，x，y）=σ（s）yp（s，x，y）-u（s）yp（s，x，y），0<s≤ t、（1.2）受P（X（0）约束∈ dy |X（0）=X）=δX（dy）和σ（s）yp（s，x，0）- u（s）p（s，x，0）=0，0<s≤ t、与静止情况不同，该偏微分方程没有已知的闭式解，需要进行数值求解。

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2022-5-5 08:14:47

本文为数值求解上述偏微分方程提供了一种高效的计算方法，尤其是当感兴趣的时间范围t较大时，这种方法更具吸引力。如上所述，X可用作研究具有非平稳动力学的队列的基础模型。但在许多应用中，我们更愿意使用“更细的颗粒”和更现实的模拟模型，而不是RMB本身，作为所考虑的真实世界系统的数学描述。人们直觉地认为，这样的模型会“失去记忆”，也就是说，t时刻的分布往往对t时刻的状态不敏感- u、只要u足够大。在存在这种不敏感的情况下，可以（例如）在时间t将系统初始化为空状态- u并仅在[t]上执行细颗粒模拟- u、而不是[0，t]，从而产生显著的计算节省。因此，确定适当的u值具有重要意义。虽然估计基础详细模型的“记忆损失”将是一个极大的挑战，但我们将在第2节中通过耦合论证论证，即简化RBM模型的“记忆损失”很容易估计。然后，可以使用非平稳RBM的模拟来确定详细模型应选择多大的u（可能是通过将RBM的Ub值乘以系数2，以考虑模型近似误差）。因此，非平稳RBM可以被视为更复杂的详细排队模拟的模拟规划工具，这与Whitt（1989）和Asmussen（1992）认为具有平稳动力学的RBM是规划稳态排队模拟的合适工具的观点相同。我们顺便注意到，当u（·）和σ（·）是周期性的（具有相同的周期）时，我们的问题会出现一种特殊情况。

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kedemingshi

2022-5-5 08:14:50

对于这样的周期模型，各种理论结果是众所周知的；例如，见哈里森和莱蒙（1977年）、海曼和惠特（1984年）、阿斯穆森和托里松（1987年）、班波斯和沃兰德（1989年）。此外，当u（·）和σ（·）是随机的（但与B=（B（t）无关）：t≥ 0），模拟X的问题简化为在u和σ条件下考虑的确定性情况。这样，我们的方法可以用非马尔可夫u和σ覆盖（例如）RBM。本文的剩余部分组织如下：第2节讨论了如何规划具有非平稳输入的排队模型的模拟。第3节和第4节介绍了时间相关RBM的主要模拟方法。第5节和第6节解释了实施细节。第6节分析了算法。第7节给出了数值结果。2非平稳排队模型的规划模拟此处的目标是研究非平稳RBM X“丢失内存”的速率。鉴于我们在导言中的讨论，我们希望具体回答以下问题：我们必须选择多大的u才能使RBM在时间t开始-空闲状态下的u（即系统中没有工作负载）的分配时间t将接近RBM初始工作负载x的时间0？为了0≤ s≤ t、 let（Xs（t）：t≥ s）是（1.1）的解，条件是Xs（s）=0，并让k·k为总变差范数。另外，设置^vt=sup{r∈ [0，t]：X（r）=0}如果X在[0，t]上不访问0，则vt=-∞.提议2.1。为了0≤ s≤ t、 kP（Xs（t）∈ ·) - P（X（t）∈ · | X（0）=X）k≤ P（~vt）≤ s | X（0）=X）。命题2.1回答了我们的问题：对于给定的误差容限, 我们应该选择你这样≤ T- u | X（0）=X）=P（t- ■vt≥ u | X（0）=X）≤ .命题2.1的证明。LeteY（t）=Ztu（s）ds+Ztσ（s）dB（s）fM（s，t）=- infs≤R≤0的teY（r）≤ s≤ T

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2022-5-5 08:14:53

众所周知，以X（0）=X为条件的SDE（1.1）的解可以用Ey进行明确的比较；具体来说，X（t）=X+eY（t）+sup0≤s≤tmax-十、-安永(s),0; （2.1）例如，见哈里森（1985）的第20页。关系（2.1）可以用asX（t）重新表示=eY（t）+fM（0，t）iffM（0，t）≥ x、 eY（t）+x如果M（0，t）≤ x、（2.2）我们可以通过注意到Xs（t）可以类似地表示为Xs（t）=eY（t）+fM（s，t）来耦合Xs到x。因此，Xs（t）=X（t）whenverfm（s，t）=fM（0，t）≥ x、但是fM（s，t）=fM（0，t）≥ 当x在[s，t]上访问0时，这相当于evt≥ s、因此，X和Xs之间的耦合建立了thatP（Xs（t）∈ · , ■vt≥ s） =P（X（t）∈ · , ■vt≥ s | X（0）=X，证明了supbP（Xs（t）∈ B）- P（X（t）∈ B | X（0）=X）≤ P（vt<s（0）=X）。因此，为了规划排队模拟，要模拟的关键随机变量（rv）是t- 另一方面，当X本身是利益的最佳模型时，我们的重点是X（t）。因此，我们在本文中的目标是有效地模拟这对（t- ■vt，X（t））。特别是，我们感兴趣的是生成（t）的算法- ■vt，X（t））具有独立于t的计算复杂性。为了实现这一目标，可以方便地使用（t）的分布等价表示- ■vt，X（t））。为了这个目的，莱蒂？（r） =eY（t）-eY（t）- r）是Ey的时间反转（时间从时间t反转）。我们现在表示t- 按时间反转Y？计算vt和X（t）？。注意x（t）=sup0≤s≤泰？（s），如果有，0≤s≤泰？（s）≥ x+Y？（t） x+Y？（t），如果有，0≤s≤泰？（s） <x+Y？（t）。（2.3）至于∧vt，它是（在{fM（0，t）事件中）≥ x} ）r的最大值∈ [0，t]其中（r）=inf0≤s≤雷伊（s）。因为vt是这样的最大值，并且y是连续的，所以eY（v）>inf0≤s≤泰（s）。为了v∈ [vt，t]。

