背景率随时间变化的Hawkes过程模型及其应用

2022-5-31 04:24:36

具有时变背景率的霍克斯过程模型及其在高频金融数据中的应用，*日本东京153-8505，美姑罗区小马坝4-6-1号，东京大学工业科学研究所，平田义人和Kazuyuki AiharaInstitute。（日期：）开发了一个具有时变背景率的霍克斯过程模型，用于分析高频财务数据。在我们的模型中，背景率的对数由一个线性模型和相对大量的可变宽度基函数建模，参数由贝叶斯方法估计。我们的模型不仅可以捕捉到缓慢的时间变化，如日内季节性变化，还可以捕捉到宏观经济新闻发布后的快速时间变化。通过分析日经225 mini指数的tick数据，我们发现（i）我们的模型比具有恒定背景率或缓慢变化背景率的霍克斯模型更适合数据，而霍克斯模型通常用于定量融资领域；（ii）我们的模型对数据的拟合优度的改善是显著的，尤其是对于背景率存在显著波动的会议；我们的模型与数据在统计上是一致的。我们的模型估计的分支比率（量化市场内生性水平）为0.41，表明市场动态中外生因素的相对重要性。我们还证明，为分支比估计建立与时间相关的背景率模型至关重要。PACS编号：89.65。Gh，05.45。Tp，05.40-a、 89.75-kI。简介在各种复杂系统中，活动由内（内）外（外）力驱动，表现出复杂的动力学。

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2022-5-31 04:24:40

从自然科学到社会科学都可以观察到这种动态，例如地震【1-5】、神经环【6-8】、人类活动【9、10】和金融市场活动【11、12】。利用所观察到的动力学，确定内生力、外生力或两者之间的相互作用对理解系统很重要。长期以来，在经济学背景下，金融市场波动的原因一直是一个核心问题。有效市场假说的一个经典范式表明，市场运动完全受新闻的到来所支配，也就是说，完全由异源起源决定。另一方面，已经积累的经验证据表明，新闻的到来只能解释大幅度波动的一部分，因此市场活动主要是内生的【13，14】。市场的内生效应被称为金融领域的波动[12]。为了量化每个因素的相对重要性，有必要对观察到的活动进行适当的建模。Filimonov a and Sornette（2012）提出用Hawkes过程对高频财务数据进行建模，以量化市场的反应水平[15]。霍克斯过程是一个简单的自激点过程，用于描述事件的时间集群【16】。在我们的情况下，每一个事件都对应着一个市场运动。在aHawkes过程中，假设每个事件都可以触发*omi@sat.t.u-东京。ac.jpger新事件，其发生率是背景率（外源效应）和先前事件的触发效应（内源效应）之和。过程内生性的强度由单个事件直接触发的平均事件数（分支比率）来量化。

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2022-5-31 04:24:43

通过使用霍克斯模型，可以看出，标普E-mini期货合约上的市场波动很大一部分是内在的或原始的【15，17】。通过这种方式，霍克斯过程建模在分析高频财务数据时非常有用，并且在本12月的定量财务领域中非常流行【18–20】（另请参阅【21】）。在霍克斯过程的原始模型中【16】，背景速率被假定为时间常数，许多研究都采用了这个简单的假设。然而，这种假设是不合理的，因为交易活动通常是非平稳的。例如，众所周知，存在一种称为U型的日内季节性模式，在该模式中，活动在一个交易日的开盘和收盘前后都很活跃【22】。此外，宏观经济新闻的发布，尤其是令人惊讶的信息，暂时增强了市场活动[23]，最近的研究表明，宏观经济新闻发布后的外汇市场活动可以用霍克斯模型更好地描述，霍克斯模型的背景利率随时间变化，自发布之日起会显著下降[24]。因此，有必要考虑背景利率的非平稳性，以便对市场动态进行适当建模。有一些方法可以解释这种非平稳性【15、17、25-27】。在本文中，我们开发了一个新的霍克斯过程模型，可以灵活地估计与时间相关的背景率。我们通过将模型应用于综合数据和实际高度图，证明了该模型的有效性。交易价格变化（黑点）和过滤交易（红色箭头；详情见正文）示例。

