当核是对称的时，它可以被视为求解维纳-霍普夫方程的一种特别优雅的方法，在这方面，它与我们的方法非常相似（尽管当然不是一般的）。除此之外，基本上还有两种非参数估计方法。第一个由[10]发起，对应于非参数EM估计算法。它基于[18]在地震学ETAS模型框架内最初引入的方法的正则化（viaLpenalization）（ETAS模型见第七节）。它是为一维霍克斯过程开发的。使用EM算法计算最大似然估值器：oE步基本上对应于计算所有n和m的概率Pnmt，即第n跳tn已由第m跳tm“启动”（其中tm<tn），知道核φ（t）和u的近似值M步对应于估计φ（t）和u，知道所有pnm。在[10]中，即使外生强度u缓慢地依赖于时间，也成功地在特定情况下进行了一些数值实验：整个函数u（t）与核φ（t）一起以非常好的近似进行估计。然而，正如[10]中所强调的，当核φ（t）的衰减变慢时（例如，幂律衰减核），EM算法的收敛速度急剧下降。等价地，当增加与φ（t）的支持度相同的时间间隔内发生的事件的平均数量（保持事件总数J不变，即缩短整体实现时间t）时，它也会急剧减少。例如，可以通过简单地增加基线u（保持恒定J）来实现。这一结果如图所示。

10中，我们比较了在固定估计精度下，EM方法（无任何正则化）的计算时间和基于求解维纳-霍普菲方程的方法的计算时间。我们所有的测试都使用了一个简单的1d Hawkes过程和一个指数核。在第一个实验中，我们比较了收敛时间的比率TEM/TW与样本中事件总数J的函数关系。如符号代表的曲线所示(o) 在图10中，我们观察到，在对数行为下，两种方法的计算时间是可比的。在第二个实验（图10中的实线曲线）中，我们确定了跳跃的总数J，并通过简单地改变基线强度u，使核φ（t）支撑上的事件数发生变化。在这种情况下，我们可以清楚地观察到，随着μ的增加，EM方法比我们的方法慢。这里我们指的是霍克斯过程的“分支”结构。EM方法的第二个重要缺点如图11所示，我们在图9的示例中测试了EM算法，其中霍克斯过程涉及一个带负值的内核。虽然我们的方法能够处理抑制性情况（前提是抑制效应不会导致负强度），但EM方法中涉及的核心值的概率解释阻止了任何此类可能性。从图11中可以看出，EM方法仅允许估算φ（t）的正部分。012 34 567log2（R）012345678TEM/TWHFig。10.Wiener-Hopf和EM复杂度的比较：在具有指数核的一维Hawkes模型的情况下，EM和Wiener-Hopf方法的计算时间之比被绘制为对数（R）的函数。

对于较低的曲线（符号o) 所有参数都是固定的，R代表事件数J/jj的简单比例，其中J=10，J与Jto 2J不同。我们可以看到，在这种情况下，直到最终的对数校正，这两种方法都提供了可比的估计时间。对于上曲线（实线），事件的数量是固定的（J=10events），而R代表核φ（t）支撑下的非正态平均事件数量。更准确地说，R是比率u/u，其中基线速率u从u=u变化到u=2u。可以看出，EM方法的收敛时间随着μ变得更大而显著增加。04816T-0.040.000.040.080.12φ（t）图11。霍克斯模型的Wiener-Hopf和EM估计与图9的抑制效应的比较。这两种方法都在尺寸为J的样本上进行了测试 10个事件。我们可以看到，虽然我们的方法提供了对内核负部分的良好估计(o), 基于EM的方法只能估计其正部分（N）。在最近的一系列论文[19]，[20]中，一些作者在严格的统计框架内提出了非参数估计的第二种方法。它依赖于所谓的Lcontrast函数的最小化。假设在[0，t]区间实现了aHawkes过程Nt（与参数（Φ（t），u）相关），则估计基于最小化对比度函数C（u，Φ）：（u）*, Φ*) = argmin（Φ，u）C（u，Φ），（50），其中C（u，Φ）=DXi=1ZTλit（u，Φ）dt- 2ZTλit（u，Φ）dNit！（51）和λit（u，Φ）=ui+DXj=1Zt-∞Φij（t）- s） Njs。（52）让我们指出，最小化对比度函数的期望值相当于最小化强度过程的误差。

