指数L\'{e}vy模型的多层蒙特卡罗

2022-5-6 01:08:37

[24]中的定理42。带跳跃的模型直观地解释了指数期权市场和外汇市场的隐含波动率偏差和微笑（见[10]第11章）。跳转恐惧主要集中在股票市场的下行，这会为低行使期权带来溢价；跳跃风险在外汇市场中是对称的，因此隐含波动率具有微笑形状。[10]中的第7章表明，建立在纯跳跃过程上的模型可以重现资产回报的实际情况，比如重尾和增量的不对称分布。由于没有扩散成分的纯跳跃过程有限活动无法生成真实路径，因此允许跳跃活动处于有限状态是很自然的。在这项工作中，我们讨论了不确定性纯跳跃指数L’evy模型，特别是由方差伽马（VG）、正态逆高斯（NIG）和α稳定过程驱动的模型，并允许直接模拟增量。我们有兴趣在期权定价问题S中估计预期的现值E[f（S）]。在欧式期权的情况下，可以直接采样und Erling L’evy过程的最终值，但在亚洲、回望和障碍期权的情况下，期权值取决于L’evy过程的函数，因此有必要对其进行近似。对于带有回溯选项的VG模型，[13]中的c收敛结果表明，使用标准蒙特卡罗方法和均匀时间步长离散化来实现O（ε）均方根（RMS）误差需要O（ε）-2）路径，每个路径都带有O（ε-1）时间步长，导致O（ε）的计算复杂性-3).在简单布朗扩散的情况下，Giles[16,17]引入了一种多层蒙特卡罗（MLMC）方法，降低了O（ε）的计算复杂性-3） to O（ε）-2）为了各种各样的回报。

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2022-5-6 01:08:40

本文的目的是研究指数L’evy过程是否能获得类似的效益。许多研究人员已经研究了L’evy过程最大运行的模拟方法。参考文献[15]发展了一种适用于有控制偏差的非致死L’evy过程函数的自适应蒙特卡罗方法。给出了出口概率的小时间渐近展开式，并给出了可计算的误差边界。对于在载体接近过程起点时评估退出概率，该算法明显优于均匀离散。参考文献[20]开发了一种新的维纳-霍普夫蒙特卡罗方法来生成XT，sup0≤T≤TXt在[14]中进一步扩展到MLMC，得到了计算复杂度为O的均方根误差εε-3.对于具有有界变差和O的L'evy过程ε-4.对于变化有限的过程。该方法不能直接应用于VG、NIG和α-稳定的过程。参考文献[12,11]对MLMC进行了调整，使其适用于具有p分期付款的列夫驱动的SDE，即Lipsch-itz w.r.t.上确界范数。如果L’evy过程不包含布朗过程，参考文献[11]得到Oε-(6β)/(4-β)上界在最坏情况下的计算复杂度，这里β是BG指数，稍后将确定。与那些先进的技术相比，我们采用基于L’evy过程的非形时间步长离散化的离散监控最大值作为近似值。工作大纲如下。首先，我们回顾了指数L’evy模型的多级蒙特卡罗方法，并介绍了我们将在数值实验中考虑的三个L’evy过程。

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kedemingshi

2022-5-6 01:08:43

为了对loo-kback和Barrier的多级方差进行分析，我们发现了一大类L’evy过程的离散监测运行最大值的收敛速度，这些过程的L’evy测度对于小跳跃具有幂律行为，并且具有指数尾。在此基础上，我们通过限定多水平估计量的方差得出结论。然后用三种不同的指数L’e vy模型给出了应用于亚式期权、回望期权和障碍期权的多层蒙特卡罗数值结果。2.基于时间间隔[0，T]上的指数L’evy模型的路径相关支付P的多层蒙特卡罗（MLMC）方法，letbPl用M表示其近似值l尺寸为h的单位时间步长l= M-lT在水平面上l; 在后面报告的数值结果中，我们使用M=2。由于期望算子的线性，我们有以下等式：E[bPL]=E[bP]+L∑l=1E[bPl-英国石油公司l-1]. （2.1）Letby表示使用NPATH的E[bP]的标准蒙特卡罗估计，以及l > 0，我们使用Nl估计E[bP]的独立路径l-英国石油公司l-1] usingbYl= N-1.lNl∑i=1bP（一）l-bP（一）l-1.. （2.2）对于为BP（i）生成的给定路径l, 我们可以计算EBP（i）l-1在lyingL\'evy路径下使用相同的方法。多层次方法利用了以下事实：l:= V[bPl-英国石油公司l-1] 减少l, 还有一个dapnl最大限度地降低计算成本，以达到预期的均方根误差。[18,19]中的以下定理总结了这一点：定理2.1让P表示St和letbP的函数l用均匀时间步长h的离散表示相应的近似l= M-lT

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2022-5-6 01:08:46

如果存在依赖性估计l基于NlMonte Carlo样本，每个样本都具有复杂性l, 和正常数α，β，c，c，csuch th atα≥β（andi）1E[bPl-P]≤ chαlii）E[由l] =（E[bP]，l = 0E[bPl-英国石油公司l-1], l > 0iii）V[bY]l] ≤ cN-1.lhβliv）Cl≤ cNlH-1.l,然后存在一个正常数csuch，对于任何ε<e-这里是土地的价值观l其中，多级估计器BY=L∑l=0bYl,4.迈克尔·B·贾尔斯，袁霞与boundMSE之间有一个中等偏误≡呃-E[P]）i<ε的计算复杂度C有界C≤cε-2，β>1，cε-2（对数ε），β=1，cε-2.-(1-β)/α, 0 <β< 1.在后续的数值结果和分析中，我们将重点讨论多级方差收敛速度β，因为它对确定计算复杂性至关重要。3 L’evy模型要呈现的数值结果使用以下三种模型。3.1方差伽马（VG）参数集（σ，θ，κ）的VG过程是具有特征函数E[exp（iuXt）]=（1）的L’evy过程X-iuθκ+σuκ）-t/κ。VGprocess的L′evy度量是（[？]ab le4.5 in ct04）ν（x）=κ| x | eA-B | x |，其中A=θσ，B=pθ+2σ/κσ。VG过程的一个优点是，其附加参数使其能够满足股票收益的偏度和峰度（见[10]第7.3节）。另一个是它很容易被模拟，因为我们有一个从属函数表示Xt=θGt+σBGtin，其中B是一个布朗过程，而从属函数G是一个带参数（1/κ，1/κ）的伽马过程。为了便于共同计算，我们遵循[25]第6.2.2节中的平均值修正定价措施，无风险利率r=0.05。让我们看看(-rt）应该是鞅。

