最优投资组合执行的蒙特卡罗方法

2022-5-5 09:52:01

最优投资组合执行的蒙特卡罗方法Nico Achtsis和Dirk Nuyens 2018年7月24日摘要我们研究了流动性有限且波动性变化的市场中的均值-方差最优执行问题。当市场参数假定为常数时，存在最优交易率的解析解。然而，一般来说，这个问题会导致一个非线性的Hamilton–Jacobi–Bellman偏微分方程，必须通过数值求解。由于求解这样一个偏微分方程是一个复杂的过程，Almgren[2012]提到了一个可以用作近似值的次最优控制。该策略假设市场参数是恒定的，因此采用平稳问题的解析解，但每次市场参数变化时都会更新策略。它被称为滚动地平线策略（RHS），因为它本质上是一种不断更新的静态控制，具有收缩地平线。正如我们将要展示的那样，很容易扩展到多资产的情况。本文提出了一种滚动时域蒙特卡罗算法（RHMC）。我们的方法采用次优控制，根据模拟选择编码速率。这种方法的潜在优势在于，我们提出的RH-MC方法不仅使用当前的市场信息，如RHS，还使用模拟来推断未来的市场行为。我们的新方法适用于多资产情况，并允许自由选择随机驱动过程的结构。结果表明，我们的方法可以显著优于RHS。Wealso还提供了一些关于RHS的见解，表明它收敛于针对强烈风险厌恶交易者的Opti-imal解决方案，至少在Almgren[2012]的背景下是如此。关键词。拟蒙特卡罗（QMC），最优资产执行，最优控制问题。AMS科目分类。

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2022-5-5 09:52:04

91G60、91G801相关文献和综述本文围绕算法转换的一个基本部分，即交易调度展开。当在固定时间间隔内执行大量资产时，通常有利于在该时间间隔内将订单拆分为几个较小的区块，以减少市场影响。找到最佳时间表需要在市场风险和流动性风险之间进行权衡。前者意味着被交易资产的逆价格变动风险，因此交易速度较慢将导致更高的市场风险。另一方面，流动性风险对应于订单执行前的交易前价格与实际执行价格的差异。这种差异被称为滑差，当交易速度加快时，这些价格差距的累积将更大。因此，交易日程安排在交易成本与消除市场风险之间形成了一个两难的局面，而交易成本与交易速度之间的矛盾在于尽量减少延误。我们用标准的均值-方差优化公式化了所谓的最优执行问题。第一个市场影响模型基于Bertsimas和Lo[1998]以及Almgren和Chriss[2001]构建的离散时间模型，以及Almgren[20 03]提出的连续时间变量。这些模型都将影响分为两个部分：一个是瞬时影响，仅影响引发它的个别交易；另一个是永久影响，影响所有未来交易。然而，对市场微观结构的研究表明，市场影响会随着时间的推移而衰减，正如艾斯勒等人[2012]所说的那样。第一个了解这一事实的模型是thos e Ofobizheva和Wang[2013]以及Potters和Bouchaud[2003]。

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2022-5-5 09:52:07

后者是极限订单模型的一个例子，这意味着作者对订单中的供需动态进行建模，以确定最佳执行算法。阿方西等人[2010年、2012年]进一步发展了该模型，特别是考虑了非线性价格影响。市场影响建模的一个重要方面是一致性。Gathereal[2010]提供了一个很好的概述，说明了这种模型需要哪些特性；e、例如，不应允许一种算法通过交易来操纵市场，以获得利益。Huberman和Stanzl[2004]率先指出，要求缺乏通常意义上的套利策略是不够的。他们指出，交易策略的反馈可能会导致所谓的价格操纵策略，当适当地重新调整和重复时，这种策略可能会产生一种弱套利形式。Ag ain，Gatheral[2010]探讨了影响函数与这种弱套利形式之间的关系。此外，Alfonsi等人[2012]表明，在不允许Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵的模型中，交易触发的价格操纵是可能的。阿方西等人[2010、2012]的论文提供了没有这种现象的模型。本文的目标是补充Lobert Almgren关于单资产最优执行方案的工作，尤其是Almgren[2012]的工作。在本文中，作者假设交易者感知到资产价格加上基于当前交易速度的即时影响。最优执行问题是在假设波动率和流动性完全相反（称为协调变化）的情况下解决的。在本文中，我们将该模型推广到多个资产，而不需要协调变化的假设。

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2022-5-5 09:52:10

作为次要的一步，Inlamgren[2012年，第1.4节]还提出了一种称为滚动地平线战略（RHS）的简单解决方案。这种策略需要寻求一种稳定的解决方案，并在运输期间进行更新。一般来说，这不会是最优的，但它很容易实现，同时提供了一个合理的解决方案。本文提出了一种基于蒙特卡罗算法（RHMC）的滚动水平算法，该算法中的传输率是基于亚光学控制的模拟计算的。通过这种方式，我们的新RHMC方法不仅使用当前的市场信息，如RHS，还使用模拟来推断未来的市场行为。Almgren[2012]在均值-方差框架内处理最佳执行，这意味着不仅要考虑交易的预期成本，还要考虑交易者的风险收益。其他文件通常在假设风险中性交易者的情况下处理执行（因此只考虑交易产生的预期成本）。有一些论文已经对almgren框架进行了多资产扩展，例如Konishi[2002]和Sch¨oneborn[2011]。然而，这些论文仅涉及持续的流动性和波动性，并认为资产组之间不存在交叉流动性影响。在第2节中，我们概述了最佳执行问题。在假设市场参数为常数的情况下，我们在第3节推导了最优策略。在第4节中，我们将介绍允许动态市场参数的策略。第4.1节包含关于RHS的两个结果，显示了该策略何时成为最佳策略，以及风险中性交易者的行为。主要贡献在第4节。在这里，我们解释了滚动视界蒙特卡罗方法（RHMC）。第5节对该方法进行了数值测试。

