慢递减Hawkes核的估计：在高等教育中的应用

2022-5-7 06:44:18

霍克斯核缓慢减少的估算：应用于高频订购书模型Lingemmanuel Bacry、Thibault Jaisson和Jean-Fran,cois Muzy1、2数学中心、CNRS、Ecole Polytechnique、UMR 7641、91128 Palaiseau、Francoire Sciences Pour l’Environment、CNRS、Universit’e Corse、UMR 6134、20250 Cort\'e、，FranciabstractWe提出了[5]中研究的非参数Hawkes核估计程序的修改版本，该程序适用于缓慢减少的核。我们在涉及合理数量事件的数值模拟中表明，这种方法允许我们在至少60年的时间里忠实地估计幂律递减核。然后，我们提出了一个8维Hawkes模型，该模型适用于与某个资产订单的初始级别相关的所有事件。将我们的估计过程应用于该模型，可以揭示与中间价格变化相关的交易、限制和取消订单的耦合动力学的主要特性。关键词：霍克斯过程、核估计、幂律核、高频、订单动态、交易、限价订单、取消订单、市场影响。1引言对价格形成机制的理解仍然是定量金融中最具挑战性的问题之一。在大多数现代金融交易所中，资产通过连续的双重拍卖进行交易：代理人可以选择以特定价格购买或出售股票，在订单簿中发布限价指令，或使用市场指令执行可用的限价指令。只要他们的限价单没有执行，代理商也可以使用取消订单来执行限价单。

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kedemingshi

2022-5-7 06:44:21

订单簿形成的内在复杂性（它是大量匿名交易者的市场、限制和取消订单的结果）意味着，尽管其具有重大的实践和理论重要性，完整的订单簿模型相对较少（参见[11,37]了解连续双重拍卖功能的更多细节。[35,37]了解“零智能”，即书籍动态的纯随机模型[10,16,24]了解订单簿的马尔可夫模型）。一类较简单的模型不考虑流动性，只关注资产价格，这些价格被描述为各种类型订单影响的结果：以前的模型只考虑市场订单的影响[6,7,25]，而最近的一些模型考虑了所有类型订单事件的影响[11,13]。在最近的一项工作中，我们[4]中的一些人引入了一个使用HawkesProcess框架的价格影响模型。该模型与以前的影响模型具有相同的特点，但允许我们描述交易和价格变动的联合动态。特别是，与之前的影响模型不同，霍克斯模型考虑了价格变化对自身和交易的影响。霍克斯过程在[20]中被定义为点过程，其强度函数是过程λNt=u+Z过去的线性回归(-∞,t） φ（t）- s） dNs。霍克斯过程的自我和相互激励的性质使其自然地适应了多元计数过程的建模。例如，它们已成功应用于许多领域，如地震研究[32]、神经生物学[34]或社会学[30]。

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2022-5-7 06:44:25

在金融领域，它们最近被用于模拟交易或限制订单的到达[23,8,28]，微观结构层面的价格变化[3,4,19]，金融传染[1]或信用风险[14]。在这项工作中，我们将提出[4]影响模型的一个推广，以说明价格变化与订单一级的任何事件（市场、限制或取消订单）之间的相互作用。这个模型是一个8维的霍克斯过程，可以让我们直接测量内生性和这些事件之间的因果关系，有关使用霍克斯过程测量市场内生性的相关讨论，请参见[15]或[19]。就估计问题而言，在高频金融环境下，霍克斯核的前几次非参数估计导致指数略高于1的幂律递减核[2,4,19]。正如我们将看到的，这意味着需要在广泛的时间尺度（通常从10微秒到100秒）上估计内核，以捕获订单簿的动态。为此，我们对[4,5]中介绍的数值格式进行了改进，以处理缓慢递减的核。一些数值例子将说明，这种方法允许我们在大量的时间尺度上估计核，而这在[5]的高斯格式中是无法做到的。论文的结构如下。在回顾了多维Hawkes过程的主要定义和性质之后，我们在第2节介绍了主要的非参数估计原理。第3节解释了这些原理如何适用于缓慢衰减核的非参数估计。在本节末尾，我们将介绍这样获得的算法，并在数值模拟上进行测试。第4节介绍了一级图书模型。

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2022-5-7 06:44:27

它根据一年（2013年6月至2014年6月）内对应于DAX和外滩远期合约的高频数据进行校准。然后，我们就所有类型事件的内生性和相互影响对我们的结果进行评论。第5.2节“多维霍克斯过程和估计原理”总结了与以往研究相关的讨论和对未来研究的展望。在本节中，我们回顾了D维霍克斯过程的定义，并简要回顾了其主要性质。如需了解更多详细信息，请参阅[5].2.1基本定义2.1。D维点过程Nt=（Nit）1≤我≤Dis a hawkes process如果对于每个i，其强度函数λ的Ith分量是Nt过去跳跃的线性回归，即λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） dNjs，我∈ [1，D]，（1）其中u={ui}1≤我≤Dis指所谓的外生强度（带ui）≥ 0）和φ={φij}1≤i、 j≤d所谓的霍克斯核矩阵，其中每个φij（t）是面积正的因果函数。使用矩阵卷积表示法，方程（1）的系统简单地重写λt=u+φ* dNs。（2）让我们回顾一下Hawkes过程的以下众所周知的稳定性条件，例如参见[21]。提议2.1。如果定义为| |φ| |=（| |φij |）1的核的范数矩阵≤i、 j≤D根据定义，如果函数的支持包含在inR+中，则该函数是因果函数。有一个严格小于1的光谱半径，那么N允许一个具有静态增量的版本。让我们注意到，Br’emaud和Massouli’e[9]已经证明，当在方程（1）中λ是{dNs}s<tand的非线性正椭圆函数，且核φ的元素不被限制为正时，该稳定性标准仍然有效。在[18]过程中，φ+λ的推广被认为是特别有趣的* dNs）+（3）式中，如果x>0，则（x）+=x，否则为（x）+=0。