事实上，如果Ftis是在t时间之前可用的信息-, 由于E（d)Nit | Ft）=)λitdt，一个hasargmin（Φ，u）E（C（u，Φ））=argmin（Φ，u）DXi=1E（λi（u，Φ））- E（λi（u，Φ）~λi）= argmin（Φ，u）DXi=1E（λi（u，Φ）-λi）.当然，Φ=＠Φ和u=＠u的最小值（零）是唯一达到的。由于λ是用{Φij}j的μi和线性表示的，因此最小化误差相当于求解一个线性方程，它只不过是维纳-霍普夫方程（18）。因此，最小化对比度函数的期望相当于求解维纳-霍普夫方程。在[20]中，作者选择在有限维空间（实际上是常数函数的空间）上分解Φ，并直接在该空间中解决最小化问题（50）。为此，为了使解决方案正规化（他们基本上是在处理一些只有少量数据可用的应用程序，并且已知核是很好地本地化的），他们选择用一个套索项（众所周知，它会导致核的稀疏性）来惩罚极小化，即Φ分量的形式。让我们指出，最小化对比度函数和最小化对比度函数的期望值是两个不同的故事。对比度函数是随机的，没有什么能保证相关的线性方程不是病态的。在[20]中，作者证明，在（i）Φ的分量从正交函数族中选取，以及（ii）Φ的任何两个分量总是相等或相互正交的情况下，线性方程是可逆的，即相关的随机Gram矩阵几乎肯定是正定义的。

在应用中（他们研究来自神经生物学的真实信号[9]），他们选择Φ的分量为分段常数，并给出了许多结果估计的示例。在目前的工作中，我们的方法完全不同，我们的动机是对大量数据（例如地震、金融时间序列）进行建模，众所周知，这些数据涉及非常规则的非局部核。我们直接求解线性方程，即维纳-霍普夫系统。在这种情况下，我们还通过选择求积方法引入正则化分量。例如，考虑到维纳-霍普夫方程中的核项是Q阶多项式，使用带Q点的高斯求积就相当于。让我们指出，尽管我们证明了维纳-霍普夫方程是不可解的，关于维纳-霍普夫方程的随机版本的可逆性，我们没有任何结果，其中，条件期望被经验平均值取代。正如我们将在接下来的部分中看到的，在我们所有的应用和模拟中，这似乎不是一个问题。这显然是因为我们一直认为有大量数据可用（例如，金融高频时间序列、地震时间序列）。似乎，若有非常少量的数据可用，上述两种方法都应该比我们的方法更合适。对于我们的工作方法，我们当然需要添加一个正则化项来反转离散线性系统。这将在未来的工作中解决。七、应用实例a。应用于金融时间序列由于霍克斯过程能够解释特定事件的自激和互激动力学，因此引起了人们对高频金融的兴趣[1]、[6]–[8]、[21]、[22]、[33]。

