BNS模型中保持仿射结构的测度变换

2022-5-6 00:55:26

随机波动过程再次被建模为一个输出过程，但由一个从属变量驱动。这类随机波动率模型最初由Barndorff Nielsen和Shephard[1]引入，用于股票价格，后来由Benth[2]在大宗商品市场进行分析。事实上，本文正在考虑一类定价措施，以保持Benth[2]中分析的现货价格模型的精确结构。我们的现货价格动态是Schwartz模型的推广（见Schwartz[23]），用于解释短期波动。Schwartz模型已应用于许多不同的商品市场，包括石油（见Schwartz[23]）、电力（见Lucia和Schwartz[20]）、天气（见Benth和ˇSaltyt˙eBenth[4]）和货运（见Benth、Koekebakker和Taib[8]）。与Lucia和Schwartz[20]一样，我们分析了现货价格演变的几何和算术模型。该模型存在许多扩展，通常允许现货价格动态中的更多因素，以及对便利收益率和利率进行建模（有关此类模型的更多信息，请参见Eydeland和Wolynice[11]和Geman[13]）。在Benth[2]中，具有随机波动性的Schwartz模型已被应用于对天然气价格进行经验建模。在大宗商品市场的背景下，还提出了其他随机波动率模型，如赫斯顿（Heston）模型（有关讨论和进一步参考，请参见Eydeland和Wolynice[11]和Geman[13]）。我们在这里研究的这类定价指标允许（对数）现货价格和随机波动过程的均值回归速度和水平同时发生变化。均值回归水平可以灵活地向上或向下移动，而均值回归的速度可以缓慢。它显著扩展了Esscher变换，该变换只允许均值回归水平的变化。

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大多数88

2022-5-6 00:55:29

事实上，它将风险溢价分解为价格和波动性溢价。研究日期：2021 11月8日。我们非常感谢挪威研究理事会资助的“能源市场：建模、优化和模拟（EMMOS）”项目提供的财政支持，该项目由挪威研究理事会资助，资助项目为BENTH、Cartea和Pedraz[7]的多因素模型，在一些商品市场中的BENTH和ORTIZ Latorre进行实证研究。正如我们所展示的，这类定价措施保留了模型的精细结构，但导致了随机波动率的一个更复杂的随机驱动因素。对于算术现货模型，我们可以导出分析性远期价格和风险溢价曲线。另一方面，几何模型要复杂得多，但借助卡尔森和穆勒·卡贝[18]的理论，可以利用精细结构将远期定价降低到求解Riccati方程组。远期价格是现货价格和波动率的函数，当我们远离成熟期时，远期价格具有确定性渐进动态。通过仔细分析相关的Riccati方程组，我们可以研究我们这类度量变化的隐含风险溢价作为其参数的函数。风险溢价定义为远期价格和到期时预测现货价格之间的差异，在商品市场中具有重要意义，因为它衡量的是进入商品远期套期保值头寸的价格（更多信息，请参见Geman[13]）。特别是，在对参数进行相当温和的假设下，我们可以证明，风险溢价可能会随机变化，在短期到期时可能为正，而在到期时间较远时可能为负。这是一份基于经济和经验发现的电力市场风险溢价报告。

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2022-5-6 00:55:32

杰马南德·瓦西塞克[14]认为，电力市场中的零售商可能会通过进入远期多头仓位来避免价格突然上涨（峰值），从而引发对冲压力。这可能会导致正风险溢价，而生产者在远期曲线的长端会导致负溢价，因为他们通过出售产品进行对冲。这种短线端正溢价的经济观点得到了Benth、Cartea和Kiesel[6]的德国电力市场经验证据的支持。在几何模型中，我们证明了风险溢价的符号明确取决于对数现货价格的当前水平。我们在定价测度的一个特例中恢复了Esscher变换。Esscher变换是在商品市场中引入定价度量的一个重要工具，或者，等效地，用于建模风险溢价。对于风险的恒定市场价格（定义为均值回归水平的变化），我们保留了模型的精确结构以及我们考虑的两个过程的驱动噪声的L’evy性质（实际上，现货价格动态是由布朗运动驱动的）。我们在Lucia和Schwartz[20]、Kolos和Ronn[19]以及Schwartz和Smith[24]中发现了此类定价措施。我们请读者参考Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]对Esscher变换在电力和相关市场中的应用进行详细讨论和参考。我们注意到，Profetcher变换最初被引入并应用于保险业，作为一种工具，用于对覆盖给定风险敞口的保费进行建模，后来被用于不完全金融市场的定价（见Gerberand Shiu[15]）。

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2022-5-6 00:55:35

在许多方面，在标的商品不可储存（即不能在投资组合中交易）的市场中，远期和期货的定价可以被视为确定保险费的一种做法。我们更普遍的度量变化仍然是结构保持，然而，风险的定价也在某种意义上，即降低均值回归的速度。这种减少使得现货和随机波动在定价措施下的随机波动持续时间比在客观概率下的更长，从而分散风险。虽然我们的分析明确关注电力市场风险溢价的典型事实，但拟议的定价措施类别显然也与其他大宗商品市场相关。如前所述，天气和货运等市场与电力市场有一些相似之处，因为潜在的“现货”是不可储存的。此外，在石油和天然气等更为经典的大宗商品市场中，有证据表明，随机波动和现货价格遵循均值回归动力学，至少作为现货的一个组成部分。此外，在算术情况下，我们的分析涉及到非计划波动性非商品市场的概念，特罗尔和施瓦茨[25]对此进行了广泛研究。远期价格不依赖于随机波动因素，因此不能仅通过远期对冲期权。有趣的是，相应的几何模型实际上会跨越随机波动。我们的结果如下。在下一节中，我们将介绍现货模型，并在第3节之后介绍我们的定价措施，以验证这确实是一个等效概率。第四章推导了算术现货价格模型下的远期价格，并分析了隐含风险溢价。

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2022-5-6 00:55:39

第5节考虑了BNS商品模型3几何现货价格模型中计量变更的相应远期价格和隐含风险溢价。在这里，我们利用模型的精细结构来分析关联的Riccati方程，并深入了解我们的设置可能产生的潜在风险溢价。第4节和第5节都有许多实证例子。2.数学模型假设(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个完整的过滤概率空间，其中T>0是一个固定的时间范围。在这个概率空间中，定义了W，一个标准的维纳过程，以及L，一个具有有限期望的纯跳跃L’evy从属函数，这是一个L’evy过程，具有以下L’evy It^orepresentation L（t）=RtR∞zNL（ds，dz），t∈ [0，T]，其中NL（ds，dz）是一个泊松随机测度，其L′evy测度`满足r∞z`（dz）<∞. 我们假设W和L彼此独立。当我们考虑埃舍尔测度变化和几何现货价格模型时，我们引入以下关于L的指数矩存在的假设。假设1。假设ΘL，sup{θ∈ R+：E[EθL（1）]<∞}, （2.1）是一个严格大于1的常数∞.有几句话是恰当的。备注2.1。在(-∞, ΘL）累积量（或对数矩生成）函数κL（θ），log EP[eθL（1）]是明确定义和分析的。作为0∈ (-∞, ΘL），我有所有命令的时刻。另外，κL（θ）是凸的，这意味着κL（θ）≥ 因此，κL（θ）是非递减的。最后，由于我≥ 另外，我们知道κL（θ）是非负的。备注2.2。由于L的L’evy Kintchine表示，我们可以用L’evy度量表达κL（θ）及其导数。

