极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

2022-6-1 00:47:22

摘要：本文进一步研究了各种新的霍克斯过程，即所谓的一般复合过程和制度转换一般复合霍克斯过程，以模拟限制订单书中的价格过程。我们证明了这些过程的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。后两种FCLT用于限制订单，我们使用这些渐近方法通过研究这些价格过程的差异限制来研究我们两个模型中价格波动和订单流量之间的联系。价格变动的波动性用描述到达率和价格变动的参数表示。关键词：霍克斯过程；复合霍克斯过程；区域切换复合霍克斯过程；限制订单簿；扩散极限；大数定律（LLN）；函数中心极限定理（FCLT）1简介霍克斯过程（HP）以其创造者艾伦·霍克斯（1971、1974）命名【27、28】。HP是一个简单的点流程，具有自我激励特性、群集效应和长内存。HP是所谓的“自激点过程”，这意味着它是一个具有随机强度的点过程，通过其对过程历史的依赖性，捕捉到事件到达过程的时间和横截面依赖性，以及在实证分析中观察到的“自激”特性。最近，自激点过程已应用于价格变化或交易到达时间的高频数据，即市场订单，而非限价订单的到达和取消。HP已被用于许多应用，如神经活动建模、遗传学Cartensen（2010）[11]，crimeLouie等人的研究。

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能者818

2022-6-1 00:47:24

（2010），银行违约和地震。20世纪50年代和60年代，点过程本身在统计学中获得了大量关注。Cox（1955）[16]引入了双重随机泊松过程（现在称为Cox过程）的概念，Bartlett（1963）[8]研究了基于功率谱密度的点过程统计方法。Lewis（1964）[34]制定了一个点过程模型（针对计算机故障模式），这是朝着HP方向迈出的一步。加拿大卡尔加里DaleyUniversity of Calgary，Calgary，Canadat对点过程理论有一个很好的介绍。作者希望感谢NSERC等人（1988）[17]的持续支持。市场微观结构背景下的第一类点过程是Engel et al.（1998）[19]引入的自回归条件持续时间（ACD）模型。惠普最新的应用是财务分析，尤其是限额订单。在本文中，我们进一步研究了各种新的霍克斯过程，即所谓的复合和制度转换复合霍克斯过程，以模拟限价订单簿中的价格过程。我们证明了这些过程的大数定理和泛函中心极限定理（FCLT）。后两种FCLT用于限制订单，我们使用这些渐近方法通过研究这些价格过程的扩散极限来研究两个模型中价格波动和订单流量之间的联系。价格变化的波动性用描述到达率和价格变化的参数表示。我们也给出了一些数值例子。[40]中引入了一般复合霍克斯过程来模拟保险中的风险过程。

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2022-6-1 00:47:28

在文[41]中，我们得到了具有相依序的复合Hawkes过程和状态切换的复合Hawkes过程的函数clt和lln。Bowsher（2007）[6]是第一个将HP应用于金融数据建模的人。Cartea et al.（2011）[9]将HP应用于市场订单到达模型。Filimonov和Sornette（2012）[25]和Filimonov et al.（2013）[26]应用HP来估计由内生自生活动而非新闻或小说信息的外生影响引起的价格变化的百分比。Bauwens和Hautsch（2009）[7]使用一个5-D HP来估计五只股票之间的多变量波动率，基于价格意愿。Hewlett（2006）[29]利用事件发生引起的强度瞬时跃升来确定该事件的市场影响，同时考虑到也会导致更多事件的次级事件的级联效应。Hewlett（2006）[29]还使用Hawkes模型推导出做市商的最优定价策略和投资者的最优交易策略，因为理性的做市商拥有历史交易数据。Large（2007）[32]应用了霍克斯模型，目的是通过对订单簿弹性的更具体兴趣以及买卖双方考虑的限额和市场订单以及取消来调查市场影响，并根据其攻击程度对这些事件进行进一步分类，形成了一个10维霍克斯过程。其他基于随机强度标点过程的计量经济模型包括Engle（2000）[20]，Engle and Large（2001）[21]提出的所谓自回归条件持续时间（ACD）模型。Engle和Lunde（2003）[22]考虑了单变量过程和自回归条件强度（ACI）模型，其强度取决于强度过程的历史。

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2022-6-1 00:47:30

Hasbrouck（1999）[30]引入了多变量点过程来模拟anorder book的不同事件，但没有将强度参数化。我们注意到，Brémaudet al.（1996）[4]将HP推广到其非线性形式。此外，Zhu（2013）[47]还获得了非线性Hawkes过程的泛函中心极限定理。Ait Sahalia等人（2010）[1]引入了“霍克斯扩散模型”，试图将以前的股价模型扩展到包括金融传染。Chavez Demoulin等人（2012）[12]使用霍克斯过程对高频金融数据进行建模。Errais et al.（2010）[24]中可以找到对组合信用风险的有效点流程的应用。Hawkes过程在金融数据中的一些应用也在Imbrechts et al.（2011）[23]中给出。Cohen等人（2014）[14]推导出了马尔可夫调制霍克斯过程的显式滤波器。Vinkovskaya（2014）[45]考虑了一种政权转换鹰派流程，以模拟其对豪华轿车订单中买卖价差的依赖。Bu ffington et al.（2000）[2]和Bu ffington et al.（2002）[3]分别考虑了欧洲和美国期权定价的制度转换模型。应用半马尔可夫过程对[42]中的订单进行限制，以建立中间价模型。我们注意到，在[13]中研究了具有时间相关到达率λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。Bacry et al.（2015）[5]的论文概述了专门研究霍克斯过程在金融中应用的最新学术文献。这是对霍克斯过程在金融领域应用的一次很好的调查。总的来说，高频金融的主要模型可分为单变量模型、价格模型、影响模型、订单模型和一些系统性风险模型、新闻模型、高维模型和图模型聚类。Cartea等人的书。

