我们从It^o的产品规则（1）开始-Dφt）f（t，Xφt）=（1）-d） f（0，x）+Zt（1）-Dφs-) df（s，Xφs）-Ztf（s，Xφs）-) dDφs-Xs≤TDφs（f（s，Xφs）-f（s，Xφs）-)).由于理论3。第二项是ZT（1-Dφs-) df（Xφs）=Zt（1-Dφs-)s+γσ（Xφs）x+b0，φ（xφt）十、f（s，Xφs）ds+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-) - Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} νXφ（ds，dy）+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))1{y}>1}uXφ（ds，dy）+ZtZR（1-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} （uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+Zt（1-Dφs-)xf（s，Xφs）dXφ，cs。第三项是ztf（s，Xφs）-) dDφs=Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-) dDφs=Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-) dMφs+Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-)kφ（Xφs）-) ds。因为φzt等于-f（Xφs）-) dDφs=Xs≤tDφs-f（Xφs）-)Dφs=0，因为Dφs-Dφs=0（如果Dφs=1，那么Dφs-= 0）。在第二个等式中，我们使用了Dφ.24 R.MENDOZA-ARRIAGA和V的Doob–Meyer分解。

Linetsky第四项是（在第一个等式中，我们再次使用Dφs）-Dφs=0）Xs≤TDφs（f（Xφs）-f（Xφs）-))=Xs≤t（1）-Dφs-)Dφs（f（Xφs）-f（Xφs）-))=ZtZR（1）-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-))×1{| y|≤1} （~u（ds，dy）- ν（ds，dy））+ZtZR（1）-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-))1{y}>1}u（ds，dy）+ZtZR（1-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-) -Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} ν（ds，dy）+Zt（1）-Dφs-)xf（s，Xφs）-)ZRy1{|y|≤1} ν（ds，dy），其中我们引入了一个与Xφ的跳跃相关的随机测度，该跳跃与Dφ的跳跃同时发生，μ（ω；ds，dy）=Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=1}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）及其补偿器测度ν（ω；ds，dy）=（1）- Dφs-)（π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）是的。为了证明这是|u的补偿器，我们注意到对于任何Borel setB∈R\\{0}如果Dφt，则过程|ut（B）（ω）：=u（ω）（0，t]×B）是一个单点过程，等于时间t的一个点- Dφ=1（即，在时间间隔（0，t）内发生Dφ（默认值）的跳变），且p过程xφ在默认值τ时发生跳变，大小为B，Xφτ∈ B.该过程的补偿器可通过与（Xφ，Dφ）~νt（B）=ν（（0，t]×B）=ZtZB×Ryzν（ds，dy dz）=ZtZB（1）的跳跃相关的度量u的补偿器ν（3.21）轻松计算得出-Dφs-)（π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）dy，时变CIR默认强度25，最后一个等式是将等式（3.17）代入等式（3.21）并进行积分。然后（μt（B）- ~nνt（B））+νt（B）是ut（B）的doob–Meyer d分解。现在，我们将这些部分放在一起，使用以下等式组合相似的术语，并得出最终结果（3.24）。

首先，我们观察到uXφ=^u+u。这一点很快就从徐开始了{Xφu（ω）6=0}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）=Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=0}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）+Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=1}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy），相应地，对于补偿函数νXφ=^ν+аν。这些恒等式允许我们将积分与随机测度uXφ和的相同被积函数结合起来-u和νXφ和-^^u和^ν。最后，我们使用identityZRy1{| y|≤1} ν（ds，dy）=（1）-Dφs-)ZRy1{|y|≤1} （π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）dy=（1-Dφs-)Z（0，∞)ZRy1{|y|≤1} （p（u，Xφs）-, Xφs-+ y）-p（u，Xφs）-, Xφs-+ y） ）dyν（du）=（1-Dφs-)（b0，φ（Xφs）-) - b1，φ（Xφs）-)) 简化漂移。由于L’evy测度R（0，∞)(1 ∧u） ν（du）<∞. 当过程f（t，Xφt，Dφt）是一个特殊的半鞅时，它简化了^o公式。推论3.3[关于（Xφ，Dφ）的It^o公式-特殊半鞅版本]。假设（Xφ，Dφ）从Xφ=X>0和Dφ=D开始∈{0, 1}. 对于任何函数f（t，x，d）=f（t，x）+（1）- d） （f（t，x）+f（t，x））与fi（t，x）∈26 R.门多萨-阿里亚加和V。

LINETSKYC1,2（R+×（0，∞)) 如果零是扩散过程ss X或fi（t，X）无法达到的边界∈ C1,2（R+×[0，∞)) 如果f（t，Xφt，Dφt）是一个特殊的半鞅，则ifzero是X的一个可达到的边界|∧|y|）π0，φ（x，y）dy<∞ 每x∈ 根据Jacod和Shiryaev（2002）的命题2.29，第82页]或函数fi（t，x）是有界的，It^o的公式可以写成以下形式：f（t，xφt，Dφt）=f（0，x，D）-Zt（1）-Dφs-)（f）-f） （s，Xφs）-) dMφs+Zt(s+Aφ）f（s，Xφs，Dφt）ds+Ztxf（s，Xφs，Dφt）dXφ，cs+ZtZR（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))（uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+ZtZR（（f）-f） （s，Xφs）-+ y）-（f）-f） （s，Xφs）-))(1 -Dφs-)×（^u（ds，dy）- ^ν（ds，dy）），其中uXφ是与Xφ跳跃相关联的随机测度，^u是与不与Dφ跳跃相关联的Xφ跳跃相关联的随机测度，而νXφ和^ν是它们各自的比较测度（3.22）和（3.25）。发电机Aφ由等式（3.6）给出。证据结果立即来自理论3。4和3.5，生成元（3.6）的表达式，以及特殊半鞅的正则分解f；参见Jacod和Shiryaev（2002）的2.29号提案，第82页。这一有用的形式给出了特殊半鞅f（t，Xφt，Dφt）的正则分解，分解成可预测的有限差分过程（在这里考虑的马尔可夫情形中，显式地用生成元aφ表示）、连续局部鞅部分和纯间断局部鞅部分。它的一般形式可以在雅科德（1979）的Orem 3.89中找到，第109页。接下来，我们展示了次级微分Xφ的“特殊性”的以下有用的充分条件。定理3.6（Xφ的特殊性条件）。