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2022-5-6 00:55:41

我们有θ∈ (-∞, ΘL）κL（θ）=Z∞（eθz）- 1） `（dz）<∞,κ（n）L（θ）=Z∞zneθz`（dz）<∞, N∈ N、事实上，表明κ（N）L（θ）>0，N∈ N.考虑OU进程ESX（t）=X（0）- αZtX（s）ds+Ztσ（s）dW（s）t∈ [0，T]，（2.2）σ（T）=σ（0）- ρZtσ（s）ds+L（t），t∈ [0，T]，（2.3）α，ρ>0，X（0）∈ R、 σ（0）>0。注意，在等式2.2中，X被写成有限变量过程和鞅的和。我们也可以将方程2.3改写为有限变分部分和纯跳跃鞅σ（t）=σ（0）+Zt（κL（0）之和- ρσ（s））ds+ZtZ∞z~NL（ds，dz），t∈ [0，T]，其中NL（ds，dz），NL（ds，dz）- ds`（dz）是NL（ds，dz）的补偿版本。在Shiryaev[22]第669页的注释中，x和σ的可预测特征三元组（关于伪截断函数g（x）=x）由（BX（t），CX（t），νx（dt，dz））给出(-αZtX（s））ds，Ztσ（s）ds，0），t∈ [0，T]，4 BENTH和ORTIZ LATORREand（Bσ（T），Cσ（T），νσ（dt，dz））=（Zt（κL（0）- ρσ（s））ds，0，`（dz）dt），t∈ [0，T]分别。此外，将It^o公式应用于eαtX（t）和eρtσ（t），可以找到以下X（t）和σ（t）X（t）=X（s）e的显式表达式-α（t）-s） +Ztsσ（u）e-α（t）-u） dW（u），（2.4）σ（t）=σ（s）e-ρ（t）-s） +κL（0）ρ（1）- E-ρ（t）-s））+ZtsZ∞E-ρ（t）-u） zNL（du，dz），（2.5）其中0≤ s≤ T≤ T.使用Kallsen和Muhle-Karbe[18]中的符号，我们得到过程Z=（Z（T），Z（T）），（σ（T），X（T））具有β给出的精确微分特征=κL（0）, γ=0 00 0, ν（A）=Z∞A（z，0）`（dz），A.∈ B（R）β=-ρ, γ=0 00 1, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R），β=-α, γ=0 00 0, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R）。这些特征是可接受的，对应于R+×R.3中的一个明确过程。测量值的变化我们将考虑一系列参数化的测量值变化，这将允许我们同时修改方程（2.2）和（2.3）中的平均值回复速度和水平。

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2022-5-6 00:55:45

这些测度变化的密度过程将由某些鞅的随机指数决定。为此，考虑以下核函数族：θ，β（t），σ-1（t）（θ+αβX（t）），t∈ [0，T]，（3.1）Hθ，β（T，z），eθz1+ρβκL（θ）zσ（t-), T∈ [0，T]，z∈ R.（3.2）参数β（β，β）和θ（θ，θ）将取以下集合β的值∈ [0, 1],θ ∈\'DL，R×DL，其中DL(-∞, ΘL/2）和ΘLis由等式（2.1）给出。根据假设1和假设2.1和假设2.2，这些内核定义良好。例3.1。“，ΘLand dls的典型例子如下：（1）有界支撑：L有一个大小为a的跳跃，即，`=δa。在这种情况下，ΘL=∞ 有限活度：L是一个具有指数跳跃的复合泊松过程，即，`（dz）=ce-λz（0，∞)对于某些c>0和λ>0。在这种情况下，ΘL=λ和DL=(-∞, λ/2).（3）有限活动：L是一个稳定的从属关系，即，`（dz）=cz-（1+α）e-λz（0，∞)对于某些c>0，λ>0和α∈ [0，1）。在这种情况下，也可以是ΘL=λ和DL=(-∞, λ/2).接下来是‘β’∈ [0, 1],θ ∈定义以下维纳和泊松积分族Gθ，β（t），ZtGθ，β（s）dW（s），t∈ [0，T]，~Hθ，β（T），ZtZ∞（Hθ，β（s，z）- 1） NL（ds，dz），t∈ [0，T]，分别与核Gθ、β和Hθ、β相关。商品5的BNS模型中的度量变化我们提出了一系列由Q′θ，′β给出的度量变化~ P、 β∈ [0, 1],θ ∈\'DL，带dq\'θ，\'βdPFt，E（~Gθ，β+~Hθ，β）（t），t∈ [0，T]。

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2022-5-6 00:55:48

（3.3）让我们假设E（~Gθ，β+~Hθ，β）是一个严格正真鞅（这将在下面的定理3.4中得到证明）：然后，根据Girsanov的半鞅定理（Shiryaev[22]第702页和703页定理1和3），过程X（t）和σ（t）变成comex（t）=X（0）+BXQ′θ，\'（t）+σ（t）+WQ′θ∈ [0，T]，σ（T）=σ（0）+BσQ′θ，\'β（T）+ZtZ∞z~NLQ′θ，′β（ds，dz），t∈ [0，T]，其中bxq′θ，′β（T）=Zt（θ- α(1 - β） X（s））ds，t∈ [0，T]，（3.4）BσQ′θ，′β（T）=Zt（κL（0）- ρσ（s））ds+ZtZ∞z（Hθ，β（s，z）- 1） `（dz）ds（3.5）=Zt{（κL（0）- ρσ（s））+Z∞z（eθz）- 1） `（dz）+ρβκL（θ）Z∞zθz`（dz）σ（s）-)}ds=ZtκL（θ）- ρ(1 - β） σ（s）ds，t∈ [0，T]，其中WQ′θ，’β是一个Q′θ，’β-标准维纳过程，σ（和L）的Q′θ，’β-补偿器测度是vσQ′θ，’β（dt，dz）=vLQ′θ，’β（dt，dz）=Hθ，β（T，z）’dt。总之，X和σ在Q′θ下的半鞅三元组分别由（BXQ′θ，’β，R·σ（s）ds，0）和（BσQ′θ，’β，0，vσQ′θ，’β）给出。备注3.2。在Q′θ，′β下，过程Z=（σ（t），X（t））由β给出微分特征=κL（θ）θ, γ=0 00 0, ν（A）=Z∞A（z，0）eθz`（dz），A.∈ B（R），β=-ρ(1 - β), γ=0 00 1, ν（A）=Z∞A（z，0）ρβκL（θ）zeθz`（dz），A.∈ B（R），β=-α(1 - β), γ=0 00 0, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R）。这些特征是可接受的，并对应于R+×R中的一个明确过程。备注3.3。在Q′θ、β下，σ仍然满足具有不同参数的朗之万方程，也就是说，测量变化保留了σ方程的结构。然而，过程L不是Q′θ、’β下的L′evyprocess，但它仍然是一个半鞅。在新的度量下，X的方程是相同的，但参数不同。

