多重分形扩散熵分析：最优的网格宽度

2022-5-5 11:03:35

随着计算机在全球范围内的大规模应用，以及它们收集和处理大型数据集的能力的提高，人们对新的分析方法产生了需求。最近，大量文献致力于开发和使用新的数据分析范式。这些研究包括分形和多重分形[1]、分数动力学[2,3]、复杂性[4,5]、熵密度[5]或转移熵[6,7,8]等概念。特别是在金融时间序列方面，测量和管理经验高频数据序列的分形和多重分形标度行为的技术发展迅速。时间数据集中的非平凡标度行为代表了多时间尺度合作行为的典型特征，这与二阶相变中的非平凡标度行为反映潜在的长程（或多尺度）合作相互作用的方式大致相同。例如，在量化关键或接近关键的标度时，标度方法的有用性是非常高的，这通常标志着金融危机的开始，包括股市崩溃、货币危机或主权违约[9]。多重分形缩放，尤其是电子邮件地址：p。jizba@fjfi.cvut.cz（彼得吉兹巴），korbeja2@fjfi.cvut.cz（Jan Korbel）P.吉兹巴和J。

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2022-5-5 11:03:39

Korbel/Physica A 00（2018）1–22 2有助于确定涉及时间和资产间相关性的相关量表[8]。顺便提一句，除了财务数据序列外，在心率动力学[10,11]、DNA序列[12,13]、长期天气记录[14]或电力负荷[15]的时间数据集中，还观察（和分析）了类似的（多重）分形标度模式。为了识别复杂系统（确定性和随机性）生成的时间序列中的分形和多重分形标度，随着时间的推移，已经开发了几种工具。最流行的是去趋势波动分析[12,16]、小波[17]或广义赫斯特指数[18]。本文的目的是讨论并提出另一种相关的方法，即多重分形差异分析（MF-DEA）。在这样做的过程中，我们将强调r^ole，r^enyi的熵（RE）在这方面发挥的关键作用。为此，我们将采用两种方法来估算可直接用RE表示的标度指数，即Scafetta等人[19]的单分形方法和Huang等人的多重分形方法。[20] ，以及莫罗佐夫[21]的进一步评论。本研究得出的最重要的结论是，在经验直方图中提出了最佳箱宽的建议。后者确保了当基本概率密度函数（PDF）被其经验直方图取代时，RE（因此也是标度指数）评估中的误差在R’enyi信息散度和相关L距离的意义上是最小的。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:03:43

我们进一步证明，由此产生的最佳仓位宽度允许以完全定量的方式表征多重分形标度指数δ（q）和D（q）的层次结构。本文的结构如下：在第2节中，我们简要回顾了多重分形分析的基础，这些基础将在接下来的章节中用到。特别是，我们引入了Lipschitz–H–older的奇异指数、多重分形谱函数及其Legendre共轭等概念。在第3节中，我们陈述了波动收集算法的一些基本原理，并提出了一个关于异构多尺度时间序列的简单示例。在此框架内，我们讨论了MF-DEA，并强调了r^enyi熵作为多尺度量化器的作用。在这篇准备材料之后，我们在第4节讨论了在经验直方图中应该采用的最佳仓宽选择问题。特别是，我们分析了多重分形谱评估中最小化误差所需的bin。在第5节中，我们通过分析1950年1月至2013年3月期间（约16000个数据点）以每日（交易日结束）利率抽样的标准普尔500指数的时间序列，证明了所提出的误差估计的有用性和形式一致性。我们使用开源软件R进行符号计算，以说明所提出的最佳箱子宽度选择的优势。特别是，我们以图形方式比较了不同仓宽的多重分形δ谱。我们的数值结果表明，与使用的其他替代方案相比，所提出的料仓宽度确实是最优的。还讨论了δ（q）谱作为R′enyi q参数函数的含义，并用图形表示。结论和进一步的讨论被归入结论部分。

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2022-5-5 11:03:46

为了方便读者，我们在附录A中提供了语言R的源代码，可以直接用于有效估计长期数据序列的δ（q）谱（并确保广义维数D（q））。2.多重分形分析让我们有一个离散时间序列{xj}Nj=1 RD，其中xjare是从时间tj的测量中获得的，具有一个相等的时间滞后s。我们将xj的整个定义域划分为不同的区域K，并确定每个区域的概率为≡ 画→∞NiN=limN→∞卡片{j∈ {1，…，N}|xj∈ Ki}N，（1）其中“card”表示基数，即集合中包含的元素数。对于每一个区域，我们认为概率的尺度为pi（s）∝ sαi，其中αi是标度指数，也称为Lipschitz–H–older（或奇异性）指数。多重分形分析中的关键假设是，在小s极限下，我们可以假设概率分布平滑地依赖于α，因此可以在公式dρ（s，α）=limN中考虑某个任意区域在区间（α，α+dα）内具有标度指数的概率→∞卡片{pi∝ sα′|α′∈ （α，α+dα）}N=c（α）s-f（α）dα。（2） P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 3相应的标度指数f（α）被称为多重分形谱，通过其定义，它代表了带有标度指数α的PDF子集的（盒计数）分形维数。跟踪各种pi的一种简便方法是检查相应时刻的比例。为此，我们可以定义一个“配分函数”Z（q，s）=Xipqi∝ sτ（q）。（3）在这里，我们引入了标度函数τ（q），它是热力学自由能的一个类似物[22,23]。本质上是配分函数（3），除了（q- 1）概率分布的第阶矩，即Z（q，s）=e[Pq-1（s）]。

