快速均值回复分数随机模型下的最优投资组合

2022-5-31 22:26:01

快速均值回复分数随机环境下的最优投资组合Jean-Pierre Fouque*Ruimeng Hu+2018年2月12日摘要实证研究表明，基础资产的波动性存在长期依赖性。这一特征可以通过使用带有赫斯特指数H的平稳分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程的函数对其收益率和波动率进行建模来捕捉∈ (, 1). 本文分析了在该模型下，在fou过程是快速均值回复的情况下，非线性最优投资组合分配问题。我们首先考虑电力效用的情况，并通过鞅失真变换严格给出值的一阶近似值和最优策略。我们还建立了零阶交易策略所有可容许控制的渐近最优性。然后，我们使用ε鞅分解技术考虑了一般效用函数的情况，并在一个特定的可容许策略族中获得了类似的渐近最优性结果。关键词：最优投资组合，分数O rnstein–Uhlenbeck过程，长期依赖，鞅失真，渐近最优性。1引言连续时间框架下的资产配置问题是数学金融领域研究最广泛的问题之一，其历史可以追溯到默顿（Merton）[1969年、1971年]。在他的原著中，当基础资产遵循Black-Schole s-Merton模型，且效用函数为特殊类型时，提供了关于如何交易股票和/或消费的ex-plic it解决方案，以最大化预期效用。

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2022-5-31 22:26:04

自这些开创性工作以来，已经进行了大量研究，以允许金融市场存在缺陷，例如，关于交易成本，参见Magill和Constantinides【1976年】、Guasoni和Muhle Karb e【2013年】、Grossman和Zho u【1993年】、Cvitani\'c和Karatzas【1995年】、Elie和Touzi【2008年】、关于提款限制下的投资，以及Cuoco和Cvitani\'c【1998年】提出的具有价格影响的交易。特别是，在资产建模的方向上，当与不同的执行价格作图时，广泛观察到市场期权价格的Black-Schole隐含波动率的U型模式，这与研究波动率随机时的默顿问题有关，例如Zariphopoulou【1999年】、Chacko和Viceira【2005年】、Fouque等人【2015年】和Lorig和Sircar【2016年】。此外，实证研究表明，非马尔可夫（依赖e）结构模型似乎能更好地描述数据。特别是，在与日常数据相关的长期投资中，收益和波动性都表现出长期依赖性：Breidt等人【1998】、Chronopoulou和Viens【2012a，b】、Cont【2001，2005】、Engle和Patton【2001】。我们的目的是研究收益率和波动率都由沿程依赖过程驱动的最优投资组合问题，用Y，Ht表示，这是一个快速变化的过程。具体而言，我们采用静态分馏l O rnstein–Uhlenbeck过程（fOU）模式l Y，Ht=-aY，Htdt+HdW（H）t。这里，是一个小参数，使过程Y，Htfast变化，其自然时间尺度为有序的（即其平均反转时间尺度与l成比例），而W（H）是分数布朗运动*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.

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2022-5-31 22:26:07

NSF拨款DMS-1409434支持的工作+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，hu@pstat.ucsb.edu.（fBm）具有赫斯特指数H∈ （，1）给出一个具有长期依赖性的fOU过程。第2.2节简要回顾了fBm和fOU，第3.1节详细讨论了按比例的fOU过程。更多参考文献，请参考Mandelbrot和Van Ness【1968】、Cheridito等人【2003】、Coutin【2007】、Biagini等人【2008】、Kaarakka和Salminen【20 11】。考虑这种资产建模的原因有三个。首先，在分析第2节中引入的夏普比λ（Y，Ht）的性质时，平稳fOU过程是高斯过程，这使得其光谱分解（见Fouque et al[2011]）以明确的形式可用。fOU过程可以表示为经过充分研究的核函数相对于fBm过程的积分，这简化了所需估计的推导。此外，除了托龙区间相关性外，它还满足了其他经验“程式化因素”，如厚尾和收益的波动性聚类，以及Cont【2001年、2005年】、Engle和Patton【2001年】中提到的波动性的持续性和均值回复。其次，当过程Y，Htis缓慢变化（即大）时，这在长期投资中尤为重要，Fouque和Hu[2017b]利用阿马丁格尔畸变变换和正则摄动技术研究了资产分配问题。所以，研究快速变化的状态也是很自然的。第三，虽然考虑风险资产的多尺度因子模式ls是很自然的，如Fouque et al.（2015）在马尔可夫框架下的慢因子和快因子，但分析需要更多的技术细节，因为鞅扭曲变换不可用。

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2022-5-31 22:26:10

这将在另一份正在编写的论文中介绍（胡[2017]）。在本文中，我们关注单因素模型，并研究快速时间尺度对最优分配问题的影响。长记忆模型的分析极具挑战性。这主要是由于过程Y，hte既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程。因此，Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）偏微分方程（PDE）不可用，通常采用奇异摄动技术。然而，当效用为幂型时，鞅变换是可用的，并给出了价值过程和最优策略的表示。这一结果最初由Zariphopoulou（1999）在马尔可夫案例中发现，并通过对HJB PDE应用线性化变换加以证明。Tehranchi【2004】通过条件H¨older不等式证明了一般（非马尔可夫）情况，Frei和Schwe iz er【2008】通过指数效用的BSDEapproach证明了一般（非马尔可夫）情况。最近，Fouke和Hu【2017b】在设置（2.1）下对其进行了重新研究，并基于验证参数进行了简短证明。对于一般实用程序，可以使用“ε鞅分解”方法来研究该问题。这种方法是inFouque et al.（2000）和Fouque et al.（2001）引入的，最近在Garnier和Solna（2017）中针对线性定价问题开发的，其中当分数随机波动率缓慢变化（或具有较小的波动）时，以及在Garnier和Solna（2016）的快速均值回复机制中，推导出了对Black-Scholes公式和隐含波动率的修正。主要结果。本文研究了快速变化的分数阶随机环境下的非线性投资组合优化问题。

