具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

2022-5-6 01:11:37

《应用概率年鉴2014》，第24卷，第2期，811–856DOI:10.1214/13-AAP936c数理统计研究所，2014年，Rafael Mendoza Arriaga和德克萨斯大学奥斯汀分校和西北大学的瓦迪姆·莱恩茨基（Vadim Linetsky University of Texas at Austin and Northwestern University）提出的具有双边平均回复跳跃的时变CIR违约强度。本文通过Bochner意义上的从属关系，介绍了经典违约强度模型的跳跃扩散扩展。我们从扩散状态变量X驱动违约强度和违约指标过程D的双变量过程（X，D）开始，并用一个L’evy从属变量T对其进行时间变化。我们将时变过程（Xφt，Dφt）=（X（Tt，D（Tt））描述为马尔可夫-It^o半鞅，并从Dφ的Doob-Meyer分解中表明，时变模型中的默认时间具有跳跃扩散或纯跳跃强度。当X是具有均值回复漂移的CIR扩散时，次级模型（SubCIR）的默认强度是跳跃扩散或pu-re跳跃过程，在两个方向上均具有均值回复跳跃，且保持非负。Subcir违约强度模型通过明确计算相关半群的特征函数展开，在分析上易于处理，从而产生信用敏感证券的封闭式定价。1.介绍。自Jarrow、Lando和Turnbull（1997）以及Duffie和Singleton（1999）关于简化形式违约建模的开创性工作以来，经典的Cox、Ingersoll和Ross（1985）（CIR）/Feller（1951）平方根微分一直是金融市场违约风险建模的随机性方法中的主力；su rveys见专著s Bieleckian和Rutkowski（2004）、Duffeeand Singleton（2003）和Jeanblanc、Yor和Chesney（2009）。

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2022-5-6 01:11:40

在这个框架中，默认时间可以被认为是双随机泊松过程（Cox过程）的第一跳时间，随机强度随扩散过程而变化。CIR扩散作为强度模型的吸引力源于，2012年9月收到；2013年3月修订。NSF资助DMS-08-02720和CMMI-1030486。AMS 2000学科分类。初级91G40；次级60J75，91G30，60G55。关键词和短语。违约、违约强度、信用利差、公司债券、信用衍生工具、CIR过程、时间变化、从属关系、波希纳从属关系、跳跃差异过程、依赖于状态的勒维测度、光谱扩展。这是数学统计研究所在《应用概率年鉴》2014年第24卷第2811–856期中发表的原始文章的电子版。这幅画在页码和排版细节上与原作不同。2 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYone han d，其动力学，另一方面，其分析可处理性。如果漂移中线性项的系数为负，而常数项为正，则循环微分为均值回复，这是信贷市场中观察到的一个重要经验特征。同时，由于波动性消失和原点附近的正漂移，该过程保持非负。一方面，它的分析可处理性与贝塞尔过程密切相关[Pitman and Yor（1982），G–oing Jaeschkean and Yor（2003），Jeanblanc，Yor and Chesney（2009），Revuzand Yor（1999）]，另一方面，从其在一类有效流程中的成员身份[Duffee和Kan（1996），Duffee，Pan和Singleton（2000），Duffee，Filipovi\'c和Schachermayer（2003），Keller Ressel，Schacher mayerand Teichman（2011）]。

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2022-5-6 01:11:43

前一个连接给出了CIR跃迁密度和相关Feynman–Kac半群的显式表达式，而后一个连接给出了CIR过程时间积分的拉普拉斯变换的显式表达式，CIR违约强度模型中的生存概率的封闭式解与CIR利率模型中的债券价格表达式基本一致。这些属性导致在基于CIR的模型中对一系列信用敏感工具进行分析定价[例如，Brigo and Alfonsi（2005）、Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski（2011）]。CIR违约强度模型的一个局限性是，它无法捕捉信用利差和信用敏感证券价格的跳跃（违约事件本身除外）。这使得许多作者引入了CIR模型[Duffee和Garleanu（2001年）、Filip ovi\'c（2001年）、Brigo和El Bachir（2006年、2010年）]。为了保持分析的可执行性，迄今为止文献中考虑的所有模型都属于a类。具有跳跃的一维循环最普遍的扩展仍然是有效类，即川崎和渡边（1971）的移民（CBI）连续状态分支过程；s ee Filipovi\'c（2001）详细介绍了利率期限结构建模的应用。

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kedemingshi

2022-5-6 01:11:47

粗略地说，C BI-p过程是非负Feller过程，具有CIR型扩散分量和单边正跳跃，具有形式为m（dy）+xu（dy）的补偿器测度，其中m是从属函数的Lèevy测度，而u（dy）是光谱正Lèevy过程的Lèevy测度；参见菲利波夫i’c（2001）中的T heorem 4.3，以了解其最小生成元的明确表达及其性质总结。CBI过程的一个限制是其跳跃的片面性。从财务应用的角度来看，他们的样本路径行为有些不自然。CBI流程只能向上跳，而不能向下跳。假设CBI过程的漂移是均值回复，如果过程经历了一个大的跳跃，使其远离其长期均值，那么它返回其长期均值的唯一机制是通过其随时间变化的CIR默认强度3连续均值回复漂移，而不可能跳回。此外，CBI过程的跳跃要么与状态无关（如果u=0，则由m控制），要么通过x乘以u与当前状态线性相关。跳跃的单侧性及其对状态的有效依赖性在一般的有效过程中是常见的，例如，Cuchiero等人（2011a）和Cuchiero等人（2011b）。然而，这与金融市场中经常观察到的行为形成了对比，在金融市场中，一个方向的跳跃可能伴随着另一个方向的跳跃。这种行为经常在能源市场中观察到，在能源市场中，均值回复模型通常用于捕捉电力现货价格的尖峰行为[例如，巴洛（2002）、杰曼和隆科罗尼（2006）以及迈耶·布兰迪斯和坦科夫（2008）]。