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2022-5-5 09:52:13

最后，我们在第6.2节执行问题HSEC中得出结论：执行问题包括在有限的交易期间[0，T]，T<∞. 我们使用以下符号：让xi（t）表示在t时仍然需要购买或出售的第i个股票的数量。然后，xi（0）等于在程序启动时需要交易的股票数量，其中xi（0）<0对应于购买程序，xi（0）>0对应于出售程序。在任何情况下，程序在时间T终止，xi（T）=0。我们将用向量x表示初始位置。交易速度或xi的一阶导数将用vi表示。我们可以选择一个xior作为控制变量，因为两者都决定另一个。然而，对于数值稳定性，我们将根据x来制定算法。我们使用符号x′ito表示XI相对于时间t.2.1 modelHec的次导数：ModeliWe conside r a概率空间(Ohm, F、 P）被赋予了过滤F=（F（t））t∈[0，T]表示代理可用的信息结构。我们假设F（0）是琐事l，F（T）=F。我们还假设F满足右连续性和完整性的通常条件（参见Karatzas和Shreve[1991]）。模型的所有组成部分将在过滤概率空间中定义(Ohm, F、 F，P）。风险资产风险资产的价格遵循算术布朗运动Sk（t）=Sk（0）+Ztσk（s）dWk（s）（1）heq:s˙动态，σk（t）a（随机）时间函数和dWk（t）dWl（t） =ρkldt。过程Wk（t）是标准的f（t）适应布朗运动。该模型被称为Bachelier模型，广泛应用于最优执行文献中。参见Alfonsi等人[2012]，Almg ren[2012]，Be rtsimas和Lo[1998]。我们更喜欢这种模式，因为它简单、标准化。

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2022-5-5 09:52:16

我们将把S（t）写成包含S（t）到Sn（t）的向量。在Bachelier模型下，S（t）的动力学意味着（t）~ NS（0），ZT∑（s）ds！，其中矩阵∑（s）由元素σk（s）σ组成l（s） ρkl. 自然假设矩阵∑（s）为正定义。Ba-chelier模型可能导致负资产价值；然而，由于CET通常很小，负资产价值的概率可以忽略不计。价格影响函数价格影响函数给出了相对于风险资产价格的价格变化，从现在起，我们称之为未受影响的资产价格，具体取决于订单规模和市场条件。这些影响函数在经验文献中得到了很好的研究，如Easley和O\'hara[1987]，Kyle[1985]和理论文献，如Bertsimas和Lo[1998]。我们将假设Almgren[2012]中的价格影响函数扩展到多个资产。在这个框架中，以S表示的预期资产价格为＠S（t）=S（t）+Ξ（t）v（t），（2）heq:perc˙assetiwhereΞ（t）=η（t）η（t）·ηn1（t）η（t）η（t）·ηn2（t）。。。。。。。。。。。。ηn1（t）ηn2（t）·ηnn（t）（3）是包含（随机）瞬时市场影响系数ηij（t）的矩阵≥ 我们假设对角线是严格正的，ηii（t）>0。在我们的框架中，我们假设交易对市场影响系数没有影响，即ηij（t）独立于v移动。我们希望Ξ（t）为下文解释的原因的正定义，这意味着它是一个对称矩阵。在这种模式下，给定交易率的较高进口对应于les s liq uid资产，因为交易将消耗更多的订单（然后立即补充）。另一方面，较低的冲击会使池塘变成更具流动性的资产。

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2022-5-5 09:52:18

因此，我们将η流动性参数称为η流动性参数，它更简洁。在本文中，我们将假设n个波动率和n（n+1）/2个流动性过程均由n（n+3）/2个相关的Ornstein–Uhlenbeck过程驱动，其形式为ξk（t）=-ξk（t）δkdt+βk√δkdBk（t），j=1，n（n+3）。这里δk表示市场松弛时间，βk表示波动性（k=1，…，n）和流动性（k=n+1，…，n（n+3）/2）在其平均水平上的分散。布朗运动与dBk（t）dBm（t）=kmdt，并且过程B和W之间没有相关性。挥发度取决于这些过程，如σk（t）=σkeξk（t），k=1，n、式中，σkis是第k个波动率的平均水平。流动性参数类似地取决于ηk的过程l（t） =ηkleξn+k+(l-1） n（t），k=1，Nl = 1.k、其中ηkl是流动性过程的平均水平ηkl. Almg ren[2012]提出的驱动随机过程的选择，然而，我们的所有结果对于不同的驱动过程选择仍然有效。协调变量为了减少维数，Almgren[2012]（仅考虑rs n=1）假设η（t）和σ（t）的变化完全相反，即σ（t）η（t）=¨σ¨η，或等效地，ξ（t）=-ξ（t）。就过程动力学而言，协调变化对应于设置δ=δ，β-2β=0, ρ = -1和ξ（0）=ξ（0）。这种关系被认为是交易时间模型的自然结果，在该模型中，不确定性的唯一来源是交易事件的到达率。在这种模型中，每次交易事件都会带来固定数量的价格差异，以及同时以特定成本交易固定数量股份的机会。

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kedemingshi

2022-5-5 09:52:21

在同一篇论文中，有人认为，当波动性急剧增加而流动性同时被撤回时，这一假设可能会被严重违反。因此，我们不会做出这种假设。2.2交易成本SEC：给定控制v（用C表示）的交易成本是支付给交易资产的金额与其初始市场价值xTS（0）之间的差异。通过对c`adl`ag过程进行部分积分，我们发现c=ZTvT（t）~S（t）dt- xTS（0）=nXk=1ZTσk（t）xk（t）dWk（t）+ZTvT（t）Ξ（t）v（t）dt。我们将通过均值方差准则inv[E（C）+λVar（C）]，（4）HMV准则λ来确定最优控制v≥ 0是风险规避系数。注意，λ=0与风险中性交易者相关。我们需要计算（4）中的方差项。严格来说，它涉及资产价格不确定性Wk（t）以及市场条件不确定性Ξ（t）和∑（t）的贡献。我们可以通过进行所谓的全部影响近似（见Almgren[2012]）来避免近似Ξ（t）和∑（t）的贡献的需要：方差主要来自∑所代表的价格波动，而Ξ（t）和v（t）、Var（C）中的不确定性的贡献较小≈ EZTxT（t）∑（t）x（t）dt。如果投资组合足够小，以至于与波动性相比，由于交易的影响而产生的价格变化很小，这是正确的。在这种情况下，控制v（t）isE（C）+λVar（C）的平均方差成本函数≈ 埃兹特vT（t）Ξ（t）v（t）+λxT（t）∑（t）x（t）dt。（5） heq:CCCOSTIH最优资产执行的目标是确定交易率v，以使上述成本函数最小化。一般来说，从某个时间开始≥ 0当x（t）资产剩余可交易时，我们取价值函数C（t，x，Ξ，∑）=minv（s），t≤s≤特泽特vT（s）Ξ（s）v（s）+λxT（s）∑（s）x（s）ds。