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2022-5-7 06:44:31

当φij（t）<0时，这种扩展允许oneto解释抑制效应。我们现在假设命题2.1的条件满足，并考虑平稳的霍克斯过程。下一个简单结果描述了N的一阶统计量的行为，参见示例[5]。提议2.2。N的强度向量的平均值：λ=（E[λt]，…，E[λDt]）Tsatis fies∧=（I- ||φ||)-1u. （4） 2.2二阶性质和Wiener-Hopf系统Hawkes过程的二阶统计量自然由它们的极小协方差函数表征。定义2.2。N的微小协方差ν是D×D矩阵，其元素为νij（t- t） dtdt=E[dNitdNjt]- λi∧jdtdt，其中∑是D×D矩阵，其对角线是平均强度∧i。以下结果如[2]所示。提议2.3。ν可以表示为φ的泛函：ν=（δI+ψ）* ∑（δI+ψT）（5）其中δ（T）代表狄拉克分布，∑是D×D矩阵，其对角线是平均强度∧I，其中矩阵ψ（T）定义为：ψ（T）=Xk≥1φ(*k）（t），（6）其中我们使用了符号φ(*k）（t）=φ* φ *. . . * φ（其中φ重复k次）。我们要提到的是，霍克斯过程有一种替代的“人口表示法”（参见[22]），根据它，它们被构建为以下人口过程的到达和出生时间：o有类型1的个体。。。，D.oi型移民的泊松速率为ui.o每个人都可以（先天）拥有所有类型的子女，出生或移民的j型个人的i型子女以强度φij（·的非均匀泊松过程分布- t）。在这个模型中，| |φij | | |显示为j型个体的IOI型子女的平均数量。因此，我们使用| |φij | |作为j和i之间“因果关系”的度量。

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2022-5-7 06:44:34

类似地，∧j/∧i | |φij | | |表示父代为j型个体的i型个体的比例。在这种结构中，矩阵ψ的元素ψij也具有自然解释。在时间t时，每一个类型为joccurring的外生事件的类型i的后代是一个平均强度ψij的点过程(·-t）。因此，| |φij | | |显示为从j型个体衍生而来的i型个体的平均数量。类似地，∧j/i | |ψij | |显示为i型个体的比例，其“祖先”是j型个体。正如在[5]中所解释的，由于跳跃的大小始终为1，霍克斯过程的二阶统计量也可以通过其条件统计量求和。定义2.3。我们定义了（gij）1所示的条件定律≤i、 j≤Das测度的非奇异部分E[dNit | dNj=1]：gij（t）dt=E[dNit | dNj=1]-i=jδ（t）- ∧idt。它们通过方程g（t）=ν（t）∑与极小协方差相联系-1.- δ（t）I.（7）以下命题，见[5]，通过维纳-霍普夫方程组将霍克斯过程的条件定律和核联系起来。提议2.4。给定Hawkes过程g的条件律，其核φ是Wiener-Hopf系统的唯一解：g（t）=φ（t）+g*φ（t），t>0。（8）方程（8）在φ中被视为一个方程，其解的唯一性在[5]中得到了证明。备注2.1。霍克斯过程的线性结构意味着它们具有与自回归过程相似的性质。特别是，前面的命题可以被视为Yule WalkerEquation的反命题。2.3 Wiener-Hopf系统解的存在性和唯一性Wiener-Hopf系统（8）是我们估计过程的核心。

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2022-5-7 06:44:37

[5]表明，如果g是定义2.3中定义的霍克斯过程的条件定律，那么系统（8）允许唯一因果解φ。现在我们假设∑、ν和g分别是任何平稳维点过程（不一定是霍克斯过程）的平均值、极小协方差函数和条件定律。利用维纳-钦钦定理，我们得到矩阵bν（z）对于任何z都是正的∈ R.因此，我们可以应用[17]中的定理8.2将ν分解为ν（t）=Y（t）* YT(-t）其中Y是因果关系。然后我们设置ψ=（Y- δI）√Σ-1和φ使得φ=ψ（I+ψ）-1为了得到φ满足方程（5），因此方程（8）（这两个方程对于g（t）=ν（t）∑是等价的）-1.- δ（t）I）。因此，即使我们正在研究的点过程不是霍克斯过程，方程（8）也只有一个解。因此，找到经验数据的维纳-霍普夫系统的解是有意义的。当然，这样得到的解不再一定是正的。稍后，我们将对负φ的解释进行评论。备注2.2。值得注意的是，从基本观点来看，求解维纳-霍普夫系统相当于找到核矩阵φ（和强度向量u），从而提供条件强度的最佳线性预测（在均方误差意义上）。这句话让[18,34]的作者考虑了一种替代的估计算法，该算法依赖于对比度函数的最小化，这是均方误差的代理（更多细节见[5]）。即使经验条件定律不等于实际条件定律。2.4估算原理如[5]所述，数值求解维纳-霍普夫系统（8）的过程遵循Nystr–om方法[31]。

