期权定价、历史波动性和尾部风险

2022-5-5 13:04:06

期权定价、历史波动性和尾部风险萨穆埃尔E.V’azquezBaruch学院，库尼萨穆埃尔。vazquez@baruch.cuny.eduNovember2021年2月20日摘要我们用历史波动率估值器重新讨论期权定价问题。我们是在一个具有多个时间尺度和不对称性的广义GARCH模型的背景下做这件事的。有人认为，观察到的波动性风险溢价的原因是尾部风险厌恶。我们根据三个系数对此类风险规避进行参数化：凸度、倾斜和峰度风险溢价。我们认为，现实世界中的期权价格不是鞅，而是由这种尾风险溢价决定的。然后，我们推导了期权的公平定价方程，并证明了在连续时间和鞅概率测度下，解可以用随机波动率模型表示。这给出了定价和现实世界概率测度之间的精确联系，而这是用Girsanov定理无法得到的。我们发现，凸性风险溢价不仅改变了整体隐含波动率水平，还改变了其期限结构。此外，偏态风险溢价使得波动率的偏态比纯粹的历史估计更陡峭。我们用Bergomi-Guyon展开推导了某些隐含力矩的解析公式。这允许对模型进行非常快速的校准。我们展示了一个特定模型的例子，该模型可以使用很少的参数重现观测到的SPX波动率表面。1简介大多数期权定价模型直接用鞅或定价概率测度[1]表示。这类模型通常有大量需要拟合到波动率表面的参数。最后，这些参数将表现出强烈的时间依赖性，从而使模型的初始假设失效。

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2022-5-5 13:04:09

此外，参数的最终值几乎没有物理意义，因此不存在“公平”期权价格的概念。我们认为这是一种仅适用于实际情况的方法，我们认为最好在SSVI等参数化微笑模型的背景下进行[2]。另一方面，还有另一系列文献研究了GARCH波动预测产生的波动面[3,4,5,6]。然而，这里我们遇到了另一个问题：现实世界与定价或鞅概率测度之间的关系是什么？一种解决方案是保留一些GARCH参数，以便将其拟合到波动率表面。然而，这让我们回到了只使用Fit-only的方法，而不了解这些参数的物理意义。最糟糕的是，GARCH模型是在离散时间内编写的，因此需要耗时的蒙特卡罗模拟才能找到最佳参数。在GARCH模型的背景下，早期尝试发现定价和现实世界测量之间的直接关系见[3]。这种方法假设一个周期的预期方差在两种概率度量中是相同的。然而，正如我们将在本文中展示的那样，这种假设是错误的。事实上，由于尾部风险，即使是一天的回报，短gammatrader也应该有可观的溢价。在其他方法中，如[4]，作者首先在离散时间内建模对数回报，并通过要求简单回报为鞅来定义定价度量。然而，正如我们将在本文中展示的，波动性风险溢价与标的资产的漂移无关。事实上，期权价格对漂移非常不敏感，在现实世界和定价标准中，潜在的价格可能非常适合鞅。

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2022-5-5 13:04:12

这个文献流的一个显著例外是[7,8]，它使用价格核方法连接两个概率度量。我们相信他们的方法和我们的方法之间有着有趣的联系，但我们将把这留给未来的工作。本文介绍了一种新的期权定价方法。我们的目标是使用历史波动率估计器，同时引入风险溢价，这将允许拟合波动率表面。事实上，只有风险溢价需要与期权价格匹配。其余参数将通过基础数据的时间序列确定。我们将展示，波动率表面的大部分特征可以用一个好的波动率预测和三个风险溢价来解释。我们假设风险溢价是常数。这在实践中是不正确的，但概括是可能的，并将留待将来的工作。我们将认为，我们引入的风险溢价参数与尾部风险规避有关，并且来自这样一个事实，即期权交易者在离散时间内标记其账面价值，并且资本有限。我们将从离散时间开始，但假设时间步长足够小，这样我们就可以将期权价格扩展到随机变量变化的二阶。这是大多数期权交易者在实践中所做的。此外，正如大多数从业者所知，由于流动性限制，市场上只能交易前几笔希腊债券。这种近似将使我们能够与更熟悉的连续时间随机波动率模型联系起来。我们将尾部风险定义为基础资产的典型大变动，不一定是灾难性的“黑天鹅”事件[9]。然而，我们不为此类事件分配概率。在实践中，所有市场参与者的资本都是有限的，必须限制他们的杠杆，以便他们能够承受这样的风险。

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2022-5-5 13:04:17

事实上，大多数经纪商正是通过压力测试来确定保证金要求的。这在实践中意味着什么？假设你是一个做空伽马的交易者。在基础价格大幅波动的情况下，你可能会面临巨大的规模损失：lim |δS|→∞δP=-ΓδS，其中Γ>0是净伽马照射量。这是一个不可逾越的风险！换言之，长期波动和短期波动头寸之间存在很大的风险不对称。然后，短期波动性交易方必须比长期波动性交易方留出更多的资本。这是一种套利成本，因此，只有当短期波动率交易者通过其投资组合中的非零漂移得到补偿时才是公平的：E[δP]>0。这个非常简单的论点是我们期权定价方法的基础。在anutshell中，我们提出，在现实世界中，期权收益的漂移由尾部风险的价格决定。我们将自己局限于一类具有非对称性和多时间尺度的GARCH模型。然而，我们的方法可以应用于更一般的模型，甚至包括高频波动率估值器的模型[10]。我们在现实世界的测度下导出了一个广义的Black-Scholes方程。利用Feynman-Kac定理，我们在鞅概率测度下，将该方程的解映射到一个连续时间的随机波动模型。这提供了从现实世界到定价度量的精确映射。然而，使用标准的Girsanov变换无法获得这种联系。利用Bergomi和Guyon[11]的结果，我们推导出了波动率波动率（vol of vol）中高达二阶的某些隐含矩的近似公式。这些时刻可以与相应的快速校准选项条进行比较。每个风险溢价都是独立校准的。

