极限订单簿中的复合Hawkes过程

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收藏 2022-06-02

英文标题：
《Compound Hawkes Processes in Limit Order Books》
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作者：
Anatoliy Swishchuk, Bruno Remillard, Robert Elliott, Jonathan
Chavez-Casillas
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper we introduce two new Hawkes processes, namely, compound and regime-switching compound Hawkes processes, to model the price processes in limit order books. We prove Law of Large Numbers and Functional Central Limit Theorems (FCLT) for both processes. The two FCLTs are applied to limit order books where we use these asymptotic methods to study the link between price volatility and order flow in our two models by using the diffusion limits of these price processes. The volatilities of price changes are expressed in terms of parameters describing the arrival rates and price changes. We also present some numerical examples.
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中文摘要：
本文引入了两个新的霍克斯过程，即复合过程和状态切换复合霍克斯过程，对限价订单书中的价格过程进行建模。我们证明了这两个过程的大数定律和泛函中心极限定理（FCLT）。这两个FCLT被应用于限制订单，我们使用这些渐近方法，通过使用这些价格过程的扩散极限来研究我们两个模型中价格波动和订单流之间的联系。价格变动的波动性用描述到达率和价格变动的参数表示。我们也给出了一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Compound_Hawkes_Processes_in_Limit_Order_Books.pdf
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nandehutu2022

2022-6-2 18:04:27

复合Hawkes工艺有限顺序Booksanatoliy SwishchukUniversity of Calgary，University Drive NW，Calgary，Canada T2N 1N4Bruno RemillardHEC，3000，chemin de la Cote Sainte Catherine，Montréal，Québec，CanadaH3T 2A7Robert Elliott Calgary大学，University Drive NW，Calgary，Canada T2N 1N4&School of Commerce，University of South Australia，Adelaide，澳大利亚卡尔加里大学查韦斯·卡西利亚斯大学，加拿大卡尔加里西北大学T2N 1N4摘要：本文介绍了两种新的霍克斯过程，即复合过程和制度转换复合霍克斯过程，以模拟有限订单书中的价格过程。我们证明了这两个过程的大数定律和泛函中心极限定理（FCLT）。这两个FCLTS应用于限制订单，我们使用这些渐近方法，通过使用这些价格过程的差异极限，研究两个模型中价格波动和订单流量之间的联系。价格变动的波动性用描述到达率和价格变动的参数表示。我们也给出了一些数值例子。关键词：霍克斯过程；复合霍克斯工艺；体制转换复合霍克斯过程；限制订单簿；扩散极限；LargeNumbers定律；1简介霍克斯工艺（HP）是以其创造者艾伦·霍克斯（AlanHawkes）[19711974]的名字命名的。HP是一个所谓的“自激点过程”，这意味着它是一个具有随机强度的点过程，通过其对过程历史的依赖性，捕获事件到达过程的时间和横截面依赖性以及在实证分析中观察到的“自激”特性。

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kedemingshi

2022-6-2 18:04:35

HPs已被用于许多应用，如神经活动建模、遗传学【Carstensen，2010年】、犯罪发生【Louie等人，2010年】、银行违约和地震。HPs的最新应用是在财务分析中，尤其是在限额订单簿建模中（例如，价格变化或交易到达时间的高频数据）。本文研究了两种新的Hawkes过程，即复合过程和制度转换复合Hawkes过程，对限价订单簿中的价格过程进行建模。我们证明了两个过程的一个大数定律和泛函中心极限定理（FCLT）。后两种FCLT用于限制订单，我们使用这些渐近方法，通过使用这些价格过程的差异极限，研究两个模型中价格波动和订单流量之间的联系。价格变动的波动性用描述到达率和价格变动的参数表示。【Swishchuk，2017年】首次引入一般复合霍克斯过程，以模拟保险中的风险过程。【Bowsher，2007】是第一个将HP应用于金融数据建模的人。Cartea等人【2011年】应用HP对市场订单到达进行建模。Filimonov和Sornette【2012年】以及Filimonov等人【2013年】应用HP来估计由内生自生活动而非新闻或新信息的外生影响引起的价格变化的百分比。Bauwens和Hautsch【2009年】使用5-D HP，根据价格强度估计五只股票之间的多变量波动率。我们注意到，Brémaudet al.（1996）将HP推广到其非线性形式。此外，在[Zhu，2013]中还获得了非线性Hawkes过程的泛函中心极限定理。【Ait Sahalia等人，2010年】引入了“霍克斯扩散模型”，试图扩展以前的股价模型，并将金融传染包括在内。

