Hawkes过程的二阶统计特征及其应用

2022-5-5 08:38:36

霍克斯过程的这种“自我”和“相互”令人兴奋的性质，使得它们在一个简单易处理的模型中，对于未来事件的可能性直接取决于过去事件的发生的情况，非常有吸引力。因此，在过去十年中，人们对霍克斯过程的兴趣不断增长，在这些领域，内生触发、传染和交叉激发可以自然地用来解释离散事件动力学。最初，霍克斯模型被引入来描述某些特定区域的地震发生[4]，[5]，但它们也在许多其他领域广受欢迎，如高频金融（交易和订单事件动力学）[6]–[8]、神经生物学（神经元活动）[9]、社会学（恐怖活动的传播）[10]，[11]或互联网上的进程（社交网络中的病毒扩散）[12]，[13]。D维Hawkes过程N（t）的主要特征是其D×D核矩阵Φ（t）={φij（t）}1≤i、 j≤D、其中，内核φij（t）描述了第j个过程分量的事件如何影响第i个分量的发生强度。就霍克斯过程的估计而言，在大多数研究中，假设核成分φij（t）具有特定的参数形状（例如指数衰减），并执行矩量法（例如基于巴特利特谱[14]，[15]）或最大似然估计[16]，[17]。然而，当人们对核组件的形状没有先验知识时，有必要进行非参数估计。第一种方法是基于（惩罚）似然函数的预期最大化（EM）过程[10]，[18]。

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2022-5-5 08:38:39

它是为单变量Hawkes过程设计的，与外部事件间时间相比，在内核函数没有很好地本地化的情况下，很难使用它来处理大量数据（见第六节）。[9]、[19]、[20]中提出的另一种方法是最小化对比度函数，假设核{φij（t）}1≤i、 j≤数据可以在某些字典的原子上分解。使用提供稀疏估计的套索惩罚对估计进行正则化。例如，这样得到的核是具有很少非零片段的分段常数函数。虽然当维度D较大或已知核非常局部化时（神经元网络建模时似乎就是这种情况[9]），这显然是正确的选择，但在建模地震或金融时间序列时，这是没有意义的，因为对于这些地震或金融时间序列，有大量数据可用，并且已知核是幂律的。我们还要提到[21]中提出的一种方法，作者通过谱方法从跳跃相关矩阵中估计核分量φij（t）。然而，这种技术只适用于对称的霍克斯过程。在本文中，我们的主要目的有两个：首先，我们提供了霍克斯过程二阶性质的完整概述，并表明它们唯一地描述了该过程，即矩阵之间存在一对一的对应关系。巴克里位于法国帕莱索91128号巴黎理工学院数学研究中心。J.F.Muzy在法国科尔斯大学CNRS环境科学实验室工作，邮编：UMR 613420250Cort\'e。Φ（t）和与跳跃（dN（t））相关函数相关的矩阵g（t）。事实上，我们证明了Φ（t）是直接涉及相关函数的Wiener-Hopf方程组的唯一因果解。

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大多数88

2022-5-5 08:38:44

然后，我们证明了这一性质，从而提出了一种新的简单的非参数估计方法，该方法基于使用高斯求积方法的Wiener-Hopfs系统的显式分辨率。在许多应用中，考虑霍克斯过程的标记版本很有趣，其中霍克斯分量的条件强度也可能取决于通过标记函数矩阵与每个事件关联的一些随机变量（标记）。我们编写了一个新的方程组，它将Φ（t）与不再是Wiener-Hopf系统的相关函数联系起来。在mark函数是分段常数的情况下，我们证明了我们的方法的一个简单变体可以解决这个系统，即恢复内核和mark函数矩阵。我们提供了从一维过程到三维过程的各种数值例子。我们还提供了一些关于估计误差和收敛问题的启发，以及一些确定方法各种参数的程序。我们将该方法与现有的非参数方法进行了比较，结果表明，该方法实现起来相对简单，可以处理非常大的数据集，并在许多情况下得到可靠的结果。然后，我们的评估框架在两个不同的应用上进行了说明：第一，与参考文献中的相同。[21]，[22]，我们研究了欧洲期货交易所上两种流动性未来资产的市场订单的到达。我们发现，估计的核非常适合指数非常接近1的幂律函数。其次，我们估计了以北加利福尼亚地震目录（NCEC）中的事件震级为标志的地震事件的霍克斯模型[23]。据我们所知，文献[18]提供了估算地震非参数自激的唯一尝试。

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2022-5-5 08:38:47

在我们的例子中，我们确认ETAS模型规范，即核φ（t）的幂律形状和马克函数的指数定律。本文结构如下：在第二节中，我们介绍了主要的数学定义，并回顾了多元Hawkes过程的二阶性质。我们特别给出了跳跃相关函数的拉普拉斯变换的显式表达式。我们还介绍了条件期望矩阵g（t），并说明它与跳跃相关函数的基本关系。最后，我们恢复了Hawkes[3]以前的一个结果，根据这个结果，核矩阵Φ（t）满足一个Wiener-Hopf方程，g（t）作为Wiener-Hopf核。我们证明了Wiener-Hopf算子有唯一的因果解，因此Φ（t）由g（t）的形状唯一确定。我们的估计方法依赖于这个性质，如第三节所述。更准确地说，通过将带有分段常数标记函数的标记Hawkes过程转化为高维的多元Hawkes过程，我们提出了一种数值方法，可以同时估计核函数和标记函数。该方法主要使用Nystr–om方法来求解维纳-霍普夫方程组。它在第五节中以四个不同的例子进行了说明：一个二维标记过程、两个一维过程（一个涉及缓慢递减核，一个涉及负值核）和一个三维过程（涉及循环依赖和非递减核）。第四节介绍了有关估计误差分析的一些启发式方法，并讨论了确定方法主要参数（即带宽和正交点数量）的一些程序。