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能者818

2022-5-5 08:14:57

因此，vtey=0≤s≤泰（s）。因为eY（·）在[0，t]上有一个唯一的极小值，~vt=arg min（eY（s）：0≤ s≤ t）。那么v是什么呢？t=t- 在哪里？t=arg maxY（s）：0≤ s≤ T.我们的结论是- ■vt=五、tif sup0≤s≤泰？（s）≥ x+Y？（t）∞ 其他的（2.4）因此，随机向量（t- ■vt，X（t））由五、t、 sup0≤s≤泰？（s） Y？（t）.最后，请注意（Y？（s）：s≥ 0）与过程y（s）=Zsu（r）dr+Zsσ（r）dB（r）具有相同的规律，其中u（r），u（t- r） σ（r）=σ（t- r）对于r≥ 因此，本节的其余部分与生成三元组（vt，M（t），Y（t））（D=（v？t，sup0）有关≤s≤泰？（s） Y？（t））），其中m（t）=max0≤s≤tY（s）（2.5）vt=arg max（Y（s）：0≤ s≤ t），and d=表示分布均匀。假设漂移函数和波动函数是周期性的。在不丧失普遍性的情况下，我们假定周期为一。在此周期设置中，u（·）=u（n+b-·) σ（·）=σ（n+b）-·)与n无关∈ Z+代表0≤ B≤ 1，我们上面的论点证明了（n+b- 根据（vn+b，M（n+b），Y（n+b））的联合分布可以确定vn+b，X（n+b））。此外，如果zu（s）ds<0，（2.6）那么Y（t）→ -∞ a、 s.as t→ ∞, 存在有限价值的rev的vb∞和Mb∞使（vt，M（t））→ （vb）∞, 兆字节∞)作为t→ ∞. 此外，X（n+b）=> 兆字节∞作为n→ ∞. 因此，如果（vt，M（t），Y（t））能够以独立于t的复杂度生成，那么就可以得到一个能够生成（n+b）的算法- 复杂度与n无关的vn+b，X（n+b））。

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2022-5-5 08:15:00

此外，如果Mb∞可以进行采样，这将转换为（X（n+b）：n平衡的精确采样算法≥ 0).这自然会导致本章要解决的关键问题的以下重新表述：在适当的假设下，提供生成M的算法(∞) 在有限的预期时间内，生成（vt，M（t），Y（t）），其复杂性与t无关。对于μ（·）和σ（·）的非周期性规范，Y（t）→ -∞ 作为t→ ∞ a、在美国，我们可以将上述问题的解决方案视为为为rv X（0）提供了一个精确的采样算法，假设UmingX当时已初始化-∞ 并根据漂移进行演变(-r）波动率σ(-r）弗尔∈ (-∞, 0]. 我们注意到Y（t）的一个充分条件→ ∞ a、 s.这是RTu（s）ds吗→ -∞,Rtσ（s）ds→ ∞, 和qrtσ（s）ds·log log（Rtσ（s）ds）Rtu（s）ds→ 0as t→ ∞. 这是根据B的重对数定律得出的ZtσdB（s）：t≥ 0D=BZtσ（s）ds: T≥ 0. （2.7）为了简化本文提示中的符号，我们将分别用u和σ表示u和σ。3我们在第2节中提出的第一个算法，我们在本文中的兴趣是有效地模拟三重态（vt，M（t），Y（t）），其中Y由Y（t）=Ztu（s）ds+Ztσ（s）dB（s）给出。（3.1）我们假设：假设3.1。函数u（s）和σ（s）是可区分的，对于t，σ（t）>0≥ 0.设置∧（t）=Ztσ（s）并设∧-1（·）是其函数的倒数。考虑到（2.7），Y与（Z∧（t））：t具有相同的定律≥ 其中z（t）=Ztγ（s）ds+B（t）（3.2）和γ（t），u（λ）-1（t））σ（λ）-1（t））。Setm（t），max0≤s≤tZ（s）ηt，arg max（Z（s）：0≤ s≤ t）。因为（vt，M（t），Y（t））D=（λ）-1（η∧（t）），m（λ（t）），Z（λ（t）））（3.3）表示t≥ 0和（v）∞, M(∞))D=（λ）-1(η∞), m(∞)),因此，我们的问题归结为（ηt，m（t），Z（t））和（η）的研究∞, m(∞)). 我们现在进一步假设：假设3.2。

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2022-5-5 08:15:03

存在d>0和‘γ>0，使得ztsγ（u）du≤ D- （t）- s） ·0的γ≤ s≤ t、假设3.2在（2.6）中的周期设置中明显简化。我们首先注意到ηtca可以在假设3.2下有界。观察ηt≤ η∞= arg max（Z（s）：s≥ 0)≤ sup{s≥ 0:Z（s）≥ Z（0）}=sup{s≥ 0:Zsγ（u）du+B（s）≥ 0} (3.4)≤ sup{s≥ 0:B（s）≥ γs- d} ，L.ButL=1/inf{r≥ 0:B（1/r）≥ γ/r- d} =1/inf{r≥ 0:rB（1/r）≥ γ - dr}D=1/inf{r≥ 0:B（r）+dr≥ γ}（3.5），1/H，自（rB（1/r）：r≥ 0）D=（B（r）：r≥ 0); 例如，见《卡拉扎斯和什里夫》（1991年，第104页）。我们得出结论，p（ηt）≥ u）≤ P（1/H）≥ u） =P（H）≤ 1/u）。鉴于H的逆高斯分布（见Karatzas和Shreve（1991）的第297页），我们得出了ηt概率的以下分析界。提议3.3。在假设3.1和3.2下，P（ηt≥ u）≤Z1/uγ2πx1/2exp-（dx）- γ）2xdx。这个界限可以直接用于帮助规划前面讨论的排队模拟。总的来说，我们预计这一界限会非常宽松，因此我们将通过在时间t将系统初始化为空状态来更好地估计u的近似值（对于X（t））- u）通过模拟ηtitself。然而，高估值（3.4）和（3.5）也非常有助于模拟ηt。具体而言，η和m（t）由（Z（s）：0确定≤ s≤ 五十）在t中是一致的，因此它们（η（t），m（t））的生成只涉及在有限的时间范围内模拟Z，与t无关。考虑到这种算法的第一步涉及生成L，（Z（s）：0≤ s≤ 五十）必须以L为条件进行模拟。幸运的是，关于B，conditionalon L的分布，我们了解了很多。