在本节中，我们首先考虑市场订单到达的一维霍克斯模型。金融市场的交易率具有非平凡的统计特征，是决定波动性的关键因素之一。我们使用欧洲斯托克银行（FSXE）和欧洲联邦银行（FGBL）未来合约的大部分流动到期日的日内数据。我们的数据对应于2009年5月至2013年9月期间1000个交易日内的所有最佳买入/卖出交易。FSXE和4每天的活动（市场订单）数量接近5 10。FGBL为10。众所周知，市场活动不是静止的，其特点是U型曲线。0.5 1.01.52.0log10（t）[s]-3-2.5-2-1.5-1.0log10φ（t）欧洲斯托克XXEurobund-2.-1012 3log10（t）[s]-5.-4.-3.-2.-101log10φ（t）图12。Eurostoxx（FSXE）和EuroBund（FGBL）市场订单到达的一维Hawkes模型的非参数估计。（左）用对数表示法估算FSXE（蓝色）和FGBL（绿色）数据的Ernelφ（t）。（右）在对数尺度上使用不同的时间跨度和时间分辨率估计FSXE的核φ（t）。在这两个图中，斜率接近β=1形状。为了避免这种困难，人们可以在一天内的固定时间段进行估计。然而，如【1】中所强调的，似乎每个时期的核形状都是恒定的（贸易到达率的非平稳性可能与变化的基线强度u相关），并且在每个小时期估计该核并对所有获得的估计进行平均会导致相同的估计。这就是为什么我们没有考虑交易日非平稳性的问题，而是在整个交易日内进行了估计。在左图12中，我们报告了与FSXE和FGBL相关的交易核心，如使用第V-A节所述的方法估计的（不考虑任何标记）。

曲线以对数-对数表示，因为两个核显然非常接近幂律。它们很好地符合：φ（t）=αt-β（53）与β 1和α 0.05. 在右图12中，我们报告了对FSXE市场订单的相同估计，但采样参数h的4个不同值（我们选择了h=0.005、0.05、0.5、2秒），以覆盖范围广泛的时间t。我们可以看到，所有曲线始终落在分析表达式上（53）。该图在50年的时间范围内可以观察到φ（t）的标度行为，与Bouchaud等人对S&P500 mini进行的估计非常相似[22]。让我们注意到，市场数据的霍克斯内核的幂律性质的起源是一个在参考文献[1]，[21]中已经提出的具有挑战性的问题。同样值得注意的是，对于不同的市场，内核的形状似乎几乎是不变的。最后让我们指出，为了使| |φ| | |小于1，表达式（53）必须在小尺度和大尺度上被截断。参考文献对此进行了讨论。[21], [22]. 然而，需要注意的是，表达式（53）必须经过9年的积分才能达到| |φ| | |=1（即，如果最小时间分辨率为0.001 s，即使在一个月后，φ的积分仍然小于1）。B.地震时间序列的应用提出了各种点过程模型，以重现特定地理区域内地震事件（地震）的动力学（参见[4]，[34]以获取综述）。在这些模型中，绪方[35]提出的流行病型余震序列（ETAS）是最流行的模型之一。该模型仅通过假设地震动力学对应于以事件强度为标志的霍克斯过程，就解释了以前地震触发未来事件（余震）的原因。

更准确地说，该模型的一维版本定义如下：u是基线强度，核φ（t）是φ（t）=C（1+t/C）p（54），而标记函数（“生产率定律”）具有指数形式：f（m）=Aeαm（55）。值得注意的是，这些作者发现α和β的值与之前报告的值一致。ETAS模型存在一个时空版本，可以同时解释地震的时间和位置。012 34 5678M0123456log10N（M）图13。logN（M）是M的函数，其中N（M）是M级事件的数量≥ 根据北加州地震目录的数据估计。正如预期的那样，形式为（56）的指数形状 2和a 1.很好地验证了经验数据。请注意，地震震级的概率分布由著名的Gutenberg-Richer定律给出，根据该定律，地震震级m大于m（足够大，即大于给定阈值m）的概率readsP rob（m>m）=10a-bM M≥ M（56）036912T[h]0.00.10.20.3φ（t）1234 56m01020304050f（M）-4.-3.-2.-1012ln（t）-6.-4.-2ln[φ（t）]123456m0。00.51.01.5log10[f（m）]图14。NCEC地震数据一维标记霍克斯模型的非参数估计。在图13中，我们将logN（M）显示为M的函数，其中N（M）是M级事件的数量≥ 根据北加利福尼亚地震目录[23]（NCEC）的数据估算的Mas。本目录包含震级事件≥ 1990年1月至2013年10月在北加利福尼亚州0。活动总数约为5场。10.可以检查古腾堡-里克特定律（56）是否提供了大量数据。请注意，尽管有大量研究致力于ETAS模型在地震数据中的应用（参见[4]，[34]），但据我们所知，只有参考文献。

