律不变风险测度：可拓性与定性

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Law-invariant risk measures: extension properties and qualitative
robustness》
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作者：
Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We characterize when a convex risk measure associated to a law-invariant acceptance set in $L^\\infty$ can be extended to $L^p$, $1\\leq p<\\infty$, preserving finiteness and continuity. This problem is strongly connected to the statistical robustness of the corresponding risk measures. Special attention is paid to concrete examples including risk measures based on expected utility, max-correlation risk measures, and distortion risk measures.
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中文摘要：
我们刻画了与$L^\\infty$中的定律不变接受集相关联的凸风险度量何时可以扩展到$L^p$，$1\\leq p<\\infty$，从而保持有限性和连续性。这个问题与相应风险度量的统计稳健性密切相关。特别注意具体示例，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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Law-invariant_risk_measures:_extension_properties_and_qualitative_robustness.pdf
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大多数88

2022-5-5 10:15:13

法律不变风险度量：可拓性和定性稳健性*苏黎世大学银行与金融系Pablo Koch MedinaDepartment of Banking and Finance，SwitzerlandSimo Munari，ETH Zurich，SwitzerlandJanuary 92014摘要我们刻画了当与法律不变接受集相关的凸风险度量在∞可以扩展到Lp，1≤ p<∞, 保持完整性和连续性。该表与相应风险度量的统计稳健性密切相关。特别关注具体示例，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。关键词：风险度量的扩展、接受集、法律不变性、统计可靠性、预期性、最大相关风险度量、失真风险度量SC:91B30、91G801简介本文的目的是补充Filipovi’c和Sv indland的论文[10]。这篇论文的主要结果是定理2.2，它指出每一个凸的、定律不变的、下半连续的映射F:L∞→ R∪ {∞} 可以唯一地扩展到满足相同属性的映射。从这个意义上说，LCA可以被视为这类映射的规范空间。文[10]给出了结果*感谢SNF项目51NF40-144611“保险公司的资本充足率、估值和投资组合选择”的部分支持。电子邮件：巴勃罗。koch@bf.uzh.chEmail：科西莫。munari@math.ethz.chin标准概率空间的上下文，但可以扩展到非原子设置，如Vindland[18]所示。[10]中的作者主要关注他们的结果在加性风险度量中的应用。众所周知，对L∞是自动确定值且（Lipschitz）连续的。

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nandehutu2022

2022-5-5 10:15:16

众所周知，现金增加了Lp的风险度量，1≤ p<∞, 不需要是固定值或连续值。因此，以下两个问题自然而然地出现了：现金加成风险何时衡量L∞对于给定的1，承认一个有限值的持续扩展到LPL≤ p<∞, 那么，这种扩展存在的“最大”空间是哪个？我们提供了上述问题的完整答案，描述了L上定义的凸性、法律不变性、现金加性风险度量∞这可以扩展到保持完整性和连续性的LPS空间。事实上，在Farkas、Koch Medina和Munari在[8]中研究的更一般的风险度量环境中，主要结果提供了一个特征，其中不需要现金相加。更准确地说，我们证明了有限连续扩张的存在依赖于底层接受集的性质。特别注意几个具体的例子，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。这些例子表明，如果要保持一致性和连续性，凸、定律不变量风险度量的“规范”模型空间并不总是Lb，但可以是任何空间Lp，1≤ P≤ ∞. 特别是，还有一些（即使是现金添加剂）风险度量不能扩展到L之外∞保持完整性和连续性。前面的问题与Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle在[15]中讨论的风险度量的统计稳健性密切相关，突出了我们的结果和示例的实际相关性。

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nandehutu2022

2022-5-5 10:15:19

事实上，当实施风险措施以确定金融机构的资本充足率要求，或中央交易所参与者的保证金要求时，其统计稳健性对于保证相应的资本要求相对于基础头寸分布的微小变化是稳定的至关重要。在这方面，你的例子可以被看作是对[15]的补充。2.初步假设X是r w上具有正锥X+和拓扑对偶X′的有序拓扑向量空间。空间X表示金融机构在未来固定日期t=t的所有可能资本头寸（资产与负债之和）。我们假设 X是一个接受集，即满足a+X的X的一个非空的适当子集+ A.我们将A的要素解释为外部或内部“监管机构”认为可接受的资本头寸。此外，设S=（S，ST）表示交易资产，在时间t=0时，价格S>0，在时间t=0时，价格n为零，终端支付∈ 时间t=t时的X+。与A和S相关的风险度量是mapρA，S:X→定义为ρA，S（X）：=infM∈ RX+mSST∈ A.. （1）对于位置X∈ X，数量ρA，S（X）代表需要筹集和投资于资产S以保证可接受性的“最小”资本量。显然，负ρa，S（X）意味着资本被返还给股东。[8]详细讨论了研究此类风险度量的动机，其中还提供了关于确定性和连续性的一般结果。我们对X是Banach空间Lp，1的情况特别感兴趣≤ P≤ ∞, 定义过概率空间(Ohm, F、 P），我们假设它是非原子的。相应的g范数用k·kp表示。