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2022-5-5 08:15:06

以L（B（s）为条件≤ 0≤ s≤ 五十）独立于（B（s）：s≥ 五十），（B（s）：0≤ s≤ 五十） D=√LB（s/L）+γs-sdL:0≤ s≤ L,和（B（L+s）：s≥ 0）D=（β（s）：s≥ 0），其中（B（s）：0≤ s≤ 1）是一个布朗桥过程，并且（β（s）：s>0）有一个分布givenbyP（β（·）∈ A） =P（B（·）∈ A | B（t）≤ γt代表t≥ 0).详见Bass（2011）第161页。这些结果导致以下采样程序（ηt，m（t））：算法1：精确采样（ηt，m（t））1从逆高斯分布生成随机变量H，平均值为u=’γ/d，形状参数λ=’γ；设置L=1/H，y=L′γ- d、 2让r=min{L，t}，在B（L）=y的条件下绘制布朗桥B（r）的样本，并计算Z（r）。3在Z（r）的条件下，绘制（ηr，m（r））的样本；见第6节。注意，对于t≥ 五十、我们有m（t）=m（L）和ηt=ηL。因此，该算法的运行时间不依赖于t。在下一节中，我们开发了一种更高效的算法，在该算法中，我们不需要在整个区间[0，L]上模拟Z来计算过程的最大值。4我们提出的第二种算法在本节中，我们提供了一种精确的采样方法来生成三元组（vt，M（t），Y（t）），其复杂度与t无关。特别是，该方法可用于生成（v∞, M(∞))通过指定t=∞. 如上所述，通过利用（3.3）中的时间变换∧（·），可以有效地生成（ηt，m（t），Z（t））的样本。该算法的核心思想是构造一个随机不相交区间（α，β）的有限序列，（αK，βK）使得Z的整体最大值出现在其中一个间隔上。假设我们可以生成一个样本路径Z，直到β，使得Z（β）大大低于m，即样本路径在[0，β]上的最大值。

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2022-5-5 08:15:10

在过程Z从未上升到m级的情况下，Z的全局最大值为m，该过程可以终止。否则，可以根据水平仪m的命中时间生成样本α，并从α开始重复该程序。我们证明了在引理7.2中，程序在每次迭代中至少以一个常数概率终止。因此，全球最大值是在有限的预期时间内实现的。图4展示了这个想法。图1：算法2生成的Z（t）的样本路径。m1m201.2.2红色曲线代表主导过程Ut。过程Z不需要在灰线上进行模拟。为了实现这个想法，我们需要以下主要组件：i.）生成（tζ，ζ，β）的采样机制。这里，β是过程zt达到预定水平的第一次击中时间，ζ是过程在区间[α，β]内的最大值，而tζ是最大值出现的时间。ii.）检查Z（s）是否提升了水平m（β）=sup0的测试程序≤U≤有时，你会感到沮丧≥ β.在第5节中，我们描述并分析了一种解决i.）的算法。对于ii.）而言，我们构造了一个常裂布朗运动Uβ=（Uβs:s）≥ β）主导Z（s）。LetUβs，d+Z（β）+B（s）- B（β）- （s）- β) · γ. （4.1）通过假设3.2，我们可以得出Z（s）≤ 所有人≥ β. 如果是βkUβks中的一个≤ m（βk）=sup0≤U≤这对所有人都适用≥ βk，那么m（βk）是Z的全局最大值。由于Uβ是一个恒定的漂移布朗运动，我们可以精确地描述它的首次击中时间分布（见引理7.2）。因此，我们可以很容易地检查Uβ是否达到m（β）级。下面，我们将详细说明算法。

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2022-5-5 08:15:13

可以生成（v）的精确样本∞, M(∞)) 通过设置t=∞.算法2：精确采样（vt，M（t），Y（t））1初始化k=1，ζ=α=0，ηt=0，并选择参数c>1和 > 0.2通过子程序5.1生成（tζ，ζ，βk）的样本，其中βk=inf{∧-1（t）≥ s≥ + αk:Z（s）≤ mk- cd}，（4.2）ζk=最大αk≤s≤βkZ（s），tζ是最大值出现的时间。3-如果ζk>mk，则更新mk+1=ζ和ηt← tζ。-否则，mk+1=mk.4样本αk+1=inf{s≥ βk:Uβks≥ mk}；如果∧，参见引理7.2.5-1（αk+1）<t，集k← k+1，然后重复步骤3中的步骤。否则，终止，并对t<∞ 以αk+1.6返回（λ）为条件-1（ηt），mk，Z（λ（t）））。在第7节中，我们证明了p（αk=∞) ≥ 1.- exp（2′γ（c- 1） d）。因此，算法终止于有限的迭代次数；称之为K。即使在t=∞; 见定理7.1。此外，它还表明βK≤ Li、 e，算法2生成的样本路径长度小于L，不依赖于t。注意，可以确定∧-1（αk+1）<tor not in log（αk+1），它与t无关。最后，值得一提的是，我们不需要在整个区间[0，βk]上模拟过程来计算sup0≤s≤βKZ（s），因为k=1，…，最大值不会出现在βk和αk+1之间，K-1.相比之下，上一节讨论的算法1要求在[0，L]上生成进程的完整路径（以L为条件）。

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2022-5-5 08:15:16

显然，这比算法2的计算成本更高。在下一节中，我们将讨论第2步，为Z（t）超有限区间的最大值生成精确样本。5与时间相关的漂移布朗运动的精确采样本节描述了对单位波动率与时间相关的漂移布朗运动及其在特定时间间隔内的最大值进行采样的精确方法，该方法可用作算法2步骤2中的子程序。该方法使用了一种类似于贝斯科斯和罗伯茨（2005）的接受/拒绝机制。Beskos和Roberts（2005）针对某些一维差异开发了一个接受/拒绝方案，用于精确模拟依赖于状态的差异。Beskos等人（2006年）提出了基于细化机制的验收指标生成方法。此外，在陈和黄（2013）中，这一方案被扩展到了更广泛的分歧类别。Gieseckeand Smelov（2013）将他们的方法推广到具有状态依赖系数和跳跃强度的跳跃差异。在这里，我们为依赖时间的差异开发了类似的机制。回想一下Z=（Z（t）：t≥ 0）是一个布朗运动，漂移γ（t）随时间变化，因此t时刻的位置由z（t）=B（t）+Ztγ（s）ds给出。（5.1）本节的目的是在执行时间Tf或间隔（v，u）的第一次退出时间（其中v<0且u>0）之前，生成最大Z的精确样本。更正式地说，我们生成（tζ，supt）的精确样本≤Tf∧τv，uZ（t），τv，u），其中τv，u=inf{t≥ 0:Z（t）/∈ （v，u）}是Z从区间（v，u）的首次退出时间，tζ是Zover[0，Tf]最大值出现的时间∧ τv，u]出现。