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2022-5-5 13:04:21

特别是，我们表明，通过设置方差互换期限结构，我们可以获得凸性/伽马风险溢价。此外，通过设置类似的选项条，可以获得倾斜和峰度风险溢价。一旦风险溢价被校准，就可以使用蒙特卡罗模拟生成完整的波动率表面。我们表明，通过这种方式获得的波动率曲面与我们在市场中观察到的波动率曲面非常接近。我们应该强调的是，本文的目的不是对GARCHMODEL或最佳估计技术进行比较研究。我们的目的只是介绍一种新的定价方法，并给出一些例子。因此，我们不会试图比较不同模型的最佳质量。在第2节中，我们将使尾部风险论证更加精确，并确定风险溢价。在第三节中，我们详细研究了GARCH（1,1）模型，该模型用于说明主要观点。在第4节中，我们将GARCH模型推广到包括不对称性和多时间尺度。在第5节中，我们推导了潜在收益的某些隐含时刻的近似公式。在第6节中，我们将解释如何使用SPX选项数据进行校准。此外，我们还给出了从一个特殊的GARCH模型中得到的挥发性曲面的例子。我们在第7.1.1节注释中得出结论，我们用St表示标的资产的价格，其中t是以年为单位的时间。和往常一样，我们假设这是远期价格，这样我们就可以忽略股息和利率。在离散时间工作时，我们采用一天的时间步长：δt=1/252（以年为单位）。简单的返回将由δSt:=St表示- 圣-δtIn一般来说，时间下标表示随机时间依赖性，而括号表示平滑时间依赖性。例如，对于固定T，xt（T）是T的光滑函数。

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2022-5-5 13:04:26

此外，所有形式为XT的随机过程都是t-可测的，因为它们依赖于时间t之前的信息。潜在收益将分解如下：rt:=δStSt-δt=pδtνt-δt这里这是一个平均值和单位标准偏差为零的i.i.d.噪声，而ν是实现的年化方差。注意，我们认为在现实世界的度量下，底层是鞅。然而，添加漂移或获取日志返回对模型参数的影响可以忽略不计。我们还发现，几乎没有证据表明t、因此，我们假设这是对称的。我们将充分利用指数移动平均线或均线。我们的定义如下：EMAL[xt]=1.-LEMAL[xt-δt]+Lxt（1），其中L是以天为单位的EMA的时间尺度，Xt是一些随机过程。真实世界的概率测度用P表示。表示T的符号为Et[xT]≥ t表示信息在时间t之前的条件期望。定价度量将用P表示？条件期望的类似符号：E？t[xT].2尾部风险期权交易者的尾部风险源于期权对标的资产变动的非线性依赖性。我们考虑由标准化返回参数化的尾部场景t、例如，t=±3是“3西格玛”情景。此外，我们使用符号lim|t|→∞表示一个巨大的潜在移动（不是字面上的确定）。基本上，我们考虑3-5西格玛的典型场景。这些不是黑天鹅事件，因为它们经常发生。然而，它们的规模足以给期权交易员造成重大损失，并触发追加保证金通知。假设我们有一个组合P（2），有一些伽马暴露，在尾事件下，我们有：lim|t|→∞δP（2）t=t（2），其中P（2）中的上标表示T

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2022-5-5 13:04:29

正如我们在导言中所讨论的，经纪人会要求在P（2）中有空头头寸的交易者比有多头头寸的交易者投入更多的保证金。这是一种携带成本，因为他/她可能会把钱投资到其他地方。为了补偿这个交易者，P（2）的盈亏（P&L）必须在现实世界中有一个漂移：EthδP（2）t+δti=-λ（3），其中我们平均期望λ>0。我们称λ为凸性或伽马风险溢价。请注意，我们不需要知道关于这个投资组合的任何细节，只需要知道它的渐进风险敞口. 事实上，本文的关键假设是，这种投资组合的形式并不重要，而且任何其他具有相同尾部风险的投资组合，比如P（2），都将具有相同的漂移。换句话说，衍生市场只存在价格尾部风险，而不是“每日”差异。伽马风险敞口投资组合的一个简单例子是前端VIX期货合约。在图1中，我们比较了前短期波动率指数合约和前长期波动率指数合约的累计损益。这两个损益表都进行了风险管理，因此它们在20天的范围内具有相同的每日风险。我们可以清楚地看到，对于同样的风险，VIX期货的风险溢价高于SPMINI期货。然而，它也有更大的下降。在图2中，我们展示了SPMINI未来损益表上的剩余VIX未来损益。很明显，短期VIX未来有一个伽马分量，它会导致SPMINI大幅波动的二次大损失。这就是Extra premium的原因！200520062007200820092010201120122013012014Date50050100150200累积PnLVIX（0.96）SPMINI（0.57）图1：前短期VIX和长期SPMINI期货的累积损益。每个期货都进行了风险管理，在20天的滚动范围内维持大约1美元的每日风险。

