极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

2022-6-11 05:56:36

提交给内政部的手稿：10.3934/xx。xx。xx。xxMathematics in Science and Industry卷X，编号0X，XX 200X pp.X–xxLimitorder BOOKSAnatoliy Swishchuk中的一般复合HAWKES过程*2500年加拿大西北卡尔加里大学博士2 N 1N4Aiden Huffman2500年加拿大西北卡尔加里大学博士2 N 1N4（由Tony Ware传达）摘要。本文研究了各种新的Hawkes过程。具体而言，我们构造了一般的复合Hawkes过程，并在极限序簿中研究了它们的性质。对于这些一般的复合Hawkes过程，我们证明了几个特定变量的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。我们将其中几个FCLT应用于限制订单，以研究价格波动性和订单流量之间的联系，其中中间价变化的波动性用描述到达率和中间价过程的参数表示。1、简介。霍克斯过程（HP）以其创建者艾伦·霍克斯（1971、1974），[27]、[28]的名字命名。HP是一个简单的点流程，具有自激励特性、群集效应和长期内存。HP通过其对过程历史的依赖性，捕获了事件到达过程的时间和横截面依赖性，以及我们在限价订单簿上的经验数据中观察到的“自激”特性。最近，自激点过程已应用于价格变化的高频数据【54】或订单到达时间【55】。HPs已在许多领域得到应用，如遗传学（2010）[11]、犯罪发生（2010）[50]、银行违约[51]和地震[52]。20世纪50年代和60年代，点过程在统计学中获得了大量关注。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 05:56:39

Cox（1955）[16]引入了双随机过程泊松过程（现在称为Cox过程）的概念，Bartlett（1963）[8]研究了基于功率谱密度的点过程统计方法。Lewis（1964）[34]制定了一个点过程模型（用于计算机断电模式），这是朝着HP方向迈出的一步。Daley等人（1988）[17]对点过程理论进行了很好的介绍。2010年数学学科分类。初级：58F15、58F17；次要：53C35。关键词和短语。霍克斯过程，一般复合霍克斯过程，极限序本，函数中心极限定理，龙虾数据。第一和第二作者得到了NSERC的支持。*通讯作者：艾登·胡夫曼。2 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANtype of point process in the context of market microsulate is the autoregressive conditional duration（ACD）model by Engel et al.（1998）[19]。惠普最近的一个应用是财务分析，尤其是限额订单。本文研究了各种新的Hawkes过程，即广义复合Hawkes过程来模拟限价订单中的价格过程。对于这些过程的特殊情况，我们证明了一个大数定律（LLN）和一个函数中心极限定理（FCLT）。其中一些FCLT被应用于限价订单，我们使用渐近方法来研究模型中价格波动与涨跌之间的联系。价格变化的波动性用描述到达率和价格变化的参数表示。我们也给出了一些数值例子。一般的复合霍克斯过程在【40】中首次引入，以模拟保险中的风险过程，并在【41】中进行了详细研究。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-11 05:56:42

在论文[43]中，我们得到了具有相依序的一般复合Hawkes过程和区域切换复合Hawkes过程的函数clt和lln。Bowsher（2007）[6]是第一个将HP应用于金融数据建模的人。Cartea et al.（2011）[9]将HP应用于市场订单到达模型。Filimonovand Sornette（2012）[25]和Filimonov et al.（2013）[26]应用HPs来估计由内生自生活动而非新闻或新信息的外生影响引起的价格变化百分比。Bauwens和Hautsch（2009）[7]使用五维HP，根据价格强度估计五只股票之间的多元波动性。Hewlett（2006）[29]利用事件发生引起的强度的瞬时跳跃来限定该事件的市场影响，同时考虑到导致进一步事件的二次事件的级联效应。Hewlett（2006）[29]还使用Hawkes模型推导了做市商的最优定价策略和投资者的最优交易策略，因为理性的做市商拥有历史交易数据。Large（2007）[32]运用霍克斯模型调查市场影响，特别关注订单弹性。具体而言，他考虑了买卖双方的限价订单、市场订单和取消，并根据其攻击程度对这些事件进行了进一步分类，形成了一个十维霍克斯过程。其他基于随机强度标记点过程的计量经济模型包括强度取决于历史的自回归条件强度（ACI）模型。Hasbrouck（1999）[30]引入了多变量点过程来模拟订单的不同事件，但没有将强度参数化。我们注意到，Br’emaud et al.（1996）[4]将HP推广到其非线性形式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:56:45

此外，Zhu（2013）[49]还获得了非线性Hawkes过程的泛函中心极限定理。Ait Sahalia et al.（2013）[1]引入的“霍克斯扩散模型”试图将以前的股价模型扩展到包括金融传染。查韦斯·德莫林等人。（2012）[12]使用霍克斯过程对高频财务数据进行建模。一点流程对组合信用风险的应用可参见勘误表（2010）[24]。Embrechts et al.（2011）[23]还介绍了Hawkes过程在金融数据中的一些应用。Cohen等人（2014）[14]推导出了马尔可夫调制霍克过程的显式滤波器。Vinkovskaya（2014）[47]考虑了一种政权转换霍克斯过程，以模拟其对限额订单中买卖价差的依赖。Bu ffington et al.（2000）[2]和Bu ffington et al.（2002）[3]分别考虑了欧洲和美国期权定价的制度转换模型。[44]中，半马尔可夫过程被应用于限制订单，以模拟中间价格。LOBS 3中的Wecomponent HAWKES过程还注意到，在[13]中研究了到货率随时间变化λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。Bacry等人（2015）[5]的论文概述了最近专门研究霍克斯过程在金融中的应用的学术文献。这是对霍克斯过程在金融领域应用的一次极好的调查。通常，高频金融的主要模型可分为单变量模型、价格模型、影响模型、订单模型和一些系统性风险模型、新闻模型、高维模型和图模型聚类。Cartea等人的书。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:56:48