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mingdashike22

2022-6-2 18:04:38

查韦斯·德莫林（Chavez Demoulin）等人【2012年】使用霍克斯过程对高频财务数据进行建模。[Embrechts et al.，[2011]中也给出了霍克斯过程财务数据的一些应用。Cohen等人【2014】推导出了马尔可夫调制霍克斯过程的显式滤波器。Vinkovskaya【2014年】考虑了一种政权转换鹰派流程，以模拟其对限价订单中买卖价差的依赖性。【Bu ffington和Elliott，2000年】和【Bu ffington和Elliott，2002年】分别考虑了欧洲和美国期权定价的制度转换模型。半马尔可夫过程被应用于限制订单booksin【Swishchuk和Vadori，2017年】，以模拟中间价格。我们注意到，在【Chavez Casillas等人，2017年】中研究了具有时间相关到达率λ（t）的alevel-1限额订单，包括价格过程的渐近分布。【Swishchuk等人，2017年】中考虑了限额订单簿的一般半马尔可夫模型。Bacry等人（2015年）的论文概述了最近专门研究霍克斯过程在金融中的应用的学术文献。Cartea et al.（2015）的这本书为执行大额订单、做市、交易对或资产集合以及在暗池中执行等上下文中的算法交易开发了模型。这本书还包含一个网站的链接，可以从该网站下载来自多个来源的许多数据集，以及帮助进行数据实验的MATLAB代码。霍克斯过程数学理论的详细描述参见【Liniger，2009】。Laub et al.（2015）的论文提供了背景，介绍了现场和历史发展，并涉及了Hawkes过程的所有主要方面。本文的组织结构如下。

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kedemingshi

2022-6-2 18:04:42

第2节给出了aHawkes过程（HP）、复合Hawkes过程（CHP）和体制转换复合Hawkes过程（RSCHP）的定义。从以下角度来看，这些定义是新的：与马尔可夫链相关的总和，但不是i.i.d.r.v。第3节包含CHP和RSCHP的大数定律和扩散极限。第4.2节霍克斯过程（HP）、复合霍克斯过程（CHP）和区域切换复合霍克斯过程（RSCHP）的定义中给出了数值示例。在本节中，我们给出了一维、复合和区域切换复合霍克斯过程的定义。霍克斯过程的一些性质可以在现有文献中找到。（参见，例如，【霍克斯，1971年】和【霍克斯和奥克斯，1974年】、【Embrechts等人，2011年】、【Zheng等人，2014年】，等等）。然而，复合和状态转换复合Hawkes过程的概念是新的。2.1一维霍克斯过程定义1（计数过程）。计数过程是一个随机过程N（t），t≥ 0，取正整数值并满足：N（0）=0。几乎可以肯定，这是一个右连续阶跃函数，其大小增量为+1。用FN（t），t表示≥ 0，到达时间t的历史，即{FN（t），t≥ 0}，是一个过滤（σ-代数的递增序列）。计数过程N（t）可以被解释为截至当前时间t的系统到达次数的累积计数。计数过程也可以由随机到达时间序列（t，t，…）来表征此时计数过程N（t）已跳变。这些到达时间定义的过程称为点过程（见Daley和VereJones，1988年）。定义2（点过程）。

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可人4

2022-6-2 18:04:45

如果随机变量序列（T，T，…），取[0]中的值+∞), 有P（0≤ T≤ T≤ ...) = 有界区域中的点数几乎肯定是有限的，那么，（T，T，…）称为点过程。定义3（条件强度函数）。考虑一个计数过程N（t）和相关的历史FN（t），t≥ 如果存在一个非负函数λ（t），使得λ（t）=limh→0E【N（t+h）】- N（t）| FN（t）]h，（1）则称为N（t）的条件强度函数（见【Laub等人，2015年】）。我们注意到，有时该函数被称为危险函数（见[Cox，1955]）。定义4（一维霍克斯过程）。一维霍克斯过程（见[Hawkes，1971]和[Hawkes和Oakes，1974]）是一个点过程N（t），其特征是相对于其自然过滤的强度λ（t）：λ（t）=λ+Ztu（t- s） dN（s），（2），其中λ>0，响应函数u（t）为正函数，满足+∞u（s）ds<1。常数λ称为背景强度，函数u（t）有时也称为激发函数。我们假设u（t）6=0以避免常见情况，即齐次泊松过程。因此，theHawkes过程是Poisson过程的非马尔可夫扩展。关于（1）和N（t）（2）中λ（t）的定义，它遵循p（N（t+h）- N（t）=m | FN（t））=λ（t）h+o（h），m=1o（h），m>11- λ（t）h+o（h），m=0。方程（2）的解释是，事件根据背景强度λ的强度发生，背景强度λ在每个新事件中增加u（0），然后根据函数u（t）衰减回背景强度值。