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2022-5-5 08:38:52

然后，我们在第六节简要讨论了与以前的非参数核估计方法的联系，而在第七节中则讨论了上述在金融统计和地球物理学中的应用。第八部分是结论和展望。二、多元HAWKES过程及其二阶性质。我们考虑的是一个D维点过程Nt={Nit}1≤我≤D.每个分量都是一个1d点过程，其跳跃大小均为1，其在时间t时的强度为λit。因此，Ntisλt={λit}1的强度向量≤我≤D.我们认为NTI是一个霍克斯过程[2]，即，在时间t时，每个强度分量λIt可以写成Nt过去跳跃的线性组合，即。，我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） dNjs，（1）式中ou={ui}1≤我≤Dare外源强度o每个核函数φij（t）都是一个正的因果函数（即，它的支持包含在R+中）。它编码了NJ上一次跳跃对电流强度λ的影响。下面，核矩阵将表示D×D矩阵函数Φ（t）={φij（t）}1≤我≤D.使用矩阵符号，D方程（1）可以以非常综合的方式重写为λt=u+Φ dNt，（2）式中λ={λi}1≤我≤Dand接线员表示正则矩阵乘法，其中所有乘法都由卷积代替。让我们提醒一下，如果以下假设成立[2]，过程n是渐近平稳增量（过程λ是渐近平稳的）：（H）矩阵| |Φ| | |={| |φij | |}1≤我≤Dha的谱半径ρ严格小于1，其中| | g | |代表| | g | |=Rg（t）dt。

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能者818

2022-5-5 08:38:55

在下文中，我们将始终认为（H）成立，并且我们将认为Nt对应于渐近极限，即Nth为平稳增量，λ为平稳过程。在这种情况下，与每个分量相关的平均事件率的向量∧读取[2]：λ=E（λt）=（I- ||Φ||)-1u. （3）在下文中，∧i指∧的第i个分量。备注（霍克斯过程中的抑制效应）。让我们指出，Br’emaud和Massouli’e[24]已经证明，当λ是Φ的非线性正Lipschitz函数时，稳定性条件准则仍然有效 dNtand，其中内核不限于正。式（2）的一个特别有趣的推广（在[20]中值得注意）是：λt=（u+Φ） dNt）+（4）式中，如果x>0，则（x）+=x，否则为（x）+=0。这个扩展可以解释φij（t）为负值时的抑制效应。B.通过二阶统计量刻画多元Hawkes过程在本节中，我们回顾了与多元Hawkes过程相关的相关矩阵函数的主要性质，并证明它完全刻画了这些过程。二阶统计量通过微小协方差求和：Cov（dNit，dNjt′）=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′，1≤ i、 j≤ D.（5）如前所述，在假设（H）下，可以认为Nt具有固定增量，因此，Cov（dNit，dNjt′）仅取决于t′-t、此外，这些度量是非奇异度量，除了i=j，它有一个狄拉克分量δ（t）。

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2022-5-5 08:38:58

因此，这种协方差的非奇异部分可以写成νij（t′）- t） dtdt′=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt，1≤ i、 j≤ D、（6）式中，ij是Kronecker符号，它总是0，除非i=j，在这种情况下它等于1。让我们指出，由于过程N的所有跳跃的大小都是1，二阶统计量可以根据条件期望重写（见[1]）。事实上，对所有人来说≤ i、 j≤ D、设gij（t）是测量E（dNit）密度的非奇异部分- ∧idt | dNj=1），即gij（t）dt=e（dNit | dNj=1）- ijδ（t）- ∧idt。（7）然后是νij（t′）- t） dtdt′=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=E（dNjt′|dNit=1）P{dNit=1）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=E（dNjt′）-t | dNi=1∧idt- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=∧igji（t′）- t） dtdt′由此得出：ν（t）=∑gT（t）（8），其中gT（t）代表矩阵g（t）的转置。在[21]中，已经证明了“极小”协方差矩阵ν（t）={νij（t）}0≤i、 j<d可以与核矩阵Φ直接相关：命题1（来自[21]）。设ψ（t）=P+∞k=1Φ(k）（t）在哪里(k）代表矩阵卷积Φ Φ . . . Φ（其中Φ重复k次）。Leteψ（t）=ψ(-t）。然后ν（t）=（δI+eψ） ∑（δI+ψT）（T）- δ（t）∑（9），其中∑是由∑ii=λi定义的对角矩阵，其中我们使用约定δ δ（t）=δ（t）。在拉普拉斯域中，最后一个方程表示^ν（z）=（I+^ψ）(-z） ∑（I+ψT（z））- Σ. （10）此外，I+^ψ（z）=（I-^Φ（z））-1，（11）式中，Lcausal函数s（t）的拉普拉斯变换定义为：^s（z）=z+∞-∞s（t）eztdt，Z∈ C（12）由式（8）和式（9）得出：g（t）=νt（t）∑-1=（δI+ψ） ∑（ΔI+eψT）（T）∑-1.- δ（t）I.（13）或者，在拉普拉斯域^g（z）=（I+^ψ（z））中∑（I+^ψt(-z））∑-1.- 我

