一种随机控制方法，在给定边际的情况下实现无套利界限，

2022-5-5 11:14:30

《应用概率年鉴2014》，第24卷，第1期，312–336DOI:10.1214/13-AAP925c数理统计研究所，2014A给定边际的无套利边界的随机控制方法，以及A.Galichon、P.Henry Labord\'ere和N.TouziSciences Po、Soci\'et\'e G\'en\'erale和Ecole Polytechnique提出的回望期权应用。我们考虑了允许动态交易标的资产的投资者在波动性不确定性下的过度边缘化问题，静态地交易欧洲看涨期权，以获得所有可能的罢工，其中一些已经到期。这个问题的经典方法是Skorohod嵌入问题（SEP）。相反，我们提供了一个对偶公式，将超边问题转化为连续鞅最优运输问题。然后我们证明，这个公式允许我们恢复以前已知的关于回望选项的结果。特别是，我们的方法对某一类回望期权的Az’ema–Yor SEP解的最优性给出了新的证明。与SEP技术不同，我们的方法适用于一大类外显子，适用于数值近似技术。1.导言。在一个允许无风险资产（标准化为单位）和某些给定基础资产（无限制）动态交易的金融市场中，资产定价的基本定理本质上表明，没有套利机会相当于存在一个概率测度，在该概率测度下，基础资产过程是一个鞅。参见Kreps[24]、Harrison和Pliska[18]以及Delbaen和Schachermayer[14]。然后，为了进行套期保值，唯一相关的信息是在这种阿马丁格尔测度下资产价格过程的二次变化。

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2022-5-5 11:14:33

在没有任何关于二次变化的进一步假设的情况下，稳健的超边缘成本降低到一个明显的界限，该界限可在2011年9月获得；2013年2月修订。由Soci’et’eG’en’erale赞助的风险基金会主席金融风险支持，由F’ed’Operation BancaireFran,caise赞助的未来主席衍生品支持，由EDF和CACIB赞助的主席金融和可持续发展支持，以及能源三月金融实验室FiME支持。AMS 2000学科分类。初级49L25，60J60；中学49L20，35K55。关键词和短语。最优控制，波动不确定性，凸对偶。这是数理统计研究所发表在《应用概率年鉴》（Annals of Applied Probability，2014）第24卷第1期312–336中的原始文章的电子版。这本再版在页码和印刷细节上与原版不同。2 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZIbe通过标的资产的静态交易实现；参见Cvitani\'c、Phamand Touzi[12]和Frey[17]。在本文中，我们研究了在无套利的条件下，当金融市场允许欧洲看涨期权的静态交易，以及标的资产的动态交易时，超边际化的问题≥ 0}. 为简单起见，我们考虑了所有可用的欧洲看涨期权具有相同到期日的情况。然而，我们将金融市场理想化，假设所有可能的罢工都有此类欧洲催缴期权。在线性（和连续性）假设下，这意味着尽管过程X的联合分布P未知，但建模者可以访问函数K∈ R+7-→ E[（XT）- K） +]，从而得出随机变量XT的边际分布u，如Breeden和Litzenberger[6]所观察到的。

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2022-5-5 11:14:36

特别是，任何T-到期香草衍生产品，只要g（XT），都可以被欧洲看涨期权组合完美复制，并且具有明确的无套利价格RG du，只要g∈ L（u），可以表示为基础看涨期权给定价格的线性组合。在文献中，这个问题是通过KoroHod嵌入问题（SEP）来经典地解决的，这一问题自然地表现为双宾s施瓦兹时间变化的结果。然而，只有一些特殊的衍生产品符合这种方法的要求，即apayo ff定义的衍生产品，它在雾凇下是不变的。利用SEP技术解决稳健的超边缘问题可以追溯到霍布森[20]的论文。霍布斯在[21]上发表的调查论文信息量很大，包含了该主题的相关参考文献。对于衍生证券G（Xs，s≤ t）写在标的资产X上，其思想是搜索函数λ和鞅M，使得g（Xs，s≤ （t）≤ λ（Xt）+Mtsothat E[g（Xs，s≤ τ )] ≤Rλdu适用于所有停止时间τ，使得Xτ具有根据欧洲看涨期权确定的分布u，如上所述。然后通过设计λ，M和τ，使g（Xs，s≤τ） =λ（Xτ）+Mτ。在本文中，我们发展了另一种方法，将鲁棒性问题与随机控制的文献联系起来；见弗莱明和索纳[16]。我们的方法包括直接求解鲁棒超边问题，该问题的解提供了上述函数λ和鞅M。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:14:40

因此，与SEP方法不同，SEP方法要求外来证券的支付在时间变化下保持不变，由于避免了时间变化步骤，因此对衍生证券类别没有限制。此外，我们的方法与最优运输理论有关，事实上，通过自然地强制运输沿着连续鞅进行，为该理论的一个新分支打开了大门。我们的第一个主要结果（见第2.3节和第2.4节）提供了一个基于Kantorovich二元论并遵循Benamou和Brenier[4]精神的截尾超边问题公式；见维拉尼[39]。Davis、Obl\'oj andRaval[13]已经使用了这种双重配方的有限维版本。此外，在以前基于SEP的文献中，对于导数的特殊情况，这种对偶性被隐式证明。因此，我们的对偶结果的重要性在于它的普遍性。此外，与SEP方法类似，对偶问题的解提供了相应的最优混合策略和最坏情况模型。最后，对偶公式适用于数值逼近技术，如Bonnans and Tan[5]和Tan and Touzi[38]所示。我们的下一个关注点是证明这个对偶结果不仅仅是一个理论结果，而且可以应用于实际计算。在本文中，这是在回望导数的背景下证明的，其中鲁棒超边缘问题已知是由SEP[1,2]的Az’ema–Yor解引起的。Hobson[20]提出了一种与该界限相对应的半静态套期保值策略。我们的第二个主要结果，在第3节中报告，通过我们的对偶公式再现了这个界。

