S的表示形式简单地遵循了将连续线性泛函δ应用于f的表示形式。定理3.16应用于Lévy过程T（L（T））T≥0的协方差为T QT*产生了一类均值为零的R值不相关Lévy过程（Ln）n∈i的E（Ln（1））=1，因此t（L（t））=Xn∈IgndLn（t）。这样我们就有了-sψ（s）dL（s）=ZtXn∈我（犹他州）-sgn）σ（s）dLn（s）=Xn∈IZt（犹他州）-sgn）任何t的σ（s）dLn（s）≥ 0.这是f的第一个表示形式。在另一个假设下，我们有-sgnσ（s）dLn（s）=ZtZsUs-rg′nσ（r）dLn（r）ds+gnZtσ（s）dLn（s），从而完成了证明。指数曲线当然特别有趣，即形式为gn（x）=λne的曲线-γnx。在这种情况下，我们可以更明确地计算积分，结果表明，正向曲线f（t）对应于Lévy驱动的Ornstein-Uhlenbeck型过程之和：推论3.18。设I={1，…，d}，d∈ N、 （γN）N∈Ia族的成对不同元素inR+和（λn）n∈R，gn（x）：=λne-n的γ∈ 一、 x∈ R+并假设ogn∈ Hw，因此GNI属于x、 对任何人来说∈ 一、 oT QT*g=Pn∈Ihgn，gign，g∈ Hwandoβ在由gn，n生成的向量空间中具有值∈ I.Thenf（t）=Utf+Xn∈其中dxn（t）=（un（t）- γnXn（t））dt+σ（t）dLn（t）。无论如何∈ R+，其中Ln如定理3.17和un:R+×Ohm → R是一个可预测的过程。此外，我们有s（t）=f（t）+Xn∈其中dYn（t）=（un（t）- γnYn（t））dt+λnσ（t）dLn（t）对于任何t∈ R+。证据因为g′n=-λngn∈ 我们的GNI属于x、 自（γn）n∈我是两两不同的我们有∈它是线性独立的。让V Hwbe由gn，n生成的子空间∈ I和（g）*n） n∈（gn）n的双正交系∈五号。定义un（t）：=hg*n、 β（t）i，t∈ R+。商品市场中无限维远期价格模型的表示∈Ignun（t），t≥ 0

此外，Ut-sgn（x）=λne-γn（x+t）-s） =gn（x）e-γn（t）-s） ，利用定理3.17，得出f（t）=Utf+ZtUt-sβ（s）ds+Xn∈IZtσ（s）Ut-sgndLn（s）=Utf+ZUT-sXn∈Ignun（s）ds+Xn∈IgnZtσ（s）e-γn（t）-s） dLn（s）=Utf+Xn∈点火中兴通讯-γn（t）-s） un（s）ds+Ztσ（s）e-γn（t）-s） 地政总署署长(s)= Utf+Xn∈点火中兴通讯-γn（t）-（s）un（s）ds+σ（s）dLn（s）.定义实值流程xn（t）=中兴通讯-γn（t）-（s）un（s）ds+σ（s）dLn（s）,通过部件集成，它是一个Ornstein-Uhlenbeck过程dxn（t）=（un（t）- n（ndt）σn（ndt+nxt）。通过将δ应用于f的表示，S的表示简单地遵循（7）。请注意，条件是：∈ hw当然相当于z∞w（x）e-2γnxdx<∞.在w是指数函数w（x）=exp（αx）且α>0的典型情况下，当且仅当系数γn严格大于α/2时，满足该条件。确保第二个条件的一种可能性是确定行驶噪声L（t）：=Pdn=1gnBn（t），其中B是一些Rd值标准布朗运动。在这个特定的设置中，我们有推论3.19。设I={1，…，d}，d∈ N、 α>0，w（x）：=eαx对于任何x∈ R+，（γn）n∈γn>α/2和（λn）n的R+中成对不同元素的Ia族∈R，gn（x）：=λne-n的γ∈ 一、 x∈ R+并假设oL（t）=W（t）：=Pdn=1gnBn（t），ot是Hw上的身份运算符，o市场（F（t，t））0≤T≤t在Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]的意义下，不允许套利，其中B=（B，…，Bd）是Rd值标准布朗运动。Thenf（t）=Utf+Xn∈商品市场中无限维远期价格模型的IgnXn（t）表示，其中dxn（t）=（un（t）- γnXn（t））dt+σ（t）dBn（t）和un:R+×Ohm → R是一个可预测的过程。此外，我们有s（t）=f（t）+Xn∈其中dYn（t）=（un（t）- γnYn（t））dt+λnσ（t）dBn（t）对于任何t∈ R+。证据我们开始计算W的协方差算子Q。让V Hwbe是由g，…，生成的向量空间，广东。

那么对于任何h，g∈ 当h与V正交时，我们有hW（1），gi=0和hencehQh，gi=E（hW（1），hihW（1），gi）=0。让（g）*, . . . , G*d） 是V中（g，…，gd）的双正交系。为了n，k∈ 我们有hw（1），g*ni=Bn（1），因此为hQg*n、 g*ki=1{n=k}。因此，Qg=Pdn=1hg，gnign。现在我们证明β取向量空间V中的值 HwG生成，广东。Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]的资产定价基本定理产生了一个等价的概率测度Q，使得（F（t，t））0≤T≤对于任何T>0的情形，都是qf下的σ-鞅。因为P-动力学由f（t，t）=UTf+ZtUT给出-tβ（s）ds+ZtUT-通过使用Jacod和Shiryaev[35，定理III.3.24]，我们知道W（t）=WQ（t）+RtβQ（s）dS，其中WQ是Q-布朗运动，βQ:R+×Ohm → V是一个可预测的过程。因此，Q动力学由f（t，t）=UTf+ZtβQ（s）ds+Ztσ（s）UT给出-其中βQ（t）：=β（t）+σ（t）UT-tβ（t），t≥ 0是一个可预测的过程。然而，由于F（t，t），t∈ [0，T]是Q下的σ-鞅，我们有βQ=0。因此，UT-tβ（t）=-σ（t）UT-tβ（t）∈ Vfor any 0≤ T≤ T关于上述推论，有几点值得注意。首先，我们重新证明了商品市场中典型的现货价格模型是Ornstein-Uhlenbeck过程的和。Lucia和Schwartz[38]提出了一个布朗驱动的OrnsteinUhlenbeck动力学模型，用于计算北欧电力市场中的电力现货价格。他们提出了一个单因素或双因素模型，在后一种情况下，Ornstein-Uhlenbeck过程退化为漂移布朗运动。Benth、Kallsen和Meyer Brandis[11]提出了一类一般的电价模型，定义为具有不同均值回归速度的Ornstein-Uhlenbeck过程的总和，由Lévy过程驱动。