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2022-5-5 08:39:01

（14）自（δI）- Φ) （δI+ψ）（t）=δ（t）I，（15）用δ（t）I卷积（13）的两侧- Φ（t）导致（δI- Φ) g（t）=∑（δ（t）I+eψt（t））∑-1.- δ（t）I+Φ（t）（16），其中- Φ) g（t）=∑eψt（t）∑-1+Φ（t）（17）由于Φ（t）的所有元素都是因果函数（即，由R+支撑），并且由于ψ（t）只是表示为矩阵Φ的卷积积，所以ψ（t）的所有元素也都是因果函数。写下t>0的最后一个等式，从而得出以下命题：命题2。核矩阵函数Φ（t）表示D维维纳-霍普夫系统G（t）=Φ（t）+Φ g（t），t>0（18）Wiener-Hopf方程在过去的一个世纪[25]-[27]中得到了广泛的研究，并出现在各种各样的物理问题中。最后一个方程组是霍克斯在[3]中首次建立的（另见[1]），目的是将g（t）（被认为是“未知”）表示为Φ（t）的函数。他证明了它在g（t）中有唯一的解。人们可以用另一种方法来计算，并将其视为Φ（t）（未知）满足的方程组，g（t）已知。在附录A中，由于Wiener和Hopf[27]引入了著名的因式分解技术，我们证明了这个系统（18）在Φ（t）中允许一个唯一的解：定理1。设Nt为D维Hawkes过程，具有外生强度u和核矩阵Φ（t）作为第II-a组的定义。设Φ（t）满足假设（H）（如上所述，我们可以将Nt视为平稳增量）。设g（t）为矩阵g（t）={gij（t）}1≤i、 j≤Dde由（7）定义。那么矩阵Φ（t）是方程组（其中χ（t）是未知的）g（t）=χ（t）+χ（t）的唯一解（其元素都是因果的且在L（R+）中） g（t），t>0。（19）然后可以陈述推论：推论1。

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2022-5-5 08:39:04

具有平稳增量的多维霍克斯过程由其一阶统计量（即强度λ（t）的期望）和二阶统计量（由其相关函数（5）或条件期望（13）给出）唯一定义。事实上，这是定理1的直接结果，该定理证明了二阶统计量充分刻画了核矩阵Φ（t）；（3）的特征，该定理允许将μ表示为| |Φ| |和一阶统计量∧的函数。三、多维标记霍克斯过程的非参数估计：框架和主要原则正如我们将在本节末尾看到的，上一节的结果自然会导致多维霍克斯过程的非参数估计方法。实际上，我们将在一个比上面介绍的更一般的框架中开发我们的估计框架，这个框架在应用中非常有用：多维markedHawkes过程框架。A.标记的霍克斯工艺框架使用与第II-A节相同的符号，每个部件NITI现在与可观察的iid标记ξ关联。ξ仅在跳跃时为非零。在下文中，我们注意到pi（x）随机变量ξ定律的密度有条件地符合事实。然后我们用新的方程替换（1）我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） fij（ξjs）dNjs，（20）其中过去观察到的标记ξjs通过未观察到的标记（正）函数fij（x）影响电流强度λit。由于fij（x）仅通过乘积φij（t）fij（ξj）参与，因此它被定义为一个乘法因子。

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大多数88

2022-5-5 08:39:08

我们通过选择E（fij（ξj））=1的fij来确定这个系数。与未标记的情况一样，很容易证明，在条件（H）下，可以认为n是平稳增量，而（3）仍然成立。我们现在定义函数gij（t，x）asGij（t，x）dtdx=E（dNit | dNj=1和ξj，代替未标记霍克斯过程的函数gij（t）（见（7））∈ [x，x+dx]）- ijδ（t）dx- ∧idtdx。（21）让我们注意到gij（t）=RGij（t，x）pi（x）dx。在附录B中，我们证明GIJS是一个积分方程系统，如以下命题所述：命题3。让我∈ [1，D]固定。核{φij（t）}1≤J≤第III-A节中定义的标记霍克斯过程满足以下积分方程组：J∈ [1，D]，t>0，x、 Gij（t，x）=φij（t）fij（t）+DXk=1φik 其中Kij kx（t）=Gkj（t，x）1R+（t）+∧k∧jZdzfik（z）pk（z）Gjk(-t、 z）1R-（t）。（23）B.Wiener-Hopf方程在分段常数fijmark函数的情况下，在非参数估计框架中，系统（22）的未知量是核φij和标记函数fij。在无标记霍克斯过程的情况下，我们已经证明（见等式（18））这个系统是一个维纳-霍普夫系统。我们证明了解的唯一性，并且可以使用标准方法来求解它。这个系统（22）不再是一个让事情变得更加困难的温纳-霍普夫系统。在分段常数标记函数fij的特殊情况下（具有M个分段数），很容易证明过程N基本上对应于维度DM的非标记霍克斯过程：每个分量对应于与M个标记函数值之一相关的标记霍克斯过程的一个分量的跳跃。因此，很明显，系统（22）可以按照（18）类型的DM-Wiener-Hopf系统来编写。