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mingdashike22

2022-5-5 13:04:33

年化夏普比率在括号中显示。现在考虑一个投资组合P（3），lim|t|→∞δP（3）t=t（4）更精确地说，设Rt=Ft- 英尺-δt为未来合同的每日损益。风险管理损益由Rt=Rt/qEMA[Rt]给出-δt]。剩余损益由rVIX确定- βrSPMINI，其中β：=Cov[rVIX，rSPMINI]/Var[rSPMINI]，其中rVIX，rSPMINI分别表示VIX和SPMINI合同的风险管理PNL。6 4 2 0 2 4 6 SPMINI PnL2。01.51.00.50.00.51.01.52.0E[VIX PnL（残差）| SPMINI PnL]FitDataFit图2：前短VIX未来残差损益以前长SPMINI未来损益为条件。通过将观察结果划分为200个箱子进行调节。我们还展示了一个用于视觉清晰度的二次多项式函数。在股市中，大多数交易者都害怕左尾。这意味着在P（3）中持有多头仓位的交易者在大幅度下跌的情况下面临立方损失。在这样的市场中，人们期望看到一个倾斜的风险溢价，即δP（3）t+δti=λ（5），其中λ平均>0。在外汇或某些大宗商品市场，我们预计不会看到这样的风险溢价，因为市场参与者同样害怕左尾和右尾。请注意，这是关于风险规避的陈述，而不是关于市场的概率分布。事实上，有人可能会说，没有人知道真实世界的概率度量。然而，我们所有人对下行股票市场的资本要求都变得更加严格（例如，大多数投资者定义为多头股票）。最后，我们引入峰度风险溢价：lim|t|→∞δP（4）t=t（6）EthδP（4）t+δti=-λ（7），其中我们平均期望λ>0。人们可以想象更高的时刻，但正如大多数期权交易员所知，由于流动性限制，获得此类风险敞口越来越困难。时机越高，我们就越需要利用期权簿，这样的策略的能力就越小。

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2022-5-5 13:04:36

此外，在下面研究的GARCH模型中，如果我们将自己局限于二阶希腊人，就不会得到更高阶的风险敞口。风险溢价（λ，λ，λ）将成为唯一需要与期权价格匹配的参数。3 GARCH（1,1）模型在本节中，我们详细研究了GARCH（1,1）模型。这是GARCHfamily最简单的模型，可以用来说明主要观点。本节的目标是使用尾部风险参数推导该模型的pricingor鞅概率测度。我们首先对avariance掉期进行定价，然后对一般欧洲应急索赔进行定价。GARCH（1,1）模型基本上是一个EMA滤波器：νt=？（1- α） +αXt（8）Xt=δtEMAL[rt]（9）δXt+δt=Lνtt+δt- Xt（10）式中，ν是无条件方差和α∈ [0,1]是一个控制波动率自相关强度的参数。3.1方差互换的定价现在从对到期日为T的方差互换合同进行定价开始。我们用Vt（t）表示该合同在时间t的价格。到期时，我们的方差互换支付PT（T）=PNj=1rt+jδT- Vt（T），其中T=T+NδT是到期日，N是T和T之间的天数。由于签订此类合同需要零资本，时间t和t+δt之间的方差交换的损益由δPt+δt（t）=Vt+δt（t）给出- Vt（T）+rt+δT（11）我们现在假设价格Vt（T）是时间和滤波器Xt，Vt（T）：=V（T，Xt）的平滑函数。此外，请注意，边界条件为V（T，X）=0。高达x的二阶变化，假设我们有足够小的时间步长δt，δPt+δt（t）≈五、tδt+五、XtδXt+δt+五、XtδXt+δt+νtt+δtδt（12）在这种情况下，这个展开式是精确的。现在我们来看一下方差互换的尾部风险。使用Eqs。（2）式中的（6）和（10）。

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2022-5-5 13:04:40

（12），我们可以将方差交换损益的渐近极限分解如下：|t+δt|→∞δPt+δt（t）=lim|t+δt|→∞五、XtνtLδP（2）t+δt+νtδtδP（2）t+δt+五、XtνtLδP（4）t+δt（13）我们应该强调的是，由于我们想要考虑一个通解V（t，X），我们不能比较等式（13）中的不同项，因为我们不知道导数的大小。事实上，对于方差交换，V是X的线性函数，所以二阶导数消失。根据我们在上一节中的论点，任何两个尾部风险相同的投资组合都应该具有相同的漂移。因此，使用Eqs。（3）和（7）以及等式（13）中给出的渐近性，我们得出结论，方差交换的漂移必须由et[δPt+δt]=EthδP（2）t+δti给出五、XtνtL+νtδt+EthδP（4）t+δti五、XtνtL=-λ五、XtνtL+νtδt-λ五、XtνtL（14）这是现实世界概率测度下方差互换的公允价值等式。更明确地说，我们可以将等式（14）写成V（t，X）的偏微分方程：五、t+θ[ν（1+λ）- X]五、X+ξν五、X+（1+λ）ν=0（15），其中ν=？（1）-α） +αX（16）θ=（δtL）-1(17)ξ =√M- 1+λL√δt（18）m=E[] （19）边界条件为V（T，X）=0。在编写公式（15）时，我们放弃了δX:Et[δXt+δt]漂移中的一个二次项≈ （m）- 1） νt/L。我们发现，从经验上看，这是一个非常好的近似值。使用Feynman-Kac公式，我们可以根据连续的时间突变波动过程写出等式（15）的解：Vt（T）=（1+λ）ZTtE？t[νs]dsνt=\'ν（1）- α） +αXtdXt=θ[νt（1+λ）- Xt]dt+ξνtdZ？t注意定价概率度量P？这只是一个数学技巧来解决等式（15）。然而，为了得到解析解，它是非常有用的。事实上，在这种情况下，可以明确地计算出解：Vt（T）=Xτ+α（1+λ）1.- E-θτXt-\'-Xθ（20），其中滤波器XT的值由公式（9）给出，τ=T- tθ=θ[1- α（1+λ）]X=\'ν（1）- α)(1 + λ)1 - α（1+λ）自等式。

