所以Ww，π满足度：dWt=[rWt+（u+σθ）*T- r） πt- c] dt+σπtdBQ*t、 W=W.defineτb:=inf{t≥ 0:Ww，πt≤ b} τ：=inf{t≥ 0:Ww，πt≥ ws}∧ τd.S与之前一样，我们使用较大的过滤H，并考虑过程Ww，π=Ww，πt{t<τd}+1{t≥τd}表示SDE:dWt=[rWt+（u+σθ*T- r） πt- c] dt+σπtdBQ*t+( - Wt-)dNt，W=W。再次感谢drif t畸变θ*在F-适应下，N在Q下仍然是一个泊松过程，其速率为λ*. 由I^o引理和u() = 0，我们有任何t≥ 0，u（Ww，πτb）∧τ∧t） =u（w）+Zτb∧τ∧T-λu（Ww，πs）+Lπs，θ*su（Ww，πs）ds+Zτb∧τ∧tu′（Ww，π）σπsdBQ*s- u（Ww，πs）-)d（Ns）- λs）。拿Q*预期产量*hu（Ww，πτb∧τ∧t） i=u（w）+EQ*Zτb∧τ∧T-λu（Ww，πs）+Lπs，θ*su（Ww，πs）ds,24 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG Zhang，其中It^o积分消失，因为u，u′是有界的，π是Q*t-a.s.对所有t有界≥ 0.根据条件（ii）、（iv）和我们对θ的定义*, 我们知道0=infπsupθ-2εθ+Lπ，θu（Ww，πs）- λu（Ww，πs）≤ supθ-2εθ+Lπs，θu（Ww，πs）- λu（Ww，πs）=-2ε(θ*s） +Lπs，θ*su（Ww，πs）- λu（Ww，πs）（6.5）表示s∈ [0，τb∧ τ ). SoEQ*hu（Ww，πτb）∧τ∧t） 我≥ u（w）+EQ*Zτb∧τ∧t2ε（θ）*s） ds. （6.6）让t→ ∞ 利用有界和m-on-otone收敛定理，我们得到*hu（Ww，πτb）∧τ） 我≥ u（w）+EQ*Zτb∧τ2ε(θ*s） ds. （6.7）自u（Ww，πτb）∧τ） =1{τb<τ}≤ 1{τb<τd}，我们得到了（w）≤ 情商*{τb<τd}-εZτb∧τ(θ*s） ds. （6.8）首先假设π是一个可接受的策略，一旦破产发生或达到安全水平，π=0，因此财富过程将保持在破产或安全水平，直到死亡时间。表示一个这样的子类的集合。根据条件（v），我们得到θ*τb的s=0∧ τ<s<τd.Henceu（w）≤ 情商*{τb<τd}-εZτdθ*十二烷基硫酸钠≤ supQ∈量化宽松{τb<τd}-εZτd（θs）ds.这适用于任何π∈ A.

所以我们有（w）≤ infπ∈AsupQ∈量化宽松{τw，πb<τd}-εZτd（θs）ds,我们在τbt上加了上标，表示它对初始财富和控制权的依赖。需要注意的是，在一个Ado中的控制不会产生较小的上限，因为一旦发生破产，它将成为一段无法改变的历史；一旦达到安全水平，没有任何政策能比零破产概率做得更好。因此，我们实际上有（w）≤ infπ∈AsupQ∈量化宽松{τw，πb<τd}-εZτd（θs）ds= ψ（w）。如步骤1所示，让Ww，π为单质强溶液Wt=[rWt+（u- r） π（Wt）- c] dt+σ∏（Wt）dBt，W=W，和π*:= π（Ww，π）∈ A.让θ*t:=Θ（π（Ww，πt），Ww，πt）。条件（v）、（vi）和Θ，π的可测性确保θ*是一个有界的、F-逐步可测量的过程。所以有一个衡量标准*∈ Q有θ*作为相应的漂移失真过程。使用控制π重复步骤2中的分析*θ*. （6.5）到（6.7）现在保持平等。对于（6.8），由于π*θ*都将为零并保持为零直到死亡时间一旦达到毁灭水平或安全水平，我们有{τ*b<τ*} = {τ*b<τd}和ψ（w）=u（w）=EQ*{τ*b<τd}-Zτd2ε（θ*s） ds,τ在哪里*带τ*分别表示当财富从w开始并由π控制时的破产时间和安全时间和死亡时间的最小值*. 这证明了反馈形式的最优性。定理2.1的证明。函数su（w）：=^u（w）1{w≤ws}，π（w）：=π*（w） 1（b，ws）（w），Θ（π，w）：=σεπ^u′（w）1（b，ws）（w）满足验证定理的所有条件。（i） 根据命题5.2。（ii）和（iii）因为^u解（4.1）而F=0等于（6.4）。（iv）遵循一阶条件和π的定义*（见第6节开头）。（v） 从∏和Θ的定义可以清楚地看出。（vi）根据提案6.2和5.2持有；后者意味着^u′在[b，ws]上有界。备注6.1。