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2022-5-5 08:39:11

这将是我们非参数估计程序的基础。备注：在继续之前，让我们指出，如果标记ξi仅通过有限数量的M值影响过程的强度，我们可以考虑更一般的框架，其中内核本身取决于标记，即。，我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） ■φij（t）- s、 ξjs）dNjs，（24）并且，遵循与上面相同的参数，估计所有核＠φij（，.）求解DM-Wiener-Hopf系统。这可以按照与下一节描述的算法完全相同的路线实现。为了简单起见，我们将在∧φij（t，ξ）=φij（t）fij（ξ）的情况下描述算法。我们认为，对于任何j，都存在一个区间数为{Ij（l）}1的R覆盖≤L≤mj，对于任意i和任意l，fij（x）限制为x∈ Ij（l）是一个常数函数，其值为fijl：十、∈ Ij（l），fij（x）=fijl。（25）由于标志ξij仅通过函数fij（ξij）参与过程构造，很明显函数x→ Gij（t，x）也是分段常数。因此我们注意到十、∈ Ij（l），Gij（t，x）=Gijl（t）。（26）同样，我们注意到Zij（l）pj（x）dx=pjl。（27）对于固定i和j，以及固定x∈ Ij（l），等式（22）和（23），然后重写t>0，Gijl（t）=φij（t）fijl（t）+DXk=1φikGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jmkm=1fikmpkgjkm(-t） 1R-（t）（28）由于E（fik（ξik））=1，一个hasPMkm=1fikmpkm=1，那么，如果我们改变变量φikm（t）=fikmφik（t）（结果是pmkm=1pkmφikm（t）=φik（t）），我们得到t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1φikmpkmGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jpkmGjkm(-t） 1R-（t）（29）我们最终得到了维纳-霍普夫系统提案4。让我∈ [1，D]固定。

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2022-5-5 08:39:14

标记核{φijl（t）=fijlφij（t）}1≤J≤D、一,≤L≤MJ满足以下维纳-霍普夫系统：t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1Z+∞φikm（s）Kij kl（t）- s） ds，（30）其中kij kl（t）=pkmGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jpkmGjkm(-t） 1R-（t）。（31）Moroever，φik（t）=MkXm=1pkmφikm（t）（32）因此我们得到了D维Wiener-Hopf系统，其中M=PDj=1Mj。解的唯一性实际上是从A节的结果中推导出来的，在A节中我们证明了系统（18）解的唯一性。实际上，正如我们在上一节中所解释的，我们在这里考虑的有标记的霍克斯过程相当于维数DM的无标记霍克斯过程。让我们指出，在函数fijare是常数函数的情况下（因此等于1，因为E（fij（ξijt））=1），我们恢复系统（18）（对应于D维的D维纳-霍普夫系统）。实际上，在这种情况下，我们有gijl（t）=gij（t），φijl（t）=φij（t），pjl=1，对于所有的t<0，gij（t）=∧i∧jgij(-t）。C.使用Nystr–om方法离散系统（22）求解维纳-霍普夫系统（30）是我们估计过程的主要原则。关于求解维纳-霍普夫方程的数值算法有大量文献[27]，[28]。Nystr–om方法是一种特别简单、效果特别好的算法[29]。它基本上包括用Q点求积法用离散和代替卷积（在时间上）。然后，对于每一个i，求解（30）个量，在求解一个线性QDM维标准线性系统时，只需将相应的QMD×QMD矩阵求逆即可。当然，为了得到核φij和常数fijl的完整估计，我们必须求解D个这样的系统（i的每个值对应一个）。

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2022-5-5 08:39:17

让我们指出，当在正交点上估计核时，使用正交公式，可以在任何网格上计算这些估计。如果我们假设内核由[0]支持，那么[1]得到t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1ZAφikm（s）Kij-kl（t- s） ds。（33）然而，当使用Nystr–om方法，即使用求积方法计算积分时，必须小心，因为核Kij-kl（t）在t=0时通常是不连续的。处理对角线上奇异（非爆炸）的Wiener-Hopf内核的标准方法是用以下方式重写（33）：t>0，Gijl（t）=φikl（t）+DXk=1MkXm=1ZA（φikm（s）- φikm（t））Kij-kl（t- s） ds+φikm（t）ZAKij kl（t）- s） ds。（34）第一个积分中的项不再是不连续的（正交误差将小一阶），第二个项可以直接估计，直接估计Gijl（t）函数的原始函数，并使用公式ZAKIJ kl（t- s） ds=pkmZtGkjl（s）ds+∧k∧jZA-tGjkm（s）ds！。（35）D.非参数估计的主要步骤我们现在准备好介绍估计算法的主要步骤。我们请读者参阅第V-A节，以了解该算法的更详细描述。多维Hawkes过程的非参数估计的主要步骤是：o对于所有j∈ [1，D]，fix先验的mj区间{Ij（l）}1≤L≤标记函数fij（x）被视为常数的mj尽管如此，j∈ [1，D]和l∈ [1，M]，估计条件律函数Gijl（t）=Gijl（t，x∈ Ijl）如（21）所定义，用经验平均值代替预期。这些函数是密度度量，特别是它们是正的（cf（13）），尽管它们的和不等于1。使用经典的基于核的非参数估计技术来估计iid实现中随机变量的密度是非常自然的[30]。

