利用Hawkes过程检测强度爆发：应用于

2022-5-26 19:41:47

使用霍克斯过程检测强度爆发：高频金融数据的应用Marcello Rambaldia，*, Vladimir Filimonovb，c，Fabrizio LilloaaScuola Normale Superiore，Piazza de Cavalieri 7，Pisa 56126，ItalybDepartment of Management，Technology and Economics，ETH Zurich，Switzerlandc Department of Economics，Perm State University，Perm，RussiaAbstracts给定一个固定点过程，强度突发被定义为计数次数大于典型计数率的短时间段。这可能表明系统存在局部非平稳性或外部扰动。在本文中，我们提出了一种在霍克斯过程框架内检测强度爆发的新方法。通过使用模型选择方案，我们表明，当强度爆发的发生时间和总数都未知时，我们的方法可以用于检测强度爆发。此外，突发的初始时间可以用典型事件间时间给出的精度来确定。我们将我们的方法应用于外汇市场的中间价变化，结果表明，这些波动是频繁发生的，只有相对较小的一部分与新闻的到来有关。我们展示了不同汇率下强度突发的超前-滞后关系，并讨论了它们与价格跳跃的关系。关键词：点过程、检测、强度爆发、霍克斯过程、价格跳跃、新闻1。引言异常动态和制度变化的检测是一个重要问题，在许多系统中有着广泛的应用，从风险管理到防止欺诈。金融市场在这方面具有象征意义。市场参与者，尤其是作为中介机构的参与者，需要对市场条件的突然变化保持弹性，这些变化可能是内在的或当新信息可用时产生的。

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2022-5-26 19:41:51

然而，异常动力学的识别可能具有挑战性，尤其是当“正常”动力学很复杂时，可能具有非线性和/或长期相关性。例如，在金融领域，大量研究致力于“异常”价格变化的检测和表征。给定一个由连续半鞅描述的基本价格动态，问题是*相应的authorEmail地址：marcello。rambaldi@sns.it（马塞洛·兰巴迪），vfilimonov@ethz.ch（弗拉基米尔·菲利莫诺夫），法布里齐奥。lillo@sns.it（Fabrizio Lillo）2016年10月19日提交给arXiv的预印本，以测试是否存在价格不连续性（跳跃-参见Andersen et al.（2007）；Lee和Mykland（2008）；Bollerslev等人（2009年）；Ait-Sahalia et al.（2009）至citeonly少数）。在许多实际系统中，观测到的时间序列用点过程来描述。示例包括电话、电子邮件、推特、客户、查询等的到来，当然也包括财务时间序列，因为在最小的时间尺度上，价格变化通常由（标记的）点过程来描述。据我们所知，点过程强度异常变化的识别仍然相对未被探索，尤其是当“正常”动力学呈现相关性和活动爆发时。本文提出了一种解决这一问题的方法。具体而言，我们的目标是确定一个原本平稳但相关且突发的点过程强度的突然增加，以及这些增加在一段时间后恢复到正常状态。我们将这种事件称为强度爆发（IBs）。

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2022-5-26 19:41:54

检测IBs对于识别系统中的异常活动、检测外部扰动的到来、分析不同协同进化系统中的传染效应和超前滞后关系可能很重要。我们提出了一种基于参数模型的强度爆发检测方法，该方法依赖于霍克斯过程（霍克斯，1971）。Hawkes模型与branchingprocesses（Harris，2002）密切相关，以一种非常自然的方式将外部（外源）对系统的影响与内部（内源）自激动力学结合起来。这里，新事件的到达概率由基线概率和所有先前生成事件的贡献的组合给出。在自然和社会经济系统中，霍克斯过程因其灵活性以及校准程序的简单性而成为一种非常流行的工具。它们已被应用于各种研究领域，如地震学（绪方，1988年）、基因组学（雷诺·布尔等人，2010年）、神经生理学（皮埃尔·布雷茂德（1996年）；Chornoboyet al.（1988））以及关于犯罪和暴力传播的著作（Lewis et al.，2012；Mohler et al.，2011）和关于社会网络动力学的著作（Crane和Sornette，2008；Blundell et al.，2012；Zhou et al.，2013）。在金融应用领域，霍克斯过程已成为高频价格变化和订单演变动态的普遍模型（Bacry et al.，2013；Bormetti et al.，2015；Hardimanet al.，2013；Filimonov and Sornette，2012；Bowsher，2007；Embrechts et al.，2011；Blanch et al.，2015），并扩展到日常规模的价格冲击建模（参见Bauwens and Hautsch（2009）和Bacry等人（2015年）进行了审查）。我们选择用霍克斯过程来模拟点过程的“正常”动力学，以便存在相关性和爆发。

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2022-5-26 19:41:59

除此之外，我们假设在此过程中，很少有IB会局部干扰计数动力学，并且通过霍克斯过程的激发机制，也会影响“正常”动力学。在此设置中，模型参数和IBs位置未知，必须从数据中删除。在Rambaldi et al.（2015）中，我们两人考虑了相关但更简单的问题，即在已知IBs位置时推断模型参数。考虑到的例子是金融市场中预定的宏观经济公告的到来。这些事件对价格和交易活动都有重大而戏剧性的影响，不能用经典的霍克斯模型来描述，但这种影响是事先知道的。一般情况下，IBs的发生和时间尚不清楚。Rambaldi et al.（2015）的主要局限性正是假设IBs的发生时间已知，这阻止了对意外（意外）IBs的研究。有趣的是，即使预先知道预期时间，对外部事件实际到达的延迟或预期也会使程序产生偏差。相反，在目前的工作中，我们考虑的是IBs到达时间和IBs总数都未知的一般情况。我们提出了一种从经验数据中进行有效且稳健估计的方法，并且我们还提出了一种假设检验，以区分真实强度爆发与统计波动，这种统计波动可以在标准自激动力学中得到同等解释。我们验证了我们的程序，并表明它能够可靠地识别事件率的突然增加，而假阳性率相对较低。