推论3.18告诉我们，我们在远期曲线动力学中对波动率结构ψ的具体选择意味着这种现货动力学。用Ornstein-Uhlenbeck过程的有限和表示远期曲线，也可以被视为商品市场中无限维远期价格模型和固定收益理论中利率模型的有限维实现理论的特例。在Bj"ork和Gombani[15]的论文中，证明了远期利率的随机偏微分方程的解可以表示为特殊波动率项结构的Ornstein-Uhlenbeck过程的线性组合。他们的结果与上面的推论3.18非常吻合。比约克和冈巴尼[15]的理论后来被菲利波维奇和泰奇曼[24,25]、埃克兰和塔夫林[23]以及最近的塔普[45]显著推广。Benth和Lempa[14]对Tappe[45]的理论进行了修改，并将其略微扩展到商品市场的前向曲线模型，作者将其应用于最优投资组合管理。Barth和Benth[7]设计并分析了基于双曲型随机微分方程数值解理论的远期价格动态模拟方案。该方法采用协方差算子分解和有限元方法。4.HW上的运营商在本节中，我们对HW空间上与远期价格建模相关的各类运营商进行了深入分析。在（6）中的前向价格f（t）的动力学中，我们在Noise L的波动率、ψ和协方差Q中存在算子。正迹类算子在平方可积Lévy过程中起着重要作用，参见Peszat和Zabczyk[41，第4.4节，第4.6节]。

这些算符是对称Chilbert-Schmidt算符的平方，我们提供了这些算符的完整特征。事实证明，Hwa上的Hilbert-Schmidt算子几乎是积分算子。此外，我们还分析了积分算子和乘法算子的特殊情况，它们与商品和能源的具体建模目的密切相关。在本节中，操作员W将HWL映射到WF定义的L（R+）中=√wf′（15）将变得有用。它认为（δ，W）：Hw→ R×L（R+），f7→ （f（0），√wf′（16）是Hilbert空间Hwand R×L（R+）的等距同构。积分算子。一类有用的算子是积分算子。自然地，HWF上的积分算子定义为asIf（x）=Z∞元素f的r（x，y）f（y）dy（17）∈ 嗯。显然，如果∈ hw取决于积分核函数R:R+7→ R.然而，使用表示式f（y）=f（0）+Zyf′（z）dz，商品市场中无限维远期价格模型的表示式29we findif（x）=z∞r（x，y）dy f（0）+Z∞r（x，y）Zyf′（z）dz-dy=z∞r（x，y）dy f（0）+Z∞Z∞zr（x，y）dyf′（z）dz。该表示法中的第一项是核r给出的函数与f的求值为零的乘积。第二项也是一个积分算子，但现在的形式是f（x）=Z∞某些核函数q:R+7的q（x，y）f′（y）dy→ R.我们在续集中研究了这些，并在第4.3小节中考虑了多应用运算符。定义4.1。让我们问：R+→ R是可测量的。HWITH kernelq上的积分算子是在其域dom（T）上为这些函数f定义的∈ 满足（1）R的HW∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞ 对于任何x∈ R+和（2）x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ h由f（x）：=Z给出∞q（x，y）f′（y）dy，f∈ dom（T），x∈ R+。例如，可以在HW上实现噪声场L，并将其协方差算子Q表示为积分算子。

这意味着我们通过核函数Q定义Q，如上述定义所示。该核函数给出了曲线L（t）上两个相邻位置之间相关性的函数描述。此外，在（5）bean积分算子中的f的动力学中加入ψ，使我们能够将噪声L与核函数q混合，在某种意义上，核函数q可以缩放不同位置的各种噪声源，以在一个函数中弥补噪声。这是对有限维噪声情况的自然概括，其中一种典型情况是具有易失性，即噪声向量中各种分量的线性组合。为了理解积分算子，我们按照以下方式进行。备注4.2。如果T是一个具有核q的积分算子，那么它是定义在任何地方的，即其域等于Hwif且仅当（1’）q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+和（2’）x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ HWF∈ 嗯。条件（1\'）确保fq（x）：=R∞q（x，y）f′（y）dy，x∈ R+定义了一个可测量的函数。而条件（2\'）确保FQ实际上是硬件的一个元素。有时，核为q的积分算子T可以推广到那些函数f∈ 积分器在哪里∞q（x，y）f′（y）dy对任何x都有意义≥ 然而，我们不能期望得到的函数是HW的成员，甚至是连续的，但正如我们接下来展示的，它们是可测量的。这一技术扩展需要以后进行。商品市场中无限维远期价格模型的表示30引理4.3。设T是核为q和f的积分算子∈ 就这样∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞对于任何x∈ R+。定义（x）：=Z∞任意x的q（x，y）f′（y）dy∈ R+。那么fq是一个可测量的函数。证据让rn:R+→ 所以rn是基本的rn→ q点态与| rn（x，y）|≤ 2 | q（x，y）|。让gn:R+→ 所以GNI是基本的，gn→ f′点态Lesbegue-a.e.和| gn（x）|≤2 | f′（x）|。然后rngn→ qf′和|rngn |≤ 4|qf′|。

