模型不确定性与投资组合下的套利与对偶性

2022-5-5 18:27:04

关于模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。我们研究了资产定价基本定理（FTAP）和离散时间内非支配模型不确定性和投资组合约束下的期权套期保值价格。我们首先证明了无套利成立的充要条件是存在一些概率测度族，如在这些测度下，任何可容许的投资组合价值过程都是局部超鞅。我们还得到了带约束的非支配可选分解。通过这种分解，我们得到了欧式期权超边际价格的对偶性，以及美式期权的次边际价格和超边际价格的对偶性。最后，我们得到了在股票动态交易和期权静态交易的市场中，FTAP和超高价格的对偶性。1.引言我们考虑了[5]的非支配模型确定性框架下的基金资产定价基本定理（FTAP）和欧式和美式期权的套期保值价格，该框架具有离散时间的凸闭投资组合约束。我们首先证明了准确定意义下的无套利等价于一组概率测度的存在；在这些度量下，任何可能的投资组合价值过程都是局部超鞅。然后，我们得到了在投资组合约束下的可选分解的非支配形式。从这个可选分解中，我们得到了欧式和美式期权的超低价和次低价的对偶性。我们还证明了最优超级套期保值策略的存在。

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2022-5-5 18:27:07

最后，利用半静态交易策略（即动态股票交易策略和静态期权交易策略），将d期权引入市场，得到了欧洲期权的FTAP和超套期保值价格的性质。我们的结果将[8，9]中的结果推广到非支配模型不确定性设置，并将[5]中的结果推广到涉及投资组合约束的情况。这些结论足够笼统，足以涵盖许多有所谓delta约束的有趣模型；例如，不允许做空股票，或某些股票在特定时间进入或离开市场。与[8，第9节]相比，我们的设置中的主要困难在于，概率度量集不接受支配性度量。我们使用[5]中开发的可测量选择机制来克服这一困难，即，首先在一个周期内建立FTAP和超边缘结果，然后“可测量”地将所有周期粘合在一起，以获得多个周期版本。因此，获得单周期结果至关重要。在[5]中，引理3。3作为一个基本工具，在一个时期模型、关键词和短语中显示FTAP和超级套期保值结果。资产定价基本定理，次（超）套期保值，模型不确定性，组合约束，可选分解。本版本：2015年1月12日；第一版：2014年2月11日。这项研究部分由国家科学基金会DMS-0955463资助。其证明依赖于对股票数量的归纳和分离超平面的论证。而在我们的设置中，归纳论证和分离论证都不适用于约束的存在。在本文中，我们使用有限覆盖参数来克服约束带来的困难。

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2022-5-5 18:27:10

与[5]的另一个主要区别是证明了在多个周期中存在最优超h边策略，这是定理2.2的直接结果。定理2.2证明中的一个关键步骤是将交易策略修改为“排名”较少但仍给出相同投资组合价值的策略。然而，这种方法在我们的设置中不起作用，因为由于投资组合的限制，修改可能不再被接受。在本文中，我们首先找到期权的最优静态交易策略，然后通过带约束的可选分解找到股票的最优动态交易策略。可选分解也有助于我们得到美式期权的对偶结果。我们在[5]的无套利框架内工作，在该框架中，当存在一个交易策略，其收益在可接受的测度下是准肯定非负且严格正概率的，则称为套利。在这个框架中，我们给出了一个模型，非支配的概率测度集来自于对模型参数的估计。由于对参数的置信区间进行估计，我们最终得到了一组非支配概率测度。还有另一个无套利框架是由Acciaio等人[1]提出的。在这个框架下，如果交易的收益在所有情况下都严格为正，就称为套利。在[1]的框架下，模型的不确定性实际上是模型本身的一部分，该模型的用户对其估计p参数的能力没有信心。

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2022-5-5 18:27:14

[1]的框架和[5]的框架之间的选择是一个建模问题。我们的假设主要包括两部分：（1）相关控制集的闭性和凸性（见假设2.1、3.1、4.1和5.1），以及d（2）一些可测量性假设（见第3.1节的设置和假设3.1和5.1）。第一部分几乎是必要的（参见示例2.2），并且在许多有趣的情况下可以轻松验证（参见示例2.1）。第二部分是对一些相关集合的分析，我们这样做是为了应用可测量的选择结果并执行动态p程序设计原则类型参数。分析性（这是一个比Borel可测性更普遍的可测性概念，因此每个Borel集都是分析性的）是一个基本假设，一个人可以有一个动态规划原理，这又回到了Black well。关于测量理论的标准教科书涵盖了这些概念，参见例[6]。参见[4]了解随机控制理论的应用和其中的参考文献。在第3.3节中，我们为假设3提供了一些通用且易于验证的充分条件。1（iii）和5.1（ii），以及示例3.1和3.2。本文的其余部分组织如下：我们在第2节和第3节分别展示了一个时期和多个时期的FTAP。在第四节中，我们得到了一个时期内的超级套期保值结果。在第5节中，我们提供了具有多阶段约束的非支配可选分解。然后，我们从超高阶和美式期权的多个阶段开始分析。在第7节中，我们将期权加入到市场中，并使用多个时期的半静态交易策略研究FTAP和超级套期保值。

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2022-5-5 18:27:16

最后在附录中，我们给出了引理3.1、3.2、5.1和5.3的证明；这些校样有很多技术细节，可以在一读时安全地跳过。我们将在本节的其余部分介绍本文中常用的符号和概念。1.1. 常用的符号和概念P(Ohm) 表示上所有概率度量的集合(Ohm, B(Ohm)), 哪里Ohm 是一些抛光面，B(Ohm) 表示其Borelσ-代数。P(Ohm) 被赋予了武器会聚的拓扑结构St（ω，·）=St+1（ω，·）- St（ω），ω∈ Ohmt:=Ohmt（t次笛卡尔积）Ohm). 我们可以简单地写当只有一个周期（即t=0）时让P P(Ohmt）。A属性h变为P- q、 s.如果一个d只有当它对任何P持有P-a.s∈ A组∈ Ohm这是P极性if supP∈PP（A）=0.o让P P(Ohm). 支持(S）定义为最小闭子集A 因此s∈ A P- q、 s。。定义n（P）：={H∈ Rd:HS=0，P- q、 s.}和N⊥（P）：=span（支持）(S） ) 第三大道⊥（P） =（N（P））⊥通过[9，引理2.6]。表示N（P）=N（{P}）和N⊥（P）=N⊥（{P}）。o对于H Rd，H（P）：={H:H∈ 普鲁恩⊥（P）（H）}。表示H（P）=H（{P}）。o对于H Rd，CH（P）：={CH:H∈ H（P），c≥ 0}. 表示CH（P）=CH（{P}）。oCH:={CH∈ Rd:H∈ H、 c≥ 0}，其中H 道路o（H·S）t=Pt-1i=0Hi（Si+1- 是的R*:= [-∞, ∞].o || · || 代表欧盟客户标准。oEP | X |：=EP |X+|- EP | X-|, 按照惯例∞ - ∞ = -∞. 同样，条件预期也是在这个扩展意义上定义的（X）是拓扑空间上的随机变量≥ 0便士-q、 L（P）是随机变量X的空间∈政治公众人物∞.表示L+（P）=L+（{P}），和L（P）=L（{P}）。类似的定义适用于L、L+和L∞.