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可人4

2022-5-6 01:11:50

这也与信贷市场有关，在信贷市场中，关于债务人财务健康的好消息和坏消息接二连三，例如市场认为处于困境的公司或主权债务，在相对较短的时间内，可能导致其市场信用利差发生急剧变化（看看最近一些欧洲信用利差在快速变化的经济和政治新闻流影响下的行为）。最近研究信贷增长正跳和负跳的实证文献包括Zhang，Zhou和Zhu（2009），Elkami等人（2012）和Kita（2012）。本文提出了一种新的方法，通过Bochner的排序将更真实的双侧跳跃行为引入扩散强度模型。我们从一个非负扩散强度模型开始，用一个从属变量随时间变化，即一个具有正脉冲和非负漂移的非负L’evy过程。我们表明，这会导致跳跃差异（当从属者有正漂移时）或纯跳跃（当从属者无漂移时）强度模型，其中双边跳跃保持非负。特别是，当扩散为CIR时，时变模型具有一个非负的强度过程，具有双边的均值回复过程。这种强度过程的补偿器测量是依赖于状态的，这种状态依赖性自动防止过程变为负值。虽然过程可能会经历向下跳跃，但负跳跃的大小取决于过程的跳跃前状态，以使过程保持非负。虽然该过程的结构高度依赖于状态（而且显然是非有效的），但值得注意的是，通过本征函数展开，该模型仍然具有完整的分析可处理性。论文的其余部分组织如下。

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2022-5-6 01:11:53

在第2节中，我们回顾了特定环境下的扩散强度模型，以便于我们的目的。也就是说，我们考虑一个双变量p过程（X，D），其中X是遵循非负扩散过程（预强度）的状态变量，D是事件指示过程D。双变量过程是一个马尔可夫过程+∪ {0，1}和一个半鞅。本节从马尔可夫和半鞅的角度详细讨论了双变量p过程（X，D）。虽然扩散强度模型非常著名，但这一双变量形式的详细介绍是为了方便读者建立符号，为用马尔可夫方法和半鞅方法处理时变（从属）模型做准备。我们注意到，Bielecki et al.（2008）、Bielecki et al.（2012）和Bielecki et al.（2013）在多名称信用衍生产品定价的背景下，最近一些有趣的论文也遵循了这种双变量观点，即使用不同的故障强度模型。在第三节中，我们将双变量过程（X，D）时间变换为具有Lap-lace指数φ的L′evy子T。由此产生的时变过程（Xφ，Dφ）是一个马尔可夫过程，其最小生成元由菲利普斯定理给出。我们用菲利普斯定理明确地计算了生成元，得到了它作为积分微分算子的表示。作为半鞅的时变过程，双变量过程也是半鞅。然后，我们从生成器中识别其可预测特性，并获得Xφ的L′evy–It^o分解，Dφ的Doob–Meyer分解和函数f（t，Xφ，Dφ）的It^o公式。

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2022-5-6 01:11:56

然后，我们用OUR模型中的defaultindicator识别过程Dφ，因此默认时间是Dφ的跳跃时间，通过Doob–Meyer分解的数据明确识别默认强度为λφt=（1）- Dφt）kφ（Xφt），其中kφ（X）是显式确定的正函数。在第4节中，我们将结果应用于信用敏感证券的定价。在第5节中，我们详细介绍了计算与双变量过程（Xφ，Dφ）相关联的半群的特征函数展开方法，特别是计算违约证券的生存概率和价格。在第6节中，我们将X专门化为CIR扩散，从而得到了次级CIR（Su bCIR）默认强度模型。本节包含与次半群模型相关的所有量的显式表达式，尤其是次半群的显式本征函数展开式。然后应用这些显式解给出了亚CIR默认强度模型的数值说明。2.扩散默认强度模型。我们从一个完全概率空间开始(Ohm , F、 P）其中一个一维标准布朗运动{Bt，t≥ 定义了0}。设FB=（FBt）t≥0表示已完成的自然过滤。我们将状态变量建模为随机微分方程（SDE）Xt=x+Ztb（Xu）du+Ztσ（Xu）dBu，t的唯一强解≥ 0.（2.1）我们假设漂移和扩散系数b（x）和σ（x）在（0，∞), σ（x）>0（0，∞), 对于每个正初始条件X=X>0，SDE允许一个唯一的强解，对于所有t>0，它保持非负。

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mingdashike22

2022-5-6 01:11:59

因此，状态变量（Xt）t≥0是一维微分，也是非负连续半鞅。时变CIR默认强度5在我们的假设下，零处的边界要么是自然的（在这种情况下，当从正值x>0开始时，过程不能达到零，并且不能从零开始），要么是入口[在这种情况下，当从正值x>0开始时，过程不能达到零，但可以在零处开始，在这种情况下，它会立即进入间隔（0，∞) 并且永远不会回到零），瞬间反射或吸收（在这种情况下，所有t的xt=0）≥ T、这里是第一次击中时间（零）。我们请读者参阅Ethier和Kurtz（1986）第366-367页，以及Borodin和Salminen（2002）第二章，了解费勒对一维差异边界分类的详细阐述。在本文中，我们排除了吸收，假设零要么是无法达到的（自然或入口），要么是一个瞬时反射边界。由于我们假设SDE（2.1）有一个唯一的强解，当从任何x>0开始时，该过程不会爆发为不完整；也就是说，本质是一个无法达到的界限。扩散X的状态空间用I表示，I=（0，∞) 如果0无法达到（自然或入口）或I=[0，∞) 如果零是瞬时反射。例2.1（CIR SDE）。本文中我们感兴趣的关键例子是σ（x）=σ的CIR SDE√σ>0的x，b（x）=κ（θ）-x） κθ>0时。关于CIR过程及其与贝塞尔过程的关系的调查可参见G–oing Jaeschke and Yor（2003）和Jeanblanc，Yor and Chesney（2009）第6.3节。漂移系数b（x）为Lipsch-itz，且差值σ（x）满足Yamada–Watanabe条件[cf.Revuz and Yor（1999），Th eorem IX.1.7]，因此SDE对anyx具有独特的强解≥0

