对于固定的选择（eπ，eπ，α>0），我们要求：（i）策略{eπ+αeπ}的整个家族（in）包含在at中；（ii）过程v（0）（t，Xπt）位于肺的和t中∈ [0，T]，即支持∈[0，T]Ev（0）（t，Xπt）≤ C（4.32），其中，顺式独立于，Xπt跟随（4.31），π=eπ+αeπ。定理4.5。在假设2.1（i）-（iii）、3.2、4.1、4.2、4.4和B.1下，对于任何贸易策略家族【eπ、eπ、α】，土地满意度存在以下限制l := lim→0Vπ，t- Vπ（0），t1-H≤ 0，在L中，（4.33），其中Vπ（0），和Vπ，分别在（4.9）和（4.30）中定义。也就是说，（4.8）给出的生成Vπ（0）的策略π（0），t对称地优于任何生成Vπ，t阶的家族-H、 此外，该不等式可根据以下四种情况写成：（i）eπ=π（0），α>（1- H） /2：l = 0和Vπ，t=Vπ（0），t+o（1-H） ；（ii）eπ=π（0），α=（1- H） /2：-∞ < l < 0和Vπ，t=Vπ（0），t+O（1-H） 带O（1-H） <0；（iii）eπ=π（0），α<（1- H） /2：l = -∞ Vπ，t=Vπ（0），t+O（2α），O（2α）<0；（iv）eπ6=π（0）：lim→0Vπ，t<lim→0Vπ（0），t，其中Vπ，和Vπ（0）之间的所有关系，均在Lsense下。备注4.6。为了更好地理解极限（4.33），并表明α的不同值导致Vπ，t展开的精度不同，定理4.5中的结果已分解为四种可能的情况。在我们得到的案件中l = 0，结果意味着策略π（0）与策略族{eπ+αeπ}在1阶一样好-H、 在获得s trict不等式的其他情况下，π（0）优于其他策略，添加“校正”αeπ（即使eπ=π（0））将无助于增加终端财富的预期效用。相反，它会对数值过程Vπ，tat order2α（分别为一阶）产生负面影响，即使在前导阶π（0）（分别为。

eπ偏离π（0））。因此，总的来说，我们说π（0）在类中是“渐近”最优的，至少在阶数为1-H、 不知道α是什么。证据我们从c ase eπ=π（0）开始。遵循与提案n 4中相同的程序。3，一个推导sdqπ（0），t（Xπt）=d（v（0）（t，Xπ（0）t）+Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt+1-Hρeλv（1）（t，Xπt））=dfMt+dfMt+2αdNt其中dfMt，deRt和dNtare由dfMt=σ（Y，Ht）πtv（0）X（t，Xπ（0）dWt+Dv（0）（t，Xπt）dt+φtσ（Y，Ht）πt给出xDv（0）（t，Xπt）dWt+σ（Y，Ht）πtv（1）X（t，Xπt）dWt，dNt=σ（Y，Ht）eπtv（0）xx（t，Xπt）dt，deRt=φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+αφtu（Y，Ht）eπt(x+R（t，xπt；λ）xx）Dv（0）dt+2αφtσ（Y，Ht）（eπt）xxDv（0）dt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）eθtdt+ασ（Y，Ht）eπtxDv（0）θtdt+1-Hρ（λ（Y，Ht）-eλ）Dv（0）θtdt+1-H+αρeλu（Y，Ht）eπt（v（1）x+R（t，xπt；λ）v（1）xx）dt+1-Hρeλ（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）v（1）dt+1-H+2αρeλσ（Y，Ht）（eπt）v（1）xxdt，在rt的表达式中，省略了v（0）（t，Xπt）和v（1）（t，Xπt）的自变量来压缩旋转。过程N严格地从v（0）（t，x）=M（t，x；λ）的严格凹度o递减。M的真正马丁尼性和ERt~ o（1-H） 由假设B.1保证。因此，我们得出vπ，t=E[Qπ（0），t（Xπt）| Ft]=Qπ（0），t（Xπt）+E[eRt-eRt | Ft]+2αE[Nt- Nt | Ft]=Qπ（0），t（Xπt）+o（1-H） +O（2α）=Vπ（0），t+O（1-H） +O（2α），（4.34），O（2α）<0。这导致了定理中的前三种情况。在eπ6=π（0）的情况下，类似的推导会产生dV（0）（t，Xπt）=dbRt+dcMt+dbNt，其中cmt，bRtandbNtar由dcMt=σ（Y，Ht）πtv（0）X（t，Xπt）dWt，dbNt=σ（Y，Ht）定义eπt- π（0）（t，Xπt，Y，Ht）v（0）xx（t，Xπt）dt，dbRt=（λ（Y，Ht）-λ） Dv（0）dt+αueπtv（0）x+σeπteπtv（0）xx+ασeπtv（0）xxdt以及u（Y，Ht）、σ（Y，Ht）和v（0）（t，Xπt）的自变量在brt的方程中被省略。