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2022-5-5 11:03:50

有时引入随机变量X={xi}asE[X]f=f的广义平均值是很方便的-1.Xif（xi）pi. （4）函数f也称为Kolmogorov–Nagumo函数[22]。对于选择f（x）=xq-1一个获得所谓的q-平均值，通常表示为E[··]q。然后通常引入q-平均值asE[P（s）]q=q的标度指数D（q）-1pE[Pq-1（s）]∝ sD（q）。（5）这种D（q）被称为广义维数，从（3）中，它通过关系与τ（q）相连：D（q）=τ（q）/（q）- 1).在某些特定情况下，广义维数可以与其他已知的分形维数相识别，例如，对于q=0，我们有通常的盒计数分形维数，对于q→ 1我们有信息维度，当q=2时，它对应于关联维度。广义维数本身可以从关系式d（q）=lims中获得→0q- 1ln Z（q，s）ln s，（6）这促使了R’enyi的entropyHq（s）=1的引入- qln Z（q，s）。（7）通过（6）定义的广义维数也被称为q阶的R’enyi维数。等式（7）反过来意味着，对于小s，有Hq（s）~ -D（q）ln s+CQ，其中CQ是独立于s的术语（参见参考文献[22]）。多重分形谱f（α）和标度函数τ（q）不是独立的。它们之间的关系可以从配分函数的表达式中找到，在（1）和（2）的帮助下，可以等价地写成z（q，s）=Zdαc（α）s-f（α）sqα。（8）通过采用最陡下降近似，我们发现τ（q）=qα（q）- f（α（q））。（9）这里α（q）是奇点指数的一个值，它使qα最大化- f（α）对于给定的q。结合可微性假设，我们发现α（q）=dτ（q）/dq，因此等式（9）只不过是两个共轭对（α，f（α））和（q，τ（q））之间的勒让德变换。

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2022-5-5 11:03:53

函数τ（q）的勒让德变换f（α）包含与τ（q）相同的信息，并且是处理多重分形时通常研究的特征[17,20,22,23]。顺便说一句，我们可以观察到，从多重分形到单分形的过程是通过假设α区间变得非常窄，并且基础PDF是平滑的来完成的。在这种情况下，α和f（α）都崩溃为α=f（α）≡ D和q=df（α）/Dα=1（参见参考文献[22]）。Pq-1是一个概率和值等于pq的随机变量-1i。在这里和整个过程中，我们都使用自然对数，从信息的角度来看，更自然的做法是通过对数将RE表示为基数2。因此，重新定义的单位是自然单位——纳特，而不是比特。P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 43。差异熵分析3。1.波动收集算法为了能够利用RE提取标度指数，我们需要从给定的经验数据序列中正确估计概率分布。对于我们来说，特别有用的方法是所谓的Luctuation collection algorithm（FCA）[19]。为了理解所涉及的内容，让我们假设{xj}Nj=1是一个平稳时间序列。通过将时间序列视为一组一维产生扩散的扩散，可以将其转换为随机游动（即扩散轨迹）。利用时间斜纹beξ（t）=PMi=1xi时的“粒子”位置进行差分。这里t=Ms和M≤ N和s是基本的时滞。使用类随机行走过程而不是原始（类噪声）数据时间序列的原因是中心极限定理（CLT）及其L’evy–Gnedenko重尾推广[13,24]。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:03:58

事实上，CLT吸引盆地中随后的分布允许识别（并量化）辅助扩散过程中烙印的真正普遍的标度行为。这是因为非平凡标度可以用所涉及的L′evy稳定非高斯分布的参数来表述。通常，时间尺度间的相关性通常会导致CLT在全球范围内崩溃，但在许多情况下，CLT的有效性至少会在局部保持。在这种情况下，L′evy标度参数取决于局部时间尺度，这反过来导致在复杂动力系统产生的时间序列中出现典型的多重分形图。下一小节将介绍这种行为的一个例子。为了确定可能存在的标度，我们需要知道在时间s=ns（n）时在位置x处发现辅助微分的概率，即满足条件1的整数≤ N≤ N）。FCA通过将一个时间序列，或者更好地将导出的扩散轨迹转换为一组扩散轨迹，精确地解决了这个问题。为此，我们定义- n+1亚序列{x（κ）j}nj=0，其中x（κ）j=xj+κ，κ=0，M- n，j=1，n，x（κ）≡ 0, κ = 0, . . . , M- N（10）特别是，上述每个子序列都有持续时间s。可以设想，具有不同κ的子序列是通过在原始时间序列中将固定长度s的窗口移动恒定量s而形成的。很明显，只有N-n+1这样的转变是可能的。因此，这种子序列的选择被称为移动窗口方法[25]。从任何子序列{x（κ）j}nj=0可以形成一个辅助扩散轨迹（基本上是一个样本路径），如ξ（κ）（s）=nXj=0x（κ）j=nXj=0xj+κ。

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2022-5-5 11:04:02

（11）将时间序列映射到扩散过程会产生重叠的扩散过程。suchN乐队-s+1扩散轨迹现在可以找到所需的概率；对于不同的κ，所有获得的ξ（κ）（s）值被划分为长度为kih（s）的区域，概率由（标准化的）等距直方图估计，即^pi（s）≡卡片{t|ξs（t）∈ 基恩- n+1。（12）图1用S&P500指数的时间序列说明了上述FCA。对于多维数据系列，即{xj}Nj=1 RD，我们用元素体积hD的超立方体箱估计D维直方图。不幸的是，目前FCA没有规定h（s）的大小，但这对正确的重新评估至关重要。在下面的小节中，我们将看到，通常s=s（q），因此最佳仓宽H通常取决于q。在第4节中，我们将讨论h（q）的实际最优值。显然，FCA不适用于非遍历和非马尔可夫系统的情况，例如通过加速、路径依赖或老化随机游动。这是因为，整个函数集合构造背后的关键假设是吉布斯系综方法的可靠使用，而只有当所讨论的时间序列代表基础系统的时间演化时，该方法才是正确的，其复杂的统计规则不会随时间变化。为了简单起见，将在sectionsP中使用FCA的这个有限框架。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 50 5000 10000-0.20 0.001950-2013Index0 50 100 150 200 250-0.05 0.052008Index0 10 20 30 40-0.08 0.00 s=8在2008年1月和2月期间的波动收集指数0.08-0.5-0.2 0.1 s=64在20080 20 60历史图中的变化收集图1。

