前向偏微分方程和前向偏微分方程的高阶分裂方法

2022-5-5 23:16:22

正向偏微分方程和脉冲微分方程的高阶分裂方法。*Andrey ItkinNumerix LLC，纽约州纽约市公园大道125号21楼，纽约大学美国和理工学院工程学院，纽约州布鲁克林市517E地铁技术中心6号，邮编：11201，美国提交给《国际理论与应用金融杂志》摘要本文致力于为正向和反向偏微分方程和PIDE构建高阶（空间和时间）有限差分方案，从而使通过求解正向和反向方程获得的期权价格一致。这种方法的部分灵感来源于Andreasen&Gigh（2011年），他报告了一系列针对不相关局部随机波动率模型的一阶近似一致有限差分方案。我们通过构造在空间和时间上都是二阶的并且适用于具有跳跃和离散红利的模型的方案来扩展他们的方法。在我们的方法中考虑相关性也不是问题。1导言为给定模型构造一致的数值方法（例如，使用各种数值方案计算价格的期权定价，所有方法的容差相同）是aknown问题。近年来，局部随机波动率（LSV）模型一直关注这一问题。例如，Andreasen&Gigh（2011）提出了一个数值解决方案，该解决方案实现了校准、使用有限差分解决方案的期权定价和蒙特卡罗模拟之间的完全一致性。该方法基于完全隐式有限差分方案*本文中表达的观点是作者的观点，不一定反映了Numerix或NYU的观点。一阶时间，其动机是蒙特卡罗模拟，即使使用米尔斯坦方案，也是一阶时间，见Glasserman（2003）和其中的参考文献。

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2022-5-5 23:16:25

然而，在许多实际应用中，我们只需要前后向Kolmogorov方程解的一致性。我们在这里指出，正向方程对校准有用，因为它允许在一次扫描中计算期权微笑，而反向方程对定价有用，因为它允许在一次扫描中计算具有给定行使的各种初始现货价值的期权价格。在这种情况下，需要在空间和时间上采用一致的高阶近似方案。将这种方法扩展到跳跃扩散模型也很有趣，从而将跳跃扩展到LSV框架。如Andreasen&Gigh（2011）所述，如果不采取特别措施，则不同的数值方案通常仅在FFT的傅里叶步数、微分网格中的时间和空间步数，Monte Carlo中的时间步数都趋于一致，数值格式收敛于连续的时间和空间解。此外，设置适当的边界条件以保证这种一致性可能是一项非常重要的任务。然而，如果从一开始就考虑离散化的Kolmogorovequation，这些问题就可以消除。换句话说，这相当于在空间状态下定义的离散马尔可夫链，对应于某些有限差分网格G。首先，只考虑没有跳跃的随机过程。

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2022-5-5 23:16:28

已知（例如，见古德曼（2004））潜在过程X（t）密度的正向科尔莫戈罗夫方程可以写成PT=pa，（1）其中P（s，T）是离散密度函数（即，X（T）在时间T处处于对应状态s的概率向量），T是到期时间，并且生成器A在G上具有作为状态之间转移概率矩阵的离散表示。对于给定的间隔[t，t+t] 当发生器A不依赖于时间时，正演方程isP（s，t+t） =P（s，t）e助教。（2）因此，为了计算未贴现期权价格C=EQ[V（X（T）），其中V（X（T））是时间T的支付，EQ是风险中性度量Q下的预期，我们从给定的P（0）开始，通过求解式（1）来评估P（T），最后评估P（s，T）V（s，T）。另一方面，我们可以从一个反向科尔莫戈罗夫方程开始计算未贴现期权价格五、t+AV=0，（3）换句话说，只要解一个远期方程，就可以计算出给定现货价格的多次行权的期权价格。如果A=A（t），我们在时间上分多步求解例如，使用a的分段线性近似和式（2）中的解。通过变量τ=T的变化- t可以转化为五、τ=BV。（4）众所周知，B=AT；例如，见古德曼（2004年）。据我们所知，Alex Lipton是第一个提出使用这种对偶构造前后向方程的一致格式的人。这一想法在1997年至1999年间的一份银行家信托文件中被描述，当时被称为“利普顿的把戏”。利普顿（Lipton，2001年和2002年）也提到了这种方法。后来，同样的想法在Andreasen&Hugh（2011）中被重新发现，并被用于构建一个一致的隐式有限差分方案，该方案在时间上是一阶的。

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2022-5-5 23:16:32

有关正向和反向方程，请参见Andersen&Andreasen（2000）。基于上述工作，在网格Gis上构造转置离散算子相当简单。然而，将这一想法推广到更高阶近似的现代有限差分方案（例如，参见In\'t Hout&Welfert（2007）及其参考文献）是一个更大的障碍。这一障碍尤其具有挑战性，因为这些方案本质上是通过多个分步来完成最终解的，而且通过应用所有步骤获得的生成器A的显式形式并不明显。最后，考虑跳跃会使这个问题更加困难。因此，在本论文中，我们着重于为正向和反向方程构造一致的有限差分格式。对于后向方程，werely介绍了in\'t Hout&Welfert（2007）中描述的方案。我们的目标是构建一个一致的前锋。我们在这篇论文中的主要结果是：i）覆盖正向方程的显式拆分方案，以及与in\'t Hout&Welfert（2007）中考虑的反向方案的对应方案；ii）在标的股票支付离散股息的情况下，这些方案的扩展；以及iii）作为方案参数θ的函数分析这些方案的鲁棒性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了一个带跳跃的LSV模型，并将定价PIDE表示为一个微分算子和一个跳跃算子的和。在第3节中，我们描述了一种求解PIDE的分裂方法，其中我们将扩散算子和跳跃算子分离为单独的分步。在第4节中，我们回顾了分歧部分，考虑Hout&Foulon（2010）中讨论的一些落后方案，并开发出一致的前沿方案。