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2022-5-5 09:52:24

（6） heq：优化问题如果Ξ（s）和∑（s）都是正定义，交易成本将是正的。3静态问题在本节中，我们将只考虑静态问题，即Ξ（t）和∑（t）随时间恒定的情况。我们将首先证明这个问题有一个唯一的极小值。提议1。假设Ξ和∑是两个正定义矩阵。然后优化问题minv（t），0≤T≤TZTL（t，x，v）dtl（t，x，v）=vT（t）Ξv（t）+λxT（t）∑x（t），在W1,2（[0，t]，Rn）证明中有一个唯一的极小值。很明显，L（t，x，v）在v中是凸的，因为vT（t）Ξv（t）是具有Ξ正定义的二次型。此外，由于Ξ和∑是两个正定义的矩阵L（t，x，v）≥ αvT（t）v（t）+λαxT（t）x（t），其中α和α分别是Ξ和∑的最小特征值。q、 e.d.欧拉-拉格朗日方程Lxk-滴滴涕Lx′k=0，k=1，n、其中总导数等于ddtLx′k=TLx′k+nXl=1x′型l十、lLx′k+nXl=1x′\'lx′lLx′k，k=1，n、简单的计算表明，欧拉-拉格朗日方程简化为系统Ξx′（t）=λ∑x（t）。（7） heq:EL˙eqnsishprop:CCi提案2。假设Ξ（t）=Ξ和∑（t）=∑为0的常数≤ T≤ T，边界值问题x′（T）=λΞ-1∑x（t），表示0≤ T≤ T、其中x（0）=x，x（T）=0，（8）heq:sysodeih为解，对于λ>0，x（T）=Ohm（t，t，Ξ，∑）x，其中Ohm（t，t，Ξ，∑）=sinh（C（t）- t））新罕布什尔州-1，（9）heq:xCCiandv（t）=Ohm′（t，t，Ξ，∑）x，其中Ohm′（t，t，Ξ，∑）=-co-sh（C（T）- t））新罕布什尔州-1C，（10）heq:vcci，其中C是矩阵平方根，因此C=λΞ-1∑以及sinh和cosh是矩阵函数，即sinh（A）=Pk≥0A2k+1/（2k+1）！cosh（A）=Pk≥0A2k/（2k）！，和新罕布什尔州-1是sinh（CT）的矩阵逆。证据集合B=λΞ-1Σ.

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2022-5-5 09:52:27

通过假设，该矩阵具有满秩，因此我们可以找到平方根C=B1/2，即C=B。现在引入y（t）=（x（t），x′（t）），然后我们得到一个具有常数系数y′（t）的一阶系统=0 InB 0|其中{x}或{x}是矩阵的基本解≥0Aktkk！。我们有=Bk/20 Bk/2！对于k=0，2，4，0b（k）-1） /2B（k+1）/2！对于k=1，3，5。现在使用cosh（A）=Pk≥0A2k/（2k）！sinh（A）=Pk≥0A2k+1/（2k+1）！，我们可以写，C=B1/2，ψ（t）=cosh（Ct）sinh（Ct）C-1sinh（Ct）C cosh（Ct）！，因此（11）的一般解是y（t）=ψ（t）c。写出c=（c，c），然后原始问题（8）的边界条件给出（x（0）=cosh（C0）c+sinh（C0）c-1c=xx（T）=c osh（CT）c+sinh（CT）c-1c=0，紧接着c=X和c=-C sinh（CT）-1科什（CT）x.这里是新罕布什尔州（CT）-1表示sinh（CT）的矩阵逆。因此（8）的解由x（t）给出=科什（Ct）- 新罕布什尔州-1科什（CT）x=sinh（C（T）- t））新罕布什尔州-1x，我们使用了sinh（CT）的事实-1具有cosh（CT）的Commutes，假设C具有满秩，而B具有满秩。通过使用泰勒级数forsinh（A）和cosh（A）以及A=CT=V∧V的特征值分解，这两个矩阵很容易互换-1，即cosh（A）sinh（A）-1=V cosh（λ）V-1V正弦（λ）-1V-1和对角矩阵sinh（λ）-1和cosh（λ）通勤。q、 e.d.上述结果是针对区间0得出的≤ T≤ Tt的明显变化≤ s≤ T给出，x（T）=xtgiven，x（s）=Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑xt和v（s）=Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）xt，（12）heq:cci其中asΞ（s）和Ohm（s）我们通常会想到Ξ=Ξ（t）和∑=∑（t）。这将在以下方面发挥作用。这些策略不适应市场参数的变化，我们将用CC来表示，CC是常数系数的缩写。