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2022-5-5 11:04:06

函数收集算法的说明。上图：a）1950年1月至2013年3月金融指数S&P500的时间序列，包含约16000个条目。b）仅2008年标准普尔500指数的一个子集。c） 2008年前两个月的波动收集算法，s=8（s为1天）。该系列是部分整合的，也就是说，函数和σ（t）（在公式（11）中定义）被收集到右侧的直方图中。d） 2008年全年s=64（s为1天）的波动收集算法。该直方图独立于第一个直方图进行估计（对于每个直方图，分别应用Scott最优仓位宽度规则，在以下章节中进行了广泛讨论），因此，两个直方图的仓位宽度都是估计的。这是一个重新估计的问题，因此有必要为所有尺度找到一些共同的仓位宽度。时间序列S&P 500a）b）c）d）要遵循的波动收集算法。尽管它的适用性有限，人们仍然能够从这个方案中得出关于复杂多尺度数据集的分级行为的有价值的结论。感兴趣的读者可以在参考文献中找到FCA tonon平稳时间序列的一些概括。[25, 26].3.2. 单分形和多重分形扩散熵分析统计分形和多重分形不能用描述性统计指标（如均值或方差）来全面描述，因为它们确实以幂律的方式依赖于观察尺度。在文献中，我们可以找到许多方法，从经验数据序列中提取上述多重分形标度指数。例如，基于随机游动的去趋势波动分析[12,16]，基于信号理论的小波分析[17]，广义赫斯特指数[18]，等等。

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2022-5-5 11:04:09

在下文中，我们将采用另外两种方法来估算直接基于RE的标度指数，即Scafetta等人[19]的单分形扩散熵分析和Huang等人[20]和Morozov[21]的MF-DEA。选择这些方法的原因是，与使用的其他方法不同，扩散熵分析可以确定正确的标度指数，即使统计特性涉及异常或奇怪的动力学（例如，进化中的长程模式）。现代金融中的许多技术基本上依赖于一个假设，即被调查的随机变量遵循高斯分布。然而，在金融领域——以及在其他应用领域——P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 6中观察到的时间序列往往偏离高斯模型，因为它们的边际分布是重尾的，甚至往往是不对称的。在这种情况下，普遍采用的正常假设的适当性非常值得怀疑。isoften认为，金融资产回报是大量信息和个人决策几乎连续及时到达的累积结果。因此，在存在重尾的情况下，可以很自然地假设它们近似地由一些（L’evy）稳定的非高斯分布控制。其他轻量级分布，包括Student\'s t、Weibull和双曲，缺乏吸引人的CLT特性。RE可以非常有效地处理现实世界复杂动力学中出现的重尾分布，例如生物或金融时间序列[8]。此外，正如我们已经看到的，RE有助于揭示潜在分布中存在的自相似性[27]。

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2022-5-5 11:04:13

为了更好地理解RE在复杂数据分析中的作用，并进一步发展我们的研究，检查一些简单的模型情况是有帮助的。为此，让我们开始假设PDF p（x，t）具有通过简单的标度关系[25]p（x，t）=tδF编码的自相似性xtδ, （13） t是一个无量纲整数（比如N≥ 1）通过计算相隔s个单位的计时器滴答声来测量经过的时间。或者，我们可以在（13）中使用分数t/s，而不是（无量纲）t，t和s都是满量纲。在后一种情况下，t和s将以秒为单位进行测量。例如，在高斯分布、指数分布或更一般的L’evy稳定分布中，这种标度是已知的。对于稳定分布，关系式（13）基本上意味着，当被理解为N个随机变量之和时，概率p（x，t）在一定比例因子下与单个变量的概率p（x，t）相同，即F（x）。这是分形行为的典型特征——整体看起来就像它的各个部分。操作提取标度系数δ的一种方法是使用差分（或连续）香农熵（t）=-ZRdx p（x，t）ln[p（x，t）]，（14），因为在这种情况下，h（t）=a+δlnt，（15），a是一个与t无关的常数。所以δ可以从（t，H）平面上的对数lin图中解码。注意，对于布朗运动，这给出了δ=1/2，这意味着众所周知的布朗标度，对于（L’evy）稳定分布，是通过关系δ=1/u与L’evyu参数相关的δ指数。尽管上述单尺度模型捕捉到了许多涉及的基本动态，例如金融市场，但它们忽略了时间相关性的现象，而时间相关性反过来又会导致经验时间序列中遇到的长期和短期异质性。