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2022-5-5 23:16:35

在第5节中，我们将讨论如何将这种方法扩展到跳转组件。在第6节中，我们描述了在实现前向和后向方案一致的方法时必须解决的各种问题。我们还介绍并讨论了一些数值实验的结果。值得一提的是，Craig-Sneyd方案的一致转发方案是由Michael Konikov在2009年作为Numerix库的一部分实施的。2带跳跃的LSV模型为了避免不确定性，让我们来看看单只股票上的股票期权定价问题。该规范不会导致任何通用性损失，但它使该描述更加实用。我们假设标的资产（股票）价格是由一个L’evy过程的指数驱动的：St=Sexp（Lt），0≤ T≤ T、 T=1240，其中T=1240是≤T≤这是具有非零布朗（扩散）部分的L’evy过程。根据定价标准，LTI由t=γt+σWt+Yt，γ给出∈ R、 σ>0，（6）具有L′evy三重态（γ，σ，ν），其中WT是0上的标准布朗运动≤ T≤ T和Ytisa纯跳跃过程。我们在定价措施下考虑这一过程，因此-（r）-q）这是一个鞅，其中r是利率，q是连续红利。这允许我们将γ表示为（Eberlein（2009））γ=r- Q-σ-锆前任- 1.- x1 | x |<1ν（dx），其中ν（dx）是一个满足|x |>1exν（dx）<∞.现在让我们不具体说明ν（dx），因为我们愿意考虑所有类型的跳跃，包括具有有限和有限变化以及有限和有限活动的跳跃。接下来，我们通过假设σ是局部波动率φ（St，t）和随机波动率的组合来扩展这个设置√也就是说，我们取σ=σt≡ φ（St，t）√vt，其中vt是随机方差。

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2022-5-5 23:16:38

后者是dvt=κ（v∞- vt）dt+ξvβtdZt，（7）hdWt，dZti=ρdt。这里是κ，v∞, 和ξ分别是平均回归速度、长期运行（平均回归水平）和波动的波动性，Zt是与WT相关的布朗运动，ρ是相关系数。参数β确定VT的均值回复CEV过程，并假定为模型的校准参数，因此β≥ 0.我们记得，标准布朗运动已经有了有限变化的路径。因此，式（6）中的L’evy过程具有有限的变化，因为它包含一个连续的鞅分量。然而，这里我们指的是跳跃产生的有限变化。由于瞬时方差不应该是鞅，因此β的上边界可以扩展到单位。众所周知，β<1会产生所谓的杠杆效应，通常在股票市场中观察到，股票的波动性会随着价格下跌而增加。相反，在商品市场中，可以观察到所谓的反向杠杆效应，即商品价格的波动性往往会随着价格的上涨而增加。为了简单起见，我们进一步假设κ，v∞, ξ、 ρ是常数。然而，这一假设可以很容易地放宽，以考虑时间相关系数。为了对标的过程St上的期权进行定价，我们想要导出一个描述欧式期权价格C（x，v，t）的时间演化的PIDE，其中x≡ 对数（St/S）和v=vt。

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2022-5-5 23:16:42

使用标准鞅方法，或创建一个自我融资的投资组合，可以得出相应的反向PIDE（Cont&Tankov（2004），Lewis（2000））rC（x，v，t）=C（x，v，t）t+R-五、C（x，v，t）x+vC（x，v，t）x+κ（v）∞- 五）C（x，v，t）v+ξv2βC（x，v，t）v+ρξvβ+1φ（x，t）C（x，v，t）十、v+ZRC（x+y，v，t）- C（x，v，t）- （哎- 1)C（x，v，t）十、ν（dy）（8）表示所有（x，v，t）∈ R×R+×（0，T），根据终端和初始条件c（x，v，T）=h（x），v（0）=v，（9）其中相对于瞬时方差的初始水平，h（x）是期权支付，并且应用了一些取决于期权类型的边界条件。这种PIDE的溶液通常属于粘性溶液（Cont&Tankov（2004））。在接下来的章节中，我们将需要inItkin&Carr（2012）提出的跳跃术语的另一种表示。结果表明，积分项可以用下面的想法重写。正如量子力学（de Lange&Raab（1992））所知，Lspace中的平移（shift）算符可以表示为asTb=expB十、, （10）当b=const时，soTbf（x）=f（x+b）。因此，式（8）中的积分可以正式改写为Zr[C（x+y，v，t）-C（x，v，t）- （哎- 1)C（x，v，t）十、ν（dy）=JC（x，v，t），（11）J≡锆经验Y十、- 1.- （哎- 1)十、ν（dy）。在定义算子J（实际上是跳跃过程的一个极小生成元）时，如果处理该项，可以在关于存在性和收敛性的一些温和假设下正式计算积分/x作为常数。因此，算子j可以看作微分算子的某种广义函数十、