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2022-5-26 19:42:02

此外，作为一种基于模型的方法，我们的方法可以估计强度爆发的参数以及潜在自激过程的特性，并将其用于异常活动的分类。我们运用我们的方法分析主要外汇市场的高频金融数据。我们确定了大量IBs，并将其与价格上涨和宏观经济公告进行比较。有趣的是，我们发现大量IBs都没有用这两种可能的原因中的任何一种来解释（就时间接近性而言）。这是值得注意的，因为它表明存在不同的市场异常，我们提出了可能的解释。我们预见了我们的方法可能有用的几个主要方向。首先，检测异常和意外市场活动对于监控流动性和日间风险管理应用至关重要。此外，对历史数据的分析对于司法调查和发现欺诈和市场操纵至关重要。此外，我们的方法是相关的，即使强度突发本身的分析不是主要兴趣，重点是描述潜在的过程。事实上，我们提出的程序缓解了霍克斯过程的倾向，即当存在突发性非平稳性时，过度估计自激的程度。最后，我们强调，潜在的应用范围远远超出了金融市场。例如，我们的突发事件检测方法在分析YouTube浏览量（Crane和Sornette，2008）或Witter帖子（MacKinlay，2015）等社交媒体动态方面，甚至在分析社会冲突和动荡的数据方面都非常重要（Donnay和Filimonov，2014）。论文的其余部分结构如下。

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能者818

2022-5-26 19:42:05

我们从第2节描述包含外源强度爆发的霍克斯模型开始。第3节介绍了强度爆发的统计识别方法。我们在第4节中对合成数据测试并验证了我们的程序。第5节介绍了我们的方法在实际财务数据上的应用。我们在第6.2节中得出结论。具有外源强度的霍克斯过程-伯斯塔单变量点过程是在随机时间Tind发生的事件序列，由相应的计数过程Nt=Pti<t描述，其中是集合a的指示函数。在齐次泊松过程中，事件强度为常数λ（t）=lim→0-1E[新台币+- Nt]=u。Hawkes（1971）扩展了泊松过程，通过对过程Ft={ti:t<t}：λ（t | Ft）=lim的历史条件下的强度建模，来解释系统中的自激→0-1E[新台币+- 新台币|英尺]。在标准单变量霍克斯模型中，该强度读数为λ（t | Ft）=u+Zt-∞φ（t- s） dNs=u+Xti<tφ（t- ti），（1）其中第一部分（u）给出了经典外生Poisson过程的所谓基线强度，第二部分描述了膏体事件对未来的显式内源性影响。这里φ（t）被称为记忆核，是一个非负函数，它规定了过去的事件如何影响未来事件的发生概率，因此φ（t）控制反馈机制的幅度。强度（1）的线性结构允许将霍克斯过程精确地映射到一个聚类过程（霍克斯和奥克斯，1974），其中该过程由随机聚类的叠加组成，每个随机聚类从一个移民开始，由强度为u的均匀泊松过程生成。

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mingdashike22

2022-5-26 19:42:10

反过来，移民根据强度为φ（t）的非均匀泊松过程产生他们自己的反作用力，而这些下一阶事件以相同的机制产生他们自己的反作用力。这种构造可以用分支过程理论很好地描述（Daley和Vere-Jones，2008），从实用角度来看，这种表示可以对霍克斯过程进行有效的数值模拟（Moller和Rasmussen，2005）。分支上下文还提供了对核φ（t）的直观约束，以确保系统的稳定性和平稳性。单个事件产生的o形弹簧的平均数量为n=R∞φ（t），称为分枝比。为了使过程稳定，该数量必须小于1（n<1）。条件n=1对应于一个tippingpoint，n>1的系统表现出爆炸动力学，总人口以概率1增加到一致。在Rambaldi et al.（2015）中，作者进一步扩展了霍克斯模型。作者并没有坚持所有移民都是随机到达的，而是提出一些外部事件可能会显著影响系统的演化。这种外部事件可能会在当地产生比单一基线强度下更多的移民。这是通过强度表达式中的一个单独项建模的：λ（t）=u+MXj=1φjS（t- zj）+Xti<tφ（t- ti）（2）这里，第二项描述了到达时间zj的M个外部事件的影响，这些事件被假定为确定性和已知的。这些特殊的外源事件通过记忆核φjS（t）增加了移民的到达率。系统进一步通过内核φ（t）以常规方式进行反应，从而放大外部事件的影响。事实上，这些特殊的外部事件及其集群将IBs引入系统。