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2022-5-5 11:14:43

特别是，这提供了一种新的表示，即SEP的Az’ema–Yor解决方案实现了某类回望选项的上限。在第4节中，我们还恢复了前向回望选项的稳健超边际成本，这也是在Hobson[20]中推导出来的。第3节和第4节的结果不是新的，本文报告的目的是为了表明最佳运输方法适用于恢复这些已知结果。除了在文献中重新发现以前的研究结果外，我们还想坚持一个事实，即目前的最佳运输方法通过强调超边缘问题来补充SEP方法，其解决方案提供了最佳半静态超边缘策略。这一特点在相关文献[19]中得到了完美的说明，其中：（i）该方法用于提供最佳的半静态超边缘策略；（ii）通过使用（i）中的最优半静态套期保值策略，Obl’ojida和Spoida[31]证明了SEPto的Az’ema–Yor解在多个中间保证金的情况下的扩展。[19,31]的最终结果是之前布朗、霍布森和罗杰斯[7]以及马丹和约尔[25]的结果的延伸。我们还观察到，一般来说，人们不应该期望明确地解决鲁棒超边缘的问题。因此，最优输运方法的一个重要优点是，相应的对偶公式适用于数值近似技术；见Bonnans和Tan4 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N。

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2022-5-5 11:14:48

TOUZI[5]研究了方差期权的情形，Tan和TOUZI[38]研究了本文所激励的一类最优运输问题。最后，我们想强调的是，通过将鲁棒有界表示为超边问题的值函数，我们隐含地解决了模型不确定性下无套利的重要问题，正如之前文献中讨论的那样；例如，见Cox和Obl\'oj[11]和Davis，Obl\'oj和Raval[13]。事实上，如果套利确实存在，在某种方便定义的弱形式下，价值函数将是有限的。相反，只要价值函数是有限的，金融市场要么承认真正的无模型套利（如果对偶问题成立），要么承认某种方便的弱套利概念。2.衍生证券的模型自由边界。2.1. 概率框架。允许Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，Rd）：ω=0}是具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ωT |，正则过程，p维纳测度，F:={Ft}0≤T≤t由B和F+生成的过滤：={F+t，0≤ T≤ T}F的右极限，其中F+T:=Ts>tFs。在本文中，Xis是Rd+中的一些给定初始值，我们表示xt:=X+bt代表t∈ [0，T]。对于S>0d（有限正对称矩阵空间）且满足RT |αS | ds<∞, P-a.s.，我们定义了(Ohm, F），Pα：=Po （Xα）-其中Xαt:=X+Ztα1/2rdBr，t∈ [0，T]，P-a.s.那么X是一个Pα-局部鞅。在[34]之后，我们用pst表示所有这些概率测度的集合(Ohm, F）。四元变量过程hXi=hBi在任何P∈ PS，并在从R+到S>0d的所有非减量连续函数集中取值。

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2022-5-5 11:14:51

最后，我们从[34]中回忆起∈PSS描述了Blumenthal零一定律（2.1）和鞅表示性质。在本文中，我们将关注子集P∞对所有测度P的考虑，使得X是一个P-一致可积鞅，其值在Rd.导数界中，给出了P中概率测度的限制∞对于一致可积鞅导出的结果，我们随后解释了金融证券的价格过程。2.2. 无模型超套期保值问题。尽管如此，P∈ P∞, 我们表示hlo c（P）：=H∈ H（P）：ZTTr[HTtHtdhBit]<∞, P-a.s。,其中Tr表示跟踪运算符。我们假设利率为零。在s elf融资条件下，对于任何投资组合过程H，投资组合价值过程HT:=Y+ZtHs·dBs，t∈ [0，T]，（2.2）是每个P∈ P∞, 无论何时∈ Hlo c.这个随机积分应该更加强调它对P的依赖性；然而，参见Nutz[28]。设ξ为FT可测随机变量。我们引入了鞅测度的子集∞（ξ）：={P∈ P∞: EP[ξ-] < ∞}.限制这类模型的原因是，在EP[ξ+]小于∞, P下ξ的套期保值成本预计为-∞当EP[ξ-] = ∞. 通常，为了避免加倍策略，我们引入了一组可容许的投资组合，H（ξ）：={H:H∈ Hlo cand YH是一款适用于所有P∈ P∞(ξ)} .无模型超边缘问题由u（ξ）：=inf{Y:H∈ H（ξ），YH≥ ξ、全体P-a.s∈ P∞(ξ)}.（2.3）我们称之为无模型超高套利上界，我们还记得它的解释为衍生证券ξ市场价格上的无套利上界，对于有权通过价格过程X.2.3对标的证券进行连续时间交易的投资者。超套期保值界的对偶公式。

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2022-5-5 11:14:54

我们用UC表示(Ohm十）所有一致连续映射的集合OhmXto R，其中X∈RDI是一个固定的初始值，以及OhmX:={ω∈ C（[0，T]，Rd+）：ω=X}。以下结果是索纳、图兹和张[35]的直接改编。让ξ∈ 加州大学(Ohm十）是这样的∈P∞EP[ξ+]∞.ThenU（ξ）=supP∈P∞EP[ξ]。进一步假设U（ξ）是有限的。然后存在一个过程H∈ H（ξ）和一类非减量可预测过程{KP，P∈ P∞（ξ） }，对于所有P，kp=0∈ P∞（ξ），s.t.ξ=U（ξ）+ZHt·dBt- KP，所有P的P-a.s∈ P∞(ξ).（2.4）第5节报告了pro。备注2.1。Denis和Martini[15]在有界波动情况下得到了与定理2.1类似的对偶表示。然而，请注意，[15]中的非支配奇异测度族不包括在我们的SETP中，并且不允许存在最优超级套期保值策略。在修改本文时，Nutz和von Handel[29]以及Neufeld和Nutz[27]提出的鲁棒超边缘问题的新方法允许对定理2进行扩展。1.Possamai、Royer和Touzi[33]著。校准调整无套利限制。在本节中，我们专门讨论一维情况。这与实物金融市场上对普通期权的一维实际处理是一致的。我们假设，除了原始证券的连续时间交易外，投资者还可以在T-到期欧式看涨期权或看跌期权上持有所有可能的K≥ 0.然后，从Breeden和Litzenberger[6]中，投资者可以确定在定价测度为某个概率测度的情况下，非衍生资产的T-边际分布∈ M（R），R上所有概率测度的集合。备注2.2。