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2022-5-5 23:16:45

我们也将J视为伪微分算子。考虑到这种表示，等式（8）中的整个PIDE可以在操作器形式中重写为τC（x，v，τ）=[D+J]C（x，v，τ），（12），其中τ=T- t和D表示微分（抛物线）运算符≡ -r+R-五、x+vx+κ（v）∞- 五）v+ξv2βv+ρξvβ+1φ（x，t）十、v、（13）这是一个微小的扩散发生器。3 PIDETo的拆分方法为了求解等式（12），我们以类似于Itkin（2013）的方式使用拆分方法（关于求解偏微分方程的拆分方法的一般说明，请参见其中的参考文献）。认为f（x，t）是自变量x=x的函数。。。x和t，L是x-空间中的线性标记维数算子。基于Lanser&Verwer（1999）的观点，考虑以下等式f（x，t）t=Lf（x，t），（14）对感兴趣的问题的总（复合）算子L进行分解似乎是很自然的，比如说，L可以表示为k个非对偶线性算子L=Pki=1Li的和。在这种情况下，可以通过算子指数，即f（x，t）=etLf（x，0）=etPki=1Lif（0），对等式（14）的算子方程进行形式积分。后一个表达式可以分解为运算符的乘积：f（x，t）=etLk。etLf（x，0）。然后，这个方程可以通过以下步骤按N步顺序求解：f（1）（x，t）=etLf（x，0），f（2）（x，t）=etLf（1）（x，t），。。。f（k）（x，t）=etLkf（k-1）（x，t），f（x，t）=f（k）（x，t）。如果所有操作员（Li）通勤，该算法是精确的（无偏差）。然而，如果它们不能相互转换，则上述因式分解不成立，且该算法仅提供精确解的一阶时间近似值（即O（t））。为了得到非交换算子的二阶分裂，斯特朗提出了另一种方案，在最简单的情况下（k=2）是（斯特朗（1968））f（x，t）=etLf（x，0）=et（L+L）f（x，0）=etLf（x，0）+O（t）。

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2022-5-5 23:16:48

（15）对于具有常数系数的抛物型方程，只要在每个分裂步骤求解相应方程的数值过程至少是二阶精度的，这种复合算法在t中是二阶精度的。然而，上述分析不能直接应用于我们的问题，因为在等式（10）中的转换完成后，跳积分转换为等式（11）中的非线性算子。对于非线性算子，情况更为微妙。如Koch&Thalhammer（2011）所示，非线性初值问题的理论分析为u（t）=F（u（t）），0≤ T≤ T对于Banach空间值函数u:[0，T]→ 给定一个初始条件u（0），可以使用李导数演算。精确解isu（t）=EF（t，u（0））=etDFu（0），0的形式线性表示≤ T≤ T、其中演化算子和李导数由etdfv=EF（T，v），etDFGv=G（EF（T，v））给出，0≤ T≤ T、对于无界非线性算子G:D（G），DFv=F（v），DFGv=G（v）F（v）十、→ 利用这种形式主义，Koch&Thalhammer（2011）表明，在非线性算子的情况下，Strang的二阶分裂方法保持不变。将此结果用于等式（12）可得出以下反序方程的数值格式：C（x，v，τ＋τ） =eτDeτJeτDC（x，v，τ），（16）可作为分步法重新编写：C（1）（x，v，τ）=eτDC（x，v，τ），（17）C（2）（x，v，τ）=eτJC（1）（x，v，τ），C（x，v，τ+τ） =eτDC（2）（x，v，τ）。因此，我们得到了一个没有漂移和扩散的PIDE（式（17）中的第二个方程）和两个不稳定的PDE（式（17）中的第一个和第三个方程），而不是一个不稳定的PIDE。为了产生一个一致的离散正演方程，我们使用了转置进化算子，这导致了模式（x，v，t+t） =eτDTeτJTeτDTC（x，v，t）。

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2022-5-5 23:16:51

（18）该方案的分步表示为isC（1）（x，v，t）=etDTC（x，v，t），（19）C（2）（x，v，t）=etJTC（1）（x，v，t），C（x，v，t+t） =etDTC（2）（x，v，t）。4差分部分向后格式的向后和向前有限差分格式。我们遵循In\'t Hout&Welfert（2007），他们考虑了用于数值求解包含混合空间导数的多维扩散问题的二阶有限差分格式的无条件稳定性。他们调查了Craig和Sneyd提出的ADI方案（见本文参考文献）、Craig和Sneyd的ADI方案的修改版本，以及Hundsdorfer和Verwer提出的ADI方案。在存在混合导数项的情况下，对每个模式的参数导出了无条件稳定的必要条件和充分条件。InThout&Welfert（2007）的主要结果是，在对格式参数θ的温和条件下，二阶Hundsdorfer and Verwer（HV）格式在任意空间维数k>2的混合导数项的半离散化扩散问题中是无条件稳定的。继In\'t Hout&Welfert（2007）之后，考虑二维微分方程的初边值问题，在空间离散化后，会导致普通微分方程SV（τ）=F（τ，V（τ））τ的大型系统的初值问题≥ 0，V（0）=V，（20）具有给定的向量值函数F和初始向量V。In\'t Hout&Welfert（2007）考虑了方程（20）数值解的分裂格式。他们假设F被分解成sumF（τ，V）=F（τ，V）+F（τ，V）+··+Fk（τ，V），（21），其中k+1项{Fj}比F本身更容易处理。

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2022-5-5 23:16:55

项F包含来自扩散方程中的混合导数对F的所有贡献，并且该项始终在数值时间积分中明确处理。接下来，对于每个j≥ 1，fjr表示空间方向上的二阶导数对F的贡献，并且该项总是隐式处理。此外，In\'t Hout&Welfert（2007）分析了两种分裂方案，其中一种是HV方案。该方案定义了一个近似值Vn≈ V（τn），n=1，2，3，通过执行一系列（分数）步骤：Y=Vn-1+ τF（τn）-1，Vn-1），（22）Yj=Yj-1+ θτ[Fj（τn，Yj）- Fj（τn）-1，Vn-1） ]，j=1，2，k、 ~Y=Y+τ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） ]，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn，~Yj）- Fj（τn，Yk）i，j=1，2，k、 Vn=~Yk。对于θ的任何值，该方案在时间上都是二阶的，因此可以选择该参数来满足额外的要求。In\'t Hout&Welfert（2007）也使用von Neumann分析研究了该方案的稳定性。因此，在形式中始终考虑稳定性，为了使分析可行，等式（22）中的所有系数均假定为常数，边界条件为周期性。在这些假设下，矩阵A，A，Ak是通过算子的有限差分离散化得到的，Fk是常数，是循环矩阵的Kronecker积。因此，{Ak}是正常的，彼此通勤。这意味着，可以通过考虑线性标量正交微分方程V（τ）=（λ+λ+…+λk）V（τ），（23）来分析稳定性，其中λjdenotes是矩阵的特征值Aj，0≤ J≤ K

