商品期货价格无限维模型的表示

2022-5-6 00:24:54

无限维远期价格模型在商品市场中的表示由ESPEN BENTH和PAUL KR"UHNERABSTRACT提出。我们研究了商品市场中的远期价格动态，这是一个过程，其价值在菲利波维奇[26]定义的绝对连续函数的希尔伯特空间中实现。正向动力学定义为有限维Lévy过程驱动的某一随机偏微分方程的温和解。研究表明，相关的现货价格动态可以表示为Ornstein-Uhlenbeck过程之和，或者更一般地表示为某些平稳过程的asum。这些结果将可能的有限维正向动力学与经典的商品现货模型联系起来。我们继续详细分析希尔伯特空间上的乘法和积分算子，并证明希尔伯特-施密特算子本质上是积分算子。驱动正向动力学的Lévy过程的协方差算子和扩散项都可以用这种算子来描述，我们在几个例子中分析了对模型动力学的影响及其概率性质。此外，我们代表一段时间内交付的合同的远期价格，以一个整体运营商为单位，这种情况与电力和天然气市场有关。在几个例子中，我们将通用模型简化为现有的商品现货和远期动态。1.引言在本文中，我们在有限维随机演算的背景下分析了商品市场的远期价格动态。

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2022-5-6 00:24:57

我们研究的动机主要来自电力和天然气等能源市场，在这些市场中，人们发现了强烈的季节性模式、不同细分市场的高度异质性风险以及峰值等非高斯特征。在数学金融中，无套利远期价格可以从标的现货商品的买入持有策略中推导出来（见赫尔[33]）。远期价格动态是由现货商品的给定随机模型所隐含的。如果通过半鞅动力学确定现货商品的价格，则可以将远期价格表示为交货时现货的条件预期值，其中预期值是根据等效鞅测度Q计算的。然而，电力是不可存储的，因此在经典意义上是不可交易的。因此，买入并持有对冲策略失效，现货价格过程本身不需要是Q鞅。因此，在推导无套利价格时，任何等价度量Q都可以用作定价度量。这就提出了一个问题：确定一个财务有效的问责日期：2018年8月11日的版本。关键词和短语。远期价格、有限维随机过程、Lévy过程、商品市场、Heath Jarrow Morton方法。本论文是在“电力市场天气风险管理”项目（MAWREM）的资助下编写的，该项目由挪威研究委员会的RENERGI项目资助。商品市场中无限维远期价格模型的表示2由于现货和远期之间的基本关系在能源市场中非常微妙，因此它似乎是直接模拟远期价格动态的合理选择。

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2022-5-6 00:25:01

Heath、Jarrow和Morton[32]首次倡导利率市场直接建模衍生工具的替代方法，通常称为HJM方法，这种新方法的思想已经转移到其他市场，如Carmona和Nadtochiy[20]、Kallsen和Krühner[36]和Bühler[18]。由于其数学性质，将HJM方法直接转移到面向商品市场。这项研究首先由Clewlow和Strickland[21]完成，后来由Benth和Koekebakker[12]在《电力市场环境》中进行了分析。然而，这两项工作都使用了由有限维维纳噪声（实际上是一维噪声！）驱动的正向曲线模型。有充分的经验证据表明，尤其是电力市场存在高度的特殊风险。Andresen等人[1]研究了北欧电力市场NordPool，发现不同交付时间的合同之间存在明确的相关性结构。Koekebakker和Ollmar[37]利用主成分分析对同一市场的早期研究也指出了噪音的高维度。此外，对弗雷斯塔德、本思和科克巴克尔[28]的研究清楚地表明，边际价格行为是非高斯的。这些来自真实市场价格的见解推动了基于有限维非高斯噪声的HJM方法。Filipovi’c[26]引入的函数空间提供了一个自然的框架来模拟正向曲线演化。这些空间已应用于固定收入市场的远期汇率动态，参见[19]。

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2022-5-6 00:25:04

用F（t，t）表示时间t的远期价格≤ T对于在时间T交付现货商品的合同，HJM方法给出了F的动力学，作为随机微分方程df（T，T）=β（T，T）dt+ψ（T，T）dL（T）的解，对于一些有限维的Lévy过程L和适当定义的参数β和ψ。因为前向曲线F（t，t）t≥t随时间改变其域使用Musiela参数化F（t，x）：=F（t，t+x），x更方便≥ 我们解释x=T- t表示交货时间，而t表示交货时间。然后，通过启发式峰值，正向曲线遵循随机偏微分方程（SPDE）df（t，x）=（β（t，t+x）+xf（t，x））dt+ψ（t，t+x）dL（t）。（1）然而，为了理解这个SPDE，在包含整个正向曲线（f（t，x））x的适当函数空间中工作是有用的≥任何时候都可以≥ 0.为此，我们将使用菲利波维奇[26]引入的空间。我们注意到，该商品的现货价格是通过达到x的极限来恢复的↓ 0英寸f（t，x）。此外，如果我们直接在定价测度Q下对远期曲线建模，这是HJM方法中的常见策略，则必须在动力学中施加鞅条件。需要注意的是，在大多数商品市场中，远期合约是流动交易的金融资产，因此，有时可以根据客观（市场）概率P对动态进行建模。商品市场中无限维远期价格模型的表示本文详细分析了远期曲线动力学。特别是，我们能够推导出给定合同单元的联合远期价格动态的各种表示，并将其与有限维模型联系起来。

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2022-5-6 00:25:07

更具体地说，我们从最初给定的正向曲线动力学的有限维噪声的协方差算子中恢复了方差结构。此外，我们还证明了特殊情况下的现货价格动态可以表示为Ornstein-Uhlenbeck过程之和。这种均值回复过程在商品市场中很流行，用于模拟价格的平稳演变，反映需求和供应的直接影响（见Benth、Saltyt˙e Benth和Koekebakker[9]的讨论和参考文献）。更一般地说，我们从所谓的德列维半平稳过程中获得了现货价格动态，这一过程最近在电力市场中受到了关注（参见Garcia、Klüppelberg和Müller[29]关于CARMA过程的特例，以及Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[5]）。这些过程在模拟温度动态时也是自然的，因此与天气远期价格有关。我们还详细研究了Filipovi’c[26]引入的空间上的算子。我们特别关注乘法和积分算子，因为在（1）中指定ψ时，以及在有限维Lévy过程中定义与（平方可积）相关的协方差算子时，它们是自然对象。我们给出了这些算子的完整刻画，其中我们特别证明了所有Hilbert-Schmidt算子本质上都是积分算子。在示例中，我们将这些运营商与能源市场中的正向动力学相关的具体模型联系起来。在电力和天然气市场，以及天气衍生品市场，远期合约通常在一个交付期内结算，而不是在特定的交付时间。例如，在债券市场中，远期合约在一天到一年的不同交付期内以每小时现货价格进行财务结算。