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2022-5-5 13:04:44

（20）在Xt中是线性的，我们可以看到这是方差互换价格到所有订单的精确解，在vol-of-vol中。事实上，该解只取决于凸性或伽马风险溢价。因此，通过校准方差交换项结构，我们可以得到λ的值。此外，请注意伽马风险溢价不仅改变了varswap的水平，还改变了有效均值回归时间尺度，进而改变了期限结构的斜率。最后，请注意，即使在最小的时间步长：limδt，隐含的预期方差水平也会从历史方差水平发生变化→0Vt（t+δt）δt=（1+λ）νt，其中由等式（8）的历史估计给出。这使[3]的假设无效，他提出，在现实世界和鞅概率测度中，一个周期的预期方差是相同的。3.2期权定价我们现在将之前的问题推广到欧洲风格的期权C（t，S，X）的定价，最终支付C（t，S，X）=g（S）。对于delta对冲期权，二阶展开式为：Δ^Ct+Δt≈Ctδt+CXtδXt+δt+CXtδXt+δt+CStδSt+δt+C圣XtδSt+δtδXt+δt（21），其中δ^Ct+δt=δCt+δt-CStδSt+δt- rCtδt是自融资和增量对冲期权的损益，r是我们认为恒定的无风险利率。尾部风险现在包括交叉项δSδX导致的倾斜~ . 更准确地说，我们有：林|t+δt|→∞Δ^Ct+Δt=lim|t+δt|→∞νtLCXtδP（2）t+δt+νt2LCXtδP（4）t+δt+StνtδtCStδP（2）t+δt+√δtν3/2tStLC圣XtδP（3）t+δt#（22）因此，δ对冲期权的漂移由以下公式给出：Et[ΔCt+δt]=-λνtLCXt+StνtδtC圣+ λ√δtν3/2tStLC圣Xt- λνt2LCXt（23），导致期权价格出现以下PDE：CT- rC+θ[ν（1+λ）- X]CX+（1+λ）νSCS+ξνSCX+p1+λρξν3/2SCsX=0（24），式中定义了ν、θ和ξ。

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2022-5-5 13:04:47

（16） -（18）和ρ=-λp（1+λ）（m）- 1+λ）（25）使用费曼-卡克公式，我们可以根据以下随机过程Ct（T）=e写出等式（24）的解-r（T）-t） E？t[g（ST）]（26）dStSt=p（1+λ）νtdW？t（27）νt=\'ν（1）- α） +αXt（28）dXt=θ（νt（1+λ）- Xt）dt+ξνtdZ？t（29）E？[dW？tdZ？t]=ρdt（30），在方差交换的特殊情况下，概率测度P？是所谓的鞅或定价度量。有趣的是，我们已经推导出了现实世界和由三个风险溢价（λ，λ，λ）参数化的定价措施之间的直接联系。这些是唯一必须从期权价格中推断出来的参数。其余部分完全由历史数据决定，包括EMA过滤器Xt的初始值。查看等式（27），我们注意到凸性风险溢价λ如何使隐含波动率高于历史波动率（平均值）。此外，我们可以看到，这种风险溢价不能通过（W？，Z？）上的Girsanov变换被吸收到概率测度中。这有一个根本原因：λ的存在源于期权损益在离散时间内标记到市场的事实。另一种理解方法是，在现实世界和定价措施中，基础价格都是鞅。因此，波动性风险溢价与标的资产的漂移无关。许多作者似乎混淆了波动性风险溢价和股票风险溢价。这是两个完全不同的量。事实上，有许多资产没有任何明显的风险溢价（例如外汇汇率或某些商品）。然而，他们的期权仍然显示出波动风险溢价。因此，通过将amartingale条件应用于STI来推导定价措施的任何尝试都注定会失败（参见。

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2022-5-5 13:04:50

[3, 6]).倾斜风险溢价λ使得现货和波动率之间的相关性更为负。事实上，即使基础分布是对称的，由于倾斜风险溢价，我们仍然可以产生非平凡的隐含杠杆效应。最后，峰度风险溢价使得vol的隐含体积高于历史估计值。由等式给出的随机过程。（27）-（30）只有在风险溢价服从以下界限时才能定义：λ>-1 (31)λ≥ -m+1+λ1+λ（32）第二个界来自于我们需要|ρ|≤ 1.4包括不对称性和多个时间尺度。有相当多的研究证明了挥发性自动相关性中的多个时间尺度（例如参见[12,13,14,15,16,17,18]）。事实上，有人认为波动率自相关性会以幂律衰减[18]。幂律滤波器的一个问题是它不是Makovian滤波器。然而，如[19]所示，人们总是可以用多个指数来近似幂律滤波器。因此，在本节中，我们研究了广义GARCH模型，它是具有不同时间尺度的EMA过滤器的线性组合。波动性的另一个典型事实是所谓的杠杆效应[20]。换句话说，对于股票指数而言，负回报往往比正回报更能增加未来的波动性。在搜索模型中，这是通过添加一个只依赖于过去负回报的过滤器来实现的[21]。因此，我们将研究以下一般类型的模型：rt=√νt-δtT√δt（33）νt=N+MXi=1αiXit（34）Xit=（δtEMALi[rt]表示i=1，…，NδtEMALi[rtrt<0]表示i=N+1，…，N+M（35），其中pn+Mi=1αi=1，δt=1/252，rt=St/St-δt- 1和i.i.d.噪声项这是零均值和单位标准差。注意，我们在等式（34）中没有常数无条件方差，正如我们在简单GARCH（1,1）模型中所做的那样。