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大多数88

2022-5-6 01:08:51

这导致漂移m=r+κ-1log（1+θκ）-σκ).将参数r表示转换为我们使用的定义后，[25]表6.3中的校准给出σ=0.1213，θ=-0.1436,κ= 0.1686.指数L'evy模型的多层蒙特卡罗53.2正态逆高斯（NIG）具有par a米集（σ，θ，κ）的N-IG过程是具有特征函数E[exp（iuXt）]=exp的L'evy过程Xtκ-tκ√1.-2iuθκ+κσuL′evy测度ν（x）=Cκ| x | eAxK（B | x |），其中A=θσ，B=pθ+σ/κσ，C=pθ+2σ/κπσ√κ.Kn（x）是第二类修正贝塞尔函数（见[10]第4.4.3节）。澳大利亚证券交易所→ 0，K（x）~x+O（1），而作为x→ ∞, K（x）~ E-xqπ2 | x|1+O|x|.在模拟方面，NIG过程可以表示为Xt=θIt+σBIt，其中subord inator是一个带参数的逆Ga-ussian过程（κ，1）。[10]中的算法6.9可用于生成逆高斯样本。使用平均值修正定价方法得出tom=r-κ-1+πCBκ-1qB-（A+1）。根据[25]中的校准，我们使用参数σ=0.1836，θ=-0.1313，κ=1.2819，再次使用无风险利率r=0.05.3.3谱负α稳定过程标量谱负α稳定过程h作为形式的L'evy度量；参见[23]中的第1.2.6节：ν（x）=B|x |α+1{x<0}表示0<α<2和一些非负B。我们按照参考文献讨论特征函数e[exp（iuXt）]=exp的α稳定过程的另一个参数化-tBα| u |α1+isgn（u）tanπα, 如果α6=1，E[exp（iuXt）]=exp-tB | u|1+iπsgn（u）log |u|, 如果α=1，（3.1），其中sgn（u）=| u |/u，如果u6=0，sgn（0）=0。谱负过程没有正跳，它有一个有限的指数矩E[exp（uXt）][4]。对于这种情况，平均校正漂移ism=r+Bαsecαπ。α-稳定过程的样本路径可以用[5]中的算法生成。在[4]之后，我们使用参数α=1.5597和B=0.1486.6。

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大多数88

2022-5-6 01:08:54

贾尔斯，袁霞4关键数值分析结果多级校正的方差，Vl= V[bPl-英国石油公司l-1] 取决于连续监测和离散监测的Xt上限之间的差异，定义为单位时间间隔asDn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/n.为了推导回望型支付的弱收敛阶，我们考虑了文献中广泛研究的e[Dn]。例如，[13]、[8]和[9]利用Spitzer恒等式[26]导出了跳跃扩散、VG、NIG p过程的渐近展开式，以及一般L’evy过程的估计。Chen[8]的一个关键结果如下：定理4.1假设X是一个具有三重（m，σ，ν）的标量L’evy过程，具有有限的一阶矩，即Z{X |>1}X |ν（dx）<∞.那么Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/nsatis Fies1。如果σ>0E[Dn]=O（1/√n） )；2.如果σ=0且X是有限变量，即R{X|<1}X|ν（dx）<∞E[Dn]=O（对数n/n）；3.如果σ=0且X为有限变量，则th enE[Dn]=o（n-1/β+δ），其中β=infα> 0:Z{x |<1}x |αν（dx）<∞是X的Blumenthal-Getoor指数，δ>0是一个非常小的严格正常数。VG过程的最终变化为Blum-enthal-Getoor指数为0；黑化过程与Blumenthal Getoor指数1之间存在一定的差异。它们对应于定理4的第二和第三种情况。分别为1。对于多水平方差分析，我们需要更高的Dn矩。在纯布朗的情况下，Asmussen等人（[1]）得到了Dn的渐近分布，进而给出了E[Dn]的交感行为。[13] 将结果扩展到具有非零扩散的有限活动跳跃过程。然而，在本文中，我们关注的是有限的活动跳跃过程。因此，我们的主要新结果是关于纯跳跃L’evy过程的DNP收敛速度。

