在这种情况下，鞅基算法不可用，Lemor Gobet-Warin算法使用上述六个基函数运行。我们在所有情况下使用∧out=10000和∧in=100个样本。总的来说，该表显示，在这个5维示例中，非常紧密的95%置信区间可以通过原始-对偶算法计算，尽管输入近似算法\\n 40 80 120 160LGW∧reg=10，By=213.7786（0.0028）13.8339（0.0031）13.7597（0.0033）13.8858（0.0041）13.7583（0.0037）13.9482（0.0051）13.7478（0.0043）14.0149（0.0062）LGW∧reg=10，by=213.7783（0.0022）13.8172（0.0024）13.7817（0.0022）13.8443（0.0027）13.7848（0.0024）13.8682（0.0029）13.7855（0.0025）13.8967（0.0033）MB∧reg=10，by=213.7850（0.0022）13.8185（0.0023）13.7898（0.0021）13.7863（0.0025）13.8578（0.0025）MB∧reg=10，by=713.7818（0.0020）13.8140（0.0021）13.7767（0.0020）13.8321（0.0022）13.7789（0.0022）13.8560（0.0025）13.7764（0.0025）13.8902（0.0031）LGW∧reg=10，by=713.7829（0.0017）13.8079（0.0018）13.7867（0.0016）13.8233（0.0018）13.7884（0.0017）13.8320（0.0017）13.0017∧reg=10，（0.0016）13.5664（0.00228）15.5664（0.00228）15.5664（0.00228）15.5441（0.037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.616（0）15（0（0.0037）15（0）15（0）15（0）15（0.0037）15（0）15（0）15）15（0）15（0）15）15（0（0）15）15（0（0）15）15（0（0）15）15）15（0（0）15）15）15（0（0（0）15）15（0（0）15）15）15（0（0）15）15）15）15（0（0（0（0（0）15）15）15）15）15）0028）15.5684（0.0026）15.5482（0.0032）15.6050（0.0033）15.5441（0.0035）15.6364（0.0039）15.5443（0.0039）15.6694（0.0042）表1：欧洲和百慕大案例中不同时间段的定价上限和下限以及输入近似值。括号中是标准d版本。基于非常少但经过精心选择的基函数。

对于使用两个基函数和100条回归路径输入近似值的鞅基算法，即使在时间离散的n=160步中，上下95%置信区间之间的相对误差约为0.7%。当应用七个基函数和1000条回归路径时，它可以进一步降低到0.5%以下。如果用相同的基函数集对Lemor-Gobet-Warinalgorithm进行输入近似，则Primal-dual算法可能会产生与鞅基算法相同长度的置信区间。然而，在我们的模拟研究中，回归路径的数量必须增加1000倍，以获得与鞅基算法计算的输入近似具有相同质量的输入近似。因此，我们的数值结果证明了鞅基算法的巨大减差效果。在百慕大期权的情况下，当输入近似值由Lemor Gobet-Warinalgorithm用6个基函数和100万条回归路径计算时，Primar-dual算法仍然会产生95%的置信区间，相对宽度小于1%f，最多n=160个时间步。5非凸生成元的情况在本节中，我们放弃了关于生成元f的凸性的假设，只假设这些假设是有效的。在这种情况下，Yc的置信边界的构造可以基于凸生成器和凹生成器对f的局部近似。5.1上界第一步是上界的构造。对于固定i=0，N- 1我们假设在某种近似下（~Yj，~Zj）j=i。。。，N-1 of（Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j=i。。。，N-这是给你的。这种近似可以用任何算法重新计算。