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2022-5-5 08:39:20

这通常涉及一个带宽参数h，它对应于内核支持的大小。该井可在第IV-A节中开发。o使用Nystr–om方法求解Φ中的维纳-霍普夫系统（22），如第III-C节所述，使用Q高斯质点使用求积公式，可以在任意分辨率的网格上重新采样如此获得的Φ估计（在求积点处）。该方法主要涉及两个关键参数：带宽h和正交点的数量Q。下一节给出了如何定义这两个参数的一些见解。四、带h和正交点数量Q的带宽选择本节的目的是给出控制前面介绍的估计程序误差的定性参数，并了解如何选择估计参数h（带宽）和Q（正交点数量）。这将通过数值模拟加以说明。为了简单起见，我们认为霍克斯过程没有标记。在有标记的霍克斯过程中，这些参数是完全相同的。误差主要有两个来源：（E）第一个来源于条件期望密度gij（t）（7）的估计。该误差基本上由可用数据量控制，即可用跳数J和带宽参数h的值。（E）另一个来自维纳-霍普夫系统的反转（18）。这个误差基本上由正交点的数量Q控制。在误差分析中，很难考虑Wiener-Hopf系统的核是一个随机函数（即条件期望的经验估计）。在[20]中，这个问题已经在某种特定情况下得到了解决（见第六节）。

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2022-5-5 08:39:24

显然，为了深入理解估计器的性能，这个问题应该得到解决。然而，在一般情况下，这是一个非常困难的问题，至今仍未解决。A.条件期望密度估计-带宽（h）选择第III-D节中介绍的算法的主要步骤之一是估计（7）定义的函数gij（t），对于t>0（对于负t，可以使用公式gij）(-t） =gji（t）∧i∧-1j）。这些函数是密度度量，尤其是它们是正的（cf（13）），尽管它们的和不等于1。使用经典的基于核的非参数估计技术来估计IID实现中随机变量的密度是非常自然的[30]。设K（x）为l阶核函数，即RK（u）du=1，RK（u）du<+∞ 对于所有n，1，andRunK（u）du=0≤ N≤ l、因为我们只想对t>0进行估计，所以可以方便地选择K（u）在R+中的支持。为了简单起见，我们认为我们有R iid实现{Nt（R）}1≤R≤区间[0，tmax]上的霍克斯过程，使得g[tmax+∞[ 0). 对于每个实现r，我们称tjn（r）为第j个组件Njt（r）的第n个跳跃时间。对于给定的带宽h>0，考虑以下gij（t）+∧ifort>0gij的估计器是很自然的*（t） =RhRXr=1ZtmaxdNiu（r）Ku- tj（r）- th！（36）在未标记的情况下，函数Gijl（t）为Gijl（t）=gij（t），t均方误差定义为：MSE（h）=E（E）=E（gij（t）- gij*（t） )= V ar（gij）*（t））+b（t），其中我们表示估计偏差b（t）=gij（t）- E（gij）*（t））。附录C证明了该误差的以下经典界：命题5（收敛速度）。如果gij（t）是H¨olderβ，如果核K是l阶的≥ β - , 然后是均方误差（MSE）满足度（h）≤ Ch2β+CRh。

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2022-5-5 08:39:28

（37）最小值为h*=C2βC2β+1R-2β+1，（38），其中一个得到通常的自适应非参数收敛速度mse（h*) = E（E）=OR-2β2β+1. （39）因此，例如，在φij（t）\'s为H¨1（即β=1）的特殊情况下，使用一个简单的0阶核（例如asK（u）=1[0,1]（u）），如果选择H*R阶-1/3，我们预计MSE为R级-2/3式中，R是霍克斯过程的iid实现数。让我们指出，在实践中，一个人往往有一个单一的认识。然后，我们可以在这种实现的不同跳跃上估计gij+iby平均值。更准确地说，我们将在时间间隔[0，tmax]上使用R个实现的（36）替换为在时间间隔[0，T]上使用单个实现的以下估计（用T>>tmax）：gij*（t） =JhJXn=1ZTdNiuKU- tjn- th, （40）其中J是实现的事件数。经过一段时间后，实现可以被认为是独立于它的开始。然后应该得到一个误差，其大小为of e=OJ-β2β+1, （41）对于β=1，它给出了J级的误差-1/3.这些结果如图1所示，其中我们计算了具有指数核（φ（t）=0.1e）的一维霍克斯模型中g（t）上的积分均方误差（MISE）-0.2t，u=0.05），对于不同的实现尺寸，J从8.10增加到10，增加系数为2。为了估计MISE，我们对每个参数进行了500次模型试验，并使用g（t）的解析表达式估计了MISE。从对数表示中可以看出，对于每个样本大小（J），小h区域的误差减小，正如等式（72）中所预期的，随着h的增加-1.对于较大的h值，可以清楚地观察到预期表现为h的偏差贡献。我们检查了最佳值（h*) 表现为大J灰* CJ-0.33.

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2022-5-5 08:39:31

在右面板图中，以对数刻度报告了最小MISE误差作为样本大小的函数。正如式（39）所预测的，我们得到一个指数接近2/3的幂律。使用交叉验证进行选择。从实用的角度来看，为了选择带宽h的最佳值*从时间间隔[0，T]上的单个实现（R=1），可以使用交叉验证方法。实际上，在MISE计算中，唯一依赖于h的项是：M（h）=EZtmaxgij*（t） dt- 2Ztmaxgij（t）gij*（t） dt（42）=EZtmaxgij*（t） dt+2∧iZtmaxgij*（t） dt- 2 EZtmaxgij*（t） dNi（t）| dNj=1我们认为gij（t）具有[0，tmax]中包含的支持，并且我们使用定义gij（t）=E（dNit | dNj=1）-∧idt。用经验平均值替换前一个方程期望值中的最后一项，结果是，以下对比度函数提供了M（h）：C（h）=Ztmax[gij的（无偏）估计量*（t） +2∧igij*（t） ]dt-JXtjkXtjk<til≤tmax+tjkgij*（直到- tjk）（43）注意，最小h*取决于i和j，但为了简单起见，我们选择省略上标i，j。-5.-3.-1日志2（h）-14-12-10-8.-6.-4log2（MSE）1315 1719 21log2（J）-14-13-12-11-10-9-8log2（MSE）图1。对于u=0.05且φ（t）=0.1e的一维Hawkes模型，作为核宽度h（左面板）和样本量J（右面板）函数的平均积分平方误差（MISE）-0.2吨。使用500个过程的蒙特卡罗样本估计了误差。在左面板中，代表了与各种样本大小相关的MISE（J=8.10、1.610、3.210、…、1.24.10）。结果与命题5吻合得很好。-6.-4.-2 0 246log2（小时）-0.12-0.10-0.08-0.06米*（h）图2。M的估计*（h）（o）（见（46））与一维霍克斯样品的理论M（h）（实线）（见（42））相比。M（h）对应于MISE的h依赖部分。

