模糊厌恶下的寿命破产概率最小化

2022-5-5 13:30:41

模糊厌恶下的最小化寿命破产概率。我们确定了一个人的最佳稳健投资策略，该个人以给定的消费率为目标，并在对风险资产的漂移没有完全信心时，寻求最小化终身破产的概率。利用随机控制，我们将值函数描述为关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一经典解，获得了最优投资和漂移失真的反馈形式，并讨论了它们对各种模型参数的依赖性。在分析HJB方程时，我们使用Perron方法建立粘性解的存在性和唯一性，然后通过处理通过Cole-Hopf变换得到的等价凸问题来提升正则性。我们证明了对于一类参数，原始值函数可能会失去凸性，而Isaacs条件可能会失败。数值例子也用来说明我们的结果。1.引言Young[42]分析了个人应如何将其财富投资于风险金融市场，以最大限度地降低其财富寿命延长的概率，也就是所谓的终身破产概率（该术语由[32]提出）。我们提到Jacka在早期的研究[22]中考虑了一个形式非常相似的最终燃料问题。杨氏工作的子变量包括但不限于增加借贷约束[7]，假设消费是棘轮式的[8]，允许稳定消费[9]和随机波动[4]。在之前的所有工作中，都有固定风险资产模型；也就是说，投资者对风险资产价格的演变和分布是确定的。不过，这不太现实。

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2022-5-5 13:30:44

价格波动性可能有很好的估计，但正如罗杰斯在[34，第4.2节]中指出的，漂移估计几乎是不可能的；要得到一个可靠的估计，需要几个世纪的数据。因此，我们希望有一个稳健的投资策略，能够很好地应对偏离错误。稳健决策理论[17]见稳健决策理论简介。虽然漂移估计很困难，但人们仍然希望利用可用的数据。自然方法是从可用数据中提取一个参考模型，并根据其与参考模型的偏差对其他模型进行惩罚。惩罚的难易程度取决于代理人对模糊性的厌恶程度，也被称为模型不确定性或奈特不确定性。将模糊规避纳入优化的早期工作（例如[30]，[18]）大多是通过对相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程进行正规分析来完成的。在这些关键词和短语中。寿命破产概率，模糊厌恶，漂移不确定性，粘性解，佩龙方法，正则性。这项研究得到了国家科学基金会DMS-0955463.2拨款的支持，二汉·贝拉克塔尔和张宇冲提供了更多的数学严谨性，我们注意到一些使用不同方法的研究。Jaimungal利用随机控制解决了有限期不可逆投资问题[24]，以及违约问题与Sigloch[25]的混合模型。他们使用标度熵惩罚来获得显式解，并依赖于直接验证。Bordigoni等人[11]也通过控制方法分析有限水平效用最大化问题，但提供了反向随机微分方程（BSDE）特征，而不是HJB特征。Hu和Schweizer[20]将他们的结果推广到了有限的层位设置。

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2022-5-5 13:30:47

Schied[35]和Hern\'andez Hern\'andez和Schied[19]使用对偶或对偶与控制的组合来处理鲁棒效用最大化问题。本文对鲁棒寿命破产问题infπsupQ给出了一个完整而严格的分析Q（τb<τd）-εhd（Q | P）使用随机控制，其中τ带τ分别代表破产时间和死亡时间，熵惩罚函数的hdisa变体仅测量死亡时间前的熵，ε规定惩罚强度，π贯穿一组投资策略，Q贯穿一组代表漂移不确定性的可能模型。当危险率为零时，我们得到了显式公式。在一般情况下，我们将值函数刻画为满足两个边界条件的关联HJB方程的唯一经典解，并给出了最优投资和漂移失真的反馈形式。与非稳健情形或纯粹效用最大化问题相比，我们证明了一类参数的值函数失去了凸性，这表明Isaacs条件可能失败。与非稳健情况一样，我们还表明，最优控制的财富过程从未达到所谓的“安全水平”。这与零危险率案例不同，可以追溯到Pestien和Sudderth[33]的工作（另见[3]）。在零风险率的情况下，目标是达到安全水平（可能在限定时间内），因为个人永远不会死亡，而当风险率非零时，目标是远离目标水平，通过死亡“赢得”比赛。在没有最后期限的情况下，最佳策略是最大化漂移与波动率的平方比。将死亡添加到问题中会极大地改变它。

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2022-5-5 13:30:50

特别是，我们将看到，就最优投资策略而言，鲁棒性是非常重要的。我们的工作将[42]中的讨论扩展到了健壮的情况。与[24]和[25]不同的是，在这里，向标度惩罚导致显式解，随机视界鲁棒问题，即使在简单的Black-Scholes框架中，通常也没有显式解，无论惩罚是否标度。此外，由于简并性和控制空间无界，Krylov[28]的经典非线性椭圆理论无法直接应用。所以我们必须求助于粘性溶液理论，然后通过自举提升规律性。我们的工作在方法上与[11]、[20]、[35]、[19]有所不同。[11]和[20]中的BSDE描述只关注内部Q-最大化问题，没有描述最优投资策略或可添加点。[35]的定性方法要求内界和上界是可交换的，而在我们的例子中，在某些参数的选择上，ich不存在。经典二元论E[eX]=supQ∈Qabs{EQ[X]- 自由能和熵惩罚之间的h（Q | P）}乍一看可能有用，但不确定性集Qabs不能保持资产价格和死亡率之间的独立性，也不能为不同模型组件的不同置信水平留出空间。此外，我们使用的不是完全相同的entrop ic Function h，而是其变体hd。由于时间不一致的问题，我们不考虑危险率的不确定性。不确定泊松跳变率（见[29]、[31]、[12]、[10]）以及不同程度的歧义厌恶（见[29]、[31]、[12]、[10]）可能是一个有趣的扩展。

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2022-5-5 13:30:53

[41], [24]).为了构造HJB方程的粘性解，我们使用了[13]中描述的“比较+佩龙方法”方法，而不是通常的“动态规划原理（DPP）+值函数是粘性解+比较”方法。原因是，优化问题类似于随机微分博弈，在这种博弈中，自然可以被视为第二个参与者，而博弈的DPP通常由于可测性问题而复杂。一方必须使用Elliott-Kalton公式，其中一方使用控制，另一方使用“策略”，即在满足非对抗性的一组控制上定义的映射（参见[16]、[15]、[5]），或者将自己限制在简单形式的策略上，例如，S^rbu[37]所称的自我策略。解决可测量性问题的两种方法对我们来说都不理想。特别是，我们使用埃利奥特·卡尔顿公式，并假设自然是对抗美国的战略参与者，这有点不自然，因为自然没有回报，而且是无私的。事实证明，经典的佩伦方法产生了更简单、更优雅的结构。唯一的回溯是正则性现在变得非常重要，否则构造的解就不能与值函数相关。幸运的是，我们能够提升正则性并实现平均定理。Janeˇcek和S^irbu[26]首次在纯随机控制问题中使用了本文概述的方法。凸性通常是提升规则性的关键。正如我们所指出的，鲁棒性带来的一个挑战是一类参数的值函数的凸性损失。事实上，即使对于非鲁棒寿命破产问题，值函数的先验凸性也不清楚。