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2022-5-6 00:25:10

作为我们对运营者研究的一个应用，Weidenify远期合同以运营者的身份在Filipovi’c[26]定义的映射到自身的空间中的元素上确定交付期。因此，固定交货期前向曲线的分析性质可以由一个算子转换为交货期前向曲线，实际上是恒等式算子和显式给定积分算子的总和。我们的结果如下所示：在下一节中，我们找到了线性映射到有限维空间的随机过程的各种表示。第三节主要讨论了商品市场的远期曲线模型，我们从中得出了现货价格过程、远期价格过程的相关性以及远期曲线本身的各种表示。在最后一节中，我们详细分析了菲利波维奇[26]定义的空间上的积分算子、希尔伯特-施密特算子和乘法算子。1.1. 符号R、响应。C、表示真实的，相应的。复数和R+：=[0，∞)（分别为-:= (-∞, 0]）非负（或非正）实数。(Ohm, （Ft）t∈R+，A，P）总是表示一个右连续的过滤概率空间。我们用Lp（∑，u）表示从测度空间（∑，C，u）到R的p-可积函数集，如果测度没有歧义，那么我们只写Lp（∑）。对于一个操作员来说∈ L（H，H），L（H，H）是两个希尔伯特空间H之间的线性算子空间，我们用T表示T的对偶算子*. Hilbert空间H上具有有限迹的正算子集由L+（H）表示。

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2022-5-6 00:25:14

对于可分Hilbert空间U，H和U值平方可积Lévyr，商品市场中无限维远期价格模型的表示4过程L与鞅协方差Q相对于某些过滤概率空间，我们用L，T（H）表示可预测的L（U，H）值过程集，例如ZTTR（ψ（s）Qψ（s）*)) ds<∞, T≥ 0和LL（H）：=T{LL，T（H）：T>0}，参见Peszat和Zabczyk[41，公式（8.6）]，其中tr表示运算符的轨迹。在Peszat和Zabczyk[41]中使用了更多未引入的符号。HILBERT空间中随机积分泛函的表示在本节中，我们得到了HILBERT空间中随机积分线性泛函表示的一些一般结果。这些结果将有助于我们在第3节中分析前向曲线动力学，但它们本身也很有趣。让我们考虑一个形式为Y（t）=Ztψ（s）dW（s）的随机积分Y，对于在可分Hilbert空间U中具有值的布朗运动W和一个可积随机过程ψ：R+×u7→ H、 H是一个可分离的希尔伯特空间（参见Peszat和Zabczyk[41]了解条件）。有时人们只对一维边值感兴趣，即对x（t）：=t（Y（t））感兴趣，其中t是Y的状态空间H上的连续线性泛函。当然，我们有x（t）=Zt（t）o ψ（s））dW（s）。如果U是有限维的，众所周知，存在一些标准（实值）布朗运动B和一些可积随机过程σ，例如x（t）=Ztσ（s）dB（s）。下一个定理表明，如果U是任何可分离的Hilbert空间，则类似的表示成立：定理2.1。让n∈ N和H，U是可分的Hilbert空间。设W为协方差为Q的平方可积均零U值Wiener过程∈ L+。假设dim跑了（Q）≥ nand Q为正定义。

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大多数88

2022-5-6 00:25:17

让ψ∈ LW（H），T∈ L（H，Rn）和definex（t）：=tZtψ（s）dW（s）.然后有一个n维标准布朗运动B，x（t）=Ztσ（s）dB（s），表示商品市场中无限维远期价格模型，其中σ（s）：=（tψ（s）Qψ（s）*T*)1/2∈ 磅（Rn）。如果σ（s）在Rn×nNλ中是可逆的 P-almostany s∈ R、然后σ-1.∈ LX（Rn）和b（t）=Zt（σ（s））-1dX（s）。证据Peszat和Zabczyk[41，定理8.7（v）]yieldX（t）=ZtΓ（s）dW（s），其中Γ（s）：=to ψ（s）。Peszat和Zabczyk[41，推论8.17]implyhhX，Xiit=ZtΓ（s）QΓ（s）*ds。推论A.5得出X有A.s.连续路径。这些假设确保在过滤概率空间上存在无因次标准布朗运动B(Ohm, （Ft）t∈R+，A，P）。因此，Jacod[34，Corollaire 14.47（b）]得出存在一个n维标准布朗运动b，使得x（t）=Ztσ（s）dB（s）。（2）现在假设σ（s）是Rn×nNλ的可逆元素几乎所有的s∈ R、在矩阵的逆矩阵中，用∑表示。表达式（2）以及Peszat和Zabczyk[41，定义8.3，定理8.7（iv）]得出，X的鞅协方差QXof由qxt=1{Tr（σ（t）σ（t）给出*)6=0}σ（t）σ（t）*Tr（σ（t）σ（t）*), T≥ 0.然后我们有了ZTTrγ（s）QXsγ（s）*dhX，Xi（s）= nT<∞因此γ∈ LX（Rn）由定义，参见Peszat和Zabczyk[41，第113页]。HenceB（t）=Ztσ-1（s）σ（s）dB（s）=Ztσ-1（s）dX（s）。注意，如果n=1，则存在一个随机过程γ：=（Tψ）*1使得（Tψ）x=hγ，对于任何x，xi∈ U

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2022-5-6 00:25:20

如果集合{（ω，t）∈ Ohm 商品市场中无限维远期价格模型的x R+：Qγ（ω，t）=0}表示是Pλ-空集，则φ：=hγ，·ihQγ，γi1/2∈ LW（U）和上述定理中给出的标准布朗运动也由b（t）=Ztа（s）dW（s）给出。此外，我们还没有Ztψ（s）dW（s）=Zthγ（s），dW（s）i=ZthQγ（s），γ（s）i1/2dB（s）。我们将定理2.1中的结果推广到下一小节中定义为次级布朗运动的Lévy过程类。2.1. 从属布朗运动的情况。让我们回顾Benth和Krühner[13，定理4.7]对从属布朗运动的定义：定义2.2。在某个希尔伯特空间U中有值的从属布朗运动L是aLévy过程，因此存在一个U值布朗运动W和一个与W无关的从属子Θ，使得L（t）=W（Θ（t））。如果存在布朗运动WL，WN和从属运动ΘL，则从属布朗运动L，N是同一类型的，并且对于任何t，WN，ΘNare独立，WL，ΘLare独立，ΘL，ΘN具有相同的定律，且L（t）=WL WL（ΘL（t））N（t）=WN WN（ΘN（t））∈ R+。如果从属布朗运动具有有限的第一时刻，则从属布朗运动与布朗运动有一些相似之处。特别是，可以很容易地比较被积函数集。首先，我们回顾了时变过滤的概念：定义2.3。时间变化是一个右连续增长的族（θ（t））t∈关于某些右连续过滤（Ft）t的停止时间的R+∈R+。时变过滤是由Fθt:=Fθ（t）=\\s>tFθ（s）t给出的过滤∈ R+。设X为F适应随机过程，并假设时间变化为有限值。时间变化过程由Xθ（t）：=X（θ（t）），t给出∈ R+。关于从属布朗运动的随机积分，我们有以下结果。引理2.4。