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2022-5-5 08:15:20

我们可以假设TFI等于单位，在这种情况下，生成第一次命中时间的精确样本是可能的。其关键思想是生成标准布朗运动的候选样本路径，并将其作为过程Z的样本路径，其概率与两个过程定律之间的似然比成正比。在定理5.1中，我们计算这个似然比。接下来，我们构造aBernoulli随机变量I，其中I=1，接受概率与亲缘比成正比，这表明候选人的接受度。设F=（Ft:t）≥ 0）是（5.1）中工艺Z产生的过滤，τ是该过滤的停止时间。设P=P（z；s，t）为σ-场F′τ上的概率测度∧由路径{Z（u）导出∧ τ）：s≤ U≤ T∧ τ}. 定理5.1提供了一个公式，用于计算P与F′τ上的等效度量Q=Q（z；s，t）之间的似然比∧tunder哪个{Z（u）∧ τ）：s≤ U≤T∧ \'τ}是标准布朗运动的路径，在\'τ}处停止∧ t、定理5.1。设Z（t）=B（t）+Rtγ（s）ds，γ（t）是一个连续可微函数，且¨τ是一个关于过滤F的有限值停止时间。然后对于任何事件B∈ F′τ∧t、 wehaveP（B）Q（B）=EQhexpγ(τ ∧ t） WQ′τ∧T-Z′τ∧tsγ（u）du-Z′τ∧tsγ（u）WQuduBi，（5.2），其中wqt是从WQs=Z（s）=Z开始的Q-布朗运动。该证明基于Girsanov定理和It^o公式。考虑一下超鞅=（M（t）：t≥ s）定义的byM（t）=exp-Zt∧τsγ（u）dB（u）-Zt∧τsγ（u）duNovikov条件保证M是鞅。根据Girsanov定理，dQdPF′τ∧t=M（t），Q下为过程WQt∧τ=z+B（t∧ τ ) - B（s）+Rt∧τsγ（s）ds=Zt∧τ是一个标准的布朗运动，从Ws=z开始，到t结束∧ τ .

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2022-5-5 08:15:24

根据It^o公式和γ（t）的微分假设，我们得到了γ（t）∧ \'\'τ）WQt∧\'\'τ=Zt∧τsγ（u）dWQu+Zt∧τsγ（u）WQudu+γ（s）Ws。因此∧\'\'τ=expZt∧τsγ（u）dB（u）+Zt∧τsγ（u）du= 经验Zt∧τsγ（u）dWQu-Zt∧τsγ（u）du= 经验γ（t）∧ \'\'τ）WQt∧τ-Zt∧τsγ（u）WQudu-Zt∧τsγ（u）du.因此，dPdQ=Mt∧\'\'τ=expγ（t）∧ \'\'τ）WQt∧τ-Zt∧τsγ（u）WQudu-Zt∧τsγ（u）duandP（B）=EQMt∧τI（ω）∈ B）= 情商Mt∧τBQ（B）。为了生成精确的Z样本路径，我们采用了Chen和Huang（2013）以及Giesecke和Smelov（2013）开发的定位方法。假设我们已经生成了一个精确的样本（Zu:u）≤ s）对于一些随机或固定时间s<Tf∧ τu，v.定义τa=inf{t≥ 0:| Z（t+s）- Z（s）|≥ a} ，其中a=min{u-y |，| v-y |，θ}对于某些θ>0的情况。通过遵循接受/拒绝程序，我们生成了Z（t）：s≤ U≤ s+（τa）∧ )对于某些参数.首先，考虑（WQu:s）的样本路径ω≤ U≤ s+τa∧ ), 其中τa=inf{t>0:|WQt+s- WQs|≥ a} 。为了便于说明，我们表示Wu=WQu+s- 0的WQS≤ U≤ τa∧, 这是测度Q下的标准布朗运动。现在，给定一个样本路径ω作为候选，我们构造了一个贝努利随机变量I，其成功概率成正比（I=1 |ω）∝dP（ω）dQ（ω）=expγ（τ+s）Wτ-Zτγ（s+u）武都-Zτγ（u+s）du,式中τ=τa∧. 候选路径ω被接受为Z（t）：s≤ T≤ s+(∧τa）如果I=1；否则，我们重复这个过程。伯努利指标I可以通过对双随机过程的跳跃时间进行采样来构造。连续可微分假设意味着γ（·）和γ（·）在时间间隔[s，s+]. 设m=maxt∈[s，s]+]|γ（t）|，且＠m=最大值∈[s，s]+]|γ（t）|。Let0≤ φt=γ（s+t）Wt+ma≤ 2ma，每0≤ T≤ . 设V为强度为φt的双随机泊松过程≤ T≤ .所需指示器可通过在[0，τ]中对V的跳跃时间进行采样而生成。

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2022-5-5 08:15:27

双随机泊松过程在区间[0，τ]内不发生跳跃的条件概率Rτφtdt.设EAN和Ebe为两个独立的指数随机变量，其强度λ=ma- γ（τ+s）Wτ≥ 0和λ=-Zτ+ssγ（u）du+ma( - τ) ≥ 0.伯努利随机I的成功概率可由p（I=1 |ω）=exp定义(-Zτ+ssφudu）×P（E>τ）×P（E>τ）。观察dp（ω）dQ（ω）=exp(-Zτ（γ（u+s）武都+ma）杜×expγ（τ+s）Wτ- ~ma）×exp-Zτ+ssγ（u）du+ma（τ）- )经验（硕士） + ~ma）=exp(-Zτφudu）×expγ（τ+s）Wτ- ~ma）×exp-Zτ+ssγ（u）du+ma（τ）- )经验（硕士） + ~ma）=P（I=1 |ω）×exp（ma） + ~ma）。（5.3）生成指数随机变量EAN和Eis非常简单。强度φ的上限为2ma，这使得我们可以通过用强度2ma细化泊松过程来模拟V的事件时间。这些属性有助于为提案框架的接受测试生成伯努利指标。更准确地说，让κ，κ，κb<τ是速率为2ma的泊松过程的跳跃时间，wκibe是i=1，…，的候选样本路径的对应值，b、设（U，U，…，Ub+2）为b+2均匀随机变量序列。我们接受候选路径if2maUi>γ（κi+s）Wκi+ma为1≤ 我≤ b（5.4）Ub+1<expγ（τ+s）Wτ- ~maUb+2<exp-1Zτ+ssγ（t）dt+am（τ）- ).按照Burq和Jones（2008）的方法，布朗运动WQI的出口时间τa的采样是可能的。此外，在Chen和Huang（2013）中，我们发现在τ之前的一系列实例中精确采样W是可能的。给出κ，κ，…，点的过程框架，κb，τ，我们可以对[0，τ]上的过程的最大值进行采样。对于每一个i=1，b、观察到fwt=Wt+a是κi的布朗弯曲≤ T≤ κi+1激活t≤ τa。