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2022-5-7 06:44:40

更准确地说，假设过程N在区间[0，T]上实现，非参数估计的过程如下1。使用“足够精确”的时间网格计算矩阵函数g的估计值＠g（该时间网格外的g值将使用插值方案计算）。2。使用求积方法离散维纳-霍普夫系统（8）的欧南区间[Tmin，Tmax]。如果我们使用正交点{tk}1≤K≤正交权{wk}1的卡隆≤K≤K、我们可以得到，系统<<gij（tn）=φij（tn）+DXl=1KXk=1wk>>gil（tn- tk）~φlj（tk），N∈ [0，K]，（9）对于所有i，j∈ [1，D].3。逆这个线性系统。这导致在正交点{φij（tn）}i，k处的矩阵核的估计∈[1，D]，n∈[1，K]以及| |φ| |的估计（使用求积）。根据经验估算平均强度∧（仅计算过程每个组件上的点数），并使用（4）估算u。在[5]中（在高斯求积的框架中）对该算法进行了深入研究，并表明它对霍克斯过程进行了快速有效的非参数估计。事实证明，在实现过程中有大量的跳跃，并且矩阵核在时间上没有很好地本地化的情况下，它尤其具有竞争力。让我们指出，[5]表明，即使核矩阵的某些元素具有中等负值，该算法也能得到精确的结果。然而，正如我们将在下一节中展示的，当核矩阵的某些元素是幂律时，估计的质量可以显著提高。在这种情况下，由于幂律核指数的“质量”分布在大范围的尺度上，因此不适合使用高斯求积，并导致不准确的估计。

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2022-5-7 06:44:43

我们将在高频金融数据的框架内研究这一现象。3慢衰减核的非参数估计处理高频金融数据时的一个主要问题是，动力学中涉及的尺度范围相当大。这会转化为支持度大的内核，通常从Tmin=100微秒到Tmax=100秒，缓慢衰减（类似幂律），在小滞后（大约Tmin）时变化非常快，在较大滞后（大约Tmax）时变化非常慢。让我们一步一步地遵循第2.4节的算法，并解释如何使其适应这个框架。3.1使用适用于gStep 1的样本网格。该算法的第一步（g的估计）显然是敏感的。由于核在很小的滞后时间内变化非常快，因此在估计g在0附近的行为时比在其他任何地方都要小心。在附录A中，我们精确地描述了本文中用于g估计的算法。它基本上包括两个步骤：（i）在0附近比其他任何地方更密集的时间网格上进行g的经验计算，（ii）用于在任何时候计算g值的线性插值（在我们所有的数值实验中，我们检查了高阶近似不会给整个算法带来相关精度）。3.2对于自适应的求积方案，求积的选择（算法中的步骤2）是下一个（也是最后一个）敏感步骤。文献[5]中用于求解维纳-霍普夫系统的高斯求积显然不适合这种情况。事实上，高斯正交点在[0，T]上大致一致，而核在0附近变化非常快，在其他任何地方变化都很慢。

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kedemingshi

2022-5-7 06:44:47

为了精确估计整个范围内的核[Tmin，Tmax]，高斯求积受其在小滞后（t’Tmin）下的行为的约束，这意味着使用k=Tmax/Tmin=10阶的多个求积点，即使对于D=1，也远远不能用数字解系统（9）。避免这种困难的一种方法是通过使用[36]中提出的变量变化来增加接近零的点。让{tk，wk}1≤K≤k对应于[log（Tmin），log（Tmax）]，wethen集（tk，wk）=（etk，etkwk）上的高斯求积格式。（10）然后我们用新系统替换系统（9）：~gij（tn）=~φij（tn）+DXl=1KXk=1wk~gil（tn- tk）~φlj（tk）。（11）为了测试这种新的估计方案，我们模拟了一个参数为φ（t）=0.06（0.005+t）1.3和u=0.05的一维霍克斯过程。（12）模拟是在足够长的时间（10秒）内进行的，因此与“正交误差”相比，蒙特卡罗误差足够小。备注3.1。该内核与涉及高频金融动态的内核检查相同类型的“多尺度行为”。事实上，90%的疟疾是在50年内传播的：从10年开始-3到10秒，在这个意义上+∞φ（t）dt=0.98，R-3φ（t）dt=0.05安德烈+∞φ（t）dt=0.05。我们采用了第2.4节中描述的算法，在该算法中，我们使用附录A中描述的程序，使用hmin=1ms、hmax=1000s和hδ=0.05来估计g，并将（9）替换为（11）。我们选择K=200，Tmin=1ms，Tmax=2000s。图1显示了获得的结果。