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2022-5-31 04:24:46

本研究分析了过滤交易的时间序列。日经225小型期货合约的频率数据，并将我们的模型与现有模型进行比较。我们还估计了KKEI 225 mini和ex amine市场运动的分支比率，以及非平稳性对分支比率估计的影响。二、数据我们使用的是日经225 mini的tick数据，这是一个基于日经股票平均价格的期货合约，从JPX数据云购买(http://db-ec.jpx.co.jp/)。具体而言，我们分析了2016年1月4日至2016年6月30日的常规会议（9:0015:10 JST）中的数据。数据集包括所有交易的时间统计、交易量和价格。时间戳以1秒的分辨率记录，同一时间间隔内的多个事件具有相同的时间戳。为了避免环绕过程中的估计偏差，我们添加了一个统一的随机数[-0.5、0.5（秒）]到每个时间戳。交易价格的刻度大小为5日元。日经225迷你交易，16份合同的到期日不同。在每个交易日，我们只使用其中交易最活跃的合约，其交易量平均占总交易量的91%。交易价格的变化不是市场运动的良好指标，因为交易价格受到“微观结构”噪音的影响；交易价格迅速反弹，在流动市场中，即使最佳买入价和卖出价保持一致，交易价格也会在最佳买入价和卖出价之间反弹（买入价-卖出价反弹；见图1）。因此，中间价的变化，即最佳买入价和卖出价的平均值，通常被视为市场运动的更好指标【15，17】。然而，我们的数据集不包括买卖价格的信息。

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2022-5-31 04:24:49

因此，我们可以通过以下方式对交易进行过滤，以去除数据中的噪声，从而提取出的交易可以恢复发生模式中的中间价格变化（图1）。我们首先从数据集中排除没有价格变化的交易。然后，我们选择满足以下条件的交易：（i）价格变化的符号与其之前的交易相同，或者（ii）价格变化的幅度大于一个ticksize。过滤后的交易约占所有交易的3%，平均每期交易数量为2090笔，从465笔到18505笔不等。在本研究中，weregard将过滤交易作为市场运动，并分析过滤交易的时间序列。三、模型A。Hawkes过程Hawkes过程是一个简单的点过程模型，用于描述事件发生的聚类行为[16]。原始模型和扩展模型已在许多领域使用【28–31】。在霍克斯过程中，时间t时事件的发生率λ（t）取决于发生的历史记录，其表示为λ（t | Ht）=u（t）+Xti<tg（t- ti），（1）其中，第一个mu（t）是背景速率，第二个项表示在ti发生时来自前面e个喷口的触发效应，其强度由触发核函数g（·）控制。在霍克斯过程方法中，我们简单地假设背景/触发项完全归因于外源/内源效应。

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能者818

2022-5-31 04:24:52

然后，该过程内生性的强度由分支比率表征∞g（s）ds，即单个e出口直接触发的平均事件数。分支比率也被解释为具有内生起源的事件与所有事件的比率。在本研究中，我们将M个原函数之和用于触发核函数，如下所示：g（s）=MXi=1αiβie-β是，（2），其中αi和βi（i=1，…，M）是参数。在这个参数化过程中，α参数之和PMi=1αi，对应于池塘的分枝比。虽然幂律函数也被用于将长期记忆的定量金融[17]转换为ac计数[32]，但我们这里只考虑多重指数函数，因为之前的研究表明，具有多重幂律函数的模型比具有幂律函数的模型更适合数据[26]。如果我们假设背景速率在一段时间内是常数，u（t）=uc，则模型的特征是参数θ={uc，α，β}，其中α={α，…，αM}和图。生成可变宽度基函数的示意图。详细方法见附录B。（a）立方体B样条线底座。（b）我们首先以等距的方式放置事件，并放置由彩色曲线（顶部面板）表示的等宽三次b样条基。这个时间坐标称为自然时间。垂直虚线表示节点（见附录A和B）。然后，我们将自然时间坐标更改为实际时间，以获得宽度可变的基本函数（底部面板）。β={β，…，βM}，它们可以通过最大似然法进行估计[33]。

