上述定理的直接结果是远期价格在长期内等于季节函数∧g（T），也就是说，当（θ，β）∈ Db（1/2）和（θ，β）∈ R×[0,1]，它保持着极限→∞FQ（t，t）∧g（t）=expθα(1 - β） +Z∞{κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）}ds.需要注意的是，为了得到这个限制性的非季节性远期价格，我们必须计算一个非线性函数的积分ψ′θ，′β（t），对于这个积分，我们没有任何明确的解决方案。注意，从引理5.6中的第4部分（b）我们有（θ，β）∈ 如果θ<ΘL，则为Db（1/2）- 1/2ρ和β∈ [0，βm]，对于唯一定义的0<βm<1。我们记得，ρ是随机波动率σ（t）的均值回复速度，ΘLis是L的最大指数可积性，L是驱动同一过程的从属变量。因此，我们必须选择θ小于ΘL，距离由平均反转速度的倒数给出。然后我们知道存在一个β的区间，对于这个区间，我们可以降低σ（t）的均值回复速度。这里我们清楚地看到了L的跳跃和σ（t）均值回复速度之间的竞争。我们注意到，如果我们只是改变均值回归的水平，即假设β=（0，0），那么我们可以更明确地计算风险溢价。这两种情况都对应于布朗运动。假设β=（0,0）和θ∈ R×DL。然后远期价格由公式[exp（X（T））|Ft]=exp给出-ρ（T）-t） 一,- E-(2α-ρ） （T）-t） 2（2α）- ρ） σ（t）+e-α（T）-t） X（t）+θ1- E-α（T）-t） α+ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)+ θ!- κL（θ）ds！，以及风险溢价byRFQ（t，t）=EP[S（t）| Ft]（expZT）-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)+ θ!- κL（θ）ds（5.13）-ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds+θ1- E-α（T）-t） α！- 1).证据

注意，求解isddtψ′θ的广义Riccati方程组，0（t）=-ρψ′θ，0（t）+（ψ′θ，0（t））ψ′θ，0（0）=0，滴滴涕ψ′θ，0（t）=-αψ′θ，0（t），ψ′θ，0（0）=1，滴滴涕ψ′θ，0（t）=θψ′θ，0（t）+κL（ψ′θ，0（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，0（0）=0。关于ψ′θ，0（t）和ψ′θ，0（t），这与满足ψ0,0（t）=e的条件一致-ρt1-E-(2α-ρ） t2（2α）-ρ） ψ0,0（t）=e-αt.因此，ψ′θ，0（t）=e-ρt1-E-(2α-ρ） t2（2α）-ρ） ，ψ′θ，0（t）=e-α，我们只需要积分ψ′θ，0（t）的方程，就可以得到ψ′θ，0（t）=θZtψ′θ，0（s）ds+ZtκL（ψ′θ，0（t）+θ）- κL（θ）=θ1- E-αtα+ZtκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)+ θ!- 总结一下，κL（θ）ds。接下来，我们给出两个例子，应用前面的结果。例5.8。我们从最简单的情况开始。假设L′evy测度是δ{1}（dz），也就是说，L′evy过程L只有大小为1的跳跃。在这种情况下，ΘL=∞ 因此，DL=R，我们有κL（θ）=eθ- 1和κ（n）L（θ）=eθ，n∈ N.因此，相关的广义Riccati方程为：dtψ′θ，’β（t）=-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβ（eψ′θ，β（t）- 1） ，ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（0）=1，滴滴涕ψ′θ，β（t）=θψ′θ，β（t）+eθ（eψ′θ，β（t）- 1） 在这个例子中，∧θ，β（u）=∧θ，β，1/2（u）=- ρu+ρβ（eu）- 1） ，与θ无关。通过引理5.6，∧θ，β，1/2（u）在1/2（θ，β）=log时达到其最小值eθβ- θ= - log（β）和方程（5.11）的读数为∧θ，β，1/2（um1/2）=+ρlog（β）+ρ（1- β) = 0. （5.15）商品BNS模型中度量的变化230 1 2 3 40.00.51.01.5（A）∧θ、β（u，u）∧θ、β（u，u））的流线图0.20.40.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0（B）∧θ、β（t）、ψ′θ、β（t））（左）的流线图，以及用∧θ、β（u）代替β（u）∧θ、β（u）、β（u）的ODE的模拟解（右）∧2）∧（u）！0.50.51.01.52.0（C）^∧θ，β（u）的图。0.20.40.6 0.8 1.00.51.01.52.02.53.0（D）um1/2（蓝色）和u1/2（紫色）的图。图2。一些与例5.8相关的图。