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2022-5-6 01:08:58

这将在后面用于计算多层蒙特卡罗校正项V的方差l用于回望和障碍选项。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗7定理4.2设X为纯跳跃L’evy过程，并假设其L’evy测度ν（X）满足| X|-1.-α≤ν（x）≤C | x|-1.-α、对于| x |≤ 1.ν（x）≤ 经验(-C | x |），对于|x |>1，（4.1），其中C，C，C>0，0≤α<2是常数。然后是p≥ 1Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/nsatis文件[Dpn]=O（1/n），p>2α；O（logn/n）pα, P≤ 2α.此外，如果x在光谱上是负的，即对于x>0，ν（x）=0，则ne[Dpn]=（O（n-p），0≤α< 1;ON-p/α+δ, 1.≤α< 2;对于任何δ>0的情况。我们将在后面的第7节中给出这个结果的证明。6.注意，对于p=1，定理4.2中的一般界限比Chen对α<的结果稍微尖锐，对于α=，它是相同的，并且没有Chen对<α<2的结果那么紧；对于α<1，谱负界比Chen的结果稍微尖锐，对于1，谱负界是相同的≤α<2.5 MLMC分析5。1亚洲期权我们考虑对Lipschitz算术亚洲回报P=P（S）的分析，其中S=ST-1ZTexp（Xt）dt。P是Lipschitz，因此| P（S）-P（S）|≤ LK | S-S |。我们使用梯形近似来近似积分：bS:=ST-1n-1.∑j=0h经验Xjh+经验X（j+1）h, （5.1）而近似的回报是thenbP=P（bS）。8迈克尔·B·贾尔斯，袁晓霞，5。1设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。IfB，S如上文所定义，andR{z |>1}e2zν（dz）<∞, thenEh（bS）-S） i=O（h）。证据将在第7节稍后给出。1.

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2022-5-6 01:09:02

利用Lipschitz性质，数值逼近的弱收敛性f由下式给出：E[bPl-P]≤ LKEh | bSl-S|i≤ 斯里兰卡E[（bS）-S） ]1/2，而M LMC方差的收敛遵循Vl≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1）我≤ 2 Eh（英国石油公司l-P） i+2 Eh（血压l-1.-P）我≤ 2LKEh（英国学士）l-S） i+2LKEh（bS）l-1.-S） i.5.2回望期权在指数L’evy模型中，矩母函数E经验q sup0≤T≤TXt对于较大的q值可以是有限的。为了避免由此产生的问题，我们考虑了一个有界的ed payoffP=exp的alookbac k看跌期权(-rT）（K-Sexp（m））+，（5.2），其中m=sup0≤T≤TXt。注意P是m的Lipschitz函数，因为我们有| P′（x）|≤ K.在不丧失一般性的情况下，我们假设T=1。由于Lipschitz的特性，我们E[P]-英国石油公司l]≤kE[Dn]式中n=Ml=H-1.l. 因此，我们得到了Theora过程所覆盖的收敛性。1，利用定理给出的收敛率。为了分析方差，Vl= V[bPl-英国石油公司l-1] 首先，我们注意到：；0≤ max0≤我≤MlXi/Ml- max0≤我≤Ml-1Xi/Ml-1.≤ sup0≤T≤1Xt- max0≤我≤Ml-1Xi/Ml-1=dn，其中n=Ml-1.因此，我们有l≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1）我≤ 柯[Dn]。理论4。2然后提供以下关于VG、Nig和光谱负α-稳定过程方差的边界。提议5。2设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。对于Lipschitz回望看跌期权支付（5.2），我们得到了以下多水平方差收敛速度结果：1。如果X是方差伽马（VG）过程，那么n Vl= O（h）l);2.如果X是正态逆高斯过程，那么Vl= O（h）l|原木l|);3.

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2022-5-6 01:09:04

如果X是一个光谱负的α稳定过程，α>1，那么Vl= Oh2/α-δl,对于任何小的δ>0。指数L′evy模型95.3障碍期权的多层蒙特卡罗方法我们考虑了一个有界的上下障碍期权，其贴现收益p=exp(-rT）f（ST）1{sup0<t<TSt<B}=exp(-rT）f（ST）1{m<log（B/S）}，（5.3），其中m=sup0<t<TXt，和| f（x）|≤F是有界的。在水平面上l, 数值近似为bpl= 经验(-rT）f（ST）1{bml<日志（B/S）}。（5.4）bml= max0≤我≤MlXihl.我们对NIG和光谱负α稳定过程的分析需要以下相当普遍的结果。提议5。3.如果m是一个随机变量，在B的邻域中具有局部有界密度，bm是m的数值近似，那么对于任何p>0，都存在一个常数Cp（B），使得{m<B}-1{bm<B}< Cp（B）公里- bmkp/（p+1）p.证明这个结果首先由Av ikainen（引理3.4 in[2]）证明，但我们在这里给出了一个更简单的证明。如果对于某些固定X>0，我们有| m-B |>X和| m-bm |<X，然后m<B-1bm<B=0。因此，E[|1m<B-1毫米<B |]≤ P[|m-B|≤ 十] +P[|m-bm|≥ X]≤ 2ρsup（B）X+X-pkm- BMKPP，第一项是由于m的密度的局部b oundρsup（b），第二项是由于马尔可夫质量。通过对w.r.t.X的上界进行微分，我们发现通过选择Xp+1=pρsup（B）km，它是最小化的- bmkpp，然后我们得到了所需的边界。我们对方差伽马过程的分析需要根据L’evy过程的性质定制更清晰的结果。提议5。

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能者818

2022-5-6 01:09:08

4如果XT是一个满足定理4条件的标量pu-re跳跃L′evy过程。2对0≤α≤, m和bmnare连续且离散监控的Xt的上确界，m在B的邻域中有一个局部有界密度{m<B}-1{bm<B}= O（n）-1/（1+2α）+δ），对于任何δ>0。证据将在第7节后面给出。7.上述两个命题都需要一个条件，即对于所有严格正值，上确界m具有有界密度。关于L’evy过程的上确界有相当多的研究[6,7,21,22]。尤其是[7]中支持位置2的评论表明，稳定的迈克尔·B·贾尔斯（Michael B.Giles）和广泛的对称从属布朗运动满足了该条件。不幸的是，本文中的VG和NIG过程不是对称的，因此目前它们不在当前理论的范围内，但正在开发的新理论[3]将把这一特性扩展到更大类别的L’evy过程，包括bothVG和NIG。现在我们定义了估计量的弱收敛性和多级方差收敛性。提议5。5设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。