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2022-5-5 18:27:21

当没有歧义时，我们有时会在L+、L等中省略P或P我们说NA（P）成立，如果有H的话∈ H（H·S）T≥ 0，P- q、然后（H·s）T=0，P- q、其中H是股票交易策略的可容许控制集。表示NA（P）f或NA（{P}）。o我们写Q<< P、如果存在P∈ P使得Q<< P.o设（X，G）为可测空间，Y为拓扑空间。从X到Y的幂集的映射Φ用Φ：XY表示。如果{x，我们说Φ是可测量的（分别是可测量的）∈ X：Φ（X）∩ A 6=} ∈ G 封闭（分别为Borel可测量）A Y.（1.1）Φ是闭合的（分别是紧致的），如果Φ（x）为对于所有x，Y是闭合的（分别是紧凑的）∈ X.我们参考[2，第18章]了解这些概念一组随机变量A是P- q、如果（an）n.关闭 A收敛到某个P- q、美国意味着∈ A.o对于Φ：XY，Gr（Φ）：={（X，Y）∈ X×Y:Y∈ Φ（x）}设X为波兰空间。一套 X是解析的，如果它是Borel可测映射下其他波兰空间的Borel子集的图像。函数f:x7→ R*如果集合{f>c}（resp.{f<c}）是解析的，则为上（resp.下）半解析的。“u.s.a.”（resp.“l.s.a.”）是upper（r尤其是lower）半分析的缩写设X为波兰空间。σ-代数∩P∈P（X）B（X）Pis称为B（X）的泛完备，其中B（X）Pis是B（X）的P-完备。一套 X是普遍可测量的ifA∈ ∩P∈P（X）B（X）P.如果f∈ ∩P∈P（X）B（X）P.“u.m.”是“普遍可测量”的缩写设X和Y是一些Borel sp aces和U:XY。那么u是u的u.m.选择器，如果u:x7→ Y就是你。M和u（·）∈ 在{u6=}.2.一个周期的FTAP我们在本节推导了一个周期的FTAP模型。定理2.1是本节的主要结果。2.1. 设置和主要结果。

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2022-5-5 18:27:24

设P是波兰空间上的一组P概率测度Ohm, 假设它是凸的。让我们∈ Rdbe为初始股价，Borel可测量值：Ohm 7.→ Rdbe是t=1时的股价。标志S=S- 让H RDB应该是一套允许的交易策略。我们假设H满足以下条件：假设2.1。CH（P）是（i）凸的，（ii）闭的。例2.1。设H：=Qdi=1[ai，ai]对于某些ai，ai∈ 与人工智能≤哎，我=1，d、对于任何P P(Ohm). 的确，H RDI是一个有界闭凸集，有无数个顶点，H（P）也是如此。因此，生成的锥CH（P）是凸的和闭合的。定义：={Q∈ P(Ohm) : Q<< P、情商|S|<∞ 和EQ[HS]≤ 0, H∈ H} 。以下是本节的主要结果：定理2.1。让假设2.1保持不变。那么NA（P）成立的充要条件是∈ P、存在问题∈ Q占主导地位，第2.2页。定理2.1的证明。让我们首先证明下面的引理，这是定理2.1的简化版本，当P由一个单一概率测度组成时。引理2.1。让P∈ P(Ohm) 假设2.1水资源信托基金持有。那么NA（P）成立，如果且只有i f存在Q~ P，这样EQ|S|<∞ 和EQ[HS]≤ 0，对于任何H∈ H.证据。效率是显而易见的。我们将分两步来证明这一必要性。我们假设|S |<∞ （参见[5，引理3.2]）。第一步：在这一步中，我们将展示K- L+在L中是封闭的，其中K:={HS:H∈ CH（P）}。设Xn=Hns- YnP→ 十、在哪里∈ CH（P）和Yn≥ 0.假设不丧失一般性→ 十、 P-a.s。。如果（Hn）没有界，那么让0<| | Hnk |→ ∞ 而且我们有Hnk | | Hnk||S=Xnk | | Hnk | |+Ynk | Hnk||≥Xnk | | Hnk | |。沿着另一个子序列两边取极限，我们得到Hs≥ 0个P-a.s.有些人∈ Rdwith | | H | |=1。由于CH（P）是闭合的，Hs∈ CH（P）。由NA（P），HS=0 P-a.S.，而H∈ N（P）∩ N⊥（P）={0}。这与| | H | |=1相矛盾。

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2022-5-5 18:27:29

因此，（Hn）是有界的，并且存在一个子序列（Hnj）j收敛于某个H′∈ CH（P）。然后呢≤ Ynj=Hnjs- Xnj→ H′s- X=：Y，P-a.s。。那么X=H′s- Y∈ K- L+。第二步：从第一步，我们知道K′：=（K- L+）∩ L中的一个封闭凸锥，包含-L∞+. 也由NA（P），K′引起∩ L+={0}。然后Kreps-Yan定理（参见[8，Theorem1.61]）暗示了Q的存在~ P与dQ/dP∈ L∞+（P），使得等式[H]S]≤ 0代表anyH∈ H备注2.1。[8，第9章]分析了单一概率测度约束下的FTAP。然而，尽管这个想法很有见地，但结果并不正确：我们需要的是生成的锥CH（P）的封闭性，而不是H（P）的封闭性。（从这个意义上讲，我们的结果不同于[7]；在[7]中，重要的是相应投影的接近性。）下面是[8，定理9.9]的反例。例2.2。考虑单周期模型：有两个股票，路径空间为{（1，1）}×{（s，0）：s∈ [1, 2]}; letH:={（h，h）：h+（h）- 1)≤ 1}.成为一套可接受的交易策略；设P是在[1,2]上均匀分布的路径空间上的概率测度。很容易看出，NA（P）成立，d H满足[8，第350页]中的假设（a）、（b）和（c）。L et H=（H，H）使HS=0，P-a.S.然后h（S-1） =h，P-a.s.，这意味着h=h=0。根据[8，备注9.1]，H也满足了[8，第350页]中的假设（d）。假设[8，定理9.9]成立，那么存在Q~ P，使得eq[HS]≤ 0, H∈ H.（2.1）自Q~ P、情商- 1) > 0. 拿（h，h）∈ H，H>0，H/H<EQ（S- 1). 然后呢- 1) - h> 0，这与（2.1）相矛盾。在f act中，不难看出，在这个例子中，CH（P）={（h，h）：h>0或h=h=0}不是闭合的。引理2.2。假设2.1（i）成立。然后存在P′∈ P、以至于⊥（P′）=N⊥（P） NA（P′）成立。证据