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能者818

2022-5-31 04:24:55

给定参数θ的Hawkes过程的对数似然函数基于n个观测间隔[S，T]中n个事件的数据D[S，T]={ti}ni=1给出为log L（θ| D[S，T]）=nXi=1logλ（ti | Hti）-ZTSλ（t | Ht）dt。（3） B.我们的非平稳背景率模型我们在这里开发了一种新的霍克斯过程模型，可以灵活地估计背景率u（t）的时间变化。在本节中，我们仅简要总结了该方法，详细信息见附录AD。在本研究中，对数u（t）由线性回归模型建模，其中m个给定的基函数{fj（t）}mj=1，参数{aj}mj=1如下：对数u（t）=mXj=1ajfj（t）。（4）对数u（t）考虑线性模型，因为u（t）仅取正值。在我们的模型中，函数形状和基函数的数量是根据数据确定的，以便根据高度非均匀分布的数据进行灵活的估计。基本函数{fj（t）}mj=1是基于三次B样条基函数▄f（·）的凹凸形状，这是一个光滑连接的分段三次函数，如图2a所示。此外，基函数的宽度根据事件的频率而变化，以考虑事件分布的不均匀性：对于高（低）频率区域（图2b中的底部面板），宽度小（大）。这些可变宽度基函数是通过变换放置在时间坐标（自然时间）中的固定宽度样条基来构建的，在时间坐标中，事件是均匀分布的（图2b；详情见附录A和B）。为了做出灵活的估计，我们准备了相对大量的基函数。具体而言，基函数m的数量设置为3+n/50, 哪里· 表示最接近的整数函数，n是会话中的事件数。

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2022-5-31 04:24:58

附录E总结了性能如何取决于基函数的数量。在我们的模型中，基函数的参数数量{aj}mj=1相对于事件的数量相对较大（例如，一些数据的数量为数百）。在这种情况下，由于过度拟合，最大似然估计给出了u（t）的粗略估计，并且往往计算不稳定。为了获得可靠的估计，我们在这里使用了一个带有平滑度约束f ru（t）的贝叶斯框架（估计过程的详细信息请参见附录C）。贝叶斯方法有图。3、仿真研究。在给定的背景速率u（t）（黑色曲线）下，使用霍克斯过程模拟了100个合成序列。每个红色曲线表示通过将我们的模型应用于每个序列而获得的背景率估计值。（a）和（b）中考虑了两种不同的背景速率函数。通常用于根据点过程数据估计时变参数【34–36】。在下文中，我们将我们的新模型称为贝叶斯立方样条（BCB）模型。还值得一提的是，在其他上下文中已经提出了背景率不稳定的自激发点过程的一些模型[29，37]。我们方法的源代码可根据相应作者的请求提供。为了证明我们的模型的性能，我们将我们的模型应用于Hawkes过程模拟的合成数据，该过程具有给定的时变背景速率u（t）（图3）。在这个测试中，我们为触发内核（M=1）使用了一个指数函数。u（t）的第一个示例模拟了日内模式的U形（图3 a）。我们发现，我们模型的估计值与u（t）、α和β的真实值非常一致。

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2022-5-31 04:25:01

在第二个例子中，我们考虑了背景活动的不连续上升和随后的衰退，这模拟了重要宏观经济新闻发布后的市场行为（图3b）[24]。由于u（t）由光滑函数建模，因此我们的模型无法准确再现这种不连续行为。实际上，图3b的仔细检查表明，估计的u（t）在真正上升之前开始增加。然而，尽管存在这样的缺点，由于使用可变宽度基函数，我们的方法合理地捕捉到了真实u（t）的趋势，并且α的估计偏差很小。这些结果表明，我们的模型能够根据数据灵活地估计时变背景。C、非平稳背景率的现有研究我们简要回顾了处理非平稳背景率的现有研究。最简单的方法是将会话划分为短时间段（例如几十分钟）的子区间，其中参数可以被视为常数，并将霍克斯过程与恒定的背景速率分别应用于每个子区间【15】。然而，如果在asub间隔中存在背景率的ra pid时间变化，则估计将有偏差。此外，该方法要求每个子区间包含足够的事件用于模型校准，对于事件不多的子区间，无法获得可靠性估计。Bowsher（2007）通过分段线性函数对背景利率的时间变化进行建模，并假设每个工作日的时间变化是相同的【25】。Hardiman等人（2013年）也考虑了对每个工作日使用相同权重函数的去趋势化方法【17】。

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2022-5-31 04:25:05

然而，正如菲利莫诺夫和索内特（2015）指出的那样，交易活动伴随着相当大的日常变化，因此假设每个交易日的背景利率相同，将导致偏差估计[3 8]。一些作者通过使用分段线性函数对背景率进行建模，该函数是为每个会话单独估计的【26，27】。本研究以分段线性函数为参考，并与我们的模型进行了比较。在之前的研究中，节点位于几个小时的间隔内【26，27】，因此我们采用aknots定位，间隔两小时【9:00，11:00，13:00，15:10】。我们还考虑每隔30分钟[9:00，9:30，10:00，…，14:30，15:10]的节点位置。该模型的参数采用最大似然法估计。四、结果A。具有不同背景速率函数的霍克斯模型之间的比较我们比较了具有以下不同背景速率函数的霍克斯模型的性能：（i：CONST）恒定背景速率，（ii：PL2h）节点间隔为两小时的分段线性模型，（iii：PL30min）带节点的分段线性模型。表i.每个会话的平均得分。每个值都与最佳模型相关，即M=2的BCB模型。指数数（M）1 2 3 4 const-110.8-28.3-17.9-18.3PL2h-77.2-18.5-13.7-14.6PL30min-47.4-7.7-7.8-9.5BCB-19.7 0.0-0.3-1.9图。4、CONST、PL2h（M=3）、PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型在KS测试中获得的每个会话的p值的累积分布。如果分布在灰色区域，则分布通过KS均匀性检验，p=95%。三十分钟的时间间隔，以及（iv：BCB）我们的新模型贝叶斯三次B样条模型。