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2022-5-6 01:12:03

由于对于θ=0和x=0，解是Xt=0，根据一维S DEs的比较定理[cf.Revuz and Yor（1999），定理IX.3.7]，κθ>0和x的解≥ 0保持非负，Xt≥0代表所有t≥0.此外，当Feller条件满足时，2κθ≥σ、当从任何x>0开始时，该过程都是严格正的，即P（T=∞) = 1，其中第一次命中时间为零。它也可以从x=0开始，在这种情况下，它会立即进入间隔（0，∞) 并且在所有t>0时保持严格的正态。在这种情况下，零处的边界是入口边界。当Feller条件不满足时，0<2κθ<σ，当从x>0开始时，过程可以达到零，并且零是瞬时反射边界。设C（[0，∞]) 表示在（0，∞)这样，极限limx→0f（x）和limx→∞f（x）存在并被确定，并被赋予通常的s-upremum范数。例如，如Ethier和Kurtz（1986）第366页所示，转移函数Pt（x，dy）=P（Xxt∈ dy）从x Defines a Feller semi6 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYgroup（Pt）t.开始的扩散过程≥0作用于C（[0，∞]) byPtf（x）=Ex[f（Xt）]=ZIf（y）Pt（x，dy），（2.2），其中Ex表示对应于Pxof（Xxt）t定律的期望≥0从x开始。Pis的最小生成元是一个二阶微分算子，其形式为f（x）=σ（x）f′（x）+b（x）f′（x），域为D（a）={f∈ C（[0，∞]) ∩ C（（0，∞)) : Af∈ C（[0，∞])} 如果零是一个无法达到的界限。

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2022-5-6 01:12:07

如果零是一个瞬时反射边界，则Neumann型边界条件额外施加于零[Ethier and Kurtz（1986），第367页，等式（1.11），q=0]。我们还注意到，当零和完整都是自然边界时，半群离开空间C（（0，∞)) C（[0，∞]) 在（0，∞) 零极限极限→0f（x）=0和limx→0f（x）=0不变量，是其上的Feller半群。如果零不是一个自然边界，而单位是，那么半群是C上的Feller（[0，∞)).接下来，我们假设OUR概率空间支持一个单位平均指数随机变量E~ Exp（1）独立于布朗运动B（因此，X）。定义一个随机时间ζζ：=infT≥0:Ztk（徐）杜≥E,其中k（x）≥ 0是在（0，∞). 如果零是一个瞬时反射边界，我们假设有一个有限的limitlimx→0k（x）<∞. 如果零是不可能达到的，我们不会对k（x）的行为做任何假设→ 0.在这些假设下，Rtk（Xu）du<∞ a、 s.对于任何初始条件X=X>0[根据我们的假设，Xdoes不会将矿脉扩展到单位，并且k（X）在（0）上是连续的，∞) 如果零是X]的可达到边界，则在零处有一个有限极限。我们对信用风险应用感兴趣的函数k（x）的关键示例给出了无示例2。2–2.6在本节末尾。我们用（Pβt）t表示≥0与β>0，Pβtf（x）=Ex[e]的正连续双泛函tβk（Xu）du相关的Feyn-man–Kac半群-βRtk（Xu）duf（Xt）]。（2.3）在我们的假设下，它是C（[0，∞])生成函数为βf（x）=Af（x）-βk（x）f（x）与结构域D（Aβ）D（A）。

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2022-5-6 01:12:10

更准确地说，D（Aβ）={f∈C（[0，∞]) ∩C（（0，∞)) : Aβf∈ C（[0，∞])} 如果零是一个不可达到的边界，对于不同时间变化的CIR违约强度，以βk（x）的速率终止；参见Borodin和Salminen（2002年），第16-17页，了解Feller关于一维差异与杀戮的边界分类。如果零瞬时反映了f与以βk（x）速率杀灭的扩散，则在零处施加诺依曼型边界条件[Ethier and Kurtz（1986），第367页，等式（1.11），q=0]。接下来，我们将事件指示过程（单点过程）（Dt）t与随机时间ζ联系起来≥0定义的字节数：=1{ζ≤t} ，t≥ 0，用D=（Dt）t表示≥0其（已完成）自然过滤，并确定扩大过滤G=（Gt）t≥0GT=FBt时∨Dt。这种过滤是含有FBI的小磁石，因此随机时间ζ是停止时间；参见Jeanblanc、Yor和Chesney（2009）第7.3.3节。根据Jeanblanc，Yorand Chesney（2009），提案5.9.1.1和备注7.5.1.2，我们观察到过滤和FBG，FBG、满足H假设。因此，anyFB-lo-cal鞅也是G-局部鞅。我们现在将研究双变量过程（Xt，Dt）t≥状态变量X和事件指示器D的0。给定我们的假设，对于任何初始条件X=X>0和D=D∈{0,1}，（X，D）是一个马尔可夫半鞅，取值于R+×{0,1} R（D=1对应于ζ=0，当D=1时，对于所有t>0，henceDt=1）。我们首先描述了它的马尔可夫性质。为此，观察任何函数f（x，d）∈ C（[0，∞] ×{0，1}）可以写成f（x，d）=f（x）+（1）的形式-d）（f（x）-其中f（x）：=f（x，0）∈C（[0，∞]) an df（x）：=f（x，1）∈C（[0，∞]).定理2.1[对（X，D）的马尔可夫刻画]。