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nandehutu2022

2022-5-5 18:27:33

表示H:={H∈ CH（P）：|H | |=1}。不管怎样∈ H N⊥（P），由NA（P）可知，存在SPH∈ P、使PH（HS<0）>0。可以进一步说明，存在εH>0，因此对于任何H′∈ B（H，εH），PH（H′）S<0）>0，（2.2），其中B（H，εH）：={H′∈ Rd:| | H\'\'- H | |<εH}。结果表明，存在一些δ>0，使得pH（HS<-δ) > 0. 当存在一些M>0时，PH（HS<-δ, ||S | |<M）>0。取εH:=δ/M，我们对任何H′都有∈ B（H，εH），PH（H′）S<0||S | |<M）>0，而黑猩猩（2.2）。因为 ∪H∈HB（H，εH）和H是紧的，从假设2.1来看，存在H的有限覆盖，即H ∪ni=1B（Hi，εHi）。设P′=Pni=1aiPHi，其中Pni=1ai=1，ai>0，i=1，n、然后是P′∈ P、和P′（H对于任何H，S<0）>0∈ H.显然，N⊥（P′） N⊥（P）。I f N⊥（P′）=N⊥（P），然后让P′=P′。否则，以H为例∈N⊥（P）∩ N（P′）。然后就有了R∈ P、使得R（H）s6=0）>0。设R′=（P′+R）/2。然后是P′<< R′∈ P、因此N⊥（R′） N⊥（P′）。自从H∈ N（P′）\\N（R′），我们有⊥（R′）%N⊥（P′）。如果N⊥（R′）$N⊥（P），然后我们可以类似地构造R′∈ P、就这样>> R′和N⊥（R′）%N⊥（R′）。自从⊥（P）是一个有限维向量空间，经过这些步骤，我们可以找到这样的P′∈ P支配P′和N⊥（P′）=N⊥（P）。不管怎样∈ H、 P′（H）自P′起S<0）>0>> P′。NA（P′）持有的这个小鬼谎言。定理2.1的证明。效率。如果没有，就存在H∈ H和P∈ P、那么s≥0，P- a、 s.和P（H）S>0）>0。以Q为例∈ Q和Q>> P然后EQ[HS]≤ 0，这与H相矛盾s≥ 0 Q- a、 s.和Q（H）S>0）>0。必然性以P为例∈ 通过引理2.2，存在P′∈ P以至于N⊥（P′）=N⊥（P）安德娜（P′）坚持。设R:=（P+P′）/2∈ P.然后N⊥（R） =N⊥（P′）=N⊥（P），因此CH（R）=CH（P），它是凸的，根据假设2.1是封闭的。此外，NA（P′）意味着对于anyH∈ CH（R）\\{0}=CH（P′）\\{0}，P′（H）S<0）>0，因此R（H自R起S<0）>0>> P′\'。这表明NA（R）成立。

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2022-5-5 18:27:37

从Lemm a 2.1来看，存在Q~ R>> P，这样EQ|S |<∞和EQ[HS]≤ 0表示任何H∈ H3.多周期FTAP我们在本节推导了多周期FTAP，定理3.1是我们的主要结果。我们将把它简化为一步问题，并应用定理2.1.3.1。设置和主要结果。我们使用[5]中的设置。让我们∈ N成为时间的地平线，让Ohm 做一个波兰人的空间。对于t∈ {0，1，…，T}，让Ohmt:=Ohmt倍笛卡尔积，按照惯例Ohm她是单身汉。我们用ftb表示B的普遍完成(Ohmt），我们将经常请客Ohmtas是OhmT.每T∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、我们给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm) 概率测度。这里，Pt代表第t周期的可能模型，给定时间t时的状态ω。我们假设，对于每个t，Ptis解析图为e，这通过扬科夫-冯-诺依曼定理（参见[4，P位置7.49]）确保Pt接受u.m.选民，即u.m.核Pt：OhmT→ P(Ohm) 使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ohmt、 LetP:={P . . . PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，其中每个PTI都是Pt的u.m.选择器 . . . PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。P（dω），A∈ OhmT.设St=（St，…，Sdt）：OhmT→ Rdbe Borel Measured，代表astock S在t时的价格，可以在市场上动态交易。每个t∈ {0，…，T-1} ω∈ Ohmt、我们得到一个集Ht（ω） Rd，被认为是第t个周期的容许控制集，给定时间t的状态ω。我们假设对于每个t，图（Ht）是解析的，因此允许一个u.m.选择器；也就是说，Ft可测量函数Ht（·）：Ohmt7→ Rd，使得Ht（ω）∈ Ht（ω）。我们引入了一组可允许的投资组合控制H:H:=n（Ht）T-1t=0:Ht是Ht的u.m.选择器，t=0，T- 1o。那么对于任何H∈ H、 H是一个ad-ap-ted过程。

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2022-5-5 18:27:40

我们根据H.假设3.1做出以下假设。（i） 0∈ Ht（ω），对于ω∈ Ohmt、 t=0，T- 1.（ii）对于ω，CHt（ω）（Pt（ω））是闭的和凸的∈ Ohmt、 t=0，T- 1.（iii）集合ψHt:={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞ 和EQ[ySt（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω）}是解析的，对于t=0，T- 1.定义：={Q∈ P(OhmT）：Q<< P、情商[|圣| |英尺]<∞ Q-a.s.t=0，T- 1，H·S是一个Q-局部-超鞅H∈ H} 。（3.1）以下是本节的主要定理：定理3.1。在假设3.1下，NA（P）成立的当且仅当f或每个P∈ P、这里有stsQ∈ Q支配P。为了不给读者带来更多的负担，我们倾向于在单周期模型和多周期模型中对概率测度集使用相同的符号P。我们将对本文后面出现的其他概率度量集以及可接受策略集进行同样的处理。3.2. 定理3.1的证明。我们将首先提供一些辅助结果。下面的引理本质上说，如果在T个周期内没有套利，那么在任何一个周期内都没有套利。它与[5，引理4.6]平行。我们的证据将主要集中在由于约束的存在而产生的差异上，我们在附录中给出了证据。引理3.1。勒特∈ {0，…，T- 1}. 那么setNt：={ω∈ Ohmt:NA（Pt（ω））失效}（3.2）是μm，如果假设3.1（i）和NA（P）保持不变，则Ntis P极性。下面的引理是定理2.1的一个可测版本。它与[5，引理4.8]平行。我们在附录中提供证据。引理3.2。勒特∈ {0，…，T- 1} ，设P（·）：Ohmt7→ P(Ohm) 做博雷尔，让Qt：OhmtP(Ohm),Qt（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pt（ω），EQ|St（ω，·）|<∞, 等式[y]St（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω）}。如果假设3.1（ii）（iii）成立，那么QT有一个解析g图，并且存在u.m。