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2022-5-5 13:30:57

例如，[9]得到了一个随机消费的终生破产问题的凸性，通过降维得到了一个凸对偶与原问题相关的控制器和停止器问题。我们通过处理通过Cole-Hopf变换得到的等价凸问题来克服这个挑战。一旦我们有了凸性，利用凸分析和粘性解理论就很容易转化为C-正则性。通过分析泊松方程，我们进一步升级到C-正则性，这里我们借用了[26]和[36]中的一些技巧。在e上，我们可以尝试用[43]和[14]中使用的正则化方法证明C-正则性，但这种方法要求我们证明π上存在一个正下界，该下界独立于远离安全水平的紧区间上的正则化，我们发现很难建立。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了问题，启发式地推导了HJBE方程和反馈形式，并陈述了主要结果。第3节给出了当危险率为零时的一个明确的解决方案，这不仅是出于自身的考虑，而且是一个有趣的问题，它表示一组相对于P绝对连续且具有有限熵的度量。4二汉·贝拉克塔尔和张宇冲在一般情况下的分析是有用的上界。第4节和第5节致力于建立HJ B方程经典解的存在性，第4节侧重于Perron对粘性解的构造，第5节侧重于正则性。在第6节中，我们对我们的主要结果进行了验证。为了证明验证定理，我们还证明了最优投资策略的有界性和Lip-schitz连续性。第7节收集了最优投资策略和价值函数的一些额外性质。

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2022-5-5 13:31:00

第8节提供了sm全ε展开式的数值结果和公式。2.问题表述和主要结果letOhmMbe连续函数空间ω：[0，∞) → R、在[0]的紧致子区间上为ped配备一致收敛拓扑，∞). 设fm为上的Borel-sigma代数OhmMand PMbe上的维纳度量(OhmM、 FM）。坐标映射Bt（ω）：=ω（t）是这个空间中的标准布朗运动。在这里，PMS作为一个参考指标，反映了个人对市场的信心。设N=（Nt）t≥0是一个泊松过程，其速率λ定义在另一个概率空间上(Ohmd、 Fd，Pd）。设τdbe为泊松过程第一次跳跃的时间，对个体的死亡时间进行建模。τdis是一个带有参数λ的指数随机变量，在本文中称为危险率。定义(Ohm, F、 P）：=(OhmM×Ohmd、调频 Fd，PM×Pd）。B和N独立于这个空间，分别保持布朗运动和泊松过程。设F=（Ft）t≥0是布朗运动B和G=（Gt）t产生的（原始）过滤≥由B和过程1{τd生成的过滤≤t} 。假设F和G都是完全连续的。然而，我们没有完成过滤，因为稍后，我们希望将仅在本地等同于P的措施作为我们考虑的一部分。个人对金融市场的投资包括利率r>0的无风险银行账户和价格St遵循几何布朗运动的风险资产：dSt=uSt+σStdBt，S=S>0，其中u>r和σ>0。L etπt指个人在时间t投资于风险资产的金额。除投资外，个人还以c>0的恒定速率消耗其当前财富w。其财富w根据随机微分方程（SDE）演变：dWt=[rWt+（u）- r） πt- c] dt+σπtdBt，W=W。通过局部等效，我们指的是所有t在gtt上的等效≥ 0

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可人4

2022-5-5 13:31:04

虽然我们的设置中的过滤并不完整，但随机积分仍然可以定义，并且具有所有常见的性质。特别是，它的引理仍然有效。例如，参见[23]第1章。为了简化讨论，我们只使用恒定的消耗率。但是，主要技术可以应用于比例消费率，更一般地说，适用于消费率是财富的非负Lipschitz连续函数的情况。如果投资策略π是F-逐步可测且几乎肯定有界（时间一致）的，则该投资策略π是可容许的。用A表示所有可接受策略的集合。设τb:=inf{t≥ 0:Wt≤ b} 个人财富首次降至b级或以下。个人的目标是最大限度地降低死亡前发生破产的概率，即τb<τd。更准确地说，她认为风险资产的漂移可能是特定的。因此，她没有在参考测度P下进行优化，而是考虑了一组局部等价于P的随机测度，并惩罚它们与P的偏差。在这里，我们假设个体仅对市场模型具有鲁棒性，而不是对死亡时间模型，也不是它们之间的独立性。因此Q中的元素应为QM×Pdso的形式，使得τd在所有候选度量下都是exp（λ）随机变量。设h（Q | P）：=EQ[logdQdP]为相对熵函数。用qt表示度量Q对Gt的限制。我们用h:hd（Q | P）：=h（Qτd | Pτd）的一个变体来惩罚P的偏差，它只测量gτd上的相对熵；也就是说，个人不关心死后的不确定性。她面临以下鲁棒优化问题：ψ（w；ε）=infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）-εhd（Q | P）, （2.1）下标w表示事件w=w的条件。

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2022-5-5 13:31:09

ε参数衡量个体对歧义的厌恶程度或对稳健性的偏好。ε ↓ 0对应于经典的非稳健情况，因为除P之外的所有度量都会给出一个非常负的值，因此对于内部最大化问题不是最优的。ε越大，意味着个体越不喜欢模糊，对参考模型的信任度越低，并且会考虑更大的d裂缝变形。ε → ∞ 对应于最坏情况下的方法，即个人对所有候选指标有相同的信念，并再次优化最坏情况下的方案。我们现在给出候选度量集Q的精确定义。概率测度∈ Q ifdQtdPt=exp-Ztθsds+ZtθsdBs, T≥ 0（2.2）对于满足E[eRtθsds]<∞ 尽管如此，t≥ 0，andEQ[R]∞E-λsθsds]<∞. 相反，给定任何F-逐步m可测量过程θ满足[eRtθsds]<∞ 尽管如此，t≥ 0，我们可以定义一系列一致的度量~ 普顿(Ohm, Gt）由（2.2）修订。根据[38，引理4.2]（也见[21，命题1]），存在一个概率测度Qon(Ohm, F）这样Q | Gt=所有t≥ 0.在本文中，我们将使用粗体希腊语π，θ来表示控制（作为随机过程），并使用平面希腊语π，θ来表示控制可以采用的值。由于τdis与F无关，只要对每个π定义的最佳漂移失真为容许测度Q，几乎确定有界性下τdis不变量的分布就可以放松∈ Q，其中Q是要引入的模型不确定性集。如果过滤已完成，则不保证存在此类措施。P.6二汉贝拉克塔尔和张宇冲的措施。在Q下，Sthas漂移u+σθ和Wthas动力学：dWt=[rWt+（u+σθt- r） πt- c] dt+σπtdBQt（2.3），其中bq是独立于τd.Let Q的Q-布朗运动∈ Q