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2022-5-31 04:25:08

我们在每个工作日6小时10分钟的常规会议上，将每个模型与数据进行比较，并获得了总共122个工作日的单独估计值。为了量化不同复杂程度模型数据的拟合优度，我们对CONST、PL2h和pl30min模型使用了凯克信息准则（AIC）[3 9]，对BCB模型使用了阿凯克贝叶斯信息准则（ABIC）[40]（详情见附录D）。对于每个会话，每个模型的分数，-AIC/2或-计算了ABIC/2（值越高意味着更好）。分数取S=log（如eli hood）-（P enalty），其中惩罚取决于模型的复杂性（详见附录D）。表一总结了每个模型的平均得分。我们发现，最好的模型是具有两个指数的BCB模型，而具有三个指数的BCB模型的性能也与最好的模型类似，这表明我们的模型在拟合优度方面优于其他模型。随着背景率函数灵活性的增加（表一中自上而下），拟合度普遍提高。我们还发现，具有多个指数的模型明显优于具有单个指数的模型，这与之前的研究一致[26]。在下面的分析中，我们只关注CONST（M=3）、PL2h（M=3）、PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型，它们分别是每类背景速率函数的最佳模型。接下来，我们检查估计模型是否与数据统计一致。如果模型正确，则转换后的事件间隔{τi=1-经验值[-Rti+1tiλ（t）dt]}服从均匀分布。在零假设下的Kolmogorv-Smirnov（KS）检验将均匀分布应用于{τi}的每个阶段，以获得p值。

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2022-5-31 04:25:11

图4显示了p值在所有sess离子上的累积分布。在零假设下，p值的分布也遵循均匀分布，然后我们再次对获得的p值的S e t进行K S检验，以检查其均匀性。BCB模型以95%的置信度通过了测试，但CONST、PL2h和PL30min模型被拒绝（图4）。这一结果表明BCB模型与da ta的一致性。图5显示了与价格动态相关的背景利率u（t）的估计示例，以及两个对比阶段的市场波动（过滤交易）的累积数量。虽然在第一个例子中价格几乎是浮动的（图5a），但在第二个例子中价格出现了大幅下降，因为日本央行宣布保持货币政策不变，并使市场失望（图5b）。我们在此比较了PL2h、PL30min和BCB型号之间的性能。在这两种情况下，PL2H模型的表现都比其他模型差。在第一个示例中，PL30min和BCB模型g具有类似的估计，其中背景率变化缓慢且轻微。因此，这两种模型在没有大的价格变化的会话中可以执行类似的操作。为了检验这一结果，我们选择了一个会话，在该会话中，价格的范围（会话期间最高和最低价格之间的差异）等于或小于其75%分位数（385日元）。对于此类价格变化不大的课程，30分钟模式的平均得分略高于BCB模式0.3分。此外，PL30minmodel通过了此ca se的KStest。

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大多数88

2022-5-31 04:25:16

因此，除了BCB模型外，PL30min还可以有效地分析背景率随时间缓慢变化的会话。相反，在第二个示例中，PL30minDBCB模型的表现非常不同，BCBmodel明显优于PL30minmodel。在这个特殊的例子中，分数的差异大约为300，这意味着BCB模型比PL30min模型更有可能。BCB模型显示，随着新闻发布，背景利率突然上升和下降，这与Rambaldi et al（2015）[24]中的结果一致，而PL30min模型无法捕捉此类时间变化。这些结果表明，amodel考虑细尺度时间变量非常重要。5、根据2016年2月1日（a）和2016年4月28日（b）交易日的日经225指数数据估算背景利率的示例。显示了BCB（M=2）、PL2h（M=3）和PL30min（M=2）模型的估计值，其中M表示触发核中的指数数。（a）的拟合得分（PL2h/PL30min/BCB）分别为-5.2/0.0/0.0，（b）为-303.1/-299.5/0.0，其中每个值都与BCB模型相关。（a）的branchingratios分别为0.62/0.49/0.46，（b）的branchingratios分别为0.91/0.87/0.48。表二。平均分支比率。指数数（M）与背景率的0.57 0.74 0.81 0.83PL2h0.43 0.59 0.66 0.68PL30最小0.32 0.45 0.47 0.49BCB0.25 0.41 0.47 0.49相关，并且BCB模型在分析背景率显著波动的情况时特别有用。还应该指出的是，衰变的形式并不是那么简单：在宣布消息30分钟后，背景速率再次增加。图6显示了背景率的显著时间变化的其他示例。