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能者818

2022-5-6 00:25:23

设W是一个平均零布朗运动，其值在可分Hilbert空间U中相对于某些过滤（Ft）t∈R+，H是另一个可分Hilbert空间，ψ∈ LL（G，H）一个可测量的，Θ是一个非零的从属项，具有有限的时刻，使得Θ（t）是每个t的停止时间∈ R+。让（Gt）t∈R+是Gt:=FΘ（t）给出的时变过滤，以及商品市场中无限维远期价格模型的表示7L（t）：=W（Θ（t）），t∈ R+。然后L是一个U值平方可积Lévy过程，存在不等嵌入Γ：LL（G，H）→ LW（F，H）使得ztψ（s）dL（s）=ZΘ（t）Γ（ψ）（s）dW（s）P-a.s.，（3）其中左随机积分与过滤（Gt）t有关∈R+，正确的随机积分与过滤（Ft）t有关∈R+。证据Θ是过滤（Ft）的时间变化∈定义为R+。Benth和Krühner[13，定理4.7]得出，L本身就是一个Lévy过程，但其增量与时间变化的过滤无关，因此它是相对于过滤（Gt）的Lévy过程∈R+。为了建立等距嵌入Γ，使用初等被积函数是足够的。让ψ∈ LL（G，H）是初等的，即有n∈ N、 0≤ aj≤ bj<∞, Gaj可测平方可积随机变量Yjand~nj∈ L（U，H）使得ψ=nXj=1Yj]aj，bj]Θj。定义ψΘ：=Pnj=1Yj]Θ（aj），Θ（bj）]Θj。观察到ψ不依赖于ψ的表示。

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2022-5-6 00:25:26

我们有Θ∈ LW（F，H）和ztψ（s）dL（s）=nXj=1Yj~nj（L（t）∧ （北京）- L（t）∧ aj））=nXj=1YjΘj（W（t）∧ Θ（bj））- W（Θ（t）∧ Θ（aj））=ZΘ（t）ψ（s）dW（s）。此外，我们有∞E（hQLψ（s），ψ（s）i）dhL，Li（s）=EZ∞ψ（s）dL（s）!= E画→∞ZΘ（n）ψΘ（s）dW（s）！= EZ∞ψΘ（s）dW（s）!=Z∞商品市场中无限维远期价格模型的E（hQWψΘ（s），ψΘ（s）dhW，wi（s）表示，其中ql表示L的鞅协方差，QWdenotes表示W的鞅协方差。从构造中我们可以看出，方程（3）适用于初等被积函数，并通过密度参数适用于所有被积函数。通过利用这个引理，我们可以导出有限维随机积分的泛函与有限维随机积分之间的联系。定理2.5。让n∈ N和H，U是可分的Hilbert空间。设L是一个具有鞅协方差Q的非零、平方可积均值为零的U值从属布朗运动∈L+。假设dim跑了（Q）≥ n、让ψ∈ LL（H），T∈ L（H，Rn）和definex（t）：=tZtψ（s）dL（s）.然后有一个n维平方可积平均零Lévy过程n，使得x（t）=Ztσ（s）dN（s），其中σ（s）：=（tψ（s）Qψ（s）*T*)1/2∈ LN（Rn）。如果σ（s）在Rn×nNλ中是可逆的P-almostany s∈ R、然后σ-1.∈ LX（Rn）和n（t）=Zt（σ（s））-1dX（s）。证据首先我们假设ψ是初等的，即有n∈ N、 0≤ aj≤ bj<∞, faj可测平方可积随机变量Yjand~nj∈ L（U，H）使得ψ=nXj=1Yj]aj，bj]~nj。通过定义L，我们得到了U值维纳过程W的L（t）=W（Θ（t）），该过程W具有鞅协方差QWand和一个从属函数。设Γ为引理2.4中给出的等距嵌入。请注意，Γ（Tψ）=TΓ（ψ），因为如果ψ是初等的，这一点成立。

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2022-5-6 00:25:29

Peszat和Zabczyk[41，定理8.7（v）]，引理2.4和定理2.1 yieldTZtψ（s）dL（s）=商品市场中无限维远期价格模型的ZtTψ（s）dL（s）=ZΘ（t）Γ（tψ）（s）dW（s）=ZΘ（t）tΓ（s）dW（s）=ZΘ（t）σ（s）dB（s）表示，其中B是Rnandσ（t）上的标准布朗运动=TΓ（ψ）（T）QWΓ（ψ）*（t） t*1/2.= ΓTψQWψ*T*1/2（t）再次应用引理2.4Ztψ（s）dL（s）=Ztσ（s）dN（s），其中N（t）：=B（Θ（t）），t∈ R+和σ（t）=Tψ（T）QWψ（T）*T*1/2.Sato[44，定理30.1]暗示N是一个具有期望性质的N维Lévy过程。观察qll和QWcoincide的鞅协方差。一般情况可以用密度参数来推导。我们考虑一个例子：设Θ是一个逆高斯从属函数，即一个具有递增路径的Lévy过程，其中Θ（1）是逆高斯分布的。然后，L（t）=W（Θ（t））是Benthand Krühner[13，定义4.1]意义上的希尔伯特空间值正态逆高斯（HNIG）Lévy过程。上述定理中的Lévy过程N变成了一个无变量正态逆高斯（MNIG）Lévy过程（见Rydberg[43]）。特别是，在n=1的情况下，这是一个普通的NIG Lévy过程（见Barndorff Nielsen[4]）。NIG Lévy过程经常用于模拟各种金融市场的资产价格，包括商品（见B"orger等人[16]）和电力（Andresen，Koekebakker和Westgaard[1]，Benth，Frestad，Koekebakker[28]）。HNIG Lévy过程与功率前向曲线动力学建模相关。在这些一般性考虑之后，我们现在将重点讨论远期价格的动态以及本文剩余部分中的各种表示。3.远期曲线建模和表示我们有兴趣研究远期价格F（t，t），0的动态≤ T≤ T，指在T>0时交付商品的合同。