因此，支配收敛定理yieldsh（x）：=Z∞q（x，y）f′（y）dy=limn→∞Z∞rn（x，y）gn（y）dy.然而，hn:R+→ R、 x7→R∞rn（x，y）gn（y）dy是基本的，因此是可测量的。因此，他给出了可测函数的逐点极限，从而得到了可测函数。回想一下，对于任何序列（fn）n，算子T被定义为闭合的∈在T的域中，使Fn收敛到某个f∈ Hwand T收敛到某个g∈ 我们在T和T f=g的域中有fis。通常，在L（R+）积分算子上，对于积分表达式产生L-函数的那些函数，精确定义的积分算子是不闭合的！，参见Grafakos[30，定理I.1]。然而，满足条件（1\'）的积分算子T是闭合的，正如我们现在所展示的。引理4.4。设T是核为q的积分算子。假设备注4.2中的（1\'）是满足的，即q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+。那么T是一个闭线性算子。证据T的线性很明显。定义b（x，y）：=q（x，y）/pw（y）对于任何x，y∈ R+。然后b（x，·）∈ 任意x的L（R+）∈ R+是假设的。让（fn）n∈Nbe T域中的一系列元素，它们在Hw中收敛到某个f，使得T FN在Hw中收敛到某个g。重新调用（15）中定义的运算符，它是一个连续线性运算符。因此Wfn→ W在L.让x∈ R+。我们有q（x，·）f′n=b（x，·）Wfn→ b（x，·）Wf=q（x，·）f′，其中收敛于L（R+）。HenceT fn（x）=Z∞q（x，y）f′n（y）dy→Z∞q（x，y）f′（y）dy=：h（x）。引理3.1得出T fn（x）→ g（x）。因此，h=g。因此，h∈ 这意味着∈ dom（T）和g=tf。商品市场中无限维远期价格模型的表示如下推论表明，积分算子是连续的当且仅当其处处定义。与备注4.2中的声明相比，这是一个巨大的改进。

然而，积分算子的有界性条件并不是处处都定义的，涉及的问题更多。推论4.5。设T是核为q的积分算子。T是连续的当且仅当下列两条语句满足时。（1）q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+。(2)x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ HWF∈ 嗯。证据假设这两个条件都满足，那么T的定义无处不在。引理4.4证明T是闭算子。闭图定理表明T是一个连续的线性算子。现在假设T是一个连续线性算子。让f∈ Hwand x∈ R+。那么f在T的域中，因此它通过定义andZ满足条件（2）∞|q（x，y）/w（y）（wf′（y））| dy=Z∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞.因为这对任何f都是正确的∈ 我们的结论是→ q（x，y）/w（y）∈ L（R+）。这证明了这个推论。让我们考虑一个例子，它构成了电力市场的一个重要案例。在我们对远期曲线动力学f（t）的定义中，请参见（5），我们用固定的交货时间x对合同的远期价格进行建模∈ R+。在电力市场中，一个是在给定的时间段内进行合同交付的交易，这些合同可以被视为在交付期内的每个固定时间点持有一个货代交付组合（见Benth和Koekebakker[12]）。如果我们用Fτ（t，x）表示交货时间为x的合同在t时的远期价格∈ R+和交货时间τ∈ R+，我们发现fτ（t，x）=τZx+τxf（t，y）dy。（18） 远期价格Fτ（t，x）是函数y7的平均值→ 按照市场惯例，f（t，y）在交付期[x，x+τ]内。

从表达式f（t，y）=f（t，x）+ZyxFx（t，z）代表y≥ x、 我们从富比尼的理论中发现，EMFτ（t，x）=τZx+τxf（t，x）+ZyxFx（t，z）dzdy=f（t，x）+τZx+τxZx+τzdyFx（t，z）dz=f（t，x）+z∞qτ（x，y）F商品市场中无限维远期价格模型的x（t，y）Dy表示，qτ（x，y）=τ（x+τ）- y） 1[x，x+τ]（y）。用Tτ表示核为qτ的积分算子。我们观察到函数y7→ 对于每个给定的x，qτ（x，y）在[x，x+τ]上有支撑∈ R+，因此推论4.5中的条件（1）非常满足，因为w是w（0）=1的连续递增函数。此外，由于（Tτf）′（x）=τddxZx+τx（x+τ- y） f′（y）dy=f（x+τ）- f（x）τ- f′（x）它认为z∞w（x）（（Tτf）′（x）+f′（x））dx≤τZ∞w（x）Zx+τx（f′（y））dyτdx≤τZ∞Zx+τxw（y）（f′（y））dyτdx≤τZ∞w（y）（f′（y））dy<∞,每f∈ 我们分别使用了Jensen不等式，w是递增的，以及Tonelli定理。因此，通过三角不等式我们发现，kTτfkw≤ kTτf+f kw+kf kw<∞.这表明推论4.5的条件（2）是满足的，这意味着Tτ是Hw上的连续积分算子。此外，Fτ（t）∈ Hw适用于任何前向曲线f（t）∈ 嗯。因此，我们得出结论，给定交付长度τ的电力远期价格动态可以在Hw中通过应用连续积分算子以及Hw中实现的远期曲线上的单位映射来实现：Fτ（t）=（Id+tτ）（F（t））我们注意到交付长度τ被视为一个参数。实际上，我们可以将其作为第二个变量引入，并以与Hw类似的方式在R+上引入函数空间。我们把这个留给未来的研究。我们继续对Hw上的积分算子进行一般分析。为了证明由函数q定义的积分算子是有界的，考虑Schur引理是有用的（参见Grafakos[30，附录I.1]）。