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2022-5-6 01:12:15

（i）双变量过程ss（X，D）是一个Feller过程，其Feller半群（Pt）t≥0Actions onf∈C（[0，∞] 根据toPtf（x，d）=Ptf（x）+（1-d） Pt（f）-f）（x），（2.5）式中f（x）=f（x，0）∈ C（[0，∞]), f（x）=f（x，1）∈ C（[0，∞]), （Pt）t≥0是C（[0，∞]) 和（Pt）t≥0是C（[0，∞]).（ii）Feller半群（Pt）t的极小生成元≥0is givenbyAf（x，d）=Af（x）+（1-d） A（f）-f）（x）=Af（x，d）+（1）-d） k（x）（f（x，1）-f（x，0）），其中a和a是（Pt）t的生成元≥0和（Pt）t≥分别为0。8 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY（iii）如果f（x，d）∈ D（A）[即，f的形式为（2.4）和f，f∈ D（A）]和（X，D）从X=X>0和D=D开始∈{0,1}，那么进程mft:=f（Xt，Dt）-f（x，d）-ZtAf（Xs，Ds）是一个G-鞅。证据（i）对于所有0≤s<t，我们有E[f（Xt，Dt）|Gs]=E[（1-Dt）（f）-f）（Xt）|Gs]+E[f（Xt）|Gs]=（1）- Ds）E[E]-Rtsk（徐）杜（f）-f）（Xt）| FBs]+E[f（Xt）|FBs]=（1）- Ds）Pt-s（f）-f）（Xs）+Pt-sf（Xs）=Pt-sf（Xs，Ds）。第二个等式是信用风险强度建模的标准结果[e.g.，Jeanblanc，Yorand Chesney（2009），推论7.3.4.2，或Bielecki an d Rutkowski（2004），推论5.1.1]，第三个等式来自于X的马尔可夫性质和时间同质性。自算子（Pt）t≥0和（Pt）t≥0在C（[0，∞]), 然后，操作员（Pt）立即≥0在C（[0，∞] × {0, 1}). 因此，双变量过程（X，D）是一个Feller过程，其半群作用于C（[0，∞] 方程（2.5）给出了×{0，1}）。（ii）根据方程式（2.5）的表达式A，给出了A和A。第（iii）部分根据Ethier和Kurtz（1986）的命题1.7，第162页。

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可人4

2022-5-6 01:12:18

由于X是一个连续半鞅，D是一个单点过程，双变量过程（X，D）是一个特殊的半鞅。我们可以将时间函数和双变量过程的iteIt^o公式写成有用的形式，将过程f（s，Xs，Ds）分为一个可预测的有限变量过程、一个连续的局部鞅，它是关于布朗运动的随机积分，以及一个不连续的马丁鞅，它是关于补偿单点过程的积分。定理2.2[关于（X，D）的公式]。（i）单点过程d具有以下Doob–Meyer分解：Dt=At+Mt，At=Zt（1-Ds）k（Xs）Ds，Mt=Dt-At，其中A是D的可预测G-补偿器，因此λGt:=（1）-Dt）k（Xt）是它的G-强度，M是G-鞅。时变CIR默认强度9（ii）假设半鞅（X，D）从X=X>0和D=D开始∈ {0, 1}. 对于任意函数f（t，x，d）=f（t，x）+（1- d）（f（t，x）- f（t，x））与fi（t，x）∈C1,2（R+×（0，∞)) 如果零是过程ss X或fi（t，X）无法达到的边界∈C1,2（R+×[0，∞)) 如果X可达到零，则过程f（t，Xt，Dt）是一个特殊的G-半鞅，其正则分解为可预测的有限变分过程、连续局部鞅和纯间断鞅，f（t，Xt，Dt）=f（0，X，d）+Zt(s+A）f（s，Xs，Ds）Ds+Ztσ（Xs）xf（s、Xs、Ds）dBs+Zt（1）-Ds-)（f（s，Xs，1）- f（s，Xs，0））dMs。证据（i）这是一个标准结果；参见Jeanblanc，Yor和Chesney（2009）中的引理7.3.4.3（ii），第421页。（ii）由于X是非负s-Martin gale，因此只需要为X定义函数fi（t，X）≥ 0

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2022-5-6 01:12:21

为了更好地定义It^o公式中的所有术语，当X严格为正时，仅用C1,2（R+×（0，∞)) , 当X可以达到零F，且其在X中的一阶导数和二阶导数以及在t中的一阶导数需要有细分数作为X→ 0，所以fi∈C1,2（R+×[0，∞)). 有了这些观察结果，这种形式的It^o公式立即继承了Jacod（1979）定理3.89第109页中关于特殊半鞅的It^o公式的形式。示例2.2（CIR强度模型，示例2.1续）。假设κ、θ、σ>0，则CIR扩散具有伽马稳定密度π（x）=abxb-1Γ（b）e-ax，b:=2κθσ，a:=2κσ。（2.6）也就是说，对于所有x∈ I和a，b>0，limt→∞Pt（x，dy）=π（y）dy.有参数选择时，limt→∞Ex[Xt]=RIyπ（y）dy=θ，θ被称为长RUN平均值，κ被称为CIR状态变量的平均回复率。在CIR强度模型中，设k（x）=x。然后，停止时间ζ的G强度为λGt=（1）- Dt）Xt，并且指示符p进程Dt有aG补偿At=Rt（1- Ds）Xsds。如果D被解释为违约指标，那么（在零恢复的假设下）即时信用利差等于G-强度λGt。相应的违约强度模型可以追溯到杜菲和辛格尔顿（1999年）。由于零要么是入口，要么是瞬时反射边界，且其本质是10 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYa自然边界，因此CIR Feynman–Kac半群（Pt）t≥0是C（[0，∞)) [C（0，∞)), 当Feller条件满足且零为自然边界时]。它与CIR利率模型中的半群相吻合。循环半群（Pt）t密度的显式表达式≥0和the CIRFeynman–Kac半群（Pβt）t≥第6节给出了β>0的0。例2.3（倒数CIR强度模型）。