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2022-5-5 09:52:30

对于n=1和n=2的情况，我们有以下两个推论。hcor:1Ai推论1。假设n=1，即一项资产只有交易，且η（t）=η且σ（t）=σ常数，则0的最佳交易轨迹为≤ T≤ T由x（T）=sinh（u（T）给出- t） sinh（ut）x和v（t）=-cosh（u（T）- t） sinh（ut）ux，其中u=λσ/η。hcor:2Ai推论2。当交易两种资产，即n=2，且Ξ（t）=Ξ和∑（t）=∑常数时，0的最佳交易轨迹≤ T≤ T由x（T）=θ给出- θs（t）- θs（t）θ（s（t）- s（t）s（t）- s（t）θs（t）- θs（t）！x、（13）heq:optvcc2aaindv（t）=θ- θs′（t）- θs′（t）θ（s′（t）- s′（t））s′（t）- s′（t）θs′（t）- θs′（t）！x、 2λΞ在哪里-1Σ =公元前=2λη+ 2ηη+ η- 4ηησσρ(η+ η) - 2σησ(η+ η) - 2ρσσησ(η+ η) - 2ρσσησσρ(η+ η) - 2ση我们设定D=a+4bc- 2ad+dandα=a-d、 β=a+d，u=β-√D、 u=β+√D、 θ=α-√D2c，θ=α+√D2c，s（t）=sinh（u（t）- t） sinh（ut），s（t）=sinh（ut- t））sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t））sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t））新罕布什尔州（ut）。证据证明如下：将特征值分解为B=λΞ-1∑=V∧V-1，那么C=V∧1/2V-1和sinh（C（T- t））=vsinh∧1/2（t- t））V-1和新罕布什尔州（CT）-1=V sinh（λ1/2T）-1V-1.对于2×2矩阵，可以进行分析，得到给定的结果。q、最后，我们有以下推论。hcor:CCi推论3。假设Ξ（s）=Ξ和∑（s）=∑在t上是常数≤ s≤ T用x（s）表示t的最佳交易策略≤ s≤ T使用（7）发现，假设s=T时的资产水平为bext。作为命题2的结果，[t，t]上的代价函数（5）是xt的t个元素中的二次多项式。证据

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2022-5-5 09:52:32

根据命题2，该策略的成本函数Ohm（s） =Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）和Ohm′（s） =Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑），由ZTT给出vT（s）Ξv（s）+λxT（s）∑x（s）ds=xTtZTtOhm′（s） ΞOhm′（s） +λOhm（s） T∑Ohm（s）ds！xt=xTtQ xtand是xt中的二次表达式之和，其系数是独立于xt的积分。因此，当假定常数Ξ和∑为初始资产位置x（t）中的二次多项式时，成本函数。q、 e.d.4动力学问题sec:dynprobic本节讨论更一般的情况，即Ξ（t）和∑（t）都随时间随机移动。在这种情况下，贝尔曼原理可以用于值函数（6），c（t，x，Ξ，∑）=minv（t）vT（t）Ξ（t）v（t）dt+λxT（t）∑（t）x（t）dt+Ec（t+dt，x+dx，Ξ+dΞ，∑+d∑）. （14） heq:OptProbi不幸的是，在一般情况下不可能找到问题的分析解决方案，必须使用数字技术。Inlamgren[2012]研究的一项资产在协调变化下的情况，简化为具有一个空间维度的PDE。使用标准技术可以有效地解决这个问题，并且在上述论文中使用了有限差分方案。增加资产数量和放弃协调变化条件会迅速导致一个多维问题，这对于有限差异技术来说是不切实际的（参见Alsologstaff和Schwartz[2001]）。4.1滚动地平线战略HSEC:Rhaith在Almgren[2012]中提出的所谓滚动ho rizon战略（RHS）提供了一种动态，但次优梯度策略不需要任何数值算法来计算。这个想法是在静态解中插入Ξ（t）和∑（t）的内在值，即（7）的解。从（12）我们可以写出RHS a v（t）下的瞬时交易率Ohm′（0，T- t、 Ξ（t），∑（t））x（t）。

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2022-5-5 09:52:35

因此，该算法假设当前市场参数在程序的剩余部分保持不变。当它们改变时，交易速度会使用新的值来改变。作者认为，只有在有限期内，并且只有当市场参数以适当的方式变化时（但没有具体说明如何变化），这种策略才是严格最优的。此外，它还声称提供了易于实现的合理近似。我们首先证明以下命题，即在什么条件下，RHS可化为静态解。提议3。考虑初始位置为x的n个资产的执行问题。如果λΞ-1Σ → 当矩阵为0nN×n时，RHS收敛到CC解。hprop:RHS2iProof。当λΞ-1Σ → 0n，常微分方程（8）的系统使s-tox′（t）=0，这导致解x（t）=x1.-tT,i、例如，即使是当前的市场参数，交易也是线性独立的。因此，theRHS与静态解一致。q、 e.d.相反，以下命题（据我们所知，文献中尚未研究过）表明RHS何时变为最优，至少在n=1的情况下。提议4。假设n=1。那么对于λ′σ/’η→ ∞, 滚动视界逼近收敛到最优解的当且仅当βrδδ-ξ+δδβ-δδξ+βδ= 0. （15） heq：假设这个方程在协调变化下满足。hprop:RHSiProof。

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2022-5-5 09:52:38

n=1情况下的优化问题（6）可以写成asc（t，x，ξ，ξ）=minv（s），t≤s≤特泽特η（s）v（s）+λσ（s）x（s）ds。相应的HJB方程为isct-ξδcξ+β2δcξξ-ξδcξ+β2δcξ+ββ√Δδcξ+λ′σeξx+minvhcx+’ηeξvi=0。最低isv=-cxe-ξ2′η，表示c isct的偏微分方程-ξδcξ+β2δcξξ-ξδcξ+β2δcξ+ββ√Δδcξ+λ′σeξx-cxe-ξ4η= 0.价值函数c严格地与x成比例，这意味着我们可以使用δ作为时间尺度，τ=（T）进行无量纲化- t） /δ，c（t，x，ξ，ξ）=ηxδu（τ，ξ，ξ），其中u是无量纲变量的无量纲函数。偏微分方程变成τ+ξuξ+ΔΔξuξ- ¨δ+e-ξu-βuξ- rΔΔβuξξ-βuξ=0，其中¨u=λ¨σ/¨η。我们假设这个PDE有一个独特的解决方案。转换后的价值函数的交易速度为v=xδe-ξu（τ，ξ，ξ）。使用共滚动1，连续时间滚动地平线策略如下所示：- x′ueξ-ξcothueξ-ξ（T）- （t）,带¨u=λ¨σ/¨η。就u而言，这个给定su=-δ′ue2ξ-ξcothueξ-ξ（T）- （t）.将其填入PDE中，得到的公式为0=δδβ-βδ+ βpδδτe3ξ-ξcothueξ-ξδτ1.- 科思ueξ-ξδτu+-δδξτ - δ+ξδτ -βδτ - δ+3δ2δβ-βsΔΔτ！e2ξ1.- 科思ueξ-ξδτu+βsδδ-ξ+δδβ-δδξ+βδ!eξ+ξcothueξ-ξδτu.很明显，为了使这个方程在λ′σ/’η→ ∞, 我们需要βrδδ-ξ+δδβ-Δξ+βδ=0，正好是（15）。在协调变化下，δ=δ，β- 2β= 0, = -1和ξ+2ξ=0，满足上述方程。q、 e.d.数值试验（其中一些将在第5.3节中显示）表明，λ′σ/’η不需要太大，以使求解的滚动水平变得（接近）最优。在多资产的情况下，情况并非如此。