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2022-5-6 00:25:33

我们将主要关注F在Musiela参数化方面更方便的表示，其中我们让F（t，t）=F（t，t）- t），对于函数f（t，x），x≥ 0表示交付时间为x的合同在t时的远期价格。我们将f解释为一个随机过程，其值在R+上的函数空间中。更具体地说，我们考虑菲利波维奇[26，第5章]引入的希尔伯特空间。这些希尔伯特空间适用于在Musiela参数化中对远期利率曲线进行建模，参见例如Filipovi\'c、Teichman和Tappe[27]。由于远期价格的建模在理念上与固定收入市场中的远期利率相似，我们采用了以下空间进行分析。商品市场中无限维远期价格模型的表示103.1。关于Hw的一些初步结果。让我们先介绍和回顾一下空间的一些基本事实，然后再将注意力转向前向曲线及其动力学。我们注意到，关于HW的以下结果基本上可以在菲利波维奇[26，第4、5章]中找到。然而，有些结果是轻微的修改，增加了证据。设AC（R+，R）是函数g:R的集合+→ R是绝对连续的。对于函数w:R+→ [1, ∞) 连续、递增且w（0）=1，定义：=G∈ AC（R+，R）：Z∞w（x）g′（x）dx<∞.我们引入内积hg，hi:=g（0）h（0）+R∞w（x）g′（x）h′（x）dx和相应的范数kgkw:=phg，gi对于任何g，h∈ 嗯。请注意，以下所有结果也表明，ifAC（R+，R）被AC（R+，C）取代，但这没有财务意义。我们观察到，点评估δx:Hw→ R代表任何x∈ R、其中δx（g）=g（x），是Hw上的连续线性泛函。它的对偶算子可以明确地刻画，如下面的引理所示：引理3.1。

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2022-5-6 00:25:37

为了x∈ R、定义：R+→ R、 y 7→ 1+Zy∧当δxis的对偶算子由δ给出时*x:R→ Hw，C7→ chx及其算子范数由kδxkop=hx（x）给出。证据第一种说法是菲利波维奇[26，引理5.3.1]的特例。接下来，由于算子范数与hxwe的范数重合，因此得到kδxkop=hx（0）hx（0）+Z∞w（y）（h′x（y））dy=1+Zxw（y）dy=hx（x）。因此，引理如下。在附加假设下∞w（x）dx<∞HW中的函数具有连续的完整性，而“完整性点评估”对应于使用函数H的标量积∞: R+→ R、 x7→ 1+Zxw（s）ds。（4）下面的引理总结了这些事实。商品市场中无限维远期价格模型的表示11引理3.2。假设∞w（x）dx<∞. 森克∞:= 好的∈R+| g（x）|≤ ckgkw。式中c:=q1+R∞w（x）dx。此外，h∞∈ Hwandlimx→∞g（x）=hh∞, 大兵。对于任何g∈ Hwand h∞定义见第（4）条。证据我们有∞千瓦=1+Z∞w（x）dx=c，因此为h∞∈ 嗯。通过引理3.1中给出的hx，我们可以看到thatkh∞- hxkw=Z∞xw（y）dy→ 0，x→ ∞.因此hx→ H∞在Hwfor x中→ ∞. 因此引理3.1意味着limx→∞g（x）=limx→∞hhx，gi=hh∞, 大兵。特别地，g是有界的。让x∈ R+。引理3.1产生| g（x）|≤ KHXKWKKW=hx（x）KKKW≤ ckgkw，也就是KKK∞≤ ckgkw。下面的技术引理稍后需要用到。证明了平方函数在有界集上是Lipschitz连续的。引理3.3。假设k:=R∞w（x）dx<∞. 然后呢- gkw≤√5+4kkg+gkwkg- GKWF对于任何g，g∈ 嗯。特别是，（·）：Hw→ Hw，G7→ Hw有界子集上的gis-Lipschitz连续。显然，第二部分来自第一部分。由于第一部分的直接证明是非常技术性的，因此我们将其委托给下面的推论4.19，其中Lipschitz连续性很容易从Hw的Banach代数结构中得到，相对于逐点乘法（参见。

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2022-5-6 00:25:40

4.18).在定义f的动态时，远期价格，相对于x的微分算子，x、自然发生。对于Hw上的这个算子，我们有以下方便的结果：定理3.4。我们有x:{g∈ Hw:g′∈ Hw}→ Hw，G7→ g′是商品市场中任意t，x的无限维远期价格模型的utg（x）=g（t+x）表示给出的强连续半群的生成元∈ R+，g∈ 嗯。证据见菲利波维奇[26，定理5.1.1，备注5.1.1]。移动框架法尤其适用于强连续半群的拟压缩生成元，参见Tappe[46]。引理3.5。生成的半群xis是准收缩的，即存在一个常数β>0，这样kutkop≤ 任何t>0的etβ。证据让g∈ Hw，使kgkw≤ 1和t∈ [0, 1]. ThenkUtgkw=g（t）+Z∞（g′（t+y））w（y）dy≤ g（0）+2g（0）Ztg′（y）dy+Ztg′（y）dy+Z∞t（g′（y））w（y）dy≤ g（0）+2kgkw | hg，ht- 嗨|+tZt（g′（y））dy+Z∞t（g′（y））w（y）dy≤ g（0）+2KKWKHT- hkw+Z∞（g′（y））w（y）dy=kgkw（1+2kht）- hkw）其中HTA定义为引理3.1。上面我们用Schwarz不等式表示第二个不等式，用Cauchy-Schwarz不等式表示第三个不等式。因此我们有库特科普≤p1+2kht- hkw≤ 1+t≤ exp（t），它显示了t的断言不等式∈ [0, 1]. t>1的不等式随后是迭代。有了空间Hwat的这些结果，我们现在准备开始分析正向动力学。3.2. 一般正向曲线动力学。我们考虑一个形式为df（t）=(xf（t）+β（t））dt+ψ（t）dL（t），t≥ 0（5）在其温和公式f（t）=Utf+ZtUt的意义上-sβ（s）ds+ZtUt-sψ（s）dL（s），t≥ 0（6）对Musiela参数化中规定的远期价格动态进行建模。在这里≥0表示由x、比照。