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2022-5-5 18:27:45

mappingsQ（·），^P（·）：OhmT→ P(Ohm) 这样的p（ω）<< Q（ω）<<^P（ω）表示所有ω∈ Ohmt、 ^P（ω）∈ Pt（ω）如果P（ω）∈ Pt（ω），Q（ω）∈ Qt（ω）如果NA（Pt（ω））保持，P（ω）∈ Pt（ω）。定理3.1的证明。使用引理3.1和d 3.2，我们可以执行Bouchard和Nutz在[5，定理4.5]的证明中使用的相同粘合参数，因此我们在这里省略它。3.3. 假设3.1（iii）的充分条件。根据[4，命题7.47]，映射（ω，Q）7→supy∈Ht（ω）EQ[ySt（ω，·）]是u.s.a.，这并不一定意味着ψh的解析性，因为解析集的completion可能无法解析。因此，我们为下面的假设3.1（iii）提供了一些充分条件。定义3.1。我们称之为Ht：OhmtRda Ht的拉伸，如果有ω∈ Ohmt、 CHt（ω）=CHt（ω）。很容易看出，对于Ht的任何拉伸，ψHt=ψHt={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]≤ 0}.因此，为了说明ψHt是解析的，必须说明存在Ht的拉伸，因此映射φHt：Ohmt×P(Ohm) 7.→ R*νHt（ω，Q）=supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]（3.3）是J:={（ω，Q）上的l.s.a∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞}.提议3.1。如果存在具有非空紧值的可测量（w.r.t.B（Rd））拉伸Htof Ht，则φHt是Borel可测量的，因此ψHt是Borel可测量的。证据结论直接来自[2，定理18.19]。提议3.2。如果存在一个图的拉伸，则满足（i）图（Ht）是Borel可测的，（ii）存在一个可数集（yn）n Rd，对于任何ω∈ Ohm坦迪∈ Ht（ω），存在（ynk）k （yn）n∩ Ht收敛到y，然后φHt是Borel可测量的，因此ψHt是Borel可测量的。证据定义函数φ：Rd×J 7→ R*,φ（y，ω，Q）=（yEQ）[St（ω，·）]如果y∈ Ht（ω），-∞ 否则通过单调类参数可以证明φ是Borel可测的。那么函数是φ：J 7→ R~n（ω，Q）=supnφ（yn，ω，Q）是Borel可测的。还有一点需要说明的是ψ=νHt。

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2022-5-5 18:27:48

很容易看出≥ Ht。相反，取（ω，Q）∈ J那么φ（yn，ω，Q）=ynEQ[S（ω，·）]≤ νHt（ω，Q）如果yn∈ Ht（ω）和φ（yn，ω，Q）=-∞ < νHt（ω，Q）如果yn/∈ Ht（ω）；i、 e.，φ（ω，Q）=supnφ（yn，ω，Q）≤ νHt（ω，Q）。例3.1。让美国在台协会，美国在台协会：Ohmt7→ R是可测量的，当ait<ait，i=1，d、 LetHt（ω）=dYi=1[ait（ω），ait（ω）]，ω∈ Ohmt、那么，命题3.1和3.2都适用于Ht=Htand（yn）n=Qd。例3.2。设d=1，对于任何ω∈ Ohmt、 Ht（ω） (0, ∞). 我们假设图（Ht）是解析的，但不是Borel。那么HTC本身不满足第3.1或3.2条中的假设。现在让Ht（ω）=[1,2]，ω∈ Ohmt、当Ht是Ht的延伸，Ht满足命题3.1和3.2中的假设，其中（yn）n=Q.4。一个时期内的超级套期保值4。1.设置和主要结果。我们使用第2节中的设置。设f为u.m.函数。定义超级套期保值损益πP（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+H·s≥ f、 P- q、美国。我们还表示πP（f）=π{P}（f）。我们进一步假设：假设4.1。H（P）是凸闭的。备注4.1。很容易看出，如果H（P）是凸的，那么CH（P）是凸的。定义：={Q∈ P(Ohm) : Q<< P、情商|S |<∞, AQ:=supH∈HEQ[HS] <∞}.以下是本节的主要结果。定理4.1。假设2.1（ii）和4.1以及NA（P）成立。那么πP（f）=supQ∈Q（等式[f]- AQ）。（4.1）此外，πP（f）>-∞ 而且还有H∈ 使得πP（f）+Hs≥ f P- q、 s..4.2。定理4.1的证明。我们首先提供两个引理。引理4.1。勒特纳（P）等一下。如果H（P）和CH（P）是闭合的，那么πP（f）=supP∈PπP（f）。证据很容易看出πP（f）≥ s upP∈PπP（f）。我们将证明逆不等式。如果πP（f）>supP∈PπP（f），则存在ε>0，因此α：=πP（f）∧ε- ε>支持∈PπP（f）。（4.2）引理2.2证明存在P′∈ P、以至于⊥（P′）=N⊥（P） NA（P′）成立。此外，我们还有setAα：={H∈ H（P）：α+Hs≥ f、 P′\'- a、美国很紧凑。

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2022-5-5 18:27:51

为了证明这一说法，采取（Hn）n Aα。如果（Hn）没有界，则w.l.o.g.weassume 0<| | Hn |→ ∞; 然后是α| | Hn | |+Hn |Hn||s≥f | | Hn | |。（4.3）由于CH（P）是闭合的，因此存在一些H∈ CH（P）=CH（P′）和| | H | | | | 1使得Hnk/| | Hnk |→H.沿着（nk）k取极限，我们有Hs≥ 0p′-a.s.NA（P′）意味着HS=0 P′-a.S.So H∈ CH（P′）∩ N（P′）=0，这与| | H | |=1相矛盾。因此（Hn）是有界的，并且存在H′∈ Rd，这样（Hnj）j→ H′\'。因为H（P）是封闭的，所以H′是封闭的∈ H（P），这进一步意味着∈ Aα。不管怎样∈ Aα，由于α<πP（f）乘以（4.2），因此存在PH∈ P使得ph（α+HS<f）>0。进一步证明了存在δH>0，因此对于任何H′∈ B（H，δH），PH（α+H′）S<f）>0。从Aα开始 ∪H∈AαB（H，δH）和Aα是紧的，存在（Hi）ni=1 Aα，这样Aα∪ni=1B（Hi，δHi）。LetP′：=nXi=1aiPHi+aP′的∈ P、其中Pni=0ai=1且ai>0，i=0，n、那么很容易看出，对于任何H∈ H（P）=H（P′）=H（P′），P′（α+H）S<f）>0，这意味着α≤ πP′（f）≤ 晚餐∈PπP（f），与（4.2）相矛盾。引理4.2。勒特纳（P）等一下。如果H（P）和CH（P）是闭合的，那么setK（P）：={Hs- X:H∈ H、 X∈ L+（P）}（4.4）是P- q、美国关门了。证据设Wn=Hns- Xn∈ K（P）→ W P- q、 w.l.o.g.Hn所在的美国∈ H（P）和Xn∈L+（P），n=1，2。如果（Hn）没有界，那么在不丧失一般性的情况下，0<| | Hn |→ ∞.考虑因素n | | Hn | |=Hn | | Hn||s-Xn | | Hn | |。（4.5）当（Hn/| | Hn | | |）是有界的时，存在一些子序列（Hnk/| | | Hnk | | |）k向某个方向移动∈ Rdwith | | H | |=1。取（4.5）中的极限，沿着（nk）k，我们得到Hs≥ 0便士- q、 s。。因为（Hnk/| | Hnk | |）k∈ CH（P）和CH（P）是闭合的，H∈ CH（P）。因此HS=0 P- q、拜纳（P）。然后H∈ 总经理（P）∩ N（P）={0}，这与| | H | |=1相矛盾。因此，（Hn）是有界的，并且存在一些子空间（Hnj）jconverting to someH′∈ 因为H（P）是闭合的，所以H′∈ H（P）。设X:=H′s-W∈ L+（P），那么W=H′s-十、∈K（P）。