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2022-5-7 06:44:51

左侧显示了估计核和理论核（以及条件律g）的对数图。右边显示了理论核和估计核[0，t]上的积分。图1：左图：在尺寸为T=10秒的一维Hawkes情况下，使用参数（12）估计条件定律g和核φ。使用附录A中所述的程序，使用hmin=1ms、hmax=1000s和hδ=0.05进行g的估计，并使用第9节的算法进行核估计，高斯求积随变量（10）的变化而变化（K=200、Tmin=1ms、Tmax=2000s和USδ=0.077）。这三条曲线对应于对数-对数经验条件定律（蓝色）、理论核（红色）和估计核（绿色）适用于200个正交点。右图：累积理论核辐射φ（s）ds（绿点）和累积估计核辐射φ（s）ds（蓝色）作为对数（t）的函数。我们观察到，在很大程度上（t≥ 1s），估计的核与理论核不太接近。此外，这个过程严重低估了累积的内核。实际上，我们得到了| | | | | | | | |φ| |φ=0.98。在我们研究市场事件之间的因果关系时，这种对标准估计的错误将非常重要。实际上，核函数| |φij | |的形式可以直接解释为j型事件引起的i型事件的平均数。让我们试着对这种方法的糟糕性能给出一个直观的解释：回想一下，求积近似于Z+∞g（总氮）- s） φ（s）ds\'KXk=1wkg（tn- tk）φ（tk），N∈ [1，K]由于变量（10）的变化，0附近的正交点比任何其他时间都多。这确保了求积近似捕捉到φ（s）在s=0附近的快速变化。

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2022-5-7 06:44:54

然而，gis也在0左右快速变化，图1所示的估计误差来自于g（tn）的糟糕近似值- s）大约s=tn（即，前面的求积公式中的k=nin）。在下一节中，我们提出了一个新的求积方案，该方案将捕捉任何n.3.3慢衰减核的条件律g的所有行为。3.适应的求积方案让我们考虑时间网格，时间网格从0到tMin是一致的，tMin和tMan之间的对数一致，使用相同的网格大小δ<1{tk}1≤K≤K=[0，δTmin，2δTmin，…，Tmin，Tmineδ，Tmine2δ，…，Tmax]。（13）自适应的求积方案包括考虑核在[tk，tk+1]：φ（t）=φ（tk）+t上分段有效- tktk+1- tk（φ（tk+1）- φ（tk））。在这种线性假设下，在D=1维的情况下，方程（8）变成（对D>1维的推广是简单的）：g（tn）=φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztk+1kg（tn- s） ds+N-1Xk=0（φ（tk+1）- φ（tk））Ztk+1tks- tktk+1- tkg（总吨）- s） ds=φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztn-tktn-tk+1g（u）du+N-1Xk=0φ（tk+1）- φ（tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1（总氮）- tk- u） g（u）duThus，使用自适应的求积，系统（9）变成（在D=1的情况下）~g（tn）=~φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztn-tktn-tk+1~g（u）du+N-1Xk=0（φ（tk+1）-■φ（tk））（tn- tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1~g（u）du-N-1Xk=0φ（tk+1）-■φ（tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1ug（u）du。（14）在x=tn形式的所有横坐标上，可以很容易地预先计算积分rxg（u）du和rxug（u）du的经验值- t使用第3.1节所述条件定律的线性插值（另见附录A）。与之前一样，这是一个正交点φ值的线性方程。通过求解，可以得到这些点的φ的估计值。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:44:57

可以执行简单线性插值，以获得其他点的估计值。采用与之前相同的测试程序，我们得到，见图2，该方案在合理数量的正交点下完美工作。图2：左图：与图1相同的霍克斯过程实现的条件律g和核φ的估计。使用第9节的算法进行核估计，其中第3步的求积。已被（14）给出的自适应求积所取代（K=200，Tmin=1ms，Tmax=2000s，因此δ=0.077）。这三条曲线对应于对数-对数经验条件定律（蓝色）、理论核（红色）和估计核（绿色）用于200个正交点。估计和理论核完全匹配。右图：累积的理论核辐射φ（s）ds（绿点）和累积的估计核辐射φ（s）ds（蓝色）作为对数（t）的函数。3.4适应的估计程序本文将采用逐步估计程序：1。使用第3.1.2节中描述的程序，计算矩阵函数g的估计值g。使用自适应求积方法在区间[Tmin，Tmax]上离散维纳-霍普氏系统（8）。求积点由（13）给出，格式由（14）给出（最后一个方程对应于一维格式，但推广到任何维度都是一样的）。逆这个线性系统。这导致在正交点{φij（tn）}i，k处的矩阵核的估计∈[1，D]，n∈[1，K]以及| |φ| |的估计（使用求积）。根据经验估算平均强度∧，并使用（4.4）霍克斯模型估算u，用于一级订单事件4。1.模型的定义多元霍克斯模型提供了一个自然的框架来解释各种类型的过去事件对未来事件发生率的影响。