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2022-5-6 00:25:43

引理3.5，我们假设L是一个平方可积的平均零Lévy过程，其值在某个希尔伯特空间U和Q的协变算子中。此外，我们用f（0）=f表示初始条件，其中f∈ 嗯。远期动态的“波动性”为ψ∈ LL（Hw），我们有可积漂移β：R+×Ohm → 嗯。对于空间Hw，我们假设k:=R∞w（s）ds<∞.商品市场中无限维远期价格模型的表示13备注3.6。如果（b，C，F）是L相对于某截断函数χ的特征，则L（1）的平均值m和协方差算子Q由qx=Cx+ZUyhx，yiF（dy）和m=b+zuy（y）给出- 对于任意x，χ（y））F（dy∈ U、参考文献[41，定义4.45]，角度括号由hL给出，Lit=tTr（Q）参考文献[41，第35页]，运算符角度括号由hhL给出，Liit=tQ参考文献[41，定理8.2]，因此可压缩协方差由Q/Tr（Q）参考文献[41，定义8.3]。建立一个类似（5）的方程的自然方法是考虑随机偏微分方程，即假设β（t）=A（t，f（t）），ψ（t）=ψ（t，f（t））对于一些合适的函数A，ψ。下面的陈述是关于（5）的温和解的存在性和唯一性，这是本文在β和ψ的状态依赖性规范下所需要的。提案3.7。设a:R+×Hw→ Hw，ψ：R+×Hw→ L（U，Hw）使得有一个递增函数K:R+→ R+使以下Lipschitz条件成立。ka（t，g）- a（t，h）千瓦≤ K（t）kg- hkw，g，h∈ Hw，t∈ R+，ka（t，g）千瓦≤ K（t）（1+kgkw），t∈, G∈ Hw，R+kψ（t，g）- ψ（t，h）kop≤ K（t）kg- hkw，g，h∈ Hw，t∈ R+，kψ（t，g）kop≤ K（t）（1+kgkw），g∈ Hw，t∈ R+，设f∈ 嗯。然后有一个唯一的适应Hw值cádlág随机过程f满足f（t）：=Utf+ZUT-sa（s，f（s））ds+ZUT-sψ（s，f（s））dL（s），t≥ 0，为温和溶液todf（t）=(xf（t）+a（t，f（t）））dt+ψ（t，f（t））dL（t），t≥ 0.证明。引理3.5指出UTI是准收缩的。

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2022-5-6 00:25:47

因此，塔普[46，定理4.5]得出了这个定理。我们注意到，上面列出的Lipschitz和生长条件比Tappe[46，定理4.5]中所述的条件强得多，但我们仅为简单起见将注意力限制在此类系数a和ψ上。在本文的其余部分中，我们不假设命题3.7中的任何β和ψ的函数表示，而是不时地应用f的表示（6）。我们参考Peszat和Zabczyk[41]对随机偏微分方程的mildsolutions进行定义和进一步分析。在我们开始讨论主要话题之前，让我们先讨论物理和风险中性模型的观点。为简单起见，假设SPDE（5）由维纳过程W驱动，即df（t）=(xf（t）+β（t））dt+ψ（t）dW（t），t≥ 商品市场中无限维远期价格模型的表示14资产定价的基本定理表明，存在一个等价的σ-鞅测度~ P，参见Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]，适用于任何包含大量证券的市场。为了避免进一步的复杂化，我们只假设鞅测度Q的存在~ P然后Carmona和Tehranchi[19，定理4.2]得出Q-动力学off由df（t）给出(xf（t）+（β（t）- Q1/2ψ（t）））dt+ψ（t）dW（t），t≥ 0对于某些Hw值可预测随机过程ψ，其中Q是W的鞅协方差。然而，交货期参数化中的远期F（t，t）必须是鞅测度Q下的鞅，因此下面的定理3.9产生β（t）=Q1/2ψ（t），t≥ 0 .我们得出结论，无套利范式意味着漂移项β必须保持在Q1/2的范围内。当然，如果驱动噪声不是维纳过程，那么分析就会变得更加复杂，我们已经在有限维情况下看到了这一点，cf。

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2022-5-6 00:25:50

Jacod和Shiryaev[35，定理III.3.24]。如果我们想直接在风险中性度量下建模，那么我们可以而且必须将β=0。注意，我们通过应用f上的评估图δ来恢复现货价格动态S（t）（参见命题3.1）：S（t）：=δ（f（t）），（7）在L是U中的从属布朗运动的情况下，我们从远期价格f（t）得到隐含现货价格动态的以下结果：定理3.8。如果L是从属布朗运动，即L（t）=W（Θ（t）），t≥ 对于某个值布朗运动W和某个从属函数Θ，则s（t）=f（t）+Ztβ（s）（t- s）对于任何t，ds+Ztσ（t，s）dN（s）（8）∈ R+式中N（t）=B（Θ（t）），t≥ 0和B是R值布朗运动和σ（t，s）=hψ（s）Qψ的常数倍*（s） ht-s、 ht-s，t的si（9）∈ R+。证据注意，如果B是R值布朗运动，则φ∈ LL（R）是一个算子值的可预测过程，那么Peszat和Zabczyk[41]中定义的积分可以表示为Jacod和Shiryaev[35]中的astochastic积分，由Zt~n（s）dB（s）=Zt~n（s）（1）dB（s）和我们的It^o等距表示Ztа（s）dB（s）=ZtETr（~n（s）~n（s）*)ds=ZtE(五)(一)ds。商品市场中无限维远期价格模型的表示15（7）中S的定义和（6）中f的表示收益率（t）=δ（f（t））=f（t）+Ztβ（S）（t- s） ds+Ztδt-任意t的sψ（s）dL（s）∈ R+。因此，应用Thm。2.5和引理3.1我们发现（t）=f（t）+Ztβ（s）（t- s）任何t的ds+Ztσ（t，s）dN（s）∈ R+。这里，N是与L相同类型的R值从属布朗运动，σ（t，s）=δt-sψ（s）Qψ*（s） δ*T-s=hδt-sψ（s）Qψ*（s） ht-s、 1i=hψ（s）Qψ*（s） ht-s、 ht-筛选任何s，t∈ R+。让我们暂时假设Thm中的β=0。3.8。在ψ是确定性的情况下，σ（t，s）也将成为确定性的。因此，现货价格动态将是一个Volterra过程。