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能者818

2022-5-5 10:15:22

当附加了规范序结构，即X时，sp ace LPA变成了一个Banach晶格≥ 只要这种不平等性几乎可以肯定地成立。p的共轭将由p′表示，即我们设置p′：=p1-p、当X=lp时，对于某些1≤ P≤ ∞, 我们可以考虑与现金资产相关的风险度量ρA=（1,1）Ohm). 这些风险指标被称为现金添加剂。当p=∞. 对于现金附加风险度量，我们只需写X∈ LpρA（X）：=ρA，S（X）=inf{m∈ RX+m∈ A}。（2）请注意，我们的一般设置还允许交易资产S=（S，ST）具有任意、正、随机的支付。因此，我们也可以涵盖不存在无风险安全性的情况，如[8]中所述。3一般扩展理论在本节中，我们提供了ρA，S形式的风险度量的关键扩展结果。尽管我们的主要兴趣在于LPS空间上的凸风险度量，为了突出OUR结果的底层结构，我们首先研究了抽象有序拓扑向量空间中的扩张定理。这一部分L和d S将表示R上的两个序拓扑向量空间，分别具有正的L+和S+。我们假设S是L的稠密子空间。因此，除了它自己的拓扑之外，空间S还可以配备由L导出的相对拓扑，我们称之为L拓扑。此外，由于L上的每一个泛函都可以被限制为S上的一个泛函，我们也可以考虑S上的弱拓扑σ（S，L′），在这里，通过滥用符号，我们不区分泛函L和它们对S的限制。在下一节中，我们将取L=Lp，约为1≤ p<∞, andS=L∞.下面的定理是我们的主要结果。对于一个s ubset a 我们用clL（A）表示关于L上拓扑的Aw的闭包。定理3.1。

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大多数88

2022-5-5 10:15:27

让我们 S是凸的，σ（S，L′）闭接受集，S=（S，ST）是带ST的交易集∈ S+。假设ρA是S上的有限值且连续。以下陈述是等效的：（a）ρa，可以扩展为L上的有限值连续风险度量；（b） ρA，Sis关于L-拓扑在0处是连续的；（c） A关于L-拓扑具有非空内部；（d） clL（A）在L中有非空的内部。在这种情况下，扩张是唯一的，并且由ρclL（A），S决定。在证明定理3.1之前，收集一些辅助结果是有用的。对偶表示与连续子空间X是R w上具有正锥X+和拓扑对偶X′的有序拓扑向量空间。用X′+表示所有泛函的集合ψ∈ X′满足ψ（X）≥ 每X为0∈ X+。我们首先说明ρa形式的凸风险度量的对偶表示结果，这是一个便于我们使用的版本。子集a的（下）支持函数 X是σA:X′的映射→ R∪{-∞} 定义为σA（ψ）：=infA∈Aψ（A）。（3）挫折（A）：={ψ∈ X′；σA（ψ）>-∞} （4）被称为障碍物圆锥体。显然，集合的支持功能 X总是与其闭包的支持函数一致。将[9]中的推论4.14和定理4.16结合起来，我们得到以下结果。引理3.2。让我们 X是一个封闭的凸接受集，S=（S，ST）是一个交易资产，setX′+，S:={ψ∈ X′+；ψ（ST）=S}。（5）那么以下陈述是相等的：（a）ρa，sat包含一些有限值；（b） ρA，s未达到该值-∞;（c） X′+，S∩ B（A）是非空的。在这种情况下，每X∈ 我们有ρA，S（X）=supψ∈X′+，S{σA（ψ）-ψ（X）}。（6）备注3.3。稍后，我们将把这个结果应用于X要么是L，带有它自己的拓扑，要么是S，带有σ（S，L′）拓扑的情况。

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kedemingshi

2022-5-5 10:15:30

因为这两个空间都有相同的对偶L′，我们看到对于子集a SσA（ψ）=所有ψ的σclL（A）（ψ）∈ L′，（7）其中σAis适用于ψ的限制∈ 我要去。特别是交叉点L′+，S∩ B（A）非空当且仅当L′，S∩B（clL（S））也是非空的。我们现在回顾ρa形式的风险度量在X上连续的一个必要和充分条件。关于证明，我们分别参考文献[8]中的引理2.5和定理3.10。引理3.4。让我们 X是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。（i）如果ρA，Sis在某个点X是连续的∈ 带ρA的X，S（X）<∞, 那么A的内部是非空的。（ii）假设A是凸的且内部非空。那么ρA是连续的，只要它是单位值。定理3.1假设（a）的证明，即ρa，是L上有限值连续映射的一个推广。很明显，ρA，Smust对于L-拓扑也是连续的。因此（b）项成立。让（b）保持不变，使得ρA，Sis相对于L-拓扑在0处是连续的。由于ρA在0处是有限的，引理3.4意味着相对于L-拓扑，A必须具有非空的内部，因此（c）成立。现在，假设（c）成立，使得A相对于L-拓扑具有非空的内部w。因此，我们找到了L的一个开放子集U，使得U∩s A.因为S在L中是稠密的，而U在L中是开放的，所以我们有U∩ S为非空且clL（U）=clL（U∩ S）。（8）因此你 clL（U）=clL（U∩ （S） clL（A），（9）证明了clL（A）在L中有非空的内部，因此（d）成立。最后，假设（d）成立，即clL（A）在L中有非空的内部。