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2022-5-7 06:45:01

在[4]中，通过实时计算市场订单对价格变化的“影响”，以及价格变化的自回归动态及其对市场订单到达率的回复作用，在一定程度上考虑了该框架对经典影响价格模型（如[7]）。同样，我们可以通过在多维霍克斯模型中计算订单簿中所有事件类型的交叉和自我影响动态来扩展[4]的模型。为了节约和简单起见，我们只考虑发生在订单簿第一级的事件，即在最佳出价或最佳出价级别改变订单簿状态的事件。更准确地说，我们考虑以下8维计算过程：Nt=（P（a）t，P（b）t，t（a）t，t（b）t，L（a）t，C（a）t，C（b）t），其中：oP（a）（resp.P（b））计算向上（或向下）的中间价移动的次数T（a）（resp.T（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的市场订单数量L（a）（resp.L（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的限价订单数量C（a）（resp.C（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的取消订单数量。备注4.1。让我们强调一下，中间价变动可能与市场订单或取消订单的发生相对应，取消订单消耗了最佳出价或最佳要求下的所有可用流动性，或者与最佳出价和最佳要求之间的价差中的限价订单相对应。为了处理一个维度相对较低的流程，我们选择不区分这些事件。之前的计数过程可以被认为是一个8维的Hawkes过程，其特征是8个外源强度和64个核。我们用φNj表示→n内核表示JTH进程对I强度的影响。

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何人来此

2022-5-7 06:45:04

例如φT（b）→SAT对应于价格向上变动的中间价。这些强度和核可以使用第3.4节中描述的程序，从经验性书籍数据中估算。请注意，在下面的例子中，我们从不“手动”施加任何（出价，向下）（提问，向上）对称性。然而，从附录B中可以看出，按照预期，这种对称性是相当令人满意的（例如φT（B）→P（a）‘φT（a）→P（b））在我们的估计中。这表明，正如在模拟中所建议的，当我们对多维度、多时间尺度的过程进行内核估计时，我们的方法和使用的数据量允许我们检索有关内核的重要结果。事实上，不稳定的方法很难恢复这种对称性。4.2数据库描述本文中使用的财务数据由欧洲/亚洲Quanthouse公司提供(http://www.quanthouse.com).它包括外滩和DAX未来合同的所有一级订单数据。我们每天只保留最具流动性的到期日，我们使用2013年6月至2014年6月一年的数据。每一份文件都以微秒的精度列出了订单簿第一个限额（最佳报价或最佳报价）的所有变化。因此，我们可以很容易地从这些数据中精确计算出这里感兴趣的不同市场事件的时间（询价或竞价市场、限制或取消第一个限价的订单以及中间价的上下波动）。在我们将学习的时间尺度上（从10-5到10秒），订单簿动态很大程度上取决于资产的刻度大小（或者更准确地说，取决于平均价差和刻度大小之间的商，请参见[6]或[12]了解小资产和大资产之间的特征和差异）。

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2022-5-7 06:45:07

在这方面，DAX对应于“小刻度”资产，而外滩则是“大刻度”资产。我们样本中的事件数量总结在表1中。P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）xFDAX 9.36 9.35 2.66 2.67 19.7 19.6 23.3 23.1xFGBL 1.72 1.72 3.40 3.48 29.8 29.8 26.6 26.5表1：事件总数（百万）。我们已经使用具有幂律核的多维Hawkes过程的数值模拟来检查样本的大小是否足以提供对核形状的可靠估计。我们还确认，我们的主要结果并不取决于日内的季节性影响：如果是市场订单的时间，在第一个限额限制和取消订单，以及在这些时间第一次买卖排队的状态。4.3条件性规律估计我们按照第3.1节（另见附录a）的解释，以2013年6月1日至2014年6月1日（252个开放日）期间的参数hδ=0.05、hmin=0.1毫秒和hmax\'1059秒（见（16））来估计64条条件性规律。令人惊讶的是，大多数金融事件之间的条件定律具有非常相似的性质。如图3所示，外滩为gP（a）→P（b）、gT（a）→T（a）、gL（a）→L（a），gC（a）→C（a）、gL（a）→L（b）和gL（a）→C（a）inlog-日志图3：日志-对数经验条件定律gP（a）→P（b）、gT（a）→T（a）、gL（a）→L（a）和gC（a）→C（a）代表外滩。我们首先注意到的是，在时间尺度τ以上~ 0.1秒，这些条件定律表现为t-γ小于1。对于gT（a）→T（a），这是众所周知的流秩序的长程记忆。在τ和τ之间~ 0.3ms时，条件定律大致表现为一阶指数的幂律。

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2022-5-7 06:45:11

下面，τ，条件定律“饱和”。我们还观察到条件定律上的一些“凸起”，它们与估计中的噪声不对应。我们认为有两种颠簸。第一种波动出现在“四舍五入”时间（0.01、0.1、0.5、1和2秒），我们认为这是由于交易的自动化。例如，如果一个算法每秒发布一个限制命令，这意味着在1秒时条件法则会发生变化。第二类泵出现在τ附近~ 0.3毫秒。我们认为它对应于试剂对事件的平均反应时间（即平均“延迟”）。条件定律下降到0.03毫秒以下是我们数据的一个事实。一旦条件定律被估计出来，我们将按照步骤2求解维纳-霍普夫系统。三,。在第3.4节中，参数K=100（因此δ\'0.15），Tmin=0.1毫秒，Tmax\'140秒，并在第4步后计算外源强度估计值。我们将首先介绍外生强度的值。4.4外源强度让我们回顾一下，在霍克斯模型中，外源强度可以解释为“来自”外源信息源的i型（泊松）事件的速率，即不是由模型中任何其他过去事件“引起”的。在这方面，比率：Ri=ui∧i（15）代表外源性比率，即外源性事件数量与i型事件总数之间的比率。