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2022-5-5 11:04:16

这种相关时间序列通常不遵循中心极限定理，可以用反常的单标度指数或通过多重标度来描述。通常，在现实时间序列中，不同时间尺度下的标度指数不同，即对于每个大小的时间窗口（在固定的时间范围内），指数δ（s）对于不同的s通常有不同的值。为了避免技术困难，让我们考虑t=m·s，使m∈ N，也就是说，N可以被m整除。我们可以进一步假设，对于每个固定的时间尺度s，基本过程在统计上是独立的，因此时间范围t内的总PDF可以写成各自PDF的卷积，即p（x，s，t）=Zdmzδ十、-mXi=1zimYj=1sδ（s）Fzisδ（s）, （16）其中特别注意（16）可以被等价地重写为asp（x，s，t）=sδ（s）Zdmzδxsδ（s）-mXi=1zimYj=1F（zi）≡sδ（s）Gxsδ（s）, （17）这里s也是一个无量纲（时间）滴答计数变量，即整数。P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 7其中g（x）=（F* F* ··· * F |{z}m次（x）。（18）为了获得一个非平凡的尺度依赖性标度，我们假设PDF F（x）是L’evy稳定分布。为简单起见，我们将只考虑对称u稳定的L'evy分布，即形式分布，u（x）=2πZRdk exp-s | k |u（s）E-ikx=πZ∞dk cos（kx）exp-sku（s）=s1/微米（s）L1，微米xs1/u（s）, （19）其中s>0和u（s）∈ （0，2]分别是L’evy标度参数和L’evy稳定性指数。这允许用1/u（s）来识别δ（s），用L1，u（x）来识别F（x）。与单尺度情况类似，我们可以通过观察微分熵对时间尺度s的依赖性来确定具体的尺度依赖性。

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2022-5-5 11:04:20

如第2节所述，单分形对应于q=1的情况，这也是1阶RE（即香农熵）在单分形DEA中发挥如此重要作用的根本原因。另一方面，在多重分形的情况下（如规模依赖分布的情况（16）），我们应该使用整类微分RE，definedashq（s，t）=1来代替香农微分熵- qlnZRdx pq（x，s，t）。（20）以获得局部标度δ（s）。实际上，通过用（19）到（20）插入（16），我们得到HQ（s，t）=u（s）ln s+1- qlnZRdx Gq（x）=u（s）ln s+1- qlnZRdx Lqm，u（x）=u（s）lnt+1- qlnZRdx Lq1，u（x）。（21）由于Lq1，u（x）对于u<2的渐近行为（大体上|x |表现为1/|x |u+1），公式（21）仅对q>1/（1+u）具有良好的数学意义。极限情况u=2对应于高斯分布，对于任何q>0，高斯分布表现良好。我们可能会进一步注意到，在（21）中没有明确显示量表s，而是仅通过稳定性指数u（s）隐式反映。这是可以理解的，因为标度s不能直接观察到，而HQI原则上是一个可观察的量[28,29]。当时滞s很小时，可以预期Hqc可以从s解析地扩展∈ N+到s∈ R+。然后很容易检查0=总部（南、北）s=-u′sln tu（s）-q1- qRRdx(L1，u（x）/u）Lq-11，u（x）RRdx Lq1，u（x）, （22）尤其是=总部（南、北）sQ→1= -u′（s）“ln tu（s）+ZRdx(L1，u（x）/u)ln L1，u（x）+1#= -u′“ln tu（s）+uZRdx L1，u（x）ln L1，u（x）#。（23）因为ErrRdx L1，u（x）ln L1，u（x）是u的单调递增函数（参见参考文献[30]——越细的L1，u越高的香农熵/无知），所以（23）中的导数项为正。

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2022-5-5 11:04:24

因为也在t≥ 0（请注意，t是一个整数）≥ 1），条件（23）表示u′（s）=0，或等效地表示u（s）为常数。这证实了之前的观察结果，即使用香农的微分熵可以很好地量化单分形时间序列。另一方面，当q，1时，我们也可以用一个非常数的标度指数来处理这种情况。这是可能的，因为[…]中的表达式q>1时可以为零。事实上，检查数字并不困难。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 8t=1t=2t=30.51.01.52.0t=1t=2t=30.10.20.30.40.50.61.05.02.03.01.5Μ=0.1Μ=0.2Μ=0.3Μ=0.1Μ=0.15Μ=0.21.02.53.02.01.5图2。方程（22）的解为函数q=q（u），且时间t恒定——图a）。图b）（对于u的小值）-或作为函数q=q（u）和常数t–图c），分别。图d）（对于较小的t值）。这些解决方案表明，在第节定义的多尺度模型中，哪些q具有检测非平凡多重分形标度的能力。3.2. 对数lin图中获得的曲线代表了适用于给定点的最佳多项式。所得到的曲线意味着q增长很快——比u的指数函数快，分别为t。另一方面，在t.ttuq qq qa）b）d）c）的小值下，指数依赖性是很好的。rrdx Lq1，u（x）是q<1u的单调递增函数，而对于q>1则不是。这反过来允许（至少在一段时间范围内）μ对q的非平凡依赖性。这在图2上描述。当然，事实上[…]=0本身并不排除u仍然是常数的可能性（如（23）所示）。如果是这样的话，时间序列将是单分形的，这是一个独立于q的声明，可以通过在q>1的几个总部查看来验证。

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2022-5-5 11:04:28

如果单分形确实成立，那么可以通过香农熵进行进一步分析。无论是单分形还是多重分形，从（t，Hq）平面上的对数lin图可以提取所需的标度1/u（s）=δ（s）=δ（s（q））≡ δ（q）（参见参考文献[22]）。通过认识到所考虑的（无量纲）时间变量t是以s为单位测量的，我们可以将（21）中的对数项写成-u（s）ln s+u（s）ln t，（24），其中s和t现在以（无量纲）秒为单位进行测量。通过将其与（7）进行比较，我们发现，对于非常小的时间滞后（比典型的自相关时间小得多），广义维数D（q）=δ（q）=1/u（q）。因此，我们的玩具模型系统清楚地表明了RE在多重分形谱分析中的重要作用，因为特定的q选择可以“突出”特定的时间尺度s。对于一般的异质性经验时间序列，如果我们能够评估感兴趣的RE分布和参数，问题仍然存在。例如，对于负q的情况是出了名的问题，因为对于支持无限的PDF，pq（x）的积分不收敛。当然，我们可以假设一个截断（或调节）模型，在这个模型中，我们可以指定支持的最小值和最大值。这在形式上有助于解决问题。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 9积分收敛，然而，关于PDF的时间依赖性，正确定义这种时间依赖性边界将是非常困难的，而且，这肯定会影响缩放行为。事实上，从信息理论的角度来看，应该避免使用负q的R’enyi熵。这是因为负q的信号解码（或信息提取）的可靠性被破坏（参见参考文献[22]）。