如果扩散X有一个稳定的密度极限→∞p（t，x，y）：=π（y）随时间变化的CIR默认强度27随第一时刻的变化π（y）dy<∞, 然后，从属微分xφ是一个特殊的半鞅。证据根据Jacod和Shiryaev（2002）p age 82的命题2.29，并给出我们之前的结果，可以证明R{y |>1}|y |π0，φ（x，y）dy<∞每x∈ I.根据McKean（1956）[另见Borodin和Salminen（2002），第13页]，在我们的假设下，跃迁密度p（t，x，y）可以写成形式p（t，x，y）=m（y）pm（t，x，y），其中m是由m（x）=σ（x）s（x），s（x）=exp-Zxx2b（y）σ（y）dy,（3.26）其中，在尺度密度s（x）的定义中，x>0是一个任意点[参见Borodin和Salminen（2002）关于e维扩散的尺度函数和速度度量的定义；在我们的假设下，x的尺度函数和速度度量对于Lebesgue度量是绝对连续的，密度由等式（3.26）给出]，而pm（t，x，y）=pm（t，y，x）在t，x，y中是对称的且联合连续的。当且仅当速度密度在I和d上是可积分的，在这种情况下，π（x）=m（x）/RIm（y）dy[cf.Borodin and Salminen（2002），p age 20]是一个稳定的密度。在这种情况下，我们可以把Xφ的L′evy密度写成π0，φ（X，y）=π（X+y）Z（0，∞)pm（s，x，x+y）ν（ds）（3.27）对于所有的y6=0，我们选择xin定义速度密度，使得rim（y）dy=1和π（x）=m（x）。由于函数（0，∞)pm（s，x，x+y）ν（ds）在集{y |>1}，R{y |>1}| y |π0，φ（x，y）dy<∞ 紧跟在假设π（y）dy之后∞.

我们注意到，在默认强度模型中使用的许多微分X，如CIR、3/2和第2节示例中给出的二次模型，都具有平稳密度，因此产生的时变过程Xφ变成了特殊的半鞅。特殊半鞅Xφ的正则d分解可以写成以下形式：Xφt=X+AXφt+Xφ，ct+ZtZRy（uXφ（ds，dy）-π0，φ（Xφt）-, y） dy ds）具有可预测的有限变化partAXφt=Ztγb（Xφt）+Z（0，∞)ZRyp（u，Xφt，Xφt+y）dyν（du）ds28 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky关于截断函数hXφ（x）=x[注意，它与（3.20）关于截断函数hXφ（x）=x1{|≤1} ]的连续局部鞅部分，可以表示为Xφ，ct=Rt√γσ（Xφs）db与带补偿器π0，φ（Xφt）跳跃的纯间断局部鞅-, y） 迪兹。例2。2.我们观察到CIR扩散满足理论3的条件。6对于所有κ、θ、σ>0，没有任何关于系数的进一步条件。4.信用敏感证券的定价。我们现在讨论信用敏感证券定价的应用。我们对无摩擦套利市场做了通常的假设，假设我们使用的概率测度是市场选择的一个等价鞅测度，在这个概率测度下，债务人的违约时间τ由过程Dφ的跳跃时间来建模，即τ=inf{t≥0:Dφt=1}（Dφ=1，因此τ=0的情况对应于债务人在时间零点已经违约的情况）。因此，EMM D下的双变量过程（Xφ，Dφ）描述了我们模型中与敏感证券风险中性定价相关的所有财务信息。

我们注意到，我们的模型属于Janson、M’Bayeand和Protter（2011）违约时间的一般框架，基本信息流影响马尔可夫It^o半鞅产生的违约，违约指标Dφ的补偿相对于LebesgueMeasures（1）绝对连续- Dφs）kφ（Xφt），在我们的例子中，它是通过应用菲利普斯定理3.1明确计算出来的。考虑一种证券，如果在时间T之前未发生违约，则在到期日T>0时支付承诺款项f（XφT），如果发生违约，则在到期日支付“恢复”款项f（XφT）。我们通常允许承诺的薪酬在到期时取决于国家变量。当信贷利差的定价选项是当时信贷状态变量的函数时，就会出现这种情况，即期权到期时的信贷利差。这也是在单一信贷权益模型中对权益期权进行定价时的情况，在这里，状态变量也会驱动到违约时可观察到的股票价格。根据模型的上下文，如果我们不假设投资者在违约后可以观察到状态变量xφ，则到期时的追偿款可以被视为常数f（x）=R，或者如果模型上下文允许投资者在违约后观察状态变量，则到期时的追偿款可以被视为状态变量的函数。在某些应用中，如果状态变量在违约前驱动信用利差，或者在信贷权益建模框架中，如果状态变量在违约前驱动股票价格，则到期时的回收率被视为常数。