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2022-6-1 00:47:33

（2015）[10]开发了contaxts中的算法交易模型，如执行大订单、做市、交易对或资产集合，以及在暗池中执行。这本书还包含一个网站的链接，可以从该网站下载来自多个来源的许多数据集，以及帮助进行数据实验的MATLAB代码。Liniger（2009）[33]中详细描述了霍克斯过程的数学理论。Laub等人（2015）[35]的论文提供了背景，介绍了现场和历史发展，并触及了Hawkes过程的所有主要方面。2霍克斯过程（HPs）的定义在本节中，我们给出了霍克斯过程的各种定义和一些属性，这些定义和属性可以在现有文献中找到（例如，参见[27、28]、[23]、[46]）。它们尤其包括一维、D维和非线性霍克斯过程。定义1（计数过程）。计数过程是一个随机过程N（t），t≥ 0，取整正值，满足：N（0）=0，几乎肯定是有限的，是右连续阶跃函数，其大小增量为+1。用FN（t），t表示≥ 0，时间t之前到达的历史，即FN（t），t≥ 0表示过滤（σ-代数的递增序列）。计数过程N（t）可以被解释为截至当前时间t的系统到达次数的累积计数。计数过程也可以由随机到达时间序列（t，t，…）来表征此时计数过程N（t）已跳变。定义为这些到达时间的过程称为点过程（见【17】）。定义2（点过程）。

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2022-6-1 00:47:36

如果随机变量序列（T，T，…），取[0]中的值+∞), 有P（0≤ T≤ T≤ ...) = 1，并且有界区域中的点数几乎是确定的，那么，（T，T，…）称为点过程。定义3（条件强度函数）。考虑一个计数过程N（t）和相关的历史FN（t），t≥ 如果存在一个非负函数λ（t），使得λ（t）=limh→0E【N（t+h）】- N（t）| FN（t）]h，（1）则称为N（t）的条件强度函数（见[35]）。我们注意到，该函数最初被称为危险函数（见[16]）。定义4（一维霍克斯过程）。一维霍克斯过程（见[27，28]）是一个点-点过程N（t），其特征是相对于其自然过滤的强度λ（t）：λ（t）=λ+Ztu（t- s） dN（s），（2），其中λ>0，响应函数u（t）为正函数，满足+∞u（s）ds<1。常数λ称为背景强度，函数u（t）有时也称为激发函数。我们假设u（t）6=0以避免常见情况，即齐次泊松过程。因此，霍克斯过程是泊松过程的非马尔可夫扩展。关于（1）和N（t）（2）中λ（t）的定义，它遵循p（N（t+h）- N（t）=m | FN（t））=λ（t）h+o（h），m=1o（h），m>11- λ（t）h+o（h），m=0。方程（2）的解释是，事件根据背景强度λ的强度发生，背景强度λ在每个新事件处增加u（0），然后根据函数u（t）衰减回背景强度值。

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2022-6-1 00:47:39

选择u（0）>0会导致每个新事件的强度波动，该特征通常被称为自激特征，换句话说，如果到达导致（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）增加，则该过程称为自激。我们想提到，（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）可以与计数过程n（t）的补偿器∧（t）相关联，即∧（t）=Ztλ（s）ds。（3）因此，∧（t）是唯一的FN（t），t≥ 0，可预测函数，其中∧（0）=0，并且是非递减的，因此n（t）=M（t）+∧（t）a.s.，其中M（t）是FN（t），t≥ 0，局部鞅（其存在性由Doob-Meyer分解保证）。（2）中函数u（t）的常见选择是指数衰减（见[27]）：u（t）=αe-βt，（4）其中参数α，β>0。在这种情况下，霍克斯过程被称为具有指数衰减强度的哈克斯过程。因此，方程（2）变为λ（t）=λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），（5）我们注意到，在（4）的情况下，过程（N（t），λ（t））是一个连续的时间马尔可夫过程，而选择（2）的情况并非如此。在某些初始条件λ（0）=λ时，（5）中的条件密度λ（t）和（4）中的指数衰减满足SDEdλ（t）=β（λ- λ（t））dt+αdN（t），t≥ 0，可（使用随机演算）求解为λ（t）=e-βt（λ- λ） +λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），是（5）的扩展。u（t）的另一个选择是幂律函数：λ（t）=λ+Ztk（c+（t- s） pdN（s）（6）具有一些正参数c、k、p。λ（t）in（6）的幂律形式被应用于称为Omori定律的地质模型中，并用于预测地震引起的余震的发生率。定义5（D维霍克斯过程）。

