高频市场流动性的多尺度表示

2022-5-5 13:44:36

2013年）发生在美国股票市场，但在许多其他情况下，这些情况并未引起注意，但可能成为更重要的候选人。流动性虽然无处不在，但却是一个难以捉摸的概念。有几个原因可以解释这种模糊性；一些市场，如每日营业额为5.3万亿美元的外汇（FX）市场（BIS 2013），被错误地认为是流动性极强的市场，而产生的交易量等同于流动性。其次，高度分散的现代市场结构造成了碎片化和低透明度*通讯作者：agolub@olsen.chof使确定整个市场流动性的方式复杂化的交易。例如，在美国股市实施监管NMS创造了一个支离破碎的生态系统，交易在13个公共交易所、30多个暗池和200多个内部化经纪交易商之间进行（Shapiro 2010）。随着具有不同市场结构的新场馆不断推出，从所有交易来源聚集流动性可能会非常令人望而生畏，甚至在所有市场分割的情况下也是如此。此外，随着新参与者的出现，情况也在不断变化，例如在许多市场中，高频交易者已经接管了流动性中介的角色，占所有交易的50%到70%（Chaboud等人，2012年）。流动性条款的变化是立法变化的结果（美国法规NMS，2005年和欧洲MiFID，2007年），这些变化促进了更大的竞争，并受到计算和通信方面的重大技术进步的推动，使不同交易场所之间的高速交易成为可能。

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kedemingshi

2022-5-5 13:44:39

最后，但并非最不重要的一点是，影响市场的重要参与者是中央银行，它们进行了大量的市场干预，通过各种量化宽松计划将大量主权债务和抵押贷款债务货币化，或通过瑞士国民银行设定欧元/瑞士法郎汇率的直接方式，间接实现货币化，他们提供了大量论据，超越了作为最后流动性提供者的角色，在现阶段阻碍了市场流动性，可能在不久的将来面临巨大损失。尽管流动性具有明显的重要性，但对于测量和确定市场流动性的最佳方式几乎没有一致意见（von Wyss 2004、Sarr and Lybek 2002、Kavajecz andOdders White 2008、Gabrielsen等人2011）。流动性指标可分为不同类别。基于交易量的衡量指标：流动性比率、马丁指数、Hui和Heubel比率、周转率、市场调整后的流动性指数（详见Gabrielsen等人2011），其中在固定时间段内，将交易量与价格变化进行比较。这一分类表明，对交易量和价格变动之间的关系做出了不平凡的假设。其他类别的指标包括基于价格的指标：沼泽和岩石比率、方差比率、向量自回归模型；基于交易成本的衡量标准：价差、隐含价差、绝对价差或相对价差见；或基于时间的度量：每个时间单位的交易或订单数量。有大量研究在不同的背景下分析这些指标（见von Wyss 2004、Gabrielsen et al.2011和其中的参考文献），但尚未达成共识。上述方法克服了许多缺点。

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2022-5-5 13:44:43

它们提供了自上而下的分析复杂系统的方法，分析了流动性变化的影响，而不是提供了自下而上的方法，在这种方法中，流动性缺乏的时间是确定和量化的。这些方法还受特定物理时间选择的影响，这并不反映任何金融市场的正确和多尺度性质。最后，weargue指出，一些数据可能很难获得，甚至无法获得，因为外汇市场的全限额订单或交易方向就是这样。为了避免这些问题，并进一步对市场动态进行建模，我们提出了一个基于事件的方向变化和超调框架，以将连续的财务数据映射到所谓的内在网络中——一种基于状态的内在分解时间序列离散化，而结果结构被建模为多尺度马尔可夫链。我们定义了流动性，这是一种信息论度量，其特征是价格轨迹的不可能性，并认为这一新指标能够检测和预测金融市场的压力，并展示了外汇市场的例子。

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2022-5-5 13:44:46

最后，利用日本银行2013年4月26日货币政策会议记录的最大值，得出了规模的最佳选择。“债券流动性大危机来了”，Lee，P.，2013年9月26日，Euromoney，“美联储现在拥有整个美国债券市场的三分之一”，T.Durden，2013，Zerohedge，“瑞士央行在一天内损失18.5亿法郎，每个居民231法郎”，多根，G.，2012，瑞士央行。com“瑞士央行在10月和11月的损失：84亿法郎，占GDP的1.5%”，多根，G.，2012年，瑞士央行金融中心。com“美联储继续模仿亨特兄弟”，Tchir，P.，2013，TF市场咨询中心原则。本文的其余部分组织如下：；第2节描述了方向变化和超调的基于事件的框架。第3节定义了基于状态的价格轨迹运动离散化，称为内在网络。在第四节中，我们展示了内在网络的多尺度性质。在第5节中，我们推导了马尔可夫链的概率矩阵，它模拟了内在网络上的转移。第6节描述了被称为流动性的信息理论概念，其特征是价格轨迹的不可能性。在第7节中，我们讨论了应用最大熵原理的尺度的最佳选择。最后，在第8节中，我们展示了2007年日元套利交易平仓和瑞士国家银行（SNB）2011年8月干预的流动性应用，设定欧元/瑞士法郎汇率为1.20。2基于事件的框架传统的高频金融模型使用等间距的数据作为输入，Yet市场的运作方式并不统一：在周末，市场陷入停滞，而意外的消息可能会刺激市场活动。