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2022-5-7 06:45:15

注意，在一维的情况下，根据命题2.2，一个简单地有：R=1- ||φ||.P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）u2.37e-2 2.39e-2 1.06e-2 1.14e-2.07e-2.27e-2 1.53e-2 7.51e-3R 2.7%2.7%4.3%4.5%1.1%1.2%0.7%0.4%表2：估计的外源强度-1）以及DAX期货的相应外生比率（15）。P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）u7.13e-37.10e-31.41e-21.45e-23.83e-23.83e-24.00e-24.39e-2R 4.4%4.4%4.5%1.4%1.4%1.6%1.8%-1）以及相应的外生比率（15）。表2和表3分别给出了估计的强度和相应的外生比率。这些表格显示，对于这两种资产，外生性水平都非常低：R只有几个百分点，这意味着大多数事件可以被认为是由该模型中的过去事件直接触发的。参见[26,27]，了解此类几乎纯粹内源性的霍克斯过程的长期行为差异的理论研究。为了进行比较，参考文献[15]中考虑中间价格跳跃事件的简单一维霍克斯模型提供了一个外生比率，DAX为R=0.059，外滩未来为R=0.10。这意味着8维霍克斯模型比简单的一维模型更好地描述了中间价格的变化，而一维模型必须涉及更多的“外部”信息源。让我们也注意到，对于这两种资产，市场订单比限制和取消订单更为外生。这并不奇怪，因为一些研究倾向于表明，市场订单是“领先”的限制和取消。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:45:18

因此，限制和取消订单的内生性程度应大于市场订单的内生性程度。最后，我们可以看到，尽管限价和市价指令对小型和大型股票资产具有惊人的相似外生比率，但在小型股票资产（DAX）的情况下，中间价格变化和取消事件更具内生性。4.5内核范数矩阵| |φ| |在讨论估计内核的精确形状之前，我们使用核的范数φij的值来评论订单中发生的主要相互激发和自激发。我们为DAX和BUND获得的核范数| |φ| |矩阵如图4所示。为了简单起见，我们使用从蓝色到红色的颜色映射来表示标准值。请注意，蓝色值对应于negativeLet us。请记住，范数| |φij | |表示由j.kernel范数类型的事件触发的I类型事件的平均数。在方程（3）中描述的霍克斯模型的非线性版本中，该特征被自然地解释为抑制效应。我们已经通过数值模拟验证，只要化质量（2）在大部分时间内保持为正，第3.4节中引入的非参数估计程序，当应用于非线性霍克斯过程（3）时，即使对于负欧内斯，也能得到可靠的估计。正如预期的那样，整体对称性（ask/bid）在矩阵形状上的经验恢复相当好。任何具有齐次输入（即，在价格变化、交易、取消或限制中选择相同类型的输入）和齐次输出的2×2子矩阵都是对称的。例如，核φT（a）→C（b）似乎与核φT（b）具有相同的范数→C（a）。

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2022-5-7 06:45:22

让我们指出，由于Dax是一种股票指数，我们本可以预期买卖双方之间存在一些差异（下跌跳跃的统计数据与股票市场上升跳跃的统计数据略有不同），然而，这种差异在盘中数据上可以忽略不计。两个矩阵上明显出现的一个显著特征是（P（a），P（b））子矩阵的反对角线形状和（T（a），T（b）），（L（a），L（b）），（C（a），C（b））子矩阵的对角线形状，另见附录b.1，b.2，b.3和b.4段，其中绘制了相应的归一化累积核。这意味着，一方面，市场、限制和取消订单主要导致相同类型和标志的事件。这一性质主要归因于元序的分裂，参见[29]，在较小程度上归因于代理人的某些羊群行为。我们将在下一节中看到，这些对角核可以用大致的幂律递减函数很好地描述。就中间价格跳跃而言，P（a）和P（b）之间的交叉激励结构意味着一种强烈的均值回复行为，这是价格微观结构的主要特征，并以某种方式保证价格没有长期相关性，见[4]，符合市场效率。请注意，这个交叉价格内核可以链接到传播子模型的内核，请参见[7,25]。最后，让我们指出，价格变化似乎是对其他组成部分影响最大的组成部分，也就是说，价格变化比任何其他因素都更“驱动”动态。

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2022-5-7 06:45:25

我们将回到这个特征以及这个矩阵的其他特征（订单对价格的影响，价格对事件的影响，交易对流动性的影响，…）在以下章节中。让我们评论一下，我们允许在| |φ| |代表R的意义上滥用语言∞φ（s）ds不是真正的范数，除非φ（t）>0。图4：估计的| |φij | | | | 4.6范数矩阵| |ψ| | |让我们回顾一下，核φij可以被视为j型事件对i型事件的“裸”影响。如果想要解释“修饰”影响，即与某个事件触发的所有级联相关的影响，我们必须估计（6）定义的函数ψijas，其范数矩阵可以计算为：|ψ| | | |=k |φ| |（I- ||φ||)-1.更准确地说，如果引入：| |ψij | | |=uj∧i | |ψij | |那么，根据第2.2节和命题2.2中提到的总体解释，|ψij | | |对应于由j型外部事件触发的i型事件的分数（而| |ψ| | |对应于由j型事件间接产生的i型事件的平均数）。矩阵范数| |ψ| |如图5所示。图5：估计的| |ψij | |矩阵。我们可以看到，外生限制和取消订单对中间价波动的影响很小，而中间价波动主要是由外生交易和价格上涨引起的。这表明，外生信息主要通过直接改变中间价的交易或订单纳入价格。