我们仅假设近似值是经过调整且令人满意的N-1Xj=i | | Yj |+DXd=1α（d）j | | Zd，j |！J< ∞.这种容许输入近似的集合用Ai表示。我们现在选择了一种测量函数：Ohm ×{0，…，n}×R×RD×R×RD→ r具有以下特性：a）hup（·，~y，~z；y，z）适用于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×RD.此外，hupsatis fies the stochastic Lipschitz条件| hup（i，~y，~z；y，z）- hup（i，y，z；y′，z′）|≤ α（0）i | y- y′|+DXd=1α（d）i|zd- z′d|对于每一个（~y，~z），（y，z），（y′，z′）∈ R×RD（具有与f相同的随机Lipschitz常数）。b） hup（i，~y，~z；y，z）在（y，z）中是凸的，hup（i，~y，~z；0，0）=0表示每个（~y，~z）∈ R×RD和hup（i，~y，~z；~y）- y、 ~z- z）≥ f（i，y，z）- f（i，~y，~z）对于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×R.重新标记5.1。给定hup和近似值（~Yi，~Zi），我们可以定义一个新的生成器fup（i，y，z）：=f（i，~Yi，~Zi）+hup（i，~Yi，~Zi；~Yi）- y、 ~z- z） 。然后fup（i，y，z）在（y，z）中是凸的，并且支配原始生成器f，即fup（i，y，z）≥f（i，y，z）。此外，E[|fup（i，Yi，Ei[βi+1Yi+1]）- f（i，Yi，Ei[βi+1Yi+1]）|]≤ 2E“α（0）i | Yi- Yi |+DXd=1α（d）i | Zi- Ei[βi+1Yi+1]|#，这表明——在真解（Yi，Ei[βi+1Yi+1]）下进行评估——辅助生成器Fupap接近真生成器f，因为ap近似（~Y，~Z）接近真解。一个通用的选择是函数h | up |（i，y，z；y，z）=α（0）i | y |+DXd=1α（d）i | zd |，这显然满足上述性质A）和b）。我们将在下面的数字示例中说明，根据特定问题定制函数HUP，而不是应用一般选择h | up |，可能会有所帮助。给定hup，（~Y，~Z），我们通过Θhupi=max{Si，Θhupi+1定义Θhupi=Θhupi（~Y，~Z）- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+fi（~Yi，~Zi）i+hup（i，~Yi，~Zi；~Yi）- Θhupi，Θ子- βi+1Θhupi+1+βi+1Yi+1- Ei[βi+1Yi+1]）i} ，（18）在Θhupn=Sn处启动。

然后，我们得到以下关于Θhupi（ΘY，ΘZ）的p值极小化问题。定理5.2。对于每一个i=0，n、 Yi=essinf（~Y，~Z）∈艾伊[Θhupi（ΘY，ΘZ）]。此外，最小化对由（Y）给出*j、 Z*j） =（Yj，Ej[βj+1Yj+1]），这甚至满足了路径最优原则。证据我们定义了一对独立的可积过程（~Y，~Z），并定义了Yupj，j≥ i、 asYupj=max{Sj，Ej[Yupj+1]+[f（j，~Yj，~Zj）+hup（j，~Yj，~Zj；~Yj-Yupj，~Zj-Ej[βj+1Yupj+1]）]j} ，Yupn=Sn，这使Yupi感到满意≥ 根据命题2.3中的比较结果。然后，将Yi替换为Yupi的应用程序3.1产生Ei[Θhupi（ΘY，ΘZ）]≥ 尤皮。因此，易≤ essinf（~Y，~Z）∈艾伊[Θhupi（ΘY，ΘZ）]。现在需要证明yj=Θhupj（Y·，E·[β·+1Y·+1]）=：Θhup，*j、 P——几乎可以肯定的是，对于每个j=i，n、 对于j=n来说，这当然是正确的。我们通过归纳法Θhup得到时间倒转，*j=max{Sj，Yj+1- （Yj+1）- Ej[Yj+1]）+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j+hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；Yj- Θhup，*j、 Ej[βj+1Yj+1]- βj+1Yj+1+βj+1Yj+1- Ej[βj+1Yj+1]）j} =max{Sj，Ej[Yj+1]+（f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）+hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；Yj- Θhup，*j、 （0）j} 当hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；0，0）=0时，我们观察到Yjalso解了上述方程。因此，通过唯一性（由于hup的Lipschitz假设），我们得到Yj=Θhup，*j、 5.2下界a值过程为Yi的最大化问题可以通过凹形生成器从下方包围FFO来类似地构造。主要区别在于，取代第3节的结果，我们现在依赖于凹面情况的以下结果，该结果在本节末尾得到了证明：定理5.3。假设f在（y，z）中是凹的。（i） 然后，对于每一个i=0。