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kedemingshi

2022-5-5 08:15:31

Devroye（2010）中的Maxmeanderalgorithm生成了布朗均值最大值的精确样本，以及最大值出现在恒定预期时间内的时间。5.1程序概述为了方便读者，我们总结了我们的基本算法，用于生成特定时间间隔[0，~τ]内与时间相关的BM最大值的精确样本，其中~τ=Tf∧ τu，v.设ζ=sup0≤T≤ττZ（t）和tζ是最大值出现的时间。该算法生成三元组（tζ，ζ，Z)τ）。该程序可用作算法2步骤2中的子程序。初始条件为ζ=0，tζ=0，n=1，s=0，选择θ>0，然后 < Tf（见备注5.2）。子程序1：精确采样（tζ，supt≤)τZ（t），Z)τ1集a=min{u- Z（sn）|，v- Z（sn）|，θ}.2样本τa=inf{t≥ 0:| Wt |≥ a} )；参见Burq和Jones（2008）。3个跳跃时间κ，κ，κb<τa∧min{Tf-sn，} 速率为2ma的泊松过程。集κb+1=τa∧ min{Tf- sn，}.4样本Wκ，Wκ，Wκb，Wκb+1，Wτa；参见陈和黄（2013）第11页。5接受/拒绝提案框架Wκ，Wκ，如果条件（5.4）成立，Wκb，Wκb+1，Wτaas是骨骼样本（Zsn+κ，Zsn+κ，…，Zsn+κb，Zsn+κb+1）。-如果提案被拒绝，请转至步骤2。-如果建议书被接受，则设置sn+1=sn+τa∧ min{T- sn，}, 然后继续。6对于i=1，b、样本μi=supκi≤T≤κi+1wt和tui，以τaas为条件的[κi，κi+1]上最大值的位置——布朗曲流的最大值；参见Devroye（2010）中的MaxMeavder算法。如果ζ<ui，则更新ζ← ui和tζ← tui.7如果sn+1<t，则增加n← n+1，然后转至步骤1。否则，停止并返回（tζ，ζ，Zsn+1）。图2：子例程1生成的Z（t）在[sn，sn+1]上的采样路径。snsn+k1sn+k2sn+k3sn+k4Γ0- aΓ0Γ0+a1.2.3.4该算法的运行时间可以由O（1/| |γ|）限定。下面的定理说明了这个结果。假设5.1。

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2022-5-5 08:15:33

假设θ- θ（~m+m/2）≥ 2 log 2，其中m=supu≥0γ（u）和m=supu≥0γ（u）。定理5.2。假设3.1、3.2和5.1保持不变。对于每个y>0，让τ-y=inf{t≥ 0:Z（t）≤ -y} 。生成样本路径骨架的运行时间（Z（t）：0≤ T≤ τ-y）通过使用子程序，1可以用O来限定y+d+θ|γ|在期待中。证据设N为程序终止前的时间间隔数[sn，sn+1]。此外，假设τn=sn+1- n=1，N.根据引理5.3，我们可以证明E[R]，生成样本路径骨架的运行时间的期望值（Z（t）：0≤ T≤ τ-y） [R]≤ cmθemθ+ ~mθ（1+)E[N]（5.5）对于某些常数c。通过使用引理5.4，我们可以束缚E[N]。我们有ep[τ-（y+θ）]≥ E“NXn=1τn#≥ E“∞Xn=1I（n≤ N） EP[τN | Z（sn）]#≥ E[N].最后一个不等式来自引理5.4。因此，E[N]≤EP[τ-（y+θ）]。设∧τy+θ=inf{t≥ 0:B（t）-t·γ≤ y+θ+d}是主导恒裂谷布朗运动的第一次击中时间。很明显，τy+θ≤ ■τy+θ+dby假设（3.2）。从可选样本Theorem（Karatzas and Shreve（1991，第19页））中，我们可以得出以下结论：-（y+θ）]≤ EP[~τy+θ+d]≤y+θ+d |γ|。因此，我们得到[N]≤4（y+θ+d）|γ|. （5.6）根据不等式（5.5）和（5.6），我们得出结论E[R]≤4（y+θ+d）|\'γ| cmθemθ+ ~mθ（1+).因此，预期运行时间ER=Oy+θ+d |γ|.备注5.2。为了最小化运行时间期望的上限，我们可以选择 =mθ并选择θ，使假设（5.1）成立。试错法也可能有助于选择最佳方案 θ。引理5.3。假设（5.1）成立。生成（Z（t）：sn的基尔顿的运行时间预期≤ T≤ sn+1）isO（maema+ ~ma（1+)).证据

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2022-5-5 08:15:36

b的期望值，时间间隔[0，τa]内发生的速率为2ma的泊松过程的事件数∧ ] is2maEQ[τa∧ ].每i=1，…，从布朗弯曲处取样，步骤3中的b+1在恒定时间内是可能的。因此，为每个候选样本路径生成骨架的运行时间为iscma（1+EQ[τa∧ ])对于某些常数c，接受每个候选样本路径的概率isP（I=1）=exp(-文科硕士 - ~m）。因此，在接受发生之前生成的候选样本路径的预期数量为exp（ma+ ~m）。因此，生成（Z（t）：sn的骨架的预期运行时间≤ T≤ sn+1）位于莫斯迈玛+ ~ma（1+EQ[τa∧ ]) ≤ cmaema+ ~ma（1+)对于一些常数c.引理5.4。在假设（5.1）下，我们有ep[τn | Z（sn）]≥ /4，其中τn=inf{t≥ 0:| Z（t+sn）- Z（sn）|≥ θ}.证据通过应用定理5.1和等式（5.3），我们得到了PSUPU≤/2 | Z（u+sn）- Z（sn）|≥ θ!= EQ“Isupu≤/2 |吴|≥ θ!P（W）∈ dω）Q（W）∈ dω）#≤ exp（mθ）/2+~mθ）Qsupu≤/2 |吴|≥ θ!≤ 2 exp（mθ）/2+~mθ- θ/).最后一个不等式来自杜布的鞅不等式。根据假设（5.1），我们可以得出p（τn≥ /2） =Psupu≤/2 |祖+sn- Z（sn）|≤ θ!≥ 1/2.因此，我们有ep[τn | Zsn]≥P（τn）≥ /2) ≥.6依赖于时间的漂移布朗桥的精确采样本节提供了一种精确的方法，用于对单位波动率依赖于时间的漂移布朗桥的最大值以及该最大值出现的时间进行采样。我们将依赖于时间的裂谷布朗桥定义为一个依赖于时间的布朗运动，给定过程开始和结束时的规定值。设ZBr，r=（Z（t）：0≤ T≤ r）当Zr=y时，它是一个依赖于时间的漂移布朗桥。回想一下z（t）=B（t）+Ztγ（u）du。本节的目的是生成最大ofm（r）=sup0的精确样本≤s≤rZ（s）以Z（r）=y和出现最大值的时间η为条件。