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2022-6-1 00:47:42

D维霍克斯过程（见[23]）是一个点-点过程，其特征是其强度向量λ（t）=（λi（t））Di=1，即：λi（t）=λi+Ztuij（t- s） dNj（s），（7），其中λi>0，且M（t）=（uij（t））是矩阵值核，因此：1）它是分量正的：（uij（t））≥ 每个1 0≤ i、 j≤ D2）它是分量型L-可积函数。在矩阵卷积形式中，方程（7）可以写成~λ（t）=~λ+M* d~N（t），（8），其中λ=（λi）Di=1。定义6（非线性霍克斯过程）。非线性霍克斯过程（参见，例如，[46]）由强度函数定义，其形式如下：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）, （9）其中h（.）是一个非线性函数，支持R+。h的典型示例为h（x）=1x∈R+和h（x）=例如备注1。霍克斯过程的许多其他推广已被提出。其中特别包括混合Diffusion Hawkes模型【24】、具有散粒噪声外源事件的Hawkes模型【18】、具有世代相关核的Hakes过程【37】，等等。3一般复合霍克斯工艺（GCHP）和制度转换一般复合霍克斯工艺（RSGCHP）在本节中，我们定义了一般复合霍克斯工艺（GCHP）和制度转换复合霍克斯工艺（RSCHP）。我们还考虑了GCHP和RSGCHP的特殊情况及其在限额订单簿中的应用。3.1通用复合霍克斯工艺（GCHP）定义7（通用复合霍克斯工艺（GCHP））。LetN（t）是上述章节中定义的任何一维霍克斯过程。同样，让Xnbe遍历连续时间有限状态马尔可夫链独立于N（t），空间状态X，且a（X）是X上的任何有界连续函数。一般的复合霍克斯过程定义为t=S+N（t）Xi=1a（Xk）。（10）备注2。

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2022-6-1 00:47:45

同样，我们可以为其他霍克斯过程定义一般复合霍克斯过程，如D维定义5或非线性定义6。3.1.1 GCHP和应用的特殊情况：限制订单3.1.1。1.（固定勾号、两值价格变化、独立订单）。如果取i.i.d.r.v.Xk，anda（x）=x，而不是马尔可夫链，那么（10）变成S=S+N（t）Xi=1Xk。（11）在霍克斯过程N（t）定义1中u（t）=0的情况下，我们意味着具有S=0的复合泊松过程Stin（11）。所以，斯丁（10）-复合霍克斯过程的名称。我们将该过程称为Stin（11）-复合霍克斯过程（CHP）或具有独立订单的复合霍克斯过程（CHPIO）。在泊松过程N（t）（u（t）=0）的情况下，【15】中使用该模型对Xk={-δ、 +δ}，其中δ是固定的刻度大小。3.1.1.2。（固定勾号、双值价格变化、相关订单）。假设Xk∈ {-δ、 +δ}和a（x）=x，则Stin（10）变为SST=S+N（t）Xi=1Xk。（12）这种类型的过程可以作为限额订单中的中间价格模型，其中δ是固定的勾号大小，N（t）是截至时刻t的订单到达数量。我们将此过程称为Stin（12）-具有相关订单的复合霍克斯过程（CHPDO）。N（t）是更新过程，然后在[42]中使用模型（12）对限价订单市场进行半马尔可夫建模。3.1.1.3。（非固定勾号、两个值价格变化、依赖者）。假设Xkis遍历连续时间马尔可夫链，独立于N（t），具有两个状态，X={1，2}，N（t）是更新过程。（10）becomest=S+N（t）Xi=1a（Xk），（13），其中a（Xk）仅取两个值a（1）和a（2）。我们将其称为processStin（13）-具有两态相关序的一般复合Hawkes过程（GCHP2SDO）。

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2022-6-1 00:47:48

该模型在[43]中用于具有非固定勾号δ和两个值价格变化的limitorder账簿的中间价格过程。当然，这个模型比（12）更一般，因为如果我们设置a（1）=δ和a（2）=-δ.3.1.1.4. （非固定刻度，N值价格变化，依赖者）。假设独立于N（t）的Xkis遍历连续时间马尔可夫链具有N个状态，X={1，2，…，N}，N（t）是更新过程。（10）becomest=S+N（t）Xi=1a（Xk），（14），其中a（Xk）取N值a（1），a（2）。。。，a（n）。我们将此过程称为Stin（14）-具有n态相关序的一般复合Hawkes过程（GCHPnSDO）。在【43】中，该模型用于具有非固定勾号δ和n值价格变化的限额订单中的中间价格过程。这个模型比（14）更一般，因为我们可以考虑（14）中状态空间X的n=2。3.2区域切换一般复合霍克斯过程（RSGCHP）将Yt设为N态马尔可夫链，速率矩阵1为。我们假设，在不丧失一般性的情况下，yT取标准基向量inRN中的值。然后，对于Mtan-RN值的P-鞅，Ythas表示yt=Y+ZtAsYsds+Mt，（15）（参见[2]更多细节）。定义8（一维区域切换霍克斯过程（RSHP））。一维区域切换Hawkes过程是一个apoint过程，其特征是强度λ（t）如下：λt=<λ，Yt>+Zt<u（t- s），Ys>dNs，（16），其中<·，·>是内积，YIT在b（15）中定义。定义9（D维区域切换霍克斯过程（DRSHP））。

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能者818

2022-6-1 00:47:51

D维区域切换Hawkes过程是一个点过程，其特征是其强度向量λt=（λit）Di=1，即：λit=<λi，Yt>+Zt<uij（t- s），Ys>dNjs，（17），其中λi>0，M（t）=（uij（t））是（7）中定义的矩阵值核，定义5和（15）中定义的Ytis。定义10（非线性状态切换霍克斯过程（NLRSHP））。非线性区域切换霍克斯过程由强度函数定义如下：λt=h< λ、 Yt>+Zt<u（t- s），Ys>dNs, （18）其中，h（·）是一个非线性函数，在R+中有支撑，Ytis在（15）中定义。定义11（状态切换通用复合霍克斯过程（RSGHP））。设Ntbe为（16）定义8中定义的任何一维区域切换Hawkesprocess（RSHP）。还设Xnbe遍历连续时间有限状态马尔可夫链，独立于Nt，空间状态X，且A（X）是X上的任何有界连续函数。状态切换一般复合霍克斯过程定义为T=S+NtXi=1a（Xk），（19），其中NTI定义于（16），定义于8.3.2.1 RSGCHP和应用的特殊情况：极限订单3.2.1.1。（固定刻度，两值价格变化，独立订单）。如果取i.i.d.r.v.Xk序列，而不是马尔可夫链，则（19）变为SST=S+NtXi=1Xk，（19.1），其中NTI RSHP定义在（16）中。在霍克斯过程N（t）定义1中u（t）=0的情况下，我们简单地得到了S=0的状态切换复合泊松过程Stin（19）。所以，斯蒂恩（10）-复合霍克斯过程的名字。我们将此过程称为Stin（11）-状态转换复合霍克斯过程（RSCHP）或具有独立订单的状态转换复合霍克斯过程（RSCHPIO）。3.2.1.2. （固定勾号、双值价格变化、相关订单）。假设Xk∈ {-δ、 +δ}和a（x）=x，则Stin（19）变为SST=S+NtXi=1Xk。