，n，Yi=essinfM∈Messinf（r，ρ）∈用户界面((-f） #）Ei[θupi（r，ρ，M）]，其中θupi（r，ρ，M）=maxk=i，。。。，nΓi，k(-R-ρ） Sk+k-1Xj=iΓi，j(-R-ρ)(-f） #（j，rj，ρj）j1+rjJ- （Mk- Mi）。极小值（即使在路径最优的意义上）由（r）给出*j、 ρ*j） j≥令人满意- R*jYj- ρ*JEj[βj+1Yj+1]+(-f）#（j，r）*j、 ρ*j） =f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）（19）和M0，*是（YjΓi，j）的Doob分解的鞅部分(-R*, -ρ*))J≥i、 （ii）给定停止时间τ∈与鞅（M，M）∈ M1+D，对于i，定义θlowj=θlowj（τ，M，M）≤ j<τviaθlowj=θlowj+1- （Mj+1）- 97f，β+j+low1- （Mj+1）- （美赞臣）j、 θlowτ=Sτ。那么，Yi=esssupτ∈\'siessup（米，米）∈M1+DEi[θlowi（τ，M，M）]三元组（τ*i、 M0，*, M*),τ在哪里*我在（4）和M0中定义，*, M*分别是Y和βY的Doob鞅。这一结果与凸情况并不完全对称，因为在较低载波处的反射（即应用最大算子）是凸的。注意，如果f本身是凹的，那么定理5.3中的上界和下界比定理5.2中的上界和由n ext构造的一般下界更可取。我们用满足与hupbut相同性质的hlowany映射表示，条件b）替换为b’（i，~y，~z；y，z）在（y，z）中是凹的，hlow（i，~y，~z；0，0）=0表示每（~y，~z）∈ R×RD，andhlow（i，~y，~z；~y- y、 ~z- z）≤ f（i，y，z）- f（i，~y，~z）对于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×RD.一般的选择是nowh | low |（i，~y，~z；y，z）=-α（0）i|y|-DXd=1α（d）i | zd |。给定hlow，一个p-air自适应过程（~Y，~Z）和一个停止时间τ∈“Swe de fineΘhlowi=Θhlowi（~Y，~Z，τ）通过Θhlowi=Θhlowi+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+fi（~Yi，~Zi）i+hlow（i，~Yi，~Zi；~Yi- Θhlowi，ΘZi- βi+1Θhlowi+1+βi+1Yi+1- Ei[βi+1Yi+1]）i、 （20）对于在Θhlowτ=Sτ处开始的i<τ。

利用定理5.3和与定理5.2相同的参数，我们得到：定理5.4。对于每一个i=0，n、 Yi=esssupτ∈\'siessup（~Y，~Z）∈AiEi[Θhlowi（~Y，~Z，τ）]。此外，最小三元组由（Y）给出*j、 Z*j、 τ*) = （Yj，Ej[βj+1Yj+1]，τ*i） 这甚至满足了路径优化原则。（我们记得τ*我在第（4）款中有定义。例5.5。对于一般选择h | up |和h | low |，我们可以应用命题3.2，以明确（18）和（20）中的递归公式。他们读Θh | up | i=maxnSi，supr∈{-α（0）i，α（0）i}1+r我Θh |向上| i+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+f（i，~Yi，~Zi）i+DXd=1 |Zd，i- βd，i+1Θh | up | i+1+βd，i+1ΘYi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|我o、 Θh | low | i=inf∈{-α（0）i，α（0）i}1+r我Θh |低| i+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+f（i，~Yi，~Zi）我-DXd=1α（d）i |Zd，i- βd，i+1Θh |低| i+1+βd，i+1ΘYi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|我.相应的上界和下界的主要优点是，它们可以一般地计算，而不需要关于f的任何额外信息（例如凸生成器一节中要求的凸共轭）。然而，这种通用方法是有代价的。事实上，考虑到Lipschitz过程α（d）i，选择h | up |，h | low |可以显示n，从而导致所有可容许函数hup，hlow，即Ei[h | up | i（| Y，| Z）]≥ Ei[Θhupi（ΘY，ΘZ）]每对（ΘY，ΘZ）∈ Ai，和下限类似。在实践中，当D较大且ap近似值Zjof Ej[βj+1Yj+1]不是很好时，一般界限可能过于粗糙。因此，通常我们建议选择函数hup和hlow，使hup（j，~Yj，~Zj；y，z）和hlow（j，~Yj，~Zj；y，z）在（y，z）-坐标系中接近于零的邻域中，其中期望残差（~Yj）- Yj，~Zj- Ej[βj+1Yj+1]）将被典型地定位。我们用定理5.3的证明来结束这一节。定理5.3的证明。

