Korbel/Physica A 00（2018）1-22 17和{si}mi=1的值取决于手头的具体问题。我们有足够的统计数据，有必要取这些值，否则当si~ N、 我们在数量估计方面可能会有问题。在大多数情况下，选择至少比N小一个数量级的SIA是最佳的。在附录A中列出的算法中，序列{si}mi=1被选择为S={2i}洛根-3i=2。选择比例作为几何级数有两种方法。首先，当回归Hq（s）~ 执行ln s，然后点{ln si}mi=1位于均匀分布的对数lin图上。其次，渐近计算复杂度从原来的O（N）降低到O（N logN）。在多个时间尺度上的优化可以通过最小化所有直方图中所有误差的总和，并找到这样的h*使总渐近均方误差（TAMISE）最小化的QT，其定义为asTAMISE（{^pqs，…，^pqsm}）≡mXi=1AMISE（^pqsi）=mXi=1q（2π）1-q^σ2（1）-q） siNsihp2q- 1+h√问题2-（1+q）π-（1/2+q）^σ-（1+2q）si. （77）有了这个，你可以立即施放h*秦国*q=（24√π） 1/3ρqvtPmi=1σ2（1-q） si/NsiPmi=1σ-（1+2q）si≡ (24√π） 1/3ρqNσq，m.（78）函数Nσq，mr表示特定直方图对最佳仓位宽度的贡献方式。同样，遵循Scott[36]的方法，我们可以用经验的^σSi代替理论标准偏差，得到^hS cq=3.5ρqN^σq，m.（79）。另一方面，遵循FD策略[45]，我们用四分位区间代替估计的标准偏差，从而得到^hFDq=2.6ρqNdIQRq，m.（80）当m=1时，乘法常数是根据情况确定的。不幸的是，在多个直方图的情况下，公式没有公式（70）那样好的性质，也就是说，它没有分解成ρqandq独立部分的乘积。顺便说一下，我们可以注意到，对于m=1，我们恢复了方程的原始形式。

(70).顺便说一句，我们注意到，根据图3 a）所示q=1的AMISE误差函数的形状，最好高估直方图中的箱数（箱数比最佳箱数多一点），而不是低估它。低估直方图的误差比高估直方图的误差增长更快。这也是FD方法适用于正态分布的主要原因，尽管它估计的料仓数量比Scott方法所指示的要多。5.MF-DEA方法和概率估计的数值分析为了说明对经验PDF进行精确估计的必要性，我们计算了不同仓位宽度的δ谱，并表明PDF估计中的误差确实在很大程度上影响了多重分形谱。作为一个典型的时间序列，我们选择了1950年1月至2013年3月期间（大约16000个数据点）在每日一次采样的股票指数S&P500的财务时间序列。图1（a）显示了每日收益。在给定的时间跨度内，S&P500指数可以被视为复杂时间序列的一个很好的例子，因为它表现出一种模式良好的异质性行为。如图4所示，针对三个不同的时间滞后和五个不同的仓位宽度估计了相应的概率分布。特别要注意的是，没有最佳仓位宽度的直方图并不能很好地逼近底层分布。这对于远离最佳值h的宽度尤其明显*q、 事实上，在估计标度系数回归时，随后的误差呈现出一种非平凡分布，见图5。在某些情况下，当箱子宽度不是最优时，估计的熵在对数林分尺度上不会表现出良好的线性行为。对于q的不同选择，这一点甚至更加突出。

这一错误导致的事实是，对于不同（非最佳）的BIN宽度选择，相应的估计δ（q）光谱完全不同（光谱如图6所示）。特别是，对于非常小的料仓宽度，分布分解为每个元素的简单（标准化）计数函数，因为两个或多个值与h一起落入同一料仓的概率→ 0趋于顶部。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 18给定恒定长度N的零。让我们注意到，正确的bin估计在数据包络分析的单分形版本中也很重要，Scafetta at al.[19]。当然，如果我们在一个很小的波动时间范围内估计光谱<< N代表所有si（so N~ nsi和σ~ sH，其中H是赫斯特指数[47]，通常为H∈ （0，1）），然后我们可以估计第一个直方图的最佳仓位宽度，并将其用于其他直方图。然而，在多个尺度上进行预成像或在敏感值q下评估光谱时，选择适当的q依赖性*QQ变得越来越重要。5.1. 比较不同仓宽估计的δ谱对于第4.4节讨论的每种方法，我们估计了最佳仓宽和谱。获得的结果如图7所示，表中列出了计算出的最佳料仓宽度。该图暗示了上述两种方法的不同光谱。我们可以观察到，尽管Scott方法和FD方法中的最佳宽度不同，但在某些情况下，相应的光谱可以合并在一起。这可能是因为金融数据不是以任意价格进行交易的，任意价格可以是任何实数，但价格总是以美元和美分（在美国股票中）表示，以美元表示的数字在小数点后最多有两位数。