我们取ρ=1.11，α=0.127，β=0.3。使用Lambert W函数，即W（z）eW（z）=z，z定义的函数∈ C、 我们得到βm，方程（5.15）的根由βm=-W(-E-1+2ρ).因此，根据引理5.6，集合Db（）={（θ，β）：β∈ [0，βm]}如果β∈ [0，βm]方程∧θ，β，1/2（u）=0的唯一根u1/2（θ，β）满足u1/2（θ，β）≤ um1/2（θ，β）。这个根由u1/2（β）=2ρ给出-β+W(-βe（2ρ）-β)).有关这种情况的图示，请参见图2。例5.9。假设L’evy测度为`（dz）=ce-λz（0，∞), 也就是说，L是强度为c/λ的复合泊松过程和平均值为1/λ的指数分布跳跃。在这种情况下，ΘL=λ，因此，DL=(-∞, λ/2). 我们有κL（θ）=cθ/λ（λ- θ） κ（n）L（θ）=cn/(λ - θ） n+1，n∈ N.24 BENTH和ORTIZ-LATORRE0 1 2 3 40.00.51.01.5（A）的∧′θ、β（u，u）、∧′θ、β（u，u））0.20.40.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0（B）的∧′θ、β（t）、ψ′θ、β（t））（左）的曲线图，以及用∧θ、β（u）代替∧β（u）、β（u）的类似解（10）！1123（C）^∧θ，β（u）图。0.20.40.6 0.8 1.0246810（D）um1/2（蓝色）和u1/2（紫色）图。图3。一些与例5.9相关的图。取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，θ∈ R、 θ=-5, β= β= 0.45.因此，相关的广义Riccati方程由ddtψ′θ，’β（t）=-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβ（λ）-θ)(λ-θ-ψ′θ，′β（t））-(λ-θ), ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（0）=1，滴滴涕ψ′θ，β（t）=θψ′θ，β（t）+c（ψ′θ，β（t）+θλ（λ）-θ-ψ′θ，′β（t））-cθλ（λ）-θ） 在这个例子中，^∧θ，β（u）=∧θ，β，1/2（u）=- ρu+ρβ（λ）- θ)(λ - θ- u）-(λ - θ).引理5.6，∧θ，β，1/2（u）：[0，λ- θ) → R在1/2（θ，β）=（λ）时达到其最小值- θ)1.- β1/3商品的BNS模型和等式（5.11）的测量值变化为∧θ，β，1/2（um1/2（θ，β））=- ρ(λ - θ) +ρ(λ - θ)β1/3-ρ(λ - θ)β= 0.

（5.17）根据引理5.6，如果θ>λ-2ρ然后@β∈ （0，1）使得（θ，β）∈ Db（）。如果θ<λ-2ρ则存在βm∈ （0，1）使得（θ，β）∈ Db（）适用于所有β∈ （0，βm）和βmis方程（5.17）的唯一解位于（0，1）。通过改变变量z=β1/3，将方程（5.17）简化为acubic方程，得到βm=pa（λ，ρ，θ）- 4.- a（λ，ρ，θ）！1/3+pa（λ，ρ，θ）- 4.- a（λ，ρ，θ）！1/3,式中（λ，ρ，θ），2ρ（λ- θ) - 1ρ(λ - θ)> 0.最后，如果（θ，β）∈ Db（）方程∧θ，β，1/2（u）=0的唯一根u1/2（β）满足u1/2（θ，β）≤ um1/2（θ，β）。改变变量y=λ-θλ-θ-u、 我们可以把方程∧θ，β，1/2（u）=0简化为三次方程p（y），βy- （a（λ，ρ，θ）+β）y+2=0，可显式求解。逆变量的变化，我们可以得到u1/2（θ，β）的显式表达式。我们避免写这个明确的公式，因为它太长了。有关此示例的一些图形说明，请参见图3。5.2. 关于风险溢价的讨论。下一步是定性分析使用我们的计量变更可以获得的可能风险溢价。特别是，我们希望能够在远期曲线的短端产生正值，在长端产生负值的风险收益。在下文中，我们将利用Musiela参数化τ=T- 我们将稍微滥用符号，用RFQ（t，τ）表示RFQ（t，t）。我们还确定了历史测度P下模型的参数，即α和ρ，并根据测度参数的变化研究RFQ（t，τ）的可能符号，即β=（β，β）和θ=（θ，θ）以及到期时间τ。与算术模型相比，当前时间不仅通过随机分量X进入风险溢价，而且还通过随机波动率σ进入风险溢价。