[18] 在一般的线性自激点过程中进行非参数估计。如前所述（见第六节），这些作者通过应用期望最大化迭代法获得了核形状φ（t）的估计。将基于EM的方法与本研究中提出的方法进行精确比较超出了本文的范围。让我们只提一下，[18]中的作者主要发现，使用来自南加州目录的数据，指数p的值与震级阈值有微弱的依赖性，但保持在范围p内∈ [0.6,0.8]而生产率定律（55）中α的报告值为α 0.7. 图14显示了NCEC数据中φ（t）和f（m）的非参数估计结果。我们可以看到，获得的f（m）和φ（t）的估计值与ETAS模型一致：特别是我们发现，核φ（t）与p的形状（54）吻合得很好 0.7和c 1 mn，而定律（55）在α的整个震级范围内得到了很好的验证 0.75. 值得注意的是，我们获得的值与[18]中的估计值相对接近。八、结论与展望在本文中，我们讨论了与霍克斯过程有关的一些问题。霍克斯过程是一类重要的点过程，它解释了各类事件之间的自我激励和相互激励。我们已经显著地表明，这类过程完全由它们的条件密度函数（或等价地由其跳跃自相关矩阵）表征，该函数通过一个维纳-霍普夫方程组与核矩阵Φ相关。利用高斯分布对该系统进行数值反演，为Hawkes多元模型的非参数估计提供了一种有效的方法。这种方法的一个简单变体还允许恢复标记Hawkes过程的标记函数。

对于H？olderβ核，估计误差收敛为J-1/（2β+1）（其中J是事件数），前提是选择足够大的多个正交点。我们考虑的金融和地球物理学的两个例子说明了该方法的可靠性，并允许确认交易活动对未来活动影响的缓慢衰减性质，以及恢复绪方ETAS地震模型的具体情况。就前景而言，我们打算将我们的方法性能与基于成本函数最小化的公式方法进行系统比较。我们的误差分析还有更坚实的数学和统计学基础。在数据量非常小的情况下，我们还可以通过规则约束来改进该方法。马克函数的估计也引发了有趣的问题：例如，在本文的框架内，人们可以测试核是否可分离，即φ（t，m）=φ（t）f（m）。正如我们在导言中提到的，由于霍克斯过程自然且简单地捕捉了与传染、交叉和自我激活现象相关的事件动力学的因果结构，因此霍克斯过程有望用于许多应用。在这方面，我们希望本文提出的方法将进入用于点过程经验应用的标准技术工具箱。此外，还改进了金融应用（例如，通过考虑订单事件、价格事件或外部事件）和地球物理学（例如：。

通过考虑地震相互激发的空间依赖性），我们计划考虑霍克斯过程相关的其他领域，如社交网络信息扩散、互联网活动或神经网络认知。作者感谢Franc,ois Alouges、St,ephane Gaifas、Marc Hoffmann、Patricia Reynaud Bouret、Mathieu Rosenbaum和Vincent Rivoirard的有益讨论。我们衷心感谢Risk基金会主席金融风险部、法国银行联合会主席变异市场部和QuantValley/Risk基金会主席：量化管理倡议的财务支持。本文使用的财务数据由QuantHouse EUROPE/ASIA公司提供，http://www.quanthouse.com.We同时感谢北加州地震数据中心（NCEDC）、北加州地震台网、美国地质调查局、加州大学伯克利分校门罗公园伯克利地震实验室。附录a关于Φ（t）中系统（18）解的唯一性，让我们证明，我们可以使用标准的维纳-霍普夫因式分解参数来证明方程（18）允许一个唯一解矩阵Φ（t），该矩阵的分量是Lcausal函数。为此，让我们假设Φ（t）是另一个因果解，并考虑矩阵：（t） =Φ（t）-■Φ（t）。我们想证明这一点（t） 等于所有t的0。让我们倒退（t）=（t） +  g（t）。（57）由于Φ（t）和)Φ（t）都满足（18），因此有：B（t）=0t>0，因此B（t）在陆地上是反因果的。