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可人4

2022-5-5 11:14:58

就目前的财务应用而言，Measureu支持R+。然而，我们考虑的是一般情况∈ M（R），以便将我们的结果与塞普的Az’ema–Yor解进行比较。对于任意标量函数λ∈ L（u），由p ayo offλ（XT）定义的T-到期欧洲衍生工具具有一个不模糊的无套利价格u（λ）=Zλdu衍生工具界限，给定边际7，并且可以通过购买和持有一个欧洲所有行权的看涨期权和看跌期权组合来完美复制，行权K的密度λ′（K）为行权K（从分布的意义上理解λ′）。见卡尔和周[8]。特别是，考虑到标的资产的现货价格X>0，概率度量u必须满足yzxu（dx）=X。我们现在通过考虑静态交易欧式看涨期权的额外可能性，定义了无套利上限的改进。设∧u：=nλ∈ L（u）：补充∈P∞EP[λ（XT）-] < ∞oand（2.5）∧uUC：=∧u∩ UC（R），其中UC（R）是R toR中所有一致连续映射的集合。总而言之λ∈ λ，我们表示ξλ：=ξ- λ（X）。改进的无套利上界由uu（ξ）：=inf{Y:λ ∈ λuuC和H∈ H（ξλ），（2.6）YH，λ≥ ξ、全体P-a.s∈ P∞（ξλ）}，式中YH，λ表示在原始证券中连续交易H，以及在到期欧洲看涨期权中静态交易λ且具有所有出击YH，λ：=YH的自我融资策略的投资组合价值- u（λ）+λ（XT），（2.7）表示投资者有可能在时间0购买任何衍生证券，并以u（λ）的价格支付λ（XT）。下一个结果是直接应用定理2。1.提议2.1。让我们∈ M（R）和ξ∈ 加州大学(Ohm十） Wissupp∈P∞EP[ξ+]∞. ThenUu（ξ）=infλ∈∧UCsupP∈P∞{u（λ）+EP[ξ- λ（XT）]}。证据

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大多数88

2022-5-5 11:15:03

观察uu（ξ）=infλ∈∧uUCU（ξ+u（λ）- λ（XT））。对于每个固定λ，如果V（0）：=supP∈P∞EP[ξ+u（λ）- λ（XT）]<∞, 然后是理论的证明。第5节中报告的1适用，我们得到U（ξ+8 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZIu（λ）- λ（XT））=V（0）。另一方面，如果V（0）=∞, 然后从理论证明中得到通知。1不等式U（ξ+u（λ）- λ（XT））≥ V（0）在这种情况下仍然有效，因此U（ξ+u（λ）- λ（XT））=V（0）。备注2.3。作为健全性检查，让我们考虑ξ=g（XT）的情况，对于某个带u（|g|）的一致连续函数gw∞ 和Supp∈P∞EP[|g（XT）|]<∞, 让我们验证一下，如果y表示Uu（ξ）=u（g）。首先，自从g∈ λμUC，我们可以取λ=g，它来自P位置2的对偶公式。1表示Uu（ξ）≤ 微克。另一方面，我很容易看到∈P∞EP[g（XT）]=gconc（X），其中gconc是g的最小凹主。然后，它遵循命题2的对偶公式。1表示Uu（ξ）=infλ∈∧uUCu（λ）+（g）-λ）浓度（X）≥ infλ∈∧uUCu（λ）+u（g）- λ） =如预期的u（g）。备注2.4。与SEP方法类似，建议2的双重表述。1提供最佳套期保值策略和worstcase模型。这要求我们证明inf-sup问题（λ）解的另一个存在性结果*, P*). 然后λ*是最佳的T-成熟度香草产品，P*最坏的情况是模型与上限相对应。标的资产的最优动态套期保值策略通常由剩余证券ξ表示- λ*（XT）；参见定理的证明2。1在第5节中。备注2.5。命题的杜阿尔公式。1适用于数值逼近。实际上，对于每个固定乘数λ，最大化问题是一个（奇异）随机控制问题，可以通过有限差分或蒙特卡罗方法来近似。

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可人4

2022-5-5 11:15:06

然后，关于λ的优化阶段需要额外的迭代。这个问题在inTan和Bonnans[5]以及Tan和Touzi[38]中得到了解决。与最优运输理论的联系。另一种观点是，可以直接在无套利界限中嵌入BTI的风险中性边际分布由μ给出的校准约束。为了便于与最优运输理论进行比较，本小节的讨论将集中在无套利低保本上。校准调整无套利下限的自然公式如下：l（ξ，u）：=inf{EP[ξ]：P∈ P∞, 十、~δxap~Pu}，（2.8）导数的界给定了边值9，其中δXdenotes与狄拉克m ass在点X处。我们观察到l（ξ，u）与相应的次级套期保值成本一致，在目前的情况下是众所周知的。在这种形式下，p问题表现为最小化耦合准则EP[ξ]，它涉及p下过程X的定律，覆盖所有概率测度p∈ P∞因此，X阁楼0和T的边缘分布是固定的。这是Monge和Kantorovich提出的最优运输问题的一般范围；例如，见Villani[39]和Mikami and Thieulen[26]。受当前金融应用的推动，谭和陶子[38]扩展了康托洛维奇对偶，如下所述。然而，上述问题l（ξ，u）不满足[38]中的假设，即本文献中包含的结果中的n对e适用于我们的上下文。最优运输的经典方法包括利用经典凸对偶理论推导问题（2.8）的adual公式。回想一下，M（R+）表示R+上所有概率度量的集合。

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2022-5-5 11:15:10

然后，关于μ的勒让德对偶定义如下：l*（ξ，λ）：=supu∈M（R+{u（λ）- l（ξ，u）}对于所有λ∈ Cb（R+）从R+到R的所有有界连续函数的集合。直接计算l*（ξ，λ）=sup{EP[λ（XT）- ξ] : u ∈ M（R+），P∈ P∞, 十、~δxap~Pu}=sup{EP[λ（XT）- ξ] ：P∈ P∞, 十、~PδX}。观察后一个问题是标准（单数）扩散控制问题。这是很容易检查的l 是凸的。然而，由于在P下X的四次变化没有统一的界∈ P∞, 关于μ，它是否是下半连续的是众所周知的。如果后一种属性是真的，那么等式l**= l 提供l（ξ，u）=supλ∈Cb{u（λ）- l*（ξ，λ）}，形式上（取决于空间选择）是命题2的双重表述的下限类似物。Beiglb¨ock、HenryLabord¨ere和Penkner在e上的平行工作中包含了对这种双重性的离散时间分析[3]。我们还观察到，对于Payoffξ的特殊情况，这种对偶性在以前基于SEP方法的文献中得到了隐式证明；例如，参见Cox、Hobson和Obl\'oj[10]。10 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.TOUZI3。应用于回望衍生工具。在本节中，我们考虑e维情形d=1。衍生工具的安全性由回望收益ξ=g（X）确定*T） X在哪里*T:=maxt≤TXt（3.1）和G:R-→ R+是一个非递增函数。（3.2）我们的主要兴趣是证明命题2给出的最优上界。1，Uu（ξ）=infλ∈∧uUC{u（λ）+uλ（0，X，X）}再现了与Skorohod嵌入问题的Az\'ema–Yor解相对应的已知界。