（2015）[10]开发了算法交易模型，如执行大额订单、做市、资产集合交易对以及在黑暗池中执行的方法。这本书还包含一个链接，可以从中下载几个数据集，以及帮助进行数据实验的MATLAB代码。Liniger（2009）[33]详细描述了霍克斯过程的数学理论。Laub等人（2015）[35]的论文提供了背景，介绍了现场和历史发展，并涉及了Hawkes过程的所有主要方面。当前论文的结果在[42]中首次发表。论文组织如下。第2节给出了霍克斯过程的定义及其特性描述。第3节介绍了一般复合霍克斯工艺。第4节证明了各种一般复合Hawkes过程的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT），包括非线性极限序书。第5节对几个数据集的衍生差异限制进行了数值探索，最后第6节总结了本文。霍克斯过程（HPs）的定义。在本节中，我们给出了霍克斯过程的各种定义和一些性质，这些定义和性质可以在现有文献中找到（参见，例如，[27]、[28]、[23]和[48]，仅举几例）。它们尤其包括一维和非线性霍克斯过程。定义2.1（计数过程）。计数过程是一个随机过程N（t）和t≥ 0，其中N（t）取正整数值，满足度N（0）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 05:56:51

它几乎肯定是有限的，是一个右连续阶跃函数，增量为大小+1。用FN（t），t表示≥ 0，到达时间t之前的历史记录，即FN（t），t≥ 0表示过滤（σ-代数的递增序列）。计数过程N（t）可以解释为系统中到达次数的累计计数，直到当前时间t。计数过程也可以由随机到达时间序列（t，t，…）来表征此时计数过程N（t）已跳变。这些到达时间定义的过程称为点过程（见【17】）。定义2.2（点过程）。如果随机变量序列（T，T，…），取[0]中的值，∞) 有P（0≤ T≤ T≤ . . . ) = 1，并且有界区域中的点数几乎肯定是有限的，那么（T，T，…）称为点过程。定义2.3（条件强度函数）。考虑一个计数过程N（t）和相关的历史FN（t），t≥ 如果存在λ（t）=limh的非负函数λ（t）→0E【N（t+h）】- N（t）| FN（t）]h（1），则称为N（t）的条件强度函数（见[35]）。我们注意到，最初该函数被称为危险函数（见[16]）。4 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANDe定义2.4（一维霍克斯过程）。一维霍克斯过程（见[35]、[28]）是一个点过程N（t），其特征是相对于其自然过滤的强度λ（t）：λ（t）=λ+Ztu（t- s） dN（s）（2），其中λ>0，响应函数u（t）是满足esR的正函数∞u（s）ds<1。常数λ称为背景强度，函数u（t）有时称为激发函数。为了避免均匀泊松过程的一般情况，我们假设u（t）6=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:56:54

因此，霍克斯过程是泊松过程的非马尔可夫扩展。关于2.3中λ（t）和2.4中N（t）的定义，遵循P（N（t+h）- N（t）=m | FN（t））=λ（t）h+o（h）m=1o（h）m>11- λ（t）h+o（h）m=0方程式（2）的解释是，事件根据背景强度λ的强度发生，背景强度λ在每个新事件时增加u（0），最终根据函数u（t）的演变衰减回背景强度值。选择u（0）>0会导致每次新事件的强度发生波动，此功能通常称为自激功能。换句话说，如果到达导致方程（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）增加，则该过程称为自激。我们想提到的是，方程（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）可以与计数过程N（t）的补偿器∧（t）相关联，即∧（t）=Ztλ（s）ds（3）。我们注意到∧（t）是唯一的非递减函数FN（t），t≥ 0，可预测函数，其中∧（0）=0，使得n（t）=M（t）+∧（t）a.s。其中M（t）是FN（t），t≥ 0，局部鞅（其存在性由Doob-Meyer分解保证）。方程（2）中函数u（t）的常见选择是指数decay（见【27】）u（t）=αe-βt（4），其中参数α，β>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:56:57

在这种情况下，霍克斯过程被称为强度呈指数衰减的霍克斯过程。在方程（4）的情况下，方程（2）变为λ（t）=λ+Ztαe-β（t-s） dN（s）（5）LOBS 5中的复合HAWKES过程我们注意到，在方程（4）的情况下，过程（N（t），λ（t））是一个连续时间马尔可夫过程，而不是方程（1）中激励函数的一般选择情况。当初始条件λ（0）=λ时，方程（5）中的条件强度λ（t）与方程（4）中的指数衰减满足SDEdλ（t）=β（λ- λ（t））dt+αdN（t），t≥ 0（6），可使用随机演算作为λ（t）=e来求解-βt（λ- λ） +λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），（7），是式（5）的推广。u（t）的另一个选择是幂律函数λ（t）=λ+Ztk（c+（t- s） pdN（s）（8），具有正参数（c，k，p）。方程式（8）中λ（t）的幂律形式应用于称为Omori定律的地质模型中，并用于预测地震引起的余震率。定义2.5（D维霍克斯过程）。D维霍克斯过程（见[23]）是一个点过程N（t）=（Ni（t））Di=1，其特征是其强度向量t=（λi（t））Di=1，即：λi（t）=λi+Ztuij（t- s） dNj（s）（9），其中λi>0，且M（t）=（uij（t））是矩阵值核，因此：1。它是成分非负的：（uij（t））≥ 每个1 0≤ i、 j≤ D2、它是矩阵卷积形式的分量式L-可积，方程（9）可以写成~λ（t）=~λ+M* d~N（t）（10），其中λ（t）=（λi）Di=1。定义2.6（非线性霍克斯过程）。非线性霍克斯过程（参见，例如，[48]）由强度函数定义，其形式如下：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）（11）其中，h（·）是一个非线性函数，支持度为R+。h（·）的典型示例为h（x）=1x∈R+和h（x）=例如备注1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:00