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2022-5-5 23:16:58

然后，通过分析公式（23），In\'t Hout&Welfert（2007）证明了一些重要定理，以证明当θ≥ 1/3.该方案的一个重要特性是，显式处理等式（22）第一个方程中的混合导数项，而所有进一步的隐式步骤仅包含时间导数和一个空间坐标。换句话说，整个二维非定常问题简化为一组四个一维非定常方程和两个显式方程。对于公式（22）的半离散化，作者考虑了有限的差异。所有空间导数都是在网格宽度恒定的矩形网格上使用二阶中心差来近似的xi方向上的xi>0（1≤ 我≤ k）。Hout&Foulon（2010）讨论了该方案实施的细节。他们的实验表明，对于赫斯顿模型，θ=1/3的频率是好的。他们还证明了该方案在时间上的收敛阶等于2。可以很容易地观察到，式（12）中的第一和第三个方程属于相同的（类赫斯顿）类型。因此，在求解这些方程时，我们将使用上述方案。在我们的例子中，FK的显式离散化如下所述。换言之，收敛顺序不会随时间步长的变化而显著变化，始终非常接近2。远期方案。如第1节所述，通过在等式（4）中找到转置离散算子a=Bt的显式表示，可以为正向方程构建一致的有限差分格式。在我们的例子中，B的显式形式是通过公式（22）间接确定的，因为后者允许表示v（x，v，τ＋τ） =R（τ）V（x，V，τ），（24），其中R是相应的转移矩阵。

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2022-5-5 23:17:03

为了连接这两种形式，让我们对等式（4）进行形式积分，以获得通过矩阵指数表示的解：V（x，V，τ＋τ） =eτBV（x，v，τ）=RV（x，v，τ）。因此，R=eτB.另一方面，作为exp(τBT）=（eτB）T，前向格式可以表示为dV（x，v，T+t） =RT（t）V（x，V，t）。（25）因此，我们需要建立一个一致的前向方案，给定后向方案eq。（22）是构建RT的显式形式。如附录所示，结果为isRT=M-1.我+TFn-1+FnR- θtFnR- θtFnRT（MT）-1(26)=我+T（Fn-1） T+RT（Fn）T- θtRT（Fn）T（百万吨）-1.- θtRT（Fn）T（百万吨）-1，RT=I+T（Fn-1） T- θ（Fn）-1） T（百万吨）-1.- θt（Fn-1） T（百万吨）-1.我们出发的地方τ = t、米≡ 我- θtFni，Fni=Fi（τn）。如果想要推导出与后向方案一致的前向方案，并使其达到必要的近似顺序，则可以简化等式（26）右侧的表达式τ. 然而，我们在本文中不遵循这种方法，因为正如我们在引言中所述，我们在这里的目标略有不同，即推导出一个与后向方案完全匹配的前向方案。基于RT的这种表示，正向方案现在可以转换为一组分段步骤，如式（22）所示。算法是：MTY=Vn-1，（27）MTY=Y，~Y=（Fn）T- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY，MT~Y=~Y，MT~Y=~Y，Vn=Y+T（Fn-1） TY+~Y+th（Fn-1） T- θ（Fn）-1） T~Y- θ（Fn）-1）易建联.然而，这个方案有两个问题。首先，当使用分裂（或分步）时，人们通常希望所有内部向量Yj，j=0，1和Yk，k=0，1，2形成对Vn的一致近似。等式（27）中的方案在第3步失去该属性。

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2022-5-5 23:17:07

第二，由于步骤3右侧矩阵的范数很小，所以解对周围误差很敏感。为了解决这些问题，我们可以做一个技巧，即用vn=Y+cn的形式表示等式（26）-1.tY+tRT[cnY]- 人民币]（28）元人民币=（Fn）T，元人民币=（Fn）T- θ（Fn）T，cn=θ（Fn）T。现在加上和减去RTVn-1到等式（28）的右侧，并考虑RTVn-1=Y+Tcn-1Y- cn-1Y, cn=（Fn）T- θ（Fn）T。因此，式（27）现在可以写成形式mty=Vn-1，（29）MTY=Y，~Y=Vn-1+ t（人民币元）- 人民币元），人民币元整，人民币元整，人民币元整，人民币元整thcn-1.~Y- cn-1.■Y+cn-1Yi，在哪里~Yi=~Yi- 易-1，i=1，2。以类似的方式进行，我们可以推导出另一种流行的后向有限差分方案的正向模拟，即改进的Craig Sneyd（MCS）方案，见Hout&Foulon（2010）。反向和正向方案为：反向方案：Y=Vn-1+ τF（τn）-1，Vn-1），（30）Yj=Yj-1+ θτ[Fj（τn，Yj）- Fj（τn）-1，Vn-1） ]，j=1，2。。。，k~Y=Y+τ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1)]- θτ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） +F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） ]，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn，~Yj）- Fj（τn，Vn）-1） i，j=1，2。。。，kVn=~Yk。转发方案：MTY=Vn-1，（31）MTY=Y，~Y=Vn-1+ tcn-Y、 MT-Y=~Y，MT-Y=~Y，Vn=~Y+tncn-1.~Y- cn-1.~Y+cn-1+- θ（Fn）TY- cnYo，其中cn+=（Fn）T+θ（Fn）T+（Fn）T, cn-=（Fn）T- θ（Fn）T+（Fn）T.正向格式的边界条件应与反向格式的边界条件一致。然而，这两组条件将不完全相同。实际上，在远期方程中，因变量是密度，而在远期方程中，因变量是未贴现的期权价格。对于后者，边界条件设置为Payoff函数，而对于前者，边界条件设置为Density函数。因此，这些边界条件可能非常不同。