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2022-5-5 18:27:54

定理4.1的证明。我们首先证明πP（f）>-∞ 存在最优超套期保值策略。如果πP（f）=∞ 那我们就完了。如果πP（f）=-∞, 那么对于任何n∈ N、存在Hn∈ 许志丹s≥ f+n≥ （f+n）∧ 1，P- q、 s。根据引理4.2，存在一些H∈ H以至于s≥ 1便士- q、美国，我的合同不适用（P）。如果πP（f）∈ (-∞, ∞), 那么对于任何n∈ N、存在一些Hn∈ H、因此πP（f）+1/n+~Hns≥f、 Lemm a 4.2 im表示存在一些H∈ H、使得πP（f）+Hs≥ F通过引理4.1，πP（f）=supP∈PπP（f）=supQ∈QπQ（f）=supQ∈QsupQ′∈Q、 Q′~Q（EQ′[f]- AQ′）≤ supQ∈Q（等式[f]- AQ]），（4.6），其中我们将定理2.1应用于第二等式，并将[8，命题9.23]应用于第三等式。反之，如果πP（f）=∞, 那我们就完了。否则，设x>πP（f），则存在H∈ H、这样x+Hs≥ f P- q、 s。。然后是f或任意Q∈ Q、 x≥ 等式[f]- 等式[H]S]≥ 等式[f]- AQ。通过x和Q的任意性，我们得到了πP（f）≥ supQ∈Q（等式[f]- AQ），与（4.6）一起表示（4.1）。5.多个周期的可选分解5。1.设置和主要结果。我们使用第3节中的设置。此外，让f：OhmT7→R为美国。我们进一步假设：假设5.1。（i）对于t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、（Ht（ω））（Pt（ω））是凸的且c是闭的；（ii）在（ω，Q）处的映射：Ohmt×P(Ohm) 7.→ R*,At（ω，Q）=supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]是集合{（ω，Q）：EQ上的l.s.a|St（ω，·）|<∞}.备注5.1。观察假设3.1中定义的ψHt满足ψHt={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, At（ω，Q）≤ 0}. （5.1）因此，假设5.1（ii）意味着假设3.1（iii）。备注5.2。如果提案3.1或3.2在Ht=Ht的情况下成立，那么由于At=аHt（аHt在（3.3）中定义），假设5.1（ii）成立。参见示例3.1，了解适用的情况。任何问题∈ P(OhmT），有Borel内核：Ohmt7→ P(Ohm) 这样Q=Q . . .

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2022-5-5 18:27:59

QT-1.对于EQ[|圣| |英尺]<∞ Q-a.s.，定义AQt（·）：=At（·，Qt（·））对于t=0，T- 1，且bqt：=t-1Xi=0AQi，t=1，并设置BQ=0。LetQ:={Q∈ P(OhmT）：Q<< P、情商[|圣| |英尺]<∞ 所有t和BQT的Q-a.s.<∞ 答：}。那么，不难看出Q Q、当eq在（3.1）中定义时。如果每个t∈{0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 Ht（ω）是一个凸锥，那么Q=Q。下面是本节的主要结果。定理5.1。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。假设V是一个经过调整的过程，使得vt是t=1的u.s.a，T那么以下是等价的：（i）V- bq是每个Q的Q-局部超鞅∈ Q.（ii）存在H∈ H和一个C=0的自适应递增过程C，使得VT=V+（H·S）t- Ct，P- q、一个严格的论点如下。设Q=Q . . . QT-1.∈ Q、其中QT是Borel核，0≤ T≤ T- 1.可以用单调类变元表示映射（ω，y，Q′）7→ 是的[S（ω，·）]是（ω，y，Q′）的Borel可测∈ Ohmt×Rd×P(Ohm). 映射（ω，y）7→ yEQt（ω）[S（ω，·）]是（ω，y）的Borel可测值∈ Ohmt×Rd.由于图（Ht）是解析的，根据[4，命题7.50]，存在一个u.m.选择器Hnt（·）∈ Ht（·），比如aqt（ω）∧ N- 1/n≤ Hnt（ω）EQt（ω）[St（ω，·）]≤ 0，对于Q-a.s.ω∈ Ohmt、其中第二个不等式来自Hn·S的局部上鞅性质，其中Hn=（0，…，0，Hnt，0…，0）∈ H.发送→ ∞ 我们得到了AQt≤ 0 Q-a.s.对于t=0，T- 1，因此Q∈ 问题5.2。定理5.1的证明。我们首先提供三个引理来证明定理5.1。Weshall证明了附录中的引理5.1和5.3。引理5.1。Le t假设5.1（i）保持，并定义Qt：OhmtP(Ohm) byQt（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pt（ω），EQ|St（ω，·）|<∞, At（ω，Q）<∞}. （5.2）那么QT有一个解析图。下面的引理是定理4.1的可测版本，与[5，引理4.10]平行。

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2022-5-5 18:28:02

给定定理4.1，这个引理的证明完全遵循[5，引理4.10]的论点，因此我们在这里省略它。引理5.2。Le t NA（P）和假设5.1成立，让t∈ {0，…，T-1} 和^f：Ohmt×Ohm 7.→ R*是美国。。ThenEt（^f）：Ohmt7→ R*, Et（^f）（ω）：=supQ∈Qt（ω）（等式[^f（ω，·）]- At（ω，Q））是美国。。此外，还存在一个u.m.函数y（·）：Ohmt7→ RDY（·）∈ Ht（·），例如et（^f）（ω）+y（ω）St（ω，·）≥^f（ω，·）Pt（ω）- q、 s.所有ω∈ OhmNA（Pt（ω））持有的tsuch和^f（ω，·）>-∞ Pt（ω）- q、 s。。引理5.3。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。回顾（5.2）中定义的QT。我们有这个问题=Q . . . QT-1:Qt（·）是Qt的u.m.选择器，t=0，T- 1..定理5.1的证明。（二）==> （i）：对于任何问题∈ Q、 Vt+1=Vt+Ht圣- （CQt+1）- CQt）≤ Vt+Ht圣，Q-a.s。。因此，等式[Vt+1 | Ft]≤ Vt+HtEQ[圣|英尺]≤ Vt+AQt=Vt+BQt+1- BQt，即等式[Vt+1- BQt+1 |英尺]≤ 及物动词- BQt。（一）==> （ii）：我们将首先展示thatEt（Vt+1）≤ Vt，P- q、 s.（5.3）设q=q . . . QT-1.∈ Q和ε>0。映射（ω，Q）→ 等式[Vt+1（ω，·）]- 在（ω，Q）isu。s、答：图（Qt）是解析的。因此，根据[4，命题7.50]，存在一个u.m.选择器qεt：Ohmt7→ P(Ohm), 使得Qεt（·）∈ 在{Qt6=} （其补码是Q-零集），andEQεt（·）[Vt+1]- 在（·，Qεt（·））≥ Et（Vt+1）∧ε- ε、 Q-a.s.defineQ′=Q . . . Qt-1. Qεt Qt+1 QT-1.然后是Q′∈ 引理5.3。因此，EQ′[Vt+1- BQ′t+1 |英尺]≤ 及物动词- Q′t，Q′-a.s.注意到Q=Q′开启Ohmt、我们有≥ 等式′[Vt+1|Ft]- AQ′t=EQεt（·）[Vt+1]- 在（·，Qεt（·））≥ Et（Vt+1）∧ε- ε、问题a.s。。根据ε和Q的任意性，我们得到了（5.3）个等式。根据引理5.2，存在一个u.m.函数Ht：Ohmt7→ rdet（Vt+1）（ω）+Ht（ω）St+1（ω，·）≥ Vt+1（ω，·）Pt（ω）- q、 ω的s∈ Ohmt\\n。富宾定理和（5.3）重要的vt+Ht圣≥ Vt+1P- q、 s。。最后，通过定义Ct:=V+（H·S）t- 结论如下。6.在多个周期内对冲欧洲和美国期权6。1.