霍克斯过程的许多其他推广已被提出。其中包括混合差分霍克斯模型【24】、具有散粒噪声异源事件的霍克斯模型【18】和具有世代相关核的霍克斯过程【37】，仅举几例。6安纳托利·斯威什楚克和艾登·赫夫曼3。复合霍克斯过程。在本节中，我们定义了具有N态相关阶数的非线性复合霍克斯过程。我们还考虑了一般复合霍克斯过程的特殊情况。定义3.1（限制订单簿中具有n态依赖项（NLCHPnSDO）的非线性复合霍克斯过程）。考虑中间价格过程StSt=S+NtXi=1a（Xk）（12），其中Xkis是一个连续时间n状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x上的一个连续且有界的函数：={1，2，…，n}，n（t）是非线性霍克斯过程（参见，例如，[48]由以下形式的强度函数定义（参见等式（11））：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）式中，h（·）是一个非线性递增函数，支持向量为R+。我们注意到，在[4]中，证明了如果h（·）是α-Lipschitz（见[4]），使得α| | h | | L<1，则存在唯一的平稳遍历Hawkes过程，满足方程（11）的动力学。我们将方程（12）中的过程称为具有n态相关阶数的非线性复合霍克斯过程（NLCHPnSDO）。这一非线性复合霍克斯过程将是本文研究的基础。在以下小节中，我们将介绍四个具体示例，用于我们对中间价过程的实证调查。3.1. 极限订单簿中复合Hawkes过程的特例。定义3.2（具有N态相关序的一般复合霍克斯过程（GCHPnSDO））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:03

假设Xkis是一个遍历连续时间马尔可夫链，独立于N（t），状态空间X={1，2，…，N}，N（t）是定义2.4中定义的一维Hawkes过程，a（x）是x上的任何有界和连续函数。我们通过以下过程定义了具有N状态相关阶数（GCHPnSDO）的一般复合Hawkes过程st=S+N（t）Xi=1a（Xk）（13）。注意，可以通过让h（x）=x从方程（12）中恢复该过程。定义3.3（具有两个状态依赖项的一般复合霍克斯过程（GCHP2SDO））。假设Xkis是一个遍历的连续时间Markovchain，独立于N（t），具有两个状态{1，2}。然后方程（13）变为SST=S+N（t）Xi=1a（Xk）（14），其中a（Xk）仅取值a（1）和a（2）。当然，我们可以将其视为n态情况的特例，其中n=2。该模型在[45]中用于具有非固定勾号δ和两值价格变化的限价订单中的中间价过程。LOBS 7定义3.4中的复合HAWKES过程（具有相关订单的一般复合HAWKES过程（GCHPDO））。假设Xk∈ {-δ、 δ}且a（x）=x，则Stin方程（13）变为SST=S+N（t）Xi=1Xk（15）。这种类型的过程可以是限制订单簿中的中间价格模型，其中δ是固定的勾号大小，N（t）是到时间t的订单到达数。我们将此过程称为具有依赖订单的一般复合霍克斯过程（GCHPDO）。这是之前过程的推广，由lettinga（1）=-δ和a（2）=δ。在定义了几个中间价格过程之后，我们现在在下一节中证明每个价格过程的差异极限理论和LLN。这些差异过程将用于我们探索该模型对现实世界limitorder book数据的适用性。4、扩散限值和LLN。4.1. NLCHPnSDO的扩散极限和LLN。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-11 05:57:06

我们考虑定义3.1中定义的中间价格过程，名称为st=S+NtXi=1a（Xk），其中Xkis是连续时间n状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x={1，2，…，n}上的连续有界函数。Ntis是时间t之前价格变化的数量，由方程（11）中给出的非线性霍克斯过程描述。定理4.1（NLCHPnSDO的扩散极限）。设Xkbe是一个遍历Markovchain，具有n个态{1，2，…，n}和遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。请参见定义3.1，然后参见- N（nt）·^a*√nn型→∞----→ ^σ*pE[N[0，1]]Wt（16），其中Wt是一个标准的维纳过程，E[N[0，1]]是平稳和遍历测度下单位区间上的到达数的平均值。此外，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞ （17） 8 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMAN（σ*): =xi∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）b=（b（1），b（2）。。。，b（n））b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*g：=（P+π）*- （一）-1b^a*: =xi∈Xπ*ia（Xi）（18）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g的第j项。证据从方程（13）中，我们得到了snt=S+NntXi=1a（Xk）（19）和snt=S+NntXi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*（20）因此- Nnt^a*√n=S+PNnti=1（a（Xk）- ^a*)√n、（21）长屁股√nn型→∞----→ 0，我们只需找到a（Xk）的极限- ^a*√n时n→ +∞. 考虑以下总和*n： =nXk=1（a（Xk）- ^a*) （22）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））]^R*bntc+（nt- bntc）^R*bntc+1]（23），其中b·c是FLOOR函数。根据[45]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛性（参见[39]）：^U*n（t）n→∞----→ ^σ*W（t）（24）我们注意到，[4]的结果通过遍历定理暗示NTTT→∞---→ E[N[0，1]]（25）或NTNTN→∞----→ tE【N【0，1】】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:09

