BSDEs的一种原对偶算法

2022-5-5 09:31:25

稍后将详细说明适当的可集成性和连续性假设。特例f≡ （1）中的0是著名的百慕大选择估值递归。金融危机之后，人们对定价中的“小”n的线性度越来越感兴趣。这些都是由于交易对手风险或娱乐风险等原因造成的，并且在实践中基本上被忽略了。在BSDE文献及其早期定价应用的基础上，如德国萨尔布兰大学数学系Postfach 151150，D-66041 Saarbr¨ucken，bender@math.uni-某人。判定元件；schweizer@math.uni-某人。德。感谢德意志银行在BE3933/5-1赠款项下提供的财政支持。南加州大学数学系，加利福尼亚州洛杉矶市卡普104号佛蒙特大道南3620号，邮编90089-2532，jiazhuo@usc.edu.asBergman（1995年）、Duffee等人（1996年）或El Karoui等人（1997年）中的例子表明，被表述为BSDE的定价问题的数量——因此具有形式（1）的离散化——正在稳步增长。最近的例子包括融资风险（Laurent et al.，2012；Cr\'epey et al.，2013）；交易对手风险（Cr\'ep ey et al.，2013；Henry Labord\'ere，2012）；模型不确定性（Guyon和Henry-Labord\'ere，2011；Alanko和Avellan eda，2013），以及对冲交易不足成本（Guyon和Henry-Labord\'ere，2011）。在其中一些例子中，非线性取决于选项的delta或gamma，可通过适当选择权重β将其纳入离散时间设置中。

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2022-5-5 09:31:28

本论文的目的是为这些问题提供一个统一且数值有效的框架来计算价格上界和下界——类似于著名的百慕大期权定价的原始界。在各种正则条件下，文献中对布朗运动驱动的BSDE时间离散（1）引起的误差进行了深入分析。我们指的是张（2004）；Bouchard和Touzi（2004年）；戈贝特和拉巴特（2007）；Gobet和Makhlouf（2010）针对无反射情况（对应于Si≡ -∞ 对于i<n）和Bally和Pag`es（2003）；马和张（2005）；Bouchard和Chassagneux（2008年）对该案进行了反思。我们强调，本文中的结果也可以应用于C hassagneux和Richou（2013）提出的带二次增长发生器的布朗运动驱动的BSDE的时间离散格式，Bouchard和E lie（2008）提出的带跳跃的BSDE的时间离散格式，以及Fahim等人（2011）提出的全非线性抛物型偏微分方程的时间离散格式。用数值方法求解（1）型方程的标准方法是所谓的近似动态规划方法。这里，（1）中的条件期望被一些近似条件期望算子代替。这种方法的主要困难在于，在时间倒退的每一步中，都必须用数值计算条件期望值，以提前一步的近似解为基础。这会导致条件透视的高阶嵌套。因此，至关重要的是，近似条件期望算子可以在不增加计算成本的情况下受益多次。

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2022-5-5 09:31:32

在（高维）布朗运动驱动的BSDE背景下应用和分析的技术包括最小二乘蒙特卡罗（Lemor等人，2006年；Bender和Denk，2007年）、量化（Bally和Pag`es，2003年）、Malliavin蒙特卡罗（Bouchard和Touzi，2004年）、维纳空间上的立方法（Crisan和Manolarakis，2012年）和稀疏网格法（Zhang等人，2013年）。尽管这些不同方法的收敛速度在文献中是可用的，但在实际相关的预极限情况下，数值近似的质量通常很难评估。推广Andersen和Broadie（2004）在百慕大期权定价中引入的原始-对偶方法，我们建议将近似动态规划的数值解作为输入，以便用蒙特卡罗方法构造Yvia的置信区间。简而言之，其基本原理是找到一个最大化问题和一个值为Y的最小化问题，对于这两个问题，最优控制可用真解（Yi）i=0，。。。，nof动态程序（1）。使用近似解而不是真解，然后对这两个优化问题产生次优控制。如果近似动力学程序中的数值程序成功，这些控制接近最优，并导致y的严格上下界。上下界的无偏估计量最终可以通过普通蒙特卡罗计算，这一结果为Y提供了一个置信区间。Bender和Steiner（2013）为BSDE提供了一个不同的后验标准，它更适合于定性收敛分析，而不是推导Y上有定量意义的界限。

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2022-5-5 09:31:35

因此，这两种方法是互补的。本文的组织结构如下：在第2节中，我们简要讨论了动态规划方程（1）的一些基本性质，并展示了它是如何在我们的两个数值示例中产生的，即融资风险和交易对手风险。凸生成器f的情况在第3节中讨论。第3.1节我们首先提出了动态规划方程（1）的路径方法，该方法避免了在时间上的反向递归中对条件期望的评估。这种路径方法依赖于（D+1）维鞅的选择，并导致（1）的超解的构造和值过程为Yi的鞅上的最小化p问题。那么我们也可以把经典的凸性问题称为凸性问题。这种表示可以被认为是连续时间，反映了E l Karoui等人（1997）关于连续时间、布朗运动驱动的无反射BSDE的结果。如果我们认为这个最大化问题是首要问题，那么路径方法可以解释为信息松弛意义上的对偶最小化问题。这种二元性首先由罗杰斯（2002）和豪夫与科根（2004）在百慕大期权定价的背景下独立引入，后来由布朗等人（2010）扩展到一般的离散时间随机控制问题。最后，在第3.3节中，我们讨论了边界的紧密性如何取决于其构造中使用的输入应用程序的质量。在第4.1节中，我们解释了如何利用最大化和氨化问题的Yas表示来构建Yvia MonteCarlo模拟的置信区间。

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2022-5-5 09:31:38

该算法推广了Andersen和Broadie（2004）从最优停止问题（即f情况）得到的pr im al对偶算法≡ 0）对于凸生成器的情况。我们还提出了一些通用的控制变量，这些变量在我们的数值例子中被证明是强大的。第4.2节给出了欧洲和百慕大期权在不同利率下最多五项资产的借贷（融资风险）定价的数值示例。为了构造输入近似值，我们应用了L emor等人（2006年）的最小二乘蒙特卡罗算法及其Bender和Steiner（2012年）的鞅基变体，其中只使用了几个（最多七个）基函数。事实证明，在我们的五个维度测试示例中，这足以实现95%的置信区间，且置信下限和置信上限之间的相对误差通常小于1%。对于非凸生成器f，我们在第5.1节和第5.2节中建议应用近似动力学程序的输入近似，以便构造一个辅助生成器fup，它是凸的且支配f，以及另一个流，它是凹的且支配f。当近似动态程序的输入近似接近真解时，这种构造可以通过（在真解处计算）fu和flow收敛到f的方式完成。第3节的方法和凹面情况下的相应结果可以应用于凸面生成器fu和凹面生成器flow，以建立一般情况下的置信区间。在第5.3节中，我们在两个应用中测试了该算法的性能，一个是前一个fundin g风险示例，另一个是驱动程序既不凹也不凸的对手信用风险模型。同样，可以实现严格的价格限制。