注意，这个引理有时被称为舒尔测试。然而，我们首先必须识别HW上的积分算子和L（R+）上的积分算子。定理4.6。设T是核q上的积分算子。假设q对其第一个分量defineb（x，y）有绝对导数：q（x，y）pw（x）/w（y）并假设（1）q（0，·）/√W∈ L（R+）（2）supx∈RR∞|b（x，y）| dy=：A<∞ 和（3）supy∈RR∞|b（x，y）| dx=：b<∞.商品市场中无限维远期价格模型的表示33t被密集定义并以c为界：=Z∞q（0，y）w（y）dy+AB1/2.因此，T可以唯一地推广到连续线性算子。此外，b在其第二个变量中是局部可积的，因此我们可以定义函数Q*（y，x）：=Zysw（x）w（z）b（x，z）dz。T的对偶是一个连续线性算子，以c和T为界*g（y）=Zyq（0，z）w（z）dzg（0）+Z∞Q*（y，x）g′（x）dx，代表g∈ Hw，y∈ R+使wg′∈ L（R+）∩ L∞（R+）。此外，如果加上（1′）q（x，·）/√W∈ L（R+），对于任何x∈ R+，那么T是一个连续线性算子。如果q*（y，·）/√W∈ L（R+）代表任何人∈ R+，然后是T的表示*扩展到硬件中的所有功能。证据Schur引理，参见Grafakos[30，附录I.1]，得出thateRf（x）：=Z∞b（x，y）f（y）dy，f∈ D（eR），x∈ R+是L（R+）上的一个算子，其界（AB）为1/2，其域包括L（R+）∩L∞（R+）。自从q（x，y）=pw（y）/w（x）b（x，y），我们从条件（2）和w的局部有界性得出结论：q是局部可积的。LetfW:L（R+）→ Hw，G7→Zx（w（z））-1/2g（z）dz。fw是等距的，WfW是L（R+）上的恒等式，其中W在（15）中定义。ThusR:=fWeRW是一个密集定义的算子，其界（AB）为1/2。让f∈ hw使得f′是连续的，并且具有紧凑的支撑C∈ dom（eR）和f∈ 多姆（R）。

ThusRf（x）=Zx（w（z））-1/2Z∞b（z，y）pw（y）1C（y）f′（y）dydz=ZxZCq（z，y）f′（y）dydz=ZCZxq（z，y）dzf′（y）dy=ZC（q（x，y）- 商品市场中无限维远期价格模型的q（0，y））f′（y）dyREPRESENTATION，其中我们对第二个方程使用了Fubini定理。条件（1）意味着∞|q（0，y）f′（y）| dy<∞,因此我们有Rf（x）+tf（0）=tf（x），x∈ R+。向量空间v:={f∈ Hw:Wf∈ L（R+）∩ L∞（R+）}在hw中是稠密的，因为（16）表示（δ，W）是等距的，（δ，W）（V）=R×L（R+）∩ L∞（R+）和L（R+）∩ L∞（R+）在L（R+）中是稠密的。由于V包含在T的域中，我们发现T是密集定义的。现在让我们来看f∈ dom（T）与kfk≤ 1.然后是毕达哥拉斯定理、柯西-施瓦兹不等式和R implykT fk=k（x 7）的界→ tf（0））k+kRfk≤Z∞q（0，y）w（y）dy+AB.观察，q*也满足条件（1）、（2）和（3）。因此，积分算子R*与内核q*密度定义为（AB）1/2。此外，与上述方法的模拟计算表明：*fWg（x）=Z∞b（y，x）g（y）dy，对于有界紧支撑函数g和WR*fW是双ofeR。因此，R*是R的对偶算子。现在很容易推导出T的对偶算子。引理4.4指出，额外的假设意味着T是闭合的。然而，一个封闭的、有界的、密集定义的算子是处处定义的、连续的。备注4.7。在q（x，y）=q（0，y）的特殊情况下，我们看到T的对偶是一个算子，它取函数的初始值并与h（y）相乘：=Zyq（0，z）w（z）dz。因此，我们可以写T*= Mhδ，其中Mh通过函数h表示乘法运算符。我们将在第4.3小节中返回到对一般乘法运算符的更详细研究。一类重要的积分算子是卷积型算子，即。

f（x）=Z的算子∞k（x）- y） f′（y）dy，或者换句话说，一个核为q（x，y）的积分算子：=k（x）- y） 。下一个推论重申了定理4.6对于此类卷积型算子的条件。然而，为了简单起见，我们将只在空间hw中的权函数w是指数函数的情况下这样做。推论4.8。让k:R→ R+是可测函数，T是核q:R上的积分算子+→ R、 （x，y）7→ k（x）- y） 。假设商品市场中无限维远期价格模型的表示为35（1）w（x）=eαx，对于某些α>0和任何x∈ R+，（2）R∞|k（x）- y） |e-αydy<∞ 对于任何x∈ R+，（3）k有一个绝对连续的导数，（4）R∞-∞|k′（s）| eαs/2ds<∞.那么T是一个连续线性算子。证据定义（x，y）：=q（x，y）pw（x）/w（y），x，y∈ R+。那么b（x，y）=k′（x- y） e1/2α（x-y） 对于任何x，y∈ R+。让x∈ R+，然后是Z∞|b（x，y）| dy=Zx-∞|k′（s）|e1/2αsds和hencesupx∈R+Z∞|b（x，y）| dy=Z∞-∞|k′（s）| e1/2αsds。同样的道理，我们也会被打败∈R+Z∞|b（x，y）| dx=Z∞-∞|k′（s）| e1/2αsds。我们有∞q（x，y）/pw（y）dy=Z∞|k（x）- y） |e-任意x的αydy∈ R+。该主张源自定理4.6。让我们回到Thm中描述的现场动力学，结束关于积分算子的这一小节。3.8。回想一下，即期波动率由σ（t，s）=hψ（s）Qψ给出*（s） ht-s、 ht-硅。这里，Q是正向动力学f（t）驱动噪声的协方差算子，ψ是其动力学中的波动算子。如果我们现在假设ψ（s）=eσ（s）T，对于HwT上的积分算子g（x）=Z∞ψ（x，y）g′（y）dy。观察eσ是一个可预测的R值随机过程。我们还假设Q是Hw上的积分算子，cf。