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能者818

2022-5-6 01:09:11

对于向上和向外的障碍期权收益（5.3），在数值近似（5.4）下，假设m有界密度，我们有以下多级校正方差和弱误差的收敛速度：–如果X是方差伽马（VG）过程，则l= O（h1-δl);EhbP-圆周率= O（h1-δl)其中δ为任意正数如果X是一个NIG过程，那么vl= O（h1/2）-δl);EhbP-圆周率= O（h1/2）-δl)其中δ为任意正数如果X是一个α>1的谱负α稳定过程，那么l= Ohα-δl;EhbP-圆周率= Ohα-δl其中δ为任意正数。证明了多级校正项的方差为Vl≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1）我≤ 2 Eh（英国石油公司l-P） i+2 Eh（血压l-1.-P） i.对于向上和向外的障碍选项，由于回报是有限的，我们有（bPl-P）我≤ FE{bmn<log（B/S）}-1{m<log（B/S）},E[bPl-P]≤ F E{bmn<log（B/S）}-1{m<log（B/S）},其中n=Ml.VG过程的边界来自命题5。4以及定理4.2的结果。指数L′evy模型的多层蒙特卡罗11从命题5中取p=1得到NIG系数的界。3与陈的结果定理4.1一起。光谱负α-稳定过程的界来自Pro position5。3以及定理M4.2的结果。定理4.2 giveskm-bmkp/（p+1）p≡ （E[|m-bm | p]）1/（p+1）=O（hp（p+1）α-δp+1）。然后，我们通过将p取为足够大的值来获得所需的界。6数值结果我们有三种不同的L’evy模型的数值结果：方差G a mma、无rmalInverse Ga ussian和α稳定过程，以及三种不同的选择：亚洲、回望和障碍。当前代码基于Giles的MATLAB代码[17]，我们使用该代码生成标准数值结果和一组四个函数。前两个图对应于一组实验，以研究两个HBP的方差和均值是如何变化的l和BPl-英国石油公司l-1随级别变化l.

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2022-5-6 01:09:15

左上角的曲线图显示了对数（方差）的值，因此logV[bP]的直线斜率的绝对值l-英国石油公司l-1] 表示V的收敛率βl在条款2.1的条件i）中。同样，对数| E[bP]的直线斜率的绝对值l-英国石油公司l-1] |右上角的p段表示OM 2.1条件i）下的武器会聚率α。底部两个图对应于一组MLMC计算，以获得所需精度ε的不同值。左下角绘图中的每一行对应于Nemo多层计算，并显示样本数Nl在每个层面上。注意，随着ε的变化，MLMC算法会自动决定需要多少级别来减少或适当地减少微弱错误。每个水平的最佳样本数基于m个多水平校正方差的经验估计l, 以及使用拉格朗日乘数来确定如何最好地最小化给定目标精度的总体计算成本。[19]中给出了算法的完整描述。右下角的曲线图显示了计算复杂度C随期望精度ε的变化。在最好的情况下，MLMCcomplexity为O（ε）-2）因此，该图是εC与ε的对比图，这样我们可以看到是否实现了这一点，并将其复杂性与标准蒙特卡罗方法的复杂性进行比较。6.1亚式期权我们考虑的亚式期权是一种算术亚式所有期权，贴现付款p=exp(-rT）max0，S-K,式中，T=1，r=0.05，S=100，K=100，and=ST-迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-14-12-10-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。1：方差伽马模型中的亚式期权对于一般的L’evy过程，直接对积分过程进行采样并不容易。

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2022-5-6 01:09:18

我们使用梯形近似B:=ST-1n-1.∑j=0h（expXjh+经验X（j+1）h),其中n=T/h是时间步数。回报近似值为thenbP=exp(-rT）最大值（0，bS）-K）。在多级估计器中，近似imationbPl在水平面上l 使用nl:=2.l时间步。图1、2、3分别为VG、NIG和α稳定模式ls。右上角的数值结果表明近似二阶弱收敛。使用标准蒙特卡罗方法，左上角的图显示，指数L’evy模型的多级蒙特卡罗水平为130 2 4 6l-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-20-15-10-5PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。2：正态逆高斯模型中的亚式期权方差近似独立，因此，标准蒙特卡罗计算的计算成本为O（ε）-2nl) = O（ε）-2.5). 将该成本乘以ε以创建右下角的复杂度图，标度成本为O（n）l) 因此，当降低ε需要增加最底层L的值时，随着ε的降低，逐步进行goesup。另一方面，对于VG，MLMC估计的方差收敛速度约为1.2，对于NIG，为2.0，对于α稳定模型，为2。因为在这三种情况下，我们都有β>1，所以MLMC定理给出了一个复杂性，即O（ε）-2）这与右下角图中的结果一致，该图显示MLMC估计器的εC变化很小。对于这种亚洲选择，MLMC的效率是标准MC的3-8倍。收益不大，因为弱收敛的高速度意味着在大多数情况下只需要4个级别的竞争，因此成本只有2=16的差异14 Michael B.Giles，Yuan Xia0 2 4 6 levell-10-5便士lPl- Pl-10 2 4 6水平l-15-10-5PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。