另一方面，如果考虑到该框架，即该公司违约时间改变了其负债的CIR违约强度29次τ，但在重组过程（如第11章）中继续运行，以及根据重组结果对索赔进行的最终追偿结算，那么，在这种应用中，将恢复建模为付款时状态变量的函数可能是有意义的。我们的数学框架可以适应两种类型的应用程序。因此，我们所考虑的证券由带分解（2.4）的付息函数f（x，d）定义，其中f（x）被解释为在到期前没有违约的情况下的承诺付款，f（x）被解释为在到期时支付的回收，如果违约发生s。单位面值的可违约零息债券是最简单的此类证券，f=1，且持续回收f=R∈[0, 1].该模型中的安全性定价遵循上一节的一般结果。我们考虑的支付函数是f（XφT，DφT）=f（XφT）- (1 - DφT）（f（XφT）- f（XφT）），（4.1）在时间T。有这种支付的证券的价格过程是f（T，XφT，DφT）=e-r（T）-t） E[f（Xφt，Dφt）| Hφt]（4.2）=E-r（T）-t） P0，φt-tf（Xφt）+（1-Dφt）e-r（T）-t） P1，φt-t（f）-f） （Xφt），其中r≥ 0是假定不变的无风险利率（但请参见本节末尾的Remark4.1）。特别是，在违约情况下，单位面值f=1且零收益率f=0的可违约零息债券的价格过程为z（t，Xφt，Dφt；t）=e-r（T）-t） Q（t，Xφt，Dφt；t），其中Q（t，Xφt，Dφt；t）是生存到时间t的生存概率，给定时间t的状态，Q（t，Xφt，Dφt；t）=E[（1-DφT）| HφT]=（1-Dφt）P1，φt-t（Xφt，I），（4.3），其中P1，φt（X，I）=P1，φt1（X）。

考虑到状态Xφ和Dφt=0，isS（t，Xφt；t）=-（T）-t） lnp1，φt-t1（Xφt）。（4.4）在到期日回收率假定为常数的应用中，f=R，定价公式s适用于tof（t，Xφt，Dφt）=e-r（T）-t） （1）-Dφt）P1，φt-tf（Xφt）（4.5）+e-r（T）-t） R（1）-Q（t，Xφt，Dφt；t）），30 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky以及观察该市场交易证券价格过程的投资者可以确定是否发生违约，以及从交易证券价格中过滤出违约前状态变量Xφτ。在这种情况下，当不允许收回款项支付XφT（假设在此类应用中不可观察）时，投资者的过滤小于（XφT，DφT）产生的过滤，因为Xφ仅在违约时间τ之前由投资者观察到。事实上，在这种应用中，投资者的过滤可以通过（Yφt，Dφt）生成的过滤来识别，其中过程Yφt:=（1- Dφt）Xφt在默认情况下跳到零并保持不变。应用定理3.5形式的^o公式，该半鞅具有正则表示[Yφ=（1-Dφ）Xφ]Yφt=Yφ+Zt（1）-Dφs-)（b1，φ（Yφs）-) - kφ（Yφs）-)Yφs-) ds+ZtZRy1{| y |>1}（1）-Dφs-)^u（ds-dy）（4.6）+ZtZRy1{y|≤1}(1 -Dφs-)^u（ds-dy）-π1，φ（Yφs）-, y） dy-ds）+Zt（1）-Dφs-) dXφ，cs-ZtYφs-dMφs。这个正则表示将Yφ分解为默认值之前的“漂移”、“大跳跃”，这是默认值之前带有补偿度量（1）的“小跳跃”的纯间断局部鞅-Dφs-)π1，φ（Xφs）-, y） dy ds[从方程（3.25）中观察（1-Dφs-)^ν（ds，dy）=（1）-Dφs-)π1，φ（Xφs）-,y） dy ds]，一个连续的局部鞅分量，可以进一步表示为rt（1）-Dφs-)√γσ（Yφs）-) dBs表示布朗运动，最后跳到零（默认项）-RtYφsdMφs）。

在cr编辑权益上下文中，一个识别过程是可违约股票价格过程的两倍；例如，关于多企业案例，请参见门多萨·阿里亚加、卡尔和L·伊内茨基（2010年）以及门多萨·里亚加和莱内茨基（2013年）。我们进一步指出，Lorig、Lozano Carbass’e和Mendoza Arriaga（2013）将股价过程的规范表示法（4.6）应用于具有破产风险的个别股票的方差互换估值。到目前为止，我们已经考虑了到期追偿。违约时的恢复也可以在我们的框架内处理。如果违约发生在到期日T之前，则投资者在违约时间τ收到恢复，并等于违约时间R（Xφτ）的状态变量Xφτ的函数。根据creditrisk modeling中的标准计算[参见J eanblanc，Yor和Chesney（2009）中的Lemma 7.3.4.3（i），时间变化的CIR违约强度31页421]，到期前t时的此类恢复值由[e]给出-r（τ）-t） R（Xφτ）|Hφt]=（1）-Dφt）ZTte-r（u）-t） P1，φu-t（R·kφ）（Xφt）du+er（t-τ） R（Xφτ）Dφt，其中（R·kφ）（X）=R（X）kφ（X）。备注4.1（无风险利率）。我们注意到，随机无风险利率可以在我们的次级差异框架中处理，如下所示。从属半群（P1，φt）t≥0被视为定价半群。也就是说，假设驱动利率期限结构的状态变量Zφ是一个马尔可夫It^o半鞅，在等价的马尔可夫鞅测度下具有以下动力学：Zφt=Zφ+Ztb1，φ（Zφs-) ds+ZtZRy1{| y |>1}uZφ（ds，dy）+Zφ，ct+ZtZRy1{y|≤1} （uZφ（ds，dy）-π1，φ（Zφs）-, y） dy ds），其中Zφ，ct=Rt√γσ（Zφs）dbsb具有标准布朗运动B。与Zφ的跳跃相关联的R+×（R\\{0}）上的随机度量uZφ具有补偿器νZφ（ds，dy）=π1，φ（Zφs）-, y） dy ds，π1，φ（x，y）由方程（3.8）给出，β=1。