这导致数据在这些价格面上进行分组，因此，如果这些价格面落入相同的区域，不同的组织切片可以看起来完全相同。如果实证数据的精度不确定（即，如果任何实际价值的价格都可以进行资产交易），则光谱通常会有所不同。这些方法中哪一种可能更有效主要取决于具体的数据集，但是，正如我们在前一段中所说的，一般来说，高估垃圾箱的数量比低估它要好。因此，从这个角度来看，FD方法的q-推广更为稳健。6.结论本论文研究了典型出现在单分形和多重分形扩散熵分析框架中的经验概率直方图的最佳仓位宽度选择问题。通过一个异构时间数据序列的简单模型示例，我们展示了使用微分R’enyi熵概念研究多时间尺度过程产生的时间序列的一个重要优势。这是因为在最常用的非线性复杂度度量中，基于RE的分形维数δ（q）和广义维数D（q）与PDF在各自时间尺度上的缩放方式直接相关。在我们的（非高斯）稳定分布模型框架中，对于不同的时间尺度，具有不同的稳定系数，我们发现只有RE具有q≥ 1.具有实际意义。此外，该模型具有足够的可处理性，我们可以提取R’enyi的q参数对局部标度u的数值依赖性。为了能够量化不同时间尺度下的时间序列标度特性，我们需要在自然时间内进行控制。为此，我们考虑了流量收集算法和随后的差异。

SuchRE考虑了事件的顺序，因此重新获得的结果可以被视为一个动态熵，也就是说，它捕捉了给定系统在各自尺度上的动力学特征。同时，函数集合算法的重要模拟是它对遍历和马尔可夫系统的适用性。特别需要设置适当的泛化，使所提出的方法和非遍历随机过程（加速、相关、路径依赖或老化随机游动）之间能够自然过渡。基于分数布朗运动的这些工作目前正在进行中。我们随后的调查显示，为了获得可靠的微分RE和随后的标度指数δ（q），必须非常小心地选择料仓宽度。我们认为，通过R’enyi信息散度（这是更常见的Kullback–Leibler散度的q-推广）和密切相关的L-距离，可以很好地量化由面元宽度估计引起的误差。获得的最佳仓宽公式表明，对于较大的q值，最佳仓宽约为q1/3h*, h在哪里*是q=1的最佳仓位宽度，可根据基于L距离的经典仓位宽度规则（例如Scott或FD最佳仓位宽度规则）获得。另一方面，我们的方法基于渐近误差评估，在q处遇到自然数学极限→+最佳料仓宽度开始发散的位置。在经典的AMISE方法中，这个问题的根源可以追溯到正态分布，并且（原则上）可以通过假设有界分布（例如截断高斯分布或L’evy分布）来避免。

本研究得出的另一个重要结论是，上述仓位宽度规则可以直接推广到多个组织图中。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 19具有相同的箱子宽度。在这种情况下，通过最小化总的渐近均方误差得到合成的箱子宽度。多个直方图的最佳仓位宽度规则似乎更为重要，因为不同尺度和不同q的最佳仓位宽度可能会显著不同，该规则规定了如何平均这些最佳仓位宽度，以便将所有误差保持在可接受的水平。本文的分析清楚地表明，MF-DEA方法的主要优势在于该方法的鲁棒性，尤其是对于q值较大的情况，即当q>> 1.之前讨论过的其他一些方法，主要是基于矩E[Xq（t）]估计的方法，对于表现出长程相关性、重尾或其他类型的黑天鹅事件的数据，往往会失败。然而，这些数据在各种复杂系统中出现的频率相对较高，即使是对其行为的定性描述，目前也受到许多从业者的关注。在涉及时间序列的标度、自相似性和多重分形特性的实证研究中，所获得的结果尤其相关。这种复杂模式数据序列的范例是经验金融时间序列，例如股票收益率或波动率（发达市场和新兴市场）。我们对1950年至2013年期间收集的标准普尔500指数日收益率进行的数值分析表明，斯科特和FD规则的适当q-推广代表了一种在许多经验金融时间序列中估算多重分形标度指数δ（q）的合适且在实验上可行的方法。

除了更快地实现所需的缩放，整个过程的重要优势在于，它可以总结为一个紧凑的算法（用R代码编写，这是本文的一部分），随后可用于复杂长期数据集的δ（q）谱（以及随后的广义维D（q））的高效验证。7.致谢特别感谢野村证券有限公司的X.赛勒在财务数据方面给予我们的帮助。我们非常感谢H.Kleinder和H.Laviˇcka的评论，这些评论帮助我们更好地理解本文中讨论的观点。这项工作得到了捷克共和国拨款机构（批准号GCP402/12/J077）和布拉格捷克技术大学拨款机构（批准号SGS13/217/OHK4/3T/14）的支持。附录A.程序设计语言R#install中MF-DEA算法的源代码。（GLDEX）的包装（“GLDEX”）的需求（GLDEX）的需求（GLDEX）的需求（GLDEX）的需求（GLDEX）的需求（GLDEX）的频谱（GLDEX）的谱谱（函数（X）的需求（GLDEX）的需求（GLDEX）的谱谱（功能（X）函数（X，方法，方法=\'FD）的{35各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各各##############################如果（长度（X）<128）返回（‘数据不足’）刻度<-2（2:log（2:X），设定的时间为10平方米（平方米）35摩摩摩摩摩基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基（35日）是本公司的周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五的波动波动波动波动的波动的波动的波动的波动的波动的周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五[1]）}P.吉兹巴和J。