此外，在几何模型中，风险溢价还取决于参数θ和β，这两个参数改变了波动过程均值回归的水平和速度。我们将分别研究θ=（0,0），β=（0,0）和一般情况。此外，为了以图形方式说明讨论，我们绘制了假设从属变量L是跳跃强度c/λ>0的复合泊松过程和平均λ的指数跳跃大小的风险溢价曲线。也就是说，我将在例3.1中给出L’evy度量。我们将以天为单位测量到期时间τ，并绘制不同到期时间的RFQ（t，τ）。我们使用与算术情况相同的值，即α=0.127，ρ=1.11，c=0.4，λ=2，在历史测量值P下，对模型的参数进行拟合。最后，在续集中，我们将假设我们在定理5.7的假设下，即θ，β的值是这样的（θ，β）∈ Db（1/2）和ψ′θ、’β、ψ′θ、’β和ψ′θ、’β是全局定义的，并且表示式（5.6）适用。下面的引理将帮助我们进行接下来的讨论。引理5.10。风险溢价RFQ（t，τ）的符号与函数∑（t，τ）、ψ′θ、β（τ）的符号相同- Ψ0,0(τ) + (Ψθ,β(τ) - ψ0,0（τ））σ（t）+（ψ′θ，’β（τ）- ψ0,0（τ））X（t）。26 BENTH和ORTIZ LatorRemover，limτ→∞∑（t，τ）=θα（1）- β） +Z∞ZκLλψ′θ，′β（s）+θdλψ′θ，′β（s）ds（5.18）-Z∞ZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds，andlimτ→0ddτ∑（t，τ）=θ+αβX（t）。（5.19）证据。RFQ（t，τ）的符号与∑（t，τ）的符号相同，这一点从OREM 5.3中的等式（5.5）中可以明显看出。

从命题2中FP（t，t）的表达式，我们可以推导出ψ0,0（τ）=ZτκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds=ZτZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds，ψ0,0（τ）=e-ρτ1 - E-(2α-ρ)τ2(2α - ρ） ，ψ0,0（τ）=e-ατ.此外，根据定理5.7，我们得到了thatlimτ→∞Ψθ,β(τ) =θα(1 - β） +Z∞κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）ds=θα（1）- β） +Z∞ZκL（λψ′θ，′β（s）+θ）dλds，limτ→∞ψ′θ，′β（τ）=limτ→∞ψ′θ，′β（τ）=0，由此得出方程（5.18）。另一方面，作为ψ′θ，′β（τ）→ 1和ψ′θ，′β（τ）→ 当τ趋于零时，我们有limτ→0ddτ（ψ′θ，’β（τ）- ψ0,0（τ））=limτ→0{Λθ,β(Ψθ,β(τ), Ψθ,β(τ)) - Λ0,0(Ψ0,0(τ), Ψ0,0(τ))}= Λθ,β(0, 1) - ∧0,0（0,1）=θ，limτ→0ddτ（ψ′θ，’β（τ）- ψ0,0（τ））=limτ→0{Λθ,β(Ψθ,β(τ), Ψθ,β(τ)) - Λ0,0(Ψ0,0(τ), Ψ0,0(τ))}= Λθ,β(0, 1) - Λ0,0(0, 1) = 1/2 - 1/2=0，limτ→0ddτ（ψ′θ，’β（τ）- ψ0,0（τ））=limτ→0{Λθ,β(Ψθ,β(τ), Ψθ,β(τ)) - Λ0,0(Ψ0,0(τ), Ψ0,0(τ))}= Λθ,β(0, 1) - Λ0,0(0, 1) = -α(1 - β） +α=αβ，由此得出方程（5.19）。证据是完整的。我们现在继续更详细地调查我们的措施变化的不同案例改变均值回归水平（Esscher变换）：设置β=（0，0），概率测度Q仅改变因子X的均值回归水平和波动过程。商品的BNS模型中测量值的变化2720406080100硎0.2硎0.10.2R！θ“（A）θ=0.024，θ=-5020 40 60 80 100 t“10”5510R！t“（B）θ=-2, θ= -50图4。当L是一个具有指数分布跳跃的复合泊松过程时的风险溢价。我们取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，=,0.4，X（t）=2.5，σ（t）=0.25，在β=β=0的情况下。σ. 虽然风险溢价是随机的，但其符号是确定性的。