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nandehutu2022

2022-5-31 22:26:13

在电力效用情况下：o价值函数和最优投资组合是通过Fouke和Hu【2017b】中所述的鞅失真变换获得的。利用Y，Ht的“遍历性”，我们以概率的方式扩展了这些表达式，并推导了这两个量的一阶近似值。这些近似值包括一个与常数系数默顿问题的解相关的前阶项和一阶修正项-H、 o渐近性与缓慢变化的情况有着显著的相似性（见Fouke和Hu【2017b】）：我们发现，在不使用最优策略的校正项π（1）的情况下，超前顺序项π（0）本身会生成高达阶次1校正的价值过程-Hπ（0）和π（1）在状态过程（下面定义的财富过程，Y，hT和时间变量t）方面都是明确的后面的相似性that is，π（0）和π（1）在（Xt，Y，Ht，t）方面是明确的，然而，导致π（0）的非平凡实现，因为需要跟踪快速变化的Y，Ht。我们通过建议一种次优的实用（或懒惰）策略来解决这个问题，这种策略在价值过程中牺牲了一些准确性。对于一般效用函数，利用ε鞅分解方法和具有常数系数的默顿问题的风险容忍函数的性质，我们得到了与给定策略对应的投资组合值的近似值。正如Fouke和Hu【2017a】在马尔可夫案例中所述，我们证明了该策略在一类特定的可容许策略中是渐近最优的。本文的背景是以赫斯特指数H为特征的长程相关∈ (, 1). 至于Garnier和Solna【2016】中的线性定价表m，我们的结果仅适用于∈ (, 1).

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nandehutu2022

2022-5-31 22:26:17

奇异摄动as→ 0不与限制H通勤↓（见第3.7节）。因此，Fouque et al.（2015）在马尔科夫案例中的结果无法通过服用H↓. 酶H∈ （0，）对应于粗糙分形随机波动率和短期相关性，本文没有讨论。令人惊讶的是，当H<1/2时，价值过程的一阶修正似乎是有序的√和Y，hts对前导顺序和更正都不可见。这些发现将在另一篇准备中发表（Fouke和Hu【2018】）。事实上，当H<时，附录A中关键引理的证明就失效了，在这种情况下，H<被转换成不同的整数。论文的组织结构。pape r的其余部分组织如下。在第二节中，我们重述了一般随机波动率模型下的鞅失真变换。这源于Zariphopoulou【1999年】的马尔可夫背景，以及Tehranchi【2004年】、Frei和Schweizer【2008年】、Fouque和Hu【2017年b】的非马尔可夫背景。我们还回顾了分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程。在第3节中，我们介绍了由-sca-led-fOU过程建模的快速变化的长程相关随机函数Y。然后，第3.2节和第3.3节分别给出了该模型下价值过程和最优投资组合的渐近结果。直到1的全类可容许策略中前导阶策略π（0）的渐近最优性-讨论了His，并通过数字说明解决了实现困难。我们还将结果与马尔可夫案例进行了比较，并对长期依赖模型的影响进行了评论。第4节讨论了一般效用函数问题，并给出了类似的渐近最优性结果。

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大多数88

2022-5-31 22:26:20

我们在第5.2节“单因素随机环境下的默顿问题”中做出结论性评论，电力利用率t是时间t时基础资产的价格，其收益率和波动率由随机因素Yt驱动，dSt=St[u（Yt）dt+σ（Yt）dWt]。（2.1）这里，Ytis是一个一般的随机过程，适用于与驱动资产价格的布朗运动Wyt相关的布朗运动Wyt所产生的自然过滤比n gTWt，WYt= ρdt，|ρ|<1。（2.2）我们还将FTA定义为两种布朗运动（Wt、WYt）产生的自然过滤。让πt为投资于标的资产统计时间t的资金量，而其余的则为恒定利率r。我们要求πt为Ft-adapt和自我融资。用Xπt表示与策略π相关的财富过程，并且在不丧失一般性的情况下，假设利率r为零，那么Xπt的动力学由：dXπt=πtu（Yt）dt+πtσ（Yt）dWt给出。（2.3）投资者的目标是找到最佳策略，以最大化其对最终财富XπT的预期效用。从数学上讲，这包括确定由vt定义的价值过程vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（2.4）及相应的最优策略π*, 考虑到投资者的效用函数U（·）。U（·）的形式因节而异。具体而言，在本节和第3节的其余部分中，我们将在假设2.1下与电力公司合作，命名为u（x）=x1-γ1- γ、 γ>0，γ6=1，（2.5），而在第4节中，效用函数是满足假设4.1的一般形式。集合Atcontainsall容许的str策略：At：={πis（Ft）-适应：Xπsin（2.3）保持非负s≥ t、给定Ft}，（2.6），零是Xπ（破产）的吸收态。

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2022-5-31 22:26:24

此外，对于power utility案例，我们要求所有π∈ 在，满足以下可积性条件：supt∈[0，T]Eh（XπT）2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1和E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞. （2.7）在Fouke和Hu【2017b】中，研究了当n U（x）为幂型且通过鞅畸变变换表示时的值过程（2.4）。为了方便读者，我们首先简要回顾一下这种表示。然后，作为在特定分数随机环境下工作的准备，我们回顾了分数布朗运动（fBm）和分数l Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程。2.1鞅畸变变换在Tehranchi【2004】中推导出了鞅畸变变换，其效用函数略有不同，Fouque和Hu【2017b】在与本文相同的设置下对其进行了说明。用EP表示DEPDP=exp定义的概率度量(-ZTasdWYs公司-ZTasds），（2.8），其中=-ρ1.- γγλ（Yt），（2.9）有界且Gt自适应。因此，fWYt：=WYt+Rtasds是aeP布朗运动。假设2.1。（i） St的SDE（2.1）具有独特的强溶液，换句话说，St=SeRt（u（Ys）-σ（Ys））ds+Rtσ（Ys）dws所有t∈ [0，T]。（ii）假设（Ys）产生的过滤≤这也是Gt，并且波动率函数σ（·）是内射的。（iii）夏普比λ（·）：=u（·）/σ（·）假设为有界且C（R）。此外，导数λ′和λ′被假定为有界的。（iv）定义P鞅=eEhe1-γ2qγRTλ（Ys）dsGti，（2.10）并写出其表示形式dmt=MtξtdfWYt。（2.11）我们假设EHECξRTξtdti<∞,其中常数cξ由cξ=16（1）给出-γ） ρpqγ表示γ<1，cξ=16（1-γ） ρpqγ-4p（1-γ） γ>1时为γ。参数p在（2.7）中引入，q根据γ定义，ρbyq=γγ+（1- γ)ρ. （2.12）请注意，q是Zariphopoulou【1999年】首次引入的常见“畸变”指数。备注2.2。