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mingdashike22

2022-5-31 04:25:18

从某种意义上讲，市场对宏观经济新闻公告的反应是相当多变的，即使是相同的新闻也可能导致不同的反应。此时，BCB模型也可能有助于描述市场对给定新闻公告的复杂反应。B、背景利率的非平稳性对分支比率估计的影响表II总结了每个模型的平均分支比率。根据最佳模型（具有两个指数的BCB模型）估计的平均分支比率为0.41，这意味着41%的市场运动是日经225指数的内生起源。这一结果表明了外生因素在市场动态中的相对重要性，这与之前的研究形成了鲜明对比，之前的研究认为内生效应的显著贡献【15，17】。我们检验了背景率的非n平稳性对分支比估计的影响。与bestmodel（BCB模型）相比，CONST和PL2H模型的分支比率明显过高。CONST和PL2HModels无法很好地捕获背景速率的时间变化，因为其灵活性较低，如图5所示，然后尝试将数据中的非平稳性再现为自激序列，从而导致分支比的高估。PL30min（M=2）模型的平均制动率与BCB（M=2）模型的相似。因此，我们必须至少在几十分钟的时间尺度上考虑回溯率的时间变化，以适当估计分支率。另一方面，PL30min（M=2）模型高估了分段的分支比率，其中，由于无法再现快速的时间变化，存在显著的回溯率变化（图5b和图6）。

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大多数88

2022-5-31 04:25:22

相比之下，BCB模型可以通过灵活估计背景率更准确地估计分支比率。这些结果表明，适当的背景率模型对于分支比估计至关重要，而过度平滑的背景率的使用会导致分支比的高估。图6：。（a）2016年1月29日，日本银行宣布，以及（b）2016年6月24日，英国欧盟成员国公投导致英国投票退出欧盟，根据日经225指数mini数据估算背景利率的示例。显示了PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型的估计值。拟合得分（PL30min/BCB）分别为（a）的-342.2/0.0和（b）的-77.1/0.0，其中每个值都与BCB模型相关。（a）和（b）的分枝比分别为0.89/0.54和0.84/0.47。在（b）中的灰色阴影区，由于断路器，交易停止。图7：。根据BCB（M=2）模型估计的2016年1月4日至2016年6月30日期间背景利率的日常分布。C、绘制了背景利率的日变化率，以反映所有研究阶段中背景利率的日内模式、背景利率的中位数、50%和90%范围（图7）。背景率在会议开始时明显较高，尤其是前30分钟，但在会议结束时没有明显增加。市场波动的发生率，以及所有交易的发生率，包括没有价格变化的交易，也观察到了这种趋势。因此，日经225 mini的市场走势呈现反向J形盘中模式，而非U形模式。

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2022-5-31 04:25:25

我们还发现，背景率有相当大的日常变化。因此，有必要以一种自适应的方式对背景率进行建模。五、结论与讨论在本文中，我们开发了背景利率随时间变化的霍克斯模式L，并将其应用于日经225指数的高频财务数据。我们的模型不仅可以灵活地估计缓慢的变化，而且可以灵活地估计背景率的快速变化，因为使用了相对大量的可变宽度基函数。我们的模型比具有其他背景速率函数的霍克斯模型、常数模型（CONST）、节点间隔为2小时s（PL2h）的分段线性模型和节点间隔为30分钟（PL30min）的分段线性模型更适合数据。特别是，我们的模型对数据的拟合优度的改善在背景率存在显著时间变化的会话中尤为显著。此外，我们发现我们的模型在统计学上与数据一致。我们已经证明了为分支比估计建立与时间相关的背景率模型的重要性。CONST和PL2hmodels通常高估了分支比率，因为它们无法很好地捕获背景速率的时间变化。平均而言，由PL30最小模型估计的分支比率与我们的模型相似，这意味着至少在这个时间尺度上考虑时间变化是必要的。然而，如果在一段时间内出现回溯率的快速波动，则L30分钟模型高估了分支比率。相比之下，我们的模型可以通过灵活地估计背景速率的时间变化来更准确地估计突变率。