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2022-5-6 00:55:51

因此，我们可以再次使用It^o公式来获得以下X和σX（t）=X（s）e的显式表达式-α(1-β）（t）-s） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（t）-s））（3.6）6 BENTH和ORTIZ-LATORRE+Ztsσ（u）e-α(1-β）（t）-u） dWQ′θ，′β（u），σ（t）=σ（s）e-ρ(1-β）（t）-s） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β）（t）-s））（3.7）+ZtsZ∞E-ρ(1-β）（t）-u） z~NLQθ，β（du，dz），其中0≤ s≤ T≤ 我们证明了Q′θ，′β是真概率测度，即E（~Gθ，β+~Hθ，β）（T）是P为T的严格正真鞅≤ T我们有下面的定理。定理3.4。让θ∈\'DL，\'β∈ [0, 1]. 然后E（~Gθ，β+~Hθ，β）={E（~Gθ，β+~Hθ，β）（t）}t∈[0，T]是P下严格正的真鞅。证据E（~Gθ，β+~Hθ，β）是严格正的，这很容易从一个事实出发，即L’evy过程是一个从属过程，因为这会产生~Gθ，β+~Hθ，β的严格正跳跃。根据Protter[21，定理38]中的Yor公式，它认为，[~Gθ，β，~Hθ，β]，~Gθ，β和~Hθ，β之间的二次共变差等于零。因此，我们可以写出（~Gθ，β+~Hθ，β）（t）=E（~Gθ，β）（t）E（~Hθ，β）（t），t∈ [0，T]。（3.8）通过经典鞅理论，我们知道E（~Gθ，β+~Hθ，β）是一个真正的鞅，当且仅当Ep[E（~Gθ，β+~Hθ，β）（T）]=1，使用约尔公式，它等价于表示Ep[E（~Gθ，β）（T）E（~Hθ，β）（T）]=1。设FLT是由L到时间T生成的σ-代数，那么我们得到EP[E（~Gθ，β）（T）E（~Hθ，β）（T）]=EP[E[E（~Gθ，β）（T）|FLT]E（~Hθ，β）（T）]。如果我们证明EP[E（~Gθ，β）（T）|FLT]≡ 1，那么我们就完成了，因为根据Benthand Ortiz-Latorre[9]中的定理3.10，我们得到E（~Hθ，β）是真鞅，因此EP[E（~Hθ，β）（T）]=1。证明的思想基于这样一个事实，即EP[E（~Gθ，β）（T）|FLT]是E（~Gθ，β）（T）的期望值，假设σ（T）是一个确定性函数，除此之外，它的下限是σ（0）E-ρt。

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2022-5-6 00:55:55

利用这个信息，我们可以证明，在知道σ的条件下，E（~Gθ，β）是真鞅，因此EP[E（~Gθ，β）（T）]=1。让我们简略地给出与[9]第3.1节基本相同的证明，但现在，σ是一个函数。首先，我们证明了，在FLT条件下，~Gθ，β是一个平方可积p-鞅，因为[Gθ，β）|FLT]=EP[ZTσ-2（t）（θ+αβX（t））dt | FLT]≤ 2σ(0)-2e2ρTθT+αEP[ZTX（T）dt]< ∞,（见[9]中的提案3.6.）。为了证明E（~Gθ，β）是[0，T]上的P-鞅，我们考虑了停止时间{τn}n的约化序列≥1对于E（~Gθ，β），按照[9]中的定理3.7，我们定义了概率测度序列{Qnθ，β}n≥1氡Nykodim密度由dqnθ，βdP给出Ft，E（~Gθ，β）τn（t），t∈ [0，T]，n≥ 1.做与[9]中定理3.7相同的推理，我们将问题简化为证明SUPN≥1EQnθ，β[ZT[0，τn]（Gθ，β（t））dt]<∞.商品的BNS模型中的一个度量变化7Now，one hasEQnθ，β[ZT[0，τn]（Gθ，β（t））dt]≤ 2σ(0)-2e2ρTθT+αEQnθ，β[ZT[0，τn]X（T）dt].为了约束上一个表达式中的最后一个期望，我们使用了已知X（t）的动力学∈ [0，τn]在Qnθ，β下，这是通过设置s=0和t<τn从方程（3.6）中获得的。因此，我们可以写出Qnθ，β[ZT[0，τn]（t）X（t）dt]≤ 2（EQnθ，β[ZT[0，τn]（t）X（0）e-α(1-β） t+θα（1）- β)1.- E-α(1-β） tdt]+EQnθ，β[ZT[0，τn]（t）Ztσ（s）e-α(1-β）（t）-s） dWQnθ，β（s）[dt]）≤ 2T{（|X（0）|+（|θ|）T）+σ（0）-2e2ρTT}<∞.这里，我们使用函数η（x），（1- E-xa）/x≤ a代表x，a代表≥ 0，这等于θ，β[Ztσ（s）e-α(1-β）（t）-s） dWQnθ，β（s）]= σ(0)-2e2ρTZte-2α(1-β）（t）-s） ds≤ σ(0)-2e2ρTT。定理如下。我们还得到了测量值改变后驱动噪声过程独立性的以下结果：引理3.5。在Q′θ、β下，布朗运动WQ′θ、β和随机测度NLQ′θ、β是独立的。证据

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2022-5-6 00:55:58

为了证明WQ′θ、’β和NLQ′θ、’β在Q′θ、’β下的独立性，证明eq′θ、’β[exp（ikXj=1）是足够的ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））]EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ξjZtjZ∞对于任意uj，ξj∈ R、 j=1。。。，k和0≤ t<t<··<tk-1<tk≤ 我们将使用以下符号：给定一个进程Z={Z（T）}T∈[0，T]我们将用jZ=Z（tj）- Z（tj-1），j=1。。。，k、其中t=0，按惯例。