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2022-5-5 09:52:41

第5节中的结果似乎表明，对于某些参数选择，RHS仍然可以成为最优的，但找到确切的条件超出了本文的范围。在本节的剩余部分中，我们将在离散化的时间框架中讨论RHS，这将在下一节中证明是有用的。如果我们将时间离散为（tk）k=0，。。。，M、使用步长t、从现在起，将使用符号xk=x（tk）和vk=v（tk）。假设我们在TKW的资产水平已知（即观察到的）和∑（tk）。我们需要确定区间[tk，tk+1]的交易速度，该区间将被视为常数，并用vk表示。为了确定vkw的最佳值，我们假设Ξ（tk）和∑（tk）在程序m[tk，T]的剩余部分上保持不变，并使用C解。事实上，通过使用（9），我们可以直接知道xk+1的最佳值，xk+1=Ohm（0，T- tk，∑（tk），Ξ（tk））xk=Ohmkxk这里是速记符号Ohmk=Ohm（0，T- 引入了∑（tk）、Ξ（tk））。交易率可以通过asvk=xk+1推导得出- xkt=(OhmK- In）xkt、交易者将在下一个时间步重复这个过程。每一步都需要计算成本Ohmkand是矩阵向量积。如果我们假设计算的成本Ohmkto be O（n），例如，通过使用特征分解，那么这就决定了每一步的成本。因此，每一步的成本是O（n）。如果我们假设我们知道Ξ（tk）的所有值+l) 和∑（tk）+l) 然后我们可以将其传播为迭代方案，然后编写l > 1，xk+l= Ohmk+l-1···Ohmkxk=V（k，l, Ξ(·), Σ (·)) Ohmkxk=V（k，l, Ξ（·），∑（·））xk+1，（16）heq:xkli从xk+1到xk的传播在哪里+l, l ≥ 1，由v（k）给出，l, Ξ(·), Σ(·)) =l-1Ym=1Ohmk+l-m、定义从xk+1到xk的传播矩阵的原因+l而不是从xkto到xk+l与RHMC方案有关，下文将对其进行描述。我们注意到v（k，l + 1, Ξ(·), Σ(·)) = Ohmk+lV（k，l, Ξ(·), Σ(·)).

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2022-5-5 09:52:45

（17） heq：算法1中给出了离散RHS方法的详细概述。以下命题确保了RHS格式的数值稳定性。提议5。RHS格式（16）在数值上是稳定的，即Ohmk=Ohm（0，T- tk、∑（tk）、Ξ（tk））为正，且由一表示所有tk∈ [0，T]。hprop：稳定性。从命题2我们知道Ohmk=Ohm（0，T- tk，∑（tk），Ξ（tk））=sinh（C（T）- t））新罕布什尔州-其中C是B=λΞ（tk）的平方根-1∑（tk）。为了便于注释，C和B对TKI的依赖性被抑制。在证明之后，对B=V∧V进行特征值分解-1，那么c=V∧1/2V-1和sinh（C（T- t））=V sinh（λ1/2（t）-t））V-1和新罕布什尔州（CT）-1=V sinh（λ1/2T）-1V-1.因此Ohmk=V sinh∧1/2（T- t））sinh（λ1/2T）-1V-1，这意味着Ohm因为sinh是（0）上的正且严格递增函数，∞). 因此，（17）中矩阵乘积V的特征值也是正的，且以1为界。由于时间步长k是任意的，所以所有时间步长的稳定性都成立，从而得出结论，RHS算法在[0，T]上是稳定的。q、 e.d.算法1用于优化资产执行的离散RHS。halg:RHSiFix一组M+1交易时间，长度相等t=t/M。时间tkobserveΞ（tk）和∑（tk）。计算xk+1=Ohmkxk。贸易xk+1- xkassets。4.2滚动时域蒙特卡罗方法SEC:MCiWe现在准备介绍我们的新方法：滚动时域蒙特卡罗（RHMC）方法。我们再次将时间离散为（tk）k=0，。。。，M、使用步长t、 xk=x（tk）和vk=v（tk）。利用贝尔曼原理，在时间步长tkbecomesminvk处求解优化问题（14）vTkΞ（tk）vkt+λxTk∑（tk）xkt+E[c（xk+1，Ξ（tk+1），∑（tk+1））|xk，vk，Ξ（tk），∑（tk）],式中，c是从tk+1开始的总成本，假设使用了控制。

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2022-5-5 09:52:48

我们首先介绍了标准技术，以向后的方式解决这个问题。由于期望值取决于xk、vk、Ξ（tk）和∑（tk）的当前值，因此必须考虑这些条件参数的所有可能值。当使用蒙特卡罗时，在时间步长st，tM。然后，使用基本变量的幂或指数的多元回归来近似连续值，即优化问题中c的扩展值。然而，我们必须小心，因为变量xkis是内生的：它完全由控制vk决定。正如Booker t和De Jong[20 08]所述，我们注意到，持续价值仅取决于达到的资产水平，而不取决于之前的水平和选择的交易率。因此，我们可以对内生变量x进行离散化，并对ea ch水平进行单独回归，这仅取决于过程ξ。随着资产数量的增加，该方案仍然需要指数级增加的重新分配数量。因此，我们建议使用滚动水平蒙特卡罗方案，我们将展示该方案不需要内生变量的离散化，也不需要回归的us e。虽然之前的方法是向后操作的，但滚动时域蒙特卡罗算法我们提出了一种向前方案，使用次优控制近似连续值。作为一个主要优势，我们现在可以假设条件值xk、vk、Ξ（tk）和∑（tk）已知，我们只剩下对单个实验的评估。RHMC-I：使用RHS滚动地平线蒙特卡罗，直到结束假设我们在时间TKW，设定水平xkandΞ（tk）和∑（tk）已知（即观察到）。我们需要确定区间[tk，tk+1]内的交易速度，该区间将被视为常数，并用Vk表示。