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2022-5-26 19:42:13

例如，在社会经济系统的建模中，这种密集爆发可能对应于系统对重大事件的反应，例如选举、公民投票和其他政治事件、监管变化，甚至与特定部门或公司相关的新闻公告。单一外来移民产生的预期新移民数量isfj=Z+∞φjS（s）ds，（3），我们将此数量称为j-th IB的生育力。与整个系统的分支比n相比，除了（3）中的积分应收敛外，此参数没有限制。此外，我们将对外生事件代表“爆发”的情况感兴趣，因此其生育率远大于规则事件：fj 1、由IB直接触发的移民将根据记忆核φ（t）产生他们的新生力量，因此每个外生集群中预期的事件总数由j=fj+fjn1给出- n=fj1- n（4）最后，为了充分指定模型，我们需要定义内存内核的函数形式。没有唯一的规格，内存内核的形状因应用程序而异。在本文讨论的高频金融数据建模领域中，内核φ（t）应该是短内存还是长内存的问题颇具争议。一些著作从经验上支持幂律衰减函数（参见Hardiman等人（2013年））；Bacry和Muzy（2016）），而其他研究则建议使用一些指数函数之和（Lallouache和Challet，2014；Martins和Hendricks，2016），并指出在非平稳数据上使用长内存内核的危险（Filimonov和Sornette，2015）。出于我们的目的，我们将遵循兰巴迪等人的原始工作。

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2022-5-26 19:42:16

（2015）并通过指数之和采用幂律核近似，该指数最初在（Hardiman et al.，2013）中提出：φ（t）=nZ（K-1Xk=0（τmk）-pe公司-tτmk- Se公司-tmτ）。（5）它用指数p近似幂律衰减，并且在短时间尺度上具有指数衰减特性。参数τ控制最大值的位置，n是分支比。此外，m=5，K=15和S，Z的值固定为φ（0）=0和r∞φ（s）ds=n。这种核心规范（Rambaldi et al.（2015），Hardiman et al.（2013））非常适合于财务数据模型。此外，内核的缓慢衰退创建了相对较强的点聚类和进程计数之间的长范围依赖关系。这使我们能够在一个更加恶劣的环境中测试我们的程序，因为它使得从内生爆发中分离真正的外部性变得更加困难。最后，对于IB的内存内核φS（t），我们将遵循Rambaldi et al.（2015），并采用指数规格：φS（t）=αe-（t-z） τt>z（6），其中α>0和τ>0是参数。在这种情况下，我们有f=ατ。这一特殊情况反映了这样一种观点，即外部事件具有非常强大的即时影响，有时也具有持续性，最终其影响会完全消失。然而，在其他领域，φ的不同规格可能更合适，我们的程序可以很容易地适应它们。3、强度爆发的识别在Rambaldi等人（2015）的原始工作中，假设已知IBs{zj}的时间以及他们的数字M。在这里，我们假设它们是未知的，我们扩展了框架，以定义一个严格的程序，用于检测外部冲击的数量和时间戳。3.1。单个IB的识别为了清晰起见，让我们从最多一个IB的情况开始，但我们不知道它的发生时间。

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2022-5-26 19:42:19

在这种情况下，我们的模型读取λ（t）=u+Xti<tφ（t- ti）+φS（t- z）（7）现在z是模型的一个参数。一般来说，一旦霍克斯模型被指定，我们可以应用一系列方法，以便根据观测数据校准模型并估计其参数。这些方法包括最大似然估计（Rubin，1972；Ogata，1978；Ozaki，1979）和矩量法（Da Fonseca和Zaatour，2014）。还提供了一系列非参数工具（Bacry等人，2012年；Bacry和Muzy，2016年；Lewis和Mohler，2011年；Kirchner，2015年）。然而，这些主要局限于经典的霍克斯规范（1）。在参数估计中，最大似然估计被认为是霍克斯过程族的事实标准。给定强度（7）的函数形式和区间[0，T]内的观测值fti，可以最大化对数似然对数L（θ| Ft）=-ZTλ（s）ds+ZTlogλ（s）dNs（8），以获得参数θ的向量，其中包括IB的时间z和定义生育率f的核φs的参数。然而，我们事先不知道实现是否包含任何IBs。因此，我们需要确定已确定的布斯汀活性是否确实真实，或者是否可以单独归因于内源性机制。为此，我们将测试模型从简单的霍克斯过程（1）扩展到带有冲击的模型（7）是否改进了数据描述。一种自然的方法是比较模型（7）在最佳参数下评估的可能性与无IBs的霍克斯模型对应的最佳拟合。Ogata（1978）证明了在某些正则性假设下，简单、平稳、单变量点过程的最大似然估计是一致且渐近正态的，因为样本量趋于完整。

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2022-5-26 19:42:23

此外，他还建立了简单零假设的似然比检验具有标准χ分布。因此，正如Gresnigt和Franses（2015）所述，似然比（LR）测试和拉格朗日乘数（LM）测试等似然测试通常可用于区分不同的霍克斯规范。然而，我们的案例存在一些困难，使得此类测试不容易适用。我们的情况类似于在政权更迭问题中发现的情况，当变化点未知时。此外，在不存在IB的零假设下，一些参数没有确定。事实上，当α=0时，具有（6）中描述的IB项的模型简化为完整模型。因此，τ和z在空值下无法识别。人们还可以推测，归零不是唯一的，因为IB的影响对于z也是消除的≥ T或τ→ 0，或z<0且τ→ ∞. 如（Andrews，1993；Davies，1977，1987；Hansen，1996）所述，LR的标准渐近理论不适用于这些情况，必须采取其他方法。一系列文献通过所谓的“sup”类测试（参见Lange和Rahbek（2009）的调查）来处理这一问题，这些测试依赖于模拟零度下的LR分布来计算适当的p值。另一种方法（Wong和Li，2001）使用信息标准进行模型选择。使用最广泛的是Akaike信息标准C=2k- 2 log L（9），其中k表示估计参数的数量，Schwartz（或Bayesian）信息准则（BIC）BIC=k log N- 2 log L（10），如果样本量N>7（即log N>2），则惩罚更多额外参数。