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2022-5-6 00:56:02

我们有等式θ，β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EP[E（~Gθ，β+~Hθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EP[EP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]E（~Hθ，β）（tk）exp（ikXj=1ξjZtjZ∞zNLQθ，β（ds，dz））、8 BENTH和ORTIZ LATORREandEP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQθ，β（tj））| FLtk]=EP[E（~Gθ，β）（tk）-1）特快（Ztktk）-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds）×exp（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1） +iukWQ′θ，β）|FLtk]=EP[E（~Gθ，β）（tk-1）经验（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1））×EP[exp（Ztktk-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds+iuk千瓦-Ztktk-1Gθ，β（s）ds！）|FLtk∨ FWtk-1] | FLtk]。此外，使用与定理3.4证明中使用的参数类似的参数，我们得到了exp（Zt（Gθ，β（s）+iuk）dW（s）-Zt（Gθ，β（s）+iuk）ds）是一个FLtk∨ FWt鞅，然后我们得到ep[exp（Ztktk）-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds+iuk千瓦-Ztktk-1Gθ，β（s）ds！）|FLtk∨ FWtk-1] =e-ukktEP[exp（Ztktk-1（Gθ，β（s）+iuk）dW（s）-Ztktk-1（Gθ，β（s）+iuk）ds）|FLtk∨ FWtk-1] =e-ukkt。因此，EP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]=E-ukktEP[E（~Gθ，β）（tk）-1）经验（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1））| FLtk]。重复前面的调节技巧，我们得到ep[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]=exp-kXj=1kXq=juqjt.因此，等式θ，β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= 经验-kXj=1kXq=juqjt等式θ，β[exp（ikXj=1ξjZtjZ∞另一方面，商品9的BNS模型中度量的变化，EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））=EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））=EQ′θ，’β[exp（ikXj=1kXq=juqjWQ′θ，′β）]=exp-kXj=1kXq=juqjt,我们可以得出证据。电力市场的一个特殊性是，电力是一种不可储存的商品，因此不是一种可直接交易的金融资产。这意味着我们无法从经典的买入并持有套期保值理论中推导出电力的远期价格。

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2022-5-6 00:56:05

使用风险中性定价论证（见Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]），在确定性利率假设下，时间0的远期价格≤ t、交货期为t，交货期为t≤ T<T*, 由FQ（t，t）给出，等式[S（t）| Ft]。在这里，Q是相当于历史测度P和Ftis的任何概率测度，即截至时间t的市场信息。在下文中，我们将使用上面介绍的概率测度Q=Q′θ，’β，并让现货价格动态根据（2.2）-（2.3）中的过程X（t）和σ（t）给出。这将为我们提供一类参数化的保结构概率测度，扩展Esscher变换，但从定价的角度来看，仍然可以合理地进行分析。我们对定价指标的选择也可以应用于温度期货市场，其中基础“资产”是在某个位置测量的温度指数。温度显然是不可交易的。温度数据中存在均值回归和随机波动的经验证据，见Benth和ˇSaltyt˙e Benth[3]。另一个例子是运价市场，“现货”通常是根据交易者的意见确定的指数。见Benth、Koekebakker和Taib[8]，了解货运率现货数据的随机建模，模型形式为（2.2）-（2.3）。石油和天然气通常可以储存，人们可以通过包括储存和运输成本以及便利收益率（参见Eydeland and Wolynice[11]和Geman[13]）来建立远期定价模型。然而，在这种情况下，我们也可以使用概率度量Q=Q′θ，’β作为定价度量的参数类。首先，在这些市场中，标的现货资产不需要是定价测度下的（局部）鞅，尽管这些资产是可交易的，因为存在产生市场不完整性的摩擦。

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nandehutu2022

2022-5-6 00:56:10

其次，概率测度为风险溢价建模提供了一种灵活的方法（我们将在下文中看到），因此可能比直接描述便利收益率动态的模型更具吸引力，例如（此类模型见Eydeland and Wolynice[11]）。请注意，在Benth[2]中，（2.2）-（2.3）给出的现货amodel已被证明能合理地反映天然气价格。我们注意到，在电力市场中，基础电力的输送在一段时间[T，T]内进行，其中0<T<T<T*. 我们称这种合约为交换合约，我们将在时间t表示它们的价格≤ TbyFQ（t，t，t），等式T- TZTTS（T）dT | Ft.我们可以使用随机富比尼定理来关联远期和掉期价格fq（t，t，t），t- TZTTFQ（t，t）dT。具有固定交货时间的远期价格的风险溢价由以下表达式RFQ（t，t），等式[S（t）| Ft]确定：- EP[S（T）| Ft]，以及按SQ（T，T，T）和FQ（T，T，T）计算的掉期价格- EQ[T- TZTTS（T）dT | Ft]10 BENTH和ORTIZ LATORREIt很容易看出rsq（T，T，T）=T- TZTTRFQ（t，t）dT。风险溢价衡量发电商（卖方）必须接受的价格折扣，与预计的现货交货价格相比。我们将使用风险溢价来分析我们的措施变化对远期价格的影响，并结合电力市场的典型事实来讨论这些影响。4.算术现货模型我们有兴趣应用之前的概率度量变化来研究隐含风险溢价。我们要考虑的第一个现货价格模型是算术模型。我们用s（t）=∧a（t）+X（t），t来定义算术现货价格模型∈ [0，T*], （4.1）其中T*> 0是一个固定的时间范围。假设∧ais过程是确定性的，它解释了在现货价格中观察到的季节性。