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2022-5-5 09:31:41

Append ix A将离散时间结果设置为其连续时间类似物的上下文。2离散时间反映的BSD供应(Ohm, F、（Fi）i=0，。。。n、 P）是离散时间内的过滤概率空间。我们考虑表（1）中反映的BSDE的离散版本。在本文中，我们做了以下假设：时间增量i、 i=0，N- 1，是正实数。S是一个具有R值的自适应过程∪ {-∞} 就这样-1Xi=0E[|Si{Si>-∞}|] + E[|Sn |]∞.随机字段f：Ohm ×{0，…，n- 1} ×R×RD→ R是可测量的，f（·，y，z）在每一个（y，z）之前被调整∈ R×RD和pn-1i=1E[|f（i，0，0）|]<∞. 此外，还有适应的非负过程α（d），d=0，D证明了随机Lipschitz条件| f（i，y，z）- f（i，y′，z′）|≤ α（0）i | y- y′|+DXd=1α（d）i|zd- z′d|代表每一个（y，z），（y′，z′）∈ 最后，β是一个有界的、适应的RD值过程，以下关系成立：α（0）i<i、 DXd=1α（d）i |βd，i+1 |≤i、（2）一个简单的收缩映射论证表明，在这些假设下，存在唯一的适应和可积过程Y，从而（1）是满足的。示例2.1。为了说明这种情况，让我们介绍两个非线性定价问题，这两个问题也出现在我们的数值实验中：借贷利率不同的定价，以及交易对手信用风险简化模型中的定价。回到伯格曼（1995），第一个是BSDE文献中的标准例子。Laurent等人（2012年）最近强调了其在融资风险方面的实际意义。金融危机之后，人们对cr编辑风险模型的兴趣也有所增加，类似于第二个例子，s eePallavicini等人（2012年）；克瑞佩等人。

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2022-5-5 09:31:45

(2013); Henry Labord`ere（2012）及其参考文献。（i）让金融市场有两种无风险和无风险资产。therisky资产的价格。XDtevolve根据Xdt=Xdtudtdtt+DXk=1σd，ktdWkt！，其中W是标准的D维布朗运动，其中u和σ是可预测的有界过程。此外，假设σ是有界逆的a.s.可逆的。过滤由通常的增强布朗过滤给出。这两种无风险资产的短期利率是有界的、可预测的，并且是可预测的≤ 加拿大广播公司。s、这是借贷利率，也就是说，投资者在第一种情况下只能持有正头寸，在第二种情况下只能持有负头寸。将一个s q uare可积欧式索赔h（XT）与到期日T联系起来。众所周知，h（XT）的复制组合的特征是两个过程Yt∈ 兰德Zt∈ 解决BSDEdYt=-f（t，Yt，Zt）dt+Z终端条件为YT=h（XT）的tdWt（3），其中f（t，y，z）=-拉蒂- Zσ-1tut- Rlt“+ （加拿大皇家银行）- （Rlt）Y- Zσ-1t“-,参见伯格曼（1995）或埃尔·卡鲁伊等人（1997）的调查论文。这里，\'-1表示在RDand中只包含一个的向量表示矩阵换位。函数f既是凸函数又是Lipschitz连续函数。我们感兴趣的关键数量是索赔在吉文比时间0时的公平价格tσ-1t对应于t时投资于风险资产的金额向量。离散化时间和采用条件期望给出了Y的形式（1）的递归，见Z hang（2004）；Bouch ard和Touzi（2004年）。在这个欧洲案例中≡ -∞ 对于i<nand Sn≡ h（XT）。Z部分的离散化由Zi=EihWti+1给出-Wtiti+1-tiYi+1i。这对应于Y的马利雅文导数向量，因此自然与德尔塔边有关。鉴于（1），我们因此选择βi+1=（Wti+1）- Wti）/（ti+1- ti）。

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2022-5-5 09:31:48

然而，为了满足条件（2），我们必须将布朗增量截断为某个值。自（Wti+1）- Wti）/（ti+1- ti）是标准偏差阶数（ti+1）的正态随机变量向量- （ti）-, 考虑到Lipschitz连续性和系数，我们可以随着时间离散化的增加，使截断误差变小i=ti+1- tioutside f，参见Lemor等人（2006年）。对于百慕大或美国索赔，（3）由适当的反映BSDE替代。在离散化过程中，Si是ti时锻炼的回报。（ii）第二个例子是toDu ffee等人（1996）提出的交易对手信用风险模型的特例。我们通过假设只有一项利率为RTR的无风险资产可以借贷来改变（i）的设置。此外，我们考虑了一个风险中性的估值框架，即ut=Rt1。给定一个到期日为T的平方可积欧式索赔h（XT），我们用YT表示索赔在T时刻的公平价格，条件是尚未发生违约。索赔的可能违约是通过s topping time建模的，这是强度为Qt的泊松过程的第一次跳跃时间。这里，Qt=Q（Yt）是Yt的递减、连续和有界函数，即，如果索赔的值较低，则违约的可能性更大。如果在时间t发生违约，索赔人将收到分数δ∈ [0,1]当前值Yt。根据杜菲等人（1996）的命题3，价值过程的特征是非线性关系Yt=etZTtf（s，Ys）ds+h（XT）,其中f（t，y）=-(1 - δ） Q（y）y- 蒂蒂。离散化自然会产生一个带有β的（1）型方程≡ 0.然后，条件（2）降低到时间离散化足够精确的要求。动态规划方程（1）意味着解Y也解决了最优停止问题Yi=esssupτ∈锡伊Sτ+τ-1Xj=if（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）J, i=0。