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2022-5-5 13:04:54

然而，我们总是可以用其中一个时间尺度来表示完整性，比如L→ ∞. 这样我们可以恢复通常的GARCH（1,1）模型。实际上，我们需要L=1000天。通过这种方式，我们避免了太多的样本偏差，因为我们只使用过去的观察结果，并且避免了必须拟合长期无条件方差。为了找到该模型的定价标准，我们可以回顾第4节中的相同论点。然而，在扩大损益选项时，我们现在将面临以下新的尾部风险：lim|t|→∞δXt∝ Tt<0（36）lim|t|→∞δStδXt∝ Tt<0（37）lim|t|→∞δXt∝ Tt<0（38），其中δx是不对称滤波器之一。我们现在可以想象理想的投资组合，所以|t|→∞δ≈P（n）t=新界t<0表示n=2,3,4。为了避免在我们的模型中引入更多的风险溢价，我们将讨论不公平市场，投资者只害怕巨大的负回报。换句话说，他们只重视下行尾部风险。因此，这些新的尾部风险必须与对称风险具有相同的漂移：Et[δP（2）t+δt]=Et[δP（2）t+δt]=-λ（39）Et[δP（3）t+δt]=Et[δP（3）t+δt]=λ（40）Et[δP（4）t+δt]=Et[δP（4）t+δt]=-λ（41），其中我们使用了等式。（3），（5）和（7）。为了给期权定价，我们像以前一样假设其价格是时间、时间点和过滤器的平滑函数：Ct（T）=C（T，S，X）。将变量扩展到二阶，并考虑到前一节中的尾部风险，我们得到以下PDE：CT- rC+Xiθiνδi- xiCXi+（1+λ）νSCS+XijξiξjρijνSCxiXj+p1+λXiρiξiν3/2SCsXi=0（42），其中我们去掉了δxit漂移中的二次项，并定义了以下变量：ν=XiαiXi（43）θi=（Liδt）-1（44）δi=（1+λ，对于i=1，…，N1+2λ，对于i=N+1，…，N+M（45）ξi=√M-1+λLi√δt对于i=1，N√2米-1+4λLi√δt对于i=N+1，N+M（46）ρi=-λ√（1+λ）（m）-1+λ）对于i=1，N2（m--λ)√（1+λ）（2m）-1+4λ）对于i=N+1。

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2022-5-5 13:04:59

，N+M（47）M-= E[<0]（48）m=E[] （49）此外，如果两个滤波器都是对称的或不对称的（ρij=1），则滤波器之间的相关性为1，但对称和非对称滤波器之间的相关性为：ρij=m- 1+2λp（m）- 1+λ（2m）- 1+4λ，（50）表示i∈ {1，…，N}，j∈ {N+1，…，N+M}。使用Feynan-Kac公式，我们可以将等式（42）的解与以下随机波动率模型联系起来：Ct（T）=e-r（T）-t） E？t[g（ST）]（51）dStSt=p（1+λ）νtdWt（52）νt=XiαiXit（53）dXit=θi[νtδi- Xit]dt+ξiνtdZit（54）E？[dWtdZit]=ρidt（55）E？[dZitdZjt]=ρijdt（56）布朗运动可以分解为几个PCA因子，如下所示：=ρ+dWt+q1- ρ+p |ρ+-|DZP1+DZP1- |ρ+-|dZ+t对于i=1，Nρ-dWt+q1- ρ-符号（(R)ρ+-)p |ρ+-|dZt+p1- |ρ+-|dZ-T对于i=1+N，N+M（57），其中RHS（W，Z，Z+，Z）上的所有布朗运动-) 不相关，且ρ+=-λp（1+λ）（m）- 1 + λ)(58)ρ-=2（m）-- λ） p（1+λ）（2m）- 1 + 4λ)(59)ρ+-=M- 1+2λp（m）- 1+λ（2m）- 1 + 4λ)(60)ρ+-=ρ+-- ρ+ρ-问题（1）- ρ+)(1 - ρ-)（61）模型的一致性需要以下约束条件：|ρ+|≤ 1 (62)|ρ-| ≤ 1 (63)|ρ+-| ≤ 1 (64)|ρ+-| ≤ 1（65）注意，条件（65）是最严格的界限。该条件转化为峰度风险溢价的最小边界：λ≥4（m）- 1）（m）-- λ） m-+ λ（2m）- 1) - m（m）- 1）（1+λ）（2m）- 1)(1 + λ) - 4（m）-)（66）注意，等式（66）仅适用于对称和不对称滤波器的一般情况。如果所有滤波器都是对称的（M=0），我们只需要执行等式（62）。另一方面，如果所有过滤器都是不对称的（N=0），我们只需要施加等式（63）。根据经验，我们发现等式（66）大部分时间是饱和的。这种条件的饱和可以解释为，在这类模型中，波动率只有一个风险因素（除了即期波动）。这是有道理的，因为在离散模型中，所有过滤器都由即期回报（平方）驱动。

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2022-5-5 13:05:02

对模型进行推广，这样我们就能产生更多的波动风险因素，这会很有趣。例如，可以通过在我们的波动性估计中添加高频滤波器来实现。在本节结束时，我们将对远期方差和方差交换进行定价，以用于等式模型。(52) - (56). 我们将在下一节充分利用这些结果。我们首先介绍thematrix：Ohmij:=θi（δij）- δiαj）及其特征值分解，Ohm = U·D·U-1，Dij:=θiδij正向方差定义为ft（T）：=E？t[νt]（67）对于我们的多尺度模型，我们得到ft（t）=（1+λ）Xi~αi~ Xite-θi（T）-t） ~a:=UT·α~Xt:=U-1·XT此外，请注意，前向方差是一个鞅：dFt（T）=νtXijαi（U-1） ijξije-θi（T）-t） dZjt（68）方差互换意味着综合远期方差：Vt（t）：=ZTtdsFt（s）=（1+λ）XiαiXitθi1.- E-θi（T）-（t）（69）5 Bergomi-Guyon扩展为了确定风险溢价λi的价值，我们需要将随机波动率模型与期权价格相匹配。然而，我们的模型没有解析解，因此我们将采用Bergomi和Guyon在[11]中提出的微扰展开。这基本上是一个vol-of-vol展开式（例如ξ中的展开式）。在本节中，我们将推导各种隐含动量的封闭式公式，这些公式将在下一节中用于校准我们的模型。这将避免在校准中使用蒙特卡罗模拟。我们不会讨论扩展的准确性。[11]的主要结果是，对于二阶的vol-of-vol，期权价格可以用初始远期方差曲线的某些函数来近似。更准确地说，设x=log Sbe为初始时间t=0时标的物的对数价格，C（0）为在0 vol of vol（ξ=0）时评估的期权价格。此外，我们认为T是到期时间。