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kedemingshi

2022-5-5 13:44:49

使用不同的时钟对金融系列进行建模的想法可以追溯到曼德尔布罗特和泰勒（1967年）以及克拉克（1973年）的开创性工作，他们提倡使用事务和基于卷的时钟，而不是按时间排序。Mandelbrot（1963）开创了另一个从分形理论角度分析高频时间序列的研究领域。这项开创性的工作启发了其他人在市场数据中寻找经验模式——即缩放法律，它将增强对市场如何运作的理解，提供固定的参考点，并模糊无关的细节。资本市场中报告最多的比例定律之一（M¨uller等人，1990年，Galluccio等人，1997年，Dacorogna等人，2001年，DiMatteo，Aste和Dacorogna 2005年），与平均绝对价格变化xi及其发生的时间间隔t:hxi~ t1/2S试图超越物理时间的限制，设计一个时间标度的“θ-时间”，以解释与外汇市场中不断变化的主要市场位置相关的季节性模式（Guillaume et al.1995）。这种方法并不是毫无意义的，因为在固定或预定的时间间隔内聚合和插值滴答数据，会丢失有关市场微观结构和交易者行为的重要信息（Bauwensand Hautsch，2009）。一个重大突破是发现了一个标度定律，该定律将一定规模（阈值）的涨跌价格变动的数量与相应的阈值联系起来，产生了一个基于事件的时间标度，名为“内在时间”，它根据价格变动的演化而滴答作响（Guillaume et al.1997）。内在时间根据趋势方向交替的市场事件剖析时间序列（图1）。

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2022-5-5 13:44:52

这些方向变化事件通过预先设定的给定阈值的价格反转来识别。一旦确定了方向性变化事件，则超调事件已经开始，并且它们将延续方向性变化确定的趋势。因此，如果确认了向上事件，则会出现向上超调，反之亦然。当发生相反方向的变化时，确认超调事件。每个方向变化事件的“固有时间”都是一个单位。该算法的详细信息见附录A。该方法在高频数据分析中的好处有三倍；首先，它可以应用于非均匀性。标度定律建立了两个变量之间的数学关系，在多个数量级上都成立。物理时间内在时间方向变化阈值：δ%超调ω方向变化δ图1：方向变化事件（正方形）作为自然解剖点，将两个极端价格水平（项目符号）之间的总价格变动分解为所谓的方向变化（实线）和超调（虚线）部分。时间尺度描述了物理时间在不同的价格曲线活动状态中均匀地滴答作响，而内在时间仅在方向变化事件中触发，与物理时间的概念无关。无需进一步数据转换的时间序列。其次，对于相同的逐点数据，可以同时应用多个方向变化阈值。第三，它捕捉了任何时候的市场活动水平。使用上述框架，Glattfelder等人。

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2022-5-5 13:44:56

（2011）发现了12个独立的标度定律，这些定律适用于多个数量级的13种货币对，将超调长度、方向变化长度、方向变化数量和超调刻度与阈值等概念联系在一起。尽管人们承认了标度定律的发现，但对于这种行为的驱动力还没有达成共识。这个概念主要用于设计交易模型。例如，在（Dupuis和Olsen，2011年）和（Voicu，2012年）中，描述了一个基本的反趋势交易模型，该模型利用了价格长线中包含的有利机会。让我们把对框架的考虑正式化。当δ>0时，我们将表示方向变化阈值，以及方向变化本身，而相应的反冲用ω表示。我们认为，超调的长度ω是流动性的代表，因为长超调似乎意味着市场必须进一步朝着超调的方向前进，以找到必要的流动性，最终追溯并展示下一个方向的变化。声称超调长度太长或太短是一个抽象概念，没有提供“平衡”长度的参考。下面的定理证明，给定一个驱动价格运动的布朗运动的典型模型，超调的预期长度ω等于方向变化阈值δ；定理2.1。（基本内在定理）让价格（Pt，t∈ R+）可以建模为布朗运动（Wt，t∈ 波动率σ>0dPt=σdWt的R+。（1）设ω（δ；σ）表示方向变化阈值δ的超调长度。ThenE[ω（δ；σ）]=δ。（2）证据见附录B。