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2022-5-26 19:42:27

在本文中，我们遵循第二种方法，并将记录BIC在我们的测试中表现良好（参见第4节）。我们可以将识别单个IB的过程总结如下：1。使用最大似然估计估计估计零模型（无任何IB项的Hawkes模型（1））；2、备选（扩展）模型（7）在z的约束下进行估计∈ [0，T]；3、评分BIC=BIC- BICis评估。如果BIC<0，则弹出空模型，我们接受扩展模型。否则，我们将保留无外源爆发的空模型。在这里，我们用BICMT表示模型的分数，用M IBs表示。对于IB（6）的指数记忆核，完整模型和备选模型之间的参数数量差异为3，因此BIC=3对数N- 2（对数L- 日志L）。有关可能性优化的更多详细信息，请参阅附录A。3.2。多个IB的识别：预先识别我们现在讨论将我们的程序扩展到窗口[0，T]中有多个IB的情况，即模型（2），其中必须确定模型的zjare参数和IB总数M。由于问题的数值复杂性、经常存在的噪声数据和维数灾难，对全模型（2）的直接估计会导致具有多个局部极值的多变量成本函数的优化。为了有效地估计参数zjin（7），将每个zjt的搜索空间限制在某个区间[zj，zj]是有用的 [0，T]。这样做可以显著提高收敛性并减少局部极小值的数量。此外，它允许我们一次关注一个IB，从而依次增加模型的大小。因此，我们在本节中解决的问题是如何通过预识别有效且可靠地减少z的搜索空间。

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2022-5-26 19:42:30

稍后，我们将介绍完整的程序。我们采用Almgren（2012）最初提出的方法，将高频数据中的价格跳跃检测到点处理设置。在他的工作之后，我们定义了指数平均函数uL（t；κ）和uR（t；κ）asuL（t；κ）=κZt-∞e-（t-s） κdNs=κXtj<te-（t-tj）κ（11）uR（t；κ）=κZ+∞te公司-（s）-t） κdNs=κXtj>te-（tj-t） κ，（12），其中κ是该方法的参数。函数uL（t；κ）和uR（t；κ）提供了过程速率的局部估计。第一种方法只考虑过去，而第二种方法只考虑未来。在t时，活性（IB）的强烈突然跳变将显著增加uR（t；κ），而不会对uL（t；κ）产生影响，因此我们认为这种差异（t；κ）=uR（t；κ）- uL（t；κ）（13），以确定跳跃的次数。图1提供了一个示例，其中函数（t，κ）表示κ的不同值。κ的选择将在第4.3节中讨论。的高值对应过程强度的突然变化，从而提供一种确定可能IB位置的方法。作为IB times'ZJJ的候选者，我们选择（t；κ）在事件时间集{ti}上。此外，我们根据最大值。我们从全局最大值z=arg maxt开始∈{ti}（t；κ），（14）定义了窗口W=[(R)z-w、大小为w的“z+w”，在“z”周围，将使用最大似然估计量搜索z的最佳值。我们进一步排除所有接近“zthan w”的事件，并寻找下一个局部极值：“z=arg maxt”∈{ti：| ti-\'\'z |>w}（t；κ），（15）定义了另一个窗口W=[(R)z-w、 \'z+w]。

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2022-5-26 19:42:34

为了选择函数的不同最大值，排除很重要: 如图1所示，函数 israther持续存在，如果不采取此预防措施，则最有可能选择仅次于全局最大值的次优最大值。根据需要重复该过程多次，以找到候选时间'zk=arg maxt∈{ti：| ti-\'z |>宽，| ti-\'z |>w|ti公司-\'\'zk-1 |>w}（t；κ）（16）和相应的窗口Wk=[(R)zk-w、实时分析中，不可能计算uR（t；κ）。然而，在这里，我们对历史数据的事后分析感兴趣，所以这种限制不会带来任何问题。为此，评估（t；κ）仅在事件时间。事实上，递归关系κuL（ti）=e-ti公司-ti公司-1κ（1+κuL（ti-1））κuR（ti）=e-ti+1-tiκ（1+κuR（ti+1））保持。图1：具有两个IBs（顶面板）和相应函数的霍克斯过程模拟（t；κ）用于κ的不同选择（底部面板）。3.3。识别多个IB：估计windows WJ的排名已经确定，我们应用迭代程序来确定模型（2）的最佳参数以及IB的总数。首先，我们估计M=0的模型，这是一个标准的霍克斯模型。然后，我们用M=1和z估计模型∈ W、此时，我们使用BIC（或其他模型选择标准）来决定是接受还是拒绝放大模型。如果不接受IB，则过程停止，并选择M=0的空模型。否则，将模型扩展到M=2的情况，并添加额外的IB项。在窗口W内估计zis的最佳值，同时保持z值固定，并重新优化所有其他参数。