定理4.11Qg（x）=Z∞q（x，y）g′（y）dy。在上述假设下，我们可以计算σ（t，s），并发现σ（t，s）=eσ（s）Z∞Z∞w（u）ψ（t）- s、 z）q（z，u）ψ（t）- s、 u）商品市场中无限维远期价格模型的表示，其中QI是q相对于其第一个参数的偏导数。因此，σ（t，s）的形式为σ（t，s）=eσ（s）γ（t- s） ，给出了LSS过程（见Barndorff Nielsen等人[5]）。我们看到确定性核函数γ（t-s） 将是波动率算子ψ和协方差算子Q的核的积分。一个简单的特殊情况是假设ψ（x，y）=ξ（x）θ（y），在这种情况下，我们发现σ（t，s）=eσ（s）cξ（t- s） 对于常数c，在这个简单的例子中，我们可以通过适当地选择ξ来恢复spotprice动力学中有趣的LSS过程。例如，我们可以通过让ξ（x）=b来恢复所谓的连续时间自回归移动平均（CARMA）过程*exp（Ax）ep。这里，epis是Rp，p中的第p个标准基向量∈ 请注意∈ rpa是向量b*= （b，b，…，bq=1，0，…，0）表示q<p，A是形式的p×p矩阵=0我-αp-αp-1··· - α,当αi>0时，i=1，我和p- 1×p- 1.身份矩阵。我们说，对于这个特殊的选择，我们有一个由偏好调制的CARMA（p，q）动力学。请注意，我们可以自由选择协方差核q和θ，这意味着我们可以有许多不同的正向曲线模型，从而得到相同的CARMA spot模型。CARMA过程已应用于温度模型（见Benth和Saltyt˙e Benth[10]和H"ardle和Lopez Cabrera[31]）、现货电价（见Garcia、Klüppelberg和Müller[29]）和石油价格（见Aschke和Prokopczuk[40]）。有关CARMA过程的详细分析，请参阅Brockwell[17]的读者。希尔伯特-施密特算子。

在本节中，我们将分析HW上的希尔伯特-施密特算子。Lar上的Hilbert-Schmidt算子正是积分算子，其中核是L函数，Hilbert-Schmidt范数是它们的L范数。利用这一点，可以用积分算子来识别HW上的Hilbert-Schmidt算子，因为HW几乎是等距的。引理4.9。设T是L（（R+，B，λ），R）上的Hilbert-Schmidt算子。然后是b∈L（（R+，B，λ），R）使得t f（x）=Z∞b（x，y）f（y）dy（19）对于任何f∈ L（（R+，B，λ），R），其中λ表示二维勒贝格测度。T的hilbert-Schmidt范数是b的L范数。此外，如果b是L（（R+，b，λ），R）的一个元素，那么T f（x）：=Z∞商品市场中无限维远期价格模型的b（x，y）f（y）动态表示定义了一个希尔伯特-施密特算子。证据这是直接从希尔伯特-施密特算子的同构到H:=L（（R+，B，λ），R） L（（R+，B，λ），R）和从H到L（（R+，B，λ），R）。下一个引理表明，余维为1的子空间上的Hilbert-Schmidt算子是积分算子：引理4.10。设C是Hw:={f上的闭线性算子∈ Hw:f（0）=0}。那么下面的语句是等价的。（1） C是希尔伯特-施密特算子。（2） C是积分算子，有b∈ L（R+）使得C的核由q（x，y）给出：=Zxpw（y）/w（z）b（z，y）dz，x，y∈ R+。（20） 如果第二种说法成立，那么希尔伯特-施密特范数与B的L（R+）-范数一致。证据假设C是Hilbert-Schmidt算子。那么T:=WCW-1是一个Hilbert-Schmidt算子，其中W是（15）中限制为Hw的同构，T和C具有相同的Hilbert-Schmidt范数。引理4.9给出了一个平方可积函数b，使得tf（x）=R∞b（x，y）f（y）dy和Hilbert-Schmidt范数与b.SinceW的L范数一致-1g（x）=Zxg（y）pw（y）dy，一个简短的计算得到C的表示。

的确，对于f∈ Hwwe haveCf（x）=W-1T Wf（x）=Zxpw（y）T Wf（y）dy=Zxpw（y）Z∞b（y，z）Wf（z）dzdy=Zxpw（y）z∞b（y，z）pw（z）f′（z）dzdy=z∞q（x，z）f′（z）dz，其中我们使用了富比尼定理，q由方程（20）定义。现在假设C是由条件（2）中的函数给出的积分算子。然后，由方程（19）定义的Tde是希尔伯特-施密特算子。与之前相同的方程式得出C=W-1T W。商品市场中无限维远期价格模型的表示下一个定理给出了Hw上Hilbert-Schmidt算子的完整特征。屋顶利用了上述引理。定理4.11。设C是Hw上的Hilbert-Schmidt算子。然后有一个平方可积函数b:R+→ R、 g，h∈ HwG（0）=0=h（0）和c∈ R使得cf（x）=cf（0）+hg，fi+f（0）h（x）+Z∞q（x，z）f′（z）dz，其中q（x，z）：=Rxpw（z）/w（y）b（y，z）dy。此外，给出了C的Hilbert-Schmidt范数nbykckhs=C+hg，gi+hh，hi+ZR+b（x，y）dxdy。C的对偶算子由C给出*f（x）=cf（0）+g（x）f（0）+hf，hi+Z∞Q*（x，z）f′（z）dzq其中*（x，y）=Rxpw（y）/w（z）b（y，z）dz。特别地，C是对称的当且仅当b是对称的且g=h。让Hcwbe表示Hw中的常数函数集。Hw是HcWandHw的正交和，其中Hw在引理4.10中定义。因此我们有 Hw=Hcw 六氯环己烷+六氯环己烷 Hw+Hw Hcw+Hw 右侧的空间相互正交。因此，第一个主张遵循引理4.10和毕达哥拉斯定理的范数值。C的结构*根据类似的论点。定理4.11可用于寻找正半限定迹类算子的表示。实际上，任何正半限定迹类算子都是对称HilbertSchmidt算子的平方。这两类算子在希尔伯特空间的随机积分理论中都起着关键作用。