与前一种情况一样，bN由于v（0）的凹性而严格减小，假设B.1确保cm是真鞅，brt~ O（（1-H）∧ α). 这给出了定理中的最后一个条件，因为vt=e[v（0）（t，Xπt）| Ft]=v（0）（t，Xπt）+e[bRt-bRt | Ft）+E【bNt】-bNt | Ft）<v（0）（t，Xπt）+O（1-H）∧ α） ，（4.35）和lim→0Vπ（0），δt=v（0）（t，Xπ（0）t）。5结论在本文中，我们研究了单因素分形随机环境下的非线性por-tfolio优化问题。该因子被建模为长程记忆分数Ornstein-Uhlenbeck过程，Hur-st指数为（，1），在以小参数为特征的快速时间尺度上变化。在这种情况下，对于电力公司，价值过程可以明确地表示为鞅失真变换，从而使我们可以将其展开为→ 0并获得第0阶项和第1阶一阶修正的经验公式-H、 同样，我们可以扩展最优策略，并表明其零阶近似在价值过程中的一阶是最优的。我们还将这一分析推广到一般效用函数的情况，并证明了零阶策略在容许策略的特定子类中的渐近最优性。一个技术引理在本节中，我们介绍了在第3节和第4节中使用的几个引理。

注意，所有引理中的常数K，K′都不依赖于，并且可能会因行而异，我们表示函数G（y）asG（y）=（λ（y）-λ） ，和kXkp：=（EXp）1/pas X.引理A.1的Lp范数。（i） （3.20）中定义的鞅ψtde：ψt=E“ZTG（Y，Hs）dsGt#，满足ψt=θtdWYt，θt：=中兴通讯G′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds。此外，该过程可以写成：∈ [0，T]T=1-Hθt+eθt，其中θ是一个确定性函数θt=hG′iaΓ（H+）（t- t） H类-,andeθ是随机的，比1高阶-Hin Lsense在t中均匀分布∈ [0，T]lim sup→0H-1中断∈[0，T]eθt= 0.（ii）（3.14）中定义的随机分量φt的形式为φt=E“ZTtG（Y，Hs）dsGt#。它是一个均值为零且方差为2阶的随机变量-2H：V ar（φt）≤ K2-2H，t均匀∈ [0，T]。此外，as→ 0，随机变量H-1φT在分配吨（0，σφ（T））中聚合- t） 2H），其中σφ由σφ=σouhλ′i定义Γ（2H+1）sin（πH）-2HΓ（H+）.（iii）回顾（3.6）ηt=Zt中定义的随机过程ηtdeλ（Y，Hs）-eλds，这是订单号1-Hin Lsense在t中均匀分布∈ [0，T]：支持∈[0，T]kηtk≤ K1-H、 （iv）回顾（3.7）中定义的随机过程κt=Ztλ（Y，Hs）λ′（Y，Hs）- hλλ′ids。这是订单号1-Hin Lsense在t中均匀分布∈ [0，T]：支持∈[0，T]kκtk≤ K1-H、 引理A.2。在假设3.2下，（i）（3.5）中定义的随机过程it=Ztλ（Y，Hs）-λds，满意度∈[0，T]E[（IT）]≤ Ke4-4小时。（ii）通过以下方式定义随机过程：Дt=Ztλ（Y，Hs）-λφsds，（A.1）其顺序为o（1-H） 在Lsense中均匀地在t中∈ [0，T]lim sup→0H-1中断∈[0，T]ktk=0。（iii）1号命令的形式-H、 在t中均匀∈ [0，T]：支持∈[0，T]kφtk≤ K1-H、 引理A.1和A.2的证明。