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2022-5-5 11:15:13

这里，uλ是随机控制问题的动态变量uλ（t，x，m）：=s upP的值函数∈P∞EP[g（Mt，x，Mt）- λ（Xt，Xt）]，t≤ T、（x，m）∈ ,（3.3）在哪里 := {（x，m）∈ R:x≤ m} ，andXt，xu:=x+（Bu- Bt），Mt，x，mu:=m∨ 马克斯特≤R≤uXt，xr，0≤ T≤ U≤ T.当时间原点为零时，我们将简单地写出Xxu:=X0，xuand Mx，mu:=M0，x，mu。在随后的分析中，我们还声称uu（ξ）=infλ∈∧u{u（λ）+uλ（0，X，X）}，（3.4），其中∧u在（2.5）中定义。这源于[33]最近的扩展，该扩展出现在本文修订期间（见备注2.1），并避免对u施加进一步的条件，以确保函数λ*下面的定义（3.14）是一致连续的。3.1. 根据最优停止的公式。我们首先将优化问题uλ转化为有限时间最优停止问题。提议3.1。对于任何λ∈ λμ，函数uλ独立于t和uλ（x，m）=supτ∈T∞EP[g（Mx，mτ）- λ（Xxτ）]∈ ,（3.5）其中T∞是所有停止时间τ的集合，使得停止的进程{Xt∧τ、 t≥ P}0是一致可积的。证据目前的观点是经典的，但我们找不到明确的参考。因此，我们报告其完整性。根据P的定义，衍生工具的界限为11∞, 我们可以把随机控制问题（3.3）写成它的强公式uλ（t，x，m）：=supσ∈∑+EP[g（Mσ，t，x，mT）- λ（Xσ，t，xT）|（Xσ，t，xT，Mσ，t，X，mt）=（X，M）]，其中Xσ，t，xs=X+ZstσrdBr，Mσ，t，X，ms:=M∨ 马克斯特≤R≤sXσ，t，xr，0≤ T≤ s≤ Tand∑+是所有非负逐步可测量过程的集合，RTσsds<∞, 使得过程{Xσ，t，xs，t≤ s≤ T}是一个统一的可积鞅。我们将表示φ（x，m）：=g（m）- λ（x）。（1）停止时间τ∈ T∞, 我们定义了στt:=1{τ∧（t/（t）-t））和Xστt:=RtστsdBs，t∈ [t，t]。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:15:17

那么相应的测度Pστ：=Po （Xστ）-1.∈ P∞, andsupτ∈T∞EP[φ（Xτ，Mτ）]≤ 晚餐∈P∞EP[φ（Xτ，Mτ）]。（3.6）（2）为了得到里维尔-se不等式，我们通过Dambis–Dubins–Schwarz定理（参见Karatzas and Shreve[23]，T heorem 3.4.6）观察到（X，M）定律在P=Pσ下∈ P∞与pw下的（Xτ，Mτ）定律相同，其中τ：=RTσtdt是相对于时间变化过滤{FBTt，t的停止时间≥ 0}，Tt:=inf{s:hBis>t}。为了转换到B的规范过滤的上下文中，我们使用了Szpirlaglas和Mazziotto[37]的结果。这使我们可以得出结论，平等适用于（3.6）。鉴于上述结果，我们将问题归结为u（ξ）：=infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}，（3.7），其中uλ（X，X）：=supτ∈T∞J（λ，τ），J（λ，τ）：=EP[g（X）*τ) - λ（Xτ）]，并且（2.5）的∧u集在当前上下文中转换为∧u=nλ∈ L（u）：supτ∈T∞E[λ（Xτ）-] < ∞o、（3.8）3.2。主要结果。分布u的支持端的端点表示为lu：=sup{x:u（[x，∞)) = 1} ru：=inf{x:u（（x，∞)) = 12 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.Touzite Az\'ema–通过所谓的重心函数b（x）：=R[x，∞)yu（dy）u（[x，∞)){x<ru}+x1{x≥ux}r≥ 0.（3.9）备注3.1。Hobson[20]观察到，重心函数可以交替定义为以下函数β的左连续逆函数。考虑到欧洲电话价格c（x）：=R（y）- x） +u（dy）和x=Ryu（dy），定义函数β（x）：=maxarg miny<xc（y）x- Y为了x∈ [X，ru），（3.10）β（X）=lu代表x∈ [0，X）和β（X）=X代表X∈ [ru，∞).（3.11）在[X，ru）上，β（X）是函数y7的最大极小值-→ c（y）/（x- y）在(-∞, x）。那么，β是非减量的，右连续的，并且β（x）<x∈ [X，ru）。