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2022-5-5 13:44:59

出乎意料的是，超调的平均长度[ω（δ；σ）]对波动性完全不敏感；无论波动水平如何，超调的平均长度将与方向变化阈值成正比。最后，我们注意到该定理建立了超调长度和方向变化阈值之间的标度律关系。3内在网络本节提出了一种新的方法来描述价格时间序列的演变，方法是将不同尺度上的价格运动离散化，并将其建模为结构化内在网络上的过渡。我们认为∈ N有序阈值δ<δ<···<δN将价格曲线分解为固定长度的方向变化δi和变化长度的超调ωi，根据与相应阈值δi相关的超调向上还是向下移动，将给定方向变化阈值δi的市场状态指定为1或0。通过这个过程，我们可以在每个物理时间分配一个由1或0组成的二元向量b=（b，…，bn），描述不同规模的市场。二进制编码b=（b，…，bn）可以用数字表示市场状态s，如下s=b·2+b·2+·bn·2n-1.二进制向量集将用B表示，状态集用Sand进行数值表示，由于S和B之间的1-1对应关系，我们将互换使用这两种符号，然而很容易注意到，这两个集合共有2种可能的状态。上升的排序阈值和潜在的内在时间动力学意味着一个简单的描述状态之间的过渡。事实上，在任何状态下，上移都会将之前下移（即si=0）的最小i状态变为上移状态si=1状态，同样，下移也会将第一个i状态si=1状态变为si=0状态。

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2022-5-5 13:45:02

准确的过渡规则如下所述；b州=（b，…，bn）∈ B可以转换到stateb=（B，B，…，bn）或stateb=（B，B，…，bi，…，bn），i=min{k:bk6=B}，其中1=0，0=1。对于给定的n∈ N和方向变化阈值δ<···<δN，我们得到一组具有上述规则规定的跃迁的状态。换句话说，这个过程创建了一个我们称之为内在网络的网络，用In（n；{δ，…，δn}；W）表示，其中W表示随机过程的转移概率矩阵，该随机过程模拟网络上的转移。012345 6789 00010302 0405302164753021图2：从左到右：中的2维、3维和4维固有网络，状态以数字表示。内在网络表现出两种特殊的状态，其中网络是非反应性的：当市场可以继续向下移动时的向下盲点（0，…，0），以及当市场可以继续向上移动而不被追踪时的向上盲点（1，…，1）。从上述状态来看，本征网络只有一种可能的转变，即状态（1，1，…，1）必然转变为状态（0，1，…，1），P(1, 1, . . . , 1) → (0, 1, . . . , 1)= 1，当状态（0，0，…，0）确定地过渡到状态（1，0，…，0），P(0, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)= 1.图2分别显示了图中的二维、三维和四维固有网络示例。4隐式层次在这一节中，我们证明了内在网络有一个方便的多尺度特性，在这里人们可以忽略框架中的最小阈值，并且仍然保持结构。换句话说，如果我们去掉（n；{δ，…）中n维内在网络的方向变化阈值δ。

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2022-5-5 13:45:05

，δn}；W），得到的结构是n-一维内禀网络-1.{δ，…，δn}；cW），而转移矩阵cW和cW之间存在明确的联系，假设网络上的转移被建模为一阶马尔可夫链过程。首先，我们引入岛的概念，岛是所有可能状态S={0，1，…，2n的子集-1} （n；{δ，…，δn}；W）中n维本征网络的状态集。我们将第k岛定义为以下statesIk的子集={s∈ S:bsc=k}，（3）其中b·c表示流动函数，即bxc=max{k∈ N:k≤ x} 。在我们的例子中，k-thisland等于Ik={2k，2k+1}。例如，岛相等于子集{0,1}或岛相等于子集{14,15}。很容易注意到，对于无状态的n维本征网络，有2n-1个岛屿。请注意，我们可以再次用数字标记岛，Ik=k，用数字标记S（1）={0，…，2n创建一组新的状态-1.-1}. 让我们谈谈岛屿之间的转换。给定数字符号s=b·2+···+bn·2n-1对于状态S，每个状态S（1）∈ S（1）可以用数字符号ass（1）=b·2+·bn·2n表示-2，因此岛屿之间的过渡相当于三个阈值δ，δn。换句话说，岛屿之间的转换对与第一个方向变化阈值δ相关的市场状态变化不敏感，因此产生的结构是ann-（n）中的一维本征网络- 1.{δ，…，δn}，cW）。转移矩阵xcw的概率及其与转移矩阵W的联系将在本节后面部分建立。我们将所提出的方法称为状态收缩。让我们通过定义0级孤岛来扩展状态收缩的概念，I（0）是n维内在网络I（0）k={k}，k=0，1。