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2022-5-5 08:15:39

正如我们在算法1中提出的那样，以Z（r）=yc为条件对联合变量（ηr，m（r））进行采样的过程可以用作生成（η）精确样本的子程序∞, 监督≥0Z（t））作为算法2的替代。虽然，正如我们前面讨论的，算法2比这种方法更有效。以Z（r）=y为条件生成（ηr，m（r））的精确样本的过程类似于子程序1，即依赖于时间的布朗运动的精确样本。主要区别在于，它使用布朗桥而不是标准布朗运动作为候选样本路径。我们接受这个候选者作为ZBr的样本路径，R的概率与两个过程定律之间的相似比成正比。定理6.1计算这个似然比。与子程序1类似，按照本地化方法，ZBr、rcanbe的采样路径在时间间隔内逐段生成[sn，sn+ ∧ τa]式中τa=inf{t≥ 0:| Z（t+sn）- Z（sn）|≥ a} 对于适当的参数a和并给出（sn，Z（sn））。假设sn+ < r、采样Z（sn+) 给定Z（r）=y很简单。设x=x-Zsn+γ（u）du，~y=y-Zrγ（u）du。注意这一点Z（sn+) ∈ dx | Zr=y，Z（sn）= PB（sn+) ∈ dx | B（r）=y，B（sn）,这是标准布朗桥的分布。布朗桥的抽样是众所周知的，人们可以方便地生成Z的抽样( + sn）给定Zr=y和Z（sn）。因此，必须在时间间隔[sn，sn+ ∧ τa]给定Z（sn）和Z（sn+). 通过使用时移，我们可以假设sn=0。

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2022-5-5 08:15:44

因此，问题归结为生成（η）的精确样本, sup0≤T≤Z（t）给定() = x、下一个定理提供了过程定律ZBr，以及astandard Brownian bridge，它被用作验收/拒收方案中的验收概率。定理6.1。假设γ（s）是一个连续可微函数，设τa=inf{t≥0:| Z（t）- Z（0）|≥ a} 。然后，对于一些常数c，我们得到（Z（t））0≤T≤∧τa∈ dωZ() = 十、Q（Wt）0≤T≤∧τa∈ dωW= 十、= cP（I=1 |ω）×eψ（ω），（6.1），其中ψ（ω）=如果τa为0≥ 2(-τa）（十）- §a）- （十）- ~a-Rτaγ（u）du）如果τa<,§a=Z（τa）=±a，P（I=1 |ω）在（5.3）中定义。证据在附录中。观察ψ（ω）≤ ~m/2（x+a+m）),式中，m=sup0≤T≤γ（t）。因此，很容易想象构造一个成功概率与exp（ψ（ω））成正比的伯努利随机变量。通过修改子程序1中的步骤2、3和4，可以构造指示器I。主要区别在于以W为条件的采样（τa，Wκ，Wκ，…，Wκb）= x、 κ，κ，κb<τa∧ 是速率为2ma的泊松过程的跳跃时间。该程序包括：样品（τa∧ , Wτa∧) 鉴于W= x、样本κ，κ，κb<τa∧ , 这是速率为2mA的泊松过程的跳跃时间。考虑两种不同的情况：-如果τa≤ , 样本Wκ，Wκ，Wκb条件on（τa，Wτa）。-如果τa≤ , 样本Wκ，Wκ，Wκb在W上的条件= x和τa≤ .生成（η）样本的程序的其他步骤, m()) 与子程序1中的步骤5和6完全相同。第2步是可行的，通过使用定理6.2，我们计算布朗桥和标准布朗运动的第一次击中时间分布之间的似然比。定理6.2。设τa=inf{t≥ 0:| Wt |≥ a} 成为标准布朗运动的第一次击球时间。

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2022-5-5 08:15:47

假设r=|x | a<1，那么我们有q（τa）≥ |W= 十）=1.- E-2(1-r）· p（0，1，, 1.- r），其中p（s，x，t，y）在（C.1）中定义。此外，对于某些常数c，我们有q（τa）∈ dt，Wτa=~a | W= x） Q（τa）∈ dt，Wτa=~a）=cg十、- ~a√ - T≤C√2πe·| a- |x| |（6.3）每t, 式中，g（·）是高斯函数，a=±a。函数p（s，x，t，y）的定义和定理的证明见附录。这个定理有助于上述步骤中的第2步。如果| x |>a，很明显τa<. 假设| x |<a.对指示剂I（τa）进行采样≥ ) 可以通过生成两个独立的均匀随机变量U和V来实现。IfU<p（0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,，, 1.- r）和V<1.- E-2(1-r）< 1为真，我们设置τa≥ , 确定U是否<p，, 1.- Chen和Huang（2013）中的命题4.1在有限时间内实现了2r）。定理6.2的第二部分有助于生成（τa，Wτa）的样本，该样本以τa< 而W= x、我们可以使用接受/拒绝方法。按照Burqand-Jones（2008）提出的方法，可以生成标准布朗运动的（τa，Wτa）样本。根据方程式（6.3），该样本可能被接受，概率与g成正比十、-~a√-T作为（τa，Wτa）的样本，假设τa< 而W= x、上述程序的第2步很清楚。此外，如果τa≤ , 生成Wκ，Wκ，Wκb，Wτa通过Chen和Huang（2013）中的程序（17）可以对τais进行补充。现在，如果条件（5.4）成立，我们可以指定I=1。在本部分的其余部分中，我们将详细介绍如何在一系列实例κ、κ、。