drif t中的函数b1，φ（x）由方程（3.9）给出，β=1。与理论3类似。6.很容易展示以下内容。命题4.1（Zφ的特殊性条件）。Iflimt→∞π（y）π（y）π∞, 那么Zφ是一个特殊的半鞅。证据回想一下，对于Feynman–Kac半群Pwe的密度[cf.R evuz and Yor（1999），第358页]p（t，x，y）=Ex[e]-Rtk（Xu）du |Xt=y]p（t，x，y）≤ 每个x，y的p（t，x，y）∈I和t>0。在我们的假设下，这意味着|∧|y |）π1，φ（x，y）dy≤RR（| y）|∧|y|）π0，φ（x，y）dy<∞, 其中，第二个不等式来自于定理3的证明。6.因此Zφ在命题2中是特殊的。Jacod和Shiryaev（2002）第29页，第82页。32 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky在特殊Zφ的情况下，ZφreadsZφt=x+AZφt+Zφ，ct+ZtZRy（uZφ（ds，dy）的正则分解-π1，φ（Zφt）-, y） dy ds）具有可预测的有限变化partAZφt=Ztγb（Zφt）+Z（0，∞)ZRyp（u，Zφt，Zφt+y）dyν（du）关于截断函数hXφ（x）=x，连续局部鞅部分可以表示为Zφ，ct=Rt√γσ（Zφs）db与带补偿器π1φ（Zφt）跳跃的纯间断局部鞅-, y） 迪兹。大多数流行的短期利率差异，如CIR、3/2等，由于均值回归，具有静态密度。根据命题4。1.相应的次级短期利率模型由跳差或纯跳过程Zφ驱动，Zφ是特殊的半鞅。汇率过程取bert=kφ（Zφt），其中kφ（x）由方程（3.10）给出，货币市场账户为At=eRtrsds=eRtkφ（Zφs）ds。

定价半群就是半群（P1，φt）t≥0带生成器A1，φ，Feynman–Kac半群（Pt）t的从属半群≥0对于生成器A，特别是对于风险冻结息票债券，我们有p（Zφt，t；t）=P1，φt-t1（Zφt）=P1，φt-t（Zφt，I）。现在，只要假设利率模型和违约强度模型是独立的，就可以立即对组合模型进行扩展，该模型包括次级差异无风险利率模型和次级违约强度模型。以增加复杂性为代价，可以进一步引入依赖性，方法是从独立因素开始，每个独立因素都遵循从属差异，然后通过独立因素的线性组合将它们组合到多维模型中，或者如门多萨·阿里加和林茨基（2013）所述，通过多元从属关系。从属半群的本征函数展开。我们现在展示如何显式地计算半群（Pβ，φt）t≥用本征函数展开法。我们从观察f或任何f开始∈Cc（I）（Pβt）t的最小生成元Aβ≥0可以使用标度和速度密度（3.26）Aβf（x）=m（x）以形式自伴形式重新书写f′（x）s（x）′-βk（x）f（x）。时变CIR默认强度33实际上，Aβ可以扩展为I平方上函数的Hilbert sp aceL（I，m）中的自伴算子，可与速度测度m（dx）=m（x）dx积，并赋予内积（f，g）=ZIf（x）g（x）m（x）dx。此外，（Pβt）t的限制≥0到C（[0，∞]) ∩ 然后，L（I，m）可以推广到Hilbert空间L（I，m）中对称压缩的强连续半群。因此，Hilbert空间中自伴算子的谱定理可以用来写出Aβ和（Pβt）t的谱分解≥0

一维效应的光谱表示可以追溯到McKean（1956）的经典著作[另见It^o an Dmcken（1974），第4.11节]。更一般地说，一维差分是对称马尔可夫过程的例子，其转移半群对希尔伯特空间L（E，m）进行对称扩展，其中E是马尔可夫过程的状态空间，m是具有完全支持的正Radon测度。福岛、大岛和武田（2011）以及陈和福岛（2011）是该主题的标准参考文献。在一维差的情况下，E=I是实线上的间隔，而不是速度测量值。Schilling、Song和Vondraˇcek（2010）在第10章和第11章中对谱定理及其应用进行了详细阐述。关于谱展开法在函数扩散模型中的应用的调查可在Li和Linetsky（20042008）中找到，其中给出了大量参考文献。次级分化模型在金融领域的最新应用可在Boyarchenko和Levendorskii（2007）、Mendoza Arriaga、Carr和Linetsky（2010）、Li和Linetsky（2013a、2013b）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2013）、Lim、Li和Linetsky（2012）中找到。这里我们仅就本论文的需要做一个简要的介绍。为了计算的简单性，我们将自己限制在特殊情况下，当扩散X和函数k是（Pβt）t≥L（I，m）中的0是β的迹类半群≥ 0，也就是说，对于所有t>0和β≥ 0.回想一下，对于可分离Hilbert空间H上的正半限定算子a，a的迹由tr a=P定义∞n，n=1∈ [0, ∞], 式中，η是H中的一些正交基。tr ace独立于所选的正交基；参见里德和西蒙（1980），第206页。