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2022-5-6 00:25:53

另外，如果ψ是常数，那么σ（t，s）=hψQψ*ht-s、 ht-si=：γ（t）- s）。但S将是一个所谓的Lévy平稳过程。Lévy平稳过程的一个推广就是所谓的Lévy半平稳（LSS）过程。通过选择某个线性算子T的ψ（s）=eσ（s）T∈ L（U，Hw）和一个可预测的R值随机eσ，然后是Thm中的S。3.8构成LSS流程。实际上，在这种情况下，波动率是σ（t，s）=eσ（s）hT QT*ht-s、 ht-硅。这些过程已被应用于能源价格的随机动力学建模（见Barndorff-Nielsen等人[5]），以及风速和温度（见Benth和Saltyt˙e Benth[10]）和湍流（见Barndorff-Nielsen和Schmiegel[6]）等其他随机现象。我们可以根据这些不同的特殊类别的点模型讨论漂移β的类似规定。我们对远期价格T7的动态变化的类似结果感兴趣→ F（t，t），t≤ 对于在时间T交付的合同。显然，F（t，t）：=δt-tf（t），（10）代表t≥ T≥ 0.定理3.8的证明的自然改编揭示了F（t，t）与现货价格S（t）的类似表示。我们给出了双变量过程T7动力学的这个结果→ （F（t，t），F（t，t））=（δt-tf（t），δt-tf（t）），0≤ T≤ T≤ T<∞. 这不仅为我们提供了单个合同的动态信息，还提供了我们模型中两个不同交货时间的远期合同的关联信息。商品市场中无限维远期价格模型的表示定理3.9。如果L是从属布朗运动，即L（t）=W（Θ（t）），t≥ 对于某个值布朗运动W和某个从属函数Θ，则为0F（t，t）F（t，t）=f（T）f（T）+Ztβ（s）（T）- s） β（s）（T）- （s）任何T的ds+Zt∑（T，T，s）dN（s）≤ T

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2022-5-6 00:25:56

这里，N（t）=（B（Θ（t）），B（Θ（t）），t≥ 其中，B=（B，B）是R值标准布朗运动，∑（T，T，s）是非负的2×2矩阵值过程，元素为∑（T，T，s））i，j=hψ（s）Qψ*（s） hTi-s、 hTj-筛选任何s，t∈ R+，i，j=1，2。证据这与定理3.8的证明是一致的。我们注意到，∑（T，T，s）i，对于i=1，2，我将依赖于。F（t，t）和F（t，t）之间的依赖结构将由∑（t，t，s）1,2确定，我们可以将其解释为L=W和ψ确定性情况下的协方差。两个远期合约的这种显式表示可用于日历价差期权的分析，即收益取决于F（T，T）的期权- F（T，T）在某个运动时间T≤ T.例3.10。考虑一个正向动力学的简单例子：设ψ（s）=I，Hw上的identityoperator，假设W是一个Wiener过程，其值为U=Hw。此外，设β=0。因此，f（t）=Utf+ZtUt-sdW（s）。由于δyUs=δy+s，我们发现f（t，t）=δt-tf（t）=f（t）+Ztδt-sdW（s）。我们有BT（t）：=Rtδt-sdW（s），t∈ [0，T]和T>0是一个时间不均匀的布朗运动。其二次变异结构由E（BT（t））=Rt（QhT）给出-s）（T）- s） ds和（BT（t）BT（t））=Rt（QhT-s）（T）- s） ds。请注意，进程t7→ Bt（t）=Rtδt-sdW（s）成为高斯鞅，andS（t）=f（t）+Bt（t）是现货价格动态。鉴于定理3.9，我们想更详细地分析随机场的空间相关结构，这些随机场被定义为具有Hilbert空间Hw值的随机过程。为此，我们首先展示了一个技术引理，它揭示了对Hwatclose点的两个点评估几乎相同，因此根本不可能是正交的。

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2022-5-6 00:25:59

换句话说，空间HW的特殊几何结构意味着不同点评估之间有着紧密的联系。商品市场中无限维远期价格模型的表示引理3.11。调用函数hx:R+→ R、 z 7→ 1+Rx∧任何x的zw（s）ds∈ R+定义引理3.1。然后：R+→ Hw，x 7→ hxis 0.5-H"older连续，常数为1。此外，khy- hxkw≥雷- xw（y）表示任何0≤ 十、≤ y<∞.证据让0≤ 十、≤ y<∞. 森基- hxkw=Zyxw（s）ds(≤ Y- x和≥Y-xw（y）。因此，khy- hxkw≤√Y- x和KY- hxkw≥p（y）- x） /w（y）。请注意，对于0≤ 十、≤ y<∞ 我们有hhy，hxi=khxkw，因此它也认为hhy，hxikhkwkhxkw=khxkwkhkwkhxkw。现在考虑一个平方可积随机变量X，其值在hw中具有均值零和协方差算子Q。X（X）：=δX（X）和X（y）=δy（X）之间的相关性被给出为ρ：R+→ R、（x，y）7→（E[δx（x）δy（x）]√如果分母不为零，则为1。（11）下一个定理表明，基于上述引理，相关性在aratep | x收敛到1- y | as x→ y：定理3.12。设X是一个均值为零、平方可积且具有协方差算子Q的Hw值随机变量∈ R+存在>0，对于（11）中定义的ρ，它保持ρ（x，y）≥ 1.-2kQk1/2opp | x- y | kQ1/2hxkw+kQk1/2opp | x- y |代表任何| x- y|≤ .证据用C表示：=Q1/2 Q和let x的正半限定平方根∈ R+。如果kq1/2hxkw=0，那么所声称的不等式是微不足道的。因此，我们假设kQ1/2hxkw6=0。定义：=kChxkwkQkopand let y∈ R+这样| y- x |<。然后引理3.11 yieldskChykw≥ kChxkw- kCkopp | y- 商品市场18中无限维远期价格模型的表示，因此ρ（x，y）=E[δx（x）δy（x）]kChxkwkChykw。我们有（δx（x）δy（x））=hQhx，hyiby引理3.1。