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2022-5-7 06:45:28

人们还可以注意到，在大成交量资产（BUND）的情况下，外生价格变动主要影响价格本身，而不是不影响价格的订单流量，而对于小成交量资产（DAX），外生价格变动影响所有类型的事件。4.7核的形状在所有以前的研究中，对有序流动力学中涉及的霍克斯核进行了非参数估计[2,4,19]，观察到指数接近1的幂律核。这一特性可以直接与订单流动动态的强持续性联系起来，见[25]，主要由大订单的拆分引起，在较小程度上与代理人的羊群行为有关。这一特征在本文所采用的8维描述中仍然适用，当我们关注参与市场自激、限价和取消订单以及中间价波动交叉激发的内核（具有最高范数的内核，见图4）。图6显示了日志- 核的对数图φT（a）→T（a），φL（a）→L（a），φC（a）→C（a）和φP（a）→P（b）。很明显，这些核的行为松散地表现为指数的幂律，略高于1。图6：日志-φP（a）的对数图→P（b），φT（a）→T（a），φL（a）→L（a）和φC（a）→C（a）。这些内核表现出松散的幂律行为，指数接近1。为了便于说明，测试是在整个时间尺度范围内进行的，尽管它们清楚地显示了不同的状态。让我们强调一下，这种“大致幂律行为”并非适用于所有内核。例如，核φT（a）→P（a）和φP（a）→L（a）在毫秒以下“局部化”，见图7和附录B中的累积核。

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2022-5-7 06:45:31

经验内核的行为比条件定律“丰富得多”，如前所述，条件定律都具有相同的程式化事实。图7：φT（a）→P（a）和φP（a）→L（a）是毫秒以下时间的函数。4.8订单流量对价格的影响为了清晰起见，我们将两个8×8的核矩阵拆分为2×2的子矩阵。附录B中提供了DAX和BUND的内核表示。每个子图表示归一化累积核∧j∧iRtφij（u）du作为log（t）的函数（因此有2×64个）。在霍克斯过程的人口动力学解释中，内核的这种规范化是很自然的，见[22]。实际上，∧j∧i | |φij | | |对应于父母是j的i的比例（而| |φij | | | |对应于j型个体的i型子女的平均数量）。在本节中，我们将重点关注订单流量对价格的影响，即不会瞬间改变价格，并对中间价格变化产生影响的事件。它对应于附录B.5、B.6和B.7段。我们可以看到，这些交易对价格变化有着非常局部的延迟自我影响（我们所说的自我是指在同一个方向上，例如，ask市场订单意味着价格最终会上涨）。事实上，这似乎需要0。3毫秒，以便市场整合交易信息。这是其他代理对该顺序做出反应的平均时间（这对应于我们在第4.3节的条件定律和第4.7节的内核中观察到的“延迟”延迟）。

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2022-5-7 06:45:36

在这短暂的时间尺度之后，核是可以忽略的，也就是说，累积的核保持不变，而贸易并不意味着任何更多的价格变化。就限价和取消订单而言，它们的影响似乎不是局部性的，在比较DAX（小勾号）和外滩（大勾号）时会有所不同。对于DAX，限价指令通过退出相反方向的价格变动（限价指令在投标时触发价格上升，反之亦然）和轻微抑制同一方向的价格变动来影响价格。对于外滩而言，限价指令主要对价格变动有抑制作用（投标时的限价指令抑制价格下行）。与市场订单的影响相反，限价订单的影响不是很快。虽然市场订单的信息几乎是即时的（0.3毫秒），但限价订单需要时间才能显著。取消订单影响价格的方式与限价订单非常相似，但方向相反。4.9价格上涨对订单流量的影响对应于价格上涨对订单流量影响的内核对应于第B.8、B.9和B.10段，其中绘制了标准化累积内核。最显著的特点是，中间价变化对市场订单的影响很大程度上取决于交易量（如图4所示）。对于DAX（小刻度），这种影响相当小且令人兴奋（价格上涨意味着询价交易）。相反，对于外滩（largetick），这种影响更为重要，而且是交叉刺激的（价格上涨会触发买入交易，抑制卖出交易）。这可以用逆向选择来解释：一方面，对于大的tick资产，在价格上涨后，代理商将不希望以新的要价执行市场订单，因为这个价格太高。