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2022-5-5 13:31:13

我们有hd（Q | P）=EQ-Zτdθsds+ZτdθsdBs= 情商-Zτdθsds+Zτdθs（dBQs+θsds）= 情商Zτdθsds= 情商Z∞E-λsθsds< ∞.备注2.1。我们还可以计算相对熵过程ht（Q | P）：=h（Qt | Pt）=EQhRtθsdsi。观察EQ[hτd（Q | P）]=EQZ∞λe-λtht（Q | P）dt= 情商Z∞λe-λtZtθsdt= 情商Z∞θsZ∞sλe-λtds= 情商Z∞E-λsθsds= hd（Q | P）。所以我们也可以认为HDA惩罚了死亡时的预期相对熵。将hd（Q | P）的表达式替换为（2.1）并使用τd的d分布，我们将值函数改写为：定义2.1（稳健值函数）。ψ（w；ε）=infπ∈AsupQ∈QEQwZ∞E-λsλ1{τb<s}-2εθsds其中W具有Q-动力学（2.3）。用ψ表示非稳健值函数，用p表示当enλ=0时的稳健值函数，即当个体永不死亡时。ψ有明确的公式（见[42]）：ψ（w）=1，w≤ BC-rwc-rbd、 b≤ W≤ c/r；0，w≥ c/r；（2.4）反馈形式的最优投资策略由π（w）=u给出- rσc- rw（d）- 1） rfor w∈ （b，ws），其中d=2rh（r+λ+r）+p（r+λ+r）- 4rλi>1，R=u - rσ. （2.5）在本文中，d和R将保留用于上述常数。稍后我们还将为p提供一个显式公式。现在，我们做一个简单的观察：0≤ ψ≤ ψ ≤ P≤ 1，（2.6）其中第二个不等式成立，因为P∈ 所以ψ=infπ∈APw（τb<τd）≤ infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）-εhd（Q | P）= ψ、第三个不等式成立是因为死亡前破产的可能性不比死亡前破产的可能性大，而最后一个不等式成立是因为我们正在优化一个实际概率减去一个非负惩罚。这意味着我们可以将鲁棒最优值视为保守破产概率。惩罚机制只会对破产概率造成微小的扭曲，而且永远不会使其为负，因为只有相对熵较小的度量是相关的，即。

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mingdashike22

2022-5-5 13:31:17

有可能比参考标准差。ψ（w；ε）的定义意味着它在ε中不是递减的，因为随着ε变大，惩罚变小。在本文的其余部分，我们将压制ε的论点，但我们不需要强调ε依赖性。极限为ε↓ 0给出了函数ψ的非稳健值。极限为ε→ ∞ 给出了最坏情况下的值函数：ψ∞（w）：=infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）。对于更糟糕的情况，最优投资策略是根本不投资，因为dr if TCA可以是任意不利的（多头为负，空头为正），而不会受到任何惩罚。个人只能希望在消费将其财富拖累到毁灭水平之前，通过足够快的死亡来“赢得”这场游戏。在这种情况下，代理人的财富解决了确定性微分方程：dWt=（rWt- c） dt，W=W。简单计算得出τb=rlnc-红细胞-rwand Q（τb<τd）=e-λτb=C-rwc-rbλrfor w∈ [b，ws]和所有Q∈ Q.Soψ∞（w）=C- rwc- rbλr，w∈ [b，ws]。（2.7）或者，我们可以得到上述ψ的公式∞通过求解（2.12），将ε设为单位；然后必须做平均定理。回到一般情况。ψ（w）在w中没有增加，因为个人的初始财富明显更大。当w≤ b、 τb=0和ψ（w）=1，因为内上确界水道可以通过参考测度P获得。注意，通过（2.6），我们从1开始就有ψatw=b的连续性≥ 利姆→bψ（w）≥ 利姆→bψ（w）=1。让ws:=c/r。wss给出了一个“安全”的财富水平，在这个水平上，个人可以通过将所有的钱放在bank中并消费利息来维持消费。这意味着当w时ψ（w）=0≥ ws。漂移不确定性与此无关，因为个人可以通过不投资风险资产始终保持安全。

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2022-5-5 13:31:20

我们在w=ws0时也有ψ的连续性，因为0≤ 利姆→wsψ（w）≤ 利姆→wsψ∞（w） =0.8 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG Zhang区间（b，ws）中ψ的相关HJB方程为λψ（w）=infπsupθ-2εθ+（rw）- c+（u+σθ）- r） π）ψ′（w）+σπψ′（w）, （2.8）边界条件ψ（b）=1，ψ（ws）=0。请注意，大括号内的表达式是θ的二次表达式，前导系数为负。根据一阶条件，给定的最佳θπ等于σεπψ′。将θ=σεπψ′代入（2.8），我们得到λψ=infπσε(ψ′)+ ψ′′π+ (u - r） ψ′π+（rw）- c） ψ′. （2.9）假设ε（ψ′）+（ψ′）>0，我们再次使用一阶条件来寻找候选优化器π*= -u - rσψ′ε（ψ′）+ψ′。（2.10）可以得出θ*= -u - rσε（ψ′）ε（ψ′）+ψ′。（2.11）将（2.10）代入（2.9），我们得到了下面的Dirichlet边值问题：λψ=-R（ψ′）ε（ψ′）+ψ′+（rw）- c） ψ′（2.12a）ψ（b）=1，ψ（ws）=0（2.12b），其中R是（2.5）中定义的正常数。当ε=0时，我们恢复了非稳健值函数ψ，其公式在（2.4）中给出。当ε=∞, 我们得到了最坏情况下的值函数ψ∞其公式如（2.7）所示。备注2.2。如果没有对模型参数的进一步限制，Isaacs条件不适用于我们的鲁棒问题。假设ψ′<0，但ε（ψ′）+ψ′>0，那么在（2.8）中，首先在θ上最大化，然后在π上最小化，将得到一个有限的哈密顿量，但在π上最小化，然后在θ上最大化，将得到一个无界哈密顿量。从另一个角度来看，我们期望每个固定测度寿命破产问题的值函数是凸的，否则哈密顿量会爆炸。在这些凸函数上最大化将产生一个凸函数。另一方面，我们的鲁棒值函数在某些区域可能是凹的。当r>λ时，最坏情况下的v值函数ψ∞它是凹的。