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能者818

2022-5-5 10:15:35

由于A是凸的，σ（S，L′）是闭的，ρA是S上的有限值，引理3.2表示L′，S∩ B（A）是非空的，dρA，S（X）=supψ∈L′+，S{σA（ψ）-ψ（X）}（10）每X∈ s特别地，它遵循L′+，S∩ 根据R emark 3.3，B（clL（A））是非空的，因此我们可以再次应用lma 3.2来获得ρclL（A），S（X）=supψ∈L′+，S{σclL（A）（ψ）-ψ（X）}=supψ∈L′+，S{σA（ψ）- ψ（X）}（11）对于所有X∈ L这表明ρclL（A）趋向于ρA，Sto整个L。我们认为ρclL（A）是有限值且连续的。实际上，首先要注意的是，通过引理3.2，映射ρclL（A）不能取这个值-∞. 现在考虑凸集d:={X∈ LρclL（A），S（X）<∞} = {X∈ LρclL（A），S（X）∈ R} 。（12）自clL（A）以来 D、 D的内部是非空的。现在，假设存在X∈ 我知道。在这种情况下，通过标准分离参数，我们找到了一个非零ψ∈ L′使得ψ（X）≤ ψ（Y）对于每个Y∈ D由于ρA是有限值，集合D包含子空间S。因此，ψ必须湮灭沙子，因此，通过密度，整个L。这是不可能的，因为ψ是非零的。因此，D=L表示ρclL（A）是有限值，并且通过引理3.4，在L上是连续的。因此（d）小鬼说谎（a）。我们通过观察ρA的任何连续延拓得到定理3.1的证明，因为S在L中是稠密的。4.Lpspaces上风险测度的延拓我们现在将定理3.1应用于形式为ρA，Son Lpspaces的风险测度，当基础接受集A是凸的且定律不变时。回想一下，一套 LPX称为定律不变量∈ 小麦~ 来点吧∈ A.这里，我们写X~ Y表示X和Y具有相同的定律。类似地，图f:Lp→当f（X）=f（Y）时，R称为定律不变量~ Y备注4.1。回想一下，每一个闭的、凸的、定律不变的集合 L∞对于σ（L）也是封闭的∞, Lp）-任意1的拓扑≤ P≤ ∞.

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能者818

2022-5-5 10:15:39

Jouini、S chachermayer和Touzi首先在标准概率空间的背景下展示了这一性质，参见[16]中的备注4.4，随后Svindland将其扩展到一般非原子空间，参见[18]中的命题1.2。备注4.2。考虑一个不变的定律 L∞交易资产S=（S，ST）。很明显，只要支付是确定的，风险度量ρA也是定律不变的。特别是，如果A是定律不变的，那么现金加性风险度量eρAis总是定律不变的。然而，如果性传播感染真的是随机的，则不必如此，如以下重要示例所示。1.X的风险价值和尾部风险价值∈ L∞在0<α<1的水平上，分别定义了byVaRα（X）：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} ，（13）TVaRα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。（14）众所周知，例如[11]，两者都是法律不变的现金加性风险度量。此外，TVaRα通常是相干的，而VaRα一般不是凸的。特别是，我们可以考虑基于αAα：={X水平的风险尾值的定律不变量接受集∈ L∞; TVaRα（X）≤ 0} . （15）我们认为ρAα，Sis决不是无规律不变的STis是确定性的，在这种情况下ρAα，Sis只是TVaRα的一个倍数。为了了解这一点，假设STI不是确定性的，因此存在γ>γ>0，其中P（ST≤ γ） >0和P（ST≥ γ) > 0. 自从(Ohm, F、 P）是非原子的，我们可以找到可测量的集合A {ST≤ γ} andB {ST≥ γ} 满足P（A）=P（B）=P且0<P<1- α. 现在设定C=（A∪ B）注意P（C）=1- 2便士。对于-γ< λ < -γwe定义：=λ1A- STCand Y:=λ1B- STC。（16）那么显然是X~ Y我们现在证明ρAα，S（X）>S≥ ρAα，S（Y），意味着ρAα，Sis notlaw不变量。事实上，首先请注意Y+≥ 所以ρAα，S（Y）≤ 现在取m<0。然后p（X+ST+m<0）≥ P（A）+P（C）=1- p>a，（17）意味着VaRβ（X+ST）≥ 0表示所有0<β≤ α，因此，TVaRα（X+ST）≥ 0

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何人来此

2022-5-5 10:15:43

此外，如果0≤ m<-λ -然后是P（X+ST+m<0）=P（A）=P，因此是VaRβ（X+ST）≥ -λ -γ> 0每当0<β<p时，TVaRα（X+ST）>0，表明ρAα，S（X）>Sas。2.有时ρA，Sis定律不变，即使sti不是确定性的。例如，考虑law集：={X∈ L∞; E[X]≥ α} （18）在哪里∈ R.由于ρA，S（X）=SE[ST]（α）- E[X]）对于任何X∈ L∞, 风险度量ρA，Sis lawinvariant r egardless对交易资产S的选择。以下结果提供了与凸的lawinvariant接受集相关的风险度量的一般扩展结果。如果 L∞, 我们用clp（A）表示Lp，1中A的闭包≤ p<∞. 请注意，对于1，每个有限值风险度量ρA，Son Lp≤ P≤ ∞, 当[1]中的定理1给出一个凸时，它是自动连续的。定理4.3。让我们 L∞是一个凸的、定律不变的接受集，考虑交易资产=（S，ST）和ST∈ L∞. 假设ρA为有限值，因此在L上是连续的∞. 每一个人≤ p<∞, 以下陈述是等效的：（a）ρa，可以扩展到有限合伙人的有限价值连续风险度量；（b）如果（Xn） L∞和Xn→ Lp中的0，然后ρA，S（Xn）→ ρA，S（0）；（c） cl∞（A）具有关于Lp拓扑的非空内部；（d）中电（A）有限合伙公司内部非空。在这种情况下，扩展是唯一的，并且由ρclp（A）证明。由于ρA，假设Sis在L上是连续的∞, 我们有ρA，S=ρcl∞（A），Sby引理2.5 in[8]。请注意，cl∞（A）仍然是凸的和不变的。实际上，ρAis定律不变量和cl∞（A）包括所有X∈ L∞使得ρA（X）≤ 因此，该定理源自定理3.1和定理4.1。根据定理4.3，定义风险度量ρa的不确定性指数是很自然的，定义如下：定义4.4。让我们 L∞是一个凸的、定律不变的接受集，考虑交易资产=（S，ST）和ST∈ L∞.