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能者818

2022-5-31 04:25:28

我们还发现，通过我们的模型估计的日经225指数的平均分枝率为0.41，这表明与之前的研究相比，外源因素的相对重要性【15，17】。通常，鉴于未知的时变背景率，将事件发生的根源分解为内生和外生影响是一项艰巨的任务[38]。背景比率估计值的偏差将导致BranchingGratio估计值的偏差。例如，使用过于平滑的背景速率会导致对branchingratio的高估，如上所示。为了减少这个问题的主观性，我们客观地根据数据进行了这种分解，以便最大限度地提高模型再现数据的能力。具体而言，通过最大化数据的边际似然函数，同时优化触发核的参数、时间变化的平滑度和背景率的时间过程。此外，我们已经证实，与其他模型相比，我们的模型改善了拟合，并且我们的模型在统计上与数据一致。我们估计时变背景率的方法不适用于在线估计。我们使用平滑法：给定时间的值是使用周围的数据估计的。另一方面，只有给定时间之前的数据才能用于在线估计。为此，非高斯状态空间模型将非常有用。[1] F.Omori，《日本东京帝国大学理学院学报》，第7111页（1894年）。[2] B.Isacks，J.Oliver和L.R.Sykes，J.Geophys。第73、5855号决议（1968年）。[3] J.K.Gardner和L.Knopo Offf，Bull。地震。Soc。是641363（1974）。[4] J.Zhuang，Y.Ogata和D.Vere Jones，J.Am。《美国统计协会》97369（2002年）。[5] D。

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2022-5-31 04:25:31

Marsan和O.Lenglin\'e，《科学》3191076（2008）。[6] W.Truccolo、U.T.Eden、M.R.Fellows、J.P.Donoghue和E.N.Brown、J.Neurophysiol。931074（2005）。[7] J.W.Pillow、J.Shlens、L.Paninski、A.Sher、A.M.Litke、E.J.Chichilnisky和E.P.S imoncelli，《自然》杂志454995（2008）。[8] M.London、A.Roth、L.Beeren、M.H¨ausser和P.E.Latham，《自然》466123（2010）。[9] D.Sornette、F.Desch^atres、T.Gilbert和Y.Ageon，Phys。修订版。利特。93228701（2004年）。[10] A.-L.Barab\'asi，《自然》435207（2005）。[11] E.F.Fama，J.Financ。25, 38 (1970).[12] G.索罗斯，《金融炼金术：解读市场之心》（Wiley，纽约，1987）。[13] D.M.Cutler，J.M.Poterba和L.H.Summers，J.Portfolio Management 15，4（1989）。[14] A.Joulin、A.Lefevre、D.Grunberg和J.-P.Bouchaud，arXiv:0803.1769（2008）。[15] 菲利莫诺夫和索内特博士。修订版。E 85056108（2012年）。[16] A.G.霍克斯，《生物计量学》第58、83页（1971年）。[17] S.J.Hardiman，N.Bercot和J.-P.Bouchaud，Eur。物理。J、 B 86442（2013年）。[18] P.Embrechts，T.Liniger和L.L in，J.App lied Probability 48367（2011）。[19] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.F.Mu zy，Quant。《财务》第13、65页（2013年）。[20] Y.Ait-Sahalia，J.Cacho Diaz，R.J.A.Laeven，J.Financial Economics 117，585（2015）。[21]E.Bacry、I.Mastromatteo和J.-F.Muzy，《市场微观结构和液体流动性》，11550005（2015）。[22]P.C.Jain和G.-H.Joh，J.《金融和定量分析》，23269（1988）。[23]上午，Petersen、F.Wang、S.Havlin和H.E.Stanley，Phys。修订版。E 81066121（2010年）。[24]M.Rambaldi，P.Pennesi和F.Lillo，Phys。修订版。E 91012819（2015）。[25]C.G.Bowsher，J.Econometrics 141，876（2007）。【26】M.Lallouache和D.Challet，昆特。财务16，1（2016）。【27】R.Martins和D.Hendricks，arXiv:1604.01824（2016）。【28】Y.Ogata，J.Am。《美国统计协会》第83、9号（1988年）。[29]G.O.Mohler，M.B.Short，P.J。