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2022-5-5 13:31:24

因为ψ（w；ε）加上ψ∞（w） asε→ ∞, ψ（w；ε）不可能处处凸，因为ε足够大。关于凸度如何依赖于λ、r和ε的更详细讨论，请参见命题7.1。第4节和第5节将对方程式（2.9）进行严格分析。当λ2.0节给出问题的解析解时。我们以我们的主要结果结束这一节，其结果在第6节末尾给出。定理2.1。稳健值函数ψ满足ψ（w）=1≤ b、 ψ（w）=0表示w≥ ws。对于w∈ （b，ws），ψ（w）是唯一的C[b，ws]∩ 满足边界条件ψ（b）=1和ψ（ws）=0的（2.8）或（2.9）的C[b，ws）解。最优投资策略为π*t=-u - rσψ′（Wt）ε（ψ′（Wt））+ψ′（Wt）（b，ws）（Wt），最佳漂移失真为σθ*θ在哪里*t=-u - rσε（ψ′（Wt））ε（ψ′（Wt））+ψ′（Wt）（b，ws）（Wt）。λ=0的显式解在（2.12）中设置λ=0，我们得到0=-R（ψ′）（ψ′）+ψ′+（rw）- c） ψ′ψ（b）=1，ψ（ws）=0。（3.1）使用指数变换φ=eεψ，在偏微分方程理论中也称为科尔-霍普夫变换，消除了d烯醇化器中的非线性，（3.1）变成0=-R（φ′）φ′+（rw）- c） φ′φ（b）=eε，φ（ws）=1。假设φ′6=0，让u=φ′。第二阶常微分方程（ODE）进一步简化为tou′=Rrw- 其通解由u（w）=AeRRwbrz给出-cdz=AC- rwc- rbRr，A∈ R.由此得出φ（w）=eε+AZwbC- rzc- rbRrdz=eε- 交流电- rbR+r“C- rwc- rbRr+1- 1#.利用safe水平上的边界条件，我们可以确定常数A并得到φ（w）=1+（eε）- 1)C- rwc- rbRr+1。所以Dirichlet问题（3.1）的解是ψ（w）=εln“1+（eε）- 1)C- rwc- rbRr+1#。

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2022-5-5 13:31:28

（3.2）反馈表（2.10）、（2.11）变为 =2（c）- rw）u- r、 10二汉贝拉克塔尔和张宇冲=-2σ（R+R）u- r（eε）- 1)C-rwc-rbRr+11+（eε）- 1)C-rwc-rbRr+1。（3.2）给出的解是a C[b，ws]∩ C[b，ws）函数。和θ是[b，ws]上状态变量的有界Lipschitz连续函数。因此，验证定理很容易实现，表明（3.2）给出的函数确实是区间[b，ws]上的稳健值函数p，并且, θ是最佳反馈控制。我们在下面的定理中总结了结果。定理3.1。当λ=0时，鲁棒值f函数由p（w）=εln“1+（eε）给出- 1)C- rwc- rbRr+1#代表b≤ W≤ ws，p（w）=0表示w≤ b和p（w）=1表示w≥ ws。最佳投资政策是t=2（c）- rWt）u- r（b，ws）（Wt），最佳漂移失真为σθ，其中θt=-2σ（R+R）u- r（eε）- 1)C-rWtc-rbRr+11+（eε）- 1)C-rWtc-rbRr+1（b，ws）（Wt）。一个观察结果是，与非鲁棒情况相比，值函数失去了凸性。这是由非线性项ε（ψ′）引起的。当ε为零时，ψ′必须是非负的（实际上，如果ψ′6=0，则严格为正），以便（2.9）中的哈密顿量是有限的。当ε不为零时，只要ε（ψ′）+ψ′不为负，ψ′就可以取负值。ε越大，值函数可能越凹。另一个有趣的特征是，当危险率为零时，破产前的最优投资策略与模糊厌恶参数ε和b级的ru无关∈ （b，ws），limε→∞θ（w）=-2σ（R+R）u-r、在最佳畸变夏普比中，我们有limε→∞u - rσ+θ（w）= -2σru- r、图1显示了稳健破产概率p和最佳扭曲夏普比率u的曲线图-参数为c=1、b=1、r=0.02、u=0.1、σ=0.15和ε=0、1、5、10、50的rσ+θ。

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2022-5-5 13:31:31

我们把情节漏掉了因为它是一个简单的向下倾斜的线性函数，并且依赖于ε。值得一提的是 ≥ π、也就是说，当生命永存时，个人会采取更积极的投资策略。在我们继续讨论一般情况之前，让我们再谈一谈安全级别的差异。5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富（w）稳健破产概率（p）5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.100.10.20.30.40.5财富（w）扭曲的夏普比率（u-r） /σ+θ）ε=0ε=1ε=0ε=50ε=10ε=5ε=1ε=5ε=10ε=50图1。λ=0时的鲁棒破产概率和最优扭曲夏普比。备注3.1。从显式公式f或p可以看出，p在安全水平上的导数为零。由于p从上面限定了任何一般ψ，这个性质也被ψ共享。事实上，0≥ 利姆→ws-ψ（w）w- ws≥ 利姆→ws-p（w）w- ws=p′（ws）=0.4。粘性解和Perron方法本节的目标是展示非线性退化椭圆Dirichlet问题f（w，u，u′，u′）=0，（4.1a）u（b）=1，u（ws）=0，（4.1b），其中f（w，u，u′，u′）：=λu- infπσε（u′）+u′的π+ (u - r） u′π+（rw）- c） u′具有独特的粘度溶液，满足某些特性。注意，F可以写成一系列连续函数的上确界，因此是下半连续的（l.s.c.）。我们首先证明了（4.1）的比较原则，这意味着唯一性。p屋顶是对经典比较论证的轻微修改，以考虑控制空间的无界性。幸运的是，非线性项ε（u′）并没有增加任何困难。提议4.1。设u，v分别是F=0的半连续（u.s.c.）粘度下解和l.s.c.粘度上解。假设u，v是有界的，并且≥ 0或u>0英寸（b，ws）。如果你≤ v on（b，ws），然后是u≤ v在[b，ws]上。证据