本周（3月15日）的第五个月（2018年）1-22 20（2018年）1-20（2018年）1-20（2018年）1-20（2018）1-22 20（2018日）1-10 10 10 10 10 10 10 10月20日（3月5日日日）和3月3日（3月日日日日日日日日，本本本本本月月日日日日日日日日日日日日，本本本本本本本周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五（35）本周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五的周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五周五的的（i in 1:长度（scale））{IQRangeL[[i]]<-IQR（na.省略（波动[i，]）}IQRange<<-IQRangeLlengthsL<-array（dim=length（尺度）为（我在1:1中的i（我在1:1中的i（尺度）为（我在1:1：长度（尺度）的）长度（我[i，[[i，[[i，]））的）长度（长度）为（我在1:1）中的（我在1:1（尺度）的）长度（我[[[i]）的长度（na.省略（波动[i，[i，[[i，]）））））的）的）））长度）长度（长度）长度）长度<<<<-Lenththththththththththththththth罗的长度的长度长度（长度<<<<<-长度（我的长度长度长度长度长度长度长度长度长度长度<<<<-长度（我的长度（我的长度（我的长度）长度长度长度长度（我的长度）长度长度<<<<-长度长度，长度长度长度长度（Lenthththththththththththththththththth##hstarS<-函数（q）{return（rho（q）*3.5*（sum（sigma^（2*（1-q））/length/sum（1/（sigma^（1+2*q）））^（1/3））}（1/3）第三季度（1/3）的第三季度（1/3）的第三季度（1/3）的第三季度（1/3）的第五季度（1/3）的第三季度（1/3）的第三季度（1/3）的第三季度（1/3）的第三季度（第三季度（2*（1-q）范围（1-1-1-q）的（1-q）和（1-q（1-1-q）、1-q（1-1-q）q）、1-q（1-1-q）、1-q（1-q（1-q）、1-q（1-1-q（1-1-q）的范围（1-1-q）和（1-q）、1-q）、1-q）、长度/1/3））、长度/长度/长度/1/1/1/1/1（1/3）和（1（1/3））、1（1/3）和（1/3）本月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月日日日日日日日日日日日日日日日日日日月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日#############Sq<-矩阵（nrow=长度（q），ncol=长度（标度））tauq<-矩阵（nrow=长度（q），2）P.Jizba和J.Korbbe/Physica A 00（2018）1-22 21为（n in 1：（长度（规模）规模）1）1-22 21为（n in 1（i in 1）中的（i in 1：长度（q）中的（i in 1）中的（i in 1:1：长度（q）中的（i）中的i:1：长度（q））{（P）P P<-na。省略（波动[n，[n，[n，[n，[n，]的）n.省略（波动[n，]n，））n）n）n）n）n）n。h<-hit（波动（波动[n，）h）h）h<-hit（波动[[n，）h）h）h<-hit（波动（波动[n，[n，[n，[n，[n，）h）h）h）h）h）h<-hit（P）h）hit（P）本月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月月日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日日#########如果（q[i]=1）{Sq[i，n]<--sum（pr*log（pr））}其他{Sq i，n]<-1/（1-q[i]）*log（sum（pr^q[i]）}}}for（i in 1:length（q））{fit<-as.vector（na.omit（Sq[i，]）model<-lm（fit~log（scale））tauq[i，]<系数（model）}tq<-tauq[，2]ret data。框架（q，tq）返回（ret）#函数结束参考文献[1]K.Kim，S.-M.Diaconis，金融市场的多重分形特征，Physica A 344（2）（2004）272。[2] J.T.马查多，F.B.杜阿尔特，G.M。

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Korbel/Physica A 00（2018）1-22 25-1 0 1 2 3 4-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 3 4-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 3 4-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 3 4-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1 0 1 2 3 4-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图6。不同仓位宽度h值的估计δ谱（中线）和99%置信区间（阴影区域）。对于远离最佳宽度的仓位宽度，光谱减小，置信区间变宽。特别是，另一方面，对于不完整的直方图，小q的误差最大，对于过度拟合的柱状图，对于q\'s的大值，误差最为明显。h=100 h=10 h=1 h=0.1 h=0.01δ（q）q0 2 4 6 8 100.30 0.35 0.40 0.45 0.500 2 4 6 8 100.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01010 20 30 Scottfdm方法以u=3×10的倍数表示q=1的最佳仓宽-4Scott 0.00470 14.10Freedman–Diaconis 0.00384 12.81图7。从左起：a）通过不同方法估算的料仓宽度的δ（q）谱。两种方法的光谱几乎都是一致的。b） 最佳料仓宽度^h*这两种方法都适用。左y轴显示自然单位，右y轴将宽度与u=3×10的倍数进行比较-4.与之前的数据进行比较。图下：h的最佳值表*对于不同的方法，h*qc可以很容易地从公式（70）中获得。结果也被转换为与图4中相同的单位，以便读取器可以容易地将结果与先前的值进行比较。qδ（q）qh*a）b）