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2022-5-5 18:28:05

对冲欧洲期权。让f：OhmT7→ R是美国的一项职能，代表欧洲期权的支付效果。定义超级套期保值价格π（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）t≥ f、 P- q、美国。定理6.1。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。然后，超级套期保值价格由π（f）=supQ给出∈Q等式[f]- EQ[BQT]. （6.1）此外，π（f）>- ∞ 还有xi sts H∈ H、使得π（f）+（H·S）T≥ f P- q、 s。。证据很容易看出π（f）≥ supQ∈Q（等式[f]- EQ[BQT]）。我们将展示反向不等式。定义VT=f和VT=Et（VT+1），t=0，T- 1.然后Vtis u.s.a.用引理5.2表示t=1，T很容易看出这一点- BQt）这是每个Q的Q-局部超鞅∈ 根据定理5.1，存在H∈ H、这样v+（H·S）T≥ VT=f，P- q、 s.V≥ π（f）。这仍然需要证明V≤ supQ∈Q等式[f]- EQ[BQT]. （6.2）首先假设f从上方有界。然后通过[4，命题7.50]，引理5.1和引理5.2，我们可以选择一个u.m。ε优化器Qεt用于每个时间段。定义Qε：=Qε . . . QεT-1.∈ Q、 V=Eo . . . o ET-1（f）≤ 等式ε[f- BQεT]+Tε≤ supQ∈QEQ[f- BQT]+Tε，这意味着（6.2）。一般来说，f是任何u.s.a.函数。然后我们有了o . . . o ET-1（f）∧ n）≤ supQ∈Q等式[f]∧ n]- EQ[BQT].显然，上面右手边的极限是su pQ∈Q等式[f]- EQ[BQT]. 得出结论，左手边的极限是Eo. . . o ET-1（f），必须显示任何t的∈ {0，…，T- 1} 和Ft+1-可测函数vnv，γ：=supnEt（vn）=Et（v），P- q、 s。。的确，对于ω∈ Ohmt\\Nt，根据定理4.1 vn（ω）- γ(ω) ∈ K（P（ω）），其中n和K（·）分别定义在（3.2）和（4.4）中。因为K（P（ω））被引理4.2封闭，所以v（ω）- γ(ω) ∈ K（P（ω）），这意味着γ（ω）≥ Et（v）（ω）根据定理4.1。最后，使用反向导入，我们可以显示Vt>-∞ P- q、 s.，t=0，T- 1.根据Emma 3.1和定理4.1。特别地，π（f）=V>-∞.

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2022-5-5 18:28:09

推论6.1。假设5.1和NA（P）成立。假设对于任何t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 Ht（ω）是一个包含原点的凸锥。那么π（f）=supQ∈QEQ[f]。证据这是从（5.1）得出的，对于任何Q，Q=Q和BQT=0∈ Q6.2. 对冲美国期权。在这一小节中，我们考虑了美国选项的ub和super-hed价格。[3]中分析了相同的问题，但没有投资组合约束。这里的分析基本上是一样的，所以我们只提供结果和他们的主要想法。有关更多详细信息和讨论，请参见[3]。对于t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、定义（ω）：={Qt（ω） . . . QT-1（ω，·）：Qi是Qi的u.m.选择器，i=t，T- 1}.特别是Q=Q。假设图（Qt）是解析的。设T为原始过滤（B）的停止时间集(Ohmt））t，让Tt T是一组不少于T的停车时间。让f=（ft）T为美式期权的收益。假设英国《金融时报》∈ B(Ohmt），t=1，T和fτ∈ 任意τ的L（Q）∈ T和Q∈ Q.确定次级套期保值价格：π（f）：=sup{x:（H，τ）∈ H×T，s.T.fτ+（H·s）τ≥ x、 P- q、超级套期保值价格：π（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T}。提议6.1。（i）次级套期保值价格由π（f）=supτ给出∈TinfQ∈QEQ[fτ+BQT]。（6.3）（ii）对于t∈ {1，…，T- 1} ，假设映射φt：Ohmt×P(OhmT-t）七,→ R*, φt（ω，Q）=supτ∈TtEQ“fτ（ω，·）-τ -1Xi=tAQi（ω，·）#是u.s.a.那么π（f）=supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- BQτ]，（6.4），存在H∈ H、使得π（f）+（H·S）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T证据（i）我们首先证明π（f）=sup{x：（H，τ）∈ H×T，s.T.fτ+（H·s）T≥ x、 P- q、 s.}=：β。对于任何x<π（f），都存在（H，τ）∈ H×T，使得fτ+（H·S）τ≥ x P- q、 s。。定义：=（Ht{t<τ}）t.对于t=0。