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2022-5-5 09:31:51

，n，其中Si是一组值大于或等于i的停止时间。这个最优停止问题是不寻常的，因为停止时的回报取决于斯奈尔包络e Yj。注意，可以通过选择集合{（i，ω）；Si（ω）=-∞}, 在这种情况下，锻炼从来都不是最好的。因此，我们可以将这个最优s-topping问题中的上确界限制到子集“Si” Siof停止时间τ取值inE（ω）={i；Si（ω）>-∞}. 最佳停车时间由τ给出*i=inf{j≥ 我Sj≥ Ej[Yj+1]+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j}∧ n（4）我们还注意到非线性函数的Yivia最优停止的以下替代表示。提议2.2。对于每一个i=0，n、 Yi=esssupτ∈\'SiY（τ）i此处（Y（τ）j）j≥孤立动态规划方程Y（τ）j=Ej[Y（τ）j+1]+f（j，Y（τ）j，Ej[βj+1Y（τ）j+1]）j、我≤ j<τ，Y（τ）τ=Sτ此外，停止时间τ*i、在（4）中定义的是最佳的。这种表述是以下简单但有用的比较定理的直接结果。对于不受影响的离散时间BSDEs相关比较结果，可在Cohen和Elliott（2010）以及Cheridito和Stadj e（2013）的不同假设集中找到。提议2.3。假设有停车时间σ≤ τ使得对于每个σ≤ τYupi≥ max{Si，Ei[Yupi+1]+f（i，Yupi，Ei[βi+1Yupi+1]）i} 伊洛维≤ max{Si，Ei[Ylowi+1]+f（i，Ylowi，Ei[βi+1Ylowi+1]）i} 是的τ≥ Ylowτ。然后，在现有的假设下，伊洛维≤ Yupia适用于每一种情况≤ 我≤ τ.证据我们定义，对于i=1，NYi=（Yupi）- Ylowi）1{σ≤我≤τ }.这足以证明这一点易≥ 每i=1，n、我们用反导证明这个断言，并注意到它在假设i=n的情况下成立。现在，假设易建联+1≥ 0已显示。

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2022-5-5 09:31:54

然后，在集合{Ylowi>Si}∩ {σ ≤ i<τ}我们通过Lipschitzf假设得到，易≥ 艾未未[Yi+1]+（f（i，Yupi，Ei[βi+1Yupi+1]）- f（i，Ylowi，Ei[βi+1Ylowi+1]））我≥ Ei“易建联+11-DXd=1α（d）i |βd，i+1|我#- α（0）i|易|我≥ -α（0）i|易|i、这就产生了易≥ 0.在片场{Ylowi≤ Si}∪ {i≥ τ} ∪ {i<σ}，不等式易≥ 在第3.1节和第3.2节中，我们讨论了当生成元f在（y，z）中是凸的时，如何构造动态规划方程（1）的“紧”上解和下解∈ R1+D。这些构造分别基于选择合适的鞅和控制过程。在第3.3节中，我们给出了f不依赖于z的特殊情况下的误差估计，它量化了这些选择如何影响结果误差范围的质量。3.1上界首先考虑一种路径方法，由于f的凸性，该方法导致动态规划的上解。粗略地说，这个想法是将所有条件期望从等式（1）中移除，并减去鞅增量，只要条件期望被移除。为此，让我们定义一个一维鞅和一个RD值鞅，使得dxd=1n-1Xi=0E[α（d）i | Md，i+1- 医学博士，i |]我∞.所有这些对（M，M）的集合用M1+D表示。给定（M，M）∈ M1+Dwe通过θupi=max{Si，θupi+1定义非适应过程θupi=θupi（M，M）- （Mi+1）- Mi）+f（i，θupi，βi+1θupi+1）- （Mi+1）- Mi）i} θupn=Sn。（5）一旦选择了鞅，这种递归就可以逐路求解。f上的随机L-ipschitz条件和M上的假设确保θupiis可积。因此，在解决递归之后，我们可以只取一次条件期望，而不是像原始动态程序（1）那样取嵌套的条件期望。

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2022-5-5 09:31:57

利用f的凸性，我们现在将证明Ei[θupi]始终是Yi的上界，并且Yi可以通过适当的鞅选择来恢复。我们记得，可积随机过程V（简称V的Doob鞅）的Doob分解的鞅部分N由ni给出：=i-1Xj=0（Vj+1- Ej[Vj+1]），i=0，n、定理3.1。假设f在（y，z）中是凸的。然后，对于每一个i=0，n、 Yi=essinf（M，M）∈M1+DEi[θupi（M，M）]，其中θup（M，M）由路径动态规划方程（5）定义。此外，马丁格尔（M0，*, M*), 其中M0，*还有M*是Y和βY的Doob鞅，即使在路径控制的意义上也是最优的，即θupi（M0，*, M*) = 易，P-a.s.证据。通过f和max算子的凸性以及鞅性质，我们得到，Ei[θupi]≥ max{Si，Ei[Ei+1[θupi+1]]+f（i，Ei[θupi]，Ei[βi+1Ei+1[θupi+1]]i} 因此，Ei[θupi（M，M）]是（1）的上解，并且通过命题2.3Ei[θupi（M，M）]的比较结果≥ 易。我们现在选择M0，*还有M*分别是Y和βY的Doob鞅，注意（M0，*, M*) ∈ M1+D，因为多亏了（2），DXd=1n-1Xi=0E[α（d）i | Md，i+1- 医学博士，i |]i=DXd=1n-1Xi=0E[α（d）i |βd，i+1Yi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|]我≤ 2n-1Xi=0E[|Yi+1 |]，这是有限的。我们声称θ向上，*i:=θupi（M0，*, M*) = 几乎可以肯定。这将通过对i的反向归纳来说明，i=n的情况是微不足道的。假设这个断言对于i+1是正确的。然后，利用Doob鞅θup的定义，*i=max{Si，Yi+1- （易+1）- Ei[Yi+1]）+f（i，θ向上，*i、 βi+1Yi+1- （βi+1Yi+1）- Ei[βi+1Yi+1]））i} =max{Si，Ei[Yi+1]+f（i，θup，*i、 Ei[βi+1Yi+1]）i} 。根据y变量中f的Lipschitz p性质，一个简单的压缩映射显示θup，*i=Yi，完成证明。前面的定理可用于计算Y上的置信上界。