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2022-5-31 22:26:26

在上述假设中，根据第（ii）部分，FTI也是（W，Y）产生的过滤。由于σ（·）是一对一的，它也是由St生成的。这一假设很重要，因为在现实中，STI是我们观察到的。在第（三）部分中，当用泰勒展开证明定理3.4和3.5时，需要λ的光滑性；而λ′和λ′的有界性是估计误差项的方便假设。第（iv）部分关于（ξ）t∈[0，T]似乎是一个强有力的假设。然而，在第3节中，我们将看到我们提出的Y，Ht模型是令人满意的。r=0的假设可以视为num'eraire的变化。事实上，以下命题2.3可以扩展到r=r（Yt）的情况，只需稍加修改。命题2.3（鞅畸变变换）。让Stfollow the dynamics（2.1），并假设目标是（2.4）和幂效用函数（2.5）。在假设2.1下，值过程vt由vt=X1给出-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds燃气轮机智商。（2.13）根据（2.8）中引入的toeP计算期望值EE[·]。参数q由（2.12）给出。最优策略π*是π*t型=λ（Yt）γσ（Yt）+ρqξtγσ（Yt）Xt，（2.14），其中ξ由（2.11）中的鞅表示定理给出。证据详见【Fouque和Hu，2017b，命题2.2】。备注2.4。

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2022-5-31 22:26:29

变量形式（2.13）的分离，即当前财富U（Xt）乘以与随机因子Yt相关的过程的效用，是由Zariphopoulou（1999）首次提出的马尔可夫案例推动的。当Ytis Markovian时，Zariphopoulou【1999】中的结果通过重写值过程恢复：Vt=U（Xt）heEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds年初至今iq=U（Xt）v（Yt）q，并将费曼-卡茨公式应用于v（·）。当夏普比退化为λ（y）=λ时，价值过程和最优策略被简化为tovt=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t），π*t=λγσ（Yt）Xt。当两个布朗运动WT和Wytar不相关ρ=0时，问题已经是“线性”的，因为q=1。在这种情况下，价值过程和最优策略简化为：Vt=X1-γt1- γEhe1-γ2qγRTtλ（Ys）dsGti，π*t=λ（Yt）γσ（Yt）Xt。命题2.3中的结果也可以推广到对数和/或多重集的情况，更多讨论请参见Fouque和Hu【2017b】。2.2分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程标准分数布朗运动（fBm）是一个连续的高斯过程W（H）tt型∈rw平均值为零，c卵巢结构：EhW（H）tW（H）si=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H,其中σHis为正常数σH=Γ（2H+1）sin（πH），（2.15）和H∈ （0，1）是赫斯特指数。根据Mandelbrot和Van Ness[1968]，W（H）t可以用以下移动平均积分表示：W（H）t=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWYs，（2.16），其中（WYt）t∈R+是与（2.2）和（WYt）t中给出的WTA相关的标准布朗运动∈R-:= （B）-t） t型∈R-是另一个独立于（WYt）t的布朗运动∈R+和（Wt）。然后，我们介绍了平稳分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程ss asYHt：=Zt-∞e-a（t-s） dW（H）s（2.17），这是由fBm驱动的朗之万方程的唯一（分布中）稳定解（seeCheridito et al。

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2022-5-31 22:26:32

[2003]）dYHt=-aYHtdt+dW（H）t，（2.18），其中a>0是严格的正参数。它具有零均值和（co）方差结构：σou：=EhYHt公司i=a-2HΓ（2H+1）σH，（2.19）EYHtYHt+s= σou2 sin（πH）πZ∞cos（asx）x1-2H1+xdx：=σouCY（s）。（2.20）通过W（H）t的移动平均表示法（2.16），固定解（2.17）表示为：YHt=Zt-∞K（t- s） dWYs，（2.21）其中WYt公司t型∈Ris——R上的标准布朗运动，如方程式（2.16）所述。非负性K取K（t）=Γ（H+）的形式tH公司-- aZt（t- s） H类-e-asds, （2.22）andR∞K（u）du=σou。对于K（t）的渐近性质，当t<< 1和t>> 1，我们参考【Garnier和Solna，20 17，第2.2节】。当∈（0，），以及当H∈ (, 1). 在第3节中，我们将主要关注H>的情况，如引言中所述。具体来说，我们将研究默顿问题（2.4），当它遵循（2.17）的重新缩放版本时，它是变化的。3快速变化分数随机环境的应用在本节中，我们首先介绍了由Y，Ht表示的-标度平稳fOU过程，其中我们提到了几个性质，证明延迟到附录中。然后，我们研究了这种随机因子Y，Ht下的Merton问题（2.4）。具体而言，我们将给出V表示的值过程和相应的最优策略π的近似值*. 这是通过应用命题n 2.3 w ithYt=Y，Ht来实现的，然后根据第3.1节中提到的性质展开表达式（3.11）。Wealso还表明，仅“领先顺序”策略就可以产生给定的Vt近似值。然而，实现需要使用高频数据跟踪快速因子Y，这不是一个容易的任务。

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2022-5-31 22:26:35

为了解决这个问题，我们提出了一种实用的策略，该策略不需要用数字说明来跟踪Y，Ht。最后，我们将其结果与马尔可夫方法进行了比较，并指出了考虑长期依赖性的影响。3.1快速均值回复fOU过程-标度分数Ornstein-Uhlenbeck过程Y，Ht定义为Y，Ht：=-HZt公司-∞e-a（t-s） dW（H）s（3.1），其中<< 1是s小参数，H∈ (, 1). 在以下移动平均积分表示式y中，Ht=Zt-∞K（t- s）德怀斯，K（t）=√Kt, （3.2）WYis是驱动过程Y的布朗运动，Htas在（2.21）中，并且与Wtas在（2.2）中相关。这是一个零均值、平稳的高斯过程，方差为σOU，方差为c，方差为H，H，T+si=σouCYs= σou2 sin（πH）πZ∞cos公司asxx1-2H1+xdx，（3.3），根据需要显示Y、Htis的自然比例。此外，相关函数CY（s）在本质上是不可积的，长程e相关性表现为：CY（s）=（as）2H-2Γ（2H- 1） +o（s2H-2），s>> 夏普比率过程sλ（Y，Ht）继承了这种长期相关性，即Cov（λ（Y，Ht），λ（Y，Ht+s））=V ar（λ（Y，Ht））Cλ（s）和Cλ（s）~ O（s2H-2），对于s>> 这源于【Garnier和Solna，2016，引理3.1】中对证明的直接修改。现在，我们确认假设2.1（iv）满足Y，Ht。引理3.1。在假设2.1（i）-（iii）下，（3.1）中定义的快速均值回复平稳分数Ornstein-Uhlenbeckprocess Y满足假设2.1（iv）。证据这是Fouque和Hu（2017b）中引理3.1的一个略有不同的版本。使用A（T）的属性≡RtK（s）ds为订单1-H、基本上相同的证据适用。