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2022-5-6 00:26:02

此外，我们有δx（x）= hQhx，hxi=kChxkw和kchykw≤ kChxkw+kCkopkhy- hxkw≤ kChxkw+kCkopp | y- x |。因此我们得到了[δx（x）δy（x）]=hChx，Chyi≥ hChx，Chxi- |hChx，C（hy- hx）i|≥ kChxkw- kChxkwkCkopkhy- hxkw≥ kChxkwkChxkw- kCkopp | y- x|第三个不等式来自柯西-施瓦兹不等式。我们得出ρ（x，y）≥kChxkw- kCkopp | y- x | kChxkw+kCkopp | y- x |=1-2kQk1/2opp | y- x | kQ1/2hxkw+kQk1/2opp | y- x |因为kQk1/2op=kQ1/2kopby Palmer[39，定理3.4.21]。注意，相关性没有先验的上界。实际上，考虑随机变量X:=（hx+hy）A，其中A是标准正态随机变量，0≤ 十、≤ Y≤ ∞.那么，ρ（x，y）=1。Thm。3.12意味着接近到期日的远期之间的相关性很高，从实际角度来看，这是很自然的，因为在不同但临近的时间交付商品的经济差异很小。然而，值得注意的是，HW空间的空间代数对相关性施加了一个明确的下限，该下限在交付时间和遵循平方根函数之间的距离上是静态的。3.3. 用Ornstein-Uhlenbeck型过程之和表示远期。在商品市场中，根据OrnsteinUhlenbeck过程的有限和给出了一类流行的现货价格模型（例如，见Benth等人[9]及其参考文献）。在传统的设置中，一种是通过奥恩斯坦纽伦贝克过程的有限和对对数现货价格动态进行建模，每个过程由一个勒维过程驱动。然而，有几篇论文也主张直接通过Ornstein-Uhlenbeck过程的有限和来建模现货价格动态（参见商品市场中无限维远期价格模型的表示，例如Benth、Meyer Brandis和Kallsen[11]，以及Garcia、Klüppelberg和Müller[29]中的power）。

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2022-5-6 00:26:06

在一个非常简单的设置中，我们从模型（t）=∧（t）+X（t）开始，其中∧是一些确定性的季节性函数，X遵循Ornstein-Uhlenbeck过程dx（t）=-λX（t）dt+dN（t）对于某些R值Lévy过程N和λ>0a常数。其中一种方法将远期价格定义为交货时现货价格的有条件预期，给定当前时间的信息，在某些定价措施下进行预期（见Benth等人[9]）。也就是说，F（t，t）=e[S（t）| Ft]代表t≤ T为了避免不必要的技术细节，我们假设现货模型已经在定价测度下陈述，并且Lévy过程N是可积的。那么推导f（t，t）=∧（t）+λE[N（1）]（1）是一项直接的任务- E-λ（T）-t））+e-λ（T）-t） X（t）。换句话说，在Ornstein-Uhlenbeck过程中，远期价格是线性的，其系数在到期时间T呈指数下降- 以均值回复速度λ给出的速率。如果我们认为现货模型是此类Ornstein-Uhlenbeck过程的总和，我们发现上述远期价格表达式自然会推广到指数加权Ornstein-Uhlenbeck过程的总和。我们现在想分析相反的情况在多大程度上成立，也就是说，我们什么时候可以表示我们的远期价格动态f（t）是一个过程，其价值在Hwas中是一系列加权的OrnsteinUhlenbeck过程？当我们在一个无限长的过程中，期望随机的过程在无限长的过程中被扰动，但在无限长的过程中，我们不能让它在无限长的过程中被扰动。这种有限级数表示法的主要技术障碍是指数函数不构成Hw中的任何正交集。

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2022-5-6 00:26:09

然而，如果正向曲线在一个方便的子空间中取值，并以指数函数作为Riesz基，那么我们可以找到一个关于Ornstein-Uhlenbeck过程的级数表示。我们给出了一些辅助结果来说明这一点。回想一下，Riesz基是序列（xn）n∈在Hilbert空间H中，有一个正交基（en）n∈Nin H和一个可逆线性算子T，使得T en=xn。关于进一步的等价陈述，我们请读者参考杨[47，定理1.9]。在下一个定理中，我们为Hw的“大”子空间找到一个仅由指数函数组成的Riesz基。该子空间将包含L（[0，T]，C）上第一个Sobolev空间的自然副本。我们将我们的结果公式化为权重函数w:x7的特定选择→ Hw中的eαxforα>0：定理3.13。设λ>0，且fix x>0。然后有一个封闭的子空间Hxwsuch，下面的语句支持它。（1） Hxwhas a Riesz基（gn）n∈那么g（x）=1，x∈ R+和gn（x）=λn√x（1）-eλnx），x∈ R+，n6=1，其中λn=2πinx- λ - α/2.商品市场中无限维远期价格模型的表示20（2）gn=g-n.任何∈ C.（3）有一个连续的线性投影∏x:Hw→ 对于任何g，都是∏xg（x）=g（x）∈ Hw，x∈ [0，x]。（4）半群（Ut）t下的Hxwis不变量≥0定义为Thm。3.4.（5）如果（g）*n） n∈Zis是杨[47，第28页]和（Ut）t意义上的相应双正交系统≥0 Thm中定义的半群。3.4，然后是美国*甘油三酯*n=e-λntg*nand g*= g、证据。设V为引理A.3。引理A.3表示（~gn）n∈Zis是Vwheregn:R的Riesz基+→ C、 x7→√xe（2πinx）-λ） x，n∈ N.定义Hxw:={f∈ Hw:f′√W∈ V}和gn（x）：=Zxgn（y）e-yα/2dy=1- eλnxλn√x、 x∈ R+。ψ：L（R+，C）→ Hw，f 7→x7→Zxf（y）e-yα/2dy是等距嵌入，因此（1）和（2）如下。对于证明的其余部分，让（gn）n∈在Zbe（1）中。设F:={F∈ Hw:f（x）=0，x∈ [0，x]}。

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2022-5-6 00:26:13

那么F是对Hxwin-Hw的闭向量空间的补充。因此有一个连续的线性投影∏：Hw→ Hxww与内核F。让∈ Hw，x∈ [0，x]。然后g-πg是∏的核心。因此g- πg∈ 这意味着（3）。让我们≥0是Thm中定义的移位半群。3.4. n n n=e-λntgn+gn（t）g∈ Hxw，显示（4）。由于gis赋范且与（gn）n6=0正交，我们得到了g*= g、杨[47，定理1.8]暗示（g*n） n∈Zis也是一个Riesz基础。设n6=0。那我们就有你了*甘油三酯*n=Xk∈朱*甘油三酯*n、 gkig*k=Xk∈Zhg*n、乌特吉格*k=Xk∈Zhg*n、 e-λktgk+gk（t）gig*k=e-λntg*n、因此，证据是完整的。鉴于Thm。3.13 HW上的任何随机过程X都可以被Hxw上的随机过程模拟，即Y（t，X）=X（t，X）对于任何X∈ [0，x]。如果我们假设远期价格过程f（t）在Hxw空间中演化，那么它可以用一系列的Ornstein-Uhlenbeck过程来表示。商品市场中无限维远期价格模型的表示定理213.14。设x>0，Hxwbe如定理3.13所示。假设f（t）是Hxw值。然后是序列（Mn）n∈Nof复值平方可积鞅，使得f（t）=S（t）+2∞Xn=1Re中兴通讯(s)-t） λn{hg*n、 β（s）ids+dMn（s）}, T∈ R+。其中和几乎肯定在Hwand（gn）n收敛∈Zis是inThm提供的Riesz基础。3.13.此外，如果ψ是确定性的，那么mn是一个具有独立增量的过程。如果ψ是确定不变的，那么mn是一个Lévy过程。如果ψ是确定性的，L是布朗运动，那么（Mn）n≥1是一系列高斯过程。证据让（g）*n） n∈Zbe与（gn）n有关的双正交系统∈Z.我们定义Mn（t）：=hg*n、任意n的RtψsdL（s）i∈ Z.观察Mn，n≥ 1具有定理末尾所述的性质。我们有f（t）=Xn∈Zgnhf（t），g*ni=hf（t），g*i+Xn∈Z、 n6=0gnZthg*n、 Ut-sβ（s）dsi+gnZthg*n、 Ut-sψ（s）dL（s）i无论如何∈ R+。作为g*= 1.我们发现hf（t），g*i=S（t）。