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2022-6-1 00:47:54

（19.2）这种类型的过程可以是限额订单中的中间价格模型，其中δ是固定的勾号大小，N（t）是截至t时刻的订单到达数量。我们将此过程称为Stin（12）-制度转换复合霍克斯过程（RSCHPDO）。3.2.1.3. （非固定勾号、两个值价格变化、依赖者）。假设Xkis遍历连续时间马尔可夫链，独立于N（t），具有两个状态，X={1，2}，N（t）是更新过程。（10）变为S+NtXi=1a（Xk），（19.3），其中a（Xk）仅取两个值a（1）和a（2）。我们将其称为具有两个状态相关序的processStin（13）-状态切换广义复合Hawkes过程（RSGCHP2SDO）。当然，这个模型更为通用，因为如果我们设置a（1）=δ和a（2），我们可以考虑一个蜱虫传播=-δ.3.2.1.4。（非固定刻度，N值价格变化，依赖者）。假设独立于N（t）的Xkis遍历连续时间马尔可夫链具有N个状态，X={1，2，…，N}，N（t）是更新过程。（10）Becomest=S+NtXi=1a（Xk），（19.4），其中a（Xk）取n值a（1），a（2）。。。，a（n）。我们将这一过程称为Stin（14）-具有n态相关序的状态切换广义复合Hawkes过程（RSGCHPnSDO）。这个模型比（19.3）更一般，因为我们可以考虑（14）中状态空间X的n=2。备注3。与定义8-10类似，我们可以用指数核（见（4））或幂律核（见（6））定义regimeswitching-Hawkes过程。因此，如果我们采用D维、定义9或非线性、定义10、状态转换霍克斯过程Nt，我们可以定义各自的状态转换一般复合霍克斯过程，类似于（19）定义11中定义的过程。备注4。

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2022-6-1 00:47:57

[14]（指数核）和[45]（多维霍克斯过程）中考虑了状态切换霍克斯过程。文献[14]讨论了一个自激计数过程，其参数依赖于隐有限状态马尔可夫链，并基于跳跃过程的观察得到了最优滤波器和平滑器。论文[45]考虑了一个具有指数核的制度转换多维霍克斯过程，该过程反映了买卖价差的变化。研究了该模型的参数极大似然估计等统计特性。4《限额订单手册》中各种霍克斯流程的LLN和LLN在本节中，我们考虑《限额订单手册》中第3节定义的各种霍克斯流程的LLN和LLN。在限价订单簿、高频和算法交易中，订单到达和取消非常频繁，并且发生在毫秒级（参见，例如，[15]、[10]）。同时，在许多应用程序中，例如订单执行，人们对订单在大时间尺度上的动态变化感兴趣，通常是几十秒或几十分钟。这意味着我们可以通过研究价格过程的差异限制，使用渐近方法来研究模型中价格波动和订单流之间的联系。在这里，我们证明了价格过程的函数中心极限定理，并用描述到达率和价格变化的参数表示价格变化的波动性。我们还为这些不同的CHP提供了证明。在第一节中，我们总结了[41]的结果，以确保其完整性。

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2022-6-1 00:48:00

我们注意到，在[13]中研究了具有时间相关到达率λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。4.1 LimitOrder Books中具有相关订单的复合HawkesProcess（CHPDO）的差异极限和LLN我们在这里考虑了（12）中定义的中间价格过程St（GCHP），即：St=S+N（t）Xi=1Xk，（20），其中Xk∈ {-δ、 +δ}是连续时间二态马尔可夫链，δ是执行棒大小，N（t）是截至时刻t的价格变化数，由（2）定义的一维霍克斯过程描述，定义4。这意味着我们有固定刻度、两个值价格变化和依赖者的情况。定理1（CHPDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*). 让我们也在（20）中定义。然后是SNT- N（nt）·s*√n→n→+∞σqλ/（1）- W（t），（21），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, （22）秒*:= δ(2π*- 1） σ：=4δ1.- p+π*（p- p）（p+p- （2）- π*（1）- π*), （23）和（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（20）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1Xk，（24）和snt=S+N（nt）Xi=1（Xk- s*) + N（nt）s*.因此，Snt- N（nt）s*√n=S+PN（nt）i=1（Xk- s*)√n