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2022-5-5 11:15:20

注意β（X）处的th=lu：=sup{x:u（（0，x]）>0}。最后，我们介绍了Hardy–Littlewood变换uHLofu，uHL（[y，∞)) := infξ<yc（y）y- ξ=c（β（y））y- β（y）代表所有y≥ 0，（3.12），其中函数c和β在前面的备注中定义；见Carraro、El Karoui和Obl\'oj[9]中的第4.10（c）条提案。以下结果是[20,32]的组合。我们的目标是直接从命题2的对偶公式推导出来。1.让τ*:= inf{t>0:X*T≥ b（Xt）}（3.13）和λ*（x）：=ZxluZylug′（b（ξ））b（dξ）b（ξ）- ξdy；x<ru。（3.14）注意λ*∈ [0,∞] 作为非负函数的积分。看到λ*< ∞, 我们用Fubini定理计算λ*（x） =Zxlug′（b（ξ））x- ξb（ξ）- ξb（dξ），我们观察到（x- ξ） /（b（ξ）- ξ）就在附近lu. 然后λ*（十）≤C（x）[g（b（x））- g（X）]<∞ 对于依赖于x的常数C（x）。定理3.1。让我们∈ M（R），ξ=g（X*T）对于一些Cnondecreating函数g∈P∞EP[ξ+]∞, 和uHL（g）<∞. uu（ξ）=u（λ）*) + J（λ）*, τ*) = 微升（g）。在接下来的章节中会报告的pro。衍生工具的边界为133.3。上界f或最优上界。在本节中，我们证明uu（ξ）≤ u(λ*) + J（λ）*, τ*).（3.15）我们的第一步是根据Peskir[32]使用以下构造，它为子集∧∧u中的函数λ提供了值函数uλ的猜测：={λ∈ ∧u：λ是凸的。（3.16）利用随机控制理论中的经典工具，期望值函数uλ（x，m）能够求解动态规划方程min{uλ- g+λ，-uλxx}=0开和（3.17）uλm（m，m）=0表示m∈ R.上述DPE的第一部分是一个ODE，其中m仅作为涉及ODE必须包含的域的参数出现。

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2022-5-5 11:15:24

由于我们仅限于凸λ，我们可以猜测公式vψ（x，m）：=g（m）的解- λ（x）∧ ψ（m））- λ′（ψ（m））（x- 十、∧ ψ（m）），（3.18）也就是说，vψ（x，m）=g（m）- λ（x）代表x≤ ψ（m）由x在ψ（m）点的切线给出∈ [ψ（m），m]。为了以后的使用，我们在forx上观察th∈ [ψ（m），m]，vψ（x，m）=g（m）- λ（ψ（m））+Zxψ（m）y{λ′（y）（x）- y） }dy（3.19）=g（m）- λ（x）+Zxψ（m）（x）- y） x的λ′′（dy）∈ [ψ（m），m]，其中λ′是凸函数λ的二阶导数测度。接下来我们选择函数ψ，以满足（3.17）中的纽曼n条件。假设λ是光滑的，我们通过直接计算得到自由边界ψ必须验证普通微分方程（ODE）λ′（ψ（m））ψ′（m）=g′（m）m- ψ（m）表示所有m∈ R.（3.20）出于技术原因，我们需要在轻松的意义上考虑这首颂歌。这与Peskir[32]和Obl\'oj[30]的分析形成了对比。由于λ是凸的，它的二阶导数λ′被定义为R+上的测度。然后我们引入了ODE（3.20）的弱公式，Zψ（B）λ′（dy）=ZBg′（m）m- ψ（m）dm表示所有B∈ B（R）（3.21）14 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.Touzi我们介绍了（3.20），ψλ：={ψ右连续体ou s:（3.21）保持和（3.22）ψ（m）<m的所有松弛解的集合∈ R} 。备注3.2。为了以后使用，我们观察到（3.21）意味着所有函数ψ∈ ψλ是不变的。的确，对我来说≤ y、根据f rom（3.21），再加上g in（3.2）的不减量和λ的凸性，ψ（y）=（λ′）-1.λ′（ψ（y）+Zyyg′（m）m- ψ（m）dm≥ (λ′)-1（λ′（ψ（y）+）≥ ψ（y），其中（λ′）-1是非减量函数λ′的右连续逆。然后，通过直接积分得到函数x7-→ λ（x）-ZxXZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy是一个函数，其中ψ-1是ψ的右倒数。

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2022-5-5 11:15:27

这源于上述函数在广义导数意义下的直接微分。当前问题的一个显著特征是，对于ODE（3.20）或其松弛（3.21），不存在自然边界条件。下面的结果通过考虑可能的非光滑函数λ，扩展了Peskir[32]中证明的优雅极大值原理的简单部分。我们强调这样一个事实，即我们的方法不需要Peskir最大原则的全部力量。引理3.1。让λ∈^∧u和ψ∈ ψλ可以是任意的。那么uλ≤ vψ。证据我们将证明分为三个步骤：（1）我们首先证明vψ在对角线上的m是可微的，对于所有m，vψm（m，m）=0∈ R.（3.23）的确，因为ψ∈ ψλ，由Remark3得出。2λ（x）=c+cx+ZxXZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy对于一些标量常数c，c。把这个表达式代入（3.18），我们可以看到vψ（x，m）=g（m）-c+cψ（m）+Zψ（m）XZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy导数边界给定15-c+ZmXg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξ（十）- ψ（m））=g（m）- C- cx+ZmXg′（ξ）ξ- ψ(ξ)(ψ(ξ) - x） dξ，其中最后一个等式来自富比尼定理以及g是非减量且ψ（ξ）<ξ的事实。由于g是可微分的，（3.23）之后是关于m.（2）的直接微分，对于任意的停止时间τ∈ T∞, 我们引入了停止时间τn:=τ∧ inf{t>0:|Xt- x |>n}。由于vψ在x中是凹的，由于λ的凸性，它由it^o–Tanaka公式得出vψ（x，m）≥ vψ（Xτn，Mτn）-Zτnvψx（Xt，Mt）dBt-Zτnvψm（Xt，Mt）dMt≥ g（Mτn）- λ（Xτn）-Zτnvψx（Xt，Mt）dBt-Zτnvψm（Xt，Mt）dmtb由vψ≥ G- λ. 注意（Mt- Xt）dMt=0。然后根据纽曼条件（3.23），我们得到vψm（Xt，Mt）dMt=vψm（Mt，Mt）dMt=0。以最后一个不等式中的期望值为例，我们看到vψ（x，m）≥ Ex，m[g（mτn）- λ（Xτn）]。（3.24）（3）我们最终将限值视为n→ ∞ 在上一次的不平等中。