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2022-5-5 13:05:05

然后，对于第二个顺序，我们可以近似地计算期权价格asC（x，T）≈1+Cxfx(十、- 1） +Cffx(十、- 1） +（Cxf）x(十、- 1） +Cux(十、- 1)C（0）（x，T）（70），其中C（0）=exp五、x(十、- 1)g（x）（71）Cxf=ztdtdue？[dxtdFt（u）]dt（72）Cff=ztdtzttdue？[dFt（s）dFt（u）]dt（73）Cu=ZTDTtue？[dxtdFt（u）]dtδCxfδF（u）（74）V=ZTdtF（t）（75）和g（x）是到期时的期权支付。请注意，所有积分都是初始前向方差曲线F（s）的泛函，其泛函导数的定义如下：δF（s）δF（u）=δ（u- s）其中δ（x）是狄拉克δ函数。公式（70）的一个有用的特例是矩母函数，它可以通过使用以下公式导出：g（x）=eαx。我们有，MT（α）：=e？[eα（xT-x） ]（76）=eψ（α）（77），其中ψ（α）≈α(α - 1） V+Cxfα（α- 1） +Cffα（α- 1） +Cα（α- 1）（78）使用等式。（52）和（68）计算积分（72）-（74）：Cxf（T）很简单≈夏伊克菲（T）（79）Cff（T）≈xibijiff（T）（80）Cu（T）≈XiθiAiAjIuij（T）（81），其中i=▄αi▄θiXj（U-1） ijξjρj（82）Bij=~αi~αj~θi~θjXk，l（U）-1） ik（U）-1） ilξkξlρkl（83）Ixfi（T）=ZTdtF3/2（T）1.- E-θi（T）-（t）（84）Iffij（T）=ZTdtF（T）1.- E-θi（T）-（t）1.- E-θj（T）-（t）（85）Iuij（T）=ZTdtF3/2（T）ZTtduF1/2（u）e-θi（u）-（t）1.- E-θj（T）-u）（86）需要注意的是，偏斜和峰度风险溢价（λ，λ）的相关性完全包含在向量A和矩阵Bij中，积分Ixf，Iff，Iu包含所有的术语结构相关性。这意味着，一旦我们使用Varswaps校准凸性风险溢价λ，我们只需要计算一次积分。另一个重要的观察结果是Cxfand Cu仅依赖于λ和λ。这是因为乘积ρiξiis独立于峭度风险溢价。

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2022-5-5 13:05:08

这个特性对于校准非常有用，我们将在下面看到。对于模型校准，计算以下归一化动量Sr非常有用-200万吨≈rVT（87）2M√T(-2米）3/2≈√T V3/2Cxf+Cu（88）2M+M- 米+2米√T(-2米）5/2≈√T V5/2Cu+Cff（89）其中m:=E？[log（ST/S）]=MT（0）（90）M:=E？日志（ST/S）= MT（0）（91）M:=E？[（ST/S+1）log（ST/S）]=MT（1）+MT（0）（92）使用Madam和Carr[22]的著名结果，我们使用OTMIn导出的等式复制力矩Mi。（79）-（81）我们使用了以下近似：（1+λ）nE？[νnT]≈ [F（T）]n.对该近似值的任何修正都将导致对上述方程的ξ至少三次修正。选项如下：M=-erTzsdkp（K）+Z∞SdKKC（K）（93）M=2erTZSdKK（1）- 对数（K/S）P（K）+Z∞SdKK（1）- 日志（K/S））C（K）（94）M=erTZSdKKKS- 1.P（K）+Z∞SdKKKS- 1.C（K）（95）其中积分覆盖期权行使，看涨期权和看跌期权分别用C（K）和P（K）表示。这意味着EQ的LHS。（87）-（89）可以使用期权价格计算，而RHS由我们的模型给出。这就是我们在下一节中找到风险溢价（λ，λ，λ）的方法。我们还注意到，式（87）仅取决于凸性风险溢价λ，式（88）仅取决于λ和λ。因此，校准可以按顺序进行：我们首先使用公式（87）校准方差交换项结构，以获得λ。接下来，我们使用公式（88）找到λ。最后，峭度风险溢价λ可使用公式（89）求出。另一个有趣的观察涉及ATM波动率偏差，定义为（T）：=σBS（K，T）日志K其中σBS（K，T）是Black-Scholes隐含波动率。首先，我们可以写（见[11]）：S（T）≈Cxf√T V3/2（96）正如我们在上一节中所看到的，倾斜风险溢价倾向于使杠杆相关性ρimore为负。因此，看看等式。

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2022-5-5 13:05:11

（79）和（82）我们可以看到，倾斜风险溢价将使CxFm更负，因此ATM倾斜比λ=0.6校准的历史估计值更陡（更负）。在本节中，我们解释了我们的校准方法，并展示了使用特定GARCH模型获得的结果波动率曲面的一些示例。我们的目的不是找出哪种模型最好，所以我们将集中于一个简单的模型，它结合了多尺度和不对称性。也就是说，我们取等式。（33）-（35）N=2，M=1和L→ ∞. 换句话说，为了校准的目的，我们将Xt设为常数。我们发现，出于校准目的，如果我们避免使用长EMA滤波器，最大似然优化收敛速度会更快。稍后，我们将使用1000天均线来代替无条件方差。校准分两步进行。首先，必须使用基础数据的每日时间序列来拟合离散时间GARCH模型。这决定了除riskpremia（λ，λ，λ）之外的所有参数。后者是通过拟合等式中给出的力矩获得的。（87）-（89）使用IngoTM期权价格，同时考虑等式（66）中给出的界限。当然，这只是一个近似值。事实上，有两种近似方法：首先，我们已经扩展到第二阶，第二，我们需要近似等式的有限积分。（93）-（95）带有一组离散的打击。为了进行更精确的校准，必须对随机过程进行蒙特卡罗模拟，但这可能非常耗时。我们发现，使用我们的近似方法可以给出合理的微笑。为了校准GARCH模型，我们从1999年1月至2012年12月31日的28个全球股票指数中获取每日数据。我们假设在某种意义上的普遍性，即标准化的返回rαt:=rαt/Std[rαt]都遵循具有相同参数且Xt=1的相同GARCH模型。