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2022-5-6 01:12:25

让X按照示例2中的流程进行操作。1并假设伐木条件满足，但取k（x）=1/x，而不是k（x）=x。这种选择会导致倒数强度模型。Andreasen（2001）将其应用于信用建模。将It^o的公式应用于过程Yt=1/Xt（在满足条件时进行调整，因为在这种情况下，过程保持非常正），我们得到了Y的SDE，Yt=Y+Zt|κ（|θ）-Ys）Ysds-ZtσY3/2sdb，其中Y=Y=1/x和∧κ=κ/（κθ）- σ） θ=κθ- σ. SDE具有二次dr if t和所谓的3/2波动率。当|θ>0和|κ>0时，CIR过程X需要κθ>σ，这种SDE也出现在Cox、Ingersoll和Ross（1985）中作为瞬时通货膨胀率的模型，以及Lewis（1994）和Gaohn（1999）中作为瞬时名义利率的模型（所谓的3/2模型）。在这种情况下，过程有一个稳定的密度π（y）=αβΓ（β）y-β-1e-α/y在这里α：=2|κ|θσ，β：=2（σ+|κ）σ。该模型中的G-强度为λGt=（1）- Dt）Yt=（1）- Dt）/Xt，其中yi表示3/2扩散，或等效地X表示循环扩散。半群（P）t≥0在这种情况下可以明确获得，并且与3/2利率模型中的pricingsemigroup一致。示例2.4【二次或nstein–乌伦贝克（OU）模型】。考虑σ（x）=2σ的SDE（2.1）√x、 b（x）=2κ（a+θ）√十、-x）（2.7）σ>0，κ>0，θ≥ 0，a=σ/（2κ）。这个S DE类似于C IRSDE，但有一个额外的术语√在drif t中的x。让Yt成为求解SDE Yt=y+Rtκ（θ）的过程-Yu）du+σBt。将其^o公式应用于OU p过程的方，Xt=Yt，我们验证X满足SDE的系数（2.7）。

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2022-5-6 01:12:28

费曼-Kac半群（Pt）t≥在Beaglehole和Tenney（1992）和Jamshidian（1996）研究的二次O U利率模型中，二次O U模型的0与定价半群一致。随时间变化的CIR违约强度11例2.5[Carr and Linetsky（2006）JDCEV信贷权益模型]。Carr和Linetsky（2006）的违约扩展恒定方差弹性（JDCEV）差分模型将A公司违约前的股价建模为σ（x）=axβ+1，b（x）=（r）的差分-q+k（x））x，k（x）=b+cσ（x）=b+cax2β，其中a>0表示波动性尺度，假设方差β<0的恒定弹性为负，以反映杠杆效应（股价下跌时股价波动性增加），r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是分割产量，k（x）是定义JDCEV模型中默认强度的函数，其中b≥0是常数部分，c是常数部分≥0是违约强度对股价瞬时方差的敏感性。k（x）xis加入漂移，以补偿违约率的跃升，以确保在风险中性措施下，已投资且违约的贴现股票价格为鞅。因此，在JDCEV模型中，存在违约风险的公司的股价为St=（1）-Dt）Xt，其中Dt是违约指标（当公司违约时，股价降至零）。G-强度为λGt=（1）-Dt）（b+caX2βt）。对于任何大于0的a，u：=r-q+b∈ R、 β<0和c∈[(1/2 + β)+, ∞), JDCEV SDE可以简化为CIR SDE，如下所示≥0是Y=Y>0且参数满足κθ>0和σ>0的C IR SDE的唯一强解。尽管如此，t≥ 0在初始条件X=X=y1/（2 |β|）大于0的情况下，定义一个新工艺Xt=（Yt）1/（2 |β|）。

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2022-5-6 01:12:31

根据It^o的公式（由于|β|>0，该应用程序得到了验证），该过程用a=σ2 |β|，u=-κ2 |β|，c=1/2+|β|（2κθσ）- 1). 由于我们对非负违约强度非常感兴趣，我们提出了条件1/2+|β|（2κθσ）-1) ≥ 0.当CIR过程Y满足Feller条件时，2κθ≥ σ、 JDCEV参数满足c∈[1/2, ∞). 在这种情况下，零处的边界是CIR和JDCEV差异的入口。当n2κθ∈ （0，σ），得出的JDCEV参数满足c∈((1/2 + β)+, 1/2).在这种情况下，零处的边界瞬时反映了CIR和JDCEV。在这两种情况下，在CIR变量y中，杀伤率k降低到k（x）=b+ca/y，因此JDCEV-FK半群（Pt）t≥0在例2的倒数CIR模型中简化为Feynman–Kac半群。3（加上常数b）。最后，我们指出，当-1/2<β<0和c∈[0，（1/2+β）+（在这种情况下，0是一个出口边界），对于这组参数，它不能被简化为CIR扩散。由于在本文中我们不考虑出口边界，所以在本文中我们不考虑这种情况。示例2.6[Lin etsky（2006）credit equity model]。同样在信贷权益模型的背景下，莱恩茨基（2006）研究了Black–12 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYScholes–Merton（BSM）模型的一个扩展，其中bankrup tcy的致死率是状态变量的负幂。股票价格的违约前动态由σ（x）=σx，b（x）=（r）决定-q+k（x））x，k（x）=αx-p、其中σ>是常数波动率，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是分割收益率，k（x）是指定为股价负幂的杀戮率，α>0，p>0。

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2022-5-6 01:12:34

如E x ample2。5.killingrate k（x）被加入漂移中，以补偿违约率的跃升，这使得股票价格在违约时一文不值。通过将k（x）指定为股票价格的负幂，该模型能够在股票期权价格中显示隐含的效用偏斜，杀戮率规格的参数α和p控制偏斜的斜率，因此，在隐含波动率与信用利差之间建立联系（随着股价下跌，隐含波动率和违约概率增加）。在这种情况下，股价为St=（1）-Dt）xt，该模型中的违约G强度为λGt=（1）-Dt）αXpt。3.次级差异默认强度模型。接下来我们假设我们的概率空间(Ohm, F、 P）还支持L’evy从属（Tt）t≥0独立于布朗运动B和指数随机变量E，因此独立于双变量过程（X，D）。再次指出，L’evy从属函数是一个非减损的L’evy过程，也就是说，一个L’evy过程具有e边的正跳变和非负漂移，并且没有差异成分。L′evy从属（Tt）t的拉普拉斯变换≥0由L’evy–Khintchine公式[e]给出-λTt]=Z[0，∞)E-λsπt（ds）=e-tφ（λ）与φ（λ）=γλ+Z（0，∞)(1 -E-λs）ν（ds）。这里πt（ds）是跃迁核，φ（λ）是L′evy指数，γ≥ 0是非负drif t，而ν（ds）是满足可积条件r（0，∞)（s）∧1） ν（ds）<∞ 【关于从属关系的标准参考文献是贝尔托（1996年、1999年）、佐藤（1999年）和席林、宋和冯德拉·切克（2010年）】。例3.1（稳定和相关从属关系）。金融应用中重要的一系列子排序器由以下三个参数族L’evy度量定义：ν（ds）=Cs-α-1e-ηsds（3.1），C>0，η>0，α<1。