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kedemingshi

2022-6-2 18:04:47

选择u（0）>0会导致每个新事件的强度发生波动，该特征通常被称为自激特征，换句话说，因为到达会导致（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）增加，因此该过程被称为自激。我们应该提到，（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）可以与计数过程N（t）的补偿器∧（t）相关联，即∧（t）=Ztλ（s）ds。（3）因此，∧（t）是唯一的FN（t），t≥ 0，可预测函数，其中∧（0）=0，并且是非递减的，因此n（t）=M（t）+∧（t）a.s.，其中M（t）是FN（t），t≥ 0，局部鞅（这是N的Doob-Meyer分解。）（2）中函数u（t）的常见选择是指数衰减（参见[？]）：u（t）=αe-βt，（4）参数α，β>0。在这种情况下，霍克斯过程被称为强度呈指数衰减的霍克斯过程。因此，方程（2）变为λ（t）=λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），（5）我们注意到，在（4）的情况下，过程（N（t），λ（t））是一个连续的时间马尔可夫过程，而选择（2）的情况并非如此。在某些初始条件λ（0）=λ的情况下，（5）中的条件密度λ（t）和（4）中的指数衰减满足以下随机微分方程（SDE）：dλ（t）=β（λ- λ（t））dt+αdN（t），t≥ 0，可（使用随机演算）求解为λ（t）=e-βt（λ- λ） +λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），是（5）的扩展。u（t）的另一个选择是幂律函数：λ（t）=λ+Ztk（c+（t- s））pdN（s）（6）表示一些正参数c、k、p。λ（t）in（6）的幂律形式应用于称为Omori定律的地质模型中，并用于预测地震引起的余震的发生率。备注1。霍克斯过程的许多推广已经被提出。

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可人4

2022-6-2 18:04:51

尤其包括多维霍克斯过程【Embrechts等人，2011年】、非线性霍克斯过程【Zheng等人，2014年】、混合效应霍克斯模型【Errais等人，2010年】、具有散粒噪声异源事件的霍克斯模型【Dassios和Zhao，2011年】、具有生成依赖核的霍克斯过程【Mehdad和Zhu，2011年】。2.2复合霍克斯过程（CHP）在本节中，我们给出了复合霍克斯过程（CHP）和体制转换复合霍克斯过程（RSCHP）的定义。从以下角度来看，这些定义是新的：总和不是i.i.d.r.v.，作为包含复合泊松过程，而是在马尔可夫链中关联。定义5（复合霍克斯工艺（CHP））。设N（t）为如上定义的一维霍克斯过程。设Xtbe为遍历连续时间有限状态马尔可夫链，与N（t）无关，空间状态为X。我们为N（t）和Xk的跳跃时间写τk：=Xτk。复合hawkes过程定义为t=S+N（t）Xk=1Xk。（10）备注2。如果我们将Xkas i.i.d.r.v.和N（t）作为（10）（u（t）=0）中的标准泊松过程，那么STI是一个复合泊松过程。因此，Stin（10）-复合Hawkes工艺的名称。备注3。（限制订单簿：固定勾号、两值价格变化、独立订单）。如果我们取i.i.d.r.v.Xk的序列，而不是马尔可夫链，那么（10）变成S=S+N（t）Xi=1Xk。（11）在泊松过程N（t）（u（t）=0）的情况下，【Contand Larrard，2013】中使用该模型对Xk={-δ、 +δ}，其中δ是固定的刻度大小。2.3区域切换复合Hawkes过程（RSCHP）将YT设为一个N态马尔可夫链，速率矩阵为。