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2022-5-5 11:04:31

在下文中，我们将主要关注正值q。最后应该强调的是，与离散情况（7）相比，不同的q（t）不是（！）一般来说是积极的。特别是，比单位体积更为限定的分布的R’enyi熵小于单位体积上均匀分布的相应熵，因此产生负Hq（t）（参见参考文献[22]）。概率直方图估计及其误差正如我们在前一节中所看到的，当试图估计标度指数δ（q）时，需要以直方图的形式为每个固定t指定潜在的概率分布p（x，t）。然而，多重分形是一种连续性。任何旨在验证时间序列多重分形特性的工具都面临着有限大小和离散化带来的困难，而任何旨在验证多重分形的技术都涉及一些插值方案，这可能会使其容易产生偏差。尤其是，从（未知）的基础p（x）中形成直方图时应小心，因为在基于RE的分析中，一个人不仅需要所有的^pi，还需要它们的功率，即：。，^pqi适用于不同的q值。在本节中，我们评估了当p（x）被其组织图取代时的误差，并概述了为了最小化重新估计中的误差，仓位大小h的最佳选择。我们从直方图及其属性的基本定义开始，然后分析不同q值的情况，最后推导出不同q.4.1值的最佳仓位宽度的明确公式。

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2022-5-5 11:04:35

histogramsLet的基本属性假设，我们从基本的PDF p（x）生成（例如，通过采样）一个具有某种固有仓位宽度h的直方图^p（x），即p（x）7→ ^p（x）=nBXi=1^pihχi（x）=Nh∞十一=-∞其中χi（x）是区间Ii=[xmin+（i）的特征函数-1） h，xmin+ih]，nb是箱子的数量，^pi是时间t的实际采样值，而νi是采样计数，因此^pi=νi/N。在后一个等式中，我们正式将总和扩展到所有i∈ Z、它将直方图的范围扩大到整个实轴，即低于xminandabove xmax。实际上，对于i<{1，…，nB}是νi=0。我们进一步注意到，料仓宽度h和料仓数量nB，namelynB之间存在简单关系=最大值- xminh, （26）在哪里十、表示上限函数（即不小于x的最小整数）。取决于抽样的具体实现，即在序列{xi}Ni=1上，频率从1到N不等，频率等于k的概率等于N次试验后的二项式分布，每个概率为pk，其中pk=RIkp（x）dx，实际上，在大N极限^pk中→ pk。从这个角度来看，直方图代表了基本PDF的一类可能的近似值，我们进一步将其表示为H。所有直方图的H类包含分段常数函数，在每个长度间隔H中，它从集合{1/N，2/N，…，1}中获取值，并为每个这样的直方图分配了发生概率（由νk的概率确定）。因此，从样本数据{x，…，xN}构造直方图对应于从H类中选择一个特定的直方图。然后，直方图的q次方（重新估计所需）简单地表示为^pq（x）=NqhqnBXi=1νqiχi（x），（27），这是定义特征函数χi的简单结果。

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2022-5-5 11:04:39

当然，我们的目标是创建这样的直方图，从某种意义上说，它将是底层分布的最佳表示，从而产生P。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 10重新评估中可能出现的最小错误。为此，有必要在未理解的PDF和采样的直方图之间找到一个适当的度量，该度量在计算上易于处理，并且在概念上具有良好的动机。然后需要解决的关键问题是，最佳箱子宽度是否与q无关，或者误差的最小化是否需要一些非平凡的q依赖性。下一小节将专门讨论用于测量基本PDF与其历史图之间距离（或差异性）的不同测量方法，以及随后的q依赖性问题。4.2. 直方图和概率分布之间的距离在统计估计问题中，概率分布之间存在许多不同的度量，其中Hellinger系数、Jeffreys距离、Akaike准则、定向散度及其对称性J-散度提供了范例。在基于RE的分析中，最自然的测量是^p与p的R^enyi信息差异。这被定义为[31]Dq（p||p）=q- 1lnZRdx^p1-q（x）pq（x）。（28）除了乘法预因子外，散度Dq（p | |^p）与顺序q的切尔诺夫概率距离一致（参见参考文献[32]）。从信息论可知（例如，参见参考文献[8,22,31]），当PDF p（x）被PDF^p（x）替换（或近似）时，R^enyi informationdisference表示信息丢失的度量。注意，在极限q中→ 1.我们可以恢复通常基于香农熵的库尔贝克-莱布尔散度。