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2022-5-6 00:56:13

我们顺便注意到，这类模型已被几位作者考虑用于各种能源市场。对于电力市场，我们参考Lucia和Schwartz[20]，对于没有随机波动性的温度衍生品，我们参考Dornier和Querel[10]。最近，Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]对能源市场中的算术模型进行了一般性讨论（参见Garcia，Kl¨uppelberg和M¨uller[12]对电力市场的讨论），以及Benth，ˇSaltyt˙e Benth[3]对具有随机波动性的温度市场的讨论。为了计算该模型中与之相关的远期价格和风险溢价，我们需要知道在P和Q下S（即X和σ）的动力学。P下X和σ的显式表达式分别由方程（2.4）和（2.5）给出。在本节的其余部分中，Q=Q′θ，’β，’θ∈\'DL，\'β∈ [0,1]由（3.3）定义，Q下X和σ的显式表达式分别在备注3.3、等式（3.6）和（3.7）中给出。提议1。算术现货模型4.1中的远期价格FQ（t，t）由FQ（t，t）=∧a（t）+X（t）e给出-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-t））。证据通过方程（3.6）并利用条件期望的基本性质，我们得到fq（t，t）=EQ[S（t）|Ft]=∧a（t）+X（t）e-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-t））+EQ[ZTtσ（s）e-α(1-β）（T）-s） dWQ（s）|英尺]。因此，证明如下：σ（t）eα（1-β） B到L(Ohm ×[0，T]，Q dt）因为Rtσ（s）eα（1-β） sdWQ（s）是一个Q-鞅和Q[ZTtσ（s）e-α(1-β）（T）-s） dWQ（s）| Ft]=e-α(1-β） TEQ[ZTtσ（s）eα（1-β） sdWQ（s）| Ft]=0。利用Q下σ的动力学，见等式（3.7），我们得到等式[σ（t）]=σ（0）e-ρ(1-β） t+κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β） t）+EQ[ZtZ∞E-ρ(1-β）（t）-s） zNLQ（ds，dz）]≤ 商品BNS模型中的σ（0）+κL（θ）tA度量变化11因为∞E-ρ(1-β） sz~NLQ（ds，dz）是一个从0开始的Q-鞅，参见Benth和Ortizlatore[9]中的引理4.3。

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2022-5-6 00:56:16

因此，EQ[ZTσ（t）e2αtdt]=ZTEQ[σ（t）]e2αtdt≤ZTσ（0）+κL（θ）te2αtdt≤ Tσ（0）+κL（θ）Te2αT<∞,我们可以得出结论。利用前面关于远期价格的结果，我们得到以下风险溢价公式。定理4.1。在算术现货模型（4.1）中，远期价格的风险溢价RFQ（t，t）为YRFQ（t，t）=X（t）e-α（T）-（t）αe（β-（t）- 1.+θα(1 - β)(1 - E-α(1-β）（T）-t））。我们现在更详细地分析了各种情况下的风险溢价。4.1. 关于风险溢价的讨论。这种测量变化的第一个显著特点是，它只取决于改变均值回归速度和水平的参数，即θ和β。此外，如果θ=β=0，我们有RFQ（t，t）≡ 无论θ和β的值是多少，这意味着，在算术模型中，我们可以对波动性属性有非常不同的定价措施，并且风险溢价为零。换句话说，存在一个未经规划的波动性成分，仅通过观察远期曲线是无法解释的。其次，只要参数β6=0，风险溢价是随机的。请注意，当β=（0，0）时，我们的度量变化与埃舍尔变换一致。在埃舍尔的情况下，风险溢价有一个确定性的演化过程，给定fq（t，t）=θα（1）- E-α（T）-t）），（4.2）一个已知的结果，见Benth[2]。从现在起，我们将改写关于到期时间τ=T的风险溢价表达式- 稍微滥用符号，我们将编写RFQ（t，τ），而不是RFQ（t，t+τ）。我们在历史测度P下提取模型的参数，即α和ρ，并根据测度参数的变化研究fq（t，τ）的可能符号，即β=（β，β）和θ=（θ，θ）以及时间成熟度τ。实际上，我们只是改变θ和β，因为风险溢价并不取决于θ和β的值。

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2022-5-6 00:56:19

注意，当前时间t只是通过随机分量X进入画面，而不是通过波动过程σ（t）。我们将分别研究θ=0，β=0和一般情况。此外，为了以图形方式说明讨论，我们绘制了假设隶属度L是跳跃强度c/λ>0的复合泊松过程和平均λ的指数跳跃大小的风险溢价曲线。也就是说，L将具有示例3.1中给出的L’evy度量。Weshall测量到期时间τ（以天为单位），并绘制τ的RFQ（t，τ）∈ [0360]，大约一年。我们计算以下参数的值α=0.127，ρ=1.11，c=0.4，λ=2。因子α的平均回复速度产生的半衰期为log（2）/0.127=5.47天，而波动率ρ的平均回复速度产生的半衰期为log（2）/1.11=0.65天（关于半衰期的概念，参见Benth、ˋSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]）。c和λ的值给出了平均值为0.5的跳跃，以及每月波动率出现5次峰值的频率。均值回归速度的值可从Benth[2]对英国天然气现货价格进行的实证分析中获得。下面的引理将有助于讨论。12 BENTH和ORTIZ LATORRELemma 4.2。我们有rfq（t，τ）=X（t）e-ατeαβτ- 1.+θα(1 - β)(1 - E-α(1-β)τ) .此外，limτ→∞RFQ（t，τ）=θα（1）- β），和limτ→0τRFQ（t，τ）=X（t）αβ+θ。证据在定理4.1中，很容易得到RFQ（t，τ）的表达式。o 改变均值回归水平（Esscher变换）：设置β=0，概率度量Q只改变因子X的均值回归水平（在历史度量P下假定为零）。另一方面，风险溢价是确定性的，不能随着市场条件的变化而变化。

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2022-5-6 00:56:22

从方程（4.2）中，我们得到RFQ（t，τ）的符号对于任何时间到成熟度τ都是相同的，并且它等于θ的符号。见图1a和1b改变均值回归的速度：设置θ=0，概率测度Q只改变因子X的均值回归速度。注意，在这种情况下，风险溢价是随机的，它随市场条件而变化。通过引理4.2，我们得到风险溢价由fq（t，τ）=X（t）e给出-ατeαβτ- 1.,带RQ（t，τ）→ 0，因为成熟时间τ趋于完整。另一方面，我们有thatlimτ→0τRFQ（t，τ）=X（t）αβ。因此，风险溢价将在市场长期内消失。在短端，它可以是正的或负的，并且随X（t）随机变化。参见图1c，其中短端X（t）的影响明显表现为（从零）风险溢价的大幅增加。X（t）的负值将导致向下的风险溢价，然后收敛到零同时改变均值回归的水平和速度：在一般情况下，我们可以通过选择θ<0但接近于零，以及β接近于1（假设X（t）为正），在正向曲线的短端获得正值，在长端获得负值的风险溢价。参见图1d。我们从Geman[13]中回忆起，在电力远期市场的短端，存在正风险溢价的经验和经济证据，而在长端，人们预计风险溢价的迹象为负，这是期货市场的典型情况。备注4.3。请注意，为了获得风险溢价的符号变化，必须同时改变均值回归的水平和速度，见图1d。仅使用埃舍尔变换或仅修改因子均值回归的速度，不可能得到符号变化。5.