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2022-5-6 01:09:22

3：在最底层的每个MC路径计算和最粗糙层的每个MLMC路径计算之间的负α稳定模型中的亚式期权。6.2回望期权我们所考虑的回望期权是一种对躺在地上的船的看跌期权，P=exp(-rT）（K- sup0≤T≤TSt）+=exp(-rT）（K-Sexp（m））+，其中m=sup0≤T≤TXt，T=1，r=0.05，S=100，K=110。我们使用d iscr etely monitored max作为近似值，因此BPl= 经验(-rT）（K-性别（bm）l))+, bml= max0≤J≤NlXjhl.指数L’evy模型的多层蒙特卡罗150 2 4 6层l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。4：带有方差伽马模型的回溯选项图4、5、6显示了VG、NIG和α稳定模型的数值结果。与亚洲选项相比，最明显的差异是弱收敛阶大大降低，在各自的c类中分别约为1、0.8和0.6。这种弱收敛性的降低导致了最接近水平的大幅提高，这反过来又大大增加了标准MC成本，但不会显著改变MLMC成本。因此，计算上的节省远大于Sian选项，节省高达30倍。N中不稳定的小波动l水平大于5是由于样本数量有限，方差估计较差。对于Barrier（障碍物）选项，该选项稍后也会出现。16迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。5：正常反向高斯模型el6的回望选项。3屏障选项屏障选项是一种向上和向外的呼叫，payoffP=exp(-（右）圣-K） +{sup0≤T≤TS（t）<B}=exp(-（右）圣-K） +{m<log（B/S）}，T=1，r=0.05，S=100，K=100，B=115。

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2022-5-6 01:09:25

离散监控近似为BPl= 经验(-（右）圣-K） +{^ml<日志（B/S）}，bml= max0≤J≤NlXjhl对于屏障期权，与之前的期权相比，最显著的变化是MLMC方差的收敛速度β降低，其中β≈在三种情况下分别为0.75,0.5,0.6。对于β<1，MLMC-theo-rem证明了一个复杂度isO（ε-2.-(1-β） /α），其中α是wea k收敛速度。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗l-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。6：具有光谱负α稳定模型的回望选项MLMC复杂性不是O（ε-2）从右下角的复杂地块上可以清楚地看到，但与标准MC计算相比，仍有显著的节省。18迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-6-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。7：方差伽马模型中的屏障选项6。4总结与讨论表1总结了弱误差[bP]的收敛速度l-P] 还有MLMCVl= V[bPl-英国石油公司l-1] 由Pro位置5.1、5.2、5.5和数值实验中观察到的经验收敛速度给出。总的来说，分析和数值收敛速度之间的一致性相当好，这表明在大多数情况下，分析可能是sh arp。二者之间最明显的差距在于亚式期权在所有三种模式下的弱收敛阶；分析证明了一个O（h）界，而数值结果表明它实际上是一个O（h）。

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2022-5-6 01:09:28

数值结果可能并不令人惊讶，因为O（h）是光滑函数的梯形积分的收敛阶，因此，如果回报只是ofS的倍数，它是人们期望的阶。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗190 2 4 6层l-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-6-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。8：正常逆高斯模型中的屏障选项7。1命题的证明5。1.假设我们将真值和近似值之间的差异分解为可以单独绑定的部分：s-学士学位= 装货单-1.ZTexp（Xt）dt-N-1.∑j=0h（expXjh+经验X（j+1）h)= 装货单-1.N-1.∑j=0expXjhZ（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt-h exp（XT）+h.20迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。9：如果我们定义j=exp，则光谱负α稳定模型中的势垒选项Xjh,Ij=Z（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt，RA=-h exp（XT）+h，thenE学士学位-s= T-2SEN-1.∑j=0bjIj+RA≤ 2T-2秒EN-1.∑j=0bjIj+ E拉.指数L’evy模型的多层蒙特卡罗21表1：弱误差和方差V的收敛速度sl对于VG、NIG和α-稳定过程；δ可以是任何小的正常数。

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2022-5-6 01:09:31

数值计算是在数值实验的基础上进行的。VGnumerical analysis期权弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回首O（h）Oh1。2.O（h | log h |）O（h）屏障Oh0。8.Oh0。9Oh1-δOh1-δNIG数值分析期权弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回头看h0。8.Oh1。2.Oh1-δO（h | log h |）屏障Oh0。4.Oh0。5.Oh0。5.-δOh0。5.-δ光谱负α-稳定，α>1α=1.5597数值分析选项弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回头看h0。6.Oh1。6.Oh1/α-δOh2/α-δ屏障Oh0。5.Oh0。6.Oh1/α-δOh1/α-δ我们有E拉= OH, 由于Bjwe和Ijwe Obstaine的独立性N-1.∑j=0bjIj= E“n-1.∑j=0bjIj+2n-1.∑m=1米-1.∑j=0bmImbjIj#=n-1.∑j=0E北京EIj+ 2n-1.∑m=1米-1.∑j=0E[bmImbjIj]。（7.1）定义A=2m+Re2z-1.-2z1 | z |<1ν（dz），我们有Ehbji=eA-jh。此外，由柯西-施瓦兹质量公司（EIj≤ 他Z（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt= hZhEh（exp（Xt）-1） idt=hA.嗯-1.-啊-2r呃-1.-右22迈克尔·B·贾尔斯，袁先浩认为1+x<ex<1+x+xf对于0<x<1，因此对于h<1/A，我们有一个-1.∑j=0E北京EIj< 安-1.∑j=0eA jh=AeAT-1啊-1h<（吃）-1）现在我们计算（7.1）中的第二项。