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2022-5-5 18:28:12

T- 1，因为{t<τ}∈ B(Ohmt），H′t（·）是u.m。；此外，H′t（·）等于Ht（·）∈ Ht（·）或0∈ Ht（·）。因此H′∈ H.然后fτ+（H′·S）T=fτ+（H·S）τ≥ x P- q、 s，这意味着x≤ β、因此π（f）≤ β.相反，对于x<β，存在（H，τ）∈ H×T，使得fτ+（H·S）T≥ x P- q、那么我们也有fτ+（H·s）τ≥ x P- q、 s。。为了了解这一点，让我们定义D:={fτ+（H·S）τ<x}和H′：=（Ht{t≥τ}∩D） t∈ 我们得到（H′·S）T=[（H·S）T- （H·S）τ]1D≥ 0便士- q、 s.，和（H′·s）T>0p- q、在D.NA（P）上的s意味着D是P极的。因此x≤ π（f），因此是β≤ π（f）。可以看出π（f）=β=supτ∈Tsup{x:H∈ H:fτ+（H·S）T≥ x、 P- q、 s.}=su pτ∈TinfQ∈QEQ[fτ+BQT]，其中我们对上述最后一个等式应用定理6.1。（ii）定义：Ohmt7→ R*, Vt=supQ∈Qtsupτ∈TtEQ“fτ（ω，·）-τ -1Xi=tAQi（ω，·）#。可在Vtis u.s.a.显示t=1，T和（Vt）- BQt）这是eachQ的超级艺术风∈ Q.根据定理5.1，存在H∈ H使得v+（H·S）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T因此，supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- BQτ]=V≤π（f）。相反的不平等很容易看到。备注6.1。在（6.3）和（6.4）中，惩罚术语分别为BQ和BQτ。事实上，与上面（i）中的论点类似，我们可以证明^π（f）：=inf{x：τ ∈ TH∈ H，s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s.}=supτ∈Tinf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s.}=supτ∈Tinf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）t≥ fτ，P- q、 s.}（6.5）=supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- 虽然提前知道π和π并不意味着提前知道π。^π（f）在数学上和财务上都是有意义的≤ π（f）。然而，有趣的是，当bq消失时（例如，当Ht（·）是一个圆锥体时），那么^π（f）=π（f）。

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2022-5-5 18:28:15

FTAP和带期权的多期超级套期保值让我们使用第3节中的设置。另外，设g=（g，…，ge）：OhmT7→ Rebe Borelmeasureable，每个GI都被视为一个期权，在t=0时，ich可以且只能在没有限制的情况下进行交易。在不丧失普遍性的情况下，我们假设每个选项的价格为0。在本节中，我们说NA（P）golds if for any（H，H）∈ H×Re，（H·S）T+hg≥ 0便士- q、美国==> （H·S）T+hg=0 P- q、 s。。显然，NA（P）是NA（P）的结合体。定义7.1。f:OhmT7→ 如果存在x，R是可复制的（通过股票和期权）∈ R、 h∈雷恩·H∈ H、 x+（H·S）T+hg=f或x+（H·S）T+hg=-f、 LetQg:={Q∈ Q}=0:g。以下是本节的主要结果：定理7.1。推论6.1中的假设成立。还假设gi不可通过Stocks和其他选项复制∈ L（Q），i=1，e、然后我们有以下内容。（i） NA（P）g对每一个P都有充要条件∈ P、存在Q∈ qg主导P。（ii）让NA（P）golds。让f：OhmT7→ R是可测量的，因此f∈ L（Q）。那么π（f）：=inf{x∈ R:（H，H）∈ H×Res.t.x+（H·S）t+hg≥ f、 P- q、 s.}=supQ∈QgEQ[f]。（7.1）此外，存在（H，H）∈ H×Re，表示π（f）+（H·S）T+hg≥ f P- q、 s。。（iii）另外假设H=-H.让NA（P）ghold和f：OhmT7→ 可测量的满足感∈ L（Qg）。那么以下是等价的：（a）f是可复制的；（b） q7的映射→ EQ[f]是Qg上的常数；（c）尽管如此，P∈ P存在Q∈ Qgsuch that P<< Q和EQ[f]=π（f）。此外，市场是完全的，而且只有当Qgis是一个独生子女时。证据我们首先在（ii）中证明了最优超级套期保值策略的存在。它可以表示为π（f）=infh∈Reinf{x∈ R:H∈ H.s.t。

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2022-5-5 18:28:19

x+（H·S）T≥ F- 汞，磷- q、 s.}=infh∈ResupQ∈QEQ[f- hg]，即对于任何Borel可测函数f：OhmT7→ R满足f∈ Lg（Q），f是可复制的。我们将推论6.1应用于上述第二个等式。我们声称0是凸集i的相对内点：={EQ[g]：Q∈ Q} 。如果没有，那么就存在一些h∈ 重新布线h 6=0，使等式[hg]≤ 任何Q都是0∈ Q.然后使用S，π（hg），满意度π（hg）计算hg的超级套期保值价格≤ 0乘以推论6.1。因此，根据定理6.1，存在H∈ H、使（H·S）T≥ 汞磷- Qs当汞的价格为0时，NA（P）乘以（H·S）T- hg=0 P- q、这与每个GIS和其他选项无法复制的假设相矛盾，ash 6=0。因此，我们证明了0是定义φ：Re7的一个相关内点→ R、 φ（h）=supQ∈QEQ[f- hg]，观察π（f）=infh∈Reφ（h）=infh∈跨度（I）φ（h）。现在我们将证明存在一个紧集K span（I），求π（f）=infh∈Kφ（h）。（7.2）为了做到这一点，我们将证明，对于特定球外的任何h，都满足φ（h）≥ φ（0），这证明了索赔。现在，因为0是I的相对内点，所以存在γ>0，这样bγ：={v∈ 跨度（I）：| | v | |≤ γ} I.考虑球K:={h∈ 跨度（I）：|h |≤ 2 supQ∈QEQ | f |/γ}。那么对于任何h∈ span（I）\\K，存在Q∈ 问：这样吗-hEQ[g]>2 supQ∈QEQ | f |（选择Q s.t.等式[g]处于相同的方向-h位于B（γ）的圆周上。这意味着φ（h）≥ supQ∈量化宽松[-汞]- supQ∈QEQ | f |>supQ∈QEQ | f |=φ（0）。因为这样的h是次优的，所以π（f）=infh∈Kφ（h）。另一方面，观察|φ（h）- φ（h′）|≤ supQ∈Q | EQ[f- 汞]- 等式[f]- h′g]|≤ supQ∈QE |（h）- h′）g|≤ ||H- h′| | supQ∈QEQ[| | g | |]，即φ是连续的（实际上是Lipschitz）。因此存在一些h*∈ K Re，使得π（f）=infh∈ResupQ∈QEQ[f-hg]=supQ∈QEQ[f-H*g] =inf{x∈ R:H∈ H.s.t。