即使i fπ也可以进行验证*只知道是局部连续的，因为最优控制的财富过程实际上从未达到安全水平（见命题7.2）。命题6.2在全局Lipschitz连续性上显示的是π*（w；ε）与π（w）相切，对于所有0<ε<∞.在后面的章节中，我们将讨论π*, θ*由（2.10）和d（2.11）给出，作为最优马尔可夫控制。据了解，它们在区间（b，ws）中是最优的。价值函数和最优投资策略的其他性质让我们首先总结一下ψ和π的一些性质*我们已经看到了。（i） ψ∈ C[b，ws]∩ C[b，ws]，并且在[b，ws]上严格递减；（ii）ψ在ε中是不递减的，从下方以ψ为界，从上方以ψ为界∞∧ P（iii）0<π*≤ πin[b，ws）与π*ε不增加；（iv）π*在（b，ws）中是Lipschitz连续的，在安全水平下与π相切。在本节中，我们将证明另外两个性质。第一部分揭示了ψ的凹度是如何依赖于参数的。第二个问题解决了安全水平是否可以通过最优控制财富过程实现的问题。在非稳健的情况下，[42]表明它在有限的时间内从未被消除。同样的现象也存在于我们的鲁棒性问题中；个人要么输掉比赛，要么通过7.1号提案“赢得”比赛。（i） 如果r≤ λ、 那么ψ在[b，ws]上是凸的。如果r<λ，ψ是严格凸的。26 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG ZHANG（ii）如果r>λ，则ψ在[b，ws]上最多改变一次凹度。如果0≤ ε ≤Rrd-λ、 ψ是[b，ws]上的严格凸。如果ε>Rr-λ、 ψ在[b，w]中是严格凹的，在（w，ws）中是严格凸的，其中w是（b，ws）中满足（rw）的唯一点- c） ψ′（w）- λψ（w）=Rε。证据（i） 当ε=0时，无论r的符号是什么，严格凸性都成立- λ. 假设ε>0。Letf（w）：=（rw）- c） ψ′- λψ.

当证明命题5.1时，我们证明了（rw- c） ^v′- λ^v ln^v>0in[b，ws）。对于等于[b，ws]上^u的ψ，我们有εeεψ[（rw- c） ψ′- λψ]>0，这意味着[b，ws]上的f>0。回想一下，ψ满足ε（ψ′）ε（ψ′））+ψ′=f。将ψ′移到一边，将其他一切移到另一边，我们得到ψ′=射频- ε(ψ′). （7.1）我们看到ψ′的符号取决于f对R/ε的相对大小。自ψ∈ C[b，ws），我们可以区分f和getf′=（r- λ） ψ′+（rw）- c） ψ′\'≥ （rw）- c） ψ′，（7.2），其中不等式来自ψ′<0，并且假设r≤ λ. 由于f（ws）=0，在内点或w=b处fattains最大值。在这两种情况下，我们都有f′（wm）≤ 0.WM∈ [b，ws）是达到最大值的点。从（7.2）f得出ψ′（wm）≥ 从（7.1）到f（wm）的第0次方≤ R/ε。因为Wm是一个最大点，f（w）≤ R/ε表示所有w∈ [b，ws]。这反过来又意味着（7.1）ψ′（w）≥ 0代表所有w∈ （b，ws）。由于ψ是连续的，内部凸性可以扩展到边界。如果r<λ，那么（7.2）中的不等式变得严格，我们在f的最大值点wm处ψ′（wm）>0。随后的不等式都变得严格，我们得到了ψ的严格凸性。（ii）首先，方程式（7.1）暗示在任何情况下，无论r的符号是什么- λ和ε，ψ的值在ws的邻域中是严格凸的。这是因为f（ws）=0所以r/f（w）- ε>0表示w充分接近ws。设r>λ。然后（7.2）变成- λ） ψ′+（rw）- c） ψ′′<（rw）- c） ψ′，w∈ （7.3）如果ψ在w处改变凹度，则ψ′（w）=0，上述不等式意味着f′（w）<0。每当ψ改变凹度时，Sof严格减小。查看（7.1），我们推断，如果凹度完全改变，ψ只能从凹变为凸。

