由此可得出，超调的平均长度等于方向变化阈值[ω（δ；σ）]=δ（43），从而证明了基本的内在定理2.1。C概率的收缩我们证明，假设内在网络上的转移被建模为一个反向马尔可夫链，则在当时维内在网络的转移矩阵W和n的转移矩阵XCW之间存在显式联系- 通过收缩过程获得的一维内在网络。假设网络的当前状态为I（I），我们有兴趣发现向I（I）j状态过渡的可能性。请注意，I（I）K岛属于{I（I）状态-1） 2k，I（I）2k+1}，而岛I（I）是州{I（I）的联盟-1） 2j，I（I）2j+1}。对于mod（k+j，2）=0，从I（I）开始-1） 2k+1系统可以直接转换到I（I-1） 2j+1，概率为P（I（I-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）。另一方面，系统在进入岛I（I）j之前，可以在岛I（I）kb内振荡一次，即从岛I（I）j过渡-1） 2k+1至I（I）-1） 然后回到I（I）-1） 2k+1，在过渡到I（I）2j+1之前，具有概率（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）。同样地，岛I（I）kC内的振荡可以发生k次，然后以概率进入岛I（I）j，P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）k·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1），因此从岛I（I）kb之前过渡到岛I（I）jequalsP（I（I）k的概率→ I（I）j）=∞Xk=0P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）k·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）（44）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）。

（45）对于mod（k+j，2）=1且k>j，系统必须从I（I）进行过渡-1） 2k+1油（i）-1） 2k，在从I（I）岛过渡到I（I）j岛之前，概率为-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j）。同样，如前所述，系统在进入岛I（I）j之前，可以在岛I（I）kb内振荡k次，概率为（I（I-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）k·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j），因此从岛I（I）kb之前过渡到岛I（I）jequalsP（I（I）k的概率→ I（I）j）=∞Xk=0P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）k·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j）（46）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）。（47）类似地，可以证明对于mod（k+j，2）=1和k<j，它可以是shownP（I）k→ I（I）j）=∞Xk=0P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）k·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）（48）=P（I）（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）。（49）D转移概率推导我们将演示第5节中给出的转移概率解析表达式的推导。首先，我们证明了对于三维本征网络，在（3；{δ，δ，δ}；W）三维本征网络和（2；{δ，δ}；cW）收缩本征网络中，δ<δ<δ表示有序的方向变化阈值。

因为收缩的内在网络是二维的，所以我们知道(1, 0) → (1, 1)= E-δ-Δδ，而第4节中给出的3维和收缩2维固有网络之间转移概率的显式解析表达式表明-δ-Δδ=P(1, 1, 0) → (1, 1, 1)1.-1.-P(1, 1, 0) → (1, 1, 1)1.-E-δ-δδ解开我们找到的公式(1, 1, 0) → (1, 1, 1)=E-δ-Δδe-δ-δδ1 -E-δ-δδ1.-E-δ-δδ（50）产生期望的表达。让我们假设该主张适用于n维内禀网络，我们将证明该主张适用于n+1。设δ<···<δn+1为有序方向变化阈值，在（n+1；{δ，…，δn+1}；W）n+1维内禀网络和（n；{δ，…，δn+1}；cW）收缩内禀网络中。由于收缩的内在网络是n维的，以及第4节中给出的n+1-和收缩的n维内在网络之间转移概率的显式解析表达式qn+1k=3e-δk-δk-1δk-11-Pnk=31.-E-δk-δk-1δk-1.Qn+1j=k+1e-δj-δj-1δj-1=P(1, . . . , 1, 0) → (1, . . . , 1, 1)1.-1.-P(1, . . . , 1, 0) → (1, . . . , 1, 1)1.-E-δ-δδ我们发现(1, . . . , 1, 0) → (1, . . . , 1, 1)= （51）Qn+1k=3e-δk-δk-1δk-1·e-δ-δδ1 -Pnk=31.-E-δk-δk-1δk-1.Qn+1j=k+1e-δj-δj-1δj-1.- (1 - E-δ-Δδ）·Qn+1k=3e-δk-δk-1δk-1（52）获得所需的公式。E收敛定理在这一节中，我们在更一般的背景下介绍了关于样本熵收敛的香农-麦克米兰-布里曼定理和相应的中心极限定理（P fiteret al.2001）；让{Xt}t≥1denote一种遍历有限状态过程，产生条件概率序列{At}t≥其中At=P（Xt | Xt-1） H（X）表示过程的熵，而lebhn（X）表示样本熵率，即bHn（X）=-nP（Xn）。（53）定理E.1。

（Shannon-McMillan-Breiman定理）bHn（X）=-nnXt=1log P（Xt | Xt-1) → H（X）（a.s.）（54）定理E.2。（中心极限定理）Iflimt→∞E[(-对数）2+ε]<∞,然后样本熵率服从形式的中心极限定理√NbHn（X）- H（X）→ N（0，σ）。（55）估计的方差σ由σ=R（0）+2给出∞Xτ=1R（τ）（56），其中R（τ）=limt→∞E[(-登录- H（X））(-日志（在-τ) -H（X））]。如果我们也有这个限制→∞E[(-对数）4+ε]<∞然后，我们可以使用（22）的有限截断来估计方差，R（τ）设置为样本自相关brn（τ）=n-τnXt=τ+1- 登录-bHn（X）- 登录-τ-bHn（X）. （57）参考Bauwens，L.和Hautsch，N.（2009）《金融时间序列手册》中的“使用点过程建模金融高频数据”，作者T.G.Anderson等人，953-976。柏林：斯普林比斯。（2013）“2013年4月三年期中央银行调查外汇周转：初步全球结果”货币和经济部。布鲁内梅尔，M.，K.，纳格尔，S.，佩德森。L.，H.（2008）“套利交易和货币崩溃”国家经济研究局工作文件Brunnermeier，M.，K.（2009）“解读2007-2008年的流动性和信贷紧缩”经济展望杂志第23卷，第1期-2009年冬季，pp:77-100Clark，P.K.（1973）“预测价格的有限方差的从属随机过程模型”计量经济学41，pp:135-156Dacorogna，M.M.，R.Gencay，U.A.M¨uller，R.B.Olsen和Picet，O.V.（2001）“高频融资简介”。圣地亚哥（加利福尼亚州）：学术出版社Denbigh，K.（1981）“熵有多主观”，收录于：勒夫，H.S.和雷克斯，A.F.（编辑），麦克斯韦的恶魔，熵，信息，计算，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1990年，第109-115页。T.迪马特奥、T.阿斯特和M.达科罗尼亚。

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