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能者818

2022-5-26 19:42:38

信息标准再次用于比较M=2模型和M=1模型的惩罚可能性：然后新的扩展版本要么被接受，要么被拒绝。当Mk+1IB的添加不能显著提高模型Mk的可能性时，迭代过程停止。我们可以将完整的过程总结如下：1。给定一个实现{t，t，…，tN}，我们选择κ和w.2的值。我们确定候选IB位置W、W……的排名。我们在数据（M=0）4上估计了一个标准的霍克斯模型。我们每次向模型中添加一个IBo如果BICM=k+1<BICM=k，则将候选IB zk+1添加到模型中，并检查下一个IB，nsize 0.3 0.5 0.7 0.91000 0.7 0.5 1.3 1.02000 0.4 0.4 0.7 0.65000 0.0 0 0.3 0.2 0.210000 0.1 0.0.3 0.2表1：当模拟模型没有IBs时，使用贝叶斯信息标准的误报百分比。所有数值均以百分比（%）表示否则，如果BICM=k+1>BICM=k，程序停止，我们认为M=k是IBs的最终数量。我们注意到，该程序依赖于预识别程序提供的排名。也可以考虑较少依赖预识别程序的停车标准。例如，在退出环路之前，可以考虑额外的IB，而不是在第一次故障时停止。关于优化程序的详细信息，我们再次参考附录A。数值模拟和模型验证为了验证我们的程序，我们进行了广泛的数值模拟。首先，我们检查了我们的程序产生的假阳性率。然后我们测试了它的统计能力。最后，我们研究了在窗口中存在两个IB的情况下，歧视是如何工作的。

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2022-5-26 19:42:41

由于即使在标准Hawkesprocess（1）的情况下，参数估计的偏差和方差也取决于参数本身的值，因此我们在不同样本大小上测试了参数的几种组合，以便对检测程序的效率有一个更广泛的认识。4.1。无外源冲击为了研究假阳性检测率，我们对具有内生核（5）且无IB的Hawkes过程（1）进行了蒙特卡罗模拟。参数为p=2.0，τ=0.1，n={0.3，0.5，0.7，0.9}。我们为每个参数集模拟了1000个实现。由于统计检验的威力很大程度上取决于样本量，因此在我们的模拟中，我们保持预期样本量E[N]=uT/（1-n）通过拟合模拟视界T=3600并改变基线强度u来确定常数。我们使用大约1000、2000、5000和10000个事件的样本量进行测试。在每次模拟中，我们应用我们的程序并检查extendedmodel（7）是否优于标准Hawkes模型。总的来说，我们发现AIC的表现比BIC差得多，尤其是在n值较高的情况下。表1总结了BIC产生的误报率（以百分比表示）。从表中可以看出，即使是中等样本量（1000个事件）和基础过程（n~ 0.9）假阳性率约为1%，通常该方法的特异性接近100%。

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2022-5-26 19:42:46

图2进一步说明了这一点，图2显示了观察得分的分布BIC。-5 0 5 10 15 20 25 30 35BIC0.000.020.040.060.080.100.120.14密度样品尺寸=1000n=0.9n=0.5n=0.3n=0.7-5 0 5 10 15 20 25 30 35BIC0.000.020.040.060.080.100.120.140.16密度样品尺寸=10000n=0.9n=0.5n=0.3n=0.7图2：差异分布在不存在IB项的空模型和在不存在IB项的模拟中估计出单个IB的完整模型之间的BIC。对于小于零的差异，将拒绝使用空模型。4.2。具有近似已知位置的单个IB我们现在考虑当存在一个IB时的数值模拟。这里我们给出了参数p=2.0，τ=0.1，n={0.3，0.5，0.7，0.9}的模拟结果。simulationwindow为[0，T]，其中T=3600。在z=T/2时模拟IB，并考虑IB参数（f，τ）的35种不同组合（详情见下文）。如前所述，我们改变u的值，以保持预期的样本大小u+f（1- ez公司-Tτ）1- nT（17）近似恒定。我们进行了两组模拟，平均样本量分别为5000和10000。由于本实验的主要关注点是我们的程序和BIC选择标准的选择所导致的假阴性率，因此我们忽略了预识别程序，我们将在下一节讨论完整的程序。因此，我们将z的搜索空间限制在一个大小为100的窗口，该窗口围绕IB的真实位置：[T- 50，T+50]。我们在附录B中报告了测试结果。表B.14给出了5000个样本量的分支比n不同值的正确检测IBs的百分比。我们的结果表明，有一个区域对应于较低的肥力F值和较高的IB弛豫时间τ值（即。

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2022-5-26 19:42:49

α=f/τ的小值），其中添加IB项对改善相似性没有显著贡献，因此拒绝使用扩展模型。霍克斯过程通过自激机制自然产生事件簇。集群的平均大小由1给出-n（参见Moller和Rasmussen（2005））及其方差isn（1-n）。因此，如果外源性IB产生的事件级联与内源性IB产生的事件级联大小相似，那么我们的程序不会将其识别为IB。这实际上是一个需要的特征，因为我们想要识别与内源性动力学不兼容的IB。此外，这也表明，对于分枝比n的高值，更难区分内源性突发事件和外源性突发事件。4.3。预识别预识别算法的效率取决于“平滑参数”κ的选择。当κ很小时，局部强度的近似值会有噪声，并且会导致检测到许多局部极大值。另一方面，κ的大值导致对大多数强度波动进行平均，只留下较大的IB，但可能缺少中等规模的IB。为了测试选择κ的影响，我们用不同的参数组合（α，τ）模拟模型（7），然后用我们的预识别算法计算不同的κ值。结果报告在附录B中，图B.10显示了检测到的IB位置相对于事件之间平均距离的均方根误差δ=T/N，作为比率κ/τ的函数。正如所料，对于较小的α值，当检测外源IB困难时，z的估计误差可能非常大。