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2022-5-5 13:45:09

，2n- 1.如果S（0）={0，1，…，2n- 1} ={I（0），…，I（0）n-1} 表示n维内在网络的状态，然后我们定义1级孤岛，用符号I（1）kas subsetsI（1）k={I（0）∈ S（0）：bI（0）c=k}（4）对于k=0，1，2n-1.- 1.使用上述迭代过程，我们可以通过应用状态收缩j次的过程，在符号I（j）中获得j级孤岛，因此我们可以在（j+1）中定义一个j+1级的内在网络，而状态空间S（j+1）定义为孤岛I（j+1），换句话说，S（j+1）={I（j+1），…，I（j+1）n-J-1}. 在更一般的意义上，我们可以将一级岛屿定义为一级岛屿的子集- 1，即i（i）l={i（i）-1)∈ S（i）-1）：bI（i）-1） c=l}。从总数为2n的本征网络开始，在（j+1）中，水平为j+1的本征网络将总数为2n-jstates。01234012320123501236012370123801239012301230123012344012342012346012345012347012348014320143401436014350143701438014390143图3（4；{δ，δ，δ}；W）中的四维本征网络到（3；{δ，δ，δ}；cW）中的三维本征网络的收缩过程的图示，而彩色阴影图显示了孤岛、收缩状态和由此产生的新状态。图3展示了四维内在网络（4；{δ，…，δ}；W）的状态收缩过程，而岛I（0）。

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2022-5-5 13:45:13

，I（0）以下列方式收缩I（1）I={I（0）2i，I（0）2i+1}。（3；{δ，δ，δ}；cW）中三维本征网络的岛、收缩态和由此产生的新态的着色图。假设内在网络上的转移被建模为一阶马尔可夫链，则n维内在网络的转移矩阵W和n维内在网络的转移矩阵XCW之间存在显式联系- 通过上述收缩过程获得的一维本征网络。假设网络的当前状态为I（I），我们感兴趣的是确定过渡到状态I（I）j的概率。请注意，从水平岛（I）的角度观察过程- 1），系统可以在状态I（I）之间振荡-1）我和我-1） 2k+1在进行连接岛屿I（I）和I（I）j的过渡之前，多次循环。因此，使用几何级数的闭合形式可以很容易地导出所需的概率。

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2022-5-5 13:45:16

下面给出了mod（k+j，2）=0P（I（I）k的三种不同情况，并在附录C中给出了证明→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）1-P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）（5）对于mod（k+j，2）=1和k>jP（I）k→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）（6）对于mod（k+j，2）=1和k<jP（I（I）k→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）（7）5转移概率在本节中，我们将内在网络的转移概率建模为一阶马尔可夫链过程。首先，我们强调给定布朗运动（σWt，t∈ R+）作为模拟价格运动的过程（Pt，t∈ R+）dPt=σdWt，（8）内在网络上产生的随机跃迁过程，用符号（Xτα）表示，其中（τα，α）∈ A）是一组发生转变的内在时间，实际上是一个非马尔可夫过程，即P（Xτn=si | Xτn）-1=sj，Xτn-k=sr）6=P（Xτn=si | Xτn-1=sj，Xτn-m=sl），换句话说，这个过程需要完整的历史来推导转移概率。非马尔可夫性质源自这样一个事实，即方向变化阈值在它们的内存中可以有不同的参考点。在下文中，为了简单起见，我们将采用马尔可夫描述。正确量化这种选择的影响是一个有趣而雄心勃勃的问题，我们将在未来解决。

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kedemingshi

2022-5-5 13:45:19

然而，我们注意到，在我们的例子中，两种状态之间的转移概率恰好与描述中所考虑的记忆长度接近，而且，对于我们心目中的应用——即量化市场流动性——我们的流动性度量似乎对我们是否考虑记忆效应相当不敏感。为了简化框架，我们将内在网络上的转换建模为一阶马尔可夫链过程，假设阈值δ的转换对应于δ超调的长度- δ、也就是说，对于i=2P，leti=min{k:bk6=b}（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= Pω(δ; σ) ≥ δ- δ（9） P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= Pω(δ; σ) < δ- δ（10）其中1=0和0=1。现在我们给出了转移概率的解析表达式，假设（9）-（10）；定理5.1。让n∈ N和δ<··<δN内在网络的定向变化阈值（N；{δ，…，δN}；W）和（b，…，bn）∈ B市场的现状。Leti=min{k:bk6=b}，对于i=2P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= E-δ-Δδ（11）P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= 1.-E-δ-Δδ（12）当i>2P时（b，b，…，bn）→ （b，…，bi，…，bn）=Qik=2e-δk-δk-1δk-11-圆周率-1k=21.-E-δk-δk-1δk-1.Qij=k+1e-δj-δj-1δj-1（13）页（b，b，…，bn）→ （b，…，bi，…，bn）= 1.-Qik=2e-δk-δk-1δk-11-圆周率-1k=21.-E-δk-δk-1δk-1.Qij=k+1e-δj-δj-1δj-1（14），其中1=0和0=1。定理5.1中解析表达式的证明可在附录C中找到，它归结为推导表达式（11）和（12），然后应用第4.6节价格轨迹中给出的收缩内在网络转移概率的显式公式，一种信息论值，用于测量映射到内在网络的价格轨迹的不可能性。