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2022-5-5 11:04:42

在直方图抽样的情况下，预期的R|enyi信息发散ehhdq（p | | p）i=q- 1EH“lnZRdx^p1-q（x）pq（x）#，（29）表示信息的平均损失。符号EH[…]表示相对于直方图集合^p（x）的集合平均值。不幸的是，使用度量（28）会带来一些与RE的非线性结构相关的技术难题。这可以通过采用其他与R’enyi信息分歧密切相关但在计算上更容易处理的措施来避免。其中，我们发现平方L度量最适合我们的目的。后者量化了基本PDF和直方图askp之间的距离- ^pkL=ZRdxh（p（x）- ^p（x））i.（30）正如我们将在以下小节中看到的那样，该度量具有许多理想的性质。theR’enyi信息散度与L-测度之间的关系如下：使用Jensen不等式对对数1-Z≤ ln z≤ Z- 1，（31）（对任何z>0有效），我们得到| Dq（p |^p）|≤cq | q- 1 | ZRdx | pq（x）- ^pq（x）|，（32）式中cq=max1，ZRdx^p1-q（x）pq（x）！-1.. （33）式（32）是香农信息论中已知的Csisz’ar–Kulback不等式[33]的q-推广。请注意，对于q≥ 我们有cq=1。这是因为对于q≥ 1.我们可以写下rdx^p1-q（x）pq（x）=Xkh^p1-q（ξk）pq（ξk）=Xk^p1-qkpqk=Xk^pkpk^pk！Q≥Xkpkq=1，（34）P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 11其中综合概率定义为aspk=Z（k+1）hkhdx P（x）=hp（ξk），^pk=Z（k+1）hkhdx^P（x）=h^P（ξk），（35），其中ξk表示区间[kh，（k+1）h]中的一点。（34）中的最后一个不等式是由Jensen的凸函数不等式得出的。q的情况∈ [0,1]不那么琐碎，因为ezrdx^p1-q（x）pq（x）<1，（36）由于pk/^pkQ

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2022-5-5 11:04:46

使用ZRDX^p1可以发现CQ的简单（但不是非常严格）多数-q（x）pq（x）=Xk^p1-qkpqk≥Xk^p1-qkpk≥ min（^p1）-qi）=[min（^pi）]1-q、（37）因此cq≤ [min（^pi）]q-1.最后，从前面的表达式很容易看出dq（p | | p）≤cq（q）- 1） ZRdx | pq（x）- ^pq（x）|！≤cq（q）- 1） ZRdx（^pq（x）- pq（x）），（38），其中第二个不等式来自H¨older不等式[34]。因此，我们可以通过L距离估计预期的R’enyi信息散度，因为[Dq（p | | p）]≤cq（q）- 1） EH“ZRdx[（pq（x）- ^pq（x））]#≡ CqZRdx EH[（pq（x）- ^pq（x））]。（39）使用预期L距离平方的一个重要优势，即EHkp- ^pkL=ZRdx-EHh（pq（x）- ^p（x））i，（40）存在积分与期望值EH互换的可能性。在这种情况下，当期望值在积分之前，我们必须计算所有频率上的期望值{vk}nBk=1，这样vk∈ {1，…，N}和pnbk=1vk=N。在交换积分和EH后，系综平均仅在局部作用于^p，即仅在一个特定频率vk上计算期望值，其中χk（x）=1。这将大大简化计算。这就是为什么在实际计算中更喜欢L-范数的主要原因。让我们注意到，在计算过程中，我们也使用了L-范数（见公式（32））。事实上，一些作者使用L-范数来测量直方图和PDF之间的距离（例如，参考文献[35]）。在下文中，我们将坚持均方距离，主要是因为它的计算优势——众所周知，L-范数比L-范数更容易处理[36]。当然，不同的措施通常会导致不同的结果，从前面的讨论来看，其他措施可能更方便使用。尽管如此，参考文献中仍有讨论。

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2022-5-5 11:04:51

[35,36,37,38]意味着，在直方图可以被视为一类单参数的阶跃函数的情况下，我们可以“合理地”很好地假设，从不同的度量中获得的最佳仓位宽度在它们之间不会有显著差异。这也是R’enyi散度的情况，即土地平方L-测度，其中L-测度实际上是最方便的。4.3. 如果有必要单独估计每个q的箱子宽度，或者仅仅估计一个“参考”q的箱子宽度（例如，对于q=1）是否不够简单，然后对所有其他q情况使用这样的ahistogram，那么箱子宽度对qA的依赖性自然会出现问题。现在，我们将简要说明引入q相关仓宽的必要性。接下来的部分将进行更深入的讨论。让我们从p（x）中抽取一个序列{x，…，xN}。让我们也从数据中估算出一个柱状图^p，其宽度为h，这使得^p在所有p中都是最优的。Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 12可以通过改变h值从采样数据{xi}Ni=1中获得的直方图。为了进一步方便，我们（x） =p（x）- ^p（x）。等式（40）中出现的p（x）和^p（x）的q次方之间的平方L距离可以进一步方便地重写为kpq- ^pqkL=ZRdx（pq（x）- ^pq（x））=ZRdxpq（x）-hqnBXi=1^pqiχi（x）=Zxmin-∞dx p2q（x）+nBXi=1ZIidxpq（x）-“^pih#q！+Z∞xmaxdx p2q（x）。（41）假设错误（x）对于每一个非常小的x，我们可以近似pq（x）asp（x）q=“^pih#q+q！”^pih#q-1.（x） +O（十）, （42）因此NbXi=1ZIidxpq（x）-“^pih#q！O()≈ qnBXi=1“^pih#2（q-1)我, （43）在哪里我≡里克斯(（x））。表示第二季度≡Zxmin-∞dx p2q（x）和2qnB+1≡Z∞xmaxdx p2q（x），（44）L距离的总平方可以表示为kpq- ^pqkL≈ 2q+qnBXi=1“^pih#2（q-1)我+ 2qnB+1≡ 2q+Sq+2qnB+1。