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2022-5-5 08:39:35

顶部线条对应于样本大小J=10事件，而底部曲线对应于样本大小J=5.10。所有曲线均绘制为对数（h）的函数。在每种情况下，霍克斯模型对应于指数核φ（t）=0.1e-0.2T，u=0.05。估算曲线（o）与理论曲线（实线）吻合良好。达到最小值的横坐标提供了最佳带宽h的估计值*. 在这两种情况下，我们在等式（46）中选择R=10。其中J代表Nj的事件数，第一个和取成分Nj的所有跳跃时间tjk，第二个和取成分Nisuch的所有跳跃时间til，tjk<til≤ tmax+tjk。交叉验证法可用于估计C（h）的期望值。为此，将总体实现时间间隔[0，T]除以大小相等的R个间隔，即Ir=[（R- 1） TR，rTR]代表r∈ [1，R]。然后，对于每个区间Ir，条件期望GIJIs按照与（40）相同的想法进行估计，仅对不在Ir中发生的NJ跳跃进行平均。更准确地说，我们得到了由gij（r）（t）=（J）定义的估计值gij（r）- Jr）hXtjn/∈IrZTdNiuKU- tjn- th, T∈ [0，tmax]，（44），其中jr对应于时间间隔Ir中发生的nji跳数。然后在Ir上估计对比度函数（43），即C（r）（h）=Ztmax[gij（r）（t）+2∧igij（r）（t）]dt-JrXtjk∈IrXtjk<til≤T+tjkgij（n）（til）- tjk）。（45）因此，M（h）=E（C（h））的估计自然是通过对所有n:M的所有可能回声的所有如此获得的量进行平均得到的*（h） =RRXr=1C（r）（h）。（46）M的例子*（h）图2给出了霍克斯过程的一个简单的一维示例曲线。M的估计*（h） isclose理论量M（h）。

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2022-5-5 08:39:38

与如此获得的M的最小值相对应的横坐标*（h）曲线给出了最佳带宽h的估计值*H*= 阿格明姆*（h）。B.总体误差——正交点数量的选择Qi如果假设g（t）估计无误差，则仍需研究由于正交近似产生的误差。函数K（t，s）=g（t- s）是Wiener-Hopf系统（18）的核心。即使φij（t）函数是正则的，这也是一个奇异核，因为它在对角线上通常是不连续的（除非维数D=1）。关于如何数值求解对角线上带有奇异核的Wiener-Hopf系统（尽管通常奇异性比“简单”不连续性强得多），已有大量文献。对所有这些方法进行比较，并试图了解哪种方法更适合我们的估值器，这超出了本文的范围。一种非常流行的方法是上面已经描述过的Nystr–om方法。它包括重写（18），就像我们将（33）重写为（34）时所做的那样，即隔离内核的奇异行为：g（t）=Φ（t）+ZΦ（s）g（t）- s） ds=Φ（t）+Z（Φ（s）- Φ（t））g（t- s） ds+Φ（t）Zg（t）- s） ds。最后一个积分项可以“直接”估计，即估计g（t）的本原函数。另一个积分项用求积法近似（我们将使用高斯求积）。让我们再次假设Φ（t）的每一个元素都是β（这里我们假设β≥ 1）它们都是以常数φ为界的∞. 再次使用（13）和（71），我们可以很容易地证明g（t）的每个元素的边界是：g∞= Aφ∞1.-ρ（A+1）-ρ），其中A和A是一些常数。我们还假设导数φ′（t）的所有元素都以常数φ′为界∞. 然后是（Φ（s）中的术语- Φ（t））g（t- s）在任何地方都属于H类β，除了对角线s=t上的导数可能是不连续的。

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2022-5-5 08:39:41

如果求积法使用Q点，且基本上大于max（2，β），则非对角项的误差为φ级∞G∞Qβ，而对角线项的误差为φ′级∞G∞Q.总正交误差为正交误差的数量级~ G∞φ∞Q+φ′∞Qβ应用卷积算子求解维纳-霍普夫方程，其拉普拉斯变换为（见（14））（I+^g（z））-1=∑（I）-^ΦT(-z））∑-1（I）-^Φ（z））。这个算子有一个常数乘以φ的范数∞. 因此，维纳-霍普夫反演产生的误差为正交误差的阶数：E=OQ-2+Q-β（47）因为，正如我们刚才看到的，维纳-霍普夫反演涉及一个范数由常数（由φ控制）限定的算子∞) 维纳-霍普夫核估计误差E（与g（t）估计中的误差有关）在进行反演时不改变量级。我们推断总误差的顺序（当h=h时）*) 基本上应该是两个误差之和的顺序（见（41））总体误差：E+E=OJ-β2β+1+ OQ-2+Q-β101112 1314 151617log2（J）-8.-7.-6.-5.-4log2（错误）g（t）L上的RMSE∞ φ（t）图3中的误差。g（t）和L上的均方根误差∞对于与图1相同的霍克斯过程，φ（t）作为样本量函数的误差（对数刻度）。在这两种情况下，h=h*四分之一点的数量Q保持不变（Q=30）。这两个错误都表现为J-1/3.同样，正如本节导言中所解释的，我们忽略了一个事实，即系统的反转涉及一个我们需要控制的随机内核，以便控制错误。在这方面，人们总是可以选择足够大的Q，以便与估计误差（E）相比，正交误差可以忽略不计<< E）因此，总的误差将始终表现为asOJ-β2β+1.无花果。