既然我们已经论证了ψ在ws的一个邻域中是严格凸的，我们就得出结论，如果ψ不是处处凸的，那么它只改变一次凹性；它严格凹到（唯一）点wwf（w）=R/ε，然后严格凸。我们还注意到，由于f只能以递减方式接触或穿过R/ε处的水平线，因此f（w）>R/ε表示w∈ [b，w）和f（w）<R/ε表示w∈ （w，ws。）ψ不能是局部线性的，因为一方面，（7.3）否则意味着f′<0，并且f是局部严格递减的；另一方面，（7.1）意味着f是局部常数。接下来，我们确定了ψ改变或不改变凹度的一些情况。鉴于f在R/ε处与水平线相交，有必要检查f（b）>R/ε。我们有f（b）=（rb- c） ψ′（b）- λ.如果0≤ ε ≤Rrd-λ、 然后f（b）≤ （rb）- c） ψ′（b）- λ=rd- λ ≤ R/ε，则ψ没有凹形变化。如果ε>Rr-λ、 然后我们考虑两种情况。如果ψ′（b）>b-ws=rrb-c、 那么ψ不能在任何地方都是凸的。如果它到处都是凸的，它将保持在通过点（b，1）的切线上方。但点（ws，0）位于切线下方，这意味着右边界条件不满足。如果ψ′（b）≤rrb-c、 然后f（b）≥ R-λ>R/ε。在这两种情况下，ψ都会改变凹度。备注7.1。根据反馈表（2.11），θ*以…为界-u-rσψ为凸。如果ψ不是凸的，那么它的感染点就是θ的唯一点*= -u-rσ。换句话说，当变形的夏普比u-rσ+θ*是零。此外，由于ψ从凹变凸，扭曲的夏普比在该反射点的左侧为负，在该反射点的右侧为正。提议7.2。设b<w<wsw*是从w.Letτ开始的最优控制财富*s:=inf{t≥ 0:W*T≥ ws}和τ*b:=inf{t≥ 0:W*T≤ b} 。然后P（τ）*s<τ*b） =0。证据

因为我们只对∏的∏的∏级感兴趣-rwu-rfor w≤ b、 让FW成为SDE的解决方案：dWt=[rWt+（u- r） π（Wt）- c] dt+σ∏（Wt）dBt，W=W.fW=W*及时到达ru。必须显示FW没有退出间隔(-∞, ws）在有限时间内，我们使用Feller爆炸试验（见[27]第5.5.C节）。根据引理6.1，非简并性和局部可积性保持在这个区间。设s（w）：=σ∏（w）和b（w）：=rw+（u）- r） π（w）- c、 修正w∈ (-∞, ws）。Letp（w）：=Zwwexp-2Zywb（z）s（z）dzdybe是尺度函数，and v（w）：=Zwwp′（y）Zyw2dzp′（z）s（z）dy=ZwwZyws（z）exp-2Zyzb（x）s（x）dx杰迪。我们想展示v(-∞) = v（ws）=∞. 五(-∞) = ∞ 通过我们扩展∏的方式很容易。莱塔≤ W∧ b、 因为b（x）=0代表x≤ a、 我们有(-∞) =Zw-∞Zwys（z）expZzyb（x）s（x）dxdzdy≥Za-∞Zays（z）dzdy=Za-∞Zay4R（c）- rz）dzdy=∞ .显示v（ws）=∞, 我们用引理6.1或命题6.1得到∏（w）≤ K（c）-rw），w∈ （b，ws）对于某个正常数K，可以得出| b（w）|≤ [1+K（u- r） [（c）- rw），w∈ （b，ws）。二汉·贝拉克塔尔和张宇冲也观察到，如果b（w）>0，那么∏（w）>c-rwu-r、 我们有B（w）S（w）≤ 1{b（w）>0}b（w）s（w）≤ 1{b（w）>0}2R[1+K（u）- r） [c]- rw≤Kc- rw，w∈ （b，ws），其中K:=2R[1+（u- r） K]>0。让（b）∨ w）≤ a′<ws。v（ws）=ZwswZyws（z）exp-2Zyzb（x）s（x）dxdzdy≥Zwsa′Zya′σK（c- rz）exp-2ZyzKc- rxdxdzdy=Zwsa′Zya′σK（c- （rz）C- ryc- rz2Krdzdy=σK（r+2K）Zwsa′（c）- ry）2Krh（c）- （ry）-1.-2Kr- （c）- ra′）-1.-2Kridy=σK（r+2K）Zwsa′c- 莱迪-Zwsa′c- ra′C- ryc- ra′2公里.第二个积分是有限的，而第一个积分发散到∞. 所以我们得到v（ws）=∞. 这是费勒的爆炸测试。8.数值分析和渐近展开。1.数值例子。我们使用有限差分法数值求解边界值问题（2.12）。