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2022-5-5 09:32:00

为此，首先选择一个（1+D）维鞅，人们认为它接近（Y，βY）的末日鞅。例如，这可能是（与）Y的近似值的Doob鞅有关，而ich是通过自己选择的算法预先计算出来的。然后求解（5）中的pathwisedynamic程序，最后通过对样本路径进行平均来近似期望值。下文第4.1节讨论了此类实施的细节。在这种方法中出现的一个问题是，路径动态程序在时间上是不明确的，因为θupi出现在方程的两侧。它可以通过Picard迭代求解到给定的精度。在某些情况下，以下关于路径最大化问题的显式表达式是不利的。提议3.2。假设f在（y，z）中是凸的，并且定义y-变量byf#y（ω，i，r，z）=sup{ry中的凸共轭- f（ω，i，y，z）；Y∈ R} 定义为（i，ω，z）f#y:={R∈ Rf#y（ω，i，r，z）<∞} [-α（0）i（ω），α（0）i（ω）]。那么，对于（M，M）∈ M1+d i=0，N- 1，可以将（5）中定义的θupi重写为θupi=max是的，长官∈D（i，ω，zupi（ω））f#y1- R我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- f#y（i、r、zupi）我, （6）其中zupi=βi+1θupi+1- （Mi+1）- Mi）。证据通过凸性，我们得到了f（i，·）=（f（i，·）#y）#r，其中#rde注意到了f#y（i，·）的r变量中的凸共轭。因此，θupi=max是的，长官∈D（i，ω，zupi（ω））f#yθupi+1- （Mi+1）- Mi）+rθupi我- f#y（i、r、zupi）我通过与E l Karoui et al.（1997）第36页类似的论证，在somer实现了上确界*∈ 注意，ω35f∪ {+∞}-通过f#y（ω，i，r，z）=+∞ 对于r/∈ D（i，ω，z）f#y是r中的下半连续的。第2页和第52页，在Rockafellar（1970年）。

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2022-5-5 09:32:04

根据集合D（i，ω，zupi（ω））f#y的有界性，有一个序列rk:=rk（ω）收敛到极限r*= R*（ω）在D（i，ω，zupi（ω））f#ysuch thatsupr的闭包中∈D（i，ω，zupi（ω））f#yθupi+1- （Mi+1）- Mi）+rθupi我- f#y（i、r、zupi）我= 林克→∞θupi+1- （Mi+1）- Mi）+rkθupi我- f#y（i、rk、zupi）我≤θupi+1- （Mi+1）- 米）+r*θupi我- f#y（i，r）*, （祖皮）我,这里的不平等是由于下半连续性。这意味着f#y（i，r*, 祖皮）∞.因此，r*(ω) ∈ D（i，ω，zupi（ω））f#并且它达到了上确界。因此，θupi=max{Si，θupi+1- （Mi+1）- 米）+r*θupi我- f#y（i，r）*, （祖皮）i} 。对于θupi>Siwe，因此得到θupi=1- R*我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- f#y（i，r）*, （祖皮）我.因此，θupii由断言的右侧控制。相反的不平等也可以用同样的方式表现出来。例3.3。在例2.1（i）中，f#y（i，r，z）=zσ-1i（ui+r\'1）和最大化器必须属于该集合{-Rbi，-Rli}，因为f（i，·）=（f（i，·）#y）#r。因此，对于欧式期权的情况，θup的递归在时间上是明确的，读取θupi=supr∈{-Rbi，-Rli}1- R我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- [βi+1θupi+1- （Mi+1）- Mi））]σ-1i（ui+r\'1）我.3.2下边界我们现在开始建造地基。为了用Yi给出的值过程导出最大化问题，我们用f#表示f在（y，z）中的凸共轭，即f#（ω，i，r，ρ）=sup{ry+ρZ- f（ω，i，y，z）；（y，z）∈ R1+D}定义为（i，ω）f#：={（r，ρ）∈ R1+D；f#（ω，i，r，ρ）<∞} DYd=0[-α（d）i（ω），α（d）i（ω）]。我们还定义了（f#）：={（rj，ρj）j≥不适应；N-1Xj=iE[|f#（j，rj，ρj）|]j<∞},注意（f#（j，rj，ρj））j≥（r，ρ）的一个适应过程∈ Ui（f#）。下一个引理表明Ui（f#）是非空的。引理3.4。假设f在（y，z）中是凸的，（y）j≥iis是一个R值适应的可积过程，（~Zj）j≥iis是一个RD值的自适应过程，因此DXD=1n-1Xj=iE[α（d）j | | Zd，j |]j<∞.然后有一对（r，~ρ）∈ Ui（f#）使得对于j=i。

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2022-5-5 09:32:07

. . , N- 1，~rj ~Yj+~ρjZj- f#（j，~rj，~ρj）=f（j，~Yj，~Zj）。证据类似于Cheridito和Stadje（2013）中命题6.1的证明，我们利用Cheridito等人（2012）中定理7.10的可测次梯度的存在性。对于每一个j=i，N-1存在一个Fj可测随机向量（~rj，~ρj），使得f（j，~Yj+y，~Zj+z）- f（j，~Yj，~Zj）≥ ~rjy+~ρJZ每（y，z）∈ R1+D.取上确界（y，z）∈ R1+D，其中一个有<<rj>>Yj+>>ρjZj- f#（j，#rj，#ρj）≥ f（j，~Yj，~Zj）。特别是，（~rj（ω），~ρj（ω））∈ D（j，ω）f#。逆不等式紧随f##=fby凸性而来。所以这仍然是要证明的-1Xj=iE[|f#（j，~rj，~ρj）|]j<∞.通过f的随机Lipschitz性质和D（j，ω）f#的有界性，我们得到-1Xj=iE[|f#（j，~rj，~ρj）|]j=n-1Xj=iE[| | rjYj+ρjZj- f（j，~Yj，~Zj）|]J≤ 2n-1Xj=iE[α（0）jj | | Yj |]+2DXd=1n-1Xj=iE[α（d）j | | Zd，j |]j+n-1Xj=iE[|f（j，0，0）|]j<∞多亏了（2）。下面的结果是El Karoui等人（1997）中命题3.4的离散时间反射模拟。对于离散时间（无反射）BSDE，在Cheridito和Stadje（2013）中，在不同的假设集下，可以找到类似的结果（仅适用于z中的凸生成器）。定理3.5。假设f在（y，z）中是凸的。设θlowi（τ，r，ρ）：=Γi，τ（r，ρ）Sτ-τ -1Xj=iΓi，j（r，ρ）f#（j，rj，ρj）j1- rj其中Γi，j（r，ρ）：=j-1Yk=i1+ρkβk+1k1- rkk、那么，Yi=esssupτ∈\'siessup（r，ρ）∈Ui（f#）Ei[θlowi（τ，r，ρ）]最大化子存在并由任何（r*j、 ρ*j） j≥对于j=i，N- 1，r*jYj+ρ*JEj[βj+1Yj+1]- f#（j，r）*j、 ρ*j） =f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）（7）和τ*第（4）条中定义的国际会计准则。证据修好我∈ {0，…，n}。