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kedemingshi

2022-6-1 00:48:03

（25）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsRn：=nXk=1（Xk- s*) （26）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc）+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（27），其中b·c是FLOOR函数。根据[42]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：Un（t）→n→+∞σW（t），（28），其中σ在（23）中定义。我们注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见，例如，[17]），w.r.t LLN我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（29），其中^u在（22）中定义。使用（28）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（28）和（29）中找到：Un（N（nt）/N）→n→+∞σWtλ/（1）- ^u),orUn（N（nt）/N→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（30）现在，结果（21）来自（25）-（30）。引理1（LLN表示CHPDO）。过程Sntin（24）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞s*·λ1 - ^ut，（31），其中s*和^u分别在（23）和（22）中定义。证据从（24）中，我们得到snt/n=序列号+n（nt）Xi=1Xk/n。（32）当n→ +∞. 另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见，例如，[38]），nnXk=1Xk→n→+∞s*, （33）其中s*定义见（23）。最后，考虑到（29）和（33），我们得到：N（nt）Xi=1Xk/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1Xk→n→+∞s*λ1 - ^ut，下面是（31）中的结果。4.2有独立订单的RSCHP（RSCHPDO）的差异限额和LLN在限额订单手册中，我们这里考虑的是中间价格过程St（RSGCHP），形式为St=S+NtXi=1Xk，（34），其中Xk∈ {-δ、 +δ}，δ是固定的刻度大小，而nTi是截至时刻t的价格变化数量，由一维区域切换霍克斯过程描述，定义为（与（16）相比，定义为8）：λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs。

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2022-6-1 00:48:06

（35）在这里，我们想放松一维区域切换霍克斯过程的模型，只考虑在（25）中切换参数λ，背景强度的情况，从限价订单簿的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑三态马尔可夫链Yt∈ {1，2，3}和解释<λ，Yt>分别为限制指令，如λ，市场指令，如λ，和取消指令，如λ的强度。当然，也可以考虑更一般的情况（16），其中<u（t），Yt>，激励函数（例如）也可以分别根据限制指令、市场指令和取消指令取三个值。定理2（RSGCHP的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*). 还可以用λtin（35）定义（34）。我们还考虑了具有遍历概率（p*, p*, ..., p*N）。然后是SNT- Nnt·s*√n→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（36），其中W（t）是标准维纳过程，s*和σ在（23）中定义，^λ：=NXi=1p*iλi6=0，λi：=<λ，i>，（37）和^u在（22）中定义。证据从（34）可以看出，snt=S+NntXi=1Xk，（38）和snt=S+NntXi=1（Xk- s*) + Nnts公司*,其中Nntis RGCHP具有区域切换强度λtin（35）。因此，Snt- Nnts公司*√n=S+PNnti=1（Xk- s*)√n

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2022-6-1 00:48:09

（39）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pnnti=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下和，类似于（26）和（27）：Rn：=nXk=1（Xk- s*) （40）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc）+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（41），其中b·c是FLOOR函数。根据[42]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：Un（t）→n→+∞σW（t），（42），其中σ在（23）中定义。我们注意到，对于具有区域切换强度λtin（35）的Hawkes工艺，w.r.t LLN（详见【31】）：Ntt→t型→+∞^λ1 - ^u，或NTN→n→+∞t^λ1- ^u，（43），其中^u在（22）中定义，^λ在（37）中定义。使用（43）中的时间变化，t→ Nnt/n，我们可以从（42）和（43）中找到：Un（Nnt/n）→n→+∞σWt^λ/（1）- ^u),奥伦（Nnt/n）→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（44）现在，结果（36）来自（38）-（44）。引理2（LLN表示RSCHPDO）。过程Sntin（38）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞s*·^λ1 - ^ut，（45），其中s*,^λ和^u分别在（23）、（37）和（22）中定义。证据从（38）中，我们得到了snt/n=S/n+NntXi=1Xk/n，其中Nntis-Hawkes过程具有区域切换强度λtin（35）。当n时，第一项变为零→ +∞.从另一边，w.r.t。

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2022-6-1 00:48:12

马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]）nnXk=1Xk→n→+∞s*,其中s*定义见（23）。最后，考虑到（43）和最后一个极限，我们得到：NntXi=1Xk/n=nntnntxi=1Xk→n→+∞s*^λ1 - ut，然后是（45）中的结果。4.3具有两个状态相关订单（GCHP2SDO）的一般CompoundHawkes过程的差异极限和LLN在限价订单手册中，我们这里考虑的是中间价格过程St（GCHP），在（13）中定义，即：St=S+N（t）Xi=1a（Xk），（46），其中Xk∈ {1，2}：=X是连续时间2态马尔可夫链，X上的（X）是连续且有界的函数={1，2}，N（t）是到时刻t的价格变化数，由（2），定义4中定义的一维Hawkes过程描述。这意味着我们有非执行tick、双值价格变化和依赖订单的情况。定理3（GCHP2SDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态{1，2}和遍历概率（π）的遍历马尔科夫链*, π*).让我们也在（46）中定义。然后是SNT- N（nt）·a*√n→n→+∞σ*qλ/（1）- W（t），（47），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, (48)(σ*):= π*a+π*a+（π*a+π*（a）[-2aπ*- 2aπ*+ (π*a+π*a）（π*+ π*)]+(π*（1）-p） +π*（1）-p））（a-a）（p+p-2） +2（a- （a）·π*a（1-p）-π*a（1-p） p+p-2+(π*a+π*a）（π*-pπ*-π*+pπ*)p+p-2.,一*:= π*a（1）+π*a（2），（49），其中（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（46）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk），（50）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- 一*) + N（nt）a*,其中a*:= π*a（1）+π*a（2）。因此，Snt- N（nt）a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- 一*)√n