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何人来此

2022-5-5 10:15:46

如果ρA，则在L上取值∞, ρA的不确定性指数定义为：n（ρA，S）：=inf{p∈ [1, ∞) ; clp（A）在Lp}中具有非空内部。（19）如果达到（19）中的最小值，并且我们设置p:=n（ρA，S），那么Lpis是存在有限值的最大空间，因此是ρA，S的连续扩展。因此，如果我们有兴趣保持风险度量的完整性和连续性，那么空间Lpis将被视为ρA，S的标准模型空间，凸、定律不变（现金加性）风险度量的标准模型空间并不总是L，而是取决于单个风险度量。如下图所示，前1页≤ P≤ ∞ 我们可以找到凸的、定律不变的、现金加成风险度量，其指数与p一致。特别是，这种类型的风险度量不能扩展到L之外∞因此，p保留了完整性和连续性。备注4.5。请注意，满足定理4.3假设的风险度量ρa的有限值连续扩展的存在不取决于支付的性质，而仅取决于接受集a的拓扑性质。一个重要的结果是，如果ρA，则L上的值为∞, 然后fin（ρA，S）=fin（ρA）。（20）然而，ρA，Son L的完整性∞这取决于验收集和交易资产之间的相互作用，如我们的下一个例子所示，并在[8]中广泛记录。5定性稳健性在本节中，我们回顾了Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahlein[14]引入的定性稳健性概念，并讨论了与我们之前的结果之间的联系。考虑一个定律不变的接受集 L∞与之相关的现金加性风险度量ρa也具有法律不变性。如果我们用X定律来表示。

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大多数88

2022-5-5 10:15:50

PX（A）：=P（X∈ A）为了所有的博雷尔·塞萨 R、和setM∞:= {PX；X∈ L∞}, （21）我们可以定义功能性RA:M∞→ R byRA（PX）：=ρA（X）。（22）金融机构的资本状况X通常通过一系列历史观察X、…、，xN∈ R、数量RA（m），其中m表示这些观测值的经验分布，被用作ρa（X）的自然代理。Cont、Deguest和Scandolo在[4]中详细讨论了算子Raw的鲁棒性性质的重要性。基于该论文，最近[14]中提出了定性鲁棒性的概念，并在[15]中进行了进一步研究。设M表示R上任意u的（Borel）概率测度集∈ M不是狄拉克测度，我们可以关联一个非原子概率空间(Ohmu，Fu，Pu）支持i.i.d.r的序列（Xn），并将u作为其普通法则，例如参见[5]中的第11.4节。为了n∈ N、 X的经验分布，Xnis地图mun：Ohmu→ M∞定义为mun（ω）：=nnXi=1δXi（ω）∈ Ohmu，（23），其中δXi（ω）表示与单态{Xi（ω）}相关的标准狄拉克测度。此外，我们可以考虑由ω的a（mun）（ω）：=RA（mun（ω））给出的随机变量RA（mun）∈ Ohmu. （24）以下量化鲁棒性的概念是汉佩尔在[12]中引入的经典概念的推广。一个人≤ p<∞ 定义ψp（x）：=p | x | p，x∈ R、回想一下[15]中的一组N M是一致p积分的iflimM→∞supu∈NZ{ψp≥M} ψp（x）du（x）=0。（25）定义5.1。

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mingdashike22

2022-5-5 10:15:54

据说功能性RAis在M上具有p鲁棒性∞, 1.≤ p<∞, 如果对于任何uniformlyp积分集N M∞, u ∈ N和dε>0存在δ>0和N∈ N使得dp（u，ν）+ZRψp（x）du（x）-ZRψp（x）dν（x）≤ δ（26）意味着dpPuRA（mun），PνRA（mνn）≤ ε（27）表示ν∈ N和N≥ n、其中dp表示M上通常的Prohorov度量。因此，如果M上的RAis p-robust∞, 然后，数据定律中的一个合理的小变化就意味着相应估计量定律中的一个任意小变化。备注5.2。如[14]和[15]所述，与汉佩尔在[12]中开发的经典框架不同，选择在Prohorov metricin（26）中添加一个额外的术语，其主要优点是使RA（u）对u的尾部行为敏感。事实上，在Prohorov度量下，或在任何度量下，在M上引入弱拓扑时，与L’evy度量一样，两个分布u和ν可能具有不同的尾部行为，但在度量方面相当接近。在这种情况下，定性稳健性将从根本上防止RAF在不同的尾部特征之间进行区分。有关Prohorov和L’evy度量的更多详细信息，请参阅[5]中的第11.3节。在[14]的基础上，同一作者在[15]中介绍了IQR定义的风险度量ρ的定性稳健性指数（ρa）：=（inf{p∈ [1, ∞) ; M上的RAis p-robust∞})-1.（28）通过结合[15]中的定理2.16和我们之前的定理4.3，我们得到了以下有趣的结果，证明了算子的定性稳健性，而不是接受集的拓扑性质。定理5.3。假设 L∞是一个凸的，定律不变的接受集≤ p<∞. 以下语句是等价的：（a）M上的RAis p-robust∞;（b）中电（A）有限合伙公司内部非空。此外，我们还有IQR（ρA）=fin（ρA）。（29）在最后几节中，我们计算了几种风险度量的一致性指数。