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2022-5-5 09:32:10

给定一个停止时间τ∈\'s和一对（r，ρ）∈ Ui（f#）defineyj（τ，r，ρ）：=Ejhθlowj（τ，r，ρ）i，i≤ J≤ τ.然后，Yτ（τ，r，ρ）=Sτ，对于i≤ j<τ，Yj（τ，r，ρ）=Ej[Yj+1（τ，r，ρ）]+（ρjEj[βj+1Yj+1（τ，r，ρ）]+rjYj（τ，r，ρ）- f#（j，rj，ρj））J≤ Ej[Yj+1（τ，r，ρ）]+f（j，Yj（τ，r，ρ），Ej[βj+1Yj+1（τ，r，ρ）]）j、其中，最后的估计是由于f##=f的凸性。现在比较命题2.3和命题2.2的结果（τ，r，ρ）≤ Y（τ）i≤ 易。对于逆不等式，我们首先注意到引理3.4产生了一对过程（r*j、 ρ*j） j≥我∈ Ui（f#）使得（7）成立，因为由（2）DXd=1n-1Xj=iE[α（d）j | Ej[βd，j+1Yj+1]|]J≤N-1Xj=iE[|Yj+1|]<∞.然后，通过定义τ*i、我们为我获得≤ j<τ*iYj=Ej[Yj+1]+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j=Ej[Yj+1]+R*jYj+ρ*JEj[βj+1Yj+1]- f#（j，r）*, ρ*j）j、 As Yτ*i=Sτ*i、我们得出结论：Yi=Yi（τ*i、 r*, ρ*)通过这个动态规划方程的唯一性。重新标记3.6。如果我们认为定理3.5中的表示是“原始”最大化问题，那么定理3.1中的表示可以解释为信息松弛意义下的对偶最小化问题。这种双重方法是针对百慕大方案pricingby Rogers（2002年）和Haugh and Kogan（2004年）引入的，Br own等人（2010年）进一步开发了d iscr ete Timestocstic control问题。的确，给定一个鞅（M，M）∈ M1+D，我们定义M，M:{i，…，n}×n-1Yj=iD（j，ω）f#→ L(Ohm, P），（k，（r，ρ））7→K-1Xj=iΓi，j（r，ρ）（Mj+1）- Mj）+ρj（Mj+1）- （Mj）j1- rjj、然后，对于每一个（τ，（r，ρ））∈\'Si×Ui（f#），Ei[pM，M（τ，r，ρ）]=0。

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2022-5-5 09:32:14

（8）接下来，我们放松控制（τ，（r，ρ））的适应性，并通过T heorem3观察到。5和（8），Yi=esssupτ∈\'siessup（r，ρ）∈Ui（f#）Ei[θlowi（τ，r，ρ）- pM，M（τ，r，ρ）]≤ Ei“maxk=i，…，nmax（rj，ρj）∈D（j，ω）f#j=i，。。。，K-1.θlowi（k，r，ρ）- pM，M（k，r，ρ）#=: Ei[!θi（M，M）]。注意，不等式右边的最大值是按路径取的，这意味着我们现在可以选择预期控制。信息松弛法的基本原理是允许预期控制，但会产生惩罚，这里是pM，M。该方法不会通过（8）惩罚非预期控制。我们说一个点球p*是最优的，如果它以一种方式惩罚预期控制，即在非预期控制下实现路径最大值。这意味着yi=Ei“maxk=i，…，nmax（rj，ρj）∈D（j，ω）f#j=i，。。。，K-1.θlowi（k，r，ρ）- P*（k，r，ρ）#.在目前的设置中，可以在θi（M，M）=θupi（M，M）处显示th。为了说明这一点，首先推导出了∧θi（M，M）的递推公式，然后遵循argumentsbehind命题3.2。特别是，定理3.1表明，最优惩罚由PM0给出，*,M*.3.3误差估计我们现在提供一些凸情况下上下限的误差分析：输入近似的精度如何影响上下限的紧密性？为了简单起见，我们将重点放在β≡ 0.虽然本案例具有明显的限制性，但它涵盖了许多实际利益的应用，如信贷风险文献中出现的BSDE，见Cr’epey等人（2013年）；亨利·劳德尔（2012）。对于下边界d，我们假设次优控制是以完全相同的方式从过程Y的输入近似中导出的，我们在第4节中给出的算法中选择这些控制，参见（9）和（14）。

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2022-5-5 09:32:18

对一般情况的深入分析必然需要对β提出额外的假设，这超出了本文的范围。定理3.7。假设f在（y，z）中是凸的，用M0表示，*Y的Doob鞅。（i）每M∈ Mand i=0，N- 1，Ei[θupi（M）]- 易≤ 工程安装C（i，α（0））maxj=i。。。，n | Mj- M0，*j|,式中c（α（0），i）=1+n-1Yl=i（1- α（0）ll）-1.1+nXj=iα（0）jJ.（ii）设i=0，N- 1.假设（Qj）j=i。。。，N-1是（Ej[Yj+1]）j=i，…，的一个自适应可积近似。。。，N-1和（Yj）j=i。。。，N-1是（Yj）j=i，…，的自适应可积近似。。。，N-1.通过r viarjYj定义一个经过调整的流程- f#（j，rj）=f（j，Yj），j=i，N- 1，（9）和τ：=in f{j≥ 我Sj≥~Qj+f（j，~Yj）j}∧ n、那么，易- Ei[θlowi（τ，r）]≤ 工程安装c（i，α（0），τ）τ ∧（n）-1） Xj=i | | Yj- Yj |α（0）jj+τ-1Xj=iAj（~Qj）- Ej[Yj+1]）++1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]-~Qτ）+式中c（i，α（0），τ）=τ∧（n）-1） Yl=i（1）- α（0）ll）-1，Aj={Sj≥ Ej[Yj+1]+f（j，Yj）j} ，j=i，N- 1.重新标记3.8。在不受影响的情况下，即Si=-∞ 对于i<n，我们有τ=n和Aj= 对于j<n，因此下限估计值简化为toYi- Ei[θlowi（τ，r）]≤ 3 Eic（i，α（0），n）n-1Xj=i | | Yj- Yj |α（0）jJ.在反映的情况下，指示器1AJAN和1Acτ∩与最佳停止时间相比，{τ<n}对应于近似停止时间τ的wron g停止决策。在实践中，当连续值ej[Yj+1]的良好近似值^qjo被应用时，很少会出现这样强的停止决策。因此，尽管最坏情况下的估计表明了这一点，但预计相应的条款在行使日期的数量上不会线性增长。对于最优停止情况下这种直觉的严格陈述，我们参考Belomestny（2011）。证据（i）给定k=0的鞅Mde函数，n和i=0。