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2022-5-5 08:39:44

3.我们已经报告了∞φ（t）上的误差作为之前使用的n维Hawkes过程样本量的函数。我们设定Q=30，并为每个J选择h=h*（即最佳带宽）。可以看出∞误差表现为g（t）上的均方根误差（RMSE），即J-1/3.020060800100Q0。20.40.60.81.0Relalive L2错误（in%）0 20 40 60 80 100Q0。00.20.40.60.81.0RQ（以百分比计）0204060801020140160Q2。53.03.54.04.55.0Relalive L2错误（in%）020040601020120140160Q01234RQ（in%）图4。作为正交节点数量Q函数的估计误差依赖性。左面板：对于具有指数核（顶部）或幂律核（底部）的1D Hawkes过程（J=10个事件），相对误差显示为Q的函数。右面板：在指数情况下（顶部）和幂律情况下（底部），作为Q函数的经验相对变化RQ（等式（48））。可以看出，在这两种情况下，选择Q是足够的∈ [20,40]非常接近非常大Q的最佳估计值。选择正交点数量Q。从实际角度来看，为了选择使用的正交点数量Q，可以从相对较小的Q值开始（例如Q=20），计算估计核数，并将其与增加Q值时获得的估计核数进行比较。当两个估计值“非常接近”时，应停止增加Q。为了确定Q是否足够大，例如，可以检查相对Lvariation，RQ=| |^φQ-^φ2Q | | |^φQ | |，（48）足够小（例如RQ<1%）。这如图4所示，其中我们绘制了相对误差| |φ，作为Q的函数-^φQ | | |/| |φ| | | | | | | |和rqf分别涉及一个指数核（顶部）和幂律核（底部）的一维霍克斯过程的两个例子。

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2022-5-5 08:39:47

我们可以看到，在这两种情况下∈ [20,40]足够大了。对于本文中给出的所有数值说明和应用，选择了该范围内的一个值。根据经验，我们观察到，对于各种各样的谷粒形状和10到10之间的样本大小，这个范围足以达到最佳结果。05101520 25t-0.020.020.060.100.14φ11（t）05101520 25t-0.020.020.060.100.14φ12（t）05101520 25t-0.050.050.150.250.35φ21（t）05101520 25t-0.050.000.050.100.150.20φ22（t）0 246 8 10m0。00.51.52.0f22（m）0 246 8 10m0123456f21（m）图5。按照第V-A节的估算程序，对第V-B节中定义的二维标记霍克斯模型进行非参数估算。估算基于组件Nt（分别为Nt）的4.5 10（分别为4 10）个事件的实现。我们使用h=0.5和Q=50。实线代表分析曲线和符号(o) 经验估计值。顶部的四个图显示了核矩阵Φ估计。底部的两个图显示了对标记函数的估计。参见图6了解算法的优度V.描述-数值说明下一节给出了算法的详细描述，下一节给出了几个数值说明。012 345678Exp。定量。012345678N1电磁脉冲。定量。012 345678Exp。定量。012345678N2电磁脉冲。定量。图6。Q-Q图显示了V-B中定义的二维标记霍克斯模型估计的拟合优度（估计结果见图5）。实线代表预期的对角线和符号(o) 经验估计值。A.

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2022-5-5 08:39:52

算法描述在本节中，我们在第三节中介绍的markedHawkes过程的框架内精确描述了非参数估计过程的每一步。o向量∧的估计（简单地用作∧的估计，即由整体时间实现划分的实现的跳跃次数）o对于所有j∈ [1，D]，我们必须先验地选择mj和区间{Ij（l）}1≤L≤Mjo全j∈ [1，D]而且我∈ [1，Mj]，概率Pjl的估计由（27）定义。为此，只需计算区间Ij（l）内的已实现标记ξjs的数量即可必须使用第IV-a节中解释的经验平均值估计{Gijl（nh}n（在先验选择的支持[0，tmax]）。为此，必须选择带宽h的值。第IV-A节解释了（为了清楚起见，本节仅涉及无标记霍克斯过程的简单情况，但概括是显而易见的）如何通过交叉验证获得该值固定要使用的正交点Q的数量，以及对所有核函数的支持（我们使用高斯求积）。总的来说Q 3 0是足够的，但是，在第IV-B节的末尾，我们解释了如何自适应地选择该值。然后，对于每一个我∈ [1，D]，通过使用正交点对（29）中的卷积进行离散，求解QM线性系统。