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2022-6-1 00:48:15

（51）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- 一*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsR*n： =nXk=1（a（Xk）- 一*) （52）安度*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））R*bntc）+（nt- bntc））R*bntc）+1]，（53），其中b·c是FLOOR函数。根据[43]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：U*n（t）→n→+∞σ*W（t），（54），其中σ*定义见（49）。我们再次注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见，例如，[17]），w.r.t LLN我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（55），其中^u在（48）中定义。使用（54）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（54）和（55）中找到：U*n（n（nt）/n）→n→+∞σ*Wtλ/（1）- ^u),奥鲁*n（n（nt）/n）→n→+∞σ*qλ/（1）- ^u）W（t），（56）结果（47）现在由（50）-（56）得出。引理3（GCHP2SDO的LLN）。过程Sntin（46）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞一*·λ1 - ^ut，（57），其中*和^u分别在（49）和（48）中定义。证据从（46）中，我们得到snt/n=S/n+n（nt）Xi=1a（Xk）/n。（58）当n→ +∞. 另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见，例如，[38]），nnXk=1a（Xk）→n→+∞一*, （59）如果*定义见（49）。最后，考虑到（55）和（59），我们得到：N（nt）Xi=1a（Xk）/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1a（Xk）→n→+∞一*λ1 - ^ut，然后是（57）中的结果。4.4制度转换的差异限制和LLN在限制订单手册中，我们在这里考虑中间价格过程St（RSGCHP2SDO），形式为St=S+NtXi=1a（Xk），（60），其中Xk∈ {1，2}：=X是一个连续时间马尔可夫链，a（X）是X上的连续有界函数={1，2}，且Ntis是截至时刻t的价格变化数，由一维区域切换霍克斯过程描述（与（16）定义8相比）：λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs。

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2022-6-1 00:48:18

（61）我们注意到Yt、N（t）和XKAR是独立的过程。在这里，我们还想放松一维区域切换Hawkes过程的模型，只考虑参数λ（背景强度）in（61）的切换情况，从限价订单书的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑三态马尔可夫链Yt∈ {1，2，3}并将<λ，Yt>分别解释为高不平衡，如λ，正常不平衡，如λ，和低不平衡，如λ。当然，这里也可以考虑更一般的情况（16），其中<u（t），Yt>，例如，激励函数也可以分别根据高不平衡、正常不平衡和低不平衡取三个值。定理4（RSGCHP2SDO的扩散极限）。设Xkbe为具有两个状态{1，2}和遍历概率（π*, π*). 还可以用λtin（61）定义（60）。我们还考虑了具有遍历概率（p*, p*, ..., p*N）。然后是SNT- Nnt·a*√n→n→+∞σ*q^λ/（1）- ^u）W（t），（62），其中W（t）是标准维纳过程，a*和σ*定义于（49），^λ：=NXi=1p*iλi6=0，λi：=<λ，i>，（63）和^u在（48）中定义。证据从（60）可以看出，snt=S+NntXi=1a（Xk），（64）和snt=S+NntXi=1（a（Xk）- 一*) + Nnta公司*,其中Nntis RSGCHP，区域切换强度λtin（61）。因此，Snt- Nnta公司*√n=S+PNnti=1（a（Xk）- 一*)√n

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2022-6-1 00:48:21

（65）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pnnti=1（a（Xk）的极限- 一*)√n时n→ +∞.考虑以下和，类似于（26）和（27）：R*n： =nXk=1（a（Xk）- 一*) （66）安度*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））R*bntc）+（nt- bntc））R*bntc）+1]，（67），其中b·c是FLOOR函数。根据[43]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：U*n（t）→n→+∞σ*W（t），（68），其中σ*定义见（49）。我们注意到，对于具有区域切换强度λtin（35）的Hawkes工艺，w.r.t LLN（详见【31】）：Ntt→t型→+∞^λ1 - ^u，或NTN→n→+∞t^λ1- ^u，（69），其中^u在（48）中定义，^λ在（63）中定义。使用（68）中的时间变化，t→ Nnt/n，我们可以从（68）和（69）中找到：U*n（无/无）→n→+∞σ*Wt^λ/（1）- ^u),奥鲁*n（无/无）→n→+∞σ*q^λ/（1）- ^u）W（t），（70）结果（62）现在从（64）-（70）得出。引理4（LLN表示RSCHP2SDO）。过程Sntin（60）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞一*·^λ1 - ut，（71），其中*,^λ和^u分别在（49）、（63）和（48）中定义。证据从（60）中，我们得到了snt/n=S/n+NntXi=1a（Xk）/n，（72），其中Nntis-Hawkes过程具有区域切换强度λtin（61）。当n时，第一项变为零→ +∞.另一方面，w.r.t.马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]）nnXk=1a（Xk）→n→+∞一*, （73）其中*定义见（49）。最后，考虑到（68）和（73），我们得到：NntXi=1a（Xk）/n=nntnnnntxi=1a（Xk）→n→+∞一*^λ1 - ^ut，下面是（71）中的结果。备注5。定理3-4和引理3-4的结果比定理1-2和引理1-2的结果更一般。

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kedemingshi

2022-6-1 00:48:24

要看到这一点，就不需要引入定理3-4和引理3-4 a（1）=δ，a（2）=-δ,π*= π*, π*= 1.- π*, 然后我们得到*:= π*a（1）+π*a（2）=π*δ + (1 -π*)(-δ) = δ(2π*-1） =秒*（与定理1-2和引理1-2完全相同）。同样，我们可以检查σ*定理3-4中的σ与定理1-2中的σ重合：σ*= σ（详细计算见【43】）。4.5具有n个状态相关订单的一般复合物霍克斯过程（GCHPnSDO）的扩散极限和LLN在限价订单手册中，我们这里考虑的是中间价格过程St（GCHPnSDO），它在（14）中定义，即：St=S+n（t）Xi=1a（Xk），（74），其中Xk∈ {1，2，…，n}：=X是连续时间n状态马尔可夫链，X上的（X）是连续且有界函数={1，2，…，n}，n（t）是截至时刻t的价格变化数，由（2），定义4中定义的一维Hawkesprocess描述。这意味着我们有非固定勾号、n值价格变化和依赖订单的情况。定理5（GCHPnSDO的扩散极限）。设Xkbe是一个遍历马尔可夫链，具有n个状态{1，2，…，n}，遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。（74）中也对其进行了定义。然后是SNT- N（nt）·^a*√n→n→+∞^σ*qλ/（1）- W（t），（75），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, (76)(^σ*):=圆周率∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Pj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Pj∈S（g（j）- g（i））P（i，j），b=（b（1），b（2）。。。，b（n）），b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*,g：=（P+π）*- （一）-1b，^a*:=圆周率∈Xπ*ia（Xi），（77）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g证明的第三步。从（74）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk），（78）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*,其中^a*:= π*a（1）+π*a（2）+…+π*na（n）（见（77））。因此，Snt- N（nt）^a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- ^a*)√n