正半有限算子称为trace classif，且仅当其轨迹为有限时。半群算子Pβ是正定义的。在假设所有t的Pβ皮重迹类均大于0的情况下，每个Pβt以及半群（Pβt）t的生成元Aβ都是迹类≥L（I，m）中的0，与特征值（e）完全离散-λβnt）n≥1（t>0）和34 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY(-λβn）n≥1分别为和Tr Pβt=∞Xn=1e-λβnt<∞（5.1）对于所有t>0；参见戴维斯的引理7.2.1（2007）。这里0≤ λβ≤ λβ≤ ··· 区域按递增顺序排列，并根据多样性重复。然后，函数Pβtf（x）具有形式Pβtf（x）的本征函数展开式=∞Xn=1fβne-λβntаβn（x），fβn=（f，аβn）（5.2）对于任何f∈ L（I，m）和所有t≥ 0，其中φβ是第n个本征函数pβtφβn=e-λβntаβ与Aβаn=-λβnаβn.（5.3）本征函数（аβn）n≥1在L（I，m）中形成一个完整的正交基，fβ是该基的n次展开系数。对于迹类半群，t>0的每个Pβtwi都允许一个对称的Pβm（t，x，y）∈ L（I×I，m×m）关于m的测量值，即pβm（t，x，y）=pβm（t，y，x），pβtf（x）=对于f的RIpβm（t，x，y）f（y）m（dy）∈ L（I，m），andRI×I（pβm（t，x，y））m（dx）m（dy）<∞], 具有以下双线性扩展：pβm（t，x，y）=∞Xn=1e-λβntаβn（x）аβn（y）。（5.4）（5.2）和（5.4）中的展开式通常分别在L（I，m）和L（I×I，m×m）范数下收敛。此外，由于对于每个t>0的一维效应，根据McKean（1956）的结果，关于速度度量的核pβm（t，x，y）在x和y（和t）上是连续的，因此每个特征函数|β是连续的，并且满足估计|βn（x）|≤所有n，x和t>0的eλβnt/2qpβm（t，x，x）。

此外，对于任何f∈ L（I，m），展开式（5.2）在x上对每个t>0的紧集均匀收敛到函数Pβtf（x）在x上连续，双线性展开式（5.4）在紧集上均匀收敛；参见戴维斯定理7.2.5（2007）。McKean（1956）获得了与速度测量有关的一维扩散密度的光谱表示；另见It^o和McKean（1974），第4.11节。一般来说，光谱包含一些连续时间变化的CIR默认强度，光谱表示是关于光谱测量的积分。尽管如此，金融应用中产生的许多差异都是纯离散谱，其特征函数和特征值明确已知，满足所有t>0的跟踪类条件（5.1），包括OU、CIR、CEV和JDCEV差异；参见surveysLinetsky（2004年、2008年）和其中的参考资料，了解融资申请。现在我们总结了关于次坐标半群（Pβ，φt）t的本征函数展开的主要结果≥0在第3节中定义。定理5.1。假设半群（Pβt）t≥0第2节定义了具有特征值和特征函数e的类-λβn和βn（x）。进一步假设本征函数有界|~nβn（x）|≤每个紧集K上的CβK（5.5）I与Cβ有点依赖于n，但可能依赖于K。

设T是拉普拉斯指数满足以下条件的所有T>0的从属函数：∞Xn=1e-φ（λβn）t<∞.（5.6）然后是从属半群（Pβ，φt）t≥0是L（I，m）上对称压缩的强连续半群，所有t>0且特征值为e的迹类-φ（λβn）和归一化本征函数φβn（x），并且在x，y密度中对速度度量m（dx）是连续的，由双线性展开式pβ，φm（t，x，y）给出=∞Xn=0e-φ（λβn）tаβn（x）аβn（y）（5.7）对于所有t>0，在I×I的紧集上一致收敛于x，y。每f∈L（I，m）和t>0函数Pβ，φtf（x）具有本征函数展开式Pβ，φtf（x）=∞Xn=1e-φ（λβn）tfβnаβn（x），fβn=（f，аβn）（5.8）在I中的紧集上在x中一致收敛。在本征函数аβn（x）上没有界（5.5）和在从属函数的拉普拉斯指数上的迹类条件（5.6），本征函数展开式（5.7）-（5.8）通常分别在L（I×I，m×m）和L（I，m）中收敛，但不一定一致。特征函数的界和从属函数的迹类条件足以保证36 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky一致收敛。对于许多金融应用中重要的扩散，如与这些扩散相关的OU、CIR、CEV、JDCEVand模型，本征函数的界是满足的。情况（5.6）也被证明是温和的，并在许多金融应用中得到满足。例如，它适用于示例3.1中带有α的回火稳定从属函数∈ （0，1）当特征值在特征值数中线性增长时，如OU、CIR、CEV和JDCEV微分的情况。