（i） 给定（r，ρ）∈ 用户界面((-f） #）和j=i，n、 k=j，n、 定义j（k，r，ρ）=EjΓj，k(-R-ρ） Sk+k-1Xl=jΓj，l(-R-ρ)(-f） #（l，rl，ρl）l1+rlL然后，选择采样定理产生每个停止时间τ∈“s和每个鞅∈ MYi（τ，r，ρ）=Ei“Γi，τ(-R-ρ） Sτ+τ-1Xl=iΓj，l(-R-ρ)(-f） #（l，rl，ρl）l1+rlL- （Mτ）- （密歇根州）#≤ Ei[θupi（r，ρ，M）]。与定理3.5的证明的第一部分相同的论点现在由凹度thatYi（τ，r，ρ）表示≥ 易。因此，Ei[θupi（r，ρ，M）]≥ 易。现在我们表示YjΓi，j的Doob鞅(-R*, -ρ*) 到了M0，*对于j=i，n、 选择apair（r*, ρ*) ∈ 用户界面((-f） #）满足（19）。这样的一对通过引理3.4再次存在。定义θ*j:=θupj（r）*, ρ*, M0，*), j=i，n、 我们通过对j=n的归纳来说明，i、 那Yj=θ*j、 首先注意Yn=Sn=θ*n、 为了证实j=i的索赔，N- 1我们首先观察到，*K- M0，*j=k-1Xl=j（Yl+1Γi，l+1(-R*, -ρ*) - El[Yl+1Γi，l+1(-R*, -ρ*)])=K-1Xl=jΓi，lYl+1- El[Yl+1]- (ρ*l）（βl+1Yl+1）- El[βl+1Yl+1]）l1+r*L对于k=j，n、 因此，θ*j=maxk=j，。。。，nΓj，k(-R*, -ρ*)Sk+k-1Xl=jΓj，l(-R*, -ρ*)((-f） #（左，右）*l、 ρ*l） +（ρ）*l）（βl+1Yl+1）- El[βl+1Yl+1]）L- Yl+1+El[Yl+1]1+r*Ll！=麦克斯{Sj，θ*j+1- Yj+1+Ej[Yj+1]+(-R*jθ*J- (ρ*j）βj+1θ*j+1+(-f）#（j，r）*j、 ρ*j） +（ρ）*j）（βj+1Yj+1）- Ej[βj+1Yj+1]））j} 。通过归纳假设和（19）我们得到θ*j=max{Sj，Ej[Yj+1]+（f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）+r*j（Yj）- θ*j） )j} 。由于Yjis是这个方程的唯一解，我们得出结论θ*j=Yj。（ii）固定（M，M）∈ M1+Dandτ∈“是的。然后，通过f的凹性，我们在Ej[θlowj（τ，M，M）]，i处观察到类似于定理3.1的结果≤ J≤ τ、 是无反射BSDE的子解，具有生成器f和终端时间τ。后者的解用y（τ）jin命题2.2表示。