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2022-5-6 00:56:25

几何现货模型现货价格的第二个模型是几何模型。我们通过s（t）=∧g（t）exp（X（t）），t来定义几何现货价格模型∈ [0，T*], （5.1）其中T*> 0是一个固定的时间范围。假设∧gis过程是确定性的，它解释了在现货价格中观察到的季节性。远期和掉期合约的定义与算术模型类似。提议2。几何现货模型（5.1）中的远期价格FQ（t，t）由FQ（t，t）=∧g（t）expX（t）e给出-α(1-β）（T）-t） +σ（t）e-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))!在350磅每平方米300磅每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方！\"(A)θ=0.3,β=0.050 100 150 200 250 300 350\"4\"224R(B)θ=-0.3，β=0.050 100 150 200 250 300 t“4”224R！\"(C)θ=0.0,β=0.950 100 150 200 250 300 350\"4\"224R!(D)θ=-0.04，β=0.9图1。当L是一个具有指数分布跳跃的复合泊松过程时的风险溢价。取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，c=0.4，X（t）=2.5，σ（t）=0.25。×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t）（2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β）（T）-t） )×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ(1-β））sZstZ∞eρ（1）-β） uzNLQ（du，dz）ds|英尺在特殊情况下，它认为fp（t，t）=∧g（t）expX（t）e-α（T）-t） +σ（t）e-ρ（T）-t）一,- E-(2α-ρ）（T）-t） 2（2α）- ρ)!×expZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！。证据用FLTT表示从过程L到时间t生成的西格玛代数。

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2022-5-6 00:56:28

然后，我们得到了EQ[S（T）|Ft]=∧g（T）EQ[exp（X（T））|Ft]=∧g（T）expX（t）e-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-（t）×EQ经验ZTtσ（s）e-α(1-β）（T）-s） dWQ（s）|英尺14 BENTH和ORTIZ-LATORRE=∧g（T）expX（t）e-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-（t）×EQ情商经验ZTtσ（s）e-α（T）-s） dWQ（s）|外语教学∨ 英尺|英尺= ∧g（T）expX（t）e-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-（t）×EQ经验ZTtσ（s）e-2α（T-s） ds|英尺.另一方面，对于s>t，σ（s）的动力学可以写成σ（s）=σ（t）e-ρ(1-β）（s）-t） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β）（s）-t））+ZstZ∞E-ρ(1-β）（s）-u） zNLQ（du，dz）。然后，我们得到eq[S（T）|Ft]=∧g（T）expX（t）e-α(1-β）（T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β）（T）-（t）×EQ经验ZTt{σ（t）e-ρ(1-β）（s）-t） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β）（s）-t））+ZstZ∞E-ρ(1-β）（s）-u） zNLQ（du，dz）}e-2α（T-s） ds|英尺= ∧g（T）expX（T）e-α(1-β）（T）-t） +σ（t）e-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))!×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t）（2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β）（T）-t） )×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ(1-β））sZstZ∞eρ（1）-β） uzNLQ（du，dz）ds|英尺现在，考虑到NLQ（du，dz）对Q=P有独立的增量，使用Fubini定理的随机版本和泊松随机测度的指数矩公式，我们得到了经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuz~NL（du，dz）ds|英尺= EP经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuzNL（du，dz）ds×exp-E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuz`（dz）duds= EP“expZTtZ∞E-ρ（T）-u）一,- E-(2α-ρ（T）-u） 2（2α）- ρ） zNL（du，dz）#×exp-E-2αTκL（0）2ρZTte（2α-ρ） seρs- eρtds商品BNS模型的计量变化15=expZTtZ∞花费-ρ（T）-u）一,- E-(2α-ρ）（T）-u） 2（2α）- ρ） z！- 1!`杜！×exp-E-2αTκL（0）2ρe2αT- e2αt2α-e2α-Te-ρ（T）-（t）- e2αt2α- ρ!!= expZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！×exp-κL（0）2ρ1- E-2α（T-t） 2α+e-2α（T-（t）- E-ρ（T）-t） 2α- ρ!!.在上一个等式中，我们使用了κL（θ）的定义和变量s=T的变化- U

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2022-5-6 00:56:31

最后，将前面的表达式与Q=P的EQ[S（T）|Ft]的表达式相结合，即β=β=θ=θ=0，我们得到了结果备注5.1。注意，等式[S（T）]可以是有限的。在Q=P的情况下，如果ΘL=∞, 然后EP[S（T）]<∞.然而，如果∞, 然后EP[S（T）]<∞ 如果且只有ifZTκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds<∞. （5.2）条件（5.2）对模型α，ρ和ΘL的参数施加了一些限制。对于α，ρ>0，考虑函数Υα，ρ（t）=e-ρt1-E-(2α-ρ） t2（2α）-ρ），t>0。很容易看出，这个函数是严格正的，并且在t时达到最大值*= - 对数（ρ/2α）/（2α）- ρ）值为α，ρ（t*) =2ρρ2α1.-ρ2α.然后，自然地对模型参数施加以下假设，以确保所有T>0的条件（5.2）都满足：假设2（P）。我们假设α，ρ>0和ΘLsatisfy2ρρ2α1.-ρ2α≤ ΘL- δ、对于某些δ>0的情况。显然，如果ΘL=∞ 然后假设P满足。假设ΘL<∞, 然后，如果我们选择ρ接近零，α的值必须有界远离零，反之亦然，以满足假设P。几何情况下的风险溢价变成：定理5.2。几何现货模型（5.1）中远期价格的风险溢价RFQ（t，t）为YRFQ（t，t）=EP[S（t）| Ft]nexpX（t）e-α（T）-t）（e）αβ（t-（t）- 1)×expσ（t）e-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))- E-ρ（T）-t）一,- E-(2α-ρ）（T）-t） 2（2α）- ρ)!!×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β）（T）-t）一,- E-(2α-ρ(1-β））（T-t）（2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β）（T）-t） )×exp-ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！16 BENTH和ORTIZ-LATORRE×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuzNLQ（du，dz）ds|英尺- 1.证据这紧跟着命题2。几何情况下的风险溢价变得很难分析，因为上一项中存在条件检验，涉及到关于Q的跳跃过程NLQ。