在拉普拉斯域中，（57）表示^B（z）=^（z） （I+^g（z））由于（14）和（11），我们有：^B（z）=^（z）I+^ψ（z）ΣI+^ψT(-z）Σ-1=^（z）I+^ψ（z）Σ我-^ΦT(-z）-1Σ-1因此^B（z）∑我-^ΦT(-z）=^（z）I+^ψ（z）∑（58），因为矩阵ψ（t）和（t） 是因果关系，在L中，最后一个方程的左手边在左半平面{z]中是解析的，R（z）≤ 0}. 另一方面，由于矩阵B（t）和Φ(- t） （Φ的拉普拉斯变换）(-t） 是^Φ吗(-z） 在陆地上反因果，最后一个等式的右边是在右半平面{z，R（z）≥ 0}.由于两边相等，它们实际上是在整个复平面上进行分析的（即，它们的元素是整函数）。让我们fix 0<β<1和i，j∈ [1，D]。我们选择z∈ C这样R（z） =-R∈ R-*. 那么对于任何因果函数f（t）∈ 五十、 一个人有^f（z）≤Z∞|f（t）| e-trdt=Zr-β| f（t）| e-trdt+Z∞R-β| f（t）| e-trdt≤锆-β| f（t）| dt+e-r1-β| | f||-→R→+∞既然两者都有（t） 和ψ（t）是因果关系，在L中，当R（z）→ -∞. 根据刘维尔定理，我们得出结论，它处处为零，因此t R，（t） =0。这就结束了（18）解唯一性的证明：命题3的附录B对于a fix t>0，从定义（21）可以得出：Gij（t，x）dtdx=E（λitdt | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧idtdx。（59）使用（20），我们得到gij（t，x）dx=（ui）- ∧i）dx+DXk=1Zφik（t）- s） E（fik（ξks）dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）。（60）然后使用（3），得到（ui）- ∧i）=-∧kPDk=1Rdsφik（t- s） thusGij（t，x）dx=DXk=1Zφik（t- （s）E（fik（ξks）dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧kdsdx. （61）将积分分成3部分：s=0，s>0和s<0，我们得到gij（t，x）=φij（t）fij（x）+A+（t，x）+A-（t） （62）式中+（t，x）dx=DXk=1Zs>0φik（t）-（s）E（dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧kdsdx=DXk=1Zs>0φik（t-s） Gkj（s，x）dx（63）andA-（t） =DXk=1Zs<0φik（t- （s）E（fik（ξks）dNks | dNj=1）- λkds.