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大多数88

2022-5-5 13:45:23

在继续之前，让我们简化目前使用的旋转。用（Xτα）表示在固有网络上模拟过渡的随机过程，其中（τα，α∈ A）是网络上发生转换的时间。换句话说，（τα）是与阈值δi，i=1，…，相关的任何方向变化时的等待时间过程，n发生了。因此，将网络上的转换建模为一阶马尔可夫链，相应的概率用p（Xτn=si | Xτn）表示-1=sj），si，sj∈ 我们将通过只写从状态sito sj到状态sito sj的转换来缩短这个符号，忽略转换发生的内在时间，即我们将通过写P（si）来简化符号→ sj）。首先，让IN（n；{δ，…，δn}；W）表示具有有序方向变化阈值δ<····<δn，状态空间S={0，1，…，2n的n维本征网络-1} 让W表示相应的转移概率矩阵=P（si）→ sj）N-1i，j=0。我们通过以下表达式γsi，sj=-对数P（si）→ sj）。（15）让我们解释一下惊喜γsi，sj背后的直觉，如果从状态sito到sj的转变非常不可能，即P（si）→ sj）≈ 0，相应的意外γsi，sj将非常大，即γsi，sj 0，这意味着价格轨迹在其内在网络的上下文中经历了一个不太可能的运动。请注意，上面介绍的转变惊喜对任何从事信息论工作的人来说都应该是熟悉的，因为熵是通过简单地平均惊喜而获得的。换句话说，熵是过程的平均不确定性，而惊奇是为过程的特定实现评估的相同数量，即。

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2022-5-5 13:45:27

令人惊讶的是点态熵。现在让我们假设我们正在观察一个时间间隔[0，T]内的价格轨迹（Pt），T>0，并且在这个时间间隔内，价格轨迹经历了K次转变si→ 硅→ ··· → 锡克→ 因此，siK+1在时间间隔[0，T]内处于K+1状态。我们定义了时间间隔[0，T]内价格轨迹的惊喜，用符号γ[0，T]si，。。。，siK+1asγ[0，T]si，。。。，锡克+1=-对数P（si）→ 硅→ 硅→ . . . 锡克→ siK+1）（16）=KXk=1-对数P（sik）→ sik+1）（17）=KXk=1γsik，sik+1（18）如果从上下文中可以清楚地看到内在网络上发生的K个转变，我们将用γ[0，T]K表示惊喜。定义的值，作为单个转变的不可能性之和，衡量给定时间间隔内价格轨迹的不可能性。如果该值非常大，则表明轨迹发生了不太可能的移动。此外，重要的是要强调，惊喜是一种依赖于价格轨迹的度量：两个波动率σ相同的价格轨迹可能有很大不同的惊喜值。假设一个人想要使用经验数据，应用上面列出的公式，计算某个时间间隔[0，T]内价格轨迹的惊喜。一个很容易注意到的警告是，价格变动可能会在某些时间段内导致内在网络发生一些转变，而其他时间段则可能以更高的活动为标志。因此，通过施工，繁忙的时间段将有更高的惊喜，这纯粹是因为更多的过渡。为了从分析中删除市场活动，我们需要删除与所述时间间隔内惊喜的转换次数相关的组成部分。来自样本熵收敛的Shannon-McMillan-Brieman定理和相应的中心极限定理（P Fister等人。

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mingdashike22

2022-5-5 13:45:31

2001），我们注意到表现主义中的中心值实际上等于K·H（1），而重缩放值等于√K·H（2），涉及一阶信息量（即熵）H（1）=n-1Xi=0uiE[-对数P（si）→ ·)],信息素的二阶（2）=n-1Xi=0n-1Xj=0uiujCov- 对数P（si）→ ·), -对数P（sj）→).式中，u是相应马尔可夫链的平稳分布，即转移矩阵W的左正态分布向量。集中和重新缩放的表达式收敛于正态分布（P Fister et al.2001）γ[0，T]K- K·H（1）√K·H（2）→ N（0，1）作为K→ ∞, （19）因此我们称之为流动性，相应的量子化=1-Φγ[0，T]K- K·H（1）√K·H（2）, K 0（20），其中Φ是正态分布的累积分布函数。流动性L提供了一种无活动的价格轨迹不可能线测量，其中接近零的值表明，在多尺度框架下观察到的非流动性市场条件是超调；而接近1的值表明市场流动性充足，且超调不足。注意，K，内在网络上时间间隔[0，T]内的跃迁次数，在流动性公式中明确表示，实际上等于与阈值δ，δn发生在时间间隔[0，T]内，代表多个尺度的活动测量。因此，从意外γ[0，T]中减去K·H（1），并用√K·H（2）我们从价格轨迹分析中去除了市场活动的贡献，允许我们在多尺度框架中纯粹观察超调的长度。7.首选规模在本文中，我们一直无法确定将连续财务数据映射到内在网络的阈值的最佳设置。