（26）使用时间t的变化→ Nnt/n，我们发现*n（北纬/北纬）n→∞----→ ^σ*LOBS 9or^U中的W（tE[N[0，1]）（27）复合HAWKES过程*n（北纬/北纬）n→∞----→ ^σ*pE[N[0，1]]W（t）（28）现在的结果来自方程式（19）-（21）引理4.2（LLN表示NLCHPnSDO）。过程Sntin方程（19）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntnn→∞----→ ^a*E[N[0，1]]t（29），其中^a*分别在方程式（18）中定义。证据根据方程式（12），我们得到sntn=Sn+NntXi=1a（Xk）n（30）。当n→ ∞. 在右侧，关于马尔可夫链的强LLN（参见，例如[38]），nnXk=1a（Xk）n→∞----→ ^a*（31）然后考虑方程（26），我们得到nntxi=1a（Xk）n=nntnnnntxi=1a（Xk）n→∞----→ ^a*E[N[0，1]]t（32），由此得出所需结果。4.2. GCHPnSDO的扩散极限和LLN。我们在此考虑定义3.2中定义的中间价格过程St，名称为St=S+N（t）Xi=1a（Xk）（33），其中Xkis是一个连续时间的N状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x={1，2，…，N}上的一个连续且有界函数，N（t）是时间t之前价格变化的数量，由一维Hawkes过程定义2.4描述。这可以解释为非固定刻度大小、n值价格变化和相关订单的情况。定理4.3（GCHPnSDO的扩散极限）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:12

设Xkbe是一个遍历Markovchain，具有n个态{1，2，…，n}和遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。请参见定义3.2，然后参见- N（nt）^a*√nn型→∞----→ ^σ*pλ/（1）- W（t）（34），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞ （35）10 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMAN（^σ*): =xi∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）b=（b（1），b（2）。。。，b（n））b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*g：=（P+π）*- （一）-1b^a*: =xi∈Xπ*ia（Xi）（36）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g的第j项。证据与前面的定理一样，我们有snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk）（37）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*（38）其中^a*如上所述。因此，我们可以得出结论，SNT- N（nt）^a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- ^a*)√n（39）为长驴√nn型→∞----→ 0，我们只需找到pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- ^a*)√nas编号→ ∞. 我们考虑以下总和*n=nXk=1（a（Xk）- ^a*) （40）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）^R*bntc+（nt- bntc）^R*bntc+1]（41），其中b·c是FLOOR函数。然后，根据[45]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[39]）U*nn型→∞----→ ^σ*W（t）（42），其中^σ*如上所述。我们再次注意到，关于霍克斯过程的LLN（参见，例如，[17]），我们有（t）tt→∞---→λ1 - ^u（43）LOBS 11orN（nt）nn中的复合HAWKES过程→∞----→tλ1- ^u（44），其中^u如上文所定义。然后使用之前确定的时间变化→ N（nt）/N我们可以从方程（42）-（44）中找到：^U*nN（nt）Nn→∞----→ ^σ*Wtλ1- ^u或^U*nN（nt）Nn→∞----→ ^σ*sλ1- ^uW（t）现在，方程式（34）中的结果来自方程式（37）-（44）引理4.4（对于GCHPnSDO，LLN）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:15

定义3.2中定义的过程Sntde满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）Sntnn→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（45），其中^u和^a*分别在方程式（35）和（36）中定义。证据从方程（13）中，我们得到sntn=Sn+N（nt）Xi=1a（Xk）N.（46）当N→ ∞. 在右侧，关于马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]），nnXk=1a（XK）n→∞----→ ^a*（47）然后考虑方程（44），我们得到n（nt）Xi=1a（Xk）n=n（nt）nN（nt）n（nt）Xi=1a（Xk）n→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（48），由此得出预期结果。4.3. GCHPnSDO特殊情况下的扩散限值和LLN。定理4.3可以简化为我们之前在第3.1节中概述的一些特殊情况。具体而言，在定义3.3和3.4中，我们考虑了a2状态马尔可夫链的情况，我们提供了下面的差异极限和LLN结果汇总表。我们首先考虑3.3中定义的中间价格过程St（GCHP2SD），名称为t=S+N（t）Xi=1a（Xk）（49），其中Xkis是一个连续时间的二态马尔可夫链，a（x）是x={1，2}上的连续且有界函数，N（t）是t上的价格变化数，定义2.4.12中定义的一维霍克斯过程描述了ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN Huffmant这可以解释为非固定刻度大小、二值价格变化和依赖订单的情况。推论1（GCHP2SDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态{1，2}和遍历概率（π）的遍历马尔可夫链*, π*). 此外，请按照定义3.3进行定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:18