实际重要性的关键观察结果是，在本征函数展开法的上下文中，从属只是用新的本征值φ（λn）替换本征值λnw，而原始半群和从属半群共享相同的本征函数[与（5.3）相比]、Pβ、φtβn=e-φ（λβn）tаβ与Aβ，φаβn=-φ（λβn）νβn.（5.9）因此，如果原始se半群的本征函数展开已知，那么从属半群的本征函数展开也立即已知。这一事实在博希纳（1949）的原著中已经指出；见等式（11）。这使我们能够将金融领域的经典扩散模型（如OU、CIR、CEV等）的分析可处理性扩展到具有跳跃的时变（从属）模型。这一观察结果已被应用于李安·莱恩茨基（2013b）的次级JDCEV过程、门多萨·阿里加（2010）、卡尔和莱恩茨基（2010）、门多萨·里亚加（2013）和莱恩茨基（2013）的次级JDCEV过程，以及本论文第6节的次级CIR违约强度。应用半群（Pβ，φt）t的本征函数展开式≥0，β=0，1，以信用敏感证券的定价为准，假设支付fi（x）∈在方程（4.1）中，我们立即得到值函数（4.2）的本征函数展开式，f（t，Xφt，Dφt；t）=e-r（T）-（t）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn~nn（Xφt）（5.10）+e-r（T）-（t）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） f0-1n（1-Dφt）φn（Xφt），膨胀系数为f0-1n=（f）-f、 ~nn）和fn=（f，~nn）。（5.11）我们注意到，本征函数展开具有以下概率解释。

由于本征函数性质（5.9），每个过程{eφ（λn）t~nn（Xφt），t≥0}和{eφ（λn）t（1）-Dφt）φn（Xφt），t≥0}是Hφ-鞅。因此，本征函数展开可以看作是鞅展开。特别是当f（x）=1时，随时间变化的CIR默认强度∈ L（I，m）和f（x）=0，我们得到了生存概率q（t，xφt，Dφt；t）=（1）的本征函数展开式-Dφt）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn k n（Xφt），（5.12）fn=（1，k n）。我们注意到，由于静态密度的存在，1∈ 亚红外模型中的L（I，m），以及许多其他默认强度模型中的L（I，m），生存概率有一个本征函数表达式。我们还注意到，在速度测量是对I的有限测量的情况下，常数不在L（I，m）中。然而，有时候，当/∈ L（I，m），P1，φt1∈ 如果半群的性质为p1，φtCb（I），则t>0的L（I，m） L（I，m）表示t>0。在本节结束时，我们观察到，可违约零息债券的信用sp read的长期渐近性与生成器A1，φ，S的负的主特征值简单相等∞:= 极限→ ∞S（t，Xφt；t）=φ（λ）。这直接源于信用利差（4.4）的定义和生存概率（5.13）的特征函数展开结构。具有双边均值回复跳跃的亚红外强度模型。现在我们回到例子2的CIR模型。1和2.2。我们从双变量过程（X，D）开始，其中X是一个循环微分，D是一个单点过程，补偿器在=Rt（1）处-Ds）Xsds和time使用从属项进行更改。我们将得到的过程（Xφ，Dφ）称为次级CIR（SubCIR）默认强度模型。

该模型中的默认时间τ是第一次默认指标Dφ等于1，其默认强度过程为λφt=（1）-Dφt）kφ（Xφt）。我们记得在I=（0，∞), 如果Feller条件满足，那么零是不可访问的，或者I=[0，∞), 如果伐木条件不满足，则零瞬时反射，具有固定密度（2.6）。我们选择xin定义速度密度（3.26），使m（x）=π（x）[即，边缘（x）dx=1]。那么无论如何≥ 0半群（Pβt）t≥对于由pβm（t，X，y）=ρ（b）给出的平稳分布π（y）dy，由（2.3）定义的微分方程X和k（X）=βX具有对称密度βm（t，X，y）√xyσsinh（tρ/2）eρt/2a√xy围兜-1.2ρ√xyσsinh（tρ/2）38 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY（6.1）×exp（x+y）κtanh（tρ/2）-ρσtanh（tρ/2）-λβt,其中Iν（x）是第一类修正贝塞尔函数，λβ：=b（ρ- κ） ρ：=ρ（β）=pκ+2βσ，a和b在方程（2.6）中定义。贝塞尔函数的这种显式解是因为，CIR过程可以通过平方贝塞尔过程的确定性时间变化以类似的方式获得，正如OU过程可以通过非确定性时间变化从布朗运动中获得一样[cf.Jeanblanc，Yor和Chesney（2009），第357-358页，命题6.3.1.1和6.3.2.1]结合绝对时间变化贝塞尔过程的连续性关系；更多详细信息，请参见J eanblanc，Yorand Chesney（2009）第340页第6.3节。对于β=1，这种密度出现在Cox、Ingersoll和Ross（1985年）关于利率模型的开创性工作中。密度pβm（t，x，y）的双线性本征函数展开式（5.4）f可以通过应用Hille–Hardy公式，在广义拉盖尔多项式Lνn（x）的双线性展开式中展开贝塞尔函数，从表达式（6.1）中获得[cf。