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2022-5-5 13:31:36

相反，假设δ：=supx∈（b，ws）（u）- v）（x）>0。δ < ∞ 假设u和v区域是有界的。由u的上半连续性- v、存在x*∈ (某某)(某某)(张二重)(12)(张二重)*) - v（x）*) = δ. 对于每一个大于0的α，定义ψα（x，y）：=u（x）- v（y）-α| x- y |。很明显，supx，y∈（b，ws）ψα（x，y）≥ δ，因为我们总是可以选择x=y。通过u（x）的上半连续性- v（y），存在^xα，^yα使得supx，y∈（b，ws）ψα（x，y）=ψα（^xα，^yα）。韦哈维（x）*) - v（x）*) ≤ u（^xα）- v（^yα）-α|^xα- ^yα|。这意味着α|^xα- ^yα|≤ u（^xα）- v（^yα）- （u（x）*) - v（x）*)). （4.2）由于[b，ws]是紧的，我们可以找到一个序列αn→ ∞ 使得（^xn，^yn）：=（^xαn，^yαn）收敛到（^x，^y）为n→ ∞. 用α和n代替α→ ∞ 在（4.2）中，我们得到了supnαn |^xn- ^yn|≤ lim supn（u（^xn）- v（^yn））- （u（x）*) - v（x）*))≤ u（^x）- v（^y）- （u（x）*) - v（x）*)),（4.3）其中第二个不等式是由u（x）的上半连续性引起的-v（y）。因为（4.3）的右边是有限的和αn→ ∞, 我们必须有^x=^y和（4.3）产量0≤ lim supnαn |^xn- ^yn|≤ u（^x）- v（^x）- （u（x）*) - v（x）*)) ≤ 0，表示u（^x）- v（^x）=u（x*) - v（x）*) = δ、 αn |^xn- ^yn|→ 0和dδ≤ 你好∈（b，ws）ψαn（x，y）=u（^xn）- v（^yn）-αn |^xn- ^yn|→ u（x）*) - v（x）*) = δ（4.4）as n→ ∞. 现在，既然你≤ v on（b，ws），我们必须有^x∈ （b，ws）。所以^xn，^yn∈ （b，ws）对于足够大的n.通过Crandall Ishii引理，我们可以找到序列An，bn-3αn≤一≤ Bn≤ 3αnand（αn（^xn- ^yn），安）∈\'J2，+（b，ws）u（^xn），（αn（^xn）- ^yn），Bn）∈\'J2，-（b，ws）v（^yn），其中\'J2，+（b，ws）u（^xn），\'J2，-（b，ws）v（^yn）分别是二阶超级喷气机和Subject的闭包。由于u是F=0的粘性子解，F是l.s.c.，我们通过[40，命题6.11.i]得到F（^xn，u（^xn），αn（^xn- ^yn），安）≤ 0

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2022-5-5 13:31:39

（4.5）F（^xn，u（^xn），αn（^xn）的完整性- ^yn），An）表示εαn（^xn- ^yn）+An>0或εαn（^xn）-^yn）+An=αn（^xn- ^yn=0。我们分别考虑每个案例。案例1。εαn（^xn）- ^yn）+An>0。在这种情况下，我们还有εαn（^xn）- ^yn）+Bn>0。由于（w，u，u′，u′）在ε（u′）+u′>0区域内是连续的，v的上解性质是f（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）≥ 0.（见[40，提案6.11.ii]。）所以我们有f（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ 0≤ F（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）<∞. （4.6）利用F的表达式，我们从（4.4）和（4.6）中得到λδ≤ λ（u（^xn）- v（^yn））=F（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）- F（^xn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ F（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）- F（^xn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn，An）=Rαn（^xn- ^yn）- Bn）[εn（^xn- ^yn）+Bn][εαn（^xn）- ^yn）+An]+rαn（^xn- ^yn）≤ rαn（^xn）- ^yn）。让n→ ∞, 我们得出了矛盾的结论≤ 0、案例2。εαn（^xn）- ^yn）+An=αn（^xn- ^yn=0。在这种情况下，等式（4.5）的读数为λu（^xn）=F（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ 0.如果u是严格正的，这就不会发生。假设我们是在v为非负的情况下。但这意味着u（^xn）- v（^xn）≤ 0，与u相矛盾（^xn）- v（^yn）≥ 你好∈（b，ws）ψαn（x，y）≥ δ. 推论4.1。Dirichlet问题（4.1）至多有一个有界的、非负的、在边界处连续的vi粘性解。引理4.1。假设U是F=0的U.s.c.粘性子解的非空族。定义（w）=supu∈Uu（uw）。让你*成为u的u.s.c.信封并假设u*（w） <∞ 对于w∈ （b，ws）。然后你*是F=0的粘性子解。证据由[13]中的引理4.2给出。注意，尽管它们的函数F是R值的，但当F被允许取值时，证明的工作方式完全相同∞ 作为一个价值，只要它是l.s.c.，这在我们的案例中是令人满意的。接下来，我们用Perron的方法证明问题（4.1）有一个粘性解。

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2022-5-5 13:31:42

我们模仿[13，定理4.1]中的p。首先，我们需要定义一个（u.s.c.）粘度下解，其l.s.c.包络满足边界条件（4.1b），以及一个（l.s.c.）粘度上解，其u。s、 c.包络线满足边界条件（4.1b）。显然，我们应该针对那些从下面和上面约束鲁棒值函数的函数，我们有两个自然的候选者：ψ和p。事实上，F（w，ψ，ψ′，ψ′）=λψ- infπσε(ψ′)+ ψ′′π+ (u - r） ψ′π+（rw）- c） ψ′= λψ+R（ψ′）ε（ψ′）+（ψ′）- （rw）- c） ψ′≤ λψ+R（ψ′）ψ′- （rw）- c） ψ′=0，我们也可以使用ψ∞作为上限。14 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG Zhang，其中在第二等式中，我们在（b，ws）中使用ψ′>0，并且f（w，p，p′，p′）=λp- infπσε（p′）+p′π+ (u - r） p′π+（rw）- c） p′= λp≥ 0.备注4.1。如果没有这些自然的候选者，我们可以从constantsubsolution u开始≡ 0（分别为上解v≡ 1），并通过类似于[13]第25页的构造，在rui n水平附近对其进行修改（分别为安全水平），以满足边界条件。命题4.2（Perron方法）。Dirichletproblem（4.1）存在一个连续的粘性解，它取[0,1]中的值。更准确地说，它从下到ψ，从上到p.Proof是有界的。设u=ψ和v=p都是[0,1]值的连续函数。defineu（w）：=sup{u（w）：u≤ U≤ v和u是F=0}的u.s.c.子解。（4.7）对于任何函数u，用u表示*你呢*它的u.s.c.信封和l.s.c.信封分别是。我们有你*≤ U*≤ U≤ U*≤ 五、*= v、由于u和v在边界上一致，我们知道u在边界上是连续的，并且满足边界条件（4.1b）。自从你*≤ v<∞, 引理4.1意味着*是F=0的粘度子溶液。