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2022-5-5 08:15:50

，κb<τa∧ 以W为条件= x和τ在这种情况下 < τa.LetfWt=1.-aWτa-taif Wτa=a1+aWτa-taif Wτa=-a、由于布朗运动的自相似性和时间反转特性，很容易验证fw=（fWt:0）≤ T≤τaa）是一个布朗过程，假设≤fWt≤ 2和FWTB+1=1-xa。因此，我们感兴趣的是在instancest=τaa的序列上生成样本OFW≥ T≥ . . . , ≥ 肺结核≥ tb+1，其中ti=τa-κIa对于i=1，b、设V=（Vt:tb+1）≤ T≤ t）假设Vtb+1=1，则为布朗曲线-xa和Vt=1。Devroye（2010年，第6节）讨论了（Vt，…，Vtb）的精确采样。我们可以生成随机向量（Vt，…，Vtb）的样本，并将其接受为（fWt，…，fWtb）的样本，概率按命题6.1计算。验收决定可通过Chen和Huang（2013年，第4.4节）中提出的方法确定。提议6.1。无论如何≥ T≥ . . . , ≥ 肺结核≥ tb+1和0≤ Yyb≤ （fWt，…，fWtb）的联合条件分布关于（Vt，…，Vtb）有以下似然比：QfWt∈ 嗯，fWtb∈ 戴布0≤fWt≤ 2，fWtb+1=yb+1，fWt=1Q及物动词∈ 嗯，Vtb∈ 戴布0≤ Vt，Vtb+1=yb+1，Vt=1= ~cbYi=0p（ti+1，yi+1；ti，yi），其中yb+1=1-xa，y=1，且c>0是一个常数。这个命题的证明类似于Chen和Huang（2013）中的定理4.2。给定骨架（fWκ，…，fWκb，W), 采样sup0≤T≤WT和maximumtime的位置类似于子程序1的步骤6。

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2022-5-5 08:15:54

联合采样（ui，tui）是有效的，其中ui=supκi≤T≤κi+1Wt和tui是[κi，κi+1]上最大值的位置，条件是τaas为布朗曲流的最大值；参见Devroye（2010）中的maxmeander算法。7算法2的分析在本节中，我们分析了算法2，并表明算法以多项式时间终止。该算法生成（vt，M（t））的精确样本的运行时间最多为O（1/？）γ，与t无关。因此，生成三元组（vt，M（t），Y（t））的精确样本的算法的运行时间最多为O（1/？）γ+O（log（t）），其中O（log（t））是读取输入和计算Y（t）的运行时间，条件是（vt，M（t））。这里的关键思想是构造一个恒定的漂移布朗运动，控制Z（s）。引理7.1。设mk为直到时间βk的过程Z（t）的最大值，其中βk等于Z（βk）<ζk-光盘然后，Z（t）<mk表示所有t<αk+1。具体来说，如果αk+1=∞, 那么mk是所有t的Z（t）的全局最大值≥ 0.证明。根据假设（3.2），我们有Z（t）=Z（βk）+B（t）- B（βk）+Ztβkγ（u）du≤ Z（βk）+B（t）- B（βk）+d- （t）- βk）·γ=Uβkt。观察Uβkβk=Z（βk）+d≤ mk- （c）- 1） d.回想一下αk+1=inf{t≥ βk:Ut≥ mk}。因此，对于所有的t<αk+1，我们有Z（t）<mk。通过子程序1可以生成βk+1和mk+1的精确样本。注意，过程uβkis是一个具有恒定漂移的布朗运动。因此，我们可以很容易地根据以下引理对命中时间αk+1进行采样。引理7.2。设x=mk- Uβkβk>0。那么，P（αk+1=∞|Uβk）=1- 经验(-2′γx）和pαk+1≤ t+βk | Uβkβk，αk+1<∞= P搞笑x |γ|，x≤ T, （7.1）式中，IG（·，·）表示具有均值x |γ|和形状参数x的逆高斯分布。备注7.3。从逆高斯分布中提取的数据可以非常高效地生成；见Devroye（1986年，第四章）中描述的算法。证据

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2022-5-5 08:15:58

根据假设（3.2），\'γ>0，我们从Karatzas和Shreve（1991，第297页）得到αk+1≥ T+βk | Uβk= Φx+’γT√T- 经验(-2′γx）Φ-x+’γT√T.因此，P（αk+1=∞|Uβk）=1- 经验(-2′γx）和pαk+1≤ T+βk | Uβk，αk+1<∞= 经验(-2′γx）Φ-x+’γT√T+ Φ-十、- γT√T,这是逆高斯分布的分布。由于这两个引理，我们可以很容易地观察到算法终止于一个有限的迭代。算法在迭代k中终止的概率（即αk+1=∞)至少是1- 经验(-2′γ（c）- 1） d）。此外，如果αk+1=∞, 那么ζkis是所有t的Z（t）的最大值≥ 因此，在每个步骤k，程序以至少恒定的概率终止。因此，算法几乎肯定会在有限的时间内终止。我们在下面的定理中总结了这个结果。定理7.1。对于有限时间内的每2次，γ终止。此外，预期的迭代次数最多为（1）-经验(-2（c）- 1） d′γ）-生成（vt，M（t））精确样本的预期运行时间为每t的O（1/？）γ∈ [0, ∞].证据很明显，生成（vt，M（t））的精确样本的运行时间对于每个t是有界的≥ 0以生成（v）精确样本的运行时间为界∞, M(∞)).因此，我们展示了最近案例的结果。观察uβkβk=Zβk+d≤ mk- （c）- 1）因此，根据引理7.2，算法在下一步终止的概率αk+1=∞|Uβk= 1.- 实验（2）（mk）- Uβk）’γ）≥ 1.- exp（2（c）- 1） d′γ）。因此，由K表示的终止前的迭代次数由一个几何变量控制。所以我们有[K]≤ (1 - 经验(-2（c）- 1） d′γ）-1.假设αK=∞, 我们有≤ Ut<Mk，适用于所有t>βK。