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nandehutu2022

2022-5-5 18:28:23

x+H·S≥ F-H*g、 P-q、美国。然后到T heorem 6.1存在H*∈ H、使得π（f）+（H*· S） T≥ F- H*GP- q、 s。。接下来，让我们通过归纳法同时证明（i）和（7.1）。对于e=0，（i）和（7.1）holdby定理2.1和推论6.1。假设e=k（i）和（7.1）保持不变，我们考虑e=k+1。我们首先考虑（i）。设πk（gk+1）为gk+1使用股票和期权g′=（g，…，gk）的超级套期保值价格。通过归纳假设，我们得到πk（gk+1）=supQ∈Qg′EQ[gk+1]。回想一下，gk+1的价格是0。然后NA（P）gimpliesπk（gk+1）≥ 如果πk（gk+1）=0，则存在（H，H）∈ H×Rk，s等于（H·s）T+hg′- gk+1≥ 0便士- q、 s。。然后用NA（P）g，（H·S）T+hg′法- gk+1=0，P- q、这与gk+1不能被s和g′复制的假设相矛盾。因此，πk（gk+1）>0。类似πk(-gk+1）>0。这样我们就有了∈Qg′EQ[gk+1]<0<supQ∈Qg′EQ[gk+1]。然后存在Q-, Q+∈ Qg′satisfyingEQ-[gk+1]<0<EQ+[gk+1]。（7.3）那么对于任何P∈ P、让Q∈ Qg′支配P。LetQ′：=λ-Q-+ λQ+λ+Q+。通过选择合适的λ-, λ、 λ+>0和λ-+ λ+λ+=1，我们有P<< Q′∈ 其中，g=g。接下来考虑（ii）中的（7.1）。当使用S和g′时表示超级套期保值价格πk（·），当使用S和g′时表示超级套期保值价格π（·），这与（7.1）中的定义一致。很容易看出π（f）≥ supQ∈QgEQ[f]，（7.4），我们关注反向不等式。必须证明这一点Qn∈ Qg′，s.t.方程[gk+1]→ 0和EQn[f]→ π（f）。（7.5）的确，如果（7.5）成立，那么我们定义q′n:=λn-Q-+ λnQn+λn+Q+，s.t.等式n[gk+1]=0，即Q′n∈ Qg，其中Q+，Q-来自（7.3）和λn-, λn，λn+∈ [0,1]使得λn-+λn+λn+=1。自EQn[gk+1]→0，我们可以选择λn±→ 0.然后EQ′n[f]→ π（f），wh ich暗示π（f）≤ supQ∈QgEQ[f]。因此，让我们集中精力证明（7.5）。通过翻译，我们可以假设π（f）=0。

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大多数88

2022-5-5 18:28:28

如果（7.5）失败，我们有0/∈{EQ[（gk+1，f）]：Q∈ Qg′} 然后存在一个分离向量（y，z）∈ Rwith | | |（y，z）| |=1∈Qg′EQ[ygk+1+zf]<0。（7.6）根据归纳假设，我们得到0>supQ∈Qg′EQ[ygk+1+zf]=πk（ygk+1+zf）≥ π（ygk+1+zf）=π（zf）。显然，从上面的z 6=0。如果z>0，则正齐性π（f）<0，与π（f）=0的假设相矛盾。因此z<0。以Q′为例∈ Qg Qg′。然后由（7.6）0>EQ′[ygk+1+zf]=EQ′[zf]，因此EQ′[f]>0=π（f），这与（7.4）相矛盾。最后，让我们证明（iii）。很容易看出（a）==> （b）==> （c）。现在让（c）等一下。L et（H，H）∈ H×结果π（f）+（H·S）T+hg≥ f P- q、如果存在P∈ P满足P{π（f）+（H·S）T+hg>f}>0，然后选择一个Q∈ 主导P的是π（f）>EQ[f]=π（f），矛盾。因此π（f）+H·S+hg=fp- q、例如，f是可复制的。如果市场是完整的，那么通过f=1A，我们知道q7→ Q（A）在Q上为常数∈ B(Ohm) 按（b）。正如任何概率测度都是由其在B上的值唯一确定的一样(Ohm),我们知道Q是一个单身汉。相反地，如果Q是一个单子，那么（b）成立，因此市场由（a）完成。A.一些技术成果的证明A。1.引理的证明3.1。证据修正t∈ {0，…，T- 1} 让∧o（ω）：={y∈ Rd:yv≥ 0，为所有v∈ suppP（ω）(St（ω，·））}，ω∈ Ohmt、（A.1）可以很容易地证明nct={ω∈ Ohmt:∧oH（ω） -Λo（ω） }，其中∧oH=∧o∩ 嗯。任何P∈ P(Ohmt），通过[5，（4.5）]，存在一个Borel可测映射∧oP:OhmtRd具有非空的闭合值，使得∧oP=∧oP-a.s。。这意味着图∧oP）是Borel（见[2，定理18.6]）。然后可以直接从定义（1.1）中看出∧oH、 P:=∧oP∩ 这是u.m.多亏了-Λo, 集合nct，P={ω：λoH、 P（ω） -Λo(ω)} = ∩Y∈Qd{ω：距离（y，λ）oH、 P（ω））≥ 地区（y），-Λo（ω））是u.m。

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何人来此

2022-5-5 18:28:31

因此，存在一个Borel可测量的s etNct，P，这样Nct，P=Nct，P=NctP-a.s.因此[4，引理7.26]给出了Nctis u.m。这仍然需要证明Ntis的P极性。如果没有，则存在P*∈ 使*（Nt）>0。与上述论点类似，存在一个∧映射o*: Ohm具有Borel可测图（λo*),这样∧o*= ΛoP*-a、 s。。（A.2）设Φ（ω）：={（y，P）∈ (Λo*∩ Ht）（ω）×Pt（ω）：EP[ySt（ω，·）]>0}，ω∈ Ohmt、那么Nt={Φ6=} P*-a、根据第（3.2）、（a.1）和（a.2）款的规定。很容易看出（稍微滥用了旋转）图（Φ）=[图（Pt）×Rd]∩ [P](Ohm) ×图（λ）o*)] ∩ {EP[ySt（ω，·）]>0}∩ [P](Ohm) ×图（Ht）]是解析图。因此，根据扬科夫·冯·诺伊曼定理[4，命题7.49]，存在au。m、选择器（y，P），使得（y（·），P（·））∈ {Φ6=}. As Nt={Φ6=} P*- a、 s.，y isP*-a、美国对Nt进行套利。在{y上重新定义y=0/∈ Λo∩ Ht}，P是Pton{Φ=}. （这里我们重新定义{y/∈ Λo∩ Ht}而不是{Φ6=} 为了确保y（·）∈ Λo（·）所以圣≥ 0便士- q、 s.）所以我们有y（·）∈ Ht（·），P（·）∈ Pt（·），y圣≥ 0便士- q、 s.，和p（ω）{y（ω）P的St（ω，·）>0}>0*-a、 sω∈ 新界。（A.3）现在定义H=（H，…，HT-1) ∈ H满足度HT=y，Hs=0，s 6=t。也可定义*= P*|OhmT P Pt+1 . . . PT-1.∈ P、其中，Ps的任何u.m.选择器，s=t+1，T- 1.然后（H·S）T≥ 0便士- q、安第斯和安第斯*{（H·S）T>0}>0 by（A.3），这与NA（P）相矛盾。A.2。引理3.2的证明。证据设Φ（ω）：={（R，^R）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : P（ω）<< R<<^R}，ω∈ Ohmt、它有一个解析图，如[5，引理4.8]的证明所示。考虑一下ΞOhmtP(Ohm) ×P(Ohm),Ξ（ω）：={（Q，^P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, 等式[y]St（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω），P（ω）<< Q<<^P∈ Pt（ω）}。回想一下分析集ψh定义的假设3.1（iii）。我们有这个图（Ξ）=[ψHt×P(Ohm)] ∩ [P](Ohm) ×图（Pt）]∩ 图（Φ）是解析图。

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