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2022-5-5 13:05:14

这样我们就避免了长期均值-方差的估计，这是一个非常嘈杂的量，我们不希望它是通用的。稍后，为了避免太多样本偏差，我们将把XT作为1000天EMA。因此，我们只剩下4个参数：（α，α，L，L）。假设创新遵循带E的高斯分布[] = 0和E[] = 1.最小化的函数是单个似然函数的平均值：L=NXα=1nαnαXt=1对数（ηαt）-1) - 日志ρ~rαt/qναt-1.其中，nα是股票指数α的观察次数，n是时间序列的次数，ρ是指数的分布函数. 如果我们使用对数回报或使用其他分布，如Student-t，我们发现参数差异很小。我们发现以下参数：（α，α，L，L）≈ (0.4, 0.5, 36, 6). 值得注意的是，对称过滤器L的平均回归时间尺度远小于对称过滤器L。这意味着模型对负回报的反应更快。为了计算风险溢价，我们需要评估OTM期权INEQ上的积分。(93) - (95). 这是通过使用SPX选项来实现的|| ∈ [0.01, 0.5]. 然后使用梯形规则对积分进行近似：Zbadxf（x）≈如果（xi）φi，则NXi=1φ=（十）- x）对于i=1（xN- xN-1）对于i=N（xi+1- xi-1）对于i=2，N-1一些股票指数的波动性自然会更大，因为它们可能由较少的股票组成，或者来自被认为比美国风险更高的国家。期权数据由OptionMetrics提供。其中N是数据点的数量，xi∈ [a，b]是（有序的）离散观测值。这是一个单独的通话和看跌期权。然后，LHS如果Eqs。（87）-（89）由RHSin在最小平方误差意义下进行拟合。注意，在这一步中，我们在模型中取L=1000。

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2022-5-5 13:05:18

换句话说，我们的全局参数集是：（α，α，α，L，L）=（0.1,0.4,0.5,1000,36,6）。如前所述，估算是按顺序进行的：首先我们使用公式（87）估算λ，然后我们继续使用公式（88）估算λ。最后，在执行等式（66）约束的同时，使用等式（89）找到峰度风险溢价。在图3-5中，我们展示了通过校准等式获得的变量交换、偏斜和峰度函数的一些示例。(87) - (89). 我们可以看到，总体而言，我们的GARCH模型很好地捕捉了varswap和歪斜期限结构的形状。对于峰度而言，效果不太好。然而，我们必须指出，在三角洲范围的选择下，等式（89）的LHS定义的力矩不是很稳定。此外，我们发现，在基本上所有的函数中，等式（66）中给出的约束是饱和的或非常接近饱和的。这意味着风险不是独立的！0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）0.120.140.160.180.200.22Varswap拟合2013-08-26datafitλ2=0图3:GARCH varswap校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。请注意，方差互换水平（λ=0）的历史估计值低于隐含水平。一旦我们确定了三个风险溢价，我们就可以通过对等式进行蒙特卡罗模拟来生成完整的波动率面。(51) - (56). 为了避免负价格，我们模拟了log返回d log S=-（1+λ）νtdt+p（1+λ）νtdWt。然后用标准方法离散所有方程，并用高斯新息模拟布朗运动。为了产生不同的风险因素，我们使用公式（57）的分解。在图6-8中，我们展示了一些波动性微笑的例子。

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mingdashike22

2022-5-5 13:05:21

数据由OTM看涨期权和看跌期权的中间价格组成，其Delta在以下范围内|| ∈ [0.001, 0.999].请注意，并非所有的金融工具都很好，然而，varswap期限结构的不良金融工具并不意味着整体波动率表面的不良金融工具（见第9-12页）。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）2.52.01.51.00.50.0偏差拟合2013-08-26datafitλ2=λ3=0图4:GARCH偏差校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。如果没有风险溢价，我们无法解释隐含偏差的大小。风险溢价的时间序列如图13-15所示。一个有趣的观察结果是，我们发现了一个非平凡的倾斜风险溢价，它是正的，并且在时间上相当稳定（参见图14）。事实上，我们可以从图4中看到，当风险溢价为零时，GARCH模型无法解释隐含的偏差。请注意，即使我们设置了E[] = 0，我们几乎找不到证据表明, 因此，它永远无法解释这一巨大的隐含偏差。凸性风险溢价λ在时间上不稳定。正如预期的那样，它平均为正，但也可能变为负，特别是在危机期间。我们还注意到，峰度风险溢价λ在大多数情况下会饱和等式（66）中给出的界限。事实上，图15中的峰值是由于边界未饱和的天数。这意味着，这实际上不是一个独立的参数，我们的模型可以通过在等式（66）中施加等式来进一步简化。一种可能的解释是，我们的模型过于严格，因为所有过滤器都是由潜在回报驱动的。事实上，对于从业者，我们建议不要设置峰度风险溢价，而只是饱和等式（66）的边界，以确定λ.7结论。在本文中，我们介绍了一种新的期权定价方法，它使用历史波动率和风险溢价估计。