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2022-5-5 08:16:01

由于mk是时间βk之前的过程的最大值，我们得出结论≥0Z（t）=mK。根据定理5.2，生成ζk=supαk样本的预期运行时间≤子程序1得出的t<βkZ（t）每1个为O（1/|γ|）≤ K≤ K.由于E[K]=O（1/|γ），算法2的预期运行时间是O1/γ.最后，值得一提的是，可以通过改变βk:βk=inf{t的更新规则来提高算法的性能≥ + αk:Z（t）≤ MK- cd}，（7.2）其中mk=支持≤+αk-1Z（t）。在这里是一个参数，用于确保每个步骤不会太短。仿真实验表明，选择合理提高了运行时间。8.数值实验我们通过数值实验说明了精确采样方法的有效性和相对性能。我们将精确算法2应用于漂移系数γ（u）=cos（2πu）的RBM- 0.5.换句话说，dXt=（cos（2πt）- 0.5）dt+dB（t）+dLt。（8.1）漂移系数γ（u）=cos（2πu）- 0.5是周期为1的周期函数，且¨γ=-Zcos（2πu）- 0.5du=0.5>0。因此，假设3.2成立。回想一下thatX（n）=> M(∞) = 监督≥0Zt（cos（2πu）- .5） du+B（t）. （8.2）在本实验中，我们比较了离散化方法和生成M样本的精确算法(∞). 传统的离散化技术只能逼近M的样本(∞);精确算法返回M的精确样本(∞).8.1离散化方法我们将我们的算法的精确绘图与简单离散化方案的近似绘图进行比较。离散化（8.1）的一种简单方法是：Xti+1=max（Xti+γ（ti）（ti+1- ti+B（ti+1）- B（ti），0），其中i=1，2。步长δ>0。然而，Asmussen等人（1995年）表明，这种离散化方案有很大的偏差，偏差至少为δ1/2级。

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2022-5-5 08:16:04

作为替代方案，我们对依赖时间的RBM采用类似于L’epingle（1995）的离散化方案。在Proposition A.1中，我们证明了该方案的偏差为δ阶。在这里，我们快速地概述了隔离方案。对于时间步长δ>0，定义分段常数漂移布朗运动^Zδ={^Zδ（t）}t≥0.考虑离散网格点ti=δi，i=0，1，2。。设^Zδ（t）=0，且forti≤ T≤ ti+1^Zδ（t），^Zδ（ti）+γi（t- ti）+B（t）- B（ti），（8.3），其中γi=δRti+1tiγ（u）du。联合分发^Zδ（ti+1），supti≤T≤ti+1^Zδ（t）给定^Yδ（ti）已知。因此，过程的精确采样及其在网格点上的最大值是可能的。Asmussen和Glynn（2007年，第302页）给出了该算法的详细信息。通过选择一个大的T=T和足够小的δ，随机变量sup0≤T≤tM^Zδ（t）近似(∞).在命题A.1中，我们讨论了如何在时间步长δ和试验次数之间分配离散化方法的计算预算。我们表明，对于离散化的Firstorder方法，将时间步长的数量增加到复制次数的第四根是渐近最优的。然而，最优的比例常数是未知的。8.2结果我们生成了M(∞) 使用精确算法2和离散化方案在（8.2）中定义。对于离散化方案，我们使用不同的增量δ和固定时间范围T=35。表1显示了从M获得200000张图纸所需的时间(∞) 对于不同增量δ的精确算法和离散化方案。此外，还包括Kolmogorov–Smirnov检验的p值，该检验将不同增量δ的Euler方案的近似样本与精确样本进行比较。

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2022-5-5 08:16:07

p值表示样本是否来自同一分布。表8.2报告了E[M]估计值的比较(∞)] 用这两种方法。根据定理A.1，步长设置为δ=N-, 其中N是模拟试验的数量。表中第四列和第五列显示了E[M]的估计值(∞] 以及不同数量试验的90%置信区间。标准误差（SE）估计为模拟输出的样本标准偏差除以试验次数的平方根。偏差由估计值的期望值与E[M]的真实值之间的差异给出(∞)].精确方法产生的估计偏差为零。因此，使用精确方法生成的200万次试验估计了真实值。离散化方案的偏差通过使用800000条轨迹进行估计。表的第8列报告了PSE+偏差计算的均方根误差（RMSE）。最后一列显示了生成不同数量试验所需的计算时间。在一台配备英特尔酷睿Duo 3.16GHz处理器和4GB内存的服务器上进行了模拟。代码是用MATLAB版本（R2011b）编写的。值得注意的是，精确算法比离散化方法有效得多。偏差为零，误差较小，甚至算法也提高了运行时间。图3比较了精确和离散化方法的收敛速度。该方法具有最优的收敛速度；估计量的RMSE以O（1）的速率减小/√t），其中t是计算预算。离散化方案的收敛速度为O（t）-2/5），确认定理A.1。

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2022-5-5 08:16:11

由于离散化方案的收敛速度较慢，我们可以得出结论，离散化偏差是显著的。表1：通过Kolmogorov–Smirnov检验比较离散化方案和精确方法生成的样本。δp值时间（秒）离散化-1E-152 21-2E-20 29-四十点零零七六二-六十点零零二二二一-一百点一四五二三零五-120.231 11200精确方法——1305 E[M]的模拟结果(∞] 根据模型（8.1）。Kolmogorov–Smirnov检验的p值，带有零假设，即精确和相应的近似绘制来自相同的分布。参考Asmussen，S.（1992年）。重型运输中的排队模拟。运筹学数学，17（1）：84–111。Asmussen，S.，Glynn，P.，和Pitman，J.（1995年）。一维反射布朗运动模拟中的离散化误差。《应用概率年鉴》，第875-896页。Asmussen，S.和Glynn，P.W.（2007）。随机模拟：算法与分析。斯普林格，纽约。Asmussen，S.和Thrisson，H.（1987年）。周期性队列的马尔可夫链方法。应用概率杂志，24（1）：第215-225页。Bambos，N.和Walrand，J.（1989年）。在具有周期性输入的队列上。应用概率杂志，26（2）：381-389页。巴斯，R.F.（2011）。随机过程，第33卷。剑桥大学出版社。A.贝斯科、O.帕帕斯皮利奥普洛斯和G.O.罗伯茨（2006）。扩散样本路径的回顾性精确模拟及其应用。伯努利，12（6）：1077-1098。Beskos，A.和Roberts，G.O.（2005）。精确模拟差异。《应用可能性年鉴》，15（4）：2422-2444。Burq，Z.A.和Jones，O.D.（2008）。第一次通过时布朗运动的模拟。《模拟中的数学与计算机》，77（1）：64-71。陈北和黄，Z.（2013）。布朗运动驱动的随机微分方程的局部化和精确模拟。运筹学数学，38（3）：591-616。德夫罗耶，L。

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