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2022-5-5 11:04:55

（45）在下文中，我们将只讨论中间和Sq。这是因为Sq仅取决于直方图的选择，因此取决于h的值，而2qand2qnB+1更多地依赖于实际的底层PDF。我们应该注意到，随着N的增加，xmin和xmax的值越来越接近p（x）的支撑边界。因此，对于足够大的N，外部误差可以忽略，总的L误差只能由Sq表示。根据q:q<0的值，对Sq的讨论可以分为三种不同的情况：对于q的负值，和Sq强调了对于概率极小的分布^pi特别明显的误差。这可以通过较小的料仓宽度进行部分补偿。然而，在极端分布的情况下，很难确定估计的概率只是一个不适当的异常值，还是系统中存在极端事件的迹象。这个错误通常越明显，q越负。因此，负q的RE估计非常敏感（事实上，在这种情况下，RE是不可靠的信息度量[22]），许多作者仅对正q的RE进行评估。0<q<1：对于这些值，指数q-1大于-1.尽管来自小概率的误差更加明显，但误差是有界的，因为^pqi≤ 1代表q∈ （0,1），因此错误不像第一种情况那样严重。q>1：在这种情况下，误差减小了吗，因为因子^p2（q-1） iSq以指数方式将误差抑制到2q。pre-factor qd增长不快，因此在这种情况下误差减小。反对这一镇压2（1）-q），这增加了小h的误差。

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2022-5-5 11:04:58

因此，在这种情况下，最好不要过多地夸大历史记录。从上述情况来看，局部平方误差（^p（x）的最小化也是显而易见的- p（x）），或积分平方误差（^p（x）- p（x））dx不一定使（^pq（x）的误差最小化- pq（x））。这是因为我们必须创建具有不同（q依赖）仓位宽度的直方图，这通常不会最小化直方图^p（x）和基础PDF p（x）之间的距离。P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22134.4。直方图二值的最佳宽度如上所述，从基础分布中正确形成直方图是重新估计的关键步骤。因此，关键问题是找到最佳的料仓宽度h*使R’enyi信息误差最小化的Q。（29）（或更好的均方L距离（40）），因此它提供了最小偏差的经验值。文献中有几种方法可以很好地应用于我们的数学框架中，来选择最佳的垃圾箱宽度。在这方面，我们可以提到，例如，Sturges规则[39]，它将直方图的二进制数估计为nB=1+logN，这是由二项分布的直方图驱动的。这条规则在可视化数据时非常有用，但在PDF近似情况下，可以找到更有效的处方。沿着这些思路，特别适合的是经典的均方误差（MSE）方法（参见参考文献[40]），该方法允许根据之前讨论的均方L距离，量化基本PDF的^pq（x）和q次方之间的差异。这就引出了解决问题的任务∈(0,∞)ZRdx EHh（pq（x）- ^pq（x））i=minh∈(0,∞)nBXk=1Zχkdx Eνkpq（x）-νqkhqNq.

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2022-5-5 11:05:03

（46）表达式（46）意味着我们最小化基本PDF pq（x）和其直方图（或简单的q-直方图）的q次方^pq（x）之间的综合预期局部偏差。我们首先计算EH[（pq（x）- ^pq（x））]（为了简洁起见，我们省略了下标H），它可以方便地重写为asE[（^pq（x）- pq（x））]=E[（^pq（x）- E[^pq（x）]]+Eh（E[^pq（x）]- pq（x））i=Var（^pq（x））+偏差（^pq（x））. （47）右侧的第一项表示估计量的局部方差，第二项表示直方图的平方局部偏差，即偏差（^pq（x））=e[e[^pq（x）]- pq（x）]。式（47）表示qhistogram与基本PDF的q次方的局部偏差，因此从估计理论的角度来看，^pq（x）充当pq（x）的激励因子。为了进一步计算Var（^pq（x）），我们从公式（27）中发现，它对应于数量^pq（x）=vqk/Nqhq的方差计算，其中k标记了χk（x）=1的箱子。自然地，νk是二元分布的（如第4.1节所述），即νk~ B（N，pk），其中pki是适应于第k个bin的综合基础概率。因此，Var（^pq（x））=VarνqkNqhq=N2qh2qE[ν2qk]- E[（νk）q]. （48）这导致计算二项分布的分数矩，这通常是一项棘手的任务，除非ESSQ是自然的。事实上，当我们有足够的统计数据时，CLT意味着（参见参考文献[41,42]）二项分布可以用正态分布近似为B（N，p）~ N（np，np（1- p））。在这种情况下，我们得到[νqk]≈ZRdz | z | q2πN pk（1- exp）pk-（z）- （N pk）2N pk（1- pk）！。

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2022-5-5 11:05:06

（49）力矩E[zq]被绝对力矩E[|z | q]取代，因为后者是真实值，而前者可能不是。一个积分可以用封闭的形式完成，命名为e[νqk]≈√π（2N）pk（1- pk）q/2Γ1+q！经验-npk2（1）- pk）！F1+q，；N蛋白激酶2（1）- pk）！，（50）其中f（α，β；z）是一个反超几何函数[43]定义的asF（α，β；z）=1+αβ·1！z+α（α+1）β（β+1）2！z+=∞Xj=0（α）j（βj）j！zj。（51）符号（α）k=α（α+1）。（α+k）是波克哈默符号[43]。根据参考文献[44]，反超几何函数可以是足够大的z渐近展开asF（α，β；z）=Γ（β）Γ（α）ezz-(β-α)1 + (β - α)(1 - α） z-1+O（z）-2). （52）P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22 14将其重新插入等式（50）中，我们得到[νqk]=Nqpqk1+q（q）- 1)(1 - pk）N pk+O（N-2)!. （53）因此，N中的前导顺序产生局部方差Var（^pq（x））=N2qh2qN2qp2qk“q1”- pkN pk+O（N-2） #=qp2q-1k（1）- pk）h2qN+O（N-2) ≤qp2q-1kh2qN+O（N-2) . （54）类似地，等式（47）中的偏差可以用公式bias（^pq（x））=E[νqk]Nqhq来表示- pq（x）=pkhQ- pq（x）+O（N）-1) . （55）当我们想要计算直方图中所有点的总误差时，我们应该对所有局部误差进行积分，得到平均积分平方误差（MISE），它等于toMISE（^pq）≡ZRVar（^pq（x））dx+ZR偏差（^pq（x））dx。（56）因为最终只有N中的前导项是相关的，我们可以考虑formZRVar（^pq（x））dx中的综合方差=∞Xk=-∞齐克瓦尔（^pq（x））dx≈nB+1Xk=0qp2q-1kh2q-1N，（57）通过进一步应用pk的中值定理，即pk=ZIkp（x）dx=hp（ξk），（58）我们得到了thatZRVar（^pq（x））dx≈∞Xk=-∞qp2q-1kh2q-1N=qNh∞Xk=-∞p2q-1（ξk）h≈qNhZRp2q-1（x）dx。（59）积分平方偏差的前导N行为可如下获得。