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2022-5-5 13:45:35

在本节中，我们讨论了方向变化阈值的最佳选择，探讨了三种可能性将所有可实现的转移概率设置为同等可能性，即P（si→ sj）=0.5，{si→ sj}6=, 是的，sj∈ S、 o最大化建模内在网络上转换的马尔可夫链过程的熵，即一阶信息量H（1），o最大化二阶信息量，H（2）的马尔可夫链过程，并将该过程与流动性测量阈值的最佳设置相关联。请注意，所有提到的优化方法都可以被视为在框架中对选定的概率分布应用最大熵原理的结果。简而言之，最大熵原理指出（杰尼斯1957a，杰尼斯1957b）“。。。根据精确陈述的先验数据（例如表示可测试信息的命题），最能代表当前知识状态的概率分布是熵最大的概率分布。”首先，我们讨论在将所有可实现的转移概率设置为同等可能性时产生的阈值。因为从每个状态的转换∈ 当香农发明了他的量，并向冯·诺依曼请教如何称呼它时，冯·诺依曼回答说：“称它为熵。它已经在这个名字下被使用了，而且，它将在辩论中给你带来巨大优势，因为诺依伯知道熵到底是什么”（Denbigh 1981）。使用同样的理性，我们决定称我们的度量为流动性。伯努利随机变量，其最大熵是通过将所有非平凡跃迁的概率设置为同等可能，即P（si→ si）=P（si→ si）=0.5=> E- 对数P（si）→ ·)= 日志2，i=1。

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2022-5-5 13:45:38

，2n- 2.在这种情况下，我们可以直接应用第4节中给出的跃迁概率分析公式，并且给定第一个阈值δ，第k个阈值等于δk=δkYi=11+对数（1+k）. （21）我们观察到，当乘积的极限快速接近其极限极限时，这种转移概率的选择会导致近似线性的阈值设置→∞Qki=11+log（1+k）k=0.8625576。。。，换句话说，对于k 0，第k个方向变化阈值δkis约为δk≈ δ·k·0.8625576。不幸的是，设置（21）中的阈值会禁用意外γ[0，T]的使用，因为它变得完全确定，并且与跃迁Kγ[0，T]K的数量成正比~ K·log2。其次，设定阈值的潜在方法是最大化相应马尔可夫链的熵，该马尔可夫链模拟内在网络上的转换（δ*, . . . , δ*n） =arg max（δ，…，δn）H（1）=arg max（δ，…，δn）n-1Xi=0uiE[-对数P（si）→ ·)],其中u是对应的平稳分布，即W的左归一化特征向量。对于（2；{δ，δ}；W）中的二维本征网络，将所有跃迁概率设置为等概率，并将公式（21）中的熵H（1）最大化，得到等效的最佳阈值（δ）*, δ*) δ在哪里*= （1+log2）·δ*对于给定的δ*. 对于n>2，索赔不成立。在我们的分析中，以最佳方式设定阈值的最终建议源自中心测量，即意外γ[0，T]Kw，当适当调整时，已知该γ[0，T]Kw接近K的正态分布 0.对于较大但固定的K，表示惊讶的分布近似为正态γ[0，T]K~ N（K·H（1），K·H（2））。正态分布随机变量X，平均值为u，标准偏差为σ，即。

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2022-5-5 13:45:43

十、~N（u，σ）的熵由h（X）=log（2πeσ）给出，因此惊奇等式的熵h（γ[0，T]K）=log2πe（K·H（2））并将最大熵原理应用于意外γ[0，T]Kwe的分布，得出阈值（δ）的最佳选择*, . . . , δ*n）最大化二阶信息量H（2），即（δ*, . . . , δ*n） =arg max（δ，…，δn）H（2）（22）=arg max（δ，…，δn）n-1Xi=0n-1Xj=0uiujCov- 对数P（si）→ ·), -对数P（sj）→). （23）我们注意到，上述优化过程是一个复杂的数学问题，拟使用数值程序解决。对于小n，我们可以探索（23）解的空间，并估计必要的联合概率。对于较大的n，探索在计算上是不可撤销的，我们建议将δ设置为固定值，并让δi=λδi-当i=2时，λ>0。n、选择最大化第一或第二层次的信息量，我们强调每一个n都有一个解决方案∈ N正如我们注意到的，N维内在网络的熵，用符号H（1）N表示，是有界的H（1）N=H（1）nPn-1i=0ui=Pn-1i=0uiE[-对数P（si）→ ·)]Pn-1i=0ui≤ 马克西∈{S{E[-对数P（si）→ ·)]} ≤ log2（24），这是因为加权算术平均值总是小于分量的最大值，二阶信息量H（2）nH（2）n也是如此≤ 马克西∈SnVar- 对数P（si）→ ·)o、（25）8流动性冲击在本节中，我们说明了拟议的流动性度量L在众所周知的外汇市场危机中的应用，并认为流动性度量可作为金融市场压力的早期预警信号，重点关注2007年8月日元套利交易崩溃和瑞士国民银行实施的欧元兑瑞士法郎汇率1.20。在继续之前，让我们解释一下下面示例中使用的内在网络的细节。