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2022-5-5 09:52:52

我们将试图找到vk的最佳值，用v表示*k、这使得成本c（tk，xk，Ξ（tk），∑（tk））=minv（s）tk最小化≤s<TE“ZTtkvT（s）Ξ（s）v（s）+λxT（s）∑（s）x（s）dsxk，Ξ（tk），∑（tk）#≈ 水貂+l0≤l<M-柯X0≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lTxk，Ξ（tk），∑（tk）= minvknvTkΞ（tk）vk+λxTk∑（tk）xkt+minvk+l1.≤l<M-柯X1≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lTxk+1，Ξ（tk），∑（tk）o、在这一点上，我们不需要指出，期望值中的部分取决于通过xk+1的vk。Theidea现在通过生成Ξ（tk）的实例来使用蒙特卡罗来实现这个期望+l) 和∑（tk）+l), for1≤ l < M- k、然后对这些采样值使用RHS方案。然后，我们可以将co stat写入未来的步骤k+l 使用（16）asvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+l\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#xk公司+l= xTk+1Qk，l（Ξ（·），∑（·））xk+1，其中qk，l（Ξ（·），∑（·））：=VT（k，l, Ξ(·), Σ(·))\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#V（k，l, Ξ(·), Σ(·)).（18） heq:Q˙RHMC1因此，未来的总交易成本由X1给出≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+1Ak+1（Ξ（·），∑（·））xk+1其中K+1（Ξ（·），∑（·））：=X1≤l<M-kQk，l(Ξ(·), Σ(·)).最后，给出了预期的未来交易成本X1≤l<T-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lxk+1，Ξ（tk），∑（tk）= xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1，（19）heq:futurecostiwhere我们定义了Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））：=E[Ak+1（Ξω（·），∑ω（·））（tk），∑（tk）]，（20）heq:OverlineAit是矩阵Ak+1（ω（·），∑ω（·）的元素期望值。计算Ξ（tk）的特定实例的矩阵Ak+1（Ξ（·），∑（·））+l) 和∑（tk）+l), 一个人≤ l <M-k、（M）成本-k） 5n）来自矩阵积，利用（17）。如果我们假设计算的成本Ohmkmatrix也是O（n），例如，通过使用特征分解，则Ak+1（Ξ（·），∑（·））的每一瞬间的成本是O（（M）- k） n）。

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2022-5-5 09:52:55

为了逼近这个期望值，我们使用了一种蒙特卡罗（或准蒙特卡罗）方法，用N s样本来逼近期望值Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））的成本为O（N（M- k） n）。（我们忽略了生成矩阵Ξ（i）（tk）的成本。）+l) 和∑（i）（tk）+l), 因为≤ l < M- k、一,≤ 我≤ 因为我们假设这是N的二次型，也就是O（N（M）阶- k） n.）事实证明，找到最小值将花费O（n），见命题6。因此，交易者的costin步骤k是O（N（M）- k） n）。我们现在可以继续VK的极小化，去掉了VK的极小化定理m+l, 1.≤ l < M- k、通过“平均”使用RHS模式，并使用RHS方法在xk+1（因此vk）方面的预期持续时间。实际上，可以直接在xk+1上最小化，而不需要计算vk。对于RHMC-I方案，我们现在来看MINVKNvTkΞ（tk）vk+λxTk∑（tk）xkt+xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1to=xTkΞ（tk）t+λ∑（tk）Txk+minxk+1nTxTk+1Ξ（tk）xk+1- xTk+1Ξ（tk）xk- xTkΞ（tk）xk+1+ xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1到上面是xk+1中的一个二次多项式。提议6。在离散化的每个时间步中，给定采样矩阵Ak+1，存在唯一的最优位置xk+1，作为Ξ（tk）+Ak+1(（t）xk+1=Ξ（tk）xk。（21）heq:optControlihprop:optimalviProof。我们通过设置x=xk+1、Ξ=Ξ（tk）、A=Ak+1（Ξ（tk）、∑（tk）来减少最小化表达式中的符号过载。我们需要最小化函数f（x）=xTΞt+AT十、- （xTΞxk+xTkΞx）t、将x的梯度设置为零，我们得到f（x）=2Ξt+AT十、-2Ξtxk=0，因此x是Ξ+A(（t）x=Ξxk，前提是存在唯一的最小值。这可以通过H（f）=2给出的Hes sianmatrix的正不确定性来检验Ξ t+AT.记住，Ξ是假设的正定义。

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2022-5-5 09:52:59

接下来，我们将证明A=Ak+1为正定义。我们知道Ak+1是矩阵qk的和，l（Ξ（·），∑（·））=VT（k，l, Ξ(·), Σ(·))\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#V（k，l, Ξ(·), Σ(·)).对于l = 1我们有V（k），l, Ξ（·），∑（·））=Inand thusQk，1（Ξ（·），∑（·））=OhmTk+1- 在里面tΞ（tk+1）Ohmk+1- 在里面t+λ∑（tk+1）。通过命题5，我们知道矩阵Ohmk+1的特征值在区间（0,1）内。因此Ohmk+1-Inhas区间特征值(-1, 0). 左、右相乘就是乘积(OhmTk+1-In）Ξ（tk+1）(Ohmk+1-在）正定义中，因为Ξ（tk+1）通过构造是正定义。对于l > 1.我们继续添加Ohmk+l-从右边到左边。因此，eAk+1为正定义。q、 e.d.提案7。RHMC-I算法是稳定的，即Ξ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）（22）heq:StablerHmcia呈阳性，所有k.hprop:stableRHMCiProof均为阳性。用u表示，un（22）的特征值以递增的顺序。由于两个正定义矩阵的乘积具有正的eige值（见Horn和Johnson[1985]），因此我们的u>0。对于上限，我们发现unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）≤ unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1.un（Ξ（tk））=uΞ（tk）+Ak+1(（t）-1un（Ξ（tk））。根据Weyl不等式[2001]我们得出uΞ（tk）+Ak+1(（t）-1.≤un（Ξ（tk））+(t） u（Ak+1）-1，导致不平等unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）≤un（Ξ（tk））un（Ξ（tk））+(t） u（Ak+1）≤ 1其中，最后一个不等式来自于K+1的正不确定性，这在命题6中得到了证明。q、 e.d.RHMC-II：滚动视界蒙特卡罗法，带CC，直到结束。根据RHMC-I方法，步骤tkwas中的交易率通过使用RHS方案，计算矩阵Ak+1（Ξ（·），∑（·）），然后使用命题6来确定。当然，使用RHS作为次优控制并不是强制性的。我们也可以使用CC来确定Ak+1（Ξ（·），∑（·）），这将降低计算复杂度。