Peszat和Zabczyk[41]。推论4.12。设Q是Hw上的正半限定迹类算子。然后就有了∈ R+和一个可测函数l : R+→ R如此l 是绝对连续的变量，（1）l(0, ·)/√W∈ L（R+）（2）（x，z）7→w（z）w（x）(l（x，z）是对称可积的，（3）Qf（x）=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dzc+Zxl（0，z）/w（z）dz+ f（0）Z∞l（x，z）l（0，z）/w（z）dz+z∞Z∞l（x，z）l（z，y）dzf′（y）对于任何f∈ Hw，x∈ R+。商品市场中无限维远期价格模型的表示39（4）hQf，fi=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz+Z∞f（0）l（0，x）+Z∞w（x）l（x，z）f′（z）dyw（x）dxf∈ 嗯。（5） Tr（Q）=c+R∞（q（0，z））/w（z）dz+R∞hq（x，·），q（x，·）i/w（x）dx，如果c∈ R+和l : R+→ R是可测量的，在其第一个变量中是绝对连续的，l 满足（1）和（2），Q由（3）定义，那么Q是满足（4）和（5）的正迹类算子。证据设C是Q的对称根，则C是Hw上的对称Hilbert-Schmidt算子。设b，g，h，c，q如定理4.11所示。因为C是对称的，我们可以从定理4.11中看出G=h和b是对称的。定义l（x，z）：=h′（z）w（z）+q（x，z）。然后l（0，·）=wh′因此l满意度（1）。此外，w（x）w（z）(l（x，z））=b（x，z），x，z∈ R+因此l 满意度（2）。我们还有cf（x）=cf（0）+hh，fi+f（0）h（x）+Z∞q（x，z）f′（z）dz=f（0）（c+h（x））+z∞l（x，z）f′（z）dz和henceQf（x）=Cf（x）=Cf（0）（c+h（x））+z∞l（x，z）（Cf）′（z）dz=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz（c+h（x））+Z∞l（x，z）f（0）h′（z）+z∞l（z，y）f′（y）dydz=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dzc+Zxl（0，z）/w（z）dz+ f（0）Z∞l（x，z）l（0，z）/w（z）dz+z∞Z∞l（x，z）l商品市场中无限维远期价格模型的（z，y）dzf′（y）DYF表示∈ Hw，x∈ R+，我们在最后一个方程中使用了富比尼定理。此外，hQf，fi=hCf，cfi=（Cf（0））+Z∞（（Cf）′（x））w（x）dx=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz+Z∞f（0）l（0，x）+Z∞w（x）l（x，z）f′（z）dyw（x）dxf∈ Hw，x∈ R+。

如果Ti是一个具有核qi，i=1，2，3和TT=T的积分算子，那么在许多情况下，我们可以表示q，q的qin项。例如，如果我们让（5）中f的动力学中的ψ在积分算子集中有值，那么协方差f由hhf，fii（T）=ZtUt给出-sψ（s）Qψ（s）*U*T-sds。ψQψ*是一个正迹类算子，可以用（ψC）（ψC）表示*其中C是Q的非对称根，然后C和ψC是Hilbert-Schmidt算子，因此它们是“几乎”积分算子。如果选择ψ作为积分算子，则可以得到ψC核的公式。让我们陈述一下连接这些发电机的一般条件。定理4.13。设Tibe是一个具有核qi的积分算子，i=1、2、3和T 它被密集地定义。假设（1）QI相对于第一个变量是绝对连续的，（2）z 7→ 啜饮|q（y，z）|√w（z）：y∈ [y，y+1]∈ L（R+）表示任何y∈ R+，（3）z 7→ 啜饮|q（y，z）|√w（z）：y∈ [y，y+1]∈ L（R+）表示任何y∈ R+和（4）z 7→√w（z）R∞|q（x，y）q（y，z）|dy}∈ 任意x的L（R+）∈ R+。然后q（x，z）=z∞q（x，y）q（y，z）dy，x，y∈ R+。证据注意，条件（1）到（3）意味着z 7→ q（y，z）f′（z）和z7→ q（y，z）f′（z）对任何y都是可积的∈ R+因为| f′而|√对于任何f，w都是平方可积的∈ 嗯。此外，y中的一致条件允许交换z积分和关于toy henceZ的导数∞q（y，z）f′（z）dz=yZ∞q（y，z）f′（z）dz。商品市场中无限维远期价格模型的表示41类似地，条件（4）收益率（y，z）7→ q（x，y）q（y，z）f′（z）对任何f都是可积的∈ Hw，x∈ R+。这样我们就有了∞q（x，z）f′（z）dz=Tf（x）=T（Tf）（x）=z∞q（x，y）YZ∞q（y，z）f′（z）dzdy=Z∞q（x，y）Z∞q（y，z）f′（z）dzdy=z∞Z∞q（x，y）任意f的q（y，z）dyf′（z）dzf∈ dom（T），x∈ 我们在最后一步中使用了富比尼定理。

由于dom（T）被密集定义为单调类参数yieldsq（x，z）=z∞q（x，y）q（y，z）dy，定理如下。我们通过观察协方差算子Q来结束对Hilbert-Schmidt算子的分析，并研究在L为Hw值的情况下，Lévy场L（t，x）上隐含的驱动正向动力学噪声的相关性。假设Q是给定的积分算子qf（x）=Z∞q（x，y）f′（y）dy对于一些“好”的核函数q，即引理3.1中定义的函数在q的域中。回想一下E[L（t，x）L（s，y）]=E[δxL（t）δyL（s）]=t∧ shQhx，hyi。我们有h′x（v）=0，v>xw-1（v），v≤ 十、因此，Qhx（u）=Z∞q（u，v）1（v）≤ x） w-1（v）dv=Zxq（u，v）w-1（v）dv。此外，（Qhx）′（u）=uZxq（u，v）w-1（v）dv。商品市场中无限维远期价格模型的表示∈ R+，hQhx，hyi=Qhx（0）hy（0）+Z∞w（u）（Qhx）′（u）h′y（u）du=Zxq（0，v）w-1（v）dv+Z∞w（u）uZxq（u，v）w-1（v）dvw-1（u）1（u）≤ y） du=Zxq（0，v）w-1（v）dv+ZyuZxq（u，v）w-1（v）dvdu=Zxq（y，v）w-1（v）dv。显然，L（t，x）和L（s，y）之间的协方差将取决于q的选择以及空间Hw的权函数w。例如，选择q（y，v）=exp(-δ（| y）- v |）和w（v）=exp(-αv）对于α>δ>0，那么假设y≥ 我们发现，空间相关结构变为（L（1，x），L（1，y））=e-δ（y）-x） s1- E-(α-δ） x1- E-(α-δ） y.请注意，这在距离y中不是静止的- 从到期日到到期日之间。备注4.14。ψQψ*是一个正迹类算子，因此它有一个唯一的正根C，这是一个Hilbert-Schmidt算子。然后定理4.11给出了一个kernelk的存在性：R+×R+→ R和函数g:R+→ R使得cf（x）=g（x）f（0）+Z∞k（x，y）f′（y）dy，x∈ R+代表任何f∈ 嗯。通过与上述类似的讨论，我们可以找到f（t，x）场的协方差（或相关性）结构，即k。