然后是SNT- N（nt）a*√nn型→∞----→ σ*pλ/（1）- W（t）（50），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞u（s）ds<∞ (51)(σ*): = π*+ π*a+（π*a+π*（a）[-2aπ*- 2aπ*+ (π*a+π*a）（π*+ π*)]+π*(1 - p） +π*(1 - p）（a）- a）（p+p- 2） +2（a- （a）π*a（1- p）- π*a（1- p） p+p- 2+(π*a+π*a）（π*- pπ*- π*+ pπ*)p+p- 2.一*: = aπ*+ aπ*（52）其中（p，p）是马尔可夫链的转移概率。推论2（GCHP2SDO的LLN）。定义3.3中定义的过程Sntde描述了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）Sntnn→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（53），其中^u和^a*分别在方程式（51）和（52）中定义。现在，让我们考虑定义3.4中定义的流程，具体时间=S+N（t）Xi=1Xk（54），其中Xk∈ {-δ、 δ}是一个连续时间2态马尔可夫链，δ是固定的ticksize，N（t）是截至时刻t的价格变化数，由定义2.4中定义的一维霍克斯过程描述。在这种情况下，我们有一个非常小的规模、两值价格变化和相关订单。推论3（CHPDO的扩散极限）。设Xkbe为两态{δ}的遍历马尔可夫链，-δ} 和遍历概率（π*, 1.- π*), 然后接受定义3.4中定义的人员，然后- N（nt）a*√nn型→∞----→ σsλ1- uW（t）（55），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞u（s）ds<∞ （56）LOBS 13a中的复合HAWKES过程*: = δ(2π*- 1)σ: = 4δ1.- p+π*（p- p）（p+p- 2)- π*(1 - π*)（57）和（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在方程式（2）中定义。我们注意到，经过一些简化后，GCHP2SDO和CHPDO的LLN与引理4.4中给出的结果相同。5、实证结果。为了测试我们模型的有效性并确定哪一个最适合实证数据，我们考虑了2012年6月21日苹果、亚马逊、谷歌、微软和英特尔的1级LOB数据【53】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:20

我们首先通过检查流动性来验证数据对于我们的模型是否合理，如表1所示。1天内平均每秒订单价格变化股票代码AAPL 51 64350AmZn 25 27557Goog 21 24084Msft 173 3217Intc 176 4060表1。2012年6月21日，AAPL、AMZN、GOOG、MSFT和NTC的股票流动性。每日价格变动的数量之多激发了这样一种想法，即我们可以使用渐进分析，通过确定价格过程的差异极限，使用订单流量来近似长期波动性。因为我们不想包括开始和结束拍卖，所以我们省略了第一分钟和最后一分钟的数据。我们通过分析到达时间间隔和聚类来激励到达过程，以确保到达过程不是泊松过程，并表现出aHawkes过程的特征，如图1和图2所示。此外，我们的差异系数和到达过程之间的关系仅限于单位时间间隔内的预期到达数量。这意味着简单指数模型的结果可以很容易地推广到非线性模型。这使得我们可以使用霍克斯过程的简化模型，该模型仍然足够丰富，可以捕捉我们的观察结果。记住这一点，我们将自己限制为指数核，并使用极大似然估计（MLE）估计参数[35]。我们在表2中提供了这些估计值，并将经验预期到达次数与表3中的MLE估计值进行了比较。显然，MLE方法准确地估计了单位间隔上的预期到达次数。这意味着我们可以间接地说，对于我们的数据，我们的参数将合理地与我们的模型配合使用。我们在表25.1中提供了估计参数。CHPDO。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-11 05:57:24

我们首先考虑具有定义3.4中定义的依赖顺序的复合霍克斯过程，名称为t=S+N（t）Xk=1Xk（58）14 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANλαβAAPL 1.4683 1045.2676 2556.1844AMZN 0.6443 653.7524 1556.1702GOOG 0.4985 865.8553 1980.4409MSFT 0.0659 479.3482 908.0032 NTC 0.0471 399.6389 760.4991表2。为了全局优化负对数似然函数，使用粒子群优化方法估计每个参数。每个数据集的λ、α和β值如下所示。Emp。E[N（[0，1]）]MLEAAPL 2.4840 2.4841AMZN 1.1110 1.1110GOOG 0.8857 0.8857MSFT 0.1395 0.1396INTC 0.0991 0.0992表3。使用MLE方法的估计参数，将单位间隔上的预期到达数与经验到达数进行比较。其中Xk∈ {+δ, -δ} 是一个连续时间的两状态马尔可夫链，δ的大小固定，N（t）是Hawkesprocess描述的截至时间t的中间价格变动数。我们选择研究我们模型的中间价格变化。因此，ST可以通过平均最佳出价和要价来计算。注意到价格记录为美分，中间价格的最小可能涨幅为半美分，我们将使用它作为δ。此外，为了估计马尔可夫链的转移矩阵，我们计算了价格向上和向下运动的绝对频率，并由此计算出相对频率，从而对价格和PDD进行估计，从而给出了价格向上/向下运动的条件概率。稍后，我们将考虑几种不同规模的中间价变动，并将按照惯例，即每个变动将根据其在reals中的订单分配一个基于状态的变动。在这种情况下，-δ为状态1，δ为状态2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:27

这将导致下面给出的转移矩阵P。P=pdd1- pdd1- 普普乌在确定参数和转移概率后，我们计算*表4中的σ以及Puuan和pdd。如果提供这些值，我们可以检验我们的说法，即我们的模型准确地描述了中等价格过程的满意度，我们将使用以前证明的差异极限，即- N（nt）a*√nn型→∞----→ σsλ1- α/βW（t）。（59）如果数据满足我们提出的模型，那么在考虑大时间窗（5min、10min、20min）时，我们预计在LOBS 15pddpuuσa中会看到经验和复合HAWKES过程*AAPL 0.4956 0.4933 0.0049-1.1463e-5AMZN 0.4635 0.4576 0.0046-2.7373e-5GOOG 0.4769 0.4461 0.0046-1.4301e-4MSFT 0.6269 0.5827 0.0062-2.7956e-4INTC 0.6106 0.5588 0.0059-3.1185e-4表4。以上是s的值*, σ以及上述5只股票中每只股票向上/向下移动的向上/向下移动的概率。理论标准差密切相关。为了验证这一点，我们比较了等效过程，该过程通过将LHS和RHS乘以√n、然后将我们的数据切割成大小为n的不相交窗口，特别是[in，（i+1）n]，t=1，通过设置左边界作为我们的开始时间，我们可以计算Snt- N（nt）a*对于每个单独的窗口，请在下面给出一个通用公式。S*i=S（i+1）nt- 信- （N（（i+1）nt）- N（int））a*（60）这给出了一组值{S*i} 在此基础上，我们计算标准偏差。如果我们的模型是准确的，那么*i}≈√ntσsλ1- α/β，其中t=1。（61）我们绘制了不同窗口大小的经验标准偏差与理论标准偏差的曲线图，从10秒开始，以10秒为单位递增，直到每20分钟，如图3所示。在这一点上，应该提出几点重要意见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:30