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大多数88

2022-5-5 10:15:58

作为上述定理的推论，从定性的角度来看，这些例子也很重要。6基于效用函数的风险度量在本节中，我们分析了基于预期效用的风险度量的不确定性指数。注：尽管[15]中对此类风险度量进行了处理，但并未证明其统计稳健性的结果。回想一下，一个非恒定函数u:R→ R∪ {-∞} 如果u是递增的和凹的，则称为效用函数。这意味着u从下面是无界的。在续集中，我们假设u表示自上有界的自性函数。每1≤ P≤ ∞ 和α级∈ R we setApu:={X∈ Lp；E[u（X）]≥ α}. （30）显然，这个集合是非空的当且仅当u（x）≥ sωx的α∈ R、从现在开始我们假设。此外，在这种情况下，Apuis是一个凸的、定律不变的接受集。我们首先提供ρa形式的风险度量的特征∞u、仅限有限价值∞.提议6.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞.（i）假设你永远达不到价值-∞ 对于某些x，u（x）>α∈ R.那么以下是等价的：（a）ρa∞u、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） P（ST=0）=0。（ii）假设u达到该值-∞ 或u（x）≤ α表示所有x∈ R.那么以下是等价的：（a）ρa∞u、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） P（圣≥ ε）对于某些ε>0的情况，为1。证据首先，我们证明ρA∞u、斯奈弗拿走了价值-∞. 为此，Fix∈ L∞γ>0，P（ST≥ γ) > 0. 然后，由于u从下面是无界的，我们总是可以找到λ>0，这足够大了- λST）]≤ u（kXk∞- λγ）P（ST≥ γ） +supx∈Ru（x）P（ST<γ）<α。（31）这意味着X- λST/∈ A.∞uand，因此ρA∞u、 S（X）>-∞.为了证明（i），首先假设（a）成立，因此ρa∞u、 S(-ξ1Ohm) < ∞ 对于任何ξ>0的情况。

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何人来此

2022-5-5 10:16:01

因此，对于每ξ>0，存在λ>0，使得u(-ξ） P（ST=0）+supx∈Ru（x）P（ST>0）≥ E[u](-ξ1Ohm+ λST）]≥ α . （32）由于u在下面是无界的，这只有在P（ST=0）=0，证明（b）时才可能。现在假设（b）有一个d取X∈ L∞. 因为对于某些x，u（x）>α∈ R和P（ST=0）=0，我们可以发现ε>0足够小，以获得UX+εST≥ Uε- kXk∞P（圣≥ ε） +u(-kXk∞) P（ST<ε）≥ α，（33）意味着ρA∞u、 S（X）<∞. 因此，（a）从ρa开始∞u、任何人都能获得价值-∞.为了证明（ii），我们首先证明（b）总是意味着（a）。如果（b）成立，则仍然是L的一个内点∞, 因此ρA∞u、根据[8]中命题3.1进行估值的定义。相反，假设（a）在u的条件下成立(-ξ) = -∞ 对于某些情况，ξ>0。在本例中，设置X:=(-ξ - 1)1Ohm注意，对于每个λ>0，存在ε>0，使得u(-ξ - 1 + λε) = -∞.现在，如果P（ST<ε）>0表示所有ε>0，这意味着[u（X+λST）]≤ u(-ξ - 1+λε）P（ST<ε）+supx∈Ru（x）P（ST）≥ ε) < α . （34）因此ρa∞u、 S（X）=∞, 矛盾的（a）。因此，我们必须有P（ST≥ ε）对于某些ε>0的情况，大于0，所以（b）成立。最后，假设（a）成立，并且u由α从上方限定，并且集合x:=inf{x∈ Ru（x）=α}。此外，取ξ>-x、自ρAu，S(-ξ1Ohm) < ∞, 存在λ>0使得E[u](-ξ1Ohm+ λST）]≥ α.但如果-ξ+λST≥ 几乎可以肯定的是，我在用P（圣≥ξ+xλ=1。如顺序（b）所示，总结证据。为了研究基于预期效用的风险度量的可拓性，我们首先需要研究相应接受集的拓扑结构。引理6.2。每1≤ P≤ ∞, 验收集APUI在Lp中关闭。证据为了证明apui在Lp中是闭合的，在apua中取一个序列（Xn）并假设Xn→ Lpasn中的X→ ∞. 自Xn以来→ X几乎可以肯定为n→ ∞, 直到传递到一个合适的子序列，它遵循u的连续性和Fatou引理，例如。

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mingdashike22

2022-5-5 10:16:05

引理4.3.3在[5]中，thatE[u（X）]=E[lim u（Xn）]≥ lim sup E[u（Xn）]≥ α . （35）这表明X∈ 因此，Apuan关闭了Apuis。假设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞+因此，ρA为有限值，系数为1≤ p<∞.然后，通过定理4.3，我们知道ρA可以推广到一个有限值的连续风险度量onLpif，并且仅当clp（A∞u）在Lp中具有非空的内部。因为，根据上述引理，clp（A∞u）如果内部为空，那么ρA不能允许这样的扩展。下面的结果为Aputo提供了内部为空的条件。特别是，条件（ii）表明，这可能取决于效用函数的衰减行为- ∞ .引理6.3。修正1≤ p<∞ 并假设以下条件之一：（i）u（x）≤ α表示所有x∈ R（ii）limx→∞xpu(-x） =0。然后，在Lp中，Apuhas内部为空。证据（i）以X为例∈ APU和r>0。选择P（|X |<γ）>0的最后一个γ>0，然后选择ξ>0，例如u（γ）- ξ) < α. 自从(Ohm, F、 P）是非原子的，我们发现 P（A）<rpξP的{X |<γ}集合nowY:=（X）- ξ） 1A+X1Ac，注意kX- Y kpp=ξpP（A）<rp。此外，E[u（Y）]=E[u（X- ξ） 1A]+E[u（X）1Ac]≤ u（γ）- ξ） P（A）+αP（Ac）<α。（36）因此，在X的每个邻域中都存在一些不属于Apu的元素。因为X是任意的，这意味着内部是空的。（ii）以X为例∈ Apu∩ L∞所以u（kXk∞) ≥ E[u（X）]≥ α、 fix r>0。很容易看出，通过假设，我们可以找到一个足够大的ξ>0，即0≤u（kXk∞) - αu（kXk∞) - u（kXk∞- ξ） <rpξp<1。（37）因此，取λ∈ （0,1）有u（kXk∞) - αu（kXk∞) - u（kXk∞- ξ） <λ<rpξp（38）我们得到了ξpλ<rp和λu（kXk）∞- ξ) + (1 - λ） u（kXk∞) < α . （39）自(Ohm, F、 P）是非原子的，对于合适的A，P（A）=λ∈ 现在，考虑随机变量y:=（X- ξ） 1A+X1Ac。显然，kX- Y kpp=ξpP（A）<rp。此外，由于（39），weobtainE[u（Y）]≤ P（A）u（kXk）∞- ξ） +P（Ac）u（kXk）∞) < α .

