含税欧米茄风险模型

2022-5-6 02:06:51

含taxenyu-Cui的Omega风险模型*草案：2021年11月10日摘要本文研究了欧米茄风险模型，该模型在时间同质差异环境下，具有与urplus相关的纳税额。新模型结合了欧米茄风险模型（Albrecher和Gerber及Sh iu（2011））和含税风险模型（Albrecher和Hipp（2007））的实用特征。我们明确地描述了Azema-Yor过程（例如，被其运行最大值的泛函折射的过程）的占用时间的拉普拉斯变换低于恒定水平，直到另一Azema-Yor过程的第一次命中时间或直到独立指数时间。这一结果统一并扩展了最近的文献（Li和Zhou（2013）和Zhang（2014）），将他们的一些结果作为特例纳入其中。我们明确地刻画了含税欧米茄风险模型中破产时间的拉普拉斯变换，并讨论了积分泛函的一个推广。最后我们给出了一个带有漂移的布朗运动的例子。数学学科分类60G44 91B25 91B70关键词：时间同质差异；阿泽马-约尔法；占用时间；拉普拉斯变换；税收风险模型；欧米茄风险模型。*通讯作者。崔振宇（Zhenyu Cui）就读于纽约城市大学布鲁克林学院数学系，地址：美国纽约市布鲁克林贝德福德大道2900号英格索尔大厅，邮编：11210。电话：+1718-951-5600，分机6892传真：+1718-951-4674。

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2022-5-6 02:06:54

电子邮件：zhenyucui@brooklyn.cuny.edu1简介欧米茄风险模型最早由Albrecher、Gerber和Shiu（2011）提出，它将单位时间（负盈余）与公司破产时间（负盈余占用时间超过宽限期）区分开来。Albrecher和Hipp（2007）首次引入了含税风险模型，其中恒定税率适用于可预测时间的复合泊松风险模型。在时间同质差异背景下，Li、Tang和Zhou（2013）引入了一个含税的差异风险模型，并通过双边退出时间对公司的破产时间进行建模。在有税征税保险模型中，Kyprianou和Zho u（2009）明确获得了双边退出时间、破产前税收的预期现值以及广义的DGERBER Shiu函数。雷诺（2009）获得了公司存续期内纳税分配的明确表述。我们对当前的文献做出了三点贡献。首先，我们得到一个Azema-Yor过程的占据时间在恒定水平以下的拉普拉斯变换，直到另一个Azema-Yor过程的第一次击中时间或直到一个独立的指数时间。这一结果统一并扩展了最近的文献（李、唐和周（2013）、李和侯（2013）和张（201 4）），将他们的一些结果作为特例纳入其中。其次，我们提出了“含税欧米茄风险模型”来模拟保险公司的破产和破产。这为破产建模提供了一个更实际的视角，因为处于困境的保险公司会受到税收的影响，这可能会进一步削弱其偿付能力，并且只有当其剩余价值低于超过“宽限期”的临界水平时，该公司才被视为破产。我们明确描述了破产时间的拉普拉斯变换。

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2022-5-6 02:06:58

第三，作为主要结果的应用，我们获得了与（绝对）水位下降和相对水位下降相关的占领时间的L APLACE变换，直到分别达到第一次击中时间或独立指数时间。我们还讨论了通过随机时间变化对积分泛函的扩展。本文的组织结构如下：第二节回顾了theOmega风险模型和含税风险模型的初步结果。第3节给出了主要结果，即Azema-Yor过程占据时间的显式拉普拉斯变换低于常数水平，直到另一个Azema-Yor过程的第一次击中时间或直到一个独立的指数时间。作为应用，我们提出了“含税欧米茄风险模型”，并确定了破产时间的拉普拉斯变换。我们还讨论了其他有趣的应用，包括税前和税后过程的绝对和相对提取过程，以及对更一般的破产函数的扩展。第4节提供了使用带漂移的标准布朗运动的示例。第五部分总结全文，并提出未来的研究方向。2初步最近，有两种文献，一种是关于“破产”的新定义，另一种是考虑一个由其运行的最大值“ta x风险模型”折射出的扩散风险模型。我们在此回顾相关文献，并在第3节中结合它们提出并研究“含税欧米茄风险模型”。2.1欧米茄风险模型经典破产理论假设，当保险公司的剩余价值为负时，破产或破产将首次发生。有关该领域的文献，请参考Gerber and Shiu（1998）。最近，从Albrecher、G erber和Shiu（2011）开始，一系列论文提出并研究了“欧米茄风险模型”。