因此，通过命题2.3和命题2.2Ei[θlowi（τ，M，M）]]≤ Y（τ）i≤ 易。为了证明（τ）的路径最优性*i、 M0，*, M*) 在证明理论的过程中。1.类似的归纳论证表明，对于j=i，τ*我- 1θlowj（τ）*i、 M0，*, M*) = Ej[Yj+1]+f（j，θlowj（τ）*i、 M0，*, M*), Ej[βj+1Yj+1]）j、 同样，通过f的Lipschitz连续性，这意味着θlowj（τ*i、 M0，*, M*) = Yj。5.3数值示例选择函数HLOW和hupare后，可根据定理5.2和5.4设计一种计算函数区间的算法，类似于4.1中针对凸情况的原始-对偶算法。我们首先在例2.1（ii）的上下文中说明该算法。对于基础，我们选择与第4.2节相同的五维几何布朗运动，除了T=1，漂移和无风险率等于R=0.02。（欧洲）索赔的赔付金额为byGn（x）=mind=1，。。。，Dxd。对于默认风险函数Q，我们假设有三种情况，即高风险、中等风险和低风险：存在阈值vh<VLAN比率γh>γL，即Q（y）=γh或y<vh和Q（y）=γL或y>vl。在[vh，vl]上，Q线性插值。由此得到的f函数f是Lipschitz连续的，但通常既不凸也不凹。Lipschitz常数α（0）的临界值是VH和vl中f的左导数和右导数的绝对值。在实现中，我们坚持通用的方法-h | low |（i，y；y）=h | up |（i，y；y）=α（0）| y |，使用非线性与本例中的Z部分无关。我们选择h=54，vl=90，γh=0.2，γl=0.02。为了计算y，我们使用带有两个基函数的Lemor Gobet-Warin算法，1和E[Gn（Xn）|Xi=x]和∧reg=100000。此外，∧out=4000，∧in=1000。在没有违约风险的情况下，索赔的价值为78.37。

表2 disp列出了不同时间离散化和回收率δ的价格上限和下限。正如预期的那样，较小的回报率会导致较小的期权价值。在所有情况下，置信区间的相对宽度均远低于0.5%。对于较大的δ值，界限更为严格：δ值越大，定价问题的非线性越小，Lipschitz常数越小（α（0）=0.41,0.27,0.12，δ=0,1/3,2/3）。与第4.2节的示例相比，边界对时间离散化的依赖性要小得多。这是因为，与信贷风险文献中许多BSDE的情况一样，没有可近似计算的Z部分h，见Crèepey et al.（2013）；亨利·劳德尔（2012）。总之，在这个例子中，通用方法非常有效。最后，我们回顾第4.2节的例子。对于输入近似，我们运行鞅基算法，其中包含Y和1000个回归路径的七个基函数。基于以下hlowandhup选择，使用∧in=∧out=1000条路径计算最大五个Black Scholesstocks的Eu ropean看涨期权的置信区间。

对于完全通用的实现，我们采用-h | low |（i，~y，~z；y，z）=h | up |（i，~y，~z；y，z）=Rb | y |+max{- u|，| Rl- u|}σXd=1 | zd |。（0.0068）71.0 0 0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74（0.0065）74.22125（0）74.22（0）74（0）74（7）74（0.0065）74（0）74（0）74）7）74.22）74（0）74（0）74（0）74（0）74）74）74（0）74）74）74（7）7）74（0（7）7）74）74（7）74（0.10）7）7）74（0（0.0065）74（0）74）74）74（0）7）7）74（0（0）7）74）74（0）7）7）7）74）74）64（0.0057）76.3886（0.0057）76.3416（0.0059）76.3943（0.0058）76.3290（0.0061）76.3814（0.0059）表2：上表以及不同回收率和时间离散化的较低价格界限。标准偏差在括号内。40 40 80 120 160完全通用的13.3604（0.013 2）14.1774（0.0169）12.7905（0.0332）14.7496（0.047 7）14.7496（0.047）14.7496（0.047）14（0.047）14（0.0332）14（0.0332）14（0.0332）14（0.0332）14）14（0.7496（0.047）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14（0.047）14）14）14（0.047）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14（0（0.047）14）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14）14）14）14（0（0（0.047）14（0.047）14）14傅氏家族半泛型算法。S标准偏差出现在b球拍中。对于半通用的imp元素，我们选择以下（i，y，z；y，z）=Rly+u- RlσXd=1zd- （Rb）- Rl）y-σXd=1zd！-,hup（i，~y，~z；y，z）=Rly+u- RlσXd=1zd+（Rb- Rl）y-σXd=1zd！+。这种选择仅部分利用了发电机的结构。它可以应用于（y，z）加上非减量（Rb）的线性函数的任何发生器- （y，z）的线性组合的Rl）-Lipschitz连续函数。Lipschitz函数的特殊形式不用于hlowand hup的构造，但是，当然，线性组合的系数必须以明显的方式调整到生成器。