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2022-5-5 11:15:30

首先，重新命名（Xt）∧τ） t≥0是一个均匀可积鞅。然后，通过Jensen不等式，λ（Xτn）≤ E[λ（Xτ）|Fτn]。自λ（Xτ）-∈ L（P），这意味着e[λ（Xτn）]≤ E[λ（Xτ）]，其中我们还使用了条件透视的塔特性。然后我们从（3.24）推导出vψ（x，m）≥ 画→∞Ex，m[g（mτn）- λ（Xτ）]=Ex，m[g（mτ）- λ（Xτ）]，由过程M和函数g的不减损以及单调收敛定理。利用τ的任意性∈ T∞, 最后一个不等式表明vψ≥ uλ。我们的下一个结果涉及函数φ（x，m）：=c（x）- c（x）1m<Xm- x（3.25）与c（x）：=（x- x） +，（x，m）∈ 我们记得c（x）：=R（ξ）- x） +u（dξ）是（给定的）带有strike x.引理3.2的欧洲买入价。对于λ∈^∧u和ψ∈ ψλ，我们有u（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Z~n（ψ（m），m）g′（m）dm。16 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.TOUZIProof。（1）让α∈ R+是λ的任意可微点。那么λ（x）=λ（α）+λ′（α）（x- α） +Zxα（x- y） λ′′（dy）。关于μ的积分- δX取α<X，这提供了u（λ）- λ（X）=λ′（α）Zxu（dx）- 十、+ZZxα（x- y） λ′′（dy）(u - δX）（dx）=-ZXα（X- y） λ′′（dy）+Z{x≥α} Zxα（x- y） +λ′′（dy）u（dx）+Z{x<α}Zαx（y）- x） λ′′（dy）u（dx）。然后把α送到lμ，根据λ的凸性和单调收敛定理，μ（λ）- λ（X）=Z（c）- c）（y）λ′′（dy）。（2）通过引理3中的不等式。1，连同（3.19），我们现在计算u（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Z（c（y）- c（y）（1{y<X}- 1{ψ（X）<y<X}）λ′（dy）=g（X）+Z（c（y）- c（y）1{y<ψ（X）}）λ′′（dy）。接下来，我们在分布意义上使用ψ满足的ODE（3.20）。这证明了μ（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Zc（ψ（m））- c（ψ（m））1{m<X}m- ψ（m）g′（m）dm。这里，我们观察到最后一个积分的端点可以取0和∞ 通过被积函数的非负性。现在我们有了所有的成分，可以用（3.9）的重心函数b来明确地表示上界（3.15）。引理3.3。

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2022-5-5 11:15:33

对于一个非减量的Cpayo off函数g，我们有infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ 微升（g）。给出了边际证明的导数界限。自^∧起 λu，我们根据引理3计算。2λ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ infλ∈^∧u{u（λ）+uλ（X，X）}（3.26）≤ inf（g）+λ∈^∧uinfψ∈ψλZ~n（ψ（m），m）g′（m）dm。在接下来的两个步骤中，我们证明了（3.26）右手边的最后一个极小化问题可以通过积分内的点态极小化来解决。然后，在步骤（3）中，我们计算诱导上界。（1）总而言之λ∈^∧u和ψ∈ ψλ，Z~n（ψ（m），m）g′（m）dm≥Zinfξ<mа（ξ，m）g′（m）dm。观察c（x）≥ c（x）表示所有x≥ 0和limx→0c（x）- c（x）=0。另一方面，对于m<X（3.27），它遵循Remark3。1.infξ<m k（ξ，m）=infξ<mc（ξ）m- ξ=c（β（m））m- β（m）代表m≥ X.（3.28）乘以（3.27）和（3.28），我们得到了下界zа（ψ（m），m）g′（m）dm≥Z~n（β（m），m）g′（m）dm。（2）我们现在观察到，在前一步中通过逐点极小化得到的函数β求解ODE（3.21）。因此，为了完成证明，仍需验证λ*∈^Λu. λ的凸性*这是显而易见的。而且，由于λ*≥ 0，我们只需要证明λ*∈ L（u）。通过引理3.2证明的第（1）步，我们简化为验证rc（x）（λ）*)′′（dx）<∞. 因为，根据定义，λ*用ψ=b满足常微分方程（3.21）-1，我们直接计算zc（x）（λ）*)′′（dx）=Zc（b）-1（m）m- B-1（m）g′（m）dm=Zg′（m）uHL（[m，∞)) dm<∞我们假设uHL（g）<∞.18 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI（3）Fr om（3.26）以及前面两个步骤，我们已经得到了λ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ g（X）+Zc（β（X））X- β（x）g′（x）dx=g（x）+ZuHL（[y，∞))g′（x）dx=uHL（g），通过零件直接积分。3.4。完成理论证明3。1.

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2022-5-5 11:15:37

为了完成定理的证明，还需要证明infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≥ 微升（g）。为了说明这一点，我们使用了停止时间τ*（3.13）中定义了Skorohod嵌入问题的解决方案，即Xτ*~ u和（Xt）∧τ*)T≥0是一致可积鞅；参见Az\'ema和Yor[1,2]。此外，X*τ*~ uHL。那么，尽管λ∈ λu，根据uλ的定义，uλ（X，X）≥ J（λ，τ）*), 因此u（λ）+uλ（X，X）≥ u（λ）+EX，X[g（X*τ*) - λ（Xτ）*)]= EX，X[g（X*τ*)] = uHL（g）。向前开始回望选项。在本节中，我们提供了衍生证券由付息ξ=g（B）定义的第二个应用*t、 t）其中B*t、 t:=maxt≤T≤TBAND g满足与上一节相同的条件。我们假设所有罢工的期限和皮重的看涨期权c（k）和c（k）的价格，c（k）=Z（x）- k） +u（dx）和c（k）=Z（x- k） +u（dx），k≥ 0.我们还假设： u按凸顺序排列：c（0）=c（0）和c（k）≤ c（k）代表所有k≥ 0.无模型超边际成本定义为最小初始资本，允许通过基础股票中的某种动态交易策略和调用（c（k））k中的静态策略，准肯定地超边际收益ξ≥0和（c（k））k≥0.Hobson[20]在g（x）=x的情况下解决了这个问题。我们的目标是通过我们的随机控制方法恢复他的结果。命题2.1的直接改编提供了这个问题的对偶公式asUu，u（ξ）=sup（λ，λ）∈λu×λ∧∧∧u（λ）+uλ，λ（X，X），其中uλ，λ（X，m）：=supP∈P∞EPx，m[g（B*t、（t）- λ（Bt）- λ（Bt）]。我们进一步观察到，与随机控制问题uλ，λ相对应的动态值函数在时间t降低到我们之前研究的问题uλ。