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能者818

2022-5-5 23:17:10

例如，对于S=0的看跌期权，我们可以设置V=K，而对于密度函数，这是V=0。此外，在v域中设置边界条件时应谨慎。关于这个问题的讨论，请参见Lucic（2008）。5跳跃的正向方案Itkin（2013）为一些流行的跳跃模型（如Merton、Kou和CGMY）提供了在给定网格上离散等式（17）（用于反向方程）中的算子J所需的高效有限差分方案。所提出的方法几乎是通用的（即，它允许以统一的形式计算各种跳跃扩散模型的PIDE），而该方法的实现相对简单。结果表明，对于Merton和Kou模型，可以使用P’ade近似和Picard定点迭代计算空间网格步长h中的矩阵指数，总复杂度为O（N），其中N是空间节点数。还证明了这些方案（i）是无条件稳定的，（ii）在h中提供二阶，以及（iii）保持解的正性。结果以命题的形式呈现，并基于现代矩阵分析给出了相应的证明，包括M-矩阵理论、Metzlermatrices以及最终的指数正矩阵。对该方法稍加修改，即可将其应用于参数α>0的CGMY模型。这对α来说尤为重要≥ 1因为为了简单起见，这里只考虑Dirichlet边界条件。本文还考虑了α的一阶格式≤ 0，这类方案在Itkin&Carr（2012）中提出。范围内，已知的类似算法（例如，Wang等人（2007））遇到问题。Itkin（2013）的分析表明，尽管O（h）在理论上是收敛的，但在数值上接近O（h1.8）。

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2022-5-5 23:17:13

产生这种差异的一个可能原因可能是，在这种情况下，转移矩阵的最大特征值接近1，因此周界误差可能很重要。在性能方面，以矩阵形式指数计算矩阵，然后将该矩阵与解向量直接相乘，似乎比Wang等人（2007）中基于FFT的算法更有效，因为这种情况下的Picardiation收敛速度非常慢。使用这种新方法，计算JT没有问题。实际上，如果J是M-矩阵的负，则转置矩阵保持相同的性质。此外，如果J具有所有负的igenv值，那么JT也是如此。然后，格式的无条件稳定性及其保持解的正性的性质遵循Itkin（2013）中的命题4.1。6实施细节和数值实验在本节中，我们讨论了在实施上述方法时可能很重要的一些要点。6.1阻尼已知第一时间步的时间误差可能相对较大，尤其是对于中等时间步；参见Hout&Foulon（2010年）、Rannacher（1984年）和其中的参考文献。这是因为，对于S=K的反向方案，支付函数（例如，对于欧式看涨期权或看跌期权）不是S的光滑函数，而且许多有限差分方案不能有效地抑制局部高频误差。为了解决这个问题，Inranacher（1984）提出用全隐式Euler格式（时间上是一阶近似）进行最初的几个时间步骤，然后切换到您选择的方案。对于相应的正演方程，这种情况更加明显，因为att=0，初始密度是狄拉克δ函数δ（S-S） δ（v）-v）。

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2022-5-5 23:17:16

因此，最好对正向感应的前几步施加阻尼。因此，为了保持一致性，应在时间网格的两端使用阻尼算法，例如前两步t、后两步tM-1、前两步τ、τ和后两步τM-1，τMof反向归纳法。因此，正向格式的整个隐式Euler算子（矩阵）应该是反向格式的转置算子（矩阵）。6.2非均匀网格非均匀网格用于提高定价的计算精度。标准选择是在溶液梯度较高的区域制作网格过滤器。例如，在为欧式期权定价时，有一个接近“末日之锤”的细网格是有意义的。因此，这个参数可以用于反向算法，这相当于topricing。对于主要用于校准的正向方法，直觉告诉我们使用接近初始点（S，v）的网格。因此，选择网格应该浓缩的区域本质上是向后和向前方程的不同之处。此外，在通过求解正向方程找到过渡度后，它可以用于同时获得所有具有相同到期日T和不同走向K的期权的价格。然而，这些期权的定价需要多次运行反向算法。因此，为了使所有这些论点相互一致，一种可能的解决方案是生成一个网格，该网格在所有需要的罢工和初始点附近都很清晰。

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2022-5-5 23:17:19

换言之，该网格将有多个具有有限空间步长的区域与具有粗略空间步长的区域交替。从技术上讲，这可以通过使用inTavella&Randall（2000）提出的网格构造算法来实现。同样对于正向网格，我们需要初始点（S，v）在网格上，以便更好地表示初始条件。然而，对于反向方程，这是不必要的。此外，建议在相应网格单元的中间，而不是在网格节点处，设置一个罢工，以提高准确性。在我们的例子中，这可能会导致在构建一个在多个打击下浓缩的网格时出现问题。然而，根据Tavella&Randall（2000）的想法，这个问题可以消除；另见海恩斯（2013）。给定一次打击，我们将网格点Sinearest处的Payoff函数的值替换为打击K的平均值，该平均值位于Si:Payoff（Si，K）=hZSi+1/2Si-1/2Payo ff（s，K）ds，其中Si-1/2=（Si）-1+Si），Si+1/2=（Si+Si+1），h=Si+1/2- 硅-1/2. 这可以有效地减少接近罢工的离散化误差，同时消除构建网格时不必要的复杂性。6.3解的正性因为解在分裂方案的每一步都是Vn的有效近似值，所以所有向量Yj，j=0,1和Yk，k=0,1,2都应该是非负的。这意味着在方案的每一个分步，相应的算子必须保持解的正性。对于等式（27）中的步骤1、2和4，如果MTA和MTA都是M矩阵，则可以保证这一点；见Berman&Plemmons（1994）。