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2022-5-26 19:42:52

然而，我们观察到，对于相对较高的α值，误差下降到与事件间隔δ相当的值，当κ与τ的数量级相同时，性能最佳。当κ远大于τ时，α值较高时，性能也会恶化。这表明，如果已知IB的典型弛豫时间，那么最好的选择是选择相同顺序的κ。另一种但更复杂的方法是，本着的精神，对κ的多个值进行多尺度分析（Almgren，2012）。然而，考虑到（i）我们的方法是参数化的，预识别遵循最大似然估计；（ii）由于霍克斯过程（2）的随机性，局部强度的峰值不一定与开始时间z一致，并且可以根据核φ（t）延迟，我们认为多尺度方法过于复杂。4.4。单IB检测和完整程序我们现在在存在一个IB的情况下测试我们的完整程序。我们遵循第4.2节中的相同程序。然而，现在我们没有对Z施加搜索间隔，而是应用预识别方法。我们将κ设置为100，并将（14）–（16）中的搜索窗口大小设置为w=300，即在进行最大似然估计时，我们对zjin窗口Wj=[(R)z执行约束搜索- 150，’z+150]。我们认为，当检测到的IB之一在其发生时间60个时间单位的公差范围内时，我们的程序可以正确识别实际IB。这也包括实际IB不是第一个被检测到的情况。表2报告了n、f=ατ和τ的不同组合的正确分类IBs（真阳性）的百分比。

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2022-5-26 19:42:55

该方法的性能与提前知道z的正确搜索间隔的情况（与表B.14相比）相当，表明预识别算法在大多数情况下都能很好地工作。对于τ的高值和f的小值，即α的小值，发现正确检测率较低，这并不奇怪。在这些情况下，IB对强度的直接冲击较小，IB的累积效应随着时间的推移会更加稀释，这使得它更难定位。此外，我们需要探索误报率，即在这些模拟中检测到多个IB的情况。表3报告了假阳性识别的数量和百分比，作为分支比率n的函数。如图所示，然而，检测到多个IB的病例数量有限，相关系数=0.3fτ10 50 100 500 100050 76 16 4 0 075 94 65 0 0100 99 96 71 2 0250 100 100 100 72 12500 100 100 100 100 100 100 100 88750 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100n=0.5fτ10 50 100 500 100050 69 4 0 075 95 30 0 0100 100 98 0 0250 100 100 100 78 16500 100 100 100 100 100 100 100 100 89750 100 100 100 100 100 100 100100 100 100 100n=0.7fτ10 50 100 500 100050 62 35 13 0 075 97 86 50 0 0100 96 98 84 4 0250 100 100 100 88 32500 100 100 100 100 89750 100 99 100 981000 98 99 99 98 100n=0.9fτ10 50 100 500 100050 9 28 18 2 075 26 64 56 5 0100 55 79 15 2250 99 100 72 39500 97 100 98 78750 100 95 97 96 901000 96 98 89 100 97表2：不同IBs的正确分类百分比真实IB参数（α，τ）的组合，用f=ατ和τ表示。结果涉及5000个事件的样本量。主要模拟n的高值，即n=0.7，尤其是n=0.9。

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2022-5-26 19:42:58

这是意料之中的，因为在这些情况下，背景鹰派过程的强度变化非常强烈，自发生成一个可能被归类为IB的集群的概率很高。因此，这里的可靠检测需要足够长的时间序列，这确保了在高的霍克斯过程参数的有效估计。接下来，我们检查估计IB开始时间z的误差。表4中报告了均方根误差RMSE[（z- ^z）]，平均事件间时间δ=T/N。与之前一样，当参数α=f/τ较大时，结果要好得多，而对于较小的α和相对较高的τ，性能恶化，尽管仍然令人满意。在我们的程序中，我们使用上面讨论的预识别算法来对IB位置zg进行初步猜测。值得将这一初步猜测与我们的程序提供的最终估计值^z进行比较。我们考虑差异：| zg- z |- |^z- z |δ，其中z代表正确分类的IB的真实IB位置。我们观察到，在91%的情况下，最终估计并不比预先估计的猜测差（即接近或接近真实值）。此外，当我们的方法改进后，样本大小=5000n=0.3 n=0。5 n=0.7 n=0.9总FP 1 12 63最坏情况发生率（%）0 2 18样本量=10000总FP 0 9 37最坏情况发生率（%）0 0 4 14表3：我们的程序应用于存在一个IB的模拟时，在最坏情况下产生的误报总数和误报百分比。给定值n的最坏情况是单个组合（f，τ），其中记录的误报最多。当我们的方法没有改进时，改进的平均值是平均误差的两倍以上。