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2022-5-6 01:12:37

对于α∈（0，1）这些是所谓的回火稳定从属[指数衰减的α-稳定时间变化的CIR默认强度的对应物，13具有ν（ds）=Cs的从属-α-1ds]。特例α=1/2是逆高斯过程[Barndorff-Nielsen（1998）]。极限情况α=0是伽马过程[Madan，Carr和Chang（1998）]。具有α的从属∈ [0,1）是有限的活动过程。α<0的从属过程是具有伽马分布跳跃大小的复合泊松过程。具有L′evy测度eν（ds）=ωηe的复合泊松过程-带有指数跳跃的ηsds是α=-1和C=ωη，这里ω是j ump到达率，1/η是指数跳跃大小分布的平均值。拉普拉斯指数由φ（λ）给出=γλ -CΓ(-α)[(λ + η)α-ηα]，α6=0，γλ+cln（1+λ/η），α=0，其中Γ（x）是伽马函数。现在我们用一个从属变量T来改变前一部分的双变量过程（X，D）。也就是说，我们定义了一个新的双变量过程（Xφt，Dφt）t≥0byXφt:=X（t（t）），Dφt:=D（t（t））（3.2）并假设（Dφt）t≥0是违约指标过程（即违约时间是第一次Dφ等于1），Xφ是模拟债务人信用状况的状态变量。我们还将时间变化过滤定义如下。将逆苏伯丁过程定义为右逆（Lt:=inf{s≥0:Ts>t}）t≥0.既然T是c\'adl\'ag，那么L也是。让L=（Lt）T≥0完成自然过滤。设H=（Ht）t≥0表示放大的过滤器，Ht=Gt∨Lt，其中Gt指过滤G=（Gt）t≥第2节第0节。然后（Tt）t≥0是H-停止时间的增加族，我们可以定义时间变化的过滤Hφ=（Hφt）t≥按φht0t计算≥ 0.时变双变量过程（Xφt，Dφt）t≥0显然是Hφ适应的和c\'adl\'ag。提议3.1。过程（Xφt，Dφt）t≥0是Hφ-半鞅。证据

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2022-5-6 01:12:40

因为（Xφt，Dφt）t≥0是半鞅（X，D）的时间变化，它是Jacod（1979）第315页中推论10.12的半鞅。现在我们将研究它的性质。特别地，我们在（Xφt，Dφt）t处显示th≥0是C上Feller半群的Feller过程（[0，∞] ×{0，1}），显式地计算它的极小生成元，得到它的可预测半鞅特征，并给出它的^o公式。我们首先回顾了Banach空间中算子半群Bochner意义下的子排序的一些重要结果。14 R.门多萨-阿里亚加和V.莱恩茨基从属关系的程序可以追溯到博什纳（1949年）。发电机的表达式构成了菲利普斯定理[Phillips（1952）]。下面的公式源自Sato（1999），定理32.1。定理3.1（波希纳意义上的从属关系；菲利普斯定理）。让（Tt）t≥0be是一个具有L′evy测度ν、漂移γ、拉普拉斯指数φ（λ）和转移函数πt（ds）的从属函数。让（Pt）t≥0是具有极小生成元a的Banach空间B上线性算子的强连续收缩半群。（i）definepφtf（x）=Z[0，∞)Psf（x）πt（ds），t≥0，f∈ B.（3.3）然后（Pφt）t≥0是B上线性算子的强连续收缩半群，称为（Pt）t的从属半群≥0关于子协调员（Tt）t≥0.（ii）表示（Pφt）t的最小生成元≥0乘以φ。那么A的域是Aφ和Aφf=γA f+Z（0，∞)（Psf）-f）ν（ds），f∈ 多姆（A）。（3.4）我们需要以下推论。推论3.1。如果（Pt）t≥0是C（[0，∞]), 然后是次坐标半群（Pφt）t≥0也是C（[0，∞]).证据空间C（[0，∞]) 由[0]上的连续函数组成，∞]或者，等价地，在（0，∞) 有限限值为0和∞. C（[0，∞]) 是Feller，如果它是保正的。

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2022-5-6 01:12:43

假设（Pt）t≥0是C上的Feller（[0，∞]). 然后（Pφt）t≥0isa是C（[0，∞]) 根据理论3。1（i）B=C（[0，∞]). 因为方程（3.3）中的Bochner积分是正的，所以对于所有u∈ C（[0，∞]) 以至于0≤ U≤ 1，我们有0≤ Pφtu≤ 1.因此（Pφt）t≥0是保持正性的，因此，C上的Feller（[0，∞]). 回想一下I=（0，∞) 如果0是不可及的，而I=[0，∞) 如果0是反射。在我们的假设下，半群（Pβt）t的转移核≥0具有与勒贝格测度有关的密度，Pβt（x，dy）=Pβ（t，x，y）dy，其中Pβ（t，x，y）在t，x，y中共同连续。这从任何一维扩散的事实中，都有一个密度随时间变化的CIR默认强度15，到在t，x，y中共同连续的速度测度；参见McKean（1956）或Borodin和Salminen（2002），第13页。在我们的假设下，速度测度相对于勒贝格测度是绝对连续的[cf.Borodin and Salminen（2002），第17页]，因此s群相对于勒贝格测度具有密度。对于β=0，密度是I上的适当概率密度，Pt（x，I）=RIp（t，x，y）dy=1∈ I.对于β>0，密度通常是有缺陷的，Pβt（x，I）=RIpβ（t，x，y）dy≤ 1.为了便于注释，我们通过设置pβ（t，x，y）将密度从I扩展到R≡ y为0，x为0∈ I和t>0。我们现在准备根据菲利普斯定理3.1和推论3.1，给出（3.2）定义的时变过程（Xφ，Dφ）的马尔可夫特征。定理3.2[对（Xφ，Dφ）的马尔可夫刻画]。