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mingdashike22

2022-5-5 13:05:24

简言之，我们认为现实世界中的期权价格不是鞅，而是由尾部风险溢价决定的。这是因为期权交易人的资本有限，而且由于期权合同的非线性，他们可能会因市场的大幅波动而面临巨大的损失。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）01020304050600荨麻疹拟合2013-08-26数据拟合λ2=λ3=λ4=0图5:GARCH峰度校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。特别地，我们研究了一类具有多时间尺度和对称性的广义GARCH模型。然而，我们相信，一旦我们能够量化其在潜在风险（如尾部风险）大幅度变动下的渐近展开，我们的程序就可以推广到任何类型的波动率估值器。在本文研究的模型背景下，我们发现，如果我们将期权价格扩展到二阶希腊人，我们只需要三个风险溢价：凸性、倾斜和峰度。然而，从经验上看，我们发现峰度风险溢价不是独立的，并且饱和现象比比皆是，这使得我们可以用另外两个风险溢价来描述峰度风险溢价。因此，最后，我们的模型只有两个必须与期权价格相匹配的参数：凸性和倾斜风险溢价。其余参数完全由使用standardGARCH校准方法的历史数据确定。这使我们能够产生期权微笑，这取决于我们的波动性预测和市场的风险溢价。我们发现，凸性风险溢价不仅改变了隐含波动率的水平，还改变了其期限结构。

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何人来此

2022-5-5 13:05:28

另一方面，倾斜风险溢价使ATM倾斜比历史估计更陡（更负），峰度风险溢价使vol的vol高于历史估计。我们根据Bergomi和Guyon[11]的vol-of-vol展开式开发了一种校准方法，其中我们提供了一系列可以使用OTM选项复制的隐含力矩。然后，我们推导出了这些矩的近似公式，最高可达vol-of-vol的二阶。一旦找到了风险溢价，我们就可以通过蒙特卡罗模拟生成完整的波动率面。我们表明，通过这种方式获得的微笑与SPX期权市场中观察到的微笑相当接近。我们的工作有许多扩展，值得更多关注。特别是，我们假设，即使我们在不确定的时间内工作，我们也可以将期权价格近似为二阶希腊人。放松这个假设会很有趣。也许这可以在0中完成。4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2金钱0。100.150.200.250.300.350.400.45Black-Scholes挥发物=2013-08-26 T=26天达蒙特-卡洛夫图6：蒙特卡罗微笑示例。[23]中对冲蒙特卡罗方法的背景。我们模型的另一个扩展是使凸度风险溢价与时间相关。正如我们在第6节中看到的，倾斜和峰度风险溢价在时间上相当稳定。然而，凸度风险溢价并非如此，在危机期间，凸度风险溢价甚至可能变成负值。最后，探索我们的方法和所谓的定价内核之间的关系是很有趣的[7,8]。致谢我要感谢巴鲁克大学，在那里进行了部分研究。

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何人来此

2022-5-5 13:05:31

我还感谢Arthurbard、Jim Gatheral、Peter Carr、Adela Baho、Tai Ho Wang、Anja Richter、Andrew Lesniewski和Filippo Passerini对手稿进行了许多富有启发性的讨论和评论。参考文献[1]Musiela M.，Rutkowski M.，金融建模中的鞅方法，Springer，第二版，2005年。[2] Gathereal J.，Jacquier A.，无套利SVI波动率曲面，ArXiv预印本：1204.0646v42013。[3] 段俊杰，GARCH期权定价模型，数学金融，5（1）：13-321995。[4] Christo Off ersen P.，Jacobs K.，Which GARCH期权估值模型，管理科学，50（9）：1204-12212004.0.70.60.50.40.40.30.20.1 0.0.1 0.2货币0。图7：蒙特卡罗微笑示例。[5] Barone Adesi G.，Engle R.F.，Mancini L.，一个带有过滤历史模拟的GARCH期权定价模型，修订版。财务部。螺柱。21 (3): 1223-1258, 2008.[6] Christo Off ersen P.，Elkahi R.，Feunou B.，Jacobs K.，具有条件异方差性和非正态性的期权估值，修订版。财务部。螺柱。23 (5): 2139-2183, 2009.[7] Christo Off ersen P.，Jacobs K.，Heston S.，一种具有方差依赖性定价的GARCH期权模型，可在SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1538394, 2011.[8] Babaoglu K.，Christo Offersen P.，Heston S.，Jacobs K.，具有波动性成分、厚尾和非线性定价核的期权估值，期权度量研究会议，纽约，2013年。[9] 塔勒布·N.，《黑天鹅：极不可能的影响》，兰登书屋，2007年。[10] Gathereal J.，Oomen R.C.A.，零智能实现方差估计，金融斯托克。14(2): 249-283, 2010.[11] Bergomi L.，Guyon J.，随机波动模型中的微笑，可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=1967470, 2011.[12] 洛阿。

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2022-5-5 13:05:34

《股票市场价格的长期记忆》，计量经济学59（5）：1279-1313，1997。[13] 丁慈，Granger C.W.J.，Engle R.F.，股票市场收益的长记忆性质和新模型，实证金融杂志1（1）：83-1061993。[14] 刘烨，齐佐P.，迈耶M.，彭志光，斯坦利H.E.，经济时间序列的相关性，Physica A 245（3）-（4）：437-440，1997。[15] Muzy J.F.，Delour J.，Bacry E.，金融时间序列的建模：从级联过程到随机波动模型，欧元。菲斯。J.B 17:537，2000.1.51.0.50.0.5百万美元。图8：蒙特卡罗微笑示例。[16] Bacry E.，Delour J.，Muzy J.F.，多重分形随机游走，物理学。牧师。E 64（2），026103，2001年。[17] 《波动性和杠杆相关性的多时间尺度：随机波动性模型》，应用数学金融11（1）：27-502004。[18] Borland L.，Bouchaud J.P.，关于波动性波动的多时间尺度统计反馈模型，投资策略杂志1（1）：65-104，2011年。[19] Bochud T.，Challet D.，指数幂律的最佳逼近，ArXiv预印本：0605149，2006。[20] 续，《资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题》，量化金融1（2）：223-236，2001年。[21]Glosten L.R.，Jagannathan R.，Runkle D.E.，关于股票名义超额收益率的预期值与波动性之间的关系，金融期刊48（5）：1779 18011993。[22]卡尔，P.，马丹，D.，走向波动性交易理论。，数学金融手册，期权定价，利率和风险管理，剑桥大学出版社，458-4762001。[23]Potters M.，Bouchaud J。

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