埃尔德利（1953），第189页；适用于所有|t |<1，ν>-1，a，b>0]（abt）-ν/21 -特克斯-（a+b）t1- T我√abt1- T(6.2)=∞Xk=0tkk！Γ（k+ν+1）Lνk（a）Lνk（b）。因此，应用Hille–Hardy公式可以得到半群（Pβt）t的本征函数和本征值≥0及其生成元Aβ在希尔伯特空间L（I，m）中，m（dx）=π（x）dx（C-IR-s静态分布）。由于拉盖尔多项式的存在，这类半群在分析中有时被称为拉盖尔半群；参见Nowak和Stempak（2010）。以下定理总结了特征值和特征函数的显式结果。定理6.1（CIR特征函数展开）。半群（Pβt）t≥0是L（I，m）中的对称迹类se mig群，其特征值和自伴小生成元aβ负的连续特征函数由λβn=（n）给出-1） ρ+b（ρ-κ） 时间（μ）n=β-3变化强度-ρ） x）/σLb-1n-1.2xρσ,（6.4）NβN=s（N-1)!（b） n-1.ρκb/2，n=1,2，式中（a）n=Γ（a+n）/Γ（a）=a（a+1）·（a+n）- 1） 是Pochhammersymbol。此外，在每个紧致区间K上 I存在一个恒定的n依赖性，使得| |βn（x）|≤CKn-1/4或全部n≥1.证据。方程（6.3）和（6.4）中形式（5.4）的密度的双线性展开式（5.4）通过将Hille–Hardy公式（6.2）应用于方程（6.1）的右侧直接获得。然后很容易从拉盖尔多项式的性质直接验证βn（x）是算子βf=σxf′（x）+κ（θ）的本征函数-x） f′（x）-特征值λβn满足零limx边界条件的βxf（x）↓0（β（x））′/s（x）=0，其中s（x）是方程式（3.26）中定义的标度密度。对于内积m（dx）=π（x）dx，（ηβn，ηβm）=δn，m，对IGENF函数进行归一化。

由于特征值的线性增长，验证了迹类条件（5.1）。本征函数的界可从Nikiforov和Uvarov（1988）方程（27a）中的估计值中获得，第54页。这种CIR本征函数展开已在Davydovand Linetsky（2003）和Gorovoi and Linetsky（2004）的金融中应用。[我们注意到，本征函数表达式中的归一化因子NNI与Davydov和Linetsky（2003）不同，命题9，由于速度测量的不同标准化；在这里，我们将速度测量标准化，使其与toone积分，从而与平稳分布一致]。对于任何f∈ L（I，m）Pβtf（x）的计算简化为计算膨胀系数。特别是，考虑以闭合形式已知的贴现CIR特征函数，因为CIR扩散是aCBI/a ffine过程；参考Cox、Ingersoll和Ross（1985）、Duffee和Garleanu（2001），附录A。对于任何复杂的zRZ≥0，ψt（x，β，z）：=Ex[e-β-RtXudue-zXt]（6.5）=A（t，β，z）exp{-B（t，β，z）x}，40 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetskywhere（t，β，z）：=2ρe（κ+ρ）t/22ρ+（ρ+κ+zσ）（eρt）-1)b、 b（t，β，z）：=2β（eρt-1） +z（ρ）-κ） eρt+z（ρ+κ）2ρ+（ρ+κ+zσ）（eρt-1).我们有以下特征函数的特征函数展开式。提议6.1。特征函数具有eige nf函数展开式（5.8），其系数由fβ（z）=1，fβn（z）=nβn给出κ -ρ+σzκ+ρ+σzN-1.2ρκ+ρ+σzb、 （6.6）n=2。证据直接从广义拉盖尔多项式生成函数的恒等式（对所有复| y |<1和a>-1),∞Xk=0ykLak（x）=（1）-y）-1.-aexp（（yx）/（y）-1)).或者，fβn（z）=（e）中的积分-可根据方程式（2.19.3.3）中拉盖尔多项式的积分恒等式显式计算z·，βn），Prudnikov，Brychkov and d Marichev（1986），第462页。

我们注意到，如果一个人只对CIR特征函数感兴趣，那么a fiff闭式表达式（6.5）肯定比IGenFunction展开式简单。然而，虽然α函数表达式（6.5）没有推广到SubC-IR模型，但本征函数展开立即推广，产生ψφt（x，β，z）：=（Pβ，φte-z·（x）=∞Xn=1e-φ（λβn）tfβn（z）φβn（x）具有相同的本征函数和展开系数（6.6），但具有新的本征值φ（λβn），其中φ是从属项的拉普拉斯指数。特别是，然后立即得到亚临界违约强度模型中生存概率（4.3）的本征函数表达式dq（t，Xφt，Dφt；t）=（1-Dφt）P1，φt-t（Xφt，I）=（1）- Dφt）ψφt-t（Xφt，1，0）时变CIR默认强度41=（1- Dφt）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） 通过在展开式f或特征函数中设置z=0，得到fn（0）~nn（Xφt）。零息债券的收益率（4.5）是即时的。然后，SubCIR违约强度模型中其他信用敏感证券的定价简化为计算方程（5.10）-（5.11）中相应的扩展系数。特别是，Mendoza Arriaga（2012）中考虑了信用违约互换期权的定价和校准。我们还指出，在Mark4的次利率模型中，相同的特征函数展开会产生无违约零息票债券的定价。1，P（Zφt，t；t）=P1，φt-t（Zφt，I）=ψφt-t（Xφt，1，0）=∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn（0）~nn（Zφt）。现在，我们给出了亚红外默认强度模型定性特性的数值说明。我们从一个CIR过程X开始，κ=1，θ=0.1，σ=0.25。Su-bCIR过程Xφ是通过将X与逆高斯从属函数（Tt）t进行排序而构造的≥0使用参数α=0.5、η=1和C=0.5、零点漂移γ=0的THL'evy测量（3.1）。