（64）因为，对于s<0E（fik（ξks）dNks | dNj=1）=Zdzfik（z）P rob{ξks=z，dNks=1，dNj=1}P rob{dNj=1}=Zdzfik（z）P rob{ξks=z，dNks=1，dNj=1}∧zfik∧jzdik（z）pkGjk(-s、 z）+∧j.随后的-（t） =DXk=1∧k∧jZs<0φik（t- s） Zdzfik（z）pk（z）Gjk(-s、 z）（65）我们最终得到gij（t，x）=φij（t）fij（x）+DXk=1Zs>0φik（t）- s） Gkj（s，x）+DXk=1∧k∧jZs<0φik（t- s） Zdzfik（z）pk（z）Gjk(-s、 z）（66）这证明了命题3。附录C命题5的证明命题5的证明遵循了密度核估计或回归研究中非常经典的路径。首先，g的方差*（t） 可以被限制为ar（g*（t） )≤李RXk=1ZtmaxdNiu（k）Ku- tj（k）- th！！(67)≤李ZtmaxdNiuKu- tj- th！！. （68）使用NtV ar（g）增量的平稳性*（t） )≤李ZtmaxdNiuKU- th| dNj=1！(69)≤RhZu∈]0，tmax]Zv∈ ]0，tmax]E（dNiudNiv | dNj=1）KU- thK五、- th. （70）简单的计算（示例见[21]）表明，E（dNiudNiv | dNj=1）可以分解为ψij（u）δ（u）之和- v） +b（u，v）dudv，其中δ（.）是狄拉克分布，b（u，v）是ψ的多项式，取不同的点。让我们考虑一下，所有的φij（t）都有一个常数φ的界∞. 然后，如果F（t）是一个具有正元素的矩阵函数，我们可以很容易地检查矩阵Φ的每个元素 F（t）以φ为界∞1 | | F | |式中，1是元素均等于1的矩阵，| | F | |由F（t）元素的形式构成的矩阵。然后应用这个结果toF（t）=P+∞k=0Φ(*k） （t）和ψ（t）=Φ F（t）表明ψ（t）的每个元素都以：ψ为界∞= φ∞1（I）- ||Φ ||)-1<Cφ∞1.- ρ（71），其中C为常数，ρ为I的谱半径- ||Φ||.

因此，由于（H）应保持不变（即ρ<1），当nh较小时，（70）中的主导项为形式RhZu∈]0，tmax]Zv∈ ]0，tmax]ψij（u）δ（u）- v） KU- thK五、- th≤ψ∞RhZu∈]0，tmax]KU- th,因此，对于足够小的h，存在一个常数C，例如V ar（g*（t） )≤CRh（72）对于偏差，计算也是标准的：b（t）=E（g*（t） )- gij（t）- ∧i=hEZtmaxdNiu（k）Ku- tj（k）- th！！- gij（t）- ∧i（73）=hZtmaxE（dNiu | dNj=0）KU- th- gij（t）- ∧i（74）=hZtmaxE（dNiu | dNj=0）KU- th- gij（t）- ∧i（75）=ZtmaxE（dNit+uh | dNj=0）K（u）- gij（t）- ∧i（76）=Ztmax（E（dNit+uh | dNj=0）- E（dNit | dNj=0）du）K（u）（77）=Ztmax（gij（t+uh）- 如果E的密度（dNit | dNj=0）是H¨olderβ，如果核K的阶数为l=β - , 对于所有的小>0（即，l是小于β的最大整数）- ）然后，存在一个常数c，如| b（t）|≤ Chβ（79）这个命题直接由等式（72）和（79）得出。参考文献[1]E.Bacry和J.Muzy，“价格和交易高频动态的霍克斯模型”，ArXiv E-prints，2013年。[2] A.霍克斯，“一些自激和相互激点过程的光谱”，生物计量学，第58卷，第83-90页，1971年4月。[3] -，“一些相互激励的点过程的点谱”，皇家统计学会杂志。B辑（方法学），第33-3卷，第438-443页，1971年4月。[4] Y.Ogata，“通过点过程建模进行地震活动性分析：综述”，《纯粹和应用地球物理学》，第155卷，第2-4期，第471-507页，1999年8月。[在线]。可供选择：http://www.springerlink.com/content/wqg0lxg6bmumaxmq/[5] A.Helmstetter和D.Sornette，“地震余震流行病模型中的亚临界和超临界状态”，《地球物理研究杂志》，第107卷，第B10期，第2237页，2002年。[6] L.Bauwens和N.Hautsch，使用点过程对金融高频数据进行建模。，爵士。在T.Mikosch，J-P。

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