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mingdashike22

2022-6-2 18:04:54

我们假设，在不丧失一般性的情况下，yt取RN中标准基向量的值。然后，对于Mtan-RN值P-鞅，Y作为表示yt=Y+ZtAsYsds+Mt，（12）（更多细节请参见[Bu ffington and Elliott，2000]）。定义6（一维状态转换霍克斯过程）。一维区域切换Hawkes过程是一个点过程，其特征是强度λ（t），如下所示：λt=<λ，Yt>+Zt<u（t- s），Ys>dNs，（13），其中<·，·>是内积，YIT在（12）中定义。定义7（状态转换复合霍克斯过程（RSHP））。设Ntbe为（13）定义6中定义的一维状态切换霍克斯过程。也让Xnbe成为一个遍历的连续时间单位马尔可夫链，独立于Nt，空间状态为X。区域切换复合Hawkes过程定义为t=S+NtXi=1Xk，（14），其中NTI定义于（13）。备注3。与定义6类似，我们可以用指数核（见（4））或幂律核（见（6））定义regimeswitching-Hawkes过程。备注4。【Cohen和Elliott，2014】（指数核）和【Vinkovskaya，2014】（多维Hawkes过程）中考虑了政权切换Hawkes过程。论文【Cohen和Elliott，2014】讨论了自激计数过程，其参数取决于隐有限状态马尔可夫链，并获得了基于跳跃过程观测的最优滤波器和平滑器。论文【Vinkovskaya，2014】考虑了一个具有指数核的政权转换多维霍克斯过程，该过程反映了买卖价差的变化。

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kedemingshi

2022-6-2 18:04:57

研究了该模型的统计特性，如参数的极大似然估计等。3限额订单书中CHP和RSCHP的限额和LLN在本节中，我们考虑限额订单书中使用的上述CHP和RSCHP的LLN和限额。在限额订单簿、高频和算法交易中，订单到达和取消非常频繁，并且发生在毫秒级（参见，例如，[Contand Larrard，2013年]，[Cartea等人，2015年]）。同时，在许多应用程序中，例如订单执行，人们对订单在大时间尺度上的流动动态感兴趣，通常是几十秒或几十分钟。这意味着我们可以通过研究价格过程的扩散极限，在我们的模型中使用渐近方法来研究价格波动和逆流之间的联系。在这里，我们证明了价格过程的函数中心极限定理，并用描述到达率和价格变化的参数来表示价格变化的波动性。在本节中，我们考虑CHP和sec的使用限制和LLN差异。3.1和RSCHP，第。3.2，在limitorder账簿中。我们注意到，【查韦斯·卡西利亚斯等人，2016年】研究了具有时间依赖性竞争价格λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。3.1限额订单书中CHP的差异限额我们在这里考虑（10）中定义的中间价格过程St（CHP），因为St=S+N（t）Xk=1Xk。（15）给，Xk∈ {-δ、 +δ}是连续时间两态马尔可夫链，δ是固定的刻度大小，N（t）是截至时刻t的价格变化数量，由（2）定义4中定义的一维霍克斯过程描述。这意味着我们有固定勾号、两值价格变动和依赖订单的情况。定理1（CHP的扩散极限）。

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mingdashike22

2022-6-2 18:05:00

设Xkbe是一个具有两个状态的遍历Markovchain{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.- π*).也请参见（15）。然后是SNT- N（nt）s*√n→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（16）其中，W（t）是标准维纳过程，^u由0<u：=Z给出+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, （17） s*:= δ(2π*- 1） σ：=4δ1.- p+π*（p- p）（p+p- 2)- π*(1 - π*). （18）这里，（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（15）可以看出，snt=S+N（nt）Xk=1Xk，（19）和snt=S+N（nt）Xk=1（Xk- s*) + N（nt）s*.因此，Snt- N（nt）s*√n=S+PN（nt）k=1（Xk- s*)√n、（20）正弦√n→n→+∞0，我们必须找到pn（nt）k=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsRn：=nXk=1（Xk- s*) （21）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（22），其中b·c是FLOOR函数。根据【Swishchuk和Vadori，2015】中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中具有以下弱收敛性（参见【Skorokhod，1965】）：Un（t）→n→+∞σWt，（23），其中σ在（18）中定义，Wt是标准布朗运动。我们注意到，霍克斯过程N（t）的w.r.t LLN（参见，例如，[Daley and Vee Jones，2010]）我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u：=(R)λ，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u=？λt，（24），其中^u在（17）中定义。使用（23）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（23）和（24）中找到：Un（N（nt）/N）→n→+∞σWtλ/（1）- ^u),orUn（N（nt）/N→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（25），其中Wt=W？λt/√λ. （25）中的布朗运动W（t）在分布上等价于（23）中的布朗运动W（t）。结果（16）现在由（20）-（25）得出。备注5。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），则（16）中的极限为[σ/qλ/（1- α/β）]W（t），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。3.2 CHPLemma 1的LLN（CHP的LLN）。