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2022-5-5 23:17:23

为了实现这一点，必须选择漂移（对流）项的适当（向上）近似值，这在文献中经常讨论；见Hout&Foulon（2010）及其参考文献。假设我们提前知道所有必要的打击。对于步骤3和5，这是一个更微妙的问题。Chiarella等人（2008年）、Toivanen（2010年）和Ikonen&Toivanen（2007年、2008年）分别提出了一个七点模板，用于离散混合导数算子，以保持解的正性。然而，在他们的方案中，混合导数项被隐式地处理（这就是为什么他们需要一个离散化的矩阵作为Mmatrix）。在我们的例子中，步骤3,5右侧的整个矩阵应该是一个正矩阵，或者是一个梅茨勒矩阵（在这种情况下是一个M矩阵的负矩阵）。当以相反的顺序使用Chiarella等人（2008）、Toivanen（2010）和Konen&Toivanen（2007、2008）的近似值时，可以实现后者，即当ρ<0时，使用建议的ρ>0近似值，反之亦然。然而，这种方法对网格步骤hi，i=1，N.因此，这种离散化应与建立非均匀网格的算法一起考虑。通常，在v空间中使用均匀网格更好，然后在S空间中更容易遵守阶跃的正性约束。此外，我们的实验表明，前向格式比后向格式对混合导数的离散化选择更加敏感。6.4离散分割使用树或晶格方法计算离散股息的标准方法是在除息日计算网格（空间状态）；例如，见赫尔出版社（1997年）。这种方法如图1所示，用于反向方案，如图1所示。

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能者818

2022-5-5 23:17:26

2.向前进近。ddtiti+1Sj+1SjSj-1后向阶梯vvj-1¨VjFigure 1：网格转移，以向后的方式解释离散变量。ddti+1前进步骤J-1Sj+1SJD图2：在正向方法中，网格转移以解释离散的IVidends。下面将对该算法进行更详细的描述。假设我们解一个反向偏微分方程。在对应于除名日期的时间步ti，通过应用后向有限差分算法找到期权价格Vi的新值。因此，Vi（S）=RVi-1（S）。在那之后，因为我们往回看，期权价值在时间τ+i=τi+, 1，也就是股息支付之前，变成了Vi（S+d）。也就是说，相同的期权值现在属于被dividendamount d向上移动的网格节点。这取决于一个事实，即在支付股息时，期权值是连续的。由于使用移动的网格不方便，通常实践者会将新选项值重新插入前一个网格。因此，如果我们让Iu表示一个相应的插值算子，并向上移动，那么在τ+iare¨Vi=Ibvi时的最终选项值-1.对于正向方程，考虑到我们构建一致正向算法的方式，该表达式应为‘Vi=[IR]TVi-1=RTITVi-1.这意味着：i）在时间t中向前移动并给出选项值Vi-1时间tii=ti- , 我们首先需要将网格S向下移动d，以便Vi-1现在属于移位网格的节点，Vi-1（S）- d） )；ii）然后我们需要使用具有下移Id的相应插值运算符将它们重新插值回原始网格，从而获得“Vi”-1（S）；以及iii）我们最终需要应用运算符RTV来获得最终选项值Vi（S）。这里的主要问题是构造插值运算符，使Iu=ITd。为简单起见，首先假设股息金额d小于任何步骤hi，i=1。

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2022-5-5 23:17:29

，N，网格。由于上面讨论的有限差分格式是h的二阶近似，因此线性插值是有效的。因此，在值SVI=RVi之后的反向方法中-1在时间步长Tian处获得，并移动到网格S+d（见图1），插值“Vi（Sj）”为“Vi（Sj）=Vj-1dhj，j-1+Vjhj，j-1.- dhj，j-1，hj，j-1=Sj- Sj-1.（32）因此，算子IB的矩阵B在这个网格isB处离散化=B0 0。。。dhh-dh0。。。dhh-dh0。。。。。。0dhN-1，N-2hN-1，N-2.-dhN-1，N-2.0亿，N-10亿欧元.这是一个较低的双对角矩阵，其中元素位于第一行和BN，N-最后一行中的1，BN，Nin由Smi和Smax处Vi（S）上的边界条件确定。以与正向方法类似的方式进行（见图2），我们会发现相应的情况。如果除息日期位于时间网格的两个节点之间，一种常见的方法是将其向前（并将股息金额调整为该日期股息的正向值）或向后（并将股息金额贴现回该日期）移动到网格节点。算子If:F的矩阵F=FF0 0。。。H-dhdh0。。。。。。0 0hN-1，N-2.-dhN-1，N-2dhN-1，N-2.0 FN，N.这是一个上双对角矩阵，其中第一行的元素F，Fin和最后一行的元素FN，由Smiand Smax处Vi（S）上的边界条件确定。如上所述，我们需要F=BT。显然，情况并非如此，除非网格是均匀的，并且hi，i-1=hi+1，如果i=2，N- 1.但在许多情况下，这是不现实的。如果想要使用非均匀网格，消除这种困难的一种方法是消除重新插值，在支付红利后，继续使用移位网格。