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2022-5-5 13:31:45

如果我们能告诉你*是F=0的粘性上解，我们可以应用比较原理得到u*≤ U*, 并得出结论，u是Dirichlet问题（4.1）的连续粘性解。剩下的部分则用来证明u的上解性质*.假设你*不是F=0的粘性上解。存在w∈ （b，ws）和∈C（b，ws）使得*- 在棒F（w，魟（w），魟′（w），魟′（w））<0时，魟具有严格的最小零。这里是F<∞ 意味着ε（ν′（w））+П′（w）>0或П′（w）=П′（w）=0。在后一种情况下，我们得到了你*（w） =ψ（w）<0，因为u*≥ U≥ 0.所以我们是前一种情况。通过F在ε（u′）+u′>0区域内的连续性，存在δ，γ>0，使得F（w，ν（w）+γ，ν′（w），ν′（w））<0∈ Bδ（w）Bδ（w）（b，ws）。设νγ（w）：=ν（w）+γ。那么γ是Bδ（w）中F=0的一个经典子解。自从你*> 在（b，ws）\\{w}中，我们可以选择γs商场，以便*> ν+γ=νγ打开Bδ（w）。定义：=U*∨ Bδ（w）中的γ，u*否则自从你*< ∞ 然后呢≤ U*+ γ < ∞ 在Bδ（w）中，通过引理4.1，U*是一个粘度亚分辨率ofF=0。自从你*= U*≤ v on（b，ws），比较原则（命题4.1）意味着*≤ v在[b，ws]上。所以你*属于（4.7）右侧的集合，因此u*≤ U≤ U*≤ U≤ U*,其中，最后一个不等式是由于u的极大值。因此，我们得到u=u*.另一方面，通过半连续包络的定义，存在一个序列（wn） Bδ（w）使得wn→ 魔杖u*（西九龙）→ U*（w）。接下来是γ（wn）- U*（wn）=~n（wn）+γ- U*（西九龙）→ γ > 0. 对于n足够大的情况，U（wn）=γ（wn）>U*（wn）+γ/2。我们遇到了矛盾。这就证明了*是F=0的粘度上解。到目前为止，我们已经建立了Dirichlet问题（4.1）的连续粘性解的存在唯一性。用^u表示这个解。我们有ψ≤ ^u≤ P

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2022-5-5 13:31:48

下一个目标是升级规则性。5.正则性直接证明问题（4.1）正则性的一个困难是非线性项ε（u′）导致^u缺乏凸性。受解决λ=0情况的启发，我们使用Cole-Hopft变换v=eε，得到一个等价的凸问题：G（w，v，v′，v′）=0，（5.1a）v（b）=eε，v（ws）=1。其中g（w，v，v′，v′）：=λv ln v- infπσv′π+（u- r） v′π+（rw）- c） v′.转化问题的解应该是凸的，否则G会爆炸。虽然（5.1a）目前仅在粘性意义上理解，但我们可以直观地预期，如果在每个内点上，粘性解（对于亚解性质）上方的每个测试函数在该点附近是凸的，那么粘性解也应该是凸的。因为我们已经有了问题（4.1）的连续粘性解^u，可以很容易地验证^v:=eε是问题（5.1）满足eεψ的连续粘性解≤ ^v≤ eεp。此外，（4.1）的比较原则立即与（5.1）的比较原则相同。我们在下面的两个引理中总结了这些结果。引理5.1。设u，v分别为（5.1a）的严格正u.s.c.粘度下解和l.s.c.粘度上解。假设u，v有界且有界远离零，且u>1或v≥ 1英寸（b，ws）。如果你≤ v on（b，ws），然后是u≤ v在[b，ws]上。证据很容易检查εlnu（分别为εlnv）是（4.1）的一个u.s.c.亚解（分别为l.s.c.上解），满足命题4.1的所有假设。引理5.2。^v:=eε^u是Dirichlet问题（5.1）的唯一（连续）粘性解，在所有粘性解中，该粘性解是有界的，在边界处是连续的，并且满足v≥ 1英寸（b，ws）。此外，eεψ≤ ^v≤ 我们现在建立了^v引理5.3的凸性和单调性。

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可人4

2022-5-5 13:31:51

^v在[b，ws]上是严格凸且严格递减的。16二汉BAYRAKTAR和张宇冲证明。首先，让我们展示（非严格的）内部凸性。假设^v在（b，ws）中不是凸的。然后通过[2，引理1]，存在w∈ （b，ws）和（p，A）∈ J2，+v（w），A<0。因此我们有G（w，^v（w），p，A）=∞ . 但通过粘度溶液的半射流公式（见[40，命题6.11.i]），我们得到了g（w，^v（w），p，A）≤ 我们遇到了矛盾。since^v是连续的，内部凸性可以扩展到边界。^v的凸性意味着它的左导数和右导数D^v存在（在R中表示内部点，在R中表示内部点）∪ {±∞} 对于边界点）和d是非递减的。自从我们展示了0≤ ^u≤ 我们知道p′（ws）=0，一个与备注3.1完全相同的参数得到D-^u（ws）=0。接下来就是D-^v（ws）=εD-^u（ws）^v（ws）=0。所以D^v≤ ^v′（ws）=0。假设D+v（w）=0∈ [b，ws）（如果是D，则相同-^v（w）=0）。然后通过D+v的单调性，D+v（w）=0W∈ [w，ws）。通过凸性，0=D+v（w）≤^v（w）- ^v（ws）w- ws=^v（w）- 1w- ws≤ 0W∈ [w，ws]我们推导出^v≡ 1在[w，ws]上，与^v≥ eεψ>1 in（b，ws）（见Lemm a5.2）。因此，我们必须在[b，ws]中有D±v<0，这意味着^v是严格递减的。最后，如果^v是凸的但不是严格凸的，那么它在某个开区间（x，y）中是线性的（b，ws）。由于^v是严格递减的，所以直线具有非零斜率，比如p。但这不会发生，因为G（w，^v（w），p，0）是无界的。作为一个凸函数，^v具有许多很好的正则性。它几乎在任何地方都是可区分的（a.e.），甚至是Alexandro ff的经典结果[1]中可区分的两倍。

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2022-5-5 13:31:55

为了展示C-正则性，我们首先利用粘性溶液的性质展示C-正则性，然后通过分析泊松方程升级到CBC，泊松方程的非齐次项用^v及其一阶导数的项s表示。引理5.4。（rw）- c） D±v- λ^v ln^v对于所有w都是非负的∈ （b，ws），如果w是^v.证明的两次可微点，则为严格正。通过[2]中的引理2，G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w））≤ 在每个点w处0∈ （b，ws）具有两倍的差异性。这里我们注意到，它们的引理表示连续G，但它可以很容易地修改以适应我们的l.s.c.G.Let w∈ （b，ws）是^v可二次微分的点。因为^v′（w）<0，G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w））≤ 0表示^v′（w）>0，λ^v（w）ln^v（w）+R（^v′（w））^v′（w）- （rw）- c） ^v′（w）≤ 0.我们得到（rw）- c） ^v′（w）- λ^v（w）ln^v（w）≥ R（v′（w））v′（w）>0。对于任意w∈ （b，ws），因为^v是两次可微分的a.e.，我们可以找到一系列两次可微分点（wn）（b，ws）从右边收敛到wf。在这里和续集中使用单调性，在左（右）边界点，D±v仅指右（左）导数。关于D^v，我们有（rwn- c） D±v（w）≥ （rwn）- c） ^v′（wn）>λ^v（wn）ln^v（wn）我们通过让n→ ∞ 利用^v的连续性。引理5.5。^v∈ C[b，ws]。证据我们首先研究了内部C-正则性。由于凸可微函数是连续可微的，因此必须证明^v是可微的。假设相反，D-^v（w）6=D+w点处的^v（w）∈ （b，ws）。让p∈ （D）-^v（w），D+^v（w））和>0。函数φ（w）=^v（w）+p（w）- w） +2（西）- w）满足感^v- ^在w处有一个局部极小值。根据^v的上解性质，我们得到g（w，^（w），а′（w），а′（w））=λ^v（w）ln^v（w）+Rp- （rw）- c） p≥ 由于是任意的，我们得到λ^v（w）ln^v（w）- （rw）- c） p≥ 根据引理5.4，我们必须有λ^v（w）ln^v（w）- （rw）- c） p=0。