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2022-6-1 00:48:27

（79）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- ^a*)√n时n→ +∞.考虑以下总和*n： =nXk=1（a（Xk）- ^a*) （80）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）^R*bntc）+（nt- bntc）^R*bntc）+1]，（81），其中b·c是FLOOR函数。根据[43]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：^U*n（t）→n→+∞^σ*W（t），（82）式中*定义见（77）。我们再次注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见，例如，[17]），w.r.t LLN我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（83），其中^u在（76）中定义。使用（82）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（82）和（83）中找到：^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*Wtλ/（1）- ^u),或^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*qλ/（1）- ^u）W（t），结果（75）现在从（78）-（83）和最后一个极限开始。引理5（GCHPnSDO的LLN）。过程Sntin（74）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞^a*·λ1 - ^ut，（84），其中^a*和^u分别在（77）和（76）中定义。证据从（74）我们得到snt/n=S/n+n（nt）Xi=1a（Xk）/n。（85）当n→ +∞. 从另一边，w.r.t。

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2022-6-1 00:48:30

马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]）nnXk=1a（Xk）→n→+∞^a*, （86）其中^a*定义见（77）。最后，考虑到（83）和（86），我们得到：N（nt）Xi=1a（Xk）/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1a（Xk）→n→+∞^a*λ1 - ut，然后是（84）中的结果。4.6制度转换的分歧极限和LLN在限价指令手册中，具有n状态相关指令的一般复合霍克斯过程（RSGCHPnSDO）我们在这里考虑中间价格过程St（RSGCHPnSDO），其形式为St=S+NtXi=1a（Xk），（87），其中Xk∈ {1，2，…，n}：=X是一个连续时间的n态马尔可夫链，a（X）是X上的连续有界函数={1，2，…，n}，n到时刻t的价格变化数，由一维制度转换霍克斯过程描述（与（16），定义8相比）：λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs。（88）我们注意到Yt、N（t）和XKAR是独立的过程。在这里，我们还想放松一维区域切换Hawkes过程的模型，只考虑参数λ，背景强度，in（88）的切换情况，从限价订单书的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑三态马尔可夫链Yt∈ {1，2，3}并将<λ，Yt>分别解释为高不平衡，如λ，正常不平衡，如λ，和低不平衡，如λ。当然，这里也可以考虑更一般的情况（16），其中<u（t），Yt>，例如，激励函数也可以分别根据高不平衡、正常不平衡和低不平衡取三个值。定理6（RSGCHPnSDO的扩散极限）。设Xkbe为n态{1，2，…，n}且遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。（87）中也对其进行了定义。我们还认为Yt是遍历概率（p*, p*, ..., p*N）。

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2022-6-1 00:48:33

然后是SNT- N（nt）·^a*√n→n→+∞^σ*q^λ/（1）- ^u）W（t），（89），其中W（t）是标准维纳过程，0<^u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, （90）^λ：=NXi=1p*iλi6=0，λi：=<λ，i>，（91）（σ*):=圆周率∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Pj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Pj∈S（g（j）- g（i））P（i，j），b=（b（1），b（2）。。。，b（n）），b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*,g：=（P+π）*- （一）-1b，^a*:=圆周率∈Xπ*ia（Xi），（92）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g证明的第三步。从（87）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk），（93）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*,其中^a*:= π*a（1）+π*a（2）+…+π*na（n）（见（92））。因此，Snt- N（nt）^a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- ^a*)√n、（94）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- ^a*)√n时n→ +∞.考虑以下总和*n： =nXk=1（a（Xk）- ^a*) （95）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）^R*bntc）+（nt- bntc）^R*bntc）+1]，（96），其中b·c是FLOOR函数。根据[43]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：^U*n（t）→n→+∞^σ*W（t），（97），其中^σ*定义见（92）。我们注意到，对于Hawkes过程，w.r.t LLN具有区域切换强度λtin（88），我们有（更多详细信息，请参见[31]）：Ntt→t型→+∞^λ1 - ^u，或NTN→n→+∞t^λ1- ^u，（98），其中^u在（90）中定义，^λ在（91）中定义。使用（97）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（97）和（98）中找到：^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*Wt^λ/（1）- ^u),或^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*q^λ/（1）- ^u）W（t），（99）结果（89）现在从（93）-（99）得出。引理6（LLN表示RSGCHPnSDO）。过程Sntin（87）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞^a*·^λ1 - ^ut，（100），其中^a*和^u分别在（92）和（91）中定义。证据从（87）我们得到snt/n=S/n+n（nt）Xi=1a（Xk）/n。（101）当n→ +∞.