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可人4

2022-5-5 09:32:21

K- 1θup，ki（M）=θup，ki+1（M）+fi、马克西≤κ≤nθ向上，κi（M）我- （Mi+1）- Mi），θup，kk（M）=Sk，对于i>k，约定θup，ki=0。反向归纳结合收缩映射参数表明存在唯一解θup，ki（M），使得马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）|< ∞.我们声称通过（5）定义的θupi（M）与maxi一致≤K≤nθ向上，ki（M）。的确，马克西≤K≤nθ向上，ki（M）=maxSi，maxi+1≤K≤nθ向上，ki+1（M）+fi、马克西≤K≤nθ向上，ki（M）我- （Mi+1）- （密歇根州）,马克斯≤K≤nθ向上，kn（M）=Sn。由于这个方程有唯一的解，我们得出结论≤K≤nθup，ki（M）=θupi（M）。特别是，由于定理3.1，Ei[θupi（M）]≤ 工程安装马克西≤K≤nθ向上，ki（M0，*)+ 工程安装马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)|= Yi+Ei马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)|. （10）因此，仍然需要估计（10）右边的最后一项。我们表示θi=m axi≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*) - Mi+M0，*我|。然后θi≤ θi+1+Fi、马克西≤K≤nθ向上，ki（M）- Mi+M0，*我我- Fi、马克西≤K≤nθ向上，ki（M0，*)我+Fi、马克西≤K≤nθ向上，ki（M）- Mi+M0，*我i+fi、马克西≤K≤nθ向上，ki（M）我.因此θi≤ (1 - α（0）i（一）-1.θi+1+α（0）i我|米- M0，*我|,这反过来意味着θi≤N-1Yl=i（1- α（0）ll）-1.θn+nXj=iα（0）jj | Mj- M0，*j|.因此，马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)| ≤ C（α（0），i）maxj=i。。。，n | Mj- M0，*j |。将该估计值与（10）相结合，得出上界的误差估计值。（ii）我们现在讨论下限的估计。首先请注意，引理3.4给出了一个经过调整的过程r，使得（9）成立。As（9）表示rj（ω）∈ D（j，ω）f#，我们观察到在|rj |≤ α（0）j.定义Ylowj=Ej[θlowj（τ，r）]，对于i≤ J≤ τ .

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2022-5-5 09:32:24

然后，在定理3.5的证明中，我们利用r和∧Y之间的关系，得到了Ylowj=Ej[Ylowj+1]+rj（Ylowj）-■Yj）j+f（j，~Yj）j、我≤ j<τ，Ylowτ=Sτ。我们现在回想一下Yj=Ej[Yj+1]+f（j，Yj）j+（Sj- Ej[Yj+1]- f（j，Yj）j） +。因此，我≤ j<τEi[Yj- Ylowj]≤ Ei[Yj+1- Ylowj+1]+2Ei[α（0）j | | Yj- Yj |]j+Ei[α（0）j | Yj- Ylowj |]j+Ei[（Sj- Ej[Yj+1]- f（j，Yj）j） +]作为Sj<~Qj+f（j，~Yj）对于j<τ，我们得到了yi- 伊洛维≤ 工程安装τ -1Yl=i（1- α（0）ll）-1.Yτ- Ilowτ+3τ-1Xj=iα（0）j |Yj- Yj|j+τ-1Xj=iAj（~Qj）- Ej[Yj+1]）+.为了完成证明，现在需要通过定义τYτ来观察- Ilowτ=1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]+f（τ，Yτ）τ- Sτ）≤ 1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]-~Qτ）+α（0）τ| Yτ-~Yτ|τ.4凸情形的原对偶算法4。1算法在本节中，我们解释了当f在（y，z）中是凸的时，第3节的结果如何应用于构造上偏估计、下偏估计和置信区间。马尔可夫设置和输入近似。我们假设我们处于马尔可夫设定中，即f（i，·）=f（i，Xi，·）和Si=Gi（Xi）仅通过RN值马尔可夫过程Xi依赖于ω，其中映射f和G在x分量中是可测量的，由此产生的f和S满足第2节中假设的条件。此外，βi+1被认为与Fi无关。然后，有确定性函数yi（x），qi（x），zd，i（x），d=1，D、使得yi=yi（Xi），Ei[yi+1]=qi（Xi），Ei[βD，i+1Yi+1]=zd，i（Xi）and“n”-1Xi=1|yi（Xi）|+|qi（Xi）|+DXd=1（α（d）i+1）| zd，i（Xi）|！#∞. （11）我们假设这些函数的可测近似▄yi（x），▄qi（x）和d▄zd，i（x）是通过一些数值算法预先计算的，这样可积条件（11）也适用于平铺表达式。

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何人来此

2022-5-5 09:32:27

这保证了以下数值算法中的样本始终是从可积随机变量中提取的。在我们的数值实验中，对（1）中的条件期望应用了最小二乘蒙特卡罗估计来构造这些近似，但也有其他选择。上偏估计量。给定近似值yi（x），~qi（x）和zd，i（x），我们对∧个相关拷贝（Xi（λ），βi（λ）进行采样；i=0，n） λ=1，。。。，∧out of（Xi，βi；i=0，…，n），我们称之为“外部”路径。对于置信上限，我们应用定理3.1。因此，我们希望计算一些鞅M，M的θupi（M，M），它们与Y和βY的未知Doob鞅“接近”。我们将近似值y（X）和βy（X）应用于y和βy。沿着第λ条外路径，从（5）到θupn（λ）=Gn（Xn（λ）），对于i=n- 1.0，θupi（λ）=maxnGi（Xi（λ）），θupi+1（λ）- （~yi+1（Xi+1（λ））- E[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]）+Fi、 Xi（λ），θupi（λ），βi+1（λ）θupi+1（λ）-（βi+1（λ）~yi+1（Xi+1（λ））- E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]）伊奥。（12）然后，根据定理3.1，通过在外路径上平均得到的Y的估计量^Yup:=∧out∧outXλ=1θup（λ），具有正偏差。一般来说，我们不能假设（12）中的条件期望可以用封闭形式计算。相反，我们通过对一组“内部”样本进行平均，对这些条件期望应用条件无偏估计。对于每个i和每个外路径X（λ），在给定Xi=Xi（λ）的条件定律下，生成（Xi+1，βi+1）的∧独立副本。这些样本表示为（Xi+1（λ，l），βi+1（λ，l）），l=1，∧英寸。