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能者818

2022-5-31 22:26:39

因此，我们省略了detailshere。现在，我们引入括号符号h·i，用于对fou过程的不变分布进行平均：hgi：=ZRg（z）√2πσoue-z2σoudz=ZRg（σouz）p（z）dz，其中p（z）是标准正态分布的密度，以及λ和λ，其将在pa的其余部分中使用：λ：=phλi，eλ：=hλi。（3.4）因此，我们定义了几个重要的量，它们是时间平均值和s平均值之间的差异：it：=Ztλ（Y，Hs）-λds，（3.5）ηt：=Ztλ（Y，Hs）-eλds，（3.6）κt：=Ztλ（Y，Hs）λ′（Y，Hs）- hλλ′ids。（3.7）附录A证明，根据Y，Ht的遍历性，这些差异很小，且为1级-H、其中还说明了关于Y，Ht的更多适当关系和时间。设Ck为函数λ（·）的“概率论者”埃尔米特系数：Ck：=ZRHk（z）λ（σouz）p（z）dz，Hk（z）=(-1）千盎司/2dke-z/2dzk。埃尔米特多项式与过程有着天然的联系。现在，我们陈述了emma a.2中要求的关于λ（·）的进一步假设。假设3.2。存在α>4，因此∞Xk=0αkCkk！<∞,其中，Ck是上述埃尔米特系数。备注3.3。Garnier和Solna【2016】中给出的假设3.2的有效条件如下所示。如果λ（x）的形式为λ（x）=Zx/σou-∞f（y）dy，其中函数的傅里叶变换满足^f（ν）≤ C扩展(-ν）对于一些C>0的情况，则消耗3.2已满。证明依赖于Parseval恒等式，我们参考【Garnier and Solna，2016，Lemma A.2】了解详细信息。在本节的其余部分中，我们研究了默顿问题（2.4），当随机环境由Y建模，H限制为H>时，以及当投资者的效用为幂型时。

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2022-5-31 22:26:42

注意，在这种情况下（事实上，只要H 6=），Y，Ht既不是半鞅也不是马尔可夫过程，因此通常的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程不可用。然而，我们有可以直接应用的命题2.3，这将是我们推导近似值的起点。3.2值过程的一阶近似值让St遵循动态St=Sthu（Y，Ht）dt+σ（Y，Ht）dWti，（3.8），其中Y，Ht是上面用H>描述的由sca引导的平稳过程（3.1）。然后，财富过程XπtbecomesdXπt=πtu（Y，Ht）dt+πtσ（Y，Ht）dWt。（3.9）用Vt表示当前设置下时间t的值过程：Vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（3.10），其中上标强调了Y，Ht对的依赖，可容许集的符号也相应地从Atto A更改。直接应用命题2.3，在Yt=Y的情况下，Ht给出了Vt的以下表达式：Vt=X1-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）ds燃气轮机智商。（3.11）定理3.4。在small的情况下，根据假设2.1和3.2，对于固定的∈ [0，T），Vttakes of mvT=QT（Xt）+o（1-H），（3.12），其中qt（x）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（T-t） “1+1- γγφt+1-Hρeλ1.- γγhλλ′i（T- t） H+aΓ（H+）#。（3.13）此处φ是定义为φt=E“ZTt”的随机过程λ（Y，Hs）-λds公司Gt#，（3.14），其顺序为1-已在引理A.1（ii）中证明。符号o（1-H）表示阶数高于1的Ft自适应随机变量-Hin L.证明。

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2022-5-31 22:26:45

为了得到（3.12）-（3.13），我们首先展开ψt：=eEe1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λds公司燃气轮机, （3.15）然后，我们将泰勒公式应用于函数xq。利用Itis“small”这一事实和exin x的泰勒展开式，可以推断ψt=eE“1+1- γ2qγZTtλ（Y，Hs）-λds+R[t，t]Gt#=1+1- γqγeE“ZTtλ（Y，Hs）-λds公司Gt#+eER[t，t]| Gt, （3.16）式中，R[t，t]=eχh1-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λχ为有界拉格朗日余数的DSI。因此，特尔梅R[t，t]| Gt订单号为2-2 Hin-Lby引理A.2（i）。定义p鞅ψtbyeψt=eE“ZTG（Y，Hs）dsGt#，G（y）=（λ（y）-λ).泰勒展开G（Y，Hs）于Y=eY，Hs：=Rs-∞K（s）- u） dfWYu、Y、Hs-eY，Hs~ O（1-H）（见引理A.3（i））yieldseψt=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#+eE“ZTG”（eY，Hs）Y，Hs-eY，Hsds公司Gt#+eE“ZTG′（χs）Y，Hs-eY，Hsds公司Gt#=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#+eE“ZTG′（eY，Hs）Zsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#+O（2-2H）：=eψ，1t+eψ，2t+O（2-2H）。现在仍然需要找到ψ，jt，j=1，2，直到或de r1的近似值-H、为此，我们需要L:R（1）t：=1中的以下估计-HZt（T- u） H类-λ（Y，Hu）-eλ杜邦~ o（1-H），（3.17）R（2）t：=eE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′iZsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du ds燃气轮机#~ o（1-H），（3.18）R（3）t：=eE“ZTZsλ（Y，Hu）-eλK（s）- u） du ds燃气轮机#~ o（1-H）。（3.19）证明是技术性的和冗长的，因此推迟到引理A.4。为了压缩符号，我们定义ψt=E“ZTλ（Y，Hs）-λds公司Gt#，（3.20）θt：=ZTtEG′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds，（3.21）eθt：=ZTteE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s）- t） ds，（3.22），其中ψ是满足dψt=θtdWYt的P-鞅（详见引理a.1（i））。