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2022-5-5 13:31:59

但这不能适用于每一个p。所以每个点的次微分必须是一个单态。由于^v在[b，ws]上是凸的，为了将C-正则性扩展到边界，我们只需要检查d+^v（b）>-∞ 和D-^v（ws）<∞. 我们已经在引理5.3的p屋顶上看到了D-^v（ws）=0。我们利用ψ的导数，从下面束缚D+v（b）。简单观察D+v（b）=εD+u（b）v（b），D+u（b）=limw→b+^u（w）- 1w- B≥ 利姆→b+ψ（w）- 1w- b=D+ψ（b）>-∞.提议5.1。^v∈ C[b，ws）中的满足度^v′<0和^v′>0。此外，^v解二阶方程λv ln v=-R（v′）v′+（rw）- c） v′，w∈ （b，ws）。（5.2）证据。^v′<0是引理5.3的结果。设f（w）：=（rw）- c） ^v′（w）- λ^v（w）ln^v（w）。引理5.4和5。5，f在（b，ws）中是连续的、非负的且a.e.严格正的。设g（w）：=R（v′（w））/f（w）。C-正则性的证明包括两个步骤。第一步。显示任何间隔[w，w] [b，ws]是指[w，w]上的f>0，^v∈ C[w，w]。注意，g在[w，w]上是连续的。首先，我们证明了^v是- v′（w）+g（w）=0，w∈ （w，w）。（5.3）w=b处的导数被理解为内部导数的连续延伸。18二汉贝拉克塔尔和余冲张磊w∈ （w，w）和∈ C（w，w）是任何测试函数，使得- 由于^v是G=0的一个c子解，我们有^′（w）=^v′（w）和G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w）≤ 0.由于^v′（w）<0，我们必须使^′（w）>0才能确定上述G。求出G的表达式并在π上进行优化，我们得到-f（w）+R（^v′（w））^′（w）=λ^v（w）ln^v（w）+R（^v′（w））^′（w）- （rw）- c） ^v′（w）≤ 0，在乘以正的量а′（w）f（w）后，精确地-ν′（w）+g（w）≤ 0.这表明^v是（5.3）的子解。让我们∈ （w，w）和∈ C（w，w）是任何测试函数，使得- 在w处有一个本地最小值。

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2022-5-5 13:32:02

如果φ′′（w）≤ 0，那么我们马上就有了-ν′（w）+g（w）≥ 因为g是非负的。如果^′（w）>0，那么我们使用^v是G=0的C上解，以获得^′（w）=^v′（w）和G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w，^v′（w））≥ 0.对G的表达式中的π进行优化，我们也得到-ν′（w）+g（w）≥ 0.这表明^v是（5.3）的最佳解。接下来，我们遵循[36]第652页的论点，考虑泊松方程- v′′+g=（5.4），Dirichlet边界条件v（w）=^v（w），v（w）=^v（w）。这是我们真正的选择。我们可以把g积分- 两次得到C[w，w]解，用v表示。要将^v与v进行比较，首先取>0并假设v- v在某个点w有一个局部最大值∈ （w，w）。由于粘度低于（5.3），我们-v′（w）+g（w）≤ 0，这与（5.4）相矛盾。所以最大值必须在它为零的边界上达到。这意味着^v≤ v。让→ 0^v≤ v、通过取<0得到逆不等式，并使用^v得到（5.3）的粘性上解。这就证明了^v=v∈ C[w，w]。第二步。对于任何w，显示f（w）>0∈ [b，ws]我们在[26]的第811-812页使用了一个与之相似的参数。选择任意一点w∈ （b，ws）其中f（w）>0。由于f是连续的，在w的邻域中f>0。假设f在w左边的某个点消失。设w:=sup{w∈ [b，w）：f（w）=0}。通过步骤1，^v满足（w，w）中经典意义上的方程（5.3）。让w∈ （w，w）。根据中值定理，f（w）- f（w）w- w=f′（z）=（r）- λ） ^v′（z）+（rz）- c） ^v′（z）- λ^v′（z）ln^v（z）（5.5）对于某些z∈ （w，w）。让我们→ w+。注意^v′（z）→ ∞ 因为方程（5.3）中的^v′（z）=g（z），并且g（z）有一个三次正的分子和一个从正边到零的分母。所以（5.5）右边的中间项正在爆炸式增长-∞ 而其他两项则收敛为有限数。

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2022-5-5 13:32:06

这与左手的非负性相矛盾。sof（w）>0n必然意味着f（w）>0代表所有w∈ [b，w）。由于f>0a.e，我们得出[b，ws]中f>0的结论。结合步骤1和2，我们得到了^v∈ 在（b.v′）中，我们从（b.v′）到（b.v′）的（7100）的（b.v′）.5。一旦我们有了C-规律性，我们可以进一步升级到有限的差异性，而几乎没有影响。推论5.1。^v∈ C∞[b，ws）。证明。让g像以前一样定义。用^v∈ C[b，ws），我们现在有了g∈ C[b，ws）。然后从^v′′=g得出∈ C[b，ws）。这反过来意味着g∈ C[b，ws）等等。归纳地，我们将得到^v∈ C∞[b，ws]。备注5.1。因为f（ws）=0，所以在右边界上只保证C-正则性。即使在非稳健的情况下，也有可能在安全水平上有一个无界的二阶导数。通过^u=εln^v回到原始p问题，我们对^u命题5.2有以下命题。^u∈ C[b，ws]∩ C[b，ws），满足[b，ws]中的^u′<0和ε（^u′）+^u′>0。此外，^u解二阶方程λu=-R（u′）ε（u′）+u′+（rw）- c） u′，w∈ （b，ws）。(5.6)6. 验证为了通过验证将^u与价值函数联系起来，我们首先需要显示反馈形式导致了一对可接受的控制，在此情况下，受控财富过程的SDE具有唯一的强解。F（w，^u，^u′，^u′）中达到最大值的π由π给出*= -u - rσ^u′ε（^u′）+^u′=-u - rσ^v′v′，与π达到G（w，^v，^v′，^v′）的最大值相同。从上一节我们已经知道π*在（b，ws）中是光滑的，因此局部是Lipschitz。我们将展示π*在边界附近也是如此。引理6.1.0<π*（w） <2（c）- rw）u- r、 w∈ [b，ws]证明。下限很小。