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kedemingshi

2022-5-5 10:16:08

（40）这意味着X不是Apu的内部点。因此，通过L的密度∞在LPU中，我们可以断定APUH内部是空的。下面的结果紧跟在引理6.3之前的讨论之后。推论6.4。假设u（x）≤ α表示所有x∈ R或u达到了价值-∞. 然后，对于任何交易资产S=（S，ST）和ST∈ L∞使得ρA，在L上为有限值∞, 我们有n（ρA）∞u、 S）=∞.备注6.5。作为实现该值的效用函数的示例-∞ 我们可以考虑cappedlog——formu（x）的实用程序：=如果x≥ 阻塞（1+x）如果0≤ x<c-∞ 如果x<0（41），则固定常数c>0且c=log（1+c）。鉴于推论6.4，我们假设在本节的其余部分，u是有限值的，对于某些x，u（x）>α∈ R.在这个假设下，我们可以将定理4.3定义如下。定理6.6。（i）任何一个≤ p<∞ 我们有中电（A）∞u） =Apu。（ii）设S=（S，ST）为与ST交易的资产∈ L∞. 假设ρA∞u、有限值，因此在L上是连续的∞, 和Fix 1≤ p<∞. 以下陈述是等价的：（a）ρa∞u、可以扩展到有限合伙人的有限价值持续风险度量；（b） Apuhas在Lp中为非空内部。在这种情况下，扩展是唯一的，由ρApu，S.Proof给出。根据定理4.3，足以说明第（i）部分。为此，由于Apuis关闭了byLemma 6.2，我们只需要证明任何元素X∈ Apuis是元素在a中的适当序列（Xn）在LPU中的极限∞u、现在，以X为例∈ Apu。因为有x∈ 如果u（x）>α，我们可以找到Y∈ lpe[u（Y）]>α。然后，设置zλ：=λX+（1- λ） Y代表λ∈ （0，1），u-yieldsE[u（Zλ）]≥ λE[u（X）]+（1- λ） E[u（Y）]>α。（42）自Zλ→ Lpasλ中的X→ 1，这表明我们可以假设E[u（X）]>α而不丧失一般性。现在，假设X几乎肯定是从下方有界的，并设置Xn:=X1{X≤n}∈ L∞对任何人来说∈ N.然后α<E[u（X）]=E[u（Xn）]+E[u（X1{X>N}）]。

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大多数88

2022-5-5 10:16:12

（43）由于u是从上面有界的，我们有E[u（X1{X>n}）]→ 0作为n→ ∞ 通过控制收敛，对于足够大的n，henceE[u（Xn）]>α∈ 特别是，我们最终有了Xn∈ A.∞u、这表明X∈ 中电（A）∞u）因为Xn→ Lpas n中的X→ ∞.最后，假设X几乎肯定不是从下方有界的，并定义每个n∈ N随机变量xn:=X1{X≥-n}∈ Lp。很明显，Xn→ Lpas n中的X→ ∞. 此外，E[u（Xn）]≥ E[u（X）]>α表示alln∈ 由于每个Xn几乎肯定是从下方有界的，我们可以根据前面的论证得出结论Xn∈ 中电（A）∞u）对任何人来说∈ N所以X∈ 中电（A）∞u）。指数效用不确定性指数可能是∞ 即使你永远无法实现价值-∞. 为此，我们考虑了指数效用函数u（x）：=1- E-γx，x∈ R、对于某些fix-edγ>0。以下结果显示了L∞基于预期的指数效用，不允许对任何LPS空间进行有限值的连续扩展，1≤ p<∞.推论6.7。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=∞.证据任何一个≤ p<∞ 我们有Limx→∞xpu(-x） =limx→∞xp1- eγx=0。（44）因此，引理6.3意味着Apui的内部是空的，因此ρA∞u、 SDO不允许对LPTH eorem 6.6进行任何限定值的连续扩展。平功率利用率我们现在展示了我们可以在L上定义凸风险度量∞其指数等于规定的1≤ q<∞. 为了实现这一效果，请记住，单位（x）定义了流量效用函数：=-|x | qif x<00如果x≥ 0（45）其中1≤ q<∞.推论6.8。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=q，并获得指数。证据首先，注意e[u（X）]=-kX∧ 0kqqforall X∈ L