很明显，虽然该模型准确预测了MSFT和INTC的总体趋势，但我们严重低估了APPL、AMZN和GOOG的中间价格过程的可变性。此外，随着窗口大小的增加，数据的总体分布也会增加。我们将此归因于随着窗口大小的增加，样本量不断减少。例如，当我们考虑一个20分钟的窗口时，我们只能在9小时的交易日内构建27个不相交的窗口，这迫使我们处理从越来越小的样本中预测“总体”标准偏差的问题。我们在后面的部分中使用方差稳定变换来解决这个问题。具体而言，泊松过程的一种流行方法是取经验和理论标准偏差的平方根。这使得定性地查看数据中的总体趋势成为可能，从而更清楚地了解数据的好坏。5.2. GCHP2SDO。到目前为止，我们已经考虑了与交易刻度大小相关的固定三角洲。然而，如果我们考虑APPL、Amzn和GOOG的中间价格变化，则违反了固定刻度大小的假设。事实上，我们观察到大约61%、53%和71%的所有中间价变化都大于半个刻度大小，这与我们观察到的MSFT相反，在这里，所有中间价变化都发生在半个刻度大小，我们在图4中为AAPL、AMZN和GOOG说明了这一点。图4清楚地表明，还需要考虑其他因素。在我们的模型中包含中间价变动的一种简单方法是引入定义3.3中所述的A（Xi）。当然，有必要为马尔可夫链的每个状态确定16个安纳托利·斯威什楚克（AnatoliySwishchuk）和艾登·赫夫马纳（AidenHuffmana）（·）的值。一种简单的方法是取向下和向上中间价格变动的平均值，并将其分别分配给A（1）和A（2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:33

我们在表5中提供了这些值。a（1）a（2）AAPL-0.0172 0.0170AMZN-0.0134 0.0133GOOG-0.0302 0.0308表5。a（i）是中间价上涨或下跌的平均值。按照我们之前的约定，第一个状态将与所有向下的中间价格变动的平均值相关联，第二个状态将与所有向上的中间价格变动的平均值相关联。在这一步中，我们只是努力更好地了解数据中的实际价格变动。因此，当我们观察到中间价下跌时，我们继续将其分配给状态一，同样，对于价格上涨，我们继续将其分配给状态二。因此，我们的转移矩阵将保持不变。然后使用这些新的状态值，我们重新计算*和σ，在表6中提供。这些变化的影响如图5所示。请注意，在图5中，我们使用了前面讨论的方差稳定转换，以便更好地可视化数据中的总体趋势。pddpuuσa*AAPL 0.4956 0.4933 0.0169-1.5624e-4AMZN 0.4635 0.4576 0.0123-1.0475e-4GOOG0.4769 0.4461 0.0282-5.5095e-4表6。我们高于s的值*, σ以及3只感兴趣股票向上/向下运动的向上/向下运动的概率。请注意，图5中AAPLand GOOG的财务状况有了显著的质的改善，但我们的模型仍然明显低估了AMZN中间价格变动的可变性。由于额外的转移概率可以解释2态情况下缺失的可变性，因此可以通过研究n态马尔可夫链来捕获无法解释的方差。5.3. GCHPNSDO。我们回顾定义3.2中描述的N态模型。现在的问题是如何最好地选择状态值。我们修改了[45]中基于分位数的方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 05:57:36

在计算中间价格变动后，我们将数据分为向上和向下的价格变动。然后，我们计算两个数据集的均匀分布分位数。根据数据，几个分位数可能是相同的，我们拒绝任何重复的。因此，我们获得了一个边界列表，如有必要，我们通过添加最小观测值来完成该列表。为了确定状态值a（Xi），我们取两个相邻边界值之间所有中间价格变化的平均值。此外，如果中间价格变化大于或等于（i），我们将其分配给状态i- 1） LOBS 17中的th边界和复合HAWKES过程严格小于ith边界。最大上限例外，允许两端相等。由于我们无法在之前的方法中捕捉到AMZN中间价格变化的全部可变性，因此我们对此案例进行了调查。此外，对于可跟踪性，我们只考虑14个边界值，从中我们可以得到12状态马尔可夫链。我们没有提供转移矩阵，而是在表7中提供了转移矩阵和关联状态的遍历概率。为了比较amzniπ*ia（Xi）1 0.0275-0.05242 0.0281-0.03183 0.0264-0.02504 0.0382-0.02005 0.0576-0.01506 0.3249-0.00647 0.2321 0.00508 0.0923 0.01009 0.0578 0.015010 0.0353 0.020011 0.0412 0.027112 0.0387 0.0476表7。以上我们提供了AMZN的状态、相关遍历概率和状态值a（i），给出了从选择16个量子化方法获得的12状态马尔可夫链。两种状态和N状态方法我们首先采用定性方法，并在图6中绘制两个相互对应的理论和经验标准偏差。当我们比较均方残差时，前面讨论的2状态模型的均方误差为0.0208，而我们的12状态马尔可夫链将其降低到0.0125。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:39