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2022-5-6 01:09:35

注意，对于m>j，Imis独立于bmbjIj，而bm/bj+1独立于bj+1bjIj，son-1.∑m=1米-1.∑j=0E[bmImbjIj]=n-1.∑m=1E[Im]m-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj.首先，对于h<1/r，E[Im]=Zh（ert）-1） dt=r-1.呃-1.-右< 嗯。此外，我们还有Ebm/bj+1= 呃(m)-J-1）汉德bj+1bjIj= E经验2Xjh经验X（j+1）h-XjhZ（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt= E经验2XjhEexp（Xh）Zhexp（Xt）-1.dt= eA jhZhE[exp（Xh）-Xt]E[exp（2Xt）]-E[exp（Xh）]dt=eA jhZh呃(h)-t）吃-呃dt=eA jherhe（A-r） h-1.-（A）-r）哈-r、因此，对于h<1/（A-r），n-1.∑m=1米-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj=e（A）-r） h-1.-（A）-r） A-注册护士-1.∑m=1米-1.∑j=0er（m）-j） heA jh=e（A-r） h-1.-（A）-r） h（A）-r）（e）（A）-r） h-1） n-1.∑m=1（eAmh）-呃）<热-1啊-1<A-1（吃-1).因此，E“n-1.∑m=1米-1.∑j=0bmImbjIj#=n-1.∑m=1E[Im]m-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj= O（h），因此我们可以得出结论，E学士学位-s= O（h）。指数L’evy模型的多级蒙特卡罗237.2 L’evy过程分解证明依赖于将L’evy过程分解为有限活动纯跳跃部分、漂移部分和包含非常小跳跃的剩余部分的组合。设X为（m，0，ν）-L′evy过程：Xt=mt+ZtZ{z|≥1} zj（dz，ds）+ZtZ{z |<1}z（J（dz，ds）-ν（dz）ds）。（7.2）有限活动跳跃部分由xεt=ZtZ{ε<|z | z J（dz，ds）=Nt定义∑i=1yi是截断小于ε的X的跳跃的复合泊松过程，假设满足0<ε<1。n的强度和yi的c.d.f是λε=Z{ε<| Z |}ν（dz）。（7.3）P[Yi<y]=λ-1εZ{Z<y}{ε<|Z}ν（dz）；漂移项的漂移率定义为με=m-Z{ε<|Z |<1}Zν（dz），（7.4），因此剩余项是一个鞅：Rεt:=ZtZ{Z|≤ε} z（J（dz，ds）-ν（dz）ds）。

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大多数88

2022-5-6 01:09:39

（7.5）我们定义σε=Z{Z|≤ε} zν（dz），（7.6），因此V[Rεt]=σεt。这三个量，με，λε和σε都将在随后的数值分析中起主要作用。我们通过所有时间步上的连续最大值和两点最大值之间的差来计算Dn：Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXin≤ maxi=0，。。。，N-1D（i）n（7.7），其中随机变量sd（i）n=sup[in，i+1n]Xt-最大值Xi+1n，Xin24迈克尔·B·贾尔斯、袁夏元是独立的，分布相同。如果我们现在确定（i） Xt=Xin+t-辛，（i） Xεt=Xεin+t-Xεin，（i） t=t-在里面（i） Rεt=Rεin+t-Rεin，thenD（i）n=sup[0，n]（i） Xt-（i） Xn+= sup[0，n]（i） Xεt+（i） Rεt+με（i） t-（i） Xεn+（i） Rεn+μεn+≤ sup[0，n]（i） Xεt+（i） Rεt-（i） Xεn+（i） Rεn++|με| n≤ sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn++||εn+sup[0，n]（i） Rεt+-（i） Rεn+≤ sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn++||εn+2 sup[0，n]（i） Rεt（7.8）我们使用（a+b）的地方+≤ a++b+和a=（i） Xεn+（i） Rεn+μεn，b=-第一个不等式中的με，以及=（i） Xεn+（i） Rεn，b=-（i）第二个不等式中的Rε。设Z（i）n:=sup[0，n]（i） Xεt-Xεn+和S（i）n:=sup[0，n]（i） Rεt. 那么，对于p≥1，Jensen不等式使用[Dpn]≤Emax0≤i<n（Z（i）n+|με| n+2s（i）n）p≤3p-1Emax0≤i<n（Z（i）n）p+（||ε|/n）p+2pmax0≤我S（i）nP≤3p-1n-Eh（sup[0，n]Xεt-Xεn+)pi+3p-1（||ε|/n）p+3p-1pEhmax0≤我S（i）npi（7.9），在最后一步中，我们使用了以下事实：（i） Xεt的分布与Xεt的分布相同。现在的任务是将第一项和第三项限定在（7.9）的最后一行。7.3 sup[0，n]Xεt的界动量-（Xεn）+定理7.1设X是一个标量L′evy过程，具有一个三元组（m，0，ν），设Xεt，με，λε和σε如第7.2节所定义。指数L’evy模型的多水平蒙特卡罗25tXεttXεtssssFig。

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2022-5-6 01:09:43

10:Xεtin的行为——在曲线[0，n]中一次或两次跳跃的情况下。然后提供λε≤n、对于任何p>1的情况，都存在一个常数kphsup[0，n]Xεt-Xεn+圆周率≤ 金伯利进程εp+Lε（p）λελεn，（7.10），其中Lε（p）=pRx>εxp-1λxdx是一个取决于L′evy度量值ν（x）的函数。证明LetZ=sup[0，n]Xεt-Xεn+.我们将通过分析有限活动过程Xεtin在单个区间[0，n]的跳跃行为来确定E[Zp]的上界。N是跳跃的次数。如果N≤1，那么Z=0，而如果N=2，那么Z≤min（|Y |，|Y |）。这可以从图10所示的不同场景中Xεt的行为中看出。更一般地说，如果N=k，k≥2，然后Z>x==> 1.≤ J≤ K-1 s.t。J∑l=1Yl> 十、K∑l=j+1Yl> x==> j、 js。TYj>xk-1.Yj>xk-1.SincePj、 js。TYj>xk-1.Yj>xk-1.≤∑（j，j）PYj>xk-1.Yj>xk-1.=k（k）-1） P|Y |>xk-1..26迈克尔·B·贾尔斯，袁霞，下面是[Zp | N=k]=pZxp-1P[Z>x | N=k]dx≤k（k）-1） pZxp-1P|Y |>xk-1.dx=k（k-1） pλεZxp-1.Z{| Z |>x/（k）-1） }{ε<|z}ν（dz）dx=k（k-1） p+1pλεZxp-1.Z{Z}>x}{ε<|Z}ν（dz）dx≡ dk，pεp+Lε（p）λε, （7.11）式中，dk，p=k（k-1） p+1。我们是天堂[Zp]=∞∑k=2E[Zp | N=k]P[N=k]≤εp+Lε（p）λε经验-λεn∞∑k=2dk，pλεnkk！对于kp=P+2.对于任何k，都存在这样的情况≥ kp，dk，p≤Cpk！（k）-kp）！，所以∞∑k=2dk，pλεnkk！≤金伯利进程-1.∑k=2dk，pλεnkk+内容提供商∞∑k=kpλεnk（k）-kp）！≤金伯利进程-1.∑k=2dk，pλεnkk+内容提供商λεnkpexpλεn≤ 金伯利进程λεn对于某些常数Kp，最后一步使用λε≤n、因此，我们得到了E[Zp]的最终结果≤ 金伯利进程εp+Lε（p）λελεn.7.4 sup[0，T]| RεT |命题7的界动量。2设X是一个标量L′evy过程，有一个三元组（m，0，ν），设Rεt，με，λε和σε如第7.2节所定义。