使用的模型参数为c=1、b=1、u=0.1、σ=0.15、λ=0.04和ε=0、1、5、10、50。我们选择风险率为0.04，即预期未来寿命为25年，因为我们考虑的投资问题与退休人员更相关。为了证明价值函数的凹性与利率与风险率的比较密切相关，我们使用了两个利率值：r=0.02<λ和r=0.06>λ。在不同的模糊厌恶水平下，我们将稳健破产概率、最优投资和最优扭曲夏普比率绘制为财富的函数。从图2中，我们可以看到鲁棒值函数在ε中增加。当利率小于风险率时，所有的价值函数都是严格凸的。当利率大于风险率时，凹性取决于模糊厌恶程度：当ε较小时，值函数是凸的，当ε较大时，值函数从凹变凸。ε越大，反射点越接近安全水平。对于这组参数，命题7.1所暗示的ψ为凸的充分条件是0≤ ε ≤ 0.4765. ψ改变凹度的一个有效条件是ε>1.7778。ε=5、10、50均满足该条件，且呈现凹度变化。根据注释7.1，ψ的反射点对应于最佳畸变夏普比为零的点。尽管ψ可能是凹的，但它的科尔-霍普夫变换eεψ始终是凸的，如图3.5 10 15 20 30 35 40 45 5000.10.20.40.50.60.70.80.91财富（w）稳健破产概率（ψ）r=0.022 4 6 8 10 12 1600.10.20.30.50.60.80.91财富（w）稳健破产概率（ψ）r=0.06ε=1ε=50ε=0ε=0ε=0ε=5ε=10ε=0ε=0ε=1。稳健破产概率。5 10 15204060100120140WEXP（εψ）ε=55 10 150.511.52x 104wexp（εψ）ε=105 10 1512345x 1021wexp（εψ）ε=50图3。

Cole Hopf tr图2.5中三条非凸曲线的形式10 15 20 25 30 35 40 45 500246810214161820财富（w）最优投资（π*)r=0.0224 6 8 10 12 14 16051015202530财富（w）最优投资（π）*)r=0.06ε=0ε=1ε=5ε=10ε=50ε=10ε=5ε=0ε=50ε=1图4。O最佳投资。图4显示最优投资水平在ε中递减，这与命题6一致。1.这意味着代理人越是厌恶模糊性，她就越不愿意投资风险集合。与非稳健情况不同，最优投资虽然随着财富接近安全水平而变为零，但不一定是财富的递减函数。当利率较大时（与风险率相比），π*在w中呈下降趋势，也呈凹形。但当利益30二汉贝拉克塔尔和张宇冲5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.20.30.40.50.6财富（w）扭曲了锐利率（（u-r） /σ+θ*)r=0.0224 6 8 10 12 14 16-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3财富（w）扭曲的锐利比（u-r） /σ+θ*)r=0.06ε=50ε=0ε=1ε=50ε=5ε=0ε=1ε=5ε=10ε=10图5。O光学扭曲的夏普比率。0 10 20 30 40 500246810214161820财富（w）最优投资（π）*)r=0.0202 4 6 8 10 12 14 16051015202530财富（w）最优投资（π）*)r=0.06-点线：b=0实线：b=1虚线：b=5虚线-点线：b=0实线：b=1虚线：b=5虚线-点线：b=0实线：b=1虚线：b=5虚线-点线：b=0实线：b=1灰线：b=5ε=0ε=1ε=5ε=1ε=5ε=0图6。O具有不同破产水平的最佳投资。速率很小，有一个内点π*实现最大化。此外，随着ε的增加，最大点向右移动。在任何情况下，当投资者的财富为sm all时，增加模糊厌恶会减少借贷量，使模型比非稳健模型（无借贷约束）更真实。