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能者818

2022-6-2 18:05:02

过程Sntin（19）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见【Skorokhod，1965】）：Sntn→n→+∞s*λ1 - ^ut，（26），其中s*和^u分别在（18）和（17）中定义。证据从（19）中，我们得到snt/n=序列号+n（nt）Xk=1Xk/n。（27）当n→ +∞. 另一方面，将强LLN用于马尔可夫链（参见，例如，【Norris，1997】）nnXk=1Xk→n→+∞s*, （28）其中s*定义见（18）。最后，考虑到（24）和（28），我们得到：N（nt）Xk=1Xk/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xk=1Xk→n→+∞s*λ1 - ^ut，下面是（26）中的结果。备注6。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），则（26）中的极限为s*t（λ/（1- α/β），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。3.3推论：点过程的扩展价格过程S表示为t=S+N（t）Xi=1Xi，t≥ 0，其中N是点过程，马尔可夫链XI在（10）中定义。假设C1：为n→ ∞, N（nt）/nP r-→λt，其中λ：=λ/（1）- ^u).注意，如果N（t）=max{N:Vn≤ t} ，然后N（nt）/nP r-→？λt=？vi ff Vn/nP r-→ v.该表示法尤其适用于更新过程，其中Vn=Pnk=1τk，τki。i、 d.平均值v假设C2:Un（t）W，其中W是布朗运动，Un（t）在（22）中定义。然后根据假设C1和C2得出-1/2{Snt- S- s*N（nt）}}=σUn（N（nt）/N=N-1/2N（nt）Xi=1{Xi-s*} σq'λWt，其中W是布朗运动，s*在（18）中被拒绝。事实上，无论如何≥ 0，Wt=W|λt/√λ.极限方差σ′λ可以通过求增量Snti的平方来近似- Snti公司-1.- s*（N（nti）- N（nti-1)). 在任何情况下，(R)λcab很容易通过N（T）/T来估计，σ可以通过价格增量的分布来估计。现在假设点进程N也有一个CLT。

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mingdashike22

2022-6-2 18:05:05

更准确地说，假设C3:n1/2N（nt）N- tλ“σ”Wt，其中“W”是独立于W的布朗运动。然后在假设C1–C3下，n-/第2个SNT- nt'λs*oσWt，其中W=nσ√(R)λW+s*\'σ\'\'Wo/]σ是布朗运动，\'σ=hσ\'\'λ+{s*}(R)σi1/2。这源于以下假设和事实：-1/2nSnt- S- nt'λs*o=n-1/2N（nt）Xi=1{Xi- s*} + s*n1/2N（nt）n- tλ！。备注7。假设C3在许多有趣的情况下都是正确的。对于RENEWALPROCES，如果στ是τk的标准偏差，则σ=στλ3/2。对于λ（t）=λ+Rtu（t）的Hawkes过程也是如此【Bacry等人，2013年】-s） dNs，提供^u=R∞u（s）ds<1。则λ=λ1-u和σ=√λ/(1 - ^u).3.4限额订单中RSCHP的差异限额现在考虑中间价格流程St（RSCHP），格式St=S+NtXk=1Xk，（29），其中Xk∈ {-δ、 +δ}是连续时间的两态马尔可夫链，δ是固定的刻度大小，NTI是截至时刻t的价格变化数量，由一维制度转换霍克斯过程描述，强度由λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs，（30）（与（11）定义6相比）。在这里，我们想放松一维区域切换霍克斯过程的模型，只考虑参数λ，背景强度，in（20）的切换情况，从极限订单书的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑一个三态马尔可夫链∈ {e，e，e}并将<λ，Yt>解释为不平衡，其中λ，λ，λ分别代表高、正常和低不平衡（不平衡概念和讨论见【Cartea等人，2015年】。当然，也可以考虑更一般的情况（13），其中激励函数<u（t），Yt>，可以取三个值，分别对应于高不平衡、正常不平衡和低不平衡。定理2（RSCHP的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*).

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