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2022-5-5 11:05:09

我们首先将积分平方偏差写为第k个bin上的积分平方偏差之和，即ZR偏差（^pq（x））dx=∞Xk=-∞齐克偏差（^pq（x））dx。（60）为了继续，让我们（在不失去普遍性的情况下）看看一个介于0和h之间的箱子。我们近似地估计相应的概率p[0，h]≡Rhp（t）dt asp[0，h]=Zhp（t）dt=Zhp（x）+（t- x） dpdx（x）+。！dt=hp（x）+hh- 十、dp（x）dx+O（h）。（61）我们注意到，因为x∈ （0，h），第二项为O（h）阶，我们可以写出p[0，h]aspq[0，h]=hqpq（x）+qhq的q次方-1pq-1（x）hh- 十、dpdx（x）+O（hq+2）。（62）因此，该箱子对h中的前导顺序的偏差等于ZHH- 十、qdpdx（x）pq-1（x）！dx=Zh“h- 十、dpqdx（x）#dx=dpqdx（ξ）！Zhh- 十、dx=hdpqdx（ξ）！。（63）P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1–22 15其他箱子的偏差可以用同样的方式计算，因此最终我们可以编写偏差（^pq（x））dx≈H∞Xk=-∞dpqdx（ξk）！H≈hZRdpqdx（x）！dx。（64）结合式（59）和式（64），我们得到渐近（或前导阶；表示为“l.o.”）平均积分平方误差（AMISE）等于（^pq）l.o。≡ EH“ZR（^pq（x）- pq（x））dx#=qNhZRp2q-1（x）dx+hZRdpq（x）dx！dx。（65）在极限q内→ 1我们恢复了文献[36]的经典结果。请注意，当h增大时，偏差增大，而当h增大时，相关性减小，也就是说，我们必须在偏差和方差之间找到折衷点，以便能够指定最佳h。在h中最小化上述AMISE函数可以得到最佳h*秦国*q=r6qNNq，（66），其中NqdenotesNq=RRp2q-1（x）dxRR（dpq（x）/dx）dx。（67）通过与Scott[36]的类比，我们可以假设基础PDF是正态分布N（u，σ）。在这种情况下，人们可以为之写作=√πσpq（2q）- 1），（68）给出了误差（^pq）=q（2π）1-q（σ）1-qNhp2q- 1+h√问题2-（1+q）π-（1/2+q）σ-（1+2q），（69）和最佳料仓宽度h*使灰烬工厂化*q=σN-1/3q√πq1/2p2q- 1=h*ρq。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:05:13

（70）这里ρq=q1/2/p2q- 1和h*是q=1的最佳仓位宽度（对应于组织形态学的经典结果；参见参考文献[36,38]）。注意，根据等式（65），如果h，直方图^pq在均方上收敛到pq（x）*Q→ 0和Nh*Q≈ N2/3→ +∞. 当我们可以用越来越小的最佳仓位宽度进行越来越多的观测时，就可以实现这一点，但最佳仓位宽度不应该随着N的增加而减少得太快，也就是说，减少应该表现为h*Q≈ N-1/3.在实际估计中，理论标准偏差通常被经验标准偏差所取代，这给出了通过斯科特规则获得的箱宽规则，其形式为^hS cq=3.5^σN-1/3ρq.（71）这里^σ是序列的估计标准偏差。此外，参考文献[45]中的Freedman和Diaconis（FD）提出了更稳健的规则，其中因子3.5^σ替换为2 IQR。缩写IQR代表四分位范围；IQR=x0。75- x0。25.不幸的是，这个估计并不准确，因为N（u，σ）= 2.√2erfc(-1)(1/2)σ ≈ 1.349σ，（72）P.Jizba和J.Korbel/Physica A 00（2018）1-22161.52.02.5图3。从左起：a）AMISE的形状（h，q=1）=h+h（σ和N被设置为使前因子等于1）作为h的函数。我们观察到最佳值h*= 61/3.= 1.817 . b） ρqa的曲线图是q的函数。对于大的q，它是q1/3，在值q=1/2附近，它急剧发散。a） b）AMISE（h）ρqhq（函数erfc）(-1）（z）是逆互补误差函数[43]）。与最初的FD理论相反，在我们的例子中，我们需要更多地关注直方图的过度拟合，因为乘法常数ρqis现在强调了小q和大q。事实上，我们在图3 b）中显示了函数ρq的形状，对于大q值，函数ρq的形状为ρq~ q1/3，但对于接近q=1/2的值，其增长速度非常快，达到单位。

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