所有结果都是[Garnier和Solna，2016，附录A，B]中引理的略微不同版本或直接概括，因此我们省略了这里的细节。引理A.3。（i） 表示byeY，HttheeP平稳分数Ornstein–Ulenbeck过程，其移动平均表示形式为Ey，Ht：=Zt-∞K（t- s） dfWYs。然后，支持∈[0，T]eY，Ht- Y，Ht≤ K1-H、 （ii）回顾（3.21）中定义的随机过程，以及（3.22）中定义的随机过程：t：=ZTtE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s）- t） ds，eθt：=ZTteE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s- t） ds，然后是supt∈[0，T]eθt- θt≤ K2-2小时。证据第（i）部分由λ（·）的有界性和K（t）的事实直接得出-tH公司-aΓ（H-)∈ 五十、 对于第（ii）部分，我们首先计算Y，HsandeY，Hsgiven Gt的条件分布，对于t≤ s： Y，Hs | GtP~ NZt公司-∞K（s）- u） dWYu，（σ0，s-t）,eY，Hs | GteP~ NZt公司-∞K（s）- u） dfWYu，（σ0，s-t）,（σl，r）=RrlK（u）du。因此，差异计算为- θt=ZTtneE[G′（eY，Hs）| Gt]- E[G′（Y，Hs）| Gt]oK（s- t） ds=ZTtZRG′Zt公司-∞K（s）- u） dfWYu+σ0，s-tz公司- G′Zt公司-∞K（s）- u） dWYu+σ0，s-tz公司p（z）dzK（s- t） ds=-ZTtZRG′（χ）ZtK（s- u） ρ1.- γγλ（Y，Hu）dup（z）dzK（s- t） ds，其中χ是由泰勒展开的剩余部分确定的Gt自适应r andom变量。现在，取两边的绝对值，加上G′和λ有界的事实，以及rrlk（u）du~ O（1-H） 在l、r中均匀分布∈ [0，T]产生所需的结果。引理A.4。（3.17）-（3.19）R（1）t中定义的数量R（j）t：=1-HZt（T- u） H类-λ（Y，Hu）-eλdu，R（2）t：=eE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′iZsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#，R（3）t：=eE“ZTZsλ（Y，Hu）-eλK（s）- u） du dsGt#，满足，对于所有t∈ [0，T]，lim→0H-1E级R（j）t= 0, j=1，2，3，（A.2）证明。j=3的（A.2）证明。有必要证明（3）s：=Zsλ（Y，Hu）-eλK（s）- u） 杜邦~ o（1-H） 在s中呈肺形∈ [0，T]，（A.3），然后是us e支配的收敛定理。

注意到K（t）-tH公司-3/2aΓ（H-)∈ 五十、 它等价于r（3′）s：=Zsλ（Y，Hu）-eλ（s）- u） H类-杜邦~ o（1）在s的肺形∈ [0，T]。（A.4）为此，我们选择一个序列cn→ 0，表示sk=（s-cn）k/N，Z（3）u=（s）-u） H类-, 回想一下ηude finedin（3.6），thusR（3′）s=ZsZ（3）udηududu=Zs-cnZ（3）udηududu+Zss-cnZ（3）udηududu=N-1Xk=0Z（3）skηsk+1- ηsk+N-1Xk=0Zsk+1skZ（3）u- Z（3）skdηududu+Zss-cnZ（3）udηududu：=R（3′，a）s+R（3′，b）s+R（3′，c）s。R（3′，a）和R（3′，b）的证明与[加尼尔和瑟尔纳，2016，命题4.1 Step1]中的证明相似。根据Minkowski的不平等，R（3′，a）s≤ 2NXk=0Z（3）∞ηsk≤ 2（N+1）通道-nsupu公司∈[0，s-cn]kηuk≤ 2（N+1）通道-nK1-H、 最后一个不等式遵循引理A.1（iii），这意味着，对于任何固定的N和cn，R（3′，a）s在s中均匀变为0，如→ 0、第二次R（3′，b）s≤ kλk∞N-1Xk=0Zsk+1sk（s）- u） H类-- （s）- sk）H-杜邦≤ 千牛-1Xk=0cH-nN型≤ KcH公司-nN，对于任何固定的cn，它在s中均匀地变为0，如N→ 最后一项R（3′，c）salso趋向于零ascn→ 根据Dini定理，s中的0一致。因此，我们得到了j=3的期望结果（A.2）。j=1的（A.2）证明遵循与（A.4）相同的程序，Z（3）u替换为Z（1）u=（T- u） H类-.j=2的（A.2）证明基于（A.3）的证明。具体来说，一个hasR（2）t=ρ1.- γγeλeE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′iZsK（s）- u） du dsGt#+ρ1.- γγeE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′ieR（3）sds燃气轮机#≤ K1-HeE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′i上海-ds公司Gt#+K′kG′K∞eE“ZT | eR（3）s | dsGt#：：=K1-HeE[R（2，a）T | Gt]+K′R（2，b）T，其中R（2，a）T=ZTG′（eY，Hs）- hλλ′i上海-ds，R（2，b）t=eE“ZT | eR（3）s | dsGt#。现在它减少到showeE[R（2，a）T | Gt]→ 0和R（2，b）t~ o（1-H） 在L.UsingEeE【R（2，a）T | Gt】≤ KR（2，a）T,第一条与（A.4）的证明相同。