另一个有趣的观察结果是最佳π*在所有级别的歧义规避中，在安全级别与非稳健的对应项共享相同的切线，这证实了命题6.2的等式（6.3）。图5显示，当利率较低（与风险率相比）时，最佳扭曲夏普比率u-rσ+θ*严格来说是正的，ε下降，财富增加。但是当利率很高时，它可能是负的，而且两种耳鸣都会消失。在这两种情况下，图片表明，时间扭曲的夏普比收敛到零点ε→ ∞. 此外，从图E4中可以看出，最优投资收敛到零点ε→ ∞, 这是对应于ψ的投资行为∞. 这表明，对于εverylarge而言，该股票正在失去吸引力，因为它比市场账户上的m更不受欢迎。在非稳健情况下，最优投资策略与破产水平b无关，即如果b<b，则π*（w；b）与π重合*（w；b）在[b，ws]上。这不仅适用于恒定消费率，也适用于任何Lipschitz连续消费率（见[6，推论2.3]）。然而，当存在模糊厌恶时，破产水平对投资决策具有全局影响，除非风险率为零。当ε6=0时，图6表示π*换句话说，如果一个人更容易感到被毁掉，她就会减少投资。8.2. 小ε的渐近展开。通常，（2.12）没有明确的解决方案，但事实证明，对于小ε，有明确的前置项和一阶修正公式。将（2.12a）改写为（rw）- c） ψ′- λψε(ψ′)+ ψ′′= R（ψ′）。（8.1）Letf（w）+f（w）ε+f（w）ε+·是ψ（w）作为ε的渐近展开式→ 0

将展开式代入（8.1）并收集ε中的零阶项，我们得到（rw）- c） f′- λff′′=R（f′）（8.2），这正是由非稳健值函数满足的微分方程。我们施加边界条件f（b）=1和f（ws）=0。Thenf（w）=ψ（w）=C- rwc- rbd、 收集ε中的一阶项，我们得到[（rw- c） f′- λf]f′+[（rw- c） f′- λf][（f′）+f′]=2Rf′f′。（8.3）使用f的公式，经过一些计算，我们得到了f的线性二阶常微分方程：f′+a（w）f′+B（w）f+C（w）=0（8.4），其中（w）：=r（d）- 1） （2R）- rd+r）Rc- rw，B（w）：=-λr（d）- 1） R（c）- rw），C（w）：=rd（C）- rb）2d（c）- rw）2d-2.我们要求fto满足齐次边界条件f（b）=f（ws）=0。设x=c- rwand g（x）=f（w）。方程（8.4）可以改写为xg′-（d）- 1） （2R）- rd+r）Rxg′的-λ（d）- 1） Rg+d（c）- rb）2dx2d=0（8.5）32二汉-贝拉克塔尔和张宇冲，边界条件g（0）=g（c）- rb）=0。这是一个非齐次的Cau-chy-Euler方程。相应的齐次方程有通解：gh（x）=Cxk+Cxk，其中k>0>k的根-二维- 1.-r（d）- 1） RK-λ（d）- 1） R=0。结果是k=d。对于一个特定的解，我们猜测形式为gp（x）=Cpx2d。取代GPINTO（8.5），我们发现=-Rd（c）- rb）2d[（d）- 1） （2dr）- λ） [2Rd]（8.5）的通解为g=gh+gp。如果g（0）=0，我们必须使C=0，否则解将在x=0时展开。另一个边界条件是g（c）- rb）=0产量sc=- Cp（c）- 所以我们得到了f（w）=g（c）- rw）=Rd（d- 1） （2dr）- λ） +2Rd“C- rwc- rbD-C- rwc- rb2d#。提议8.1。ψ（w）=ψ（w）+Rdψ（w）- ψ（w）（d）- 1） （2dr）- λ） +2Rdε+O（ε）asε↓ w中均匀地为0，其中常数R、d在（2.5）中定义。证据我们只提供一个草图证明。设∧ψ：=f+fε。我们想对w统一地表示ψ（w）=ψ（w）+O（ε）∈ （b，ws）。