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大多数88

2022-5-5 13:45:46

首先，考虑到高频市场条件，我们选择第一阈值δ为0.025%(~ 2.5点），并将下一个阈值作为其前一个阈值的两倍。我们总共使用了12个阈值，即δi=2·δi-1=2i-1·δ=2i-1.0.025%，i=2，12.产生一个12维的内在网络。以上述方式分配阈值可以确保，根据经验标度定律（Glattfelder et al.2011），平均而言，我们大约每5秒就有一次内在网络的转换。相应的概率转移矩阵W由定理5.1中的解析表达式获得，因此为我们提供了所有工具来构造（12；{δ，…，δ}；W）中的内在网络，该网络将汇率映射到基于状态的离散化。接下来，我们从数值上近似地注意到，日内的转换发生率是高度不均匀的，因为在新闻发布期间，一秒钟内可能会有几次转换。112 114 116 118 120 122 124USD/JPY 2007套息交易平仓外汇汇率2007年5月2007年6月2007年7月2007年8月2007年9月外汇汇率流动性L0.5 1图4:2007年8月套息交易平仓期间（左轴）美元/日元汇率和（右轴）相应的一分钟流动性度量L的时间演变。一阶H（1）=0.4604，二阶信息量H（2）=0.70818，得出流动性测量L=1-Φγ[0，T]K- K·H（1）qK·H（2）.滑动窗口设置为一天，即T=1天，K是滑动窗口内的转换次数。流动性L每分钟都被绘制一张图表，忽略了周末的不活跃期。首先，我们介绍了2007年日元套利交易放松期间的流动性度量L。

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2022-5-5 13:45:51

外汇市场中的术语套息交易指的是做空低收益率货币并购买高收益率货币的策略，以赚取不同的利息。套利交易通常都是有很多杠杆的交易，因此汇率的微小变动可能会导致巨大损失，导致价格大幅反转（Brunnermeier et al.2008）。2007年8月美元/日元价格下跌是日元套利交易头寸大量平仓的结果；许多拥有自营交易台的对冲基金和银行持有大量风险头寸，并决定回购Yen以偿还低息贷款（Chaboud等人，2012年）。图4显示了逐笔美元/日元汇率和每分钟流动性的时间演变。市场流动性的显著冲击发生在7月中旬，在几小时内下降了近2%。从那时起，随着交易员开始平仓套利交易头寸，相对缺乏流动性的状况通过测量得到了体现。在2007年8月初发生6%的大幅下跌之前的三周内，市场流动性完全丧失，据估计，约1万亿美元已被押注在日元套利交易上（Lee 2008）。1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25欧元/瑞士法郎-2011年瑞士央行干预汇率2011年5月2011年6月2011年7月2011年8月2011年9月2011年10月汇率流动性L0.5图5（左轴）欧元/瑞士法郎汇率的时间演变，以及（右轴）相应的一分钟流动性度量L在交易月份的时间演变瑞士国家银行干预，将欧元/瑞士法郎汇率设定为1.20。2007年6月16日。接下来，我们关注瑞士国家银行（SNB）在几个月内将法郎升值四分之一后设定汇率，因为债务危机导致货币从欧元区流出。

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2022-5-5 13:45:55

自那以后，瑞士央行系统性地防止欧元跌破1.20水平，买入欧元并卖出法郎，导致外汇储备大幅增加，截至2013年11月，外汇储备约为4340亿法郎。图5显示了瑞士央行干预月份逐笔欧元/瑞士法郎汇率和每分钟流动性L的时间演变。我们的测量结果显示，在法郎升值期间，流动性状况缓慢但稳定地恶化。事实上，正如图表所示，流动性L指标表明，在本周流动性完全丧失，瑞郎兑欧元大幅上涨近1000点子（约10%），2011年8月9日接近平价。我们的测量结果显示，流动性不足的市场状况在未来几周内将持续，随后出现了近20%的逆转，在瑞士央行于2011年9月6日进行干预后，流动性状况最终得以恢复（施密特2011）。资料来源：瑞士央行(http://www.snb.ch/ext/stats/imfsdds/pdf/deenfr/IMF.pdf)“瑞士加入欧元区：瑞士每年收入的73%通过瑞士国家银行投资于欧元”，Dorgan，G.，2012年NBCHF。com9结论在本文中，我们使用基于事件的框架将连续的财务数据映射到所谓的内在网络中。我们定义了一种内在网络状态收缩的方法，并表明该网络具有一致的层次结构，允许对财务数据进行多尺度分析。我们定义了流动性的概念，其特征是价格轨迹的不可能性。