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能者818

2022-5-31 22:26:49

类似地，我们还讨论了ψt=eθtdfWYt，以及引理A.3（ii）中讨论的nθt和eθfwyt之间的差异。接下来，术语ψ，1和ψ，2计算如下：eψ，1t=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#=eE“ZTG（eY，Hs）dsG#+ZteθudfWYu（eY，Hs | GD=Y，Hs | G）=E“ZTG（Y，Hs）dsG#+ZtθudWYu+Zteθu- θudWYu公司-中兴通讯θuρ1.- γγλ（Y，Hu）du（ψtandeθu的表达式- θu~ O（2-2H））=ψt- ρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）du+o（1-H）（θu=1-Hθu+eθu）=ψt- 1-Hρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）du- ρ1.- γγ中兴通讯θuλ（Y，Hu）du+o（1-H）（eθu~ o（1-H））=ψt- 1-Hρ1.- γγeλZtθudu- 1-Hρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）-eλdu+o（1-H）（θu的定义和R（1）t的估计）=ψt- 1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）TH公司+- （T- t） H类++ o（1-H），andeψ，2t=eE“ZTG′（eY，Hs）Zsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#=hλλ′ieE“ZTZsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#+R（2）t=hλλ′iρ1.- γγeλZTZsK（s- u） du ds+R（2）t+R（3）t（R（2）和R（3）t的估计）=1-Hhλλ′iρ1.- γγeλTH+aΓ（H）++o（1-H）。所有的推理都在括号中逐行提到，证明可以在引理A.1（i）、A.3和A.4中找到。将eψ，1和eψ，2的展开式组合在一起，得到eψt=ψt+1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）（T- t） H++o（1-H）。（3.23）从（3.23）的两侧减去rtg（Y，Hu）du，再加上（3.16）、（3.14）和（3.20），得出ψt=1+1- γqγφt+1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）（T- t） H类++ o（1-H）。（3.24）泰勒展开xqp产生期望的结果vt=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t）（ψt）q=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t）1 +1 - γγφt+1-Hρ1.- γγeλhλ′iaΓ（h+）（T- t） H类++ o（1-H）。观察前导项有两个修正：一个随机分量φt，一个确定性函数t，xt和相对于Y，Ht的空间平均值，两者都是1阶-H、 3.3最优策略的一阶展开我们现在转向最优投资组合π*这导致了Vt。

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2022-5-31 22:26:52

在分数随机环境下，Ht，命题2.3中最优策略（2.14）的形式变为π*t=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+ρqξtγσ（Y，Ht）#Xt。（3.25）由于存在由鞅表示定理（2.11）给出的ξt，因此它不是完全明确的。在small的区域中，我们使用上面导出的（3.24）来获得π的以下展开式*t、定理3.5。在假设2.1和3.2下，我们得到最佳策略π的以下近似值*t： π*t=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+1-Hρ（1- γ） γσ（Y，Ht）hλλ′iaΓ（h+）（T- t） H类-#Xt+o（1-H）（3.26）：=π（0）t+1-Hπ（1）t+o（1-H）。证据这是通过从定义（2.11）推导ξt的展开式来实现的。通过比较（2.10）到（3.15），我们重写了关于ψtb的Mt，Mt=ψte1-γ2qγRtλ（Y，Hs）dse1-γ2qγλ（T-t），然后使用ψt的近似值（3.24）。因为，通过定义，Mtis aeP鞅，在下面的计算中，当It^o的公式应用于t时，我们将只集中在扩散部分。更准确地说，漂移项不会被显式计算，而是被“dt项”所取代，换句话说，只要它们不影响扩散部分，计算就被忽略：dMt=Mt（ψt）-1dψt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγdφt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγdψt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγθtdWYt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγθtdfWYt。在上述推导中，我们先后使用了（3.24）、dψt=dφt+dt项和dψt=θtdWYt。然后简单地确定ξ，并推导出近似值ξt=（ψt）-11- γqγθt=1-H1- γqγθt+o（1-H） =1-H1- γqγhλ′iaΓ（h+）（T- t） H类-+ o（1-H）使用θt=1-Hθt+eθt（详见引理A.1（i））。将上述表达式插入（3.25）将得到所需的结果（3.26）。请注意，在上述近似中，根据状态过程的反馈形式，领先阶策略π（0）和一阶校正项π（1）都是重要的。

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2022-5-31 22:26:56

因此，如果一个人决定跟踪快速变化的过程Y，ht以实现π（0）t，那么当π（1）也包括在内时，就不需要进一步的计算成本来合并跨期套期保值。另一方面，追踪Y，HTI并不容易，需要复杂的计量经济技术。第3.5节将对此问题进行说明。在此之前，我们讨论了π（0）的str策略有多好。3.4π（0）的渐近最优性在这个子部分中，我们研究了V与按照（3.26）中给出的零阶策略获得的值函数之间的关系：π（0）t=λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）Xt。设Xπ（0）t是与π（0）t相关的财富过程：dXπ（0）t=u（Y，Ht）π（0）tdt+σ（Y，Ht）π（0）tdWt=λ（Y，Ht）γXπ（0）tdt+λ（Y，Ht）γXπ（0）tdWt，并用Vπ（0）表示，·相应的值proce ssVπ（0），t：=eheheheh U型Xπ（0）T那么，Fti的结果如下：推论3.6。根据假设2.1和3.2，对于∈ 观察值Xt，Vπ（0），tis近似于Vπ（0），T=QT（Xt）+o（1-H），（3.27），其中Q在（3.13）中给出。证据在第4节命题4.3中，这种近似结果是在更一般的设置下给出的，即U（·）是包含功率r效用情形（2.5）的一般形式。因此，这里的证明是一个简单的应用，它采用了符号v（0），v（1）。。。在命题4.3到电力效用的情况下，和（3.27）很容易验证。现在，将定理3.4与推论3.6相结合，得出Vπ（0），t- Vtis of order o（1-H），这表明π（0）talready生成前导阶项加上两个1阶修正-Hgiven by（3.13）。因此，我们声明：π（0）在所有容许策略Atup to order1内是渐近最优的-H、 3.5实际策略上述分析依赖于Y、Ht可观察或可跟踪的假设。