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能者818

2022-5-5 10:16:16

（46）因为我们假设某些x的u（x）>α∈ R、在本例中，这意味着α<0。为了p≥ q地图U:Lp→ 定义的byU（X）：=E[u（X）]代表X∈ Lp（47）很容易被认为是连续的。因为Apucontains非空的，开放的集合U-1((α, ∞)), 它必须有非空的内部，因此fin（ρA∞u、（S）≤ 根据定理6.6。特别是，注意ρA∞u、可以扩展到Lq上的有限值连续风险度量。如果p<q，则立即看到该极限→∞xpu(-x） =- 利克斯→∞xp-q=0。（48）因此，Apuis的内部由引理6.3清空，因此fin（ρA∞u、（S）≥ q作为REM 6.6的一个补充。在结论中，fin（ρA∞u、 S）=q，并获得指数。非H ARA实用程序的一个示例在本节中，我们重点介绍实用程序函数u（x）：=如果x≥ ca（1+ax）-√1+ax）如果x<c（49），对于固定参数a>0和c≥ 0，C=a（1+ac-√1+ac）。[13]的第2.2.2节中提出了无上限版本，作为指数效用的一种可处理替代方案，如果人们希望对负财富的惩罚不那么严厉的话。下面的结果表明，相应的风险度量总是可以扩展到L.推论6.9。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=1，并获得指数。证据定义地图U:L→ R通过设置u（X）：=E[u（X）]表示X∈ L.（50）因为U是凹的且是递增的，所以根据[1]中的定理1，它是连续的。因此，AU有一个非空的interior，因为它包含非空的、开放的s et U-1((α, ∞)).

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mingdashike22

2022-5-5 10:16:21

总之，定理6.6意味着fin（ρA∞u、 S）=1，并且该指数明显达到。7最大相关风险度量在本节中，我们提供了由R¨uschendorf在[17]中引入的、由Ekeland和Schachermayer在[6]中以及byEkeland、Galichon和Henry在[7]中研究的所谓最大相关风险度量的不确定性指数的特征。考虑Q上的一个概率度量(Ohm, F）对于P来说，这是绝对连续的≤ P≤ ∞ 这就是DQDP吗∈ Lp’并定义最大相关风险度量ρQ，p:Lp→ R∪{∞} 通过ρQ，p（X）：=s upE[-XY]；Y~dQdP为了X∈ Lp。（51）根据[3]中的定理13.4，对于任何X∈ L∞我们有等价的（更常见的）公式ρQ，p（X）：=supX′~XEQ[-X′代表X∈ Lp。（52）与ρQ相关的接受集，由apq给出：={X∈ Lp；ρQ，p（X）≤ 0} =十、∈ Lp；E[XY]≥ 0, Y~dQdP. （53）显然，阿普奇定律是不变的和相干的，即凸锥。我们首先展示风险度量ρA的时间∞Q、在L上估值的Sis FITE∞.提议7.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞. 以下是等价的：（a）ρa∞Q、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） infZ~STEQ[Z]>0。证据自从∞Qi是一致的，根据[8]中的命题3.6和定理3.16，（a）等价于作为a的内点的St∞Q.通过现金附加风险度量ρQ的连续性，∞, 这等于ρQ，∞（ST）<0，结束证明。在证明最大相关风险度量的扩展结果之前，我们需要以下引理。引理7.2。让我≤ P≤ ∞ 假设dqdp∈ Lp′。然后是ρQ，pis fine值，因此是continuouson Lp。证据为了X∈ Lpwe有|ρQ，p（X）|≤ kXkpdQdPp′（54）使得ρQ，p在Lp上取值。此外，对于任何X，Y∈ Lpwe有ρQ，p（X）≤ ρQ，p（X）-Y）+ρQ，p（Y）的次可加性，因此，|ρQ，p（X）- ρQ，p（Y）|≤ kX- Y kpdQdPp′。

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可人4

2022-5-5 10:16:25

（55）因此，ρQ，pis-Lipschitz在Lp上是连续的。现在我们来描述1≤ p<∞ 风险度量ρQ，∞允许有限价值的持续扩展到Lp。提议7.3。一个人≤ p<∞ 以下内容适用：（i）IfdQdP∈ Lp′，然后ρQ，∞允许对lp进行唯一的有限值连续扩展，由ρQ，p.（ii）IfdQdP6给出∈ Lp′，然后ρQ，∞不允许对Lp进行有限值连续扩展。证据由于（i）很容易从前面的引理得到，我们只需要证明（ii）。假设ρQ，∞允许有限合伙的有限值和连续扩展。自从∞Qis闭合，定理4.3意味着它必须具有关于Lp拓扑的非空内部。现在考虑一下线性函数v:L∞→ 定义的byV（X）：=X的等式[X]∈ L∞. （56）注意∞Q 五、-1([0, ∞)) 意味着V-1([0, ∞)) 具有关于Lptopology的非空内部。因此，V相对于该拓扑是连续的。因此，存在一个连续的线性函数Lp:Lp→ R扩展V。特别是，我们可以找到Z∈ Lp′使得所有X的e[XZ]=V（X）=V（X）=EQ[X]∈ L∞, （57）这意味着dqdp=Z几乎不存在。因此，dQdP∈ 这与假设相矛盾。因此，ρQ，∞不允许任何有限值和d，因此，Lp的持续扩展。立即设置Q:=supp′∈ [1, ∞) ;dQdP∈ Lp′. （58）以下结果表征了ρA的不确定性指数∞Q、对于ρQ，∞, 这是提案7.3的直接后果。注释4.5确保了一般交易资产的延期。推论7.4。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞Q、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞Q、 S）=Q′，当且仅当ifdQdP∈ Lq。备注7.5。众所周知，最大相关风险度量是一种失真风险度量，参见[17]中的备注2.6。