对于这种半泛型情况，ΘhupandΘhlow的路径递归公式可以在时间上明确化，类似于在E x示例5.5中讨论的泛型情况。表3显示了期权价格Yas的低偏差和高偏差估计及其经验标准差。我们观察到，在这个例子中，泛型边界并不令人满意。95%置信区间的相对宽度在n=40时为6.5%左右，在n=160时为65%以上。这可以通过以下事实来解释：Ei[βi+1Yi+1]的近似值（用两个基函数表示）还不够好。由于在h | low |和h | up |的定义中出现了spd=1 | zd |，因此| Z的质量对通用边界起着非常重要的作用。在半泛型设置中，形式（y）的表达式-σPd=1zd）±在hupand和Hlow中，考虑到Ei[βi+1Yi+1]的近似误差，用＠Zi表示更有利。因此，对于n=40，半通用实现的收益率有更好的95%置信区间，相对宽度约为1%，对于n=160时间步，仍然小于2.5%。总的来说，这个例子表明，如果应用于OD而不是优秀的近似（~Y，~Z），特别是当生成器的Z变量为高维时，通用边界可能过于粗糙。尽管如此，如果在选择hupand hlow时包含了一些关于发电机的信息，仍然可以根据相同的应用程序（~Y，~Z）获得非常可接受的置信区间。在本附录中，我们考虑由布朗运动W驱动的BSDE，形式为Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs。（21）我们假设这对（f，ξ）是El K arou i等人（1997）第18页意义上的标准参数，即。

平方可积条件和f上的一致Lipschitz条件是有效的。此外，f在（y，z）中是凸的。然后，根据El Karoui等人（1997）中的命题3.4，Yt=esssup（r，ρ）∈Ut（f#）Eγt，t（r，ρ）ξ-ZTtγt，s（r，ρ）f#（s，rs，ρs）dsFWt,where（FWt）t∈[0，T]是驱动布朗运动产生的强化过滤，γT，s=expZstrudu+Zstρ乌德乌,而上确界在赛特上运行（f#）：=（rs，ρs）s≥可预测的；中兴通讯[f#（s，rs，ρs）]ds<∞.这是理论3中原始优化问题的无反射连续时间模拟。5.在布朗环境中。现在，我们推导出一个连续时间版本的路径方法，来解决T heorem 3.1中的du al minimation问题。一方面，这个连续时间版本进一步说明了在离散时间的上界构造中使用（1+D）维鞅的必要性。另一方面，它可以作为设计替代上限算法的起点。我们将使用Malliavin演算中的一些基本工具。关于相应的定义和符号，我们参考Nualart（2006）。为了简化符号，我们假设驱动布朗运动是一维的。给定一个随机过程θ，使得θtisMalliavin对a.e.t.可微∈ [0，T]，我们用Dθ表示θ的马利雅文导数。请注意，磁场（Dsθt）s，t∈[0，T]几乎在[0，T]的所有地方都有定义，因此没有很好地定义Dtθtof Dsθ的轨迹。因此，我们将使用单侧轨迹（D+θ）t，如Nualart（2006）第173页中介绍的p=2。现在给出一个鞅，比如MT∈ D1,2，（即。