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2022-5-26 19:43:02

换句话说，位置参数z的最大可能性优化显著改善了估计，即使在外生核（6）严格衰减且具有最大值at的情况下（这导致强度的预期峰值在t=z）。在更复杂的情况下，如反应峰值延迟时，优化步骤变得至关重要。在附录C中，表C.17、C.18、C.19和C.20报告了IB参数的相对均方误差。对于可检测区域的IBs，对于所考虑的样本量，MSE通常约为10%。最后，值得一提的是，我们的程序即使在IB检测不是主要目标，但对基本Hawkes模型的参数感兴趣的情况下也是有用的，例如分支比n。众所周知，非平稳性和爆发的存在极大地影响了在平稳性假设下估计的分支比（即在模型（1）内）。Filimonov和Sornette（2015）以及Rambaldi et al.（2015）已经讨论了这个问题，在这里，我们用表B.15对其进行了说明，在表B.15中，我们比较了从基本Hawkes模型和我们的程序选择的最佳模型（当存在oneIB时）中获得的n值。事实上，在强度突发的情况下，基本模型高估了分支比，甚至对于实际分支度的较小值（n=0.3），分支比也高达1的临界水平。相反，通过扩展模型（7）正确解释此类外部事件，可以让我们在所有情况下恢复正确的值。4.5。IB检测的迭代程序为了在存在多个IB的情况下评估我们程序的性能，我们研究了八种情况，其中两个IB发生在相同的T=3600时间窗口中。

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2022-5-26 19:43:05

具体而言，我们考虑两种IB，一种是我们称之为“小”（S）的参数（α=1.0，τ=350），另一种是我们称之为“大”（L）的参数（α=1.5，τ=700）。IBs之间的距离也是相关的，因此我们分别测试IBs靠近的位置（C）的配置，即z- z=350个时间间隔单位，第二个时间间隔单位是IB相距很远（F），即z- z=1400个单位。表5总结了这八种情况。n=0.3fτ10 50 100 500 100050 3.175 0.6 15.4100 0.5 5.3 21.0250 0 0.2 1.3 3.0 22.8500 0.1 0.4 1.1 9.9 26.2750 0 0.0 0 0.3 0.6 18.71000 0.0 0 0.2 0.3 4 13.0n=0.5fτ10 50 100 500 100050 1.975 0.7 12 100 0.5 5 5 5 16.1250 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.9 2 6.0500 0 0 0.1 0.1.2 7.8 29.8750 0.0 0.2 0.6 5.1 15.01000 0.0 0.1 0.5 2.9 7.9n=0.7fτ10 50 100 500 100050 1.675 1.2 7.1 17.1100 0.4 3.5 10.7250 0.2 1.0 2 27.95000.1 0.4 0.6 8.5 17.0750 0.0 0.3 0.5 3.6 13.71000 0.0 0.2 0.3 1.9 4.5n=0.9fτ10 50 100 500 100075 5.6 14.6100 0.5 2.9 13.4250 0 0.3 0.9 23.0500 0.1 1 0.0 0 8 9.9 20.0750 0.0 0 0 0 0 0.4 0.4 4 16.11000 0 0 0 0 0 0.4 1 1.0 8.1 10.4表4：均方根误差之间的比率关于IB位置参数z和平均事件间时间T/N。所示结果是针对大约5000个事件。只有在100次仿真中至少有50次检测到IB的情况下，才会计算误差。我们为每个场景模拟了100个实现，内生参数n的四个不同值，即n=（0.3、0.5、0.7、0.9）；在其他实验中，其他内生参数被设定为τ=0.1和p=2.0，并调整参数u，以保持预期样本量等于10000个事件。表6给出了n=0.7的情况下的试验结果，而其他情况在表B.16中报告。我们的结果表明，对于中间值n，我们的程序得到了非常好的结果。

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2022-5-26 19:43:08

从表6可以看出，在大多数情况下，真阳性率超过90–95%，假阳性和假阴性检测的数量相对较低。在测试中，两个以上IBs的接受率（假阳性检测）的最大值低于10%，几乎只影响n=0.9的情况。正如预期的那样，假阴性的可能性随着IB大小的减小而增加。最具挑战性的识别场景是那些小IB紧随大IB之后，从而被大IB所掩盖的场景。当IBs接近（CLS）时，这一点尤为明显：在这些情况下，当n=0.7时，真实阳性率约为50%，当小IB后接小IB（CSS）时，情况类似。此外，正如我们已经注意到的那样，分支比的大值更难处理：当n接近临界值1时，集群大小的方差变得非常大，因此很难区分内源性爆发和外源性爆发。ατzατzCSS 1.0 350 1625 1.0 350 1975CSL 1.0 350 1625 1.5 700 1975CLS 1.5 700 1625 1.0 350 1975CLL 1.5 700 1625 1.5 700 1975FSS 1.0 350 1100 1.0 350 2500FSL 1.0 350 1100 1.5 700 2500FLS 1.5 700 1100 1.0 350 2500FLL 1.5 700 1100 1.5 700 2500表5：两个IBs案例的八种测试情景总结。C代表close，F代表far，L代表large，S代表small（详见正文）。n=0.7CLL CLS CSL CSS FLL FLS FSL FSS第一次更正100 97 100 98 91第二次更正96 50 100 56 98 90两次更正96 50 97 56 98 90 91 88未检测到比两次1 0 0 1 0 0 0 0 0 0更多的电击表6：n=0.7情况下两次IBs模拟试验的结果。所有数量均以百分比表示。