第二个也是再见R（2，b）t≤ K“EZT（eR（3）s）ds#1/2≤ K支持∈[0，T]eR（3）s~ o（1-H） 以及之前证明的结果（A.3）。引理A.5。（4.20）、（4.22）和（4.24）中定义的过程M（j）t，j=1，2，3是真P-鞅。证据通过伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式，可以证明M（j）1/2Ti<∞, 对于j=1、2、3。对于ca se j=1，我们计算dm（1）Et=λ（Y，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t）dt公司≤ Kv（0）（t，Xπ（0）t）dt，使用假设2.1（i）和v（0）的凹度。然后，根据假设4.2EDM（1）E1/2T≤“EZTK（v（0）（t，Xπ（0）t））dt#1/2≤ K支持∈[0，T]v（0）（t，Xπ（0）t）< ∞.M（3）的鞅性是通过类似的推导以及来自【Fouque和Hu，2017a，提案3.5】的额外估计得出的：Rj（t，x；λ）（j+1）xR（t，x；λ）≤ K、 0个≤ j≤ 3.（t，x）∈ [0，T）×R+（A.5）对于j=2的情况，类似的推理导致dM（2）Et≤ K[（θt）+（t）]v（0）（t，Xπ（0）t）dt。假设v（0）为假设4.2，φt为引理A.2（iii），则证明∈[0，T]kθtk<k1-H、 （A.6）从（3.21）中回忆并使用Minkowski不等式，一个推论[（t）]≤ZTTE公司E[G′（Y，Hs）| Gt]K（s）- t）1/4秒=ZTtK（s- t）E[G′（Y，Hs）| Gtds！≤ZTtK（s- t）G′（Y，Hs）ds=D（λλ′）EZTtK（s- t） ds！，我们得出结论，E[（θt）]由一个4阶常数所限定-4H，自ZTK（s）ds起！≤ K4-4使用K（s）-上海-3/2aΓ（H-1/2)∈ 五十、 这就完成了（A.6）的证明，我们得到了M（j）t，j=1，2，3的期望结果。引理A.6。（4.25）-（4.28）R（1）t，t：=ZTtφs中定义的随机变量R（j）t，t，j=1，2，3，4（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds，R（2）t，t：=ZTt1-Hρλ（Y，Hs）-eλDv（0）（s，Xπ（0）s）θsds，R（3）t，t：=ZTtρλ（Y，Hs）Dv（0）（s，Xπ（0）s）eθsds，R（4）t，t：=ZTt1-Hρeλ（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）ds的阶数为o（1）-H） ：lim→0H-1E级R（j）t，t= 0, j=1、2、3、4。（A.7）证明。