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2022-5-7 06:45:39

另一方面，新的投标价格将更有趣，代理商将因此执行投标市场订单。在这两种资产上，价格变动对流动性的影响主要是自上而下的，即价格上涨会激发出价限制指令和出价取消指令（并抑制出价限制指令和出价取消指令）。刺激主要是局部的（大约0.3毫秒），对应于做市商对新信息的平均时间反应，而抑制核是长期的。我们还可以注意到，对于DAX，φP（a）的短期刺激效应→C（a）被更长的末端抑制效应（约10秒）所平衡。我们认为，这种影响与价格变化后“很长”一段时间内流动性恢复到稳定状态有关。见上一节开头或附录B4。10.市场订单对流动性的影响，以及与市场订单流动对限制和取消订单流动的影响相对应的内核，见第B.11和B.12段，其中绘制了标准化累积内核。对于这两种资产，交易对相反的限制指令有非常快的积极影响。这是因为潜在的“有效”价格已经移动，流动性必须自我调整。在更长的时间尺度上，效果相反（交叉核变为负值，即交易抑制交叉订单）。这是由于流动性回归到稳定状态。就市场订单对取消订单率的影响而言，对于外滩而言，交易意味着在很短的时间范围内以相同的方向取消订单，然后在较长的时间范围内，这种影响变为负。这种影响非常小，这意味着交易直接隐含的限制和取消订单的比例很小。

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kedemingshi

2022-5-7 06:45:42

然而，我们在图5中看到，当我们用中间事件“修饰”这种影响时，外生交易间接地意味着很大一部分限制和取消订单。关于限制和取消订单流量对市场订单流量的反向影响，相应的内核显示在第B.13和B段中。14.我们可以看到，ask（分别出价）取消和bid（分别出价）限价指令激发了ask（分别出价）的交易率。4.11限价指令流对取消订单流的影响，反之亦然，与限价和取消订单流之间的动态对应的核对应于第B.3、B.4、B.15和B.16段，其中显示了相应的标准化累积核。对于市场订单，限制/限制内核和取消/取消内核大多是自激的（例如φL（a）→L（a）占优势，φL（a）→L（b）可以忽略不计）。还应注意，取消订单对交叉限制订单有短期影响（φC（a）→L（b）约为0.3毫秒），对应于取消订单的信息和对自限订单的长期影响（φC（a）→L（a）是一个幂律），对应于流动性的返回。同样，限价订单对交叉取消订单有短期影响，对自取消订单有长期影响。5讨论和总结要点我们给出了维纳-霍普夫方程（8）的数值解，其中一些核表现为略高于1的指数的幂律，因此在很宽的时间尺度范围内（从100微秒到100秒）具有重要意义在相当大的范围内。这使我们找到了一种有效的核非参数估计算法。利用霍克斯过程的自然因果解释，我们将该算法应用于高频金融数据的研究（时间戳精度为微秒）。

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2022-5-7 06:45:45

它使我们能够理清订单簿中发生的八种类型的一级限制事件之间的交叉影响。我们的方法使我们能够检索到一些关于市场动态的众所周知的程式化事实：o订单流是强烈的自我兴奋：市场、限制和取消订单的主要影响是它们自己。这与众所周知的订单流的持续性以及元订单到订单序列的拆分有关。此外，订单也会对相同“方向”的订单产生影响。例如，ask trades激发bidlimit订单，并要求取消订单。通过直接观察这些事件之间的相关函数，在[13]中已经观察到了同样的行为价格是有效的：为了平衡订单流量不平衡的持续性，价格变化对自身的影响最大。也就是说，价格上涨导致价格下跌。这与[13]中“裸传播子”的度量是一致的。事实上，在[13]中，事件对价格的直接影响在一段时间内降低。然而，这种简单的影响并不完全等同于我们的内核，因为它没有完全“理清”所有事件对所有事件的影响，而只是订单对价格变化的影响订单会影响价格，即使它们不会机械地移动价格。同样，这与传播者[13]对不影响价格的事件的衡量是一致的。霍克斯模型的普遍性使我们能够解释比以前的工作更丰富的动力学，并描述和量化所有类型事件之间的影响。因此，我们发现了一些据我们所知从未被观察到的新的、更微妙的结果价格变动对订单流有着复古的影响：这些是价格变动影响最大的谷物。

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2022-5-7 06:45:48

对于大型股票资产，逆向选择占主导地位，这种影响是交叉的：价格上涨引发买入交易，反之亦然。对于小规模资产，由于订单流的持续性，这种影响是自成一体的霍克斯框架和我们对内核的估计不仅允许我们测量不同事件之间的“因果关系”，还可以测量这种因果关系出现的时间尺度。我们发现大致有两种影响：快速影响和局部影响，其中内核的容量集中在市场反应时间附近（根据我们的数据为0.3毫秒），而影响则分布在广泛的时间尺度上，相应的内核因此以某种方式表现为略高于1的指数的幂律函数还要注意，与[13]相反，我们的模型是实时模型，而不是离散时间模型，其中每个周期对应一个事件。例如，这让我们看到，市场和限价指令具有不同的影响。市场订单具有局部影响，而有限订单需要时间产生影响最后，我们可以测量所有市场事件的内生性。我们特别发现，市场订单比限制和取消订单更具外生性。因此，当我们观察“修整的内核”ψ时，我们发现交易在某种意义上是领先的，即外生交易的影响大于外生限制和取消订单。我们纯粹的霍克斯订单簿模型中可能缺少的一点是，事件的到达并不直接取决于订单簿的状态，而只取决于过去的事件。例如，在我们的模型中，当利差很重要时，流动性是否会到来还不清楚。在订单簿模型的另一个方面，我们可以提到[16,24]，其中订单簿动态纯粹是马尔可夫的，因此不依赖订单流的历史。

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