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2022-5-5 11:15:40

然后，它遵循动态规划原理，即uu，u（ξ）=inf（λ，λ）∈∧u×∧u（λ）+u（λ）+补充∈P∞EP[uλ（Bt，Bt）- λ（Bt）]。因为要最大化的表达式只涉及Bt的分布，所以它遵循Remark2。3连同Dambis–Dubins–Schwarz时变公式，Uu，u（ξ）=infλ∈λ∧μ（λ）+Zuλ（x，x）u（dx）。接下来，我们通过将注意力限制在∧∧u凸乘法器的子集∧∧u来获得上界。对于这样的乘法器，我们使用不等式uλ≤ vψ表示所有ψ∈ 由引理3导出的ψλ。1.这提供了uu，u（ξ）≤ infλ∈^∧∧μ（λ）+Zvψ（x，x）μ（dx）=μ（g）+infλ∈^∧uinfψ∈Ψλu(λ) - u（λ）+Zxψ（x）（x）- y） λ′′（dy）u（dx）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（y）- c（y）+Z（x）- y） 1{ψ（x）<y<x}u（dx）λ′′（dy）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（y）-Z（x）- y） 1{y≤ψ（x）}u（dx）λ′′（dy）20 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（ψ（m））-Z（x）- ψ（m））1{m≤x} u（dx）×g′（m）dmm- ψ（m）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（ψ（m））- c（m）m- ψ（m）- u（[m，∞))g′（m）dm，其中最后的等式来自与引理3类似的manipu关系。2，尤其是利用ODE（3.21）。自g′以来≥ 0，我们可以证明，就像回望选项的情况一样，上述最小化问题归结为被积函数的逐点最小化，因此最优性障碍由ψ给出*（x） =maxnarg minξ<xh（ξ）owh（ξ）：=c（ξ）- c（m）m- ξ、 ξ<m。注意，h在每一个ξ<m处都有左导数和右导数，其中h′（ξ）=c（ξ）+（x）- ξ） c′（ξ）- c（x）（x）- ξ），即，分子是ξ的非减量函数，取正值c（x）- c（x）在ξ=x时，取负值x- 十、- c（x）在ξ=0时。

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2022-5-5 11:15:44

然后ψ*（x）是方程c（ψ）的最大根*（x））+（x- ψ*（x））c′（ψ）*（x））=c（x），a.e.（4.1），所以h在ψ的左边是不递增的*（m）不向右倾倾斜。在这一点上，我们准确地认识到了由Hobson[20]导出的解。特别是ψ*导出一个解τ*对于Skorohod嵌入问题，我们可以用uλ的表达式作为最优停止问题的值函数。然后，我们可以通过第3节中的论证得出结论，证明上面导出的上界是最优上界。4 thatuλ（x，x）≥ Ex，x[g（x*τ*) - λ（Xτ）*)].我们得到上界由uu，u（ξ）=u（g）给出-Zg′（m）u（[m，∞)) dm+Zc（ψ）*（m） )- c（m）m- ψ*（m）g′（x）dx（4.2）=u（g）-Z（c′（ψ）*（m） )- c′（m））g′（m）dm=g(lu) -Zc′（ψ）*（m） g′（m）dmby（4.1）。衍生品的边界为215。对偶结果的证明。让ξ：Ohm -→ R是一张带有Supp的可测量地图∈P∞EP[ξ+]∞. 如果P∞(ξ) = , 结果微不足道。然后我们继续使用P∞(ξ) 6= 在U（ξ）>-∞ . 让X∈ 就这样≥ ξ表示一些H∈ H.（5.1）通过定义可容许集H（ξ），可以得出过程XHisa P-局部鞅和P-超鞅∈ P∞(ξ). 然后，从（5.1）得出X≥ 所有P的EP[ξ]∈ P∞(ξ). 从x和P的任意性可以看出u（ξ）≥ 晚餐∈P∞（ξ） EP[ξ]=supP∈P∞EP[ξ]。（5.2）在子节中，我们证明了逆不等式在ξ的附加条件下成立∈ 加州大学(Ohm十）。在[35]之后，通过引入问题的动态版本来获得该结果，然后证明该问题具有导致所需结果的分解。由于概率测度族P∞如果是非支配的，我们需要在所有概率空间上定义必要的条件分布，不排除任何零测度集。5.1. 规则条件概率分布。

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2022-5-5 11:15:47

设P是一个任意的概率测度Ohm, τ是F-停止时间。正则条件概率分布（r.c.p.d.）pωτ定义为：–对于所有ω∈ Ohm, Pωτ是FT上的概率测度；－尽管如此∈ FT，映射pin gω7-→ Pωτ（E）是Fτ-可测的对于每一个有界FT可测随机变量ξ，我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPωτ[ξ]，P-a.s.–总而言之ω∈ Ohm, Pωτ[ω′）∈ Ohm : ω′（s）=ω（s），0≤ s≤ τ(ω)] = 1.r.c.p.d.的存在在Stroock和Varadhan[36]中得到证实。为了更好地理解这个概念，我们引入了移位正则空间Ohmt:={ω∈ C（[t，t]，Rd）：ω（t）=0}∈ [0，T]，我们用bt表示Ohmt、 p移位的维纳测量值和Ft由Bt生成的移位过滤值，为0≤ s≤ T≤ T和ω∈ Ohms:–移位路径ωt∈ Ohm定义为ωtr:=ωr- ωt对于所有r∈ [t，t]；22 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI–级联路径ωtω∈ Ohms、对于某些√ω∈ Ohmt、定义为（ω）tω（r）：=ωr[s，t）（r）+（ωt++ωr）1[t，t]（r）表示所有r∈ [s，T]；-某些FsT可测r.v.ξ的sh-if-ted-FtT可测r.v.ξt，ωOhm定义为ξt，ω（～ω）：=ξ（ω）tω）表示所有的ω∈ Ohmt、类似地，对于[s，t]上的Fs渐进可测过程X，移位过程{Xt，ωr，r∈ [t，t]}是逐步可测量的。为了简单起见，我们设置ωτ~ω := ω τ（ω）~ω，ξτ，ω：=ξτ（ω），ω，Xτ，ω：=Xτ（ω），ω。r.c.p.d.pωτ在Fτ（ω）t上导出一个概率测度pτ，ω，即Bτ（ω）的pτ，ω分布等于{Bt）的pωτ分布- Bτ（ω），t∈[τ（ω），T]}。然后，对于所有FT可测量的r.v.ξ，r.c.p.d.可以通过恒等式ωτ[ξ]=EPτ，ω[ξτ，ω]来理解。我们也将Pτ，ω称为0的P的r.c.P.d≤ T≤ T，我们遵循与第2节相同的构造。1确定马丁·盖尔对每英尺测量的Pt，α逐步可测量的S>0d值过程α，使得RTT |αr | dr<∞, Pt-a.s。