利用fand f的公式，我们可以证明对于ε足够小的ε（△ψ′）（w）+ψ′（w）≥ CC- rwc- rbD-2> 0  W∈ （b，ws）。（8.6）对于与ε和dW相关的一些正常数，接下来，我们对w统一显示F（w，~ψ（w），~ψ′（w），~ψ′（w））=O（ε）∈ （b，ws）。（8.7）鉴于（8.6），我们对F的表达式中的π进行了优化。利用方程（8.2）和（8.3），我们得到了f（w，~ψ（w），~ψ′（w），~ψ′（w））=D（w）ε+D（w）ε+D（w）ε（~ψ′）（w）+ψ′（w），其中D（w）：=2f′[λf- （rw）- c） f′]+[λf- （rw）- c） [f（f′）+f（f′）+D- （rw）- c） f′）+（f′）[λf- （rw）- c） f′，D（w）：=（f′）[λf- （rw）- c） f′）。利用（8.6）和f，f的显式公式可以证明，存在一个与ε和w无关的正常数，即| Di（w）|/[ε（~ψ′）（w）+ψ′（w）]≤ C、 i=1,2,3表示所有w∈ （b，ws）和ε小enou-gh。这证明了（8.7）。因此，我们可以找到一个正常数Cs，对于ε足够小的情况，F（w，△ψ（w）- Cε，△ψ′（w），△ψ′（w））≤ 0和F（w，ψ（w）+Cε，ψ′（w），ψ′（w））≥ 根据方程F=0的比较原理，我们得到了ψ=～ψ+O（ε）。8.3. 个人是否应该关心健壮性？图2显示了鲁棒性对最小破产概率有相当大的影响。然而，就投资行为而言，这并不是真正的信息。一个更重要的问题是：在强劲的市场中，最优非盈利投资策略π的表现如何？换句话说，如果个人做出投资决策时没有模型的不确定性，那么她会承担更大的风险吗？这个问题的答案部分是肯定的；个体应注意非小ε的稳健性。在我们的数值例子中，忽略稳健性会使ε大于10的破产概率增加10%以上。另一方面，对于小ε，π是一个很好的投资策略。

对于ε=1，由π产生的破产概率与最优破产概率ψ（·；1）之间的差异为0.1%，对个人而言可以忽略不计，尽管ψ和ψ（·；1）之间的差异可能高达10%。在我们的数值例子中，表1显示了π在不同程度的歧义厌恶下的表现。表1。如果个人使用非风险策略π，则与最小风险破产概率的最大偏差。ε=1ε=2ε=3ε=4ε=5ε=10ε=20r=0.02 0.001 0.005 0.013 0.025 0.038 0.105 0.201r=0.06 0.002 0.013 0.033 0.059 0.087 0.198 0.32434二汉贝拉克塔尔和张宇冲参考文献[1]A.D.亚历山大罗夫。几乎所有地方都存在凸函数的第二微分，以及与之相关的凸曲面的一些性质。列宁格勒州立大学编年史[Uchenye Zapiski]数学。爵士。，6:3–35, 1939.[2] O.阿尔瓦雷斯、J.-M.拉斯利和P.-L.狮子。凸粘性解和状态约束。J.数学。果酱。（9） ，76（3）：265–2881997年。[3] 妮可·伯尔和厄汉·贝拉克塔尔。关于随机排序在保险和金融问题控制中应用的说明。随机统计，86（2）：330-340，2014年。[4] E.Bayraktar、X.Hu和V.R.Young。在随机波动率下最小化终身破产概率。保险数学。经济。，49(2):194–206, 2011.[5] E.贝拉克塔尔和S.姚。零和随机微分对策的弱动态规划原理。暹罗J.控制优化。，51(3):2036–2080, 2013.[6] E.贝拉克塔尔和V.R.杨。终身最低财富与消费效用之间的对应关系。金融斯托赫。，11(2):213–236, 2007.[7] E.贝拉克塔尔和V.R.杨。在借贷约束下最小化终身破产概率。保险数学。经济。，41(1):196–221, 2007.[8] E.贝拉克塔尔和V.R。幼小的

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