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可人4

2022-5-6 01:12:46

（i）二元过程（Xφ，Dφ）是具有Feller半群（Pφt）t的Feller过程≥0作用于f∈ C（[0，∞] ×{0,1}）byPφtf（x，d）=P0，φtf（x）+（1-d） P1，φt（f）-f）（x），（3.5）式中f（x）=f（x，0）∈C（[0，∞]), f（x）=f（x，1）∈C（[0，∞]) 和（P0，φt）t≥0和（P1，φt）t≥0是由Feller半群（Pt）t在Bochner的se-NSE中通过从属得到的Feller半群吗≥0和（Pt）t≥0.（ii）Feller半群（Pφt）t的极小生成元Aφ≥0具有以下表示：Aφf（x，d）=A0，φf（x）+（1-d） A1，φ（f）-f）（x），（3.6）f，f∈Dom（A），其中Aβ，φ，β∈{0，1}，是（Pβ，φt）t的生成元≥0.（iii）生成器Aβ，φ具有以下L’evy–Khintchine类型表示，具有依赖于状态的系数Aβ，φf（x）=γσ（x）f′（x）+bβ，φ（x）f′（x）- kφ（x）f（x）（3.7）+ZR（f（x+y）-f（x）- 1{|y|≤1} yf′（x））πβ，φ（x，y）dyf∈D（Aβ），其中状态相关的L′evy密度πβ，φ（x，y）由πβ，φ（x，y）=Z（0，∞)pβ（s，x，x+y）ν（ds），（3.8）并满足可积条件rr（|y）|∧1） πβ，φ（x，y）dy<∞ 每个人∈我[记得我们通过设置p（t，x，y）=0（y<0）将p（t，x，y）扩展到R]，16 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky关于截断函数x1{x的漂移|≤1} 由bβ，φ（x）=γb（x）+Z（0）给出，∞)Z{|y|≤1} ypβ（s，x，x+y）dyν（ds），（3.9），杀伤率由kφ（x）=γβk（x）+Z（0，∞)(1 -其中Pβs（x，I）=RIp（s，x，y）dy.（iv）如果f（x，d）∈ D（A）[即，f的形式为（2.4）和f，f∈ D（A）]和（Xφ，Dφ）从Xφ=X>0和Dφ=D开始∈{0,1}，那么进程mft:=f（Xφt，Dφt）-f（x，d）-ZtAφf（Xφs，Dφs）ds（3.11）是Hφ-鞅。证据

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kedemingshi

2022-5-6 01:12:49

（i）半群（Pφt）t≥0of（Xφ，Dφ）是Feller的推论。1.由定理3.1的方程（2.5）和（3.3）组合而成的半群的显式表示（3.5）。（ii）用次坐标半群（Pβ，φt）t的生成元表示（3.6）≥0来自（3.4）。（iii）发电机Aβ的简化表示法（3.7），φ表示如下。首先，我们通过McKean（1956）的定理4.5来观察每个∈I密度pβ（t，x，y）满足以下估计：Z{y-x |>1}pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.12）Z{y-x|≤1} （y）-x） pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.13）Z{|y-x|≤1} （y）-x） pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.14）1-ZIpβ（t，x，y）dy≤计算机断层扫描。（3.15）每x∈ 我写βsf（x）-f（x）=ZR（f（x+y）-f（x）- 1{|y|≤1} yf′（x））pβ（s，x，x+y）dy+Z{|y|≤1} ypβ（s，x，x+y）dyf′（x）- (1 -Pβs（x，I））f（x）。随时间变化的CIR默认强度17将结果替换为从属半群生成器的Phillips表示（3.4），逐项对从属子的L’evy度量ν（ds）进行积分，并在第一个积分中交换y和s的积分。结果得到表示法（3.7）-（3.10）。由于估计（3.12）-（3.15）和隶属度R（0，∞)(1 ∧s） ν（ds）<∞. 具体而言，估算（3.12）和（3.13）确保了Fubini理论在s和y积分交换中的应用是正确的，并且（3.7）中得到的积分对于每个f都是明确的∈ D（Aβ），因为它们确保密度为（3.8）的测量πβ，φ（x，y）dy是每个x的L′evy测量∈ I[与佐藤（1999）相似，第200-201页，证明（30.8）是次级列维过程的列维测量]。

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2022-5-6 01:12:53

估计值（3.14）确保了（3.9）中的积分得到了很好的定义[这与Sato（1999）类似，证明了次级L’evy过程的提取（30.9）得到了很好的定义]。最后，估算值（3.15）确保（3.10）中的积分得到了很好的定义，因为积分以s为s的速率趋于零→0.第（四）部分摘自Ethier和Kurtz（1986年）第162页第1.7号提案。为了从Feller生成器Aφ的显式形式中获得半鞅（Xφ，Dφ）的可预测特征，可以方便地首先将生成器改写为以下等价形式。推论3.2（生成器Aφ的替代表示）。生成器Aφ允许以下替代表示：Aφf（x，d）=γσ（x）xf（x，d）+b0，φ（x）xf（x，d）+（1）-d） kφ（x）df（x，d）（3.16）+ZR（f（x+y，d+z）-f（x，d）- y1{|y|≤1}xf（x，d）-Zdf（x，d））×∏φ（x，d；dy-dz），其中∏φ（x，d；dy-dz）=（1-d） γk（x）δ（dy）δ（dz）（3.17）+[π0，φ（x，y）-(1 -d）（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））]dyδ（dz）+（1-d）（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dyδ（dz），其中πβ，φ（x，y）是方程式（3.8）中定义的L′evy密度，β=0，1，δ是Dirac测度，充电a.18 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYProof。用^Aφ表示等式（3.6）-（3.10）定义的运算符。我们需要证明，对于所有x，^Aφf（x，d）=Aφf（x，d）∈ 我和d∈ {0，1}，其中Aφ是等式（3.16）中的算子。d=1的情况是直接的，^Aφf（x，1）=Aφf（x，1）=A0，φf（x，1）。