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2022-5-31 22:26:59

换句话说，为了实现主项π（0）t，需要跟踪任何t的快速变化因子Y，ht∈ [0，T]。这通常不切实际，长期投资者不会解决这一问题，因为这通常需要高频数据并处理微观结构问题，如Fouque et al.（2015）所述。相反，他们更愿意寻找一种不依赖于因子Y，Ht的实用策略。为此，我们提出了这样一种策略，并根据效用对其损失进行量化。在small制度下，与当前财富水平成比例的最优Y独立策略是：(R)π（0）t=uγσXt，（3.28），其中系数为u=hui，σ=σ.这是通过将ansatz'π（0）t=cXt组合起来，然后通过优化相应问题值的引导顺序项来确定c来实现的。在自我融资的情况下，安萨兹之后的财富过程（3.9）变为：X'π（0）t=XeRt（cu（Y，Hs）-cσ（Y，Hs））dt+Rtcσ（Y，Hs）dWs，问题的值计算为sV'π（0），t=E[U（X'π（0）t）| Ft]=X1-γt1- γEe（1-γ） RTt（cu（Y，Hs）-cσ（Y，Hs））dt+（1-γ） RTtcσ（Y，Hs）dWs英尺=X1-γt1- γbEeRTt公司（1）-γ） cu（Y，Hs）-γ-γcσ（Y，Hs）dt公司燃气轮机,其中Wt-（1）-γ） cRtσ（Y，Hs）ds是标准的布朗运动。

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2022-5-31 22:27:03

利用Y，Ht:ZTt的遍历性u（Y，Hs）-uds公司~ o（1）和ZTTσ（Y，Hs）-σds公司~ o（1），泰勒展开函数exat x=0（与定理m 3.4中的推导类似），我们可以推断：V'π（0），t=X1-γt1- γe[c（1-γ)u-γ-γcσ]（T-t） bE公司eRTt公司（1）-γ） c（u（Y，Hs）-u）-γ-γc（σ（Y，Hs）-σ）dt公司燃气轮机=X1-γt1- γe[c（1-γ)u-γ-γcσ]（T-t） +o（1）。引导顺序优化为c*=uγσ，这导致（3.28），并给出最佳前导次序termX1-γt1- γe1-γ2γuσ（T-t）。这可以解释为具有锐e比u/σ的最佳值。通过将上述术语与（3.12）-（3.1）中Vtgiven的前导项或后导项进行比较，可以量化使用π（0）的效用损失：X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t），并由Cauchy-Schwarz间隙λ测量=uσ≥uhσi≥uσ，如Fouque等人【2015年】中的马尔可夫设置。注tha tσ=σ是Garnier和Solna【2016】在长期记忆情况下观察到的期权定价线性问题中产生的平均值。3.6数值说明下一步，我们数值说明π（0）的渐近最优性和π（0）t的次最优性，即，我们使用蒙特卡罗模拟计算Vt、Vπ（0）、t和Vπ（0），tat time t=0，并比较它们的差异。使用方程（3.11）并将测量值从EP更改为P，可以推断SV=X1-γ1- γhEe（1-γ2γ）RTλ（Y，Hs）ds+ρ（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWYsG智商。求解Xπ（0）的SDE，并将溶液插入Vπ（0），tbringVπ（0），=X1的定义中-γ1- γEe-2γ+3γ-12γRTλ（Y，Hs）ds+（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWsF.类似地，遵循Y独立策略‘∏（0）的值过程由v‘∏（0）给出，=X1-γ1- γEe（1-γγ）uσRTu（Y，Hs）ds-1.-γ2γuσRTσ（Y，Hs）ds+（1-γγ）uσRTσ（Y，Hs）dWsF.模型参数选择为：T=1，H=0.6，a=1，γ=0.4，ρ=-0.5，u（y）=0.1×λ（y）0.1+λ（y），λ（y）=Zy/σou-∞p（z/2）dz，我们记得p（z）是N（0，1）-密度。

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能者818

2022-5-31 22:27:06

请注意，上述λ（y）的选择满足假设2.1（i）和3.2（见[Garnie r and Solna，20 16，引理A.2]），λ=phλi=0.7。还请注意，对于u（y）的选择，u（y）和σ（y）=u（y）/λ（y）对于y，H的不变量分布是可重积的，因此u和σ是有限的，并且等于。第087页。0176。由于自然的非马尔可夫结构，我们首先确定了“历史”路径-Mand 0，然后通过500000条路径的平均值来评估每个条件期望。快速变化因子（Y，Ht）t∈[0，T]（3.2）使用Euler格式生成，网格大小为t=10-3，M=（T/t） 1.5（参见Bardet等人【2003年】）。表1中给出的数值结果仅用于说明，因为我们仅计算了由#1、#2和#3表示的少数“omegas”的值。表1：电力公司情况下的值处理Vvs.Vπ（0），Vvs.V'π（0），#1#2#3V1.5772 1.5644 1.3016=1 V- Vπ（0），0.0018 0.0019 0.0024V- V'π（0），0.0689 0.0643 0.0820V1.5567 1.4965 1.3183=0.5 V- Vπ（0），0.0025 0.0028 0.0028V- V'π（0），0.0760 0.0593 0.0999V1.4514 1.4417 1.3976=0.1 V- Vπ（0），0.0026 0.0026 0.0025V- V'π（0），0.0761 0.0756 0.0823V1.4376 1.4375 1.4105=0.05 V- Vπ（0），0.0022 0.0022 0.0021V- V'π（0），0.0750 0.0762 0.0806V1.4417 1.4416 1.4276=0.01 V- Vπ（0），0.0015 0.0015 0.0015V- V'π（0），0.0724 0.0727 0.0748正如预期的那样，策略π（0）t在相对差异较小的情况下表现良好（V-Vπ（0），）/V约为0.1%。更令人惊讶的是，即使的值不是很小，它也能很好地形成rforms。