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2022-5-5 08:39:56

这导致了对正交点上所有函数的估计使用公式φij（t）=PMjm=1pjmφijm（t）可以简单地获得核的估计（在正交点上）。Lnorm | |φij | |=R+∞φij（t）dt以及高分辨率网格上的核重采样可通过再次求积公式获得应检查如此估计的霍克斯过程的稳定性条件（即，由LNORM | |φij | |制成的D×D矩阵的光谱半径必须严格小于1）。o可通过公式fijl=| |φijl | | |/| |φij |获得标记函数fij（t）的分段值fijl的估计。B.数值说明在本节中，我们将在考虑不同情况的各种示例上说明先前估计方法的性能：标记过程、非递减滞后核、缓慢递减核和可能为负的核。为了对D维霍克斯模型进行数值模拟，人们提出了各种方法。我们选择使用细化算法（如[31]所述）。这是一个增量算法，跳跃时间一个接一个地生成。在其最简单的版本中（在内核减少的情况下），在给定的时间t，它基本上包括拾取下一个潜在的跳跃时间t+t使用指数分布的随机变量参数为λt=PDk=1λkt的t。然后在[0，λt]上画出一个均匀随机变量F。如果F<λt-PDk=1λkt+t、跳转被拒绝。

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2022-5-5 08:40:00

如果未被拒绝，则将其分配给第i个组件，以使i是满足F的最大指数i≥ λt-圆周率-1k=1λkt+t、 04816T0。000.020.040.060.08φ11（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ12（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ13（t）048 12 16t0。000.020.040.060.09φ21（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ22（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ23（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ31（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ32（t）048 12 16t0。000.020.040.060.08φ33（t）图7。具有圆形相互作用的三维Hawkes模型的非参数估计。估计是基于每个组件大约有10个事件的实现。我们使用h=0.2和Q=50。实线代表分析内核和符号(o) 经验估计值。带指数核的二维标记霍克斯过程我们考虑的第一个例子是带指数核的二维标记霍克斯过程。该过程的矩阵Φ（t）读数为：Φ（t）=0.1e-0.2t0。1e-0.2t0。3e-0.9t0。3e-0.4tu=0.05，u=0.1。我们认为NTI带有一个标记m，该标记遵循平均值1的指数分布。我们选择标记函数：f（m）=m和f=1，也就是说，标记m只（线性）影响过程Nt的强度。在图5中，报告了估计的核函数和标记函数，这些核函数和标记函数是使用组件Nt（resp.Nt）的4.5 10（resp.4 10）事件实现的二维过程获得的。对于mark函数估计，我们假设f（m）在区间[k/2，（k+1）/2]上是分段常数，k=0，20.从四个最上面的图表中可以看出，每个指数核都得到了很好的估计（有关误差值的讨论，请参见下一节）。

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能者818

2022-5-5 08:40:04

在最后两个图中，我们展示了该图也恢复了标记函数。在估算过程中，我们选择了h=0.5和Q=50（关于如何选择这些值的讨论见第四节）。为了检查我们的估计，并在一组数据上测试霍克斯模型，我们可以通过简单地指出，每个点过程分量Nj（~t）是一个均匀泊松过程，被认为是“时间”~t=Rtλj（u）du的函数，来进行优度检验。在这方面，以t表示的事件间时间必须呈指数分布，即对于每个j，如果tjk表示Nj的去跳时间，那么：τjk=Ztjktjkλj（u）du（49）必须是iid指数随机变量。根据估计的核、基线强度和标记函数，可以对所有τjk进行估计。图6显示了经验分位数分布的Q-Q图（τkandτkwere Estimated0123φ（t）-10-8.-6.-4.-2024log2（t）-6.-4.-202log2[φ（t）]图8。具有幂律递减核的一维Hawkes模型的非参数估计。估计基于大约10个事件的实现。我们使用h=0.5和Q=50。左面板：估计值(o) 线性尺度下的理论（实线）核。右面板：估计值(o)以及对数尺度下的理论（实线）核。04816T-0.040.000.040.080.12φ（t）图9。具有抑制效应的霍克斯模型的非参数估计。模型的核心（实线）是第一个区间为负，另一个区间为正。如果在公式（2）中，λt<0的概率可以忽略不计，则估计方法提供了可靠的结果(o).从过去三年开始。10各成分的干预时间）与指数分位数的对比。

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2022-5-5 08:40:09

在这两种情况下，都可以检查两条曲线是否非常接近预期的对角线。在这个例子中，我们旨在说明两个特征：第一，我们可以忠实地估计霍克斯核，这些核不一定是递增的，在t=0附近。在一个多维霍克斯过程中，我们还可以在事件发生的复杂动态中，理清这些事件之间的因果关系（在格兰杰因果关系的意义上）。为此，我们考虑一个具有“循环”相互作用的三维霍克斯过程，即过程N（t）仅由过程N（t）激发的过程N（t）本身激发，而过程N（t）的事件由N（t）的事件触发。因此，在霍克斯矩阵中，只有φ（t）、φ（t）和φ（t）项不是零。我们选择这些核的形状为不同位置的三角形函数。在图7中，我们在一个样本上报告了这种过程的估计结果，其中每个过程有大约10个事件。我们可以看到，一个显著地恢复了3个过程之间的因果关系和相互作用核的三角形形状。图8显示了一个一维霍克斯模型的估计，其幂律递减核φ（t）=α（ν+t）-β，α=ν=0.1，β=。与前面的例子不同，这个核对大t有一个代数衰减。在图8的两个面板（对应于线性和对数表示）中可以看到，对于10个事件的样本，我们的估计在大范围到时间尺度上与预期核非常接近。让我们注意到，为了估计一个在几十年的支持度上缓慢收敛的核，g（t）和φ（t）的正则抽样方案不适合，因为它需要一个指数级的大矩阵来反转。为此，参考。

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