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可人4

2022-5-5 13:45:59

针对众所周知的货币危机，我们提出并证明了新指标能够检测和预测金融市场的压力。致谢导致这些结果的研究获得了欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）的资助，资助协议编号为317534（Sophocles项目）。作为一个内在的时间框架，我们将价格的时间序列映射为方向性变化和价格超调的序列，如下所示。允许 = {δ，…，δnδ-1} 是时间序列映射到的nδ方向变化阈值的集合。初始价格的初始条件；t、初始物理时间；和M在向上和向下之间切换的模式，指示预期的方向变化。初始条件最多影响前两对（方向变化、超调），并让序列中的后续对与通过不同初始化获得的任何其他序列同步，即通过不同初始化获得的序列。给定的δi将时间序列分解为一组价格Xi（t）={Xi（ti），…，xini-1（蒂尼）-1），x（t）}出现在时间Ti（t）={Ti，…，tini-1，t}其中x（t）=出价（t）+要求（t）/2是中档的attime t。我们强调了该系列的最后一个元素x（t），t是暂时的，因为它们还不对应于转折点，但代表时间t的过程状态。我们计算转折点的数量（即方向变化的发生）为nie=bnic。方向变化的振幅序列iis定义为i（t）=δi，δini-1e，δinie（t）=nxi2j+1- xi2jo（26）其中0≤ J≤ 聂。价格时间序列的离散性防止了|δij |=δi。然而，离散性很小，平均在价差内。反拍的振幅序列Ohmiis写为Ohmi（t）=ωi。

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mingdashike22

2022-5-5 13:46:02

ωini-1e-1，ωinie（t）=nxi2（j+1）- xi2j+1o。（27）方向变化或价格超调的持续时间通过用等式（26）和（27）中的物理时间t代替价格X来确定。算法1显示了一个伪代码，提供了关于如何剖析价格时间序列的更多细节。算法1。从时间上剖析价格曲线，并用δi价格阈值测量超调要求：初始化变量（xext=x（t），模式任意设置，Xi=x，Ti=t）1：用x（t）更新最新的Xi 2：用t3更新最新的Ti：如果模式关闭，那么4：如果x（t）>xextthen5:xext← x（t）6：如果x（t）为else- xext≤ -δithen7:xext← x（t）8：模式← up9：Xi← x（t）10:Ti← t11:end if12:else如果模式为up，那么13:if x（t）<XEXTTEN14:xext← x（t）15：如果x（t）为else- xext≥ δithen16:xext← x（t）17：模式← down18：Xi← x（t）19:Ti← t20:end if21:end ifB解析高斯基准在价格服从布朗运动的特殊情况下，可以解析地导出转移矩阵。由于内在网络的层次性允许通过收缩过程推导任意数量阈值的转换矩阵，因此问题实际上归结为解决两个阈值的情况，我们现在将这样做。如果将内在网络上的转换建模为一阶马尔可夫链，则矩阵的形式如下：=0 1 0 01 -α 0 0 αβ 0 0 1 - β0 0 1 0（28）按照国家编号为（0，0）=0，（1，0）=1，（0，1）=2和（1，1）=3的惯例。因此，我们只需计算两个概率，它们将被视为P(1, 0) → (1, 1)= α和P(0, 1) → (0, 0)= β.

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2022-5-5 13:46:05

出于方便和不失一般性的原因，我们将通过考虑阈值以绝对值而非百分比固定的情况来简化计算，只要波动性不太剧烈，这几乎没有差异（如果有的话）。现在让我们关注一下系统刚刚进入（1，0）状态的情况。正如我们可以从W中读到的，它之前在（0，0）中，只是从某个最小值反弹了一个量δ。现在可能会发生两件事o要么向上移动一个数量δ- δ，系统在达到某个最大值M<δ后，变为（1，1）状态- δ向下走一段距离，系统返回（0，0）。因此，问题是确定这两种情况发生的概率。这有点让人想起著名赌徒的毁灭，但由于存在两个吸收障碍，情况更复杂，其中一个是随着时间推移。让我们表示A≡ x+ 上部固定屏障和B≡ M-δ移动较低的一个（为了便于记谱 ≡ δ- δ和δ≡ δ). 现在我们在小区间（x，x+), （x+, x+2), ..., （A）-, A）与 ≡ /n对于一些n.为了在B之前到达A，作为第一步，必须到达x+ x之前-δ，然后达到x+2 在x+之前 - δ、等等。

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