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2022-5-31 22:27:09

同样，正如预期的那样，次优的“懒惰”策略π（0）tunderperformsπ（0）tb，但它的表现相对较好，因为（V- V′π（0），）/V约为5%。3.7与马尔可夫案例的比较在马尔可夫案例中，对应于Y、Ht（3.1）建模中的H=值函数的近似值和最优投资组合已在Fouque等人【2015年】中推导出来。它们由：V（t，Xt）=X1给出-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1-√ρ1.- γγhλθ′i（T- t） #+O（）（3.29）π*（t，Xt，Y，Ht）=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+√ρ(1 - γ） γσ（Y，Ht）θ′（Y，Ht）#Xt+O（）（3.30），其中θ（Y）解泊松方程θ′（Y）- ayθ′（y）=λ（y）-λ. 这些可以看作是限制→0英里↓我们当前设置的。然而，这些限制并不适用于通勤。例如，如果我们考虑π的小展开式*从（3.26）中，形式上设H=，我们得到“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+√ρ(1 - γ） γσ（Y，Ht）hλλ′ia#Xt+o(√），（3.31），对应于极限limH的其他顺序↓lim→0.两个展开式（3.3 0）和（3.31）不同，尤其是它们以不同的方式跟踪一阶修正。关于值过程Vt，首先观察到路径依赖分量φtdisappearsin（3.13）在极限H内↓. 要锻炼身体，林↓lim→0H-1φt=0，（3.32），引理A.1（ii）。这是因为H-1φT在分布上收敛到N（0，σφ（T- t） 2H），其中σφ由σφ=σouhλ′i给出Γ（2H+1）sin（πH）-2HΓ（H+）.然后，通过设置H=inσφ获得权利要求（3.32）。现在，我们得出结论，当取形式极限H时，Vtony表现出反馈型校正↓in（3.13）：X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1+√ρ1.- γγeλhλλ′ia（T- t） #+o(√）。然而，一阶修正通常与（3.29）中的不同。我们注意到，虽然这两组扩展（H=vs.H∈ （，1））形式相同，系数不相同。

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2022-5-31 22:27:12

这是因为我们在定理3.4和3.5中的推导只对h有效∈ （，1），且奇异摄动在H=。因此，极限的阶数H↓和→ 0是不可互换的，这会导致不同的扩展结果。最后，请注意，在马尔可夫情形H=，对V的一阶修正是“确定性的”，而在情形H>中，同样阶数的随机修正φtof也出现，这是在随机环境Y，Ht中具有长期依赖性的结果。4一般效用和分数随机环境在本节中，我们使用一种辛方法分析非线性资产配置问题，其中效用函数U（x）是一般的，当（3.8）中定义并在第3.1节中讨论的快速变化分数随机因子Y驱动的风险资产的对数回归u和波动率σ时。对于波动率由Y、Ht建模时的线性定价问题，Garnier和Solna【2016】使用模拟方法得出了近似结果。这里，与电力公司的情况不同，价值过程的表示（2.13）和（2.14）以及相应的最优策略不可用，因此无法直接进行渐近展开。然而，我们能够遵循【Fouque and Hu，2017a，第4节】和【Fouque and Hu，2017b，第4节】中提出的理念，部分解决这一公共关系问题。我们首先研究了（4.8）中引入的称为π（0）的特定策略之后的价值过程，然后表明π（0）是达到顺序1的最佳策略-Hamong可容许策略At，eAt[eπ，eπ，α]：=π=eπ+αeπ：π∈ At，α>0，0<≤ 1., （4.1）第4.2节给出了斜纹布的详细定义。

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2022-5-31 22:27:15

注意，整个At类中π（0）的完全最优性是一个开放的pr问题。在本节的其余部分，我们简要地查看了经典的默顿表m，其中u和σ是（2.1）中的常数。如果效用U（x）是C（0），则用M（t，x；λ）表示相应的值函数，∞),严格递增、严格凹，并满足Inada和渐近弹性条件（参见Kramkov和Schachermayer【2003】中的deta ils）U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，那么，默顿值函数M（t，x；λ）严格递增，在财富变量x中严格凹，在时间变量t中递减。它是C1,2（[0，t]×R+）并解HJB方程mt+supπσπMxx+uπMx= Mt公司-λMxMxx=0，M（T，x；λ）=U（x），（4.2），其中λ=u/σ是常数夏普比，在（4.2）中作为参数出现。根据默顿值函数M（t，x；λ），我们可以通过（t，x；λ）定义风险容限函数：=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.3）很明显，由于M（t，x；λ）的正则性、凹性和单调性，R（t，x；λ）是连续的且具有三元正性。K¨allblad和Zariphopoulo u【2014】以及Fouque和Hu【2017a】在一般效用和附加假设下，还讨论了关于R（t，x；λ）的进一步性质。其中一些在推导中反复使用，并将在证明过程中提及。4.1给定策略的投资组合绩效用v（0）（t，x）表示“平均”夏普比λv（0）（t，x）下的价值函数：=M（t，x；λ），（4.4），λ在（3.4）中给出。使用Fouque等人[201 5]的符号：Dk：=R（t，x；λ）kkx，k=1，2，···，（4.5）Lt，x（λ）：=t+λD+λD，（4.6）和默顿偏微分方程（4.2），v（0）也满足lt，x（λ）v（0）（t，x）=0。

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大多数88

2022-5-31 22:27:18

（4.7）策略π（0）定义为π（0）（t，x，y）：=-λ（y）σ（y）v（0）x（t，x）v（0）xx（t，x）=λ（y）σ（y）R（t，x；λ），（4.8），我们的目标是计算以下数量：vπ（0），t：=EhU（xπ（0）t）| Fti，（4.9），其中xπ（0）是反馈形式策略π（0）dXπ（0）t=u（y，Ht）π（0）（t，xπ（0）之后的财富过程t，y，Ht）dt+σ（y，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，y，Ht）dWt（4.10）=λ（y，Ht）R（t，xπ（0）t；λ） dt+λ（Y，Ht）R（t，Xπ（0）t；λ）载重吨。用于研究Vπ（0）的技术被称为“ε-马丁阿尔分解”，该技术最初在Fouque等人【2000】中引入，以解决线性定价问题，后来在Fouque等人【2001】、Garnier a and Solna【20 17，2016】、Fouque a and Hu【2017b】中发展。我们的想法是将ansatz Qπ（0），tforVπ（0），以鞅的形式加上一些小的（非马尔代尔部分）的右端条件。那么这个ansatz确实是Vπ（0）的近似值，t的误差是非鞅部分的阶数。详细的讨论可以在我们刚才提到的参考文献中找到。为了证明ansatz Qπ（0），确实是一个鞅加上期望序的非鞅部分，我们进一步要求对效用函数使用假设4.1，对值函数v（0）（t，x）使用假设4.2。基本上，我们在与Fouque和Hu【2017a】相同的U（·）设置下工作，为了方便起见，我们在这里重申了这些要求。关于一般效用函数的详细讨论见第2.3节。假设4.1。在本节中，我们对效用U（x）进行以下假设：（i）U（x）是C（0，∞), 严格递增、严格凹且满足以下条件（Inadaand渐近弹性）：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（4.11）（ii）U（0+）为e。在不丧失一般性的情况下，我们假设U（0+）=0。（iii）用R（x）表示风险承受能力，R（x）：=-U′（x）U′（x）。