但在Q和ψ是具有充分正则核的积分算子的情况下，我们可以借助定理4.13.4.3将k与这些核联系起来。乘法运算符。另一类有用的运算符是乘法运算符。例如，我们记得它们出现在第4.1小节中与积分算子有关的部分。定义4.15。让f:R+→ R是一个可测函数，df:={g∈ Hw:fg∈ Hw}。带核f的乘法运算符由mf:Df定义→ Hw，G7→ 前景。我们有以下内容：引理4.16。核函数为mff的乘法算子是闭合的。商品市场中无限维远期价格模型的表示。让（gn）n∈Nbe DF中的一个序列，它收敛到Hw中的某个g，从而使MFGN收敛到Hw中的某个b。让x∈ R+。那么我们有b（x）=δx（b）← δx（Mfgn）=f（x）δx（gn）→ f（x）g（x）。因此fg=b∈ Hwand g∈ DF和Mfg=b。事实证明，在关于权函数w的一些附加假设下，域DfofMfis为Hwif且仅当f∈ 嗯。在这种情况下，乘法运算符是连续的。这是下一个定理的内容：定理4.17。假设k:=R∞w（x）dx<∞ 让f:R+→ R是可测量的。那么下面的语句是等价的。（1） Mfis是Hw上的连续线性算子，（2）Mfis everwhere defined和（3）f∈ 嗯。如果mf是连续线性算子，则其算子范数最多为√5+4KKKWKwandm*fg（x）=hg，f hxi，其中hxi定义为引理3.1。证据含义（1）=>（2） 这是显而易见的。对于含义（2）=>（3） ，我们观察到f=Mf1∈ HWHERE 1∈ hw表示常数为1的函数。最后一个含义（3）=>（1） 需要更多的照顾：让g∈ Hwand回忆一下Lemma 3.2中的kgk∞≤ CKGKWWC：=√1+k。

我们有kfgkw=f（0）g（0）+Z∞w（x）（（fg）′（x））dx≤ KfKwKkw+Z∞w（x）（f（x）g′（x））+2f（x）g（x）f′（x）g′（x）+（f′（x）g（x））dx≤ KfKkw+kf k∞KKKW+kf KKKKKK∞+ 2kf k∞克格勃∞Z∞w（x）| f′（x）g′（x）|dx≤ （1+2c）KfKwKkw+2ckf KwKkw|≤ （1+2c）KfKwKwKwKwKwKwKwKwKwK+2CKfKwKwKwKwKwKwKwKwKfKwKwKwKwKwKwKwKfKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwK∈ 我们用柯西-施瓦辛格等式来表示最后一个不等式。因此，MFT是一个具有算子范数atmost的连续线性算子√1+4千千瓦。对于对偶运算符的表示，只需观察thatM即可*fg（x）=hM*fg，hxi=hg，Mfhxi=hg，fhxi。这就完成了证明。商品市场中无限维远期价格模型的表示作为一个例子，我们考虑一个特定的远期动态，使用乘法算子来定义扩散项。假设w（x）=eαx，x∈ R+对于某些α，对于空间hw大于0。在这种情况下，假设k=R∞W-1（y）dy=1/（2α）<∞ 在我们的例子中，我们假设驱动噪声是空间Hw上的布朗运动W，对于任何h，ψ（t）：=ψ（t，f（t）），ψ（t，h）：=Mhg（t）∈ Hw，t≥ 0其中g:R+→ 它是连续的。为简单起见，我们假设β=0，即正向动力学中没有漂移。定理4.17得出ψ满足命题3.7的要求。

鉴于命题3.7，有一个随机cádlág过程f，它是Hw值随机微分方程df（t）=xf（t）dt+ψ（f（t））dW（t），其中f（0）=f∈ Hw，即f（t）=Utf+ZtUt-sψ（t，f（s））dW（s），t∈ R+。设BTbe如例3.10所示，G（t，t）：=G（t，t）- t） 为了0≤ T≤ T<∞, 然后我们有F（t，t）=F（0，t）+ZtF（s，t）G（s，t）dBT（s），orF（t，t）=F（0，t）E（AT（t）），其中E（AT（t））是过程的随机指数AT（t）：=ZtG（s，t）dBT（s）。特别地，S（t）=f（t）+ZtF（S，t）G（S，t）dBt（S），t∈ R+。在这个例子中，远期的动态仅仅由一个随机指数给出，而现货价格过程遵循一个相当复杂的动态。ATis是一个具有独立增量的高斯过程。对于特定选择，G（t，t）=exp(-δ（T）- s） ）σ（T），0≤ T≤ T<∞, δ>0我们恢复了Audet等人[3]中使用的正向动力学。这里，δ用于模拟萨默森效应，时间非均匀函数σ涵盖了扩散中可能的季节性效应。我们以空间Hw的结构结果结束。提案4.18。假设k:=R∞w（x）dx<∞. 设kkk:=kkfkwforf∈ HWHERK=√5+4k。（Hw，k·k）是一个与逐点乘法有关的可分Banach代数。商品市场中无限维远期价格模型的表示。让f，g∈ 嗯。定理4.17 yieldskfgk=kkMfgkw≤ KKFKKKW=KKKKKKK。HW的Banach代数性质大大简化了前面提到的技术引理的证明（见引理3.3）：我们展示了关于平方函数Lipschitz连续性的以下推论：推论4.19。假设∞w（x）dx<∞. 然后呢- gkw≤ 3小时∞kwkg+gkwkg- GKWF对于任何g，g∈ 嗯。证据定义f+：=g+g和f-:= G- g、 然后推论4.18 yieldskg- gkw=kf+f-千瓦≤√1+4KF+KKF-千瓦。附录A。