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2022-5-6 00:26:16

此外，我们还拥有ZTHG*n、 Ut-sψ（s）dL（s）i=ZthU*T-sg*n、 ψ（s）dL（s）i=Zte（s）-t） λnhg*n、 ψ（s）dL（s）i=Zte（s）-t） λndMn（s）。这里我们应用了Thm。3.13，第二等式第（5）部分。同样，对于漂移部分βwecalculate，Zthg*n、 Ut-sβ（s）dsi=ZthU*T-sg*n、 β（s）dsi=Zte（s-t） λnhg*n、 β（s）dsi=Zte（s-t） λnhg*n、任意n的β（s）ids∈ Z、 n6=0，t∈ R+。最后，观察gnRte-t） λndMn（s）是g的复合共轭物-nRte（s）-t） λ-ndM-n（s），因此它们的和等于2regnRte（s）-t） λndMn（s）.商品市场中无限维远期价格模型的表示22该定理告诉我们，远期曲线确实可以表示为一系列有限的（复值）Ornstein-Uhlenbeck过程。我们必须将注意力限制在空间Hxw上，然而，正如我们从上面看到的，hww中的任何元素都可以投影到Hxw上，两条曲线在[0，x]上重合。我们可以将xas视为市场利益到期的最大期限。例如，在电力市场中，合同的交货期通常长达4年（北欧市场NordPool或德国EEX市场就是这种情况）。人们可以在Hw中建模正向曲线，将其投影到Hxw，然后获得Ornstein-Uhlenbeck过程的表示。有关交货时间，即x≤ x、我们将得到表示与f（t）的动力学一致。在外部，对于x>x，我们不知道这是否适用于Hw中的曲线。让我们对特定权重函数w做一个最后的评论。当w不是一个指数函数时，情况非常微妙，需要对上述分析进行广泛的推广。因为我们不想太偏离我们的主题，所以我们决定不在这里包括更一般的案例。3.4. 阶乘模型和协方差表示。

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2022-5-6 00:26:20

正如我们从Peszat和Zabczyk[41]中回忆的那样，基于协方差算子Q的谱分解，L可以写成正交和不相关的实值Lévy过程之和。这种分解可以用级数表示来表示前向动力学f（t）。然而，在许多实际应用中，很难明确地找到Q的谱分解。此外，出于建模目的，有时更方便的方法是指定驱动噪声推动前向曲线的方向。例如，可以指定协方差Byqg=kXn=1hgn，gignwhere g，GK是Hw中的一组有限函数。在经验背景下，人们可以将这些函数视为观测方向的因子载荷。请注意，用有限函数集{gn}kn=1表示Q，可以将噪声L视为k维Lévy过程。这可以概括为有限和，只要附加条件为∈Nkgnkw<∞这一部分主要关注这种分解，并总结了我们在这方面的主要结果。备注3.15。让（Ln）n∈一、我 N是方差为1且（yn）N的不相关均零平方可积Lévy过程族∈Hilbert空间中的一个家庭∈I | yn |<∞.ThenNXj=1Ln（t）yn，t∈ R+在L中收敛(Ohm, H）对于某些H值均值为零的平方可积Lévy过程，协方差qx=Xn∈伊恩，谢恩，x∈ H.商品市场中无限维远期价格模型的表示23如果序列是随机独立的，那么Peszat和Zabczyk[41，推论3.12]认为收敛性是P-a.s.虽然我们在特定的Hilbert空间Hw中工作，但下面的结果支持广义Hilbert空间H，我们在这种情况下对此进行了表述：定理3.16。

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2022-5-6 00:26:24

设L是协方差为Q且m:=EL（1）的平方可积Lévy过程。让我们∈I=N或let（yn）N的H的Riesz基∈Ibe是H中一个有限的线性独立元素集。假设L的协方差Q由qx=Xn给出∈Ihx，yniynx∈ H、（12）其中∈Ikynk<∞. （13）然后是一个家庭∈Iof不相关、均零、平方可积和R值的Lévy过程，ELn（1）=1，因此oLn适用于L对任何n生成的过滤∈ N、 oL（t）=tm+Pn∈NLn（t）yn，其中和在L中收敛(Ohm, H）在t个相互影响的时间间隔内保持一致。特别是，如果W=L是一个维纳过程，那么Wn:=Ln定义了一系列独立的标准布朗运动，W（t）=Pn∈NWn（t）yn，其中对于任何t收敛为P-a.s∈ R+。证据我们可以假设m=0，因为我们可以用el（t）：=L（t）- tm取而代之。对任何人来说∈ 我让zn∈ 对于任意k，hzn，yki=1{n6=k}∈ I.定义（t）：=hzn，L（t）I，t∈ R+设∏是（yn）n生成的闭子空间上的正交投影∈I.我们有∏（L（t））=Xn∈ILn（t）对于任何t∈ R+。此外，对于任意n，k，我们有（Ln（t）Lk（t））=thQzn，zki=thyn，zki=t1{n=k}∈ 因此（Ln）n∈Iis是一类不相关、均零、平方可积的andR值Lévy过程，ELn（1）=1。此外，观察Q∏=Q，因此我们有∏（L（t））- L（t），xi=tkQ（πx）- x）对于任意x，k=0∈ H商品市场中无限维远期价格模型的表示24在第3.4节的剩余部分中，我们假设以下假设：ψ（t）=σ（t）t（14），其中σ是一些R值、局部有界和自适应的随机过程，t是从U到Hw的线性算子。然后T QT*是一个正半限定迹类算子。因此，T QT*具有唯一的正半限定根C，这是一个Hilbert-Schmidt算子。

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