随机变量MTis Malliavin可微分（与平方可积Malliavin导数），我们说一个可能不适应的过程θ是- dθt=f（t，θt，（d+θ）t）dt- 如果E[RT|θT|dt]<∞, （D+θ）特克斯主义者，f（·，θ·，（D+θ）·）∈ L1，2，每t∈ [0，T]θT=ξ+ZTtf（s，θs，（D+θ）s）ds- （MT）- Mt）。现在假设θ是某个鞅的M-解，比如MT∈ D1,2。定义y=E[θt | FWt]，~Zt=E[（D+θ）t | FWt]和cs=E[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]- f（s，E[θs | FWs]，E[（D+θ）s | FWs]）。然后，~Yt+Ztf（s，~Ys，~Zs）+csds=Eξ+ZTE[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWt=:~Mt.（23）假设ξ∈ D1,2，我们接下来要注意的是Zt=EDtξ+ZTtDtf（s，θs，（D+θ）s）dsFWt. （24）事实上，根据Nualart（2006）中的鞅表示定理和引理1.3.4，有一个经过调整的过程u∈ L1,2例如mt=M+ZtusdWs。然后，通过命题1.3.8和与Nualart（2006）中命题3.1.1相同的论点，（D+θ）t=Dtξ+ZTtDtf（s，θs，（D+θ）s）ds-ZTtDtusdWs。最后一个积分是通过被积函数的自适应性和平方可积性得到的鞅增量。因此，采用条件期望收益率（24）。现在，我们可以将zt与鞅M联系起来，后者在（23）中定义。根据克拉克-奥肯公式（Nualart，2006，提案1.3.14），我们得出-■Y=ZtE博士ξ+ZTE[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWrdWr=ZtEDrξ+ZTrE[Drf（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWrdWr=ZtEDrξ+ZTrDrf（s，θs，（D+θ）s）FWrdWr=ZtZrdWr，其中我们使用Nualart（2006）的命题1.2.8来交换Malliavin导数和条件期望，以及（24）。由于∧YT=E[θT | FWT]=ξ，我们得出结论，多亏了（23），（~Y，~Z）解出了BSDEYT=ξ+ZTt（f（s，~Ys，~Zs）+cs）ds-ZTtZsdWs。通过f的凸性，我们观察到cs≥ 因此，通过比较定理（见El Karoui et al.，1997，定理2.2），我们最终得到了E[θt | FWt]＝∧Yt≥ 嗯。最后，El Karoui等人中的命题5.3。

（1997）表明，在f和ξ的一些技术条件下，BSDE（21）的唯一适配解（Y，Z）满足Zt=（D+Y），我们从现在开始假设。特别地，对于M=R·ZsdWs，Y是（22）的M-解。综上所述，我们得出以下结论：命题A.1。假设El Karoui等人（1997）关于（f，ξ）的命题5.3的假设有效。然后，Yt=essinfθE[θt | FWt]，其中，最大值运行在这些过程θ的集合上，这些过程θ是（22）f或某些鞅M的解，如MT∈ D1,2。将这一结果与定理3.1中的离散时间结果进行比较，我们立即发现了一个重大差异：在连续时间中，只需要错误地选择一维鞅，而在离散时间中，还需要选择D维鞅M。这种现象很容易解释。首先请注意，在大多数技术条件下，（D+θ）t=lim↓0Zt+tDsθt+ds=lim↓0Wt+- Wtθt+-Wt+- Wt θt+,其中钻石表示芯积，见Di Nunno等人（2009）的定理6.8。右侧的第一项对应于表达式βi+1θupi+1in（5），当βi+1（ti+1-ti）等于[ti，ti+1]上的截断布朗增量。右边的第二项没有条件期望，因为Wick产品与条件期望互换，即Wt+- Wt θt+FWt= EWt+- WtFWt E[θt+| FWt]=0，参见Di Nunno等人（2009）中的引理6.20。因为我们不能期望Wick乘积βi+1 θi+1可以用封闭形式计算，这是一个具有零条件期望的通用项，即鞅增量Mi+1- Mi在（5）中减去。由于f的凸性，用零条件期望减去这个通用项，将递归（5）的解向上推。参考访问。阿兰科，M.阿维拉内达。

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