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2022-5-5 09:32:30

然后，我们通过^E[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]=λin∧inXl=1yi+1（Xi+1（λ，l））^E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]=λin∧inXl=1βi+1（λ，l）yi 1（Xi+1（λ，l））定义（12）中的条件期望的蒙特卡罗估计。（13）然后，在θupi（λ）的递归构造中，我们在所有情况下用普通蒙特卡罗估计（13）替换（12）中的条件期望，并应用符号θup，ABi（λ）。通过在外路径^Yup，AB:=∧out∧outXλ=1θup，AB（λ）上求平均得到的相应的Yi上界估计量。在这里，上标“AB”代表安徒生和布罗迪，他们在2004年提出了这种方法。通过直接应用Jensen不等式，我们观察到，通过最大算子和f的凸性，^Yup，Ab与^Yup相比，有一个额外的正偏差，这与内部模拟无关。尤其是，^Yup，Ab作为Y的激励因子具有正偏差。对于百慕大期权定价问题，文献中介绍了输入鞅的各种其他构造，例如Belomestny等人（2009年）、Desai等人（2012年）和Schoenmakers等人（2013年）。这些结构也可适用于目前的设计。低偏e刺激。为了构造带有负偏差的y的估计量，我们通过τ（λ）=inf{j沿外部路径（即λ=1，…，λout）确定停止时间τ（λ）≥ 0; Gj（Xj（λ））≥ ~qj（Xj（λ））+F（j，Xj（λ），~yj（Xj（λ）），~zj（Xj（λ）））j}∧ nand控制装置（rj（λ），ρj（λ））j=0，。。。，N-1.∈ U（F#）as∧rj（λ）~yj（Xj（λ））+ρj（λ）的（近似）解~zj（Xj（λ））- F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））=F（j，Xj（λ），~yj（Xj（λ）），~zj（Xj（λ）），（14）参见引理3.4。

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2022-5-5 09:32:35

然后，根据定理3.5，lain Monte Carlo估计器^Ylow，AB=∧out∧outXλ=1θlow，AB（λ），θlow，AB（λ）=Γ0，λτ（λ）（r（λ），ρ（λ））G（)τ（λ），Xτ（λ）（λ））+τ（λ）-1Xj=0Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））j1- ~rj（λ）JYH是一种负面偏见。信任间隔。从带有正偏差的估计量和带有非负偏差的估计量开始，我们可以在额外的平方可积条件下为Yunder构造渐近置信区间，以确保e[|θ低，AB（λ）|+|θ上，AB（λ）|]<∞.为了保证这一点，我们施加了“|G（n，Xn）|+n-1Xi=1|F（i，Xi，0，0）|+|G（i，Xi）|{G（i，Xi）>-∞}#< ∞.这个假设意味着-1Xi=1|yi（Xi）|+|qi（Xi）|+DXd=1（α（d）i+1）| zd，i（Xi）|！#∞ （15）保持而不是条件（11）。因此，我们还将对预先计算的近似值yi（x），~qi（x）和zd，i（x）施加更强的可积性假设（15）。这一附加假设确保了（~rj（λ），~ρj（λ））j=0，。。。，N-1通过（14）定义，现已满足-1Xj=0E[|F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））|]j<∞,另外，如果（14）仅保持近似值，则需要假设平方可积性。现在，对于平方可积和独立副本（θlow，AB（λ），θup，AB（λ）），λ=1，∧在h和d处，Yc的（渐近）95%置信区间I（95）可以通过向上估计量（从下估计量）加（或减去）1.96个经验标准差来构造，即I（95）=^Ylow，AB- 1.96∧out（out）- 1） ∧outXλ=1（θ低，AB（λ）-^Ylow，AB）,^是的，AB+1.96∧out（out）- 1） ∧outXλ=1（θ向上，AB（λ）-^是的，AB）.这种渐近置信区间是有效的，即使对较低估计量应用了与较高估计量相同的外部路径。

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2022-5-5 09:32:38

实际上，缩写I（95）=[a∧out，b∧out]，一个hasP（{Y/∈ I（95）}）≤ P（{Y<a∧out}）+P（{Y>b∧out}）≤ P（{E[^Ylow，AB]<a∧out}）+P（{E[^Yup，AB]>b∧out}）→ 0.95，因为∧超过了精确性，我们首先将两个估计量的偏差，然后将中心极限定理分别应用于这两个项。控制变量。下面的数值实验（参见图1）表明，由于内部模拟s而产生的上界估计量的额外偏差可能在内部路径数量较多（比如1000）的情况下相当大。因此，似乎有必要应用方差修正技术，通过蒙特卡罗来估计（12）中的条件期望。我们提出了一些控制变量，对于这些变量，我们只需要E[βd，i+1]，E[βd，i+1βd′，i+1]，d，d′=1，Dare以封闭形式提供。例如，当βd，i+1（达到常数）由独立布朗运动的截断增量给出时。在这种情况下，我们在给定Xi的条件概率下，对随机dom变量（β1，i+1，…，βD，i+1）的跨度执行≈yi+1（Xi+1）的正交投影。这个正交投影由β给出i+1B+i+1E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=x]，其中B+i+1是矩阵xbi+1=（E[βd，i+1βd′，i+1βd′，i+1]）d，d′=1，。。。，D.这里，我们假设βi+1独立于Fi。