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2022-5-6 01:09:46

然后Rεtsatis fies“sup[0，T]| RεT | p#≤金伯利进程Tp/2σpε+TR{124; z|≤ε} |z | pν（dx）, p>2；KpTp/2σpε，1≤ P≤ 2，（7.12）其中Kpis a constan t取决于p.指数L’evy模型的多级蒙特卡罗27 ny 1的证明≤P≤2，根据Jensen不等式和Doob不等式（c.f.定理19和[24]中的20），Esup0≤T≤T | RεT | p≤ Esup0≤T≤T | RεT|p/2≤ 2pEh | RεT | ip/2=2pTp/2σpε。对于任何p>2，伯克霍尔德-戴维斯-冈德不等式（c.f.定理73，见[24]）给出sup0≤T≤1 | Rεt | p≤ Eh[Rε]p/2i，其中[Rε]是Rεt的二次变化。我们可以使用[24]中证明Eh[Rε]p/2i的方法≤ Kp“Z{|Z|≤ε} zν（dz）p/2+Z{| Z|≤ε} |z | pν（dz）#=Kpσpε+Z{124; Z|≤ε} |z | pν（dz）其中，kpi是一个常数，依赖于p。为了将结果扩展到n个任意时间间隔[0，T]，我们使用时间坐标的变化，T′=T/T，以及相关的变化L′evy度量eν′（dz）=Tν（dz）来获得“sup[0，T]| RεT | p”#≤ 金伯利进程Tp/2σp/2ε+TZ{124; z|≤ε} |z | pν（dz）.7.5最大值的边界动量0≤i<nS（i）n建议7。3设X为标量纯跳跃L′evy过程，L′evy测度ν（X）满足esC | X|-1.-α≤ν（x）≤C | x|-1.-α、 as | x |≤ 1.对于常数C，C>0和0≤α<2. 如果S（i）不符合第7.2节的规定，且λε≤n、然后是p≥1，任意δ>0存在一个常数Cp，δ，它不依赖于n，ε，因此max0≤i<nS（i）nP≤Cp，Δεp-δ.在α=0的特殊情况下，δ=0.28的这种界成立。Michael B.Giles，由命题7证明。2，对于q>2，Emax0≤i<nS（i）nQ≤ n Esup[0，n]| Rεt | q≤ Kqn1-q/2σqε+Z{| Z|≤ε} |z | qν（dx）.回顾∑ε（7.6）的定义，由于ν（x）的假设，我们有∑qε≤2C2-αq/2εq-qα/2，Z{| Z|≤ε} |z | qν（dx）≤2Cq-αεq-α.给定p≥ 对于任何q>max（2，p），Jensen不等式都可以使用max0≤i<nS（i）nP≤ Emax0≤i<nS（i）nQp/q≤ Kp/qq“2C2-αq/2ε-αnq/2-1+2Cq-α#p/qεp-αp/q。如果α=0，则立即获得所需的边界。

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2022-5-6 01:09:49

另一方面，如果0<α<2，则λε≥ CZ{ε<|z |<1}|z |α+1dz=2Cαε-α-1..自λε≤n这意味着ε-α≤Kα2Cn+1，因此ε-α/n是束缚态ed，因此存在一个常数C，使得emax0≤i<nS（i）nP≤Cεp-αp/q，通过选择足够大的q，使αp/q≤δ我们得到了期望的界。7.6理论证明4。2pλε≤n、到（7.9）和（7.10）我们有了[Dpn] Emax0≤i<nS（i）nP|{z}1）+εpλεn |{z}2）+Lε（p）n |{z}3）+|με| np |{z}4），（7.13），其中符号uv表示存在与n无关的常数c>0，使得u<cv。考虑到L’evy测度的具体情况，我们现在可以对每个项进行约束，如果我们可以选择合适的ε→ 0作为n→ ∞ 所以（7.13）的RHS是收敛的，E的c收敛率Dpn指数L’evy模型的多层蒙特卡罗290<x<1，λx≤ CZx<| z |<1 | z |α+1dz+Z1<| z | exp(-C | z |）dz≤（2Clogx+l，α=0；lx）-α, 0 <α< 2.（7.14）其中l，lare constan与l≥ 2C-1，而x≥1，λx≤Zx<| z | exp(-C | z |）dz=2C-1exp(-Cx）。如果α>0，那么lε（p）=pZx>εxp-1λxdx≤ lpZx>εxp-1.{x<1}x-2α+1{x>1}exp(-2Cx）dx≤l、 p>2α；llogε+l，p=2α；lε-2α+p+l，p<2α。（7.15）式中，l，l是附加常数。如果α=0，很容易验证Lε（p）对p有界≥1，所以（7.15）适用于这种情况。给定0<ε<1，我们有|με|=M-Zε<| Z |<1zν（dz）≤|m |+| C-C |ε1-α-1α-1,α6= 1;|m |+| C-C | logε，α=1。（7.16）以λε为条件≤ n、我们现在有了命题。3，Emaxi=1，。。。，nS（i）nPεp-δ、对于任何δ>0.2）乘以（7.14），εpλεn N-1×（εplogε，α=0；εp-2α，0<α<2.3）乘以（7.15），Lε（p）n N-1×1，p>2α；对数ε，p=2α；ε-2α+p，p<2α。30迈克尔·B·贾尔斯，袁霞（7.16），|με| nP N-p×1+| C-C | pεp（1）-α),α> 1;1 +|C-C | logεp、 α=1；1,α< 1.在下文中，我们假设C6=C.1。