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2022-5-5 11:15:51

所有这些测量值的集合都表示为PtS。子集Pt∞密度过程^atof the equadratic variation process hBti的定义也类似。5.2. 自ξ以来一致连续支付的对偶结果∈加州大学(Ohm十）对于t，存在连续函数ρ的一种形式∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, ~ω ∈ Ohmt、 |ξt，ω（￠ω）- ξt，ω′（~ω）|≤ ρ（kω）- ω′kt），其中kωkt:=sup0≤s≤t |ωs |，0≤ T≤ T本证明的主要目的是以下动态值过程：Vt（ω）：=supP∈Pt∞EPωt[ξ]表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.（5.3）根据ξ的一致连续性性质，{Vt，t∈ [0，T]}是一个右连续F-适应过程。（5.4）此外，sin ce SUPPT∈P∞EP[ξ+]∞, 因此，P∈ P∞（ξ）那∈ 根据[35]中命题4.7的证明，我们可以看到{Vt，t∈ [0，T]}是P-超鞅。然后，我们可以应用给定边际23Doob–Meyer分解的导数界，并推断出一对过程（HP，KP）的存在性∈ Hlo c（P）和d KPP可积非减量，使得vt=V+ZtHPsdBs- KPt，t∈ [0，T]，P-a.s.因为V是每个P下的右连续半鞅∈ P∞（ξ），从Karandikar[22]中可以看出，进程族{HP，P∈ P∞（ξ） }（定义的P-a.s.）可以聚合为一个在[0，T]×上定义的过程Ohm bydhV，Bit=^HtdhBit，在所有P的情况下，^H=HP，dt×dP-a.s∈ P∞(ξ).因此我们有vt=V+Zt^HsdBs- KPt，t∈ [0，T]，所有P-a.s∈ P∞(ξ).对于X:=V，我们可以看到：–过程X^H:=X+R。^hsdbs从下方以V为界，而从下方以MPt为界：=EPt[ξ]，t∈ [0，T]；自ξ∈ L（P），后者是P-鞅；因此，X^His是allP的一个P-超马氏体∈ P∞（ξ）和X^HT=VT+KPT=ξ+KPT≥ ξ、 P-a.s。

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2022-5-5 11:15:54

每P∈ P∞(ξ).然后V≥ 注意，由于X^Hunder的超可压缩性∈ P∞（ξ），我们有v+supP∈P∞（ξ） EP[-[KPT]≥ 晚餐∈P∞（ξ） EP[X^HT- KPT]=支持∈P∞（ξ） EP[ξ]=V。由于KP=0且kpi不变，这意味着x^His是所有P的P-鞅∈ P∞（ξ）而不减损的过程KPI满足了最低限度的条件INFP∈P∞（ξ） EP[KPT]=0。备注5.1。定理2的一个可能扩展。1可通过更大类别的支付函数ξ获得。实际上，请注意，ξ上的一致连续性假设基本上用于获得（5.3）中定义的动态值过程V的可测性（5.4）。在适用第3节的情况下，需要进行这样的扩展，以避免将我们的框架限制在导致一致连续最优静态对冲λ的措施u上*. 定理2的一个方便的扩展。1，放松一致可积条件，在Possamai、Royer和Touzi[33]中得到，建立在Nutz和van Handel[29]以及Neufeldand Nutz[27]的最新结果基础上。24 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.Touzi致谢。这个版本得益于两位匿名裁判的详细评论。我们由衷地感谢他们的时间和努力，尤其是他们指出了本版本的一些不足之处。参考文献[1]Az\'ema，J.和Yor，M.（1979年）。解决简单的问题。《概率论》第十三卷。数学课堂讲稿。721 90–115. 柏林斯普林格。MR0544782[2]阿兹埃马，J.和约尔，M.（1979年）。斯科罗霍德的问题：“斯科罗霍德问题的简单解决方案”。在S\'eminaire de Probabilit\'es中，第十三章。数学课堂讲稿。721 625–633。柏林斯普林格。MR0544832[3]贝格尔博克，M.，亨利·劳德埃，P.和彭克纳，F.（2011）。

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2022-5-5 11:15:57

期权价格的模型独立界限：一种大众运输方法。预印本。可获取ARXIV:1106.5929。[4] J.-D.贝纳莫和Y.布雷尼尔（2000年）。Monge–Kantorovich传质问题的计算流体力学解。数字。数学84 375–393.MR1738163[5]Bonnans，F.和Tan，X.（2011）。一个无模型无套利价格，适用于不同的选择。预印本。[6] Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.（1978）。期权价格中的国家或有权益的价格。J.商业51 621–651。[7] 布朗，H.，霍布森，D.和罗杰斯，L.C.G.（2001）。受中间律约束的鞅的最大值。Probab。理论相关领域119558–578。MR1826407[8]卡尔，P.和周，A.（1997）。打破障碍。风险10 139–145。[9] Carraro，L.，El Karoui，N.和Ob L\'oj，J.（2012年）。关于Az’ema–Yor过程，它们的最佳性质和Bachelier下降方程。安。Probab。40372–400.MR2917776[10]Cox，A.M.G.，Hobson，D.和Ob l\'oj，J.（2008）。localtime的路径不等式：Skorokhod嵌入和最优停止的应用。安。阿普尔。Probab。18 1870–1896.MR246552[11]Cox，A.M.G.和Ob l\'oj，J.（2011）。双重非接触期权的稳健定价和对冲。金融斯托奇。15 573–605.MR2833100[12]Cvitani\'c，J.，Pham，H.和Touzi，N.（1999年）。投资组合约束下sto Chasticmo dels中的超级复制。J.阿普尔。Probab。36 523–545.MR1724796[13]Davis，M.，Obl\'oj，J.和Raval，V.（2013）。加权方差WAP价格的套利界限。数学资金出现。可在atarXiv获得：1001.2678v2。[14] Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994年）。资产定价基本原理的一般版本。数学安。300 463–520.MR1304434[15]丹尼斯，L.和马提尼，C.（2006）。模型不确定性下未定权益定价的理论框架。安。阿普尔。Probab。

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