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2022-5-5 13:32:09

对于上限，将方程（5.6）改写为λ^u=u - rπ*+ rw- C^u′。（6.1）对于w∈ [b，ws），因为^u（w）>0和^u′（w）<0，我们必须有u-rπ*（w） +rw- c<0。20二汉贝拉克塔尔和张宇冲推论6.1。θ*:= σεπ*^u\'有界且满足极限→ws-θ*（w） =0。更准确地说，2σεu- r（c）- rb）^u′（b）≤2σεu - r（c）- rw）^u′（w）<θ*（w） <0，w∈ [b，ws）。稍后将验证π*（w），θ*（w）是w的最佳控制吗∈ （b，ws）。注意π的上界*引理6.1给出的是. 事实上，我们可以把束缚收紧到π，然后显示π*与ε无关。提议6.1。π*（w；ε）在ε中不增加≥ 特别是π*（w；ε）≤ π（w）。证据设0<ε<ε，并写出^u（w；εi）的^ui（w），i=1，2。^viandπ*我也有类似的定义。首先，通过比较问题（5.1）的原理，我们得到了^v≤ ^vand Thous^u≤ ^u.由于^u（b）=^u（b）=1，我们推导出^u′（b）=limw→b+^u（w）- 1w- B≤ 利姆→b+^u（w）- 1w- b=^u′（b）。让我们→ 在方程（6.1）中，我们看到λ=u - rπ*（b；ε）+rb- C^u′（b；ε）。自^u′（b）≤ ^u′（b）<0，我们必须有π*（b）≥ π*（b）嗯。根据Lemm a 6.1，我们还有π*（ws）=π*（ws）=0。声称π*（w）≥ π*（w）尽管如此，w∈ [b，ws]。从方程（5.2）中，我们得到λ^v ln^v=u- r^v′π*+ （rw）- c） ^v′，w∈ （b，ws）。通过推论5.1，我们可以对上述方程进行微分。重新安排条款后，我们得到- r（π）*)′= R+λ- r+u- rσrw- cπ*+ λln^v，w∈ （b，ws）。（6.2）假设相反，π*- π*在w点达到负最小值∈ （b，ws）。根据一阶条件，我们有（π*)′（w） =（π）*)′（w）。方程（6.2）则产生矛盾：0=u- rσ（rw）- c） π*（w）- π*（w） π*（w） π*（w） +λ（ln^v（w）- ln^v（w））>0，这里我们使用π*i> 0，^v≥ ^vin（b，ws）和π假设*（w）- π*（w） <0。因此，这个论点成立。如果ε=0，即π*= π、然后简单的计算显示π*^v:=1的满意度（6.2）。

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2022-5-5 13:32:12

完全相同的比较参数意味着π*≥ π*在[b，ws]上到处都是。提议6.2。π*Lipschitz在（b，ws）和satieslimw中是连续的吗→ws-(π*)′（w） =-u - rσ（d）- 1） =π′（ws）。（6.3）通过π*（ws），我们指的是limw→ws-π*（w）因为^v′（w）在w=ws时可能不存在。证据对于Lipschitz连续性，必须显示π*在（b，ws）中有界的一阶导数。自π*> [b，ws]中的0表示（π）*)′在（b，ws）的任何远离ws的子集上有界。还有待展示（6.3）。允许l := 林infw→ws-(π*)′（w） L:=lim supw→ws-(π*)′（w）。根据提案6.1，我们已经- cπ*≤rw- cπ=-σr（d）- 1)u - r、上述不等式和（6.2）表示：- r（π）*)′≤ R+λ- rd+λln^v.简单代数表示R+λ- rd=R/（1）- d） <0。自^v（w）→ 1作为w→ ws-, 我们知道（π）*)′为负，在ws附近远离零。特别是，上限更能满足要求- rL≤ R+λ- rd=R1- d<0。现在，将广义l\'H^opital规则[39，Theorem II]应用于（6.2）。我们推断- Rl ≥ R+λ- r+u- rσlim infw→ws-r（π）*)′（w） =R+λ- r+u- rσrL。这导致了一个不等式链，实际上是一个等式链：0>R1- D≥u - rL≥u - Rl ≥ R+λ- r+r（1）- d） =R1- d、我们已经证明了这一点l = L=2R（u）-r）（1）-d） =-u-rσ（d）-1). 我们现在准备证明验证定理。对于任意c函数φ和π，θ∈ R、定义π，θν（w）：=[rw- c+（u+σθ）- r） π]П′+σπП′（w）。定理6.1（验证定理）。

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可人4

2022-5-5 13:32:17

假设u:[b，∞ ) → [0,1]，π：[b，∞) → R和Θ：R×[b，∞) → R是满足下列条件的可测函数：（i）u∈ C[b，ws]∩ C[b，ws）；（ii）u是λu（w）=infπsupθ的解-2εθ+Lπ，θu（w）, W∈ （b，ws）；（6.4）（iii）对于w，u（b）=1，u（w）=0≥ ws；（iv）对于每个w，∏（w）达到（ii）中的最大值∈ （b，ws）；Θ（π，w）对于每个π都达到（ii）中的上确界∈ R和w∈ （b，ws）；（v） π（w）=Θ（π，w）=0如果w/∈ （b，ws）；（vi）在（b，ws）中∏有界且Lipschitz连续；Θ在[π，π]×b上有界，∞) 对于任意紧区间[π，π] R.然后ψ=u在[b]上，∞), 和∏（·）、Θ（π（·），·）是最优的马尔可夫控制。22.二汉贝拉克塔尔和余冲。和[7]一样，我们让成为“合作国家”和[b，∞ )∪{} 成为[b]的一点压缩，∞). 定义u到[b]的扩展，∞) ∪ {} 通过分配u() = 0.1. 设w>b。通过条件（v）和（vi），SDEdWt=[rWt+（u）- r） π（Wt）- c] dt+σ∏（Wt）dBt，W=什么是唯一的强解Ww，W.r.t.过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）。让π*t:=π（Ww，πt）并写入Ww，π*:= Ww，π。π*∈ A因为∏是有界的和可测的。定义τ*b:=inf{t≥ 0:Ww，π*≤ b} 和τ*:= inf{t≥ 0:Ww，π*≥ ws}∧ τd.Let Q∈ Q是具有相应漂移失真过程θ的任何候选度量。根据吉尔萨诺夫定理，BQt:=Bt-Rtθsds是Q-布朗运动。Ww，π*满意度DWT=[rWt+（u+σθt- r） π*T- c] dt+σπ*tdBQt，W=W。回想一下，τ是P-泊松过程N的第一跳时，其速率λ依赖于F。Q的定义表明N也是具有相同速率的Q-泊松过程。让我们，π*t:=Ww，π*t{t<τd}+1{t≥τd}。Ww，π*是放大过滤H中一个逐步可测量的过程，其中包括N生成的信息。

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