因为子对象是无漂移的，所以在我们的例子中，Xφ是一个纯跳跃过程。图1（a）显示了具有这些参数的CIR过程X和亚红外过程Xφ的典型样本路径的模拟。而CIR过程在其长期水平θw与波动率σ之间存在差异，同时以（a）样本路径（b）L’evy密度的速率被均值回复漂移拉回。1.（a）CIR过程的样本路径（Xt）t≥0和亚红外过程（Xφt）t≥0.水平线（虚线）对应于长期平均水平θ=0.1。图（b）包含三个跳跃密度π0，φ（x，y）- x） 与垂直线（虚线）所示的初始状态x=0.01、x=θ=0.1和x=0.2相对应。42 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYκ，亚红外过程是一个纯跳跃过程，具有依赖于状态的均值回复L'evy测度。跳跃的均值回复性质在样本路径图（a）以及L’evy d密度π0，φ（x，y）的图（b）中很明显- x） =m（y）R（0，∞)pm（s，x，y）ν（ds）被绘制为三个固定值x的y的函数。该图显示了从三个初始状态x=0.01、x=θ=0.1和dx=0.2跳变s的三个L′evy密度。这里x是前突状态，y是后突状态，因此突变大小为y- x、 当nx=θ=0.1，也就是说，从长期平均值来看，L’evy密度几乎是对称的。相反，从状态x=0.01<0.1显著低于长期平均值开始的跳跃的L’evy密度高度向右倾斜，因为该过程倾向于从该低值0.01跳回到其长期平均值0.1。另一方面，从状态x=0.2>0.1显著高于长期平均值开始的跳跃的L’evy密度高度向左倾斜，因为p过程倾向于从0.2的这个高值向0.1的长期平均值向下移动。

不管怎样，这个过程都是非负的。这与行为跳跃扩散/CBI过程形成鲜明对比，后者只能向上跳跃，不能向下跳跃，以确保过程保持非负性。在次坐标差分的框架下，次坐标过程的非负性是直接的，因为次坐标过程和原始过程共享相同的状态空间。根据定理3中的kφ（x）表达式。2，kφ（x）=γβx+Z（0，∞)(1 -A（s，β，0）exp{-B（s，β，0）x}）ν（ds），我们用封闭形式的表达式代替CIR过程的生存概率，很明显，默认强度在亚IR模型中不再有效。图e2显示了defaultintensity过程λφt=（1）的样本路径-Dφt）kφ（Xφt），以及purejump过程Xφ的样本路径。图2：。默认强度λφt=（1）- Dφt）kφ（Xφt）。该图显示了默认强度过程（λφt）t的样本≥0由亚热过程（Xφt）t诱导≥0，这也是我所描绘的。水平线（虚线）对应于长期平均水平θ=0.1。时变CIR违约强度43（a）生存概率（b）信用利差（c）生存概率（d）信用利差。3.生存概率和信用利差样本路径。最后，图3显示了在该次利率违约强度规范下模拟的五年期间零息债券（4.4）的生存概率（4.3）和可违约信用利差（4.4）的样本路径。图3（a）和3（b）显示了一年、三年和五年生存概率的样本路径，即Q（t，t+TXφt，Dφt）带t=1年、3年、5年和1-3年的信用利差，S（t，Xφt，Dφt，t+t） 分别为。（b）中的虚线水平线对应于渐近信用利差S∞= 0.084等于半群P1的主特征值φ（λ），φ。

图3（c）和3（d）显示了生存概率Q（t，Xφt，dφt；t+t） 和信用利差（t，Xφt，Dφt；t+t） 分别为。由于次临界状态变量Xφ是ajump过程，因此在该模型中，信用敏感证券（如债券价格）以及信用利差的价格也是跳跃过程。7.结论。本文通过Bochner意义上的隶属关系，对经典的扩散违约强度模型进行了一个推广。我们从差异强度框架中的差异44 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYstate变量和默认指示符号（X，D）的双变量过程开始，并用L’evy从属变量T对其进行时间变换。我们将结果时变过程（Xφt，Dφt）=（X（Tt，D（Tt））描述为马尔可夫半鞅，特别是从Dφ的Doob–Meyer分解中可以看出，时变模型中的默认时间具有跳跃扩散或纯跳跃强度。当X是一个具有均值回复漂移的循环时，次级模型（SubCIR）的默认强度是一个非负跳跃扩散或纯跳跃过程，具有保持非负的双侧均值回复跳跃。通过显式计算相关半群的本征函数展开，亚理想强度模型完全可以分析。这是ields对信用敏感证券的明确封闭式定价。参考文献：D.沙恩-H.安德高，B.（1999）。期限结构动力学的参数非线性模型。金融研究回顾12 721–762。Andreasen，J.（2001）。信用炸药。美国银行固定收益研究工作论文。巴洛，M.T.（2002）。电价的差异模型。数学财务12 287–298。巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1998）。正态逆高斯型过程。FinanceStoch。

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