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mingdashike22

2022-5-26 19:43:13

模拟参数如表5所示。对于n=（0.3、0.5、0.7），IB参数的相对均方误差通常在10%以下。τ上的误差往往大于α上的误差，尤其是在较小的IBS上，在较大的IBS上，τ上的误差可以超过60%。在n=0.9的情况下，误差显著增加，α值超过30%的情况并不少见。从上述测试中，我们验证了我们的程序，并确认该方法能够获得有意义的结果，前提是基础过程不太接近关键（即n=R∞φ（t）dt远远小于1）。当然，参数的检测和估计质量会随着振幅和冲击距离的增加而提高。4.6。内生核的误判最后，我们讨论了模型误差的一个重要实际方面。在现实生活中，我们无法先验地知道内核的函数依赖性是描述系统动力学的最佳方式。如上所述，关于霍克斯模型（1）的具体问题的讨论仍然悬而未决，例如，在具有近似幂律内核的金融应用中（5），考虑并提倡使用短记忆指数替代方案。选择最佳候选人的统计检验问题以及核的非参数估计问题完全超出了本文的范围。在这里，我们将通过考虑内存内核错误指定情况下的估计误差来解决这个问题。为此，我们使用不同的内生内核（即指数和双指数）模拟该过程，同时使用与之前相同的方法进行估计，即使用表（5）中的φ（t）。我们在不存在IBs和存在一个IB的情况下进行了两个实验。详细结果见附录D。

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何人来此

2022-5-26 19:43:16

总的来说，我们的结果与第4.2节和第4.4节的结果一致，并且表明我们的程序对于内核错误的描述是相当稳健的：只要底层霍克斯过程的精确参数不是主要关注的焦点，即使背景过程没有很好的描述，也可以可靠地识别异源IBs。高频外汇数据的应用我们应用我们的方法来研究即期外汇（FX）市场的强度爆发。货币市场是一个由交易平台和场所组成的复杂的分散系统，电子通信网络（ECN）以类似于常规证券交易所的方式运行，通过终端聊天或语音通话进行OTC交易。在市场体系的中心，有两个经销商间电子平台，如电子经纪服务（EBS）和路透社。它们被主要银行和经纪人用作银行间流动性的来源，同时也是大型HFT参与者的交易平台。这两个平台对批量大小的要求都很高，至少为一百万台。EBS是所有美元、欧元、瑞士法郎和日元交叉的主要场所，而EUTERS是所有英联邦货币和斯堪的纳维亚货币交叉交易的主要平台（Golub et al.，2013）。5.1。描述性统计我们分析来自EBS实时数据源的三种货币对的数据，即欧元兑美元、欧元兑日元和美元兑日元。根据国际清算银行三年期调查（国际清算银行，2013），欧元兑美元是迄今为止世界上流动性最强的货币对，2013年的日均交易额为12890亿美元，其次是美元兑日元，交易额为9780亿美元。

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2022-5-26 19:43:20

欧元兑日元也是交易量最大的合约之一，日均成交额为1470亿美元（之前只有英镑、澳元、加元和瑞士法郎）。我们的数据集涵盖2012年1月1日至2012年12月18日这段时间。外汇市场每天24小时活跃，每周7天运作。然而，周末的活动微不足道。EBS Live是一个高级订阅源，每100毫秒提供一次订单快照（与每250毫秒提供一次报价的常规订阅源不同）。我们构建了当最佳出价或最佳询问价格发生变化时事件的点过程。该过程的动力学已被用作高频波动率的代理，并已被多篇论文用霍克斯过程建模（Filimonov和Sornette（2012）；Hardiman等人（2013年）；兰巴迪等人（2015年））。100ms时间分辨率的限制以及这些子间隔内的记录缺失可能会导致点过程校准的偏差。在（Lallouache和Challet，2014）中讨论了这种粗时间分辨率对霍克斯过程拟合的影响。为了解决这个问题，我们使用了相同的随机化程序（Filimonov和Sornette，2012；Rambaldi等人，2015），也就是说，我们从每个时间戳中减去一个均匀分布在间隔中的随机数[0，0.1）s.#每窗口冲击次数无冲击次数最大冲击次数792 0.51 0.61 5欧元720 0.46 0.63 4美元558 0.36 0.70 3表7：每个货币对中检测到的IB总数、每个窗口的IB平均数、没有IB的窗口比例和单个窗口中检测到的IB最大数。我们提出的方法明确设计用于检测和建模本地化的“类冲击”霍克斯过程框架内的非平稳性（IBs）。然而，该方法容易受到其他形式的非平稳性的影响，例如制度变迁或基础强度的缓慢变化（例如。

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2022-5-26 19:43:23

日常影响或时间影响）。为了限制这种动态的副作用，我们将分析的窗口大小限制为一小时。具体而言，从最佳报价变更时间序列中，我们提取了从2012年1月1日UTC 00:20:00开始的一小时窗口。我们只保留那些存在足够数量事件的窗口，即至少有2000个事件的窗口。此外，由于我们希望比较三对的结果，因此我们只保留所有对中都存在足够事件的窗口。这给我们留下了1551个windows foreach货币对，在下文中，我们将始终参考原始数据的子集。平均而言，欧元兑美元的情况下，每个窗口有6394个事件，欧元兑日元和美元兑日元的情况下，每个窗口分别有4169个和3187个事件。我们使用κ=100和w=300应用我们的完整程序。表7总结了每个货币对检测到的IB总数。平均每个窗口约0.3-0.5磅。然而，我们注意到，即使只在一小时内选择小窗口，我们也可以检测到一定数量的IB，其衰减时间τ非常长（大于一小时）。大多数时间间隔为06:30 08:00和12:00-15:00。第一个时间间隔对应于外汇市场欧洲时段的开始（伦敦时间07:00）和欧洲股市的开放（伦敦时间08:00）。第二次是美国会议开始（伦敦时间12:00）和美国股市开盘（伦敦时间14:30）。因此，这些冲击似乎主要反映了一天中的时间效应，因此我们决定将其从分析中删除。

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