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2022-5-5 09:32:42

如果y和z是y和z的良好近似值，那么z（Xi）也是e的良好近似值[βi+1yi+1（Xi+1）|Xi]。这些考虑促使我们用^EC[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]=E[βi+1]代替条件期望sin（12）的估计量（13）B+i+1zi（Xi（λ））+in∧inXl=1~yi+1（Xi+1（λ，l））- βi+1（λ，l）B+i+1zi（Xi（λ））和^EC[βi+1＠yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]=E[βi+1]＠qi（Xi（λ））+Bi+1B+i+1＠zi（Xi（λ））+in∧inXl=1βi+1（λ，l）（＠yi+1（Xi+1（λ，l））- ~qi（Xi（λ））- βi+1（λ，l）B+i+1zi（Xi（λ）），（16）仍然是条件无偏的。估值器^Yup，ABCis th en的计算与^Yup，AB类似，但应用（16）而不是（13）。同样，根据詹森的不平等性，“向上”估计量有正偏差。对于经典的最优停止问题，Belomestny et al.（2009）建议在βi+1增加独立布朗运动的特殊情况下，使用类似的控制变量进行内部模拟。我们还建议使用控制变量运行下界估计量^Ylow，Ab，以减少样本数。在这方面，我们建议使用∧τ（λ）-1Xj=0Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））~yj+1（Xj+1（λ））- E[~yj+1（Xj+1）|Xj=Xj（λ）]1- ~rj（λ）j+Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））~ρj（λ）j（βj+1（λ）~yj+1（Xj+1（λ））- E[βj+1yj+1（Xj+1）| Xj=Xj（λ）]1- ~rj（λ）j、（17）如果条件预期以封闭形式存在。如果不是，无论如何，构造上界估计器都需要一组“内部”模拟，并且这个内样本可以通过（16）来估计控制变量（17）中的条件期望。负偏差的结果估计量表示为^Ylow，ABC。

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2022-5-5 09:32:45

当然，渐近置信区间的构造完全类似于没有控制变量的情况。根据上文示例SWE中的数值约束，将数值约束应用于示例SWE中的数值约束。我们考虑了最大D资产上到期日为T的欧洲安达-百慕大看涨期权的定价问题，该看涨期权由具有漂移μ和波动率σ的独立同分布几何布朗运动建模，其在时间ti=ti/n，i=0，n由Xd，i决定。利率rb和rl随时间保持不变。然后，将生成器f（i，x，y，z）=- 雷-u - RlσDXd=1zd+（Rb- Rl）y-σDXd=1zd！-我们定义了βd，i+1（ti+1- ti）作为截断布朗增量，在[ti，ti+1]期间驱动dth库存。期权的收益由GI（x）给出=（maxd=1，…，Dxd）- （K）+- 2（最大值=1，…，Dxd- K） +，我∈ E-∞, 我/∈ E.对于K，K一组可行使期权的时间点E。因此，E={n}给出了一个选项。对于百慕大期权的情况，我们考虑在时间范围内等距的四个行使日期的情况，即e={n/4，n/2，3n/4，n}。除非另有说明，否则我们使用以下参数值：D=5，T=0.25，Rl=0.01，Rb=0.06，Xd，0=100，u=0.05，σ=0.2，K=95，K=115。我们首先通过Lemor等人（2006）的最小二乘蒙特卡罗算法生成近似值yLGW、~qLGW、~ZLGW。该算法需要一组基函数的选择。然后用∧regsample路径的集合对这些基函数的跨度进行经验回归，这些路径独立于原始对偶算法所需的外部和内部样本。

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2022-5-5 09:32:49

在欧式期权的情况下，我们应用了以下几组基函数：对于by=2基函数的实现，我们选择1和E[Gn（Xn）|Xi=x]来计算yLGWi（x），~qLGWi（x）和xddxde[Gn（Xn）|Xi=x]来计算zLGWd，i（x），d=1，D.对于D Black-Scholes股票m最大值上的看涨期权，在Ohnson（1987）中导出了期权价格及其增量的多元正态分布的闭式表达式。在目前的情况下，该公式可以简化为一个一维标准正态函数和dom变量的期望值，参见Belomestny等人（2009）。作为计算时间和精度之间的一个比较，我们通过量化具有21个网格点的一维标准正态分布来近似这个期望。在by=7基函数的实现中，我们还应用了x，xas基函数f为~yLGWi（x），~qLGWi（x），xd为基函数f为~zLGWd，i（x）。对于百慕大方案，我们使用了六个基函数来表示yLGWi（x），~qLGWi（x），即1，E[Gj（Xj）| Xi=x]，j∈ E、安德马克斯∈E、 j≥iE[Gj（Xj）|Xi=x]。相应的三角洲xddxde[Gj（Xj）|Xi=x]，j∈ E、 j≥ i、都被选为zLGWd，i（x）的基函数。在欧式期权的情况下，这种基函数的选择也允许应用Bender和Steiner（2012）的鞅基算法，尽管由于量化方法对基函数的近似，在输入近似中引入了轻微的偏差。与一般的最小二乘蒙特卡罗算法相比，利用鞅基函数可以显式地计算近似后向动态规划中的一些条件期望。

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2022-5-5 09:32:53

这些封闭形式的计算可以被认为是回归算法中的一个完美控制变量。对于置信上界的计算，我们使用示例3.3中导出的θUp的显式递归。为了计算下界，我们注意到下界的近似控制（~r，~ρ）的定义方程（14）可以通过以下公式方便地求解：-Rb{yi（Xi）≤σ-1PDd=1~zd，i（Xi）}- Rl{yi（Xi）>σ-1PDd=1~zd，i（Xi）}ρd，i=-σ-1（ri+u）。图1说明了控制变量对计算机内部样本的有效性100 200 300 500 600 800 900 100013.713.813.91414.114.214.314.414.514.614.7∧图1：内部模拟和控制变量数量的影响：无内部控制变量的上限、有内部控制变量的上限和下限（从顶部到底部）。n=40时间步的欧式期权上界的计算。输入近似由鞅基算法生成，该算法具有s偶数基函数和∧reg=1000条经验回归样本路径。该图描述了期权价格Y的相应上限估计，其中∧out=10000个样本路径是内部样本数∧in的函数。自上而下，它显示了上估计量^Yup，AB（即没有内部控制变量），^Yup，ABC（即有内部控制变量），以及f。与下界估计量^Ylow，AB相比，我们立即观察到^Yup中的上偏差的主要部分，从Doob鞅的近似构造中的子抽样中分离出来。在不使用内部控制变量的情况下，对于∧in=100个内部样本，upp er和lower估计器之间的相对误差约为6%，对于∧in=1000个内部样本，upp er和lower估计器之间的相对误差约为1.5%。

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