根据命题3，我们得到RFQ（t，τ）的符号等于∑（t，τ）=θ1的符号- E-ατα+ZτκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)+ θ!- κL（θ）ds-ZτκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds=θ1- E-ατα+θZτZZκL（λθ+λe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ）dλdλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds。此外，通过引理5.10，方程（5.18）-（5.19），以及ψ′θ，0（τ）=e-ρτ1-E-(2α-ρ)τ2(2α-ρ） 我们得到limτ→∞∑（t，τ）=θα+θZ∞ZZκL（λθ+λψ′θ，0（s））dλdλψ′θ，0（s）ds和limτ→0ddτ∑（t，τ）=θ。注意，我们可以写出θZ∞ZZκL（λθ+λψ′θ，0（s））dλdλψ′θ，0（s）ds=Z∞ZZθψ′θ，0（s）Z∞ze（λθ+λψ′θ，0（s））z`（dz）dλdλds=z∞Z∞eθz- 1.（eψ′θ，0（s）z）- 1） `（dz）ds，以及eψ′θ，0（s）z- s为1>0，z>0，ψ′θ，0（s）严格为正。因此，如果我们选择足够小的0<θ和足够大的θ<0，我们得到的风险溢价在正向曲线的短端为正，在长端为负。注意，θ必须是负的。图4以图解的形式展示了给定参数的两条可能的风险溢价曲线。我们从Benth和Ortiz-Latorre[9]中回忆起，对于双因素均值回复28 Benth和Ortiz-LATORRE20 40 60 80 100硎“10102034050R！硎”（a）β=0.18，β=0.250 100 150 200硎“2246810R！硎”（B）β=0.75，β=0图5。当L是一个具有指数分布跳跃的复合泊松过程时的风险溢价。我们取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，λ=0.4，X（t）=2.5，σ（t）=0.25。情况θ=θ=0。现货价格的随机动态在没有随机波动的情况下，我们得到了类似的确定性风险溢价改变均值回归的速度：设置θ=（0，0），概率度量Q只改变因子X和波动过程σ的均值回归水平。风险溢价及其符号都是随机的。

根据引理5.10，我们得到RFQ（t，τ）的符号等于∑（t，τ）、ψ0、？（τ）的符号-ZτZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds+（ψ0，’β（τ）- E-ρτ1 - E-(2α-ρ)τ2(2α - ρ） σ（t）+（e）-α(1-β)τ- E-ατ）X（τ）。此外，limτ→∞∑（t，τ）=Z∞ZκL（λψ0，\'β（s））dλψ0，\'β（s）ds-Z∞ZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds，andlimτ→0ddτ∑（t，τ）=αβX（t）。注意∧0，\'-β（u，u）- ∧0,0（u，u）=ρβκL（0）κL（u）- κL（0）≥ 0，u≥ 使用常微分方程的比较定理，定理6.1，第31页，在Hale[16]中，我们得到了ψ0，\'-β（t）≥ E-ρt1-E-(2α-ρ） t2（2α）-ρ） ，t≥ 因此，在远期曲线的长端，风险溢价将接近非负价值。在短端，它可以是正的或负的，并且随X（t）随机变化。在图5中，我们展示了两种不同的风险溢价曲线，其中我们特别注意到短端的不同凸性行为。由于所有的风险前曲线从长远来看都是正的，所以从实际角度来看，将‘θ=（0，0）设为正并不现实。商品2950 100 150 200 t“1.0”0.50.51.0R的BNS模型中的计量变更！θ“（A）θ=0.001，θ=-50.0，β=0.0，β=0.950 100 150 200吨“2”112345R！t“（B）θ=-0.1, θ= -50.0，β=0.8，β=0.8图6。当L是一个具有指数分布跳跃的复合泊松过程时的风险溢价。

我们取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，λ=0.4，X（t）=2.5，σ（t）=0.25同时改变均值回归的水平和速度：在一般情况下，我们同时修改因子X和波动过程σ的均值回归速度和水平。根据引理5.10，我们得到了thatlimτ→∞∑（t，τ）=θα（1）- β） +Z∞ZκLλψ′θ，′β（s）+θdλψ′θ，′β（s）ds-Z∞ZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds，andlimτ→0ddτ∑（t，τ）=θ+αβX（t）。如果我们选择β=0，那么我们需要证明一些（θ，β）∈ Db（1/2）和0<θwehaveZ∞ZκLλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!dλe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ） ds（5.20）>θα+Z∞ZκLλψ′θ，′β（s）+θdλψ′θ，β（s）ds，以确保风险溢价的符号从正变为负。事实上，不平等。20通过选择足够小的θ和较大的负数来保持，因为limθ→-∞κL（θ）=0。两种情况如图6所示。备注5.11。与算术情况相反，只需改变Esscher变换的参数，就可以获得短期到成熟期的正风险溢价，该溢价迅速变为负，见图4。与算术情况类似，仅通过修改因子的均值回归速度不可能得到符号变化，见图5。参考文献[1]Barndorff Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2001）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在经济学中的一些应用。J.罗伊。统计Soc。B、 63（2），第167-241页（附讨论）。[2] Benth，F.E.（2011）。商品市场中Barndorff Nielsen和Shepard的随机波动模型。数学《金融》，21，第595-625.30页本思和奥尔蒂斯-拉托尔[3]本思，F.E.，和ˇSaltyt˙E本思，J.（2011）。天气导数和温度的随机模拟。实习生J.斯托赫。分析，2011卷，文章ID 576791，21页（电子版）。[4] Benth，F.E.和ˇSaltyt˙E Benth，J.（2013）。