这里的证明与引理A.4中的证明相似。为了用j=1证明（A.7），我们表示tk=t+（t- t） k/N，Z（1）s=（D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）并在（A.1）中定义，因此R（1）t，t可以写成R（1）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkZ（1）sdДsdsds=N-1Xk=0Ztk+1tkZ（1）tkdSDS+N-1Xk=0Ztk+1tk（Z（1）s- Z（1）tk）dsdsds=N-1Xk=0Z（1）tk（Дtk+1- Иtk）+N-1Xk=0Ztk+1tk（Z（1）s- Z（1）tk）dsdsds：=R（1，a）t，t+R（1，b）t，t。要进行R（1，a）t，Tand R（1，b）t，t的分析，我们首先陈述Z（1）s的两个性质：（a）它在和s中均匀地具有单位二阶矩∈ [0，T]E[（Z（1）s）]≤ KE[（v（0）（s，Xπ（0）s））]≤ K支持∈[0，T]E[（v（0）（s，Xπ（0）s））]<∞ （A.8）使用v（0）的凹度、估计值（A.5）和假设4.2；和（b）其增量以LbyE[（Z（1）u）为界- Z（1）v）]≤ K | u- v |。（A.9）部分（b）首先使用It^o formulaZ（1）u获得- Z（1）v=ZuvLt，x（λ（Y，Hs））Z（1）sds+Zuvλ（Y，Hs）DZ（1）sdWs，然后，平方两边，以及λ的有界性和估计（A.5）E[（Z（1）u- Z（1）v）]≤ KZuv公司v（0）（s，Xπ（0）s）ds公司+ K′ZuvE[（v（0）（s，Xπ（0）s））]ds和假设4.2。现在我们继续进行proo f（A.7），j=1。ER（1，a）t，t≤√N-1Xk=0Z（1）tk[E（tk）+E（tk+1）]1/2≤ 2N sups∈[t，t]（Z（1）ssups公司∈kskand的顺序为o（1-H） 对于引理A.2（ii）固定的任何N。对于第二学期，使用（A.9）givesER（1，b）t，t≤ kλk∞N-1Xk=0Ztk+1tkZ（1）s- Z（1）tkkskds公司≤ kλk∞K1-HN公司-1Xk=0Ztk+1tk（s- tk）1/2ds=K1-H√N、 andlim→0H-1E级R（1，b）t，t≤K√Nholds表示任意N。因此，我们得到了期望的结果，通过让N→ ∞.通过将基本相同的参数应用于Z（2）s=Dv（0）（s，Xπ（0）s）θs（分别为Z（4）s=（D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）），证明了j=2（分别为j=4），这也满足了（A.8）和（A.9）以及1-Hηt（分别为。

1-HIt）。j=3的（A.7）证明见R（3）t，t≤ ρZTtEλ（Y，Hs）Dv（0）（s，Xπ（0）s）eθsds公司≤ KZTt公司v（0）（s，Xπ（0）s）eθsds公司≤ K支持∈[t，t]v（0）（s，Xπ（0）s）sups公司∈[t，t]eθs和L emma A.1（i）。B定理4.5的假设这组假设用于确定Vπ，tde finedin（4.30）的近似精度（4.34）（分别为（4.35））。具体而言，这些假设将确保Fmt（分别为cMt）为真鞅，而Ert（分别为bRt）为o阶（1-H） （分别为（1-H）∧ α)).假设B.1。LeteAteπ，eπ，α是（4.1）中定义的交易策略系列。回想一下，Xπ是由（4.31）中定义的策略π=eπ+αeπ产生的财富过程。为了浓缩旋转，我们系统地省略了v（0）和v（1）的参数（s，Xπs）以及下面的参数Y，hsu和σ。根据不同的情况，我们进一步要求：（i）如果eπ≡ π（0），以下数量，对于任何t∈ [0，T]的顺序为1-Hin Lsense:RTtφsueπt(x+R（s，xπs；λ）xx）Dv（0）ds，RTtφsσ（eπt）xxDv（0）ds，且下列量在中一致有界：ERTσeπtv（0）xds，ERTueπtv（1）xds, ERTueπtR（t，Xπt；λ）v（1）xxds, ERTσeπtv（1）xxds,ERT公司σeπtv（0）xφsds公司, ERT公司σeπtv（1）xds公司,（ii）如果eπ6≡ π（0），我们需要以下的一致有界性（in）：ERTueπtv（0）xds, ERTσeπteπtv（0）xxds, ERTσeπtv（0）xxds, ERT公司σeπtv（0）xds公司,ERT公司σeπtv（0）xds公司.参考文献J-M、 Bardet、G.Lang、G.Oppenheim、A.Philippe和M.S.Taqqu。长期依赖进程的生成器：一项调查。《长程依赖的理论与应用》，第579-6232003页。F、 Biagini、Y.Hu、B.Oksendal和T.Zhang。分数布朗运动的随机微积分及其应用。施普林格科学与商业媒体，2008年。F、 J.Breidt、N.Crato和P.De Lima。

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