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2022-5-6 01:09:53

P≥ 2α.如果我们选择ε=cn-2/p，然后λεε-α nα/p，常数C可以非常小，因此λε≤ n对于足够大的n.取δ<p/2，我们发现（7.13）的主要贡献来自m3），给出了期望的结果E[Dpn]（n）-1，p>2α；logn/n，p=2α。1.≤ p<2α。我们可以用H？older的不等式给出EDpn≤ EDαnpα （对数n/n）pα。对于光谱负的情况，sup[0，n]Xεt-Xεn+= 0，因为XT没有正跳跃，而henceE[Dpn]≤ Emax0≤i<nS（i）nP+|με| np、我们可以取ε=cn-1/α，再次选择常数C，使λε≤ n足够大n.然后我们得到[Dpn]N-p/α+δ，α≥ 1.N-p、 α<1。对于任何δ>0.7.7的命题5的证明。4.我们将要绑定的项分解为若干部分，然后平衡ir渐近阶，以获得所需的结果。注意，1{bmn<B}-1{m<B}=1，仅当m接近屏障或离散和连续监测的最大Dn=m之间的差异时- 大的。更准确地说，{bmn<B}-1{m<B}=1 F∪G、其中F:={B≤ M≤ B+n-r} G:={Dn>n-r} r>0的情况有待确定。亨西{bmn<B}-1{m<B}≤ P[F]+P[G]。由于m，P[F]=O（n）的局部束缚ed密度，指数L’evy模型的多层蒙特卡罗-r）。如果我们表示z（i）n=sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn+.哪里（i） XTI如前第7节所述。2，然后（7.8）g ivesDn≤ max0≤i<nZ（i）n+|με| n+max0≤i<nS（i）nα<1，με有界，所以|με|≤n1-r、对于足够大的n.因此，PDn>n-R≤ Pmax0≤i<nZ（i）n+max0≤i<nS（i）n>n-R≤ Pmax0≤i<nZ（i）n>n-R+ Pmax0≤i<nS（i）n>n-R.现在，max0≤i<nZ（i）n>0要求在9节中的一节中至少有两次跳跃。在一个特定的时间间隔内进行两次跳跃的可能性为1-经验-λεn1+λεnλεn如果λε≤ n、还有亨塞普max0≤i<nZ（i）n>n-Rλεn.我们对剩余项使用马尔可夫不等式。

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kedemingshi

2022-5-6 01:09:57

根据命题7。2，Ehmax0≤我S（i）n圆周率εp-δ和soPmax0≤i<nS（i）n>n-R Emax0≤我S（i）nP/N-RPεp-δnrp。结合这些元素，提供λε≤ n、我们有{bmn<B}-1{m<B} N-r+εp-δnrp+λεn。将钻机右侧的前两项相等，得出ε=n-r（1+p）/（p-δ).如果α=0，则λε 对数ε logn，所以λε=O（n）是满足的。我们还有λεn（logn）n，因此对于任何r<1，我们有e{bmn<B}-1{m<B} N-r、如果0<α<2，则λεε-αnrα（1+p）/（p-δ），因此λεnN-1+2rα（1+p）/（p-δ).平衡-兰德n-1+2rα（1+p）/（p-δ），给出λε=O（n）和r=1+2α1+pp-δ-1.（7.17）自r→1+2αasδ→0和p→∞, 对于r<1+2α的任何固定值，有可能选择适当的p和δ值来满足（7.17），从而得出{bmn<B}-1{m<B} N-r、 32迈克尔·B·贾尔斯，袁霞承认这项工作得到了中国奖学金委员会和牛津曼定量金融研究所的支持。我们要感谢本·哈姆布莱、安德烈亚斯·基普里亚努、洛伊克·乔蒙特、雅切克·马莱基和何塞·布兰切特的有益评论。参考文献1。Asmussen，S.，Glynn，P.，Pitman，J.：一维反射布朗运动模拟中的离散化误差。《应用概率年鉴》5（4），875–896（1995）2。Avikainen，R.：SDE泛函近似的收敛速度。金融与随机13（3），381-401（2009）3。J.布兰切特：《个人沟通》（2015）4。Carr，P.，Wu，L.：有限矩对数稳定过程与期权定价。《金融期刊》58（2），753–778（2003）5。钱伯斯，J.M.，Mallows，C.L.，Stuck，B.：一种模拟稳定随机变量的方法。美国统计协会杂志71（354），340–344（1976）6。乔蒙特，L.：关于列维过程的上确界定律。《概率史记》41（3A），1191-1217。(2013)7. Chaumont，L.，Malecki，J.：L’evy过程上确界密度的渐近行为。

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2022-5-6 01:10:00

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