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2022-5-6 01:12:56

接下来考虑d=0的情况。从（3.6）我们得到了^Aφf（x，0）=γσ（x）xf（x，0）+b1，φ（x）xf（x，0）+（b0，φ（x）- b1，φ（x））xf（x，1）+kφ（x）（f（x，1）-f（x，0））（3.18）+ZR（f（x+y，0）-f（x，0）-1{|y|≤1} yxf（x，0））π1，φ（x，y）dy+ZR（f（x+y，1）-f（x，1）-1{|y|≤1} yxf（x，1））×（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy。最后一个积分可以写成zr（f（x+y，1）-f（x，1）-1{|y|≤1} yxf（x，1））（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy=ZR（f（x+y，1）-f（x，0）+f（x，0）-f（x，1）-1{|y|≤1} y(xf（x，1）-xf（x，0）+xf（x，0））×（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy（3.19）=ZR（f（x+y，1）-f（x，0）-1{|y|≤1} yxf（x，0）- φ×0，πy）-π1，φ（x，y））dy-(xf（x，1）- xf（x，0））ZR{y|≤1} y（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy.来自方程式（3.9）的|≤1} y（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy=b0，φ（x）-b1，φ（x）。将该结果代入（3.19）并代入（3.18）并与（3.16）-（3.17）进行比较，我们确定^Aφf（x，0）=Aφf（x，0）。下一步，我们准备给出（Xφ，Dφ）的半鞅特征。关于半鞅可预测特征的定义，见Jacod和Shiryaev（2002），第76页。定理3.3[半鞅刻画（Xφ，Dφ）]。（i）双变量Hφ-半鞅（Xφ，Dφ）具有以下可预测的特征。连续局部鞅分量Xφ，ctisCXφXφt=Ztγσ（Xφs）ds的可预测二次变化（CDφDφt=0，CXφDφt=0，因为Dφ是完全不连续的）。与截断函数（hXφ（x，d）=x1{x）相关的有限变化的可预测过程|≤1} ，hDφ（x，d）=d）isBXφt=Ztb0，φ（xφs）ds，BDφt=Zt（1-Dφs）kφ（Xφs）ds，（3.20），其中函数b0，φ（X）在方程（3.9）中定义，kφ（Xφs）在方程（3.10）中定义。

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2022-5-6 01:12:59

与（Xφ，Dφ）i的跳跃相关联的随机测度u（ω；dt，dy dz）的补偿器是R+×（R\\{（0,0）}），ν（ω；dt，dy dz）=∏φ（Xφt）上的可预测随机测度-, Dφt-; dy dz）dt（3.21），其测量值∏φ（x，d；dy dz）由等式（3.17）给出。（ii）关于截断函数x1{X，Xφ的L′e vy–It^o正则表示|≤1} isXφt=x+BXφt+xφ，ct+ZtZRy1{y|≤1} （uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+ZtZRy1{y |>1}uXφ（ds，dy），其中与Xφ的跳跃相关联的随机测度uXφ（ω；dt，dy）的补偿器是R+×（R\\{0}），νXφ（ω；dt，dy）=0，φ（Xφt）上的可预测随机测度-, y） dy dt，（3.22），其中π0，φ（x，y）在等式（3.8）中定义。（iii）DφtisDφt=ADφt+Mφt20 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky的Doob–Meyer分解与鞅Mφt=Dφt-ADφ和方程（3.20）中的可预测补偿器ADφt=BDφt，因此Hφ-强度为λHφt=（1）-Dφt）kφ（Xφt）。证据（i） Hirod[2002]和Hirod[2]的两个等价于Jacionz（Hirod[2]和Hirod[2]的两个函数，使用Jacionz[2002]和Hirod[2]的两个等价于Jacionz（Hirod[2]和Hirod[2]的两个函数，Jacionz]的特征表示-f（Z）-xi≤N如果（Z）-) o毕-Xi，j≤N我jf（Z）-) oCij（3.23）-f（Z）-+ z）-f（Z）-) -xi≤nhi（z）如果（Z）-) ν是一个局部鞅。

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2022-5-6 01:13:04

在我们的例子中，Z=（Xφ，Dφ）是一个二维半鞅，对于任何f∈ D（A）过程（3.23）是一个鞅。将表达式（3.16）替换为（3.11），我们立即确定（Xφ，Dφ）的特征，因为这些特征是唯一的（直到一个空集）。（ii）通过观察Xφ本身是一维马尔科夫函数，其生成器为A0，φ由β=0的（3.7）给出，并通过生成器为A0，φ的（3.22）给出的νXφ来识别其可预测特性（BXφ，CXφXφ，νXφ），正如我们在（i）中针对双变量过程所做的那样。然后，根据Jacodand Sh iryaev（2002）第84页的定理2.34，Xφ的标准表示立即成立。（iii）根据Jacod和Shiryaev（2002）的定理3.15（单点过程Dφ是一类D子鞅）和Dφ=BDφ+Mφ是特殊半鞅Dφ的正则分解这一事实[Jacod和Shiryaev（2002）的命题2.29（a）]。从理论3。3，我们看到（Xφ，Dφ）是一个马尔可夫It^o半鞅或It^o过程，用C,inlar等人（1980）的术语，第165页。特别是，当γ>0时，Xφ是一个It^o跳差，具有二次变化γRtσ（Xs）ds的连续局部鞅分量和具有可预测补偿器（3.22）的跳差。当γ=0时，Xφ是纯跳跃过程。回想一下，每个It^o半鞅都可以表示为由标准布朗运动、勒贝格测度和泊松随机测度驱动的随机微分方程的解，通常定义在扩展概率空间[C,inlar和Jacod（1981a，1981b），Jaco d和Protter（2011），第2.1.4节]。如果γ>0，我们就可以把连续的局部鞅分量表示为Xφ，ct=Rt√γσ（Xφs）dBs，其中时变CIR默认强度21B是标准布朗运动（可能定义在扩展概率空间上）。

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