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Brantingham，F.P.Schoenberg和G.E.Tita，J.Am。《美国统计协会》第106100号（2011年）。【30】N.Masuda、T.Takaguchi、N.Sato和K.Yano，《时间网络》，P.Holme和J.Saram¨aki编辑，（Springer Verlag，Berlin，2013），第245页。【31】P.Reynaud Bouret、V.Rivoirard和C.Tuleau-Malot，2013 IEEE全球信号和信息处理会议，317（2013）。【32】J.Kwapie\'n和S.Dro˙zd˙z，《物理报告》51515115（2012）。[33]T.Ozaki，安。仪器统计数学。31145（1979年）。【34】Y.Ogata和K.Katsura，Geophys。J、 I nt。113, 727(1993).【35】L.Paninski、Y.Ahmadian、D.G.Ferreira、S.Koyama、K.R.Rad、M.Vidne、J.Vogelstein和W.Wu、J.Comput。神经症。29，107（2010年）。【36】T.Omi、Y.Ogata、Y.Hirata和K.Aihara，Sci。报告3，2218（2013年）。【37】T.K umazawa，Y.Ogata，《应用统计年鉴》81825（2014）。【38】V.Filimonov and d.Sornette，Quant。财务15 1293（2015）。【39】H.Akaike，IEEE自动控制交易19716（1974）。【40】H.Akaike，Trabajos de estadistica y de investigacion operativa 31143（1980）。【41】G.Kitagawa，J.Am。《美国联邦公报》第82卷，第1032页（1987年）。[42]C.de Boor，《花键实用指南》（Springer，纽约，1978年）。[43]C.M.Bishop，《模式识别和机器学习》（Springer Verlag，纽约，2006）。【44】L.Tierney和J.B.Kadane，J.Am。《美国统计协会》第81、82号（1986年）。【45】I.J.Good，《概率估计》（麻省理工学院出版社，剑桥，1965年）。【46】G.Schwarz，《统计年鉴》6461（1978）。确认这项工作得到了Kozo Keikaku Engineering Inc.和CREST JST的支持。我们要感谢两位匿名推荐人对本论文的重要修订发表了有益的意见。附录A：B样条曲线估计方法我们的时间相关背景率模型基本上基于B样条曲线估计[42]。

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2022-5-31 04:25:37

让我们考虑[0，t]中的目标电流h（t），以及t=ηl时的相等空格≡ 对于给定的整数m′和整数l，将观测区间[0，T]划分为m′子区间{[ηl-1，ηl]}m′l=1等长w′=T/m′。在这种方法中，函数h（t）是使用一个在每个子区间是三次多项式且在节点处是光滑的函数来建模的。通过（m′+3）固定宽度基函数的线性组合{qj（t）=f（（t- ηj-4） /w′）}m′+3j=1，其中▄f（·）是图2a中的三次B样条基。这里，基本函数qj（t）支持[ηj-4，ηj]，是凹凸形状的光滑分段三次多项式。虽然固定宽度的Bspline基函数的线性组合在表示各种曲线时具有一定程度的灵活性，但这种方法不适合描述背景速率的时间变化，其中短期内的快速温度变化是预先发出的。一个基函数不能捕捉伴随着突发事件的快速时间变化，除非我们使用大量的基函数。另一方面，由于高频金融数据中的事件是以高度非均匀的方式分布的，对低活动区域的基函数的支持只包含少量的事件，导致对相应参数的估计较差。为了解决这个问题，我们使用可变宽度基本函数，其中宽度取决于事件的频率，如图2b的底部面板所示。附录B：构建可变宽度基函数描述了用可变宽度对形状基函数进行基因率突变的具体方法。我们的方法如图2b所示。我们首先引入自然时间坐标t′，其中事件的位置t′i等于指数t′i=i（i=1，2。