考虑到具有24个状态的更大的马尔可夫链，我们只能得到微乎其微的改善，达到0.0123，这表明我们的模型没有捕捉到中间价格过程中的一些潜在差异。我们在下面的小节中研究这些更定量的度量。首先将模型进行比较，得出一个数值最佳值，然后研究均方误差，以便更好地定量了解随着分位数数量的增加，从每个模型获得的总体改善。5.4. 定量分析。虽然我们的模型在视觉上似乎符合五种情况中四种情况下的预期可变性，但它仍然无法捕捉我们的AMZN数据中所见的中等价格变化的完整动态。我们在表8中研究了我们的模型在不同数量的分位数下的均方误差，这很好地表明了N态模型是否更适合我们的数据。如果我们仔细观察AAPL和GOOG，我们会发现N态情况仍然可以改善两态情况的结果。对于AAPL，我们通过在向下运动和向上运动上分别取16个分位数构建了17态Markovchain。这导致均方误差为0.0036，与均方误差为0.0050.18的两种状态相比，大约提高了28%。ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN Huffman使用25状态马尔可夫链计算GOOG，其构造类似，我们观察到均方误差为0.0046，与均方误差为0.0115的两种状态相比，提高了60%。表8给出了AAPL、AMZN和GOOG的平均残差，以及由不同数量的分位数构建的几个马尔可夫链。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:43

我们还包括用于比较的INTC和MSFT的平均残差。CHPDO 2 8 16 32AAPL 0.2679 0.0050 0.0036 0.0036 0.0036AMZN 0.1122 0.0208 0.0131 0.0124 0.0123GOOG 0.4036 0.0115 0.0048 0.0045 0.0047INTC 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5MSFT 1.0586e-4 1.0586e-4 1.0586e-4 1.0586e-4 1表8是的。我们列出了几个状态数不同的马尔可夫链的平均残差。这些是使用我们改进的分位数方法生成的，选择从2、8、16或32分位数开始。我们看到，一般来说，平均残差会降低到某个下限，在这个下限下，我们的表现再也不能更好了。需要指出的是，唯一观察到的INTC和MSFT的中间价格变化是半个刻度大小，任何分位数数量的增加都将导致相同的性能。我们的另一个定量测量方法是将其与给定数据的最佳理论值进行比较。请注意，我们的每个模型都假设标准偏差是根据时间步长乘以某些可确定系数的平方根变化的。因此，我们可以通过最小化均方残差来估计可能的最佳系数，我们在图7中提供了这些假设的最佳拟合与经验数据和理论拟合的曲线图。为了进行更定量的比较，我们还提供了表9中的理论系数和假设最佳系数。理论系数回归系数百分比误差AAPL 0.02868 0.02828 1.42%AMZN 0.01450 0.01831 20.8%GOOG 0.02883 0.03023 4.63%INTC 0.00186 0.00193 3.4%MSFT 0.00231 0.00246 6.4%表9。AAPL、AMZN和GOOG的计算系数是使用马尔可夫链生成的，马尔可夫链由16个向上和向下运动的数量组成。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:46

而INTC和MSFT的系数是从CHPDO案例中获得的。我们注意到，在每种情况下，误差都接近或低于百分之五，其中阿姆锌是最大的影响因素。这与我们在整个分析过程中提供的讨论一致，并强调了我们模型的普遍适用性。LOBS 195.5中的复合HAWKES过程。评论。总体而言，N状态模型的表现优于其他模型，五个数据集中有四个数据集的拟合结果合理，均方误差减少了25%以上。虽然无法捕获AMZN中观察到的完整动态，但它似乎是我们数据中观察到的简单价格动态模型的有力候选。有必要进行进一步调查，以确定AMZN中观察到的额外波动性的原因，并可能实施一个更稳健的模型来捕捉这一点。参考文献[1]Ait Sahalia，Y.、Cacho Diaz，J.和Laeven，R.（2010）：利用相互激励的跳跃过程对金融传染进行建模。技术代表，15850，Nat。欧共体局。Res.，USA.【2】Bu ffington，J.，Elliott，R.J.（2000）：制度转换和欧洲选择。劳伦斯，K.S.（ed.）《随机理论与控制》。研讨会记录，73-81。柏林海德堡纽约：斯普林格。(2002).[3] Bu ffington，J.，Elliott，R.J.（2002）：制度转换的美国期权。《国际理论与应用金融杂志》5497-514。[4] Brmaud，P.和Massouli，L.（1996）：非线性Hawkes过程的稳定性。《总统年鉴》。，24(3), 1563.[5] Bacry，E.、Mastromatteo，I.和Muzy，J.-F.（2015）：霍克斯金融过程。arXiv:1502.04592v2【q-fin.TR】2015年5月17日。[6] Bowsher，C.（2007）：连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。J、《计量经济学》，141（2）：876-912。[7] Bauwens，L.和Hautsch，N。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:49