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可人4

2022-5-5 09:53:02

因此，与RHMC-I的不同之处在于，我们现在假设从tk+1开始，材料冰Ξ（s）和∑（s）固定，以计算次优控制。因此，我们可以用（12）来写（19），为1≤ l < M- k、 asvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+1Qk，l（∑（·），Ξ（·））xk+1，其中Qk，l现在被定义为asQk，l(Σ(·), Ξ(·)) = Ohm′Tk，lΞ（tk）+l) Ohm′Kl+ λOhmTk，l∑（tk）+l) OhmKl（23）heq:Q˙RHMC2和OhmKl= Ohm（tk）+l- tk+1，T- tk+1，Ξ（tk+1），∑（tk+1））。命题6和命题7仍然适用于RHMC-II方法。假设左矩形规则，我们得到一个成本O（N（M）-k） n）与RHMC-I的复杂度相同，但在实践中，由于矩阵Ohm 现在可以作为时间的函数计算，而不是在未来的每个交易日更新，并且不再需要计算函数V，它本质上是一个累积矩阵积。算法2中给出了这两种算法的概述。注意，在单一资产情况下，不协调的变化和λ′σ/’η→ ∞ 我们的RHMC-I格式收敛到最优解，证明了RHS收敛到最优解，并用这种最优控制计算了延拓值。除此之外，我们预计RHMC-I将显著改善任何市场参数选择的滚动期解决方案。这些展望是合理的，因为RHS只考虑当前的市场条件，并在假设这些条件在剩余交易期间保持不变的情况下给出交易利率。另一方面，我们的算法使用蒙特卡罗过程来获取未来交易的信息，并据此选择交易对象。目前还不清楚RHMC-II方法是否能比theRHS提供改进。

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2022-5-5 09:53:06

至少在协调变化和λ′σ/’η下n=1的情况下→ ∞ 我们预计RHMC II方法比RHS更差，因为RHS将趋于最佳，而CC则不会。第5节中的数值结果表明，在这种情况下，RHMC-II算法的性能确实不佳，但只要不假设协调变化，它的性能就与RHMC-I算法类似。有趣的是，在n=2的情况下，对于所有考虑的市场参数，RHMC-I和RHMC-II a算法之间似乎几乎没有差异。算法2：优化资产执行的蒙特卡罗方法。halg:MCRHalgiFix一组M+1交易时间，等长间隔t=t/M。时间tkobserveΞ（tk）和∑（tk）。Ξ（·）和∑（·）的样本N路径通过（准）蒙特卡罗给出∑（tk）和Ξ（tk）。对于RHMC-I方法，使用（18）计算矩阵A（20），对于RHMC-II方法，使用（23）计算矩阵A（20）。使用（21）计算xk+1。贸易xk+1- xkassets。4.3后验离散最优解HSEC：Option假设市场参数的路径已知，通过离散化计算动态问题的最优控制是可能的。对于面临执行问题的交易者来说，这当然是没有用的，但它允许我们检查在使用最优离散控制进行交易时，所有方法的交易成本是如何相对于cos t的。假设目前只有一种资产在交易，即n=1。我们再次使用时间离散化（tk）k=0，。。。，M步进长度t=t/M，并使用左点规则近似积分。给定市场参数的路径，Ξ（tk）和∑（tk），k=0。

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2022-5-5 09:53:09

，M，最优控制问题对应于求解最小化问题minimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λxk∑（tk）受制于x=x，注意x（t）=-ZTtv（s）ds，我们发现离散点x（tk）xk=-M-1Xm=kvmt、因此，最小值m可以写成minimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λt∑（tk）M-1Xm=kvm！从属于-M-0vm=1Xmt=X，一些初等计算表明，上述问题等价于tominimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λ商标-1Xk=0米-1Xl=0vkvl闵（k，l)Xm=0∑（tm）受-M-1Xm=0vmt=X，通过引入矩阵∧∑，其中∧∑kl=Pmin（k，l)m=0∑（tm），这里的对角矩阵ΞwΞkk=Ξ（tk）和向量vt，即时间离散化控制v，即vtm=vm，我们可以重写上述问题tΞ+λt∑vt受制于- t1TMvt=X，因为矩阵tΞ+λt∑是正定义，存在唯一的极小值。更一般的情况n>1可以很容易地从这种构造中得到。用vtk表示资产k的时间离散向量，k=1，n最小化问题b e comesminimizevt1，。。。，n（vt1，…，n）TTΞ（11）···Ξ（1n）。。。。。。。。。Ξ（n1）·Ξ（nn）+ λT∑（11）···∑（1n）。。。。。。。。。∑（n1）··∑（nn）vt1，。。。，n对象- twTvt1，。。。，n=X，。。。- twTnvt1，。。。，n=Xn，其中Ξ（ij）是Ξ（ij）kk=Ξij（tk）的对角矩阵，Ξ∑（ij）kl=Pmin（k，l)m=0∑ij（tm），vt1，。。。，n=及物动词。。。vtn还有工作=M（k）-1）嗯（n）-K-2).5数值结果HSEC:NUMRESULTSI在本节中，我们以数值方式说明RHMC-I和RHMC-II，并将其与CC、RHS和离散最优解进行比较。我们的方法的目的是优于RHS解决方案。