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2022-5-31 04:25:40

，n），观察间隔的开始t′和结束t′n+1分别为0和n+1（图2b中的顶部面板）。然后，我们得到固定宽度基函数{Fj（t′）=~f（（t′）- ξj-4） /w）}mj=1as在附录A中（图2b中的顶部面板），其中我们在t=ξl处放置结≡ （n+1）l/（m）- 3）在w=（n+1）/（m）的间隔内- 3）。接下来，我们从自然时间t′到实际时间t进行坐标变换，以获得宽度可变的基函数{fj（t）}mj=1（图2b）。虽然基函数{fj（t）}mj=1在适当的时间变换下是连续函数，但我们只是简单地将基函数{fj（t）}mj=1近似为在每个中心事件期间保持不变。因此，实际时间坐标中的基函数为fj（t）=fji≡ ti的Fj（t′i）≤ t<ti+1（i=0，1，…，n），其中t=S，tn+1=t。这种近似也使对数似然函数的计算变得容易。附录C：具有时间相关背景率的Hawkesprocess模型的贝叶斯估计我们的模型以参数{a，α，β}为特征，其中a=（a，…，am）T，对数似然函数为log L（a，α，β| D[S，T]）=nXi=1logui+i-1Xk=1MXj=1αjβje-βj（ti-tk）-nXi=0ui（ti+1- ti）-nXi=1MXj=1αj[1- e-βj（T-ti）]，（C1），其中ui=exp[Pmj=1aifji]。在我们的ca se中，a的参数数量相对较大，对于本研究中分析的一些数据，其数量大约为数百。在这种情况下，由于过度拟合，最大似然估计给出了u（t）的充分估计，并且往往计算不稳定。为了准确地估计这样大量的参数，我们采用了贝叶斯估计方法。

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mingdashike22

2022-5-31 04:25:42

在评估中，我们引入了参数a的先验概率分布，该分布限制了u（t）的灵活性，以防止过度拟合，给定asPV，W，uc（a）=Cexp-VnXi=1滴滴涕′mXj=1ajFj（t′i）-WPmj=1ajm- 对数uc！, （C2）式中，C是标准常数，V、W和ucare附加参数。指数中的第一项惩罚自然时间坐标t′中对数u（t′）=Pmj=1ajFj（t′）的一阶导数，参数V控制u（t）的平滑度（另见附录D）。指数中的第二项限制了平均参数值Pmj=1aj/m，这使得粗糙度下降到对数u（t）的基线，Pni=1logu（ti）/n。引入此ter m可使先前的归一化；因为第一项在转换aj下是不变的→ 对于常数c，aj+c（j=1，…，m），对应于垂直位移对数u（t）→ logu（t）+c来自关系pmj=1fji=1，之前的仅与Firsterm不能标准化。在本研究中，参数W被固定为一个非常大的值（例如10），因为模型参数{a，α，β}的估计值与W的值相差不大。在此设置中，我们有一个关系日志ucPni=1logu（ti）/n，因此参数ucre表示u（t）的基线。我们还注意到，我们的非平稳模型简化为平稳过程，u（t）=ucin的极限为V→ ∞和W→ ∞.在贝叶斯框架中，我们将参数θh={α，β，V，uc}a视为超参数s，并根据剩余参数a不同地估计超参数θhdi。我们首先考虑在超参数θh的给定值下估计参数a的方法。根据贝叶斯定理[43]，参数a的后验概率分布给定超参数θhis给定pθh（a | D[S，T]）∝ L（a，α，β| D[S，T]）PV，uc（a）。

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大多数88

2022-5-31 04:25:47

（C3）最大后验概率（MAP）估计值*通过最大化后验值的对数获得。然后，我们考虑找到超参数θh的最佳估计。在给定asML（θh | D[S，t]）=ZL（a，α，β| D[S，t]）PV，uc（a）da的情况下，具有边际似然函数特征的超参数θhis的模型数据的拟合度，称为证据。（C4）我们使用拉普拉斯方法近似计算边际似然函数【44】；整数的对数围绕其峰值展开为a的二阶。在我们的例子中，峰值位于a=a*, 这是地图估计值。然后我们得到log M L（θh | D[S，T]）mlog 2π-对数det（H）+对数L（a*, α、 β| D[S，T]+对数PV，uc（a*), （C5）式中，H表示a=a处被积函数对数的负数的Hessian矩阵*. 估计θ*hof超参数是通过最大化边际似然函数的对数来获得的【45】。参数集{a的最优估计*, θ*h} 最终被认为是超参数θ的最佳估计*交给地图估算a*在最优超参数θ下*h、附录D：模型选择在本文中，我们将拟合优度与霍克斯过程模型和不同背景速率模型的数据进行比较。在比较具有不同复杂程度的模型时，对数似然并不能很好地衡量拟合优度，因为复杂模型的对数似然od高估了因过度拟合而产生的拟合优度。因此，根据模型的复杂性，增加对日志可能性的惩罚是一项标准任务【39，46】。对于用最大似然法（const、PL2h和pl30min模型）估计的模型，我们使用scorearg maxθlog L（θ| D）- （参数数量）基于Akaike信息标准[39]，该标准将池塘与-AIC/2。

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