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2022-5-31 22:27:21

（4.12）假设R（0）=0，R（x）严格递增，R′（x）<∞ 在[0，∞), 存在K∈ R+，因此对于x≥ 0和2≤ 我≤ 4.（i） xRi（x）≤ K、（4.13）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1）（y），并假设对于某些正α，κ，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α. （4.14）注意，上述第（ii）项排除了电力公用设施U（x）=x1的情况-γ1-γ>1时为γ。然而，本节中的所有结果仍然适用于γ>1的情况，在证明中略有修改。下面是对v（0）（t，x）和xπ（0）t共同需要的附加假设，这也被认为是对U（·）的hiddenassumption。假设4.2。过程v（0）（t，Xπ（0）t）位于肺的in和in t∈ [0，T]，即支持∈[0，T]Ev（0）（t，Xπ（0）t）≤ C（4.15），其中CI独立于。现在我们陈述以下命题，给出Qπ（0），t.proposition 4.3。根据假设2.1（i）-（iii）、3.2、4.1和4.2，对于固定t∈ [0，T），（4.9）中定义的Ft可测值过程Vπ（0），δtde用Qπ（0）近似，取阶数-H： Vπ（0），t=Qπ（0），t（Xπ（0）t）+o（1-H），（4.16）其中Qπ（0），t（x）由以下公式得出：Qπ（0），t（x）=v（0）（t，x）+Dv（0）（t，x）φt+1-Hρeλv（1）（t，x）。（4.17）函数v（0）在（4.4）中定义，满足Lt，x（λ）v（0）（t，x）=0，dλ分别来自（4.5）和（3.4），（φt）t∈[0，T]是1阶的Ft可测过程-Hgiven in（3.14）和v（1）（t，x）定义为v（1）（t，x）=Dv（0）（t，x）Ct，t，Ct，t=hλ′iaΓ（h+）（t- t） H+。（4.18）证明。基于ε鞅分解，证明了Qπ（0），tca可以分解为Mt+Rt，其中M是真鞅，Rt是o阶（1-H）。

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2022-5-31 22:27:24

在续集中，我们将重点讨论确定Qπ（0），t的推导，这涉及到找到1阶的校正-Hso认为R被推到了一个更高的阶，而M和Rtar的证明被推迟到附录a。将其应用于v（0）（t，Xπ（0）t）的公式会带来DV（0）（t，Xπ（0）t）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（0）（t，Xπ（0）t+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0 X（t，Xπ（0）t）dWt=λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t，（4.19），其中M（1）是由dM（1）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0）X（t，Xπ（0）t）dWt，（4.20）和关系式（4.7）和Dv（0）（t，X）=-已使用Dv（0）（t，x）。回顾（3.14）和（3.20）中分别定义的φ和ψtde，然后，我们得到了dψt-dφt=λ（Y，Ht）-λdt，且（4.19）中的第一项变为λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt=Dv（0）（t，Xπ（0）t）（dψt- dt）。进一步简化Dv（0）（t，Xπ（0）t）dφt，这对应于找到v（0）（t，Xπ（0）t）atorder1的校正器-H、我们计算Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt的总微分（v（0）（t，Xπ（0）t）的参数将在下面系统地省略）：dDv（0）φt= Dv（0）dφt+φtLt，x（λ（Y，Ht））Dv（0）dt+φtσ（Y，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）dWt+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）d hW，φit=Dv（0）dφt+φt（λ（Y，Ht）-λ）（D+2D）Dv（0）dt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）dWt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）dWY，ψ在推导过程中，我们使用了Dand R（t，x；λ）（参见（4.5）和（4.3）），和lt，x（λ）Dv（0）=DLt，x（λ）v（0）=0，和d hW，φit=ρd的定义WY，ψt、引理A.1（i）：d中的结果WY，ψt=θtdt=1-Hθt+eθtdt，以及上述衍生产品Dv（0）φt= -λ（Y，Ht）-λDv（0）dt+φt（λ（Y，Ht）-λ）（D+2D）Dv（0）dt+1-Hρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）eθtdt+dM（2）t，（4.21）和dM（2）t=Dv（0）（t，Xπ（0）t）dψt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t）dWt。（4.22）术语1-Hρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt通过添加项1来处理-Hρeλv（1）到Qπ（0），t。

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2022-5-31 22:27:27

通过使用关系θt=-tCt，T，一个hasdv（1）（T，Xπ（0）T）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（1）（T，Xπ（0）T）dt+σ（Y，Ht）π（0）（T，Xπ（0）T，Y，Ht）v（1）X（T，Xπ（0）T）dWt=（λ（Y，Ht）-λ）（D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt-Dv（0）（t，Xπ（0）t）θtdt+dM（3）t，（4.23），其中M（3）是由dM（3）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（1）X（t，Xπ（0）t）dWt定义的市场。（4.24）组合方程（4.19）、（4.21）和（4.23）yieldsdQπ（0），t（Xπ（0）t）=dv（0）（t，Xπ（0）t）+Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt+1-Hρeλv（1）（t，Xπ（0）t）= φt（λ（Y，Ht）-λ）（D+2D）Dv（0）dt+1-Hρλ（Y，Ht）-eλDv（0）θtdt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）eθtdt+1-Hρeλ（λ（Y，Ht）-λ）（D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t+dM（2）t+1-HρeλdM（3）t。用R（j）t，t，j=1，2，3，4表示上述表达式中的前四项nR（1）t，t：=ZTtφs（λ（Y，Hs）-λ）（D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds，（4.25）R（2）t，t：=ZTt1-Hρλ（Y，Hs）-eλDv（0）（s，Xπ（0）s）θsds，（4.26）R（3）t，t：=ZTtρλ（Y，Hs）Dv（0）（s，Xπ（0）s）eθsds，（4.27）R（4）t，t：=ZTt1-Hρeλ（λ（Y，Hs）-λ）（D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）ds，（4.28），引理A.6证明了它们是o（1-H） L中的术语：lim→0H-1E级R（j）t，t= 0, j=1、2、3、4。

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