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可人4

2022-5-5 10:16:28

因此，证明Corollary 7.4的另一种策略是在下一节中使用结果。然而，上述证明更直接、更简单。8失真风险度量在本节中，我们依赖于[15]中获得的现金加性失真风险度量的结果，并推导出不需要现金加性的一般风险度量的相应一致性指数。设δ：[0,1]→ [0，1]是满足δ（0）=0和δ（1）=1的凹增函数。为了X∈ L∞我们用fx表示X的分布函数。相应的失真风险度量是映射ρδ：L∞→ 定义为ρδ（X）：=Z-∞δ（FX（x））dx-Z∞(1 - x的δ（FX（x）））dx∈ L∞. （59）我们参考[11]中的第4.6节，了解有关此类风险度量的更多详细信息。众所周知，ρδ是一个相干的、定律不变的、现金相加的风险度量，因此相应的接受集aδ：={X∈ L∞; ρδ（X）≤ 0}（60）是定律不变性和一致性的。首先，我们描述了与接受集Aδ相关的一般风险度量仅为有限值时的特征∞.提议8.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞. 以下是等价的：（a）ρaδ，有限值，因此在L上是连续的∞;（b） δ（FST（x））<1，对于某些x>0。特别地，如果δ在左邻域1上严格增加，那么（a）成立。证据首先，注意Aδ在L中有非空的内部∞因为它包含了L的翻译∞+根据单调性，相应的内点是∈ L∞满足ρAδ（X）<0。通过结合[8]中的命题3.6和定理3.16，可以得出ρAδ在L上的值∞当且仅当St属于δ的内部。

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大多数88

2022-5-5 10:16:31

因此，断言（a）相当于ρaδ（ST）=-Z∞(1 - δ（FST（x）））dx<0，（61），由于δ的单调性，它又等价于（b）。现在，定义：=su pP∈ [1, ∞) ;Z（δ′+（λ））pdλ<∞（62）其中δ′+表示δ的右导数。以下结果直接来自[15]中的命题2.22，并结合备注4.5。提议8.2。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρAδ为有限值。然后fin（ρAδ，S）=q′，指数为if，只有ifR（δ′+（λ））qdλ<∞.例8.3。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 并假设相应的风险度量ρAδ，是L上的有限值∞. [2]中讨论了以下畸变函数；s ee[15]。MAXVAR风险度量对应于x的畸变函数δ（x）=xγ∈ [0,1]和γ≥ 1.（63）直接计算表明fin（ρAδ，S）=γ，且未达到该指数。类似地，MINVAR风险度量对应于δ（x）=1-(1 - x） x的γ∈ [0,1]和γ≥ 1.（64）在这种情况下，fin（ρAδ，S）=1，并获得指数。MAXMINVAR风险度量与失真δ（x）=（1）有关-(1 - x） γ）x的γ∈ [0,1]和γ≥ 1.（65）自δ′（x）~ （γx）γ-1对于x→ 0，则得出fin（ρAδ，S）=γ，且未达到该指数。类似地，与δ（x）对应的MINMAXVAR风险度量=1.- (1 -x） γx的γ∈ [0,1]和γ≥ 1（66）表示fin（ρAδ，S）=γ，且未达到in-dex。我们还可以考虑畸变δ（x）=1.- (1 -x） βx的γ∈ [0,1]和β，γ≥ 1.（67）在这种情况下，根据[15]中的示例2.23，fin（ρAδ，S）=β，且未达到指数。例8.4。考虑δ（x）=log（2）log（1+x）形式的畸变函数∈ [0, 1] . （68）然后立即看到fin（ρAδ，S）=1，并且指数已达到。参考文献[1]比亚基尼，S。

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能者818

2022-5-5 10:16:35

关于Namioka-Klee定理的推广和Fatouproperty。最优与风险：数学金融的现代趋势，第1-28页（2009）[2]Cherny，A.，和Madan，D.B.：作为交易对手的市场：圆锥曲线简介。《国际理论与应用金融杂志》，13（8），1149–1177（2010）[3]Chong，K.M.，和Rice，N.M.：功能的可测量重组，皇后大学（1971）[4]Cont，R.，Deguest，R.，和Scandolo，G.：风险测量过程的稳健性和敏感性分析。定量金融，10（6），593–606（2010）[5]达德利，R.M.：真实分析和概率，剑桥大学出版社（2004）[6]艾克兰，I.，和沙切迈耶，W.：L.的法律不变风险度量∞（Rd）。统计学与风险建模，28（3），195–225（2011）[7]埃克兰，I.，加利孔，A.，和亨利，M.：多元风险的共单调度量。M athematicalFinance，22（1），109–132（2012）[8]法卡斯，W.，科赫-麦地那P.，和穆纳里，C.：超越现金附加风险度量：当改变数字失败时。《金融与随机》，18（1），145–173（2014）[9]法卡斯，W.，科赫–麦地那P.，和穆纳里，C.：多资产风险度量。arXiv:1308.3331（2013）[10]Filipovi\'D.，和Svindland，G.：法律不变凸风险度量的规范模型空间L.数学金融学，22（3）：585–589（2012）[11]F–ollmer，H.，和Schied，A.：随机金融学：离散时间导论。De Gruyter第三版（2011）[12]汉佩尔，F.R.：稳健性的一般定性定义。《数理统计年鉴》，42（6），1887-1896（1971）[13]Henders on，V.，和Hobson，D.：效用差异定价：概述。差异定价。理论与应用。普林斯顿大学出版社，第44-73页（2009）[14]Kr¨atschmer，V.，Schied，A.，和Z¨ahle，H.：尾部相关统计函数的定性和最小稳健性。

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nandehutu2022

2022-5-5 10:16:40

多变量分析杂志，103,35-47（2012）[15]Kr¨atschmer，V.，Schied，A.，和Z¨ahle，H.：法律不变量风险度量的比较和定性稳健性。《金融与随机》（Finance and Stochastics，in press（2014）[16]Jouin i，E.，Schachermayer，W.，and Touzi，N.）：法律不变风险度量具有法图属性。数学经济学进展，9，49–71（2006）[17]R–uschendorf，L.：投资组合向量的法律不变凸风险度量。统计与决策，24（1），97–108（2006）[18]斯文德兰，G.：L.上的法律不变（拟）凸风险函数的连续性p性质∞. 数学与金融经济学，3（1），39-43（2010）

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