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2022-5-6 00:56:34

在本节剩余部分中，我们将利用模型的精细结构来分析风险溢价。5.1. 基于财务结构的风险溢价分析。计算EQ[S（T）|Ft]的另一种方法是使用Z=（Z（T），Z（T））>=（σ（T），X（T））>的精细结构，它可以提供半显式表达式。设∧′θ，′βi（u），i=0，1，2为与备注3.2中的特性相关的L′evy指数，即∧′θ，′β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=κL（θ）u+θu+Z∞（嗯- 1.- uz）eθz`（dz）=θu+κL（u+θ）- κL（θ）∧′θ，′β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=-ρ(1 - β） u+u+ρβκL（θ）Z∞（嗯- 1.- uz）zeθz`（dz）=-ρu+u+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ），λ′θ，β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=-α(1 - β） u.我们发现：定理5.3。设β=（β，β）∈ [0, 1],θ = (θ, θ) ∈“DL。假设存在满足广义Riccati方程ddtψ′θ，βi，i=0，1，2的C（[0，T]；R）函数-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（0）=1，滴滴涕ψ′θ，β（t）=θψ′θ，β（t）+κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，（5.3）和可积性条件∈[0，T]κL（θ+ψ′θ，′β（T））<∞. （5.4）那么，等式[exp（X（T））|Ft]=expψ′θ，′β（T- t） +ψ′θ，′β（t- t） σ（t）+ψ′θ，′β（t）- t） X（t）,andRFQ（t，t）=EP[S（t）|Ft]（5.5）×expψ′θ，’β（t）- （t）-ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds+ψ′θ，′β（T- （t）- E-ρ（T）-t）一,- E-(2α-ρ）（T）-t） 2（2α）- ρ)!σ（t）商品BNS模型中的计量变化17+ψ′θ，′β（T- （t）- E-α（T）-（t）X（t）- 1o。证据这个结果是Kallsen和Muhle Karbe[18]中定理5.1的结果：改变变量t→ T- t、 ODE（5.3）缩减为第2项中的ODE。三,。理论上的。Kallsen和Muhle Karbe[18]中有1例。可积性假设（5.4）包含条件1。

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nandehutu2022

2022-5-6 00:56:37

5。，在定理5.1和条件4中。因为σ（0）和X（0）是确定性的，所以同样的定理也很容易满足。因此，Kallsen和Muhle Karbe[18]中定理5.1的结论成立，p=（0，1），我们得到[exp（X（T））|Ft]=expψ′θ，′β（T- t） +ψ′θ，′β（t- t） σ（t）+ψ′θ，′β（t）- t） X（t）, T∈ [0，T]。（5.6）风险溢价的结果现在很容易得出。这里有几句话。备注5.4。如前所述，定理5.3的适用性相当有限。这是因为，如果存在满足方程（5.3）的C（[0，T]；R）的函数ψ′θ，’βi，i=0,1,2，很难先验地看到这一事实。我们必须研究方程（5.3）解的存在性和唯一性，以及将解推广到任意大T>0的可能性。我们在定理5.7中研究这个问题。备注5.5。请注意，以前的自治ODE系统可以有效地简化为一维非自治ODE。对于任何θ，我们都有∈\'DL，\'β∈ [0,1]，第二个方程的解由ψ′θ，′β（t）=exp给出(-α(1 - β） t）。将此解代入第一个方程，我们得到以下方程，用于求解ψ′θ，\'-β（t）ddtψ′θ，\'-β（t）=-ρψ′θ，′β（t）+e-2α(1-β） t+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，’β（t）+θ）- κL（θ）），（5.7），初始条件ψ′θ，′β（0）=0。通过积分∧θ、β（ψθ、β（t）、ψθ、β（t），即ψ′θ、β（t）=Zt{θψθ、β（s）+κL（ψ′θ、β（s）+θ，求解ψ′θ、β（t）方程- κL（θ）}ds=θ1- E-α(1-β） tα（1）- β） +Zt{κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）}ds。正如我们已经指出的，我们通常无法找到敖德辛定理5.3系统的显式解，必须依赖数值技术。然而，主要问题是确保全球解决方案的存在性和唯一性。在陈述我们关于这个问题的主要结果之前，我们先介绍一些符号和一个技术引理。引理5.6。

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2022-5-6 00:56:41

设∧θ，β，a:[0，ΘL]- θ) → R为∧θ，β，a（u）=-ρu+a+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），（5.8），其中≥ 0, (θ, β) ∈ DL×（0，1）并考虑setDb（a）={（θ，β）∈ DL×（0,1）：U∈ [0，ΘL- θ） s.t.∧θ，β，a（u）≤ 0}.然后，我们有：（1）对于任何（θ，β）∈ DL×（0，1），函数∧θ，β，a（u）存在一个唯一的全局极小值，该极小值在μm（θ，β）处达到=κL-1.κL（θ）β- θ、（5.9）18 BENTH和ORTIZ LATORREwith值∧θ，β，a（um（θ，β））=-ρκL-1.κL（θ）β- θ+ a（5.10）+ρβκL（θ）（κL）(κL-1.κL（θ）β) - κL（θ））.（2）函数∧θ，β，a（u）在（0，um（θ，β））中严格递减，在（um（θ，β），ΘL中严格递增-θ).（3）对于θ∈ DL fixed，有一个是um（θ，β）↑ ΘL- θ当β↓ 0和um（θ，β）↓ 当β↑ 1.（4）集合Db（a）与集合{（θ，β）重合∈ DL×（0，1）∧θ，β，a（um（θ，β））≤ 0}.此外，对于a>0，我们有以下结果：（a）如果θ∈ 是这样的θ>ΘL- a/ρ然后@β∈ （0，1）使得（θ，β）∈ Db（a）。（b）如果θ∈ d等于θ<ΘL- a/ρ则存在唯一的0<βm<1，使得∧θ，β，a（um（θ，βm））=0，（5.11）和所有β∈ [0，βm]一个人有（θ，β）∈ Db（a）。（5）对于（θ，β）∈ Db（a），a>0存在∧θ，β，a（u）的唯一零，用ua（θ，β）表示。作为β的函数，ua（θ，β）在[0，βm]上定义得很好，严格地说是递增的，ua（θ，0）=a/ρ，ua（θ，βm）=um（θ，βm）。证据证明1.：根据备注2.2，我们得到了ddu∧θ，β，a（u）=-ρ+ρβκL（u+θ）κL（θ），ddu∧θ，β，a（u）=ρβκL（u+θ）κL（θ）>0，这意味着存在唯一的0<u*（θ，β）<ΘL- θ代表θ∈ DLandβ∈ （0，1）使得∧θ，β，a（u）达到全局最小值。事实上，美国*（θ，β）solves1=βκL（u+θ）κL（θ）。此外，通过注释2.2，我们再次得出，κL（u）是一个严格递增函数，因此，它有一个定义良好的逆（κL）-1（v）分别由方程（5.9）和（5.10）给出，得到um（θ，β）和∧θ，β，a（um（θ，β））。证据2。