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2022-5-5 23:17:33

然而，这也带来了一些设置边界条件的技术问题。前瞻性方法的另一个问题是- 当S变小时，d变为负值。Haug等人（2003年）对这种情况进行了详细讨论。主要的想法是，如果S<d，公司不能支付股息d，但最多支付金额。因此，在这种情况下，我们假设股息D现在是S的函数，即当S>D时，D（S）=D，当0时，D（S）=S≤ s≤ d、 6.5文献中研究了MCS和HV后向有限差分方案的有限差分方案参数。在Hout&Welfert（2007）和Hout&Foulon（2010）中，作者将这些方法应用于Heston模型的收敛性和稳定性。结果表明，参数θ=1/3、阻尼τ=0的MCS格式提供了一种快速、准确、鲁棒的任意相关ρ的数值解∈ [-1, 1]. θ=1/2的原始Craig-Sneyd方案（见Craig&Sneyd（1988））和θ=1/2的HV方案+√阻尼为τ=0的3/6也提供了一个很好的替代方案。所有三种分裂方案都证明了不可条件性和等于2的斯蒂夫收敛阶。这里我们想研究正演格式中θ的选择如何影响解的收敛性和稳定性。我们考虑看涨期权，并采用Heston模型参数，如表1所示。这里r是利率，q是股息率。AsT K r qξρκv∞1.0 100 0.05 0.0 0.3 0.8 1.5 0.1表1：试验计算中使用的初始参数。我们考虑了赫斯顿模型，将局部波动函数设置为φ（St，t）=1。在S维上构造了一个非均匀的空间网格，其中S维上有76个节点∈[0，Smax]，Smax=40max（S，K），并在v中用79个节点构建了一个统一的网格∈[0，vmax]，vmax=6v。这是罢工。

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2022-5-5 23:17:36

价格的进一步上涨不会对期权价格产生太大的影响，所以选择这个边界是基于一个实际的论证。我们还使用了100个时间步长。我们求解了正向和反向方程，并比较了作为参数θ函数得到的价格。高压方案的结果如表2所示。使用FFT获得基准（解析）解；seeCarr&Madan（1999年）。相对误差BK通过使用反向方法对该期权定价获得，以及通过使用正向方法获得的FW被确定为i=（CFFT）- Ci）/CFFT·100%适用于i∈ {bk，fw}。在这个测试中，我们使用了S=100，v=0.5，这使得CFFT=24.0047。向前和向后方法的期权价格θ0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk0。0718 0.0719 0.0720 0.0719 0.0717 0.0714 0.0709 0.0704fw0。0595 0.0597 0.0597 0.0597 0.0595 0.0592 0.0588 0.0583bk- fw0。0123 0.0122 0.0123 0.0122 0.0122 0.0122 0.0121 0.0121表2:HV后向和前向解的收敛作为θ的函数。最多同意1个bp。θ的值，其中CbK和CfW提供了所有θ试验中CfFTA的最佳近似值为1。然而，后者与in\'t Hout&Welfert（2007）和Hout&Foulon（2010）得出的结论相矛盾，其中θ=1/2+√建议使用6/3。表3给出了MCS方案的类似结果。

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2022-5-5 23:17:39

在这里，反向和正向方案再次证明了θ=1时FFT值的更好近似性，而inHout&Foulon（2010）报道，θ=1/3的值是最稳健的。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk0。0718 0.0719 0.0720 0.0719 0.0717 0.0713 0.0709 0.0703fw0。0595 0.0596 0.0597 0.0596 0.0594 0.0590 0.0586 0.0581bk- fw0。0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0122表3:MCS后向和前向解作为θ函数的收敛性。基于这个实验，我们可以得出结论，如果两种算法选择相同的参数θ值，则向后和向前格式的收敛性是相似的。如前所述，我们使用混合导数算子的特殊离散化，使相应的矩阵成为M-矩阵。当点（Si，vj）远离计算区域的边界时，这种离散化在S和v方向的网格步骤中是二阶近似。然而，在边界处，近似值下降到一阶。这很可能会引入一些不相关情况下不存在的额外错误，即当ρ=0时。因此，为了检查这一点以及这种情况下正向和反向方法的收敛性，我们现在用ρ=0进行相同的测试，其中CFFT=23.7015。HV和MCSschemes的结果分别见表4和表5。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0882-0.0879-0.0878-0.0878-0.0879-0.0881-0.0884-0.0887fw-0.0861-0.0861-0.0862-0.0863-0.0865-0.0868-0.0871-0.0875bk- fw-0.0021-0.0018-0.0016-0.0015-0.0014-0.0013-0.0013-0.0012表4:HV后向和前向解作为θ函数的收敛性。

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2022-5-5 23:17:43

不相关病例。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0888-0.0888-0.0889-0.0890-0.0893-0.0897-0.0902-0.0907fw-0.0861-0.0861-0.0862-0.0863-0.0865-0.0868-0.0872-0.0876bk- fw-0.0027-0.0027-0.0027-0.0027-0.0028-0.0029-0.0030-0.0031表5：MCS后向和前向解作为θ函数的收敛性。不相关病例。我们看到，对于θ的所有值，前向和后向方案产生类似的结果，与FFT值相比，误差几乎是correlatedcase的4倍（0.3 bp），这支持了我们上面的分析。然而，在这里，对于反向HV方案，θ的最稳健值为0.6（与in\'t Hout&Welfert（2007）中报告的值接近），而对于正向方案，θ的最稳健值为0.3。对于反向MCS方案，最稳健的值是θ=0.3（这也接近于in\'t Hout&Welfert（2007））中报道的值）。前向MCS方案的最大胸围值也是θ=0.3。我们还可以观察到，在这两种情况下（ρ=0和ρ>0），HV方案为向后和向前方案提供了略好的结果。FFT选项值isCF T=23.4077。最后，用ρ=-0.8. HVM模型的结果见表1。6，在标签上。