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2022-6-1 00:48:36

另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见，例如，[38]），nnXk=1a（Xk）→n→+∞^a*, （102）其中^a*定义见（92）。最后，考虑到（98）和（102），我们得到：N（nt）Xi=1a（Xk）/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1a（Xk）→n→+∞^a*^λ1 - ut，然后是（100）中的结果。备注6。第4.54.6节定理5-6和引理5-6的结果比第4.3节定理3-4和引理3-4的结果更一般-4.4. 要看到这一点，我们可以取仅包含两个状态X={1，2}的状态空间X，然后我们得到v（1）=b（1）+P（1，2）（g（2）- g（1））- 2b（1）P（1，2）（g（2）- g（1）），v（2）=b（2）+P（2，1）（g（1）- g（2））- 2b（2）P（2，1）（g（1）- g（2）），其中b（i）：=a（i）- 一*, 当P（1，2）=P，P（2，1）=P，~ g=（P+π）*-（一）-1（a- 一*, 一- 一*)~g=（g（1），g（2））。4.7具有n态相关指令的非线性复合霍克斯过程（NLCHPnSDO）的扩散极限和LLN在限价指令手册中，我们在本节中考虑了中间价格过程St（NLCHPnSDO），其中，S=S+NtXi=1a（Xk），（103），其中Xk∈ {1，2，…，n}：=X是连续时间n态马尔可夫链，a（X）是连续且有界的函数，X={1，2，…，n}，n（t）是非线性霍克斯过程（参见，例如，[46]），由以下形式的强度函数定义（参见（9），定义6）：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）, （104）其中h（.）是一个非线性递增函数，支持R+，α-Lipschitz（见[4]），且α| | h | | L<1。在后一种条件下，文献[4]证明了存在一个满足动力学（104）的唯一平稳遍历Hawkes过程。定理7（NLCHPnSDO的扩散极限）。设Xkbe是一个遍历马尔可夫链，具有n个状态{1，2，…，n}，遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。还可以在（103）中定义满足（104）条件的非线性函数h（t）。

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kedemingshi

2022-6-1 00:48:39

然后是SNT- N（nt）·^a*√n→n→+∞^σ*qE[N[0，1]]W（t），（105），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, (106)^σ*定义于（77），^a*in（92）和E[N[0，1]]是平稳遍历测度下N[0，1]（区间[0，1]中的点数）的平均值。证据我们注意到，来自【4】的结果意味着，根据遍历定理，N（t）t→t型→+∞E[N[0，1]]或（nt）N→t型→+∞tE【N【0，1】】。（107）我们现在继续进行（78）-（82）中的类似推导，其中N（t）为（104）中定义的非线性霍克斯过程。利用（82）中的时间变化，我们得到：^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*WtE【N【0，1】】,或^U*n（n（nt）/n）→n→+∞^σ*qE[N[0，1]]W（t），（108）结果（105）现在由（107）-（108）得出。引理7（LLN表示NLCHPnSDO）。Sntin（103）过程满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛：Sntn→n→+∞^a*E[N[0，1]]t，（109），其中^a*定义见（92）和（105）中的E【N【0，1】】。证据结果（109）来自（101）-（102），N（nt）由非线性霍克斯过程Nnt代替，来自（107）。4.8具有n状态相关订单的非线性区域切换复合Hawkes过程（NLRSCHPnSDO）的扩散极限和LLN在极限订单书中，我们考虑中间价格过程St（NLRSCHPnSDO），形式为St=S+NtXi=1a（Xk），（109），其中Xk∈ {1，2，…，n}：=X是一个连续时间的n态马尔可夫链，a（X）是X上的连续且有界函数={1，2，…，n}，n是由强度函数定义的非线性区域切换霍克斯过程，其形式如下（与（18），定义10相比）：λt=h< λ、 Yt>+Ztu（t- s） dNs, （110）其中，Ytis N-状态马尔可夫链的值在标准基向量RN中（见15），h（·）是一个非线性递增函数，支持R+，α-Lipschitz（见[4]），因此α| | h | | L<1。

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能者818

2022-6-1 00:48:42

我们再次注意到，在后一种条件下，对于每个Yt=j，都存在一个唯一的满足动力学（110）的平稳遍历Hawkes过程。我们还定义N[0，t]，作为Hawkes过程Nt的区间[0，t]中的点数，而Ni[0，t]作为Hawkes过程的区间[0，t]中的点数，由强度函数按以下方式定义：λit=h< λ、 i>+Ztu（t- s） dNis公司, （111）定理8（NLRSCHPnSDO的扩散极限）让Xkbe是具有n个状态{1，2，…，n}和遍历概率（π*, π*, ..., π*n）。让我们也在（109）中定义。我们还考虑了具有遍历概率（p*, p*, ..., p*N）。然后是SNT- N（nt）·^a*√n→n→+∞^σ*VuTunxi=1p*即[Ni[0,1]]W（t），（112），其中W（t）是标准维纳过程，E[Ni[0,1]]是平稳遍历测度下Ni[0,1]的平均值，Ni[0,1]在（111）中定义。证据我们注意到，[4]和[31]的结果表明，通过遍历定理，Ntt→t型→+∞NXi=1p*iE[Ni[0,1]]或NTN→t型→+∞tNXi=1p*iE[镍[0,1]]。（113）我们现在继续进行（78）-（82）中的类似推导，其中我们在（110）中定义了Ntas非线性霍克斯过程。利用（82）中的时间变化，我们得到：^U*n（无/无）→n→+∞^σ*WtNXi=1p*iE[镍[0,1]],或^U*n（无/无）→n→+∞^σ*VuTunxi=1p*iE[Ni[0,1]]W（t），（114）结果（112）现在从（113）-（114）得到。引理8（LLN表示NLRSCHPnSDO）。过程Sntin（109）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛：Sntn→n→+∞^a*NXi=1p*iE[Ni[0,1]]t，（115），其中^a*在（92）中定义，在（112）中定义了E【Ni【0,1】】。证据

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