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大多数88

2022-5-6 00:56:45

：它来自于ddu∧θ，β，a（u）<0，u的事实∈ （0，um（θ，β））和ddu∧θ，β，a（u）>0，（um（θ，β），ΘL- θ).证明3.：它源于κL（u）的单调性和um（θ，β）givenby方程（5.9）的显式表达式。注意，作为β的函数，um（θ，β）是（0，1）中严格递减的连续函数。证据4。和5.：对于任何θ∈ DL，注意- ρu，λθ，0，a（u）≤ ∧θ，β，a（u），β∈ （0,1），u∈ [0，ΘL- θ）和∧θ，0，a（u）>0如果u∈ （0，a/ρ）。因此，如果θ>ΘL- a/ρ然后∧θ，β，a（u）>0，u∈ [0，ΘL- θ）任何β∈ (0, 1). 另一方面，如果θ<ΘL- a/ρ我们有a/ρ∈ [0，ΘL- θ). 此外，定义函数F（u，β）=∧θ，β，a（u），并考虑到F（a/ρ，0）=0，uF（u，β）（u，β）=（a/ρ，0）=-ρ+ρβκL（u+θ）κL（θ）（u，β）=（a/ρ，0）=-ρ<0，商品的BNS模型中度量的变化19我们可以将隐函数定理应用于方程F（u，β）=0，以确保存在一个（A/ρ，0）的高阶u，其中我们可以将u=ua（β），F（u，β）=0的根，作为β的函数。此外，在美国，我们有βua（β）=-βF（ua（β），β）uF（ua（β），β）=-ρκL（θ）（θ+κL（ua（β））- κL（θ））-ρ+ρβκL（ua（β）+θ）κL（θ）=ua（β）RκL（θ+λua（β））dλκL（θ）- βκL（θ+ua（β）），只要β<κL（θ）κL（θ+ua（β））为正。这表明ua（β）是β对β的明确且严格递增的函数∈ [0，βm]，其中βm是方程∧θ，β，a（um（θ，βm））=0的根。此外，ua（0）=a/ρ，ua（βm）=uma（θ，βm）。如果∧θ，β，a（um（θ，β））<0，u（θ，β）的存在性来自Bolzano定理，唯一性来自∧θ，β，a（u）在（0，um（θ，β））中严格递减的事实。现在我们可以陈述我们的主要结果：定理5.7。If（θ，β）∈ Db（1/2）和（θ，β）∈ R×[0，1）然后（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t））areC（[0，t]；R）对于任何t>0。

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2022-5-6 00:56:49

此外，（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t））-→θα(1 - β） +Z∞{κL（ψ′θ，\'-β（t）+θ）- κL（θ）}ds，0,0, T→ ∞,安德特-1日志（ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（t））→ γ、 t→ ∞,式中γ=-α(1 - β）或γ=-ρ(1 - β）。证据首先，回想一下备注5.5，即定理5中颂歌系统的存在性和唯一性。3可以简化为一维非自治方程（5.7）的存在性和唯一性。我们必须研究与时间相关的向量场∧θ，β（t，u），-ρu+e-2α(1-β） t+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），β∈ (0, 1),θ ∈“DL。考虑d（∧θ，\'-β），int（{u∈ R:△θ，β（t，u）<∞}) = int（{u∈ R：κL（u+θ）<∞}) = (-∞, ΘL- θ），以及定义的int（\\\'\'β∈(0,1)],θ∈\'DLD（∧θ，\'β））=(-∞, ΘL- ΘL/2）=(-∞, ΘL/2）。另一方面，对于u，v∈ D（∧∧θ，\'β），有一个∧θ，β（t，u）-∧θ，β（t，v）≤ ρ| u- v |+ρβκL（θ）Z∞|尤兹- evz | zeθz`（dz），and z∞|尤兹- evz | zeθz`（dz）≤ |U- v|Z∞e（u）∨v+θ）zz`（dz），此外，注意int（{u∈ R:Z∞ze（u+θ）z`（dz）<∞}) = (-∞, ΘL- θ） =D（∧∧θ，β）。20 BENTH和ORTIZ Latorrence，向量场∧∧θ，β（t，u），θ∈\'DL，\'β∈ [0,1]定义明确（即定义明确），局部为Lipschitzin D（∧）。然后，根据Picard-Lindel¨of定理（见Hale[16]第18页定理3.1），我们得到了ψ′θ，′β（t）的局部存在性和唯一性，其中ψ′θ，′β（0）=0∈ D（∧∧）。让我们考虑自治向量场∧∧θ，β（u），-ρu++ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），β∈ (0, 1), θ∈ DL。那么，作为∧∧θ，β（u）-∧θ，β（t，u）=（1）- E-2α（t）≥ 0，为你≥ 0，使用一个比较定理，我们得到与∧θ，β（t，u）相关联的常微分方程的解，从0开始，由与∧θ，β（u）相关联的常微分方程的对应解所限定，我们将用∧θ，β（t）表示。通过外稃5。6，如果（θ，β）∈ Db（1/2）存在唯一的2/ρ<u1/2（θ，β）≤ μm（θ，β），使得∧∧θ，β（u）>0，对于u∈ （0，u1/2（θ，β））和^∧θ，β（u1/2（θ，β））=0。

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2022-5-6 00:56:53

这就产生了解^ψθ，β（t）的定义∈ [0, +∞) 单调收敛到u1/2（θ，β），这是∧θ，β（u）的一个驻点。因此，解ψ′θ，′β（t）以u1/2（θ，β）为界，并定义为t∈ [0, +∞). 为了证明实际上ψ′θ，’β（t）收敛于零，可以方便地观察二维系统ddtψ′θ，’β（t）=-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，′β（t），ψ′θ，′β（0）=1，（5.12）以及相应的向量场∧′θ，′β（u，u）=-ρu+u+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），λ′θ，′β（u，u）=-α(1 - β）注意，（u，u）=（0，0）是一个驻点，当u>0时，∧θ，’β（0，u）>0，当u>0时，∧θ，’β（u，0）=0，当u>0时，∧θ，’β（u，u）<0。因此，区域S′θ，′β={（u，u）：0≤ u<ΘL- θ, 0 ≤ U≤ 1} 对于这个向量场是不变的，也就是说，一个进入S′θ、β的解不能离开S′θ、β。此外，我们还发现，在u=0线处计算的向量场∧θ，β（u，u）的形式为∧θ，β（u，0）=-ρu+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），即∧θ，β（u，0）=∧θ，β，0（u）。通过引理5.6，可以得出∧θ，β（u，0）=∧θ，β，0（u）<0，对于u∈ （0，um（θ，β））。另外，如果（θ，β）∈ D（1/2），我们有u1/2（θ，β）<um（θ，β）。这意味着∧′θ，’β（u，0）<0表示u∈ （0，u1/2（θ，β）），可以扩展到（u，u）∈（0，u1/2（θ，β））×（0，δ），R′θ，′β（δ），对于某些0<δ<1。注意，R′θ，′β（δ）在驻点（0，0）的吸引域内。作为ψ′θ，′β（t）=e-α(1-β） tandψ′θ，β（t）<u1/2（θ，β），我们有（ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（t））∈ 对于t>-对数（δ）α（1）-β）因此，当t趋于一致时，它收敛到（0，0）。

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