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2022-5-5 23:17:46

7对于MCS模型。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0801-0.0799-0.0798-0.0798-0.0798-0.0799-0.0801-0.0803fw-0.0549-0.0545-0.0543-0.0541-0.0540-0.0541-0.0542-0.0544bk- fw-0.0252-0.0254-0.0255-0.0257-0.0258-0.0258-0.0259-0.0259表6:HV后向和前向解在ρ=-0.8.θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0801-0.0799-0.0798-0.0798-0.0799-0.0800-0.0802-0.0804fw-0.0546-0.0542-0.0539-0.0538-0.0538-0.0540-0.0542-0.0546bk- fw-0.0255-0.0257-0.0259-0.0260-0.0261-0.0260-0.0260-0.0258表7：作为θ在ρ=-0.8.这里，正向和反向进近的HV和MCS方案在θ约为0.7时更精确。感谢彼得·卡尔、亚历克斯·利普顿和迈克尔·科尼科夫进行了富有成效的讨论。我感谢格雷戈里·惠滕、史蒂文·奥汉伦和本·梅文对这项工作的支持。参考安徒生，L.，安德烈森，J.2000。跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。衍生品研究综述，4231-262。Andreasen，J.，和Gigger，B.2011。随机网格。风险，7月，66-71日。伯曼，A.，普莱蒙斯，R.1994。数学科学中的非负矩阵。暹罗。卡尔、彼得和玛丹、迪利普。1999.使用快速傅立叶变换的期权估值。计算金融杂志，2（4），61-73。Chiarella，C.，Kang，B.，Mayer，G.H.，和Ziogas，A.2008。利用线性方法对随机波动和跳跃扩散动力学下的美式期权价格进行评估。技术报告。研究论文219。悉尼科技大学定量金融研究中心。Cont，R.，和Tankov，第2004页。具有跳跃过程的金融建模。金融材料系列，查普曼和霍尔/CRCl。克雷格，I.J.D.，斯奈德，A.D.1988。

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2022-5-5 23:17:50

混合导数抛物方程的交替方向隐式格式。公司。数学应用程序。，16, 341–350.德兰格，O.L.，和拉布，R.E.1992。量子力学中的算符方法。牛津科学出版社。第三章。埃伯林，E.2009。跳跃式L’evy过程。第439-455页，共页：安徒生，T.G.，戴维斯，R.A.，克雷ss，J-P.，米科什，T.（编辑部），金融时间序列手册。弹簧滞后。格拉斯曼，第2003页。金融工程中的蒙特卡罗方法。随机建模与应用概率，第53卷。斯普林格。古德曼，J.2004。用于马尔可夫链的前向和后向方程。可用的http://www.math.nyu.edu/faculty/goodman/teaching/StochCalc2004/notes/stoch_2.pdf.Haentjens，T.2013年。通过交替方向隐式有限差分格式，高效稳定地数值解Heston-Cox-Ingersolross偏微分方程。《国际计算机数学杂志》，90（11），2409-2430。豪格，E.，豪格，J.，刘易斯，A.2003。回归基础：解决离散离散问题的新方法。威尔莫特杂志，9月，37-47日。Hout，K.J.In\'t和Foulon，S.2010。具有相关性的Heston模型中期权定价的有限差分方案。《国际数值分析与建模杂志》，7（2），303–320。赫尔，约翰·C·1997。期权、期货和其他衍生证券。第三个edn。新泽西州UpperSaddle River：Prentice Hall，Inc.Ikonen，S.，和Toivanen，J.2007。随机波动下美国期权定价的成分分裂方法。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，10331-361。Ikonen，S.，和Toivanen，J.2008。随机波动下美式期权定价的有效数值方法。不，冰毒。PDEs，24104-126。2007年，K·J·t·霍特和韦尔弗特出版。应用于含混合导数项的对流扩散方程的ADI格式的稳定性。应用数值数学，57,19–35。Itkin，A.2013。

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2022-5-5 23:17:53

利用分裂和矩阵指数有效解决后向跳跃扩散问题。可在http://arxiv.org/abs/1304.3159.Itkin，A.，&卡尔，第2012页。使用伪抛物线方程和分数阶方程建立期权价格跳跃扩散模型。计算经济学，40（1），63-104。科赫，O.，和塔尔哈默，M.2011。非线性发展方程时间积分的嵌入指数算子分裂方法。技术报告。维也纳理工大学分析与科学计算研究所。Lanser，D.，和Verwer，J.G.1999年。空气污染模拟中平流扩散反应问题的算子分裂分析。计算与应用数学杂志，111（1-2），201-216。刘易斯，艾伦·L·2000。随机波动下的期权估值。美国加利福尼亚州纽波特海滩：金融出版社。利普顿，A.2001。外汇的数学方法：金融工程师的方法。《世界科学》利普顿，A.2002。这个问题。风险，2月，61-65日。卢西奇诉2008年（7月）。通过PDE方法计算混合模型中密度的边界条件。SSRN 1191962。Rannacher，R.1984年。不规则数据扩散问题的有限元解法。Numerische Mathematik，43309–327。斯特朗，G.1968年。关于差异方案的构建和比较。《暹罗J.数值分析》，5509-517。塔维拉和兰德尔，约2000年。金融工具定价。有限差分法。金融工程威利系列。纽约：约翰·威利父子公司，Toivanen，J.2010。贝茨模型下美式期权定价的分量分裂法。第213-227页：应用科学中的计算方法。斯普林格。Wang，I.R.，Wan，J。。W.L.&福赛斯，P.A.2007。在CGMY流程下，对欧洲和美国期权进行稳健的数值估值。J.康普。

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