一些技术成果我们介绍了本文正文中使用的一些技术成果和注意事项。这些结果大部分是已知的，但为了方便读者，这里收集了这些结果。A.1。里兹基地。让λ∈ C、 T>0，gλ（x）：=e-任意x的λxf∈ [0，T）和mλ：L（[0，T），C）→ L（[0，T），C），f7→ fgλ。（21）那么Mλ是可逆线性算子，kfkmin{1，e-T Re（λ）}≤ kMλfk≤ kfkmax{1，e-T Re（λ）}。引理A.1。设λ，T>0，切：R→ [0，T），x7→ 十、- max{tz:z∈ Z:TZ≤ x} andA:L（[0，T），C）→ L（R+，C），f 7→x7→ E-λxf（割（x））.那么A是一个有界线性算子，其范围在L（R+，C）中是封闭的。此外，e-2Tλ1- E-2Tλkfk≤ 卡夫克≤1.- E-2TλkF适用于任何f∈ 商品市场中无限维远期价格模型的表示证明A显然是线性的∈ L（[0，T），C）。然后是卡夫克=∞Xn=0ZnT+TnTe-2λx | f |（截（x））dx=∞Xn=0ZTe-2λx-2λtn | f |（x）dx=∞Xn=0e-2λT nkMλfkm，其中Mλ在（21）中定义。MλyieldskAfk的范数估计≤∞Xn=0e-2λT nkfk=1- E-2Tλkfk因此A以q1为界-E-2Tλ。此外，本节开头的计算也暗示了卡夫克≥∞Xn=0e-2λT（n+1）kfk=e-2λT1- E-2λTkfk。因此A是其范围上的同构。因此，A的范围是封闭的。定义A.2。让T>0。约束算子是byRT:L（R+，C）给出的连续线性投影→ L（[0，T），C），f7→ f |[0，T）.引理A.3.设λ，x>0，定义gn:R+→ C、 x7→√xe（2πinx）-λ） 设V是由（gn）n生成的L（R+，C）的闭子空间∈Z.那么以下陈述成立。（1） （gn）n∈Zis是V的Riesz基，（2）线性算子B:V→ L（[0，x]，C），f7→ f |[0，x]是可逆连续的。证据（1） 对任何人来说∈ Z定义：[0，x]→ C、 x7→√xe2πinxx。然后（恩）n∈Zi是L（[0，x]，C）的正交基。让A定义为Lemma。1.那么对于任何n，gn=aen∈ Z

因此，由（gn）n生成的闭子空间∈Z是A的范围。引理A.1和Young[47，定理1.9]中所述的A的性质意味着（gn）n∈Zis是V的Riesz基。（2） 定义B-:= A.o M-λ其中M-λ在（21）中定义。那么B是连续的，线性的，作为从L（[0，x]，C）到V的算子是可逆的。它的逆B也是可逆连续线性算子，对于n∈ N我们有Bgn=Mλen=gn |[0，x]。商品市场中无限维远期价格模型的表示47A。2.随机积分的性质。提议A.4。设U为Hilbert空间，T∈ R+，MT是U值平方可积鞅的集合，其a.s.cádlág路径定义在时间间隔[0，T]上，MT的子集合包含所有a.s.连续平方可积鞅。乐视·kT:MT→ R、 男7→ kMkT:=pE（M（T））。然后MT，cis是前Hilbert空间（MT，k·kT）的闭子集。此外，k·k相当于标准k·k*T:MT→ R、 男7→ kMkT:=pE（sup{M（t））：t∈ [0，T]}）。让M，N∈ 然后是公里- NkT=0当且仅当存在空集N Ohm 所有ω的n（ω，·）=M（ω，·）∈ Ohm\\N.证据。见Prév^ot和R"ockner[42，第2章]。作为命题a.4的一个简单推论，我们有一个众所周知的循环式a.5。设M是一个平方可积鞅，在Hilbert空间U，H是Hilbert空间，ψ中有a.s.cádlág路径和值∈ LM（H）。然后x（t）：=Ztψ（s）dM（s）定义了一个具有a.s.cádlág路径的平方可积鞅。如果M有a.s.连续路径，那么X有a.s.连续路径。提案A.6。设M是一个平方可积鞅，在Hilbert空间U，F，H中有a.s.cádlág路径和值∈ LM（F），I（t）：=Rtψ（s）dM（s），t∈ R+和Γ∈ 李（H）。那么Φ（t）：=Γ（t）ψ（t），t∈ R+是LM（H）和ZtΦ（s）dM（s）=ZtΓ（s）dI（s）的一个元素。证据

我们概述了Prév^ot和R"ockner[42，第2章]的证明：首先假设Γ和ψ是简单的。那么Φ是简单的，等式来自初等计算。一般的Γ和ψ可以用简单的被积函数来近似(Ohm, H） -等待。商品市场中无限维远期价格模型的表示参考文献[1]Andresen，A.，Koekebakker，S.和Westgaard，S.（2010）。使用多元正态逆高斯分布建模电力远期价格。J.能源市场。3(3).[2] 阿维森，W.（2002）。光谱理论短期课程，纽约斯普林格。[3] Audet，A.，Heiskanen，P.，Keppo J.和Vehvil"ainen A.（2004年）。北欧市场电力远期曲线动态建模。在竞争性电力市场的价格建模中。，威利父子公司第251-265页[4]巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1998）。正态逆高斯型过程。金融与斯托克。，2（1），第41-68页。[5] Barndorff Nielsen，O.E.，Benth，F.E.，和Veraart，A.（2013）。通过波动性调节的Lévy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利，19（3），第803-845页。[6] Barndorff Nielsen，O.E.和Schmiegel，J.（2004）。基于Lévy的节奏空间建模；应用于城市。Uspekhi Mat。诺克，59，第65-91页。[7] Barth，A.和Benth，F.E.（2010）。能源市场的正向动态——有限维建模和模拟。随机出现。[8] Benth，F.E.（2011）。商品市场中Barndorff Nielsen和Shephard的随机波动模型。数学《金融》，21，第595-625页。[9] Benth，F.E.，Saltyt˙E Benth和Koekebakker，S.（2008）。《电力和相关市场的随机建模》，世界科学院，新加坡。[10] 本思，F.E.和什阿尔蒂特˙E本思。(2013).

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