天气衍生品金融市场的建模和定价。新加坡世界科学基金会。[5] Benth，F.E.，'Saltyt˙E Benth，J.和Koekebakker，S.（2008）。电力和相关市场的随机建模。新加坡世界科学基金会。[6] Benth，F.E.，Cartea，A.，和Kiesel，R.（2008）。用确定性等价原理对电力市场中的远期合同定价：解释市场风险溢价的符号。J、 《银行金融》，第32（10）页，2006–2021。[7] Benth，F.E.，Cartea，A.，和Pedraz，C.（2013）。准备中。[8] Benth，F.E.，Koekebakker，S.，和Taib，I.B.C.M.（2013）。现货运价的随机动力学模型。我是伊玛·J·马纳。数学[9] Benth，F.E.和Ortiz Latorre，S.（2013）。一种解释电力市场风险溢价的定价方法。arXiv:1308.3378[q-fin.PR][10]多尼尔，F.和克雷尔，M.（2000）。当心风向。能源和电力风险管理。，天气风险特别报道。奥古斯都出版社，第30-32页。[11] A.艾德兰和K.沃林尼克（2003年）。能源和电力风险管理，约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯。[12] 加西亚，I.，吉隆坡，C.，穆勒，G.（2011）。稳定CARMA模型的估计及其在电价中的应用。统计学家。《建模》，第11（5）页，第447-470页。[13] Geman，H.（2005）。商品和商品衍生品，约翰·威利父子公司，奇切斯特。[14] H.杰曼和O.瓦西塞克（2001年）。不可储存商品的远期和期货：以电力为例。风险，八月。[15] 格伯，H.U.和萧，E.S.W.（1994）。Esscher transforms的期权定价。跨。Soc。精算师，46，第99-191页（附讨论）。[16] Hale，J.（1969）。常微分方程，纯数学和应用数学，第21卷。威利国际科学，纽约。[17] 哈特曼，P.（1964年）。常微分方程，约翰·威利父子公司，纽约。[18] Kallsen，J.和Muhle Karbe J.（2010）。

以指数形式定义的鞅，定义了定义过程的变化和指数动量。斯托克。过程。Applic，120，第163-181页。[19] Kolos，S.P.和Ronn，E.I.（2008）。估计能源价格风险的商品市场价格。能源经济。，30，第621-641页。[20] Lucia，J.和Schwartz E.（2002年）。电价和电力衍生品：来自北欧电力交易所的证据。牧师。德里夫。《研究》，第5（1）页，第5-50页。[21]Protter，P.E.（2004）。随机积分和微分方程，第二版。施普林格·维拉格，柏林，海德堡，纽约。[22]Shiryaev，A.N.（1999）。《随机金融概要》，世界科学出版社，新加坡。[23]施瓦茨，E.S.（1997）。商品价格的随机行为：对估值和套期保值的影响。《金融学》，LII（3），第923-973页。[24]施瓦茨，E.S.和史密斯，J.E.（2000）。商品价格的短期变化和长期动态。马纳。Sci。，46（7），第893-911页。[25]特罗尔，A.B.和施瓦茨，E.S.（2009）。非计划随机波动性与商品衍生品的定价。牧师。《金融研究》，22（11），第4423-4461页。（弗雷德·埃斯本·本思），奥斯陆大学应用数学中心，北卡罗来纳州布林登1053号邮政信箱，挪威奥斯陆0316号电子邮件地址：fredb@math.uio.noURL: http://folk.uio.no/fredb/（Salvador Ortiz Latorre），奥斯陆大学应用数学中心，北安普敦布林登1053号邮政信箱，挪威奥斯陆0316号电子邮件地址：Salvador。奥尔蒂斯-latorre@cma.uio.no