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2022-5-5 09:53:13

本节中的结果表明，我们在这一目标上取得了成功。为了选择用于计算预期延续值的模拟次数，我们研究了不同参数选择的交易成本，以及使用d的样本数量。图1A中给出了一个典型示例，使用RHMC-I方法计算n=1，图1b中给出了n=2。显然，使用准蒙特卡罗（红色曲线）比使用普通蒙特卡罗（蓝色曲线）更有利。对于我们的方法，我们使用Joe和Kuo[2008]中的参数来定义Sobol\'序列。我们将选择N=500作为我们的数值实验，但我们还想指出，使用准蒙特卡罗法计算的tak ingN=200对于实际应用是有效的。5.1协调变量下的一项资产在一项资产的情况下，假设协调变量成立，我们使用固定参数ST=10进行实验，t=1/100，β=δ=1，以及不同的‘σ’、η和λ值。问题的维数，在任意的时间步长k∈ {0，1，…，1000}是k，因为只有一个随机过程驱动市场参数。表1概述了使用200次模拟运行（即我们使用不同执行算法的ξ的200个样本路径）进行不同参数值交易的成本。由于这也是一个资产：1A˙convi0 200 400 600 800 10002.652.72.752.82.852.9N（a）一个资产：2A˙convi0 200 400 600 800 10008.198.28.218.228.23N（b）两个资产图1：流动性和波动性参数的特定路径的交易成本，根据n，用于确定平均连续值的（准）蒙特卡罗路径数。

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kedemingshi

2022-5-5 09:53:16

每条蓝曲线对应于所用蒙特卡罗数的不同种子，每条红曲线对应于用于获得准蒙特卡罗样本的不同数字移位。h fig:1A2A˙在MGREN[2012]考虑的环境下，我们实施了上述文件中概述的有限差异方案。我们称之为最优连续解。应该注意的是，离散最优解和连续最优解不需要重合。命题3的影响在表中清晰可见：当λ′σ/’η小于10时，RHS和CC的交易成本相似-3.在这些情况下，RHMC-I和RHMC-II都显著优于RHS方法，将连续最优解的额外成本降低到RHS方法的四分之一左右。在所有参数选择中，成本的降低是恒定的，其中λ′σ/’η小于10-3.我们的两种方法即使没有相同之处，也能降低成本。另一方面，对于大于10的λ′σ/’η-建议n4的影响在结果中变得明显，与连续最优解决方案相比，RHS的额外成本显著下降。我们的RHMC-I方法一直优于RHS方法，尤其是对于λ′σ/’η在理论上为10的情况-2.对于这些情况，RHMC-II方法开始落后于RHMC-I方法，成本降低幅度较小。对于λ′σ/’η为10阶的情况-1 RHMC-I方法的优势大大降低，因为RHS方法的额外成本几乎为零。在这些情况下，RHMC-II方法甚至无法超越RHS方法。这并不令人惊讶，因为theRHMC-I方法使用RHS作为次优控制，因此如果RHS收敛到最优控制，RHMC-I方法也会通过构造收敛到最优控制。

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大多数88

2022-5-5 09:53:19

B由于RHMC-II将TCC用作次优控制，因此未显示这种收敛性。值得一提的是，当市场参数不恒定时，如果贸易商使用CC解决方案，成本会增加。5.2一组使用固定参数T=10和β=β=δ=δ=1进行数值试验，以获得不同的σ、η、λ和δ值, 时间离散化t=1/100。问题的维数，在任意时间步长k∈ {0，1，…，1000}是2k，因为有两个随机过程驱动着这些参数。表2概述了使用200次模拟运行（即200条Ξ和∑的样本路径）进行不同参数值交易的成本，我们使用了不同的执行算法。这些百分比表明，与离散最优解相比，成本增加。建议3的影响在表中再次清晰可见：对于10阶的λ′σ/’η值-3或更小的theRHS和CC算法几乎一致。我们的RHMC-I和RHMC-II方法显著优于RHS方法，将离散最优解的额外成本减少到不到一半。两种方法的性能几乎相同。有趣的是，即使对于大于10阶的λ′σ/’η-3与协调变异情况相反，RHMC-I和RHMC-II方法的性能显著优于RHS方法。RHMC-I法的降幅仍在一半左右，而RHMC-II法目前显示的降幅不到额外成本的一半。5.3两个资产HSEC:2是一个使用固定参数T=10、\'σ=1/500、\'σ=3/1000、\'η=1/400、\'η=\'η=1/1000和βk=δk=1（k=1）进行的数值试验，5.驱动市场参数的布朗运动的相关矩阵固定为 =10 8 1 -6.-68 10 1 -6.-61 1 10 -1.-1.-6.-6.-1 10 7-6.-6.-1 7 10.实验以不同的x、η、ρ和λ值进行。

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2022-5-5 09:53:22

时间用步长离散t=1/100。问题的维数，在任意时间步长k∈ {0,1，…，1000}是5k，s inc ether五个随机过程驱动市场参数。表3显示了所有方法的成本以及我们的方法相对于RHS的改进。它还具有矩阵λΞ中最大的绝对值-1∑，表示该矩阵与零矩阵的接近程度。结果的第一眼显示了有趣的观察结果，即在所有考虑的情况下，RHMC-I和RHMC-II算法之间似乎几乎没有差异。当λΞ-1∑相当接近于零，即使用RHMC-i和RHMC-II方法的最优控制进行交易的额外成本约为RHSλΞ的三分之一-1∑小于10阶-6.对于λΞ-1∑10阶-4 RHMC-I和RHMC-II方法的性能仍然相似，在所有考虑的情况下，仍然显著优于RHS。在必须交易相反初始头寸的情况下尤其如此：在这种情况下，两种方法的共同头寸都比RHS减少了五分之一到六分之一。如前所述，似乎有证据表明提案N4可以扩展到多个资产，但也有证据表明，让λΞ-1Σ → 0n。还请注意，在某些情况下使用CC时，成本会大幅增加，与最佳解决方案相比，成本可能高达cos t的三倍。两个资产的结果同样非常令人满意（甚至比一个资产的情况更令人满意）。6结论与展望EC:EndiI在本文中，我们研究了inAlmgren[2012]模型多维扩展的静态解。

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