（2009）：使用PointProcess建模金融高频数据。斯普林格。[8] Bartlett，M.（1963）：点过程的谱分析。J、 R.Stat.Soc。，序列号。B、 25（2），264-296。[9] Cartea，A.、Jaimungal，S.和Ricci，J.（2011）：低买高卖：高频交易前景。技术报告。[10] Cartea。，Jaimungal，S.和Penalva，J.（2015）：算法和高频交易。剑桥大学出版社。[11] Cartensen，L.（2010）：霍克斯过程和组合转录调控。哥本哈根大学博士。[12] Chavez Demoulin，V.和McGill，J.（2012）：使用Hawkes过程的高频金融数据建模。J、《银行与金融》，36（12），3415-3426。[13] Chavez Casillas，J.、Elliott，R.、Remillard，B.和Swishchuk，A.（2017）：具有随时间变化的到货率的一级限额订单。继续IWAP，多伦多，6月20日至25日。也可在ARXIV上获得：https://arxiv.org/submit/1869858[14] Cohen，S.和Elliott，R.（2014）：自激马尔可夫调制计数过程的滤波器和平滑度。IEEE Trans。Aut公司。控制[15] Cont，R.and de Larrard，A.（2013）：限制订单书的马尔可夫模型。暹罗J.Finan。数学[16] Cox，D.（1955）：一些与一系列事件相关的统计方法。J、 R.统计Soc。，序列号。B、 17（2），129-164。[17] Daley，D.J.和Vere Jones，D.（1988）：点过程理论导论。斯普林格。[18] Dassios，A.和Zhao，H.（2011）：动态传染过程。应用概率研究进展。，43(3), 814-846.[19] Engel，R.和Russel，J.（1998）：自回归条件持续时间：不规则间隔事务数据的新模型。《计量经济学》，661127-1162。[20] Engle，R.（2000）：超高频数据的计量经济学。《计量经济学》，68:1-20。[21]Engle，R.和Large，J.（2001）：预测vnet：市场深度动态模型。J、芬南。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 05:57:52

市场，4113-142。[22]Engle，R.和Lunde，A.（2003）：交易和报价：双变量点过程。J、芬南。经济体。，1 (2), 159-188.[23]Embrechts，P.、Liniger，T.和Lin，L.（2011）：多元霍克斯过程：金融数据的应用。J、应用程序。问题。，48，A:367-378.20安纳托利·斯威什楚克（ANATOLIY SWISHCHUK）和艾登·赫夫曼（AIDEN HUFFMAN）[24]Errais，E.、Giesecke，K.和Goldberg，L.（2010）：A ffene point流程和投资组合信用风险。暹罗J.Fin。数学1: 642-665.[25]Fillimonov，V.、Sornette，D.、Bichetti，D.和Maystre，N.（2013）：共商品市场中高水平内生性和结构制度转变的量化，2013年。[26]Fillimonov，V.和Sornette，D.（2012）：量化金融市场的流动性：预测金融崩溃。物理复习E，85（5）：056108。[27]Hawkes，A.（1971）：一些自激和互激点过程的光谱。生物特征，58，83-90。[28]Hawkes，A.和Oakes，D.（1974）：自激过程的集群过程表示。J、应用概率。，11: 493-503.[29]Hewlett，P.（2006）：订单到达的聚类、价格影响和贸易路径优化。[30]Hasbrouch，J.（1999）：快速和慢速交易：实时证券市场事件。技术报告。Korolyuk，V.S.和Swishchuk，A.V.（1995）：半马尔可夫随机演化。KluwerAcademic出版社，荷兰多德雷赫特。[32]Large，J.（2007）：衡量电子限额指令簿的弹性。J、财务部。市场，10（1）：1-25。[33]Liniger，T.（2009）：多元Hawkes过程。博士论文，瑞士联邦储备银行。苏黎世理工学院。[34]Lewis，P.（1964）：J.R.Stat.Soc。，序列号。B、 26（3），398。[35]Laub，P.、Taimre，T.和Pollett，P.（2015）：霍克斯过程。arXiv:1507.02822v1【数学公共关系】2015年7月10日。【36】McNeil，A.、Frey，R.和Embrechts，P.（2015）：定量风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社。[37]Mehdad，B.和Zhu，L。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:57:55

（2014）：关于霍克斯过程，具有不同的激动人心的功能。arXiv:1403.0994。[38]Norris，J.R.（1997）：马尔可夫链。在剑桥统计和概率数学系列中。英国：剑桥大学出版社。【39】Skorokhod，A.（1965）：随机过程理论研究，Addison Wesley，Reading，Mass。，（纽约多佛出版社再版）。【40】Swishchuk，A.（2017a）：基于复合霍克斯过程的风险模型。摘要，IME 2017，维也纳(https://fam.tuwien.ac.at/ime2017/program.php).【41】Swishchuk，A.（2017b）：基于复合霍克斯过程的风险模型。arXiv：http://arxiv.org/abs/1706.09038【42】Swishchuk，A.（2017c）：限制订单簿中的一般复合Hawkes流程。工作文件，卡尔加里大学，32页，2017年6月。arXiv上提供：http://arxiv.org/abs/1706.【43】Swishchuk，A.、Chavez Casillas，J.、Elliott，R.和Remillard，B.（2017）：限制订单簿中的复合鹰牌流程。SSRN上提供：https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2987943【44】Swishchuk，A.和Vadori，N.（2017）：限价订单市场的半马尔可夫模型。暹罗J.Finan。数学v、 8240-273。【45】Swishchuk，A.、Cera，K.、Hofmeister，T.和Schmidt，J.（2017）：限价订单簿的一般半马尔可夫模型。实习生J、 Theoret。《应用金融》，第20卷，1750019页。【46】Swishchuk，A.和Vadori，N.（2015）：非齐次半马尔可夫过程泛函的强大数定律和中心极限定理。随机分析与应用，13（2），213-243。[47]Vinkovskaya，E.（2014）：LOB动力学的点过程模型。哥伦比亚大学（Columbia University）[48]Zheng，B.、Roue ff，F.和Abergel，F.（2014）博士论文：约束多变量Hawkes过程的遍历性和标度极限。暹罗J.Finan。数学5, 2014.朱，L.（2013）：非线性Hawkes过程的中心极限定理。J、应用程序。问题。，50(3),760-771.【50】G.O.Mohler，M.B.Short，P.J。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