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2022-5-6 02:07:01

该模型区分破产（负剩余价值）和破产（停业）。即使在负超额价值期间，该公司仍继续运营，如果该期限超过阈值“宽限期”，则该公司被宣布破产。他们引入了一个破产率函数ω（x），其中x<0表示负urplus值的值，它表示dt时间单位内的破产概率。TheOmega风险模型基于对风险过程占用时间低于常数水平的研究。在L andriault、雷诺和周（2011）（2014））以及洛芬、雷诺和周（2014）中研究了光谱负L evy工艺的占用时间。Renaud（2014）研究了折射Levy过程（Kyprianou和Loe ff en（2010））的占用时间。本文的重点是类似于Li和Zhou（2013）的扩散风险模型。给定一个完整的融合概率空间(Ohm, F、状态空间J=（l，∞), -∞ 6l<∞, 考虑J值正则时间齐次微分X=（Xt）t∈[0,∞)满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X∈ J、（1）其中W是Ft布朗运动，u（·）a和σ（·）>0是满足以下条件的Borel函数：存在常数C>0，对于所有x，x∈ J |u（x）- u（x）|+|σ（x）- σ（x）| 6c |x- x |，u（x）+σ（x）6 C（1+x），（2）条件（2）保证SDE（1）具有具有强马尔可夫性质的唯一解（见第40页、第107页、Gihman和Skorohod（1972））。在下面，我们表示Px（·）、P（·| X=X）和Ex[·]、Ex[·| X=X]。假设公司的税前价值由X和SDE（1）建模。

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2022-5-6 02:07:04

如果我们在同一概率空间上引入一个辅助的“破产监控”过程N（可能会扩大过滤以适应它），并假设条件为X，N允许一个泊松过程，其状态依赖强度ω（Xt）1{Xt<0}，t>0。将破产时间τω定义为泊松过程N的首次到达时间，即τω：=inft>0:Ztω（Xs）1{Xs<0}ds>e, （3）式中，eis是一个单位速率的独立指数随机变量。与李安周（2013）中的f或λ>0类似，我们可以表示破产时间的L空间变换X[e]-λτω]=Px（τω<eλ）=1- 告密-Reλω（Xs）1{Xs<0}dsi。（4） 2.2有盈余的风险模型——依赖税收的风险模型由Albrecher和Hipp（2007）在恒定税率的情况下引入，后来由Albrecher、Renaud和Zhou（2008）以及Kyprianou和Zhou（2009）扩展到当公司的盈余价值达到最大值时立即支付非负的国家依赖税收的情况。假设公司的税前价值由（1）中的差异X建模。引入一种依赖于州的税收：每当流程Xt与其运行最大值Xt相一致时，企业按照税率γ（Xt）纳税，其中γ（·）：[x，∞) → [0,1）是一个可测函数。税后的价值过程表示为（Ut）t>0，且满足度=dXt- γ（Xt）dXt，U=X=X，t>0，（5）Kyprianou和Zhou（2009）引入了以下函数γ（U）=U-Zuxγ（z）dz=x+Zux（1）- γ（z））dz，u>x.（6）注意x<γ（u）6u。我们有下面的表示离子Ut=Xt- 我们结合“欧米茄风险模型”和“含税风险模型”的实际特点，提出了“含税欧米茄风险模型”，其中我们使用（5）对保险公司的税后剩余价值进行建模。

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2022-5-6 02:07:08

Li、Tang和Zhou（2013）将逃税时间定义为U从恒定边界的双边退出时间。我们将公司破产的时间定义为占用时间首次超过单位费率的指数时间。UTI是在Azema and Yor（1979）中引入的所谓Azema-Yor过程的一个特例，这是一个被其最大运行函数折射的过程（另见Albrecher a and Ivanovs（2014）中的终结论）。我们首先获得Azema-Yor过程在恒定水平以下的占用时间的一般拉普拉斯变换，直到另一Azema-Yor过程的起始时间或直到独立指数时间。据我们所知，这些结果是新的，具有独立的兴趣。作为应用，我们得到了“含税欧米茄风险模型”破产时间的显式拉普拉斯变换。我们的一般公式包含了李和周（2013）以及张（2014）作为特例的一些结果。备注3.1。请注意，（5）中的定义是下文介绍的一般Azema Yor流程的特例，因此我们的策略是首先研究一般Azema Yor流程的占用时间，然后专门研究（5）中的税后流程。在下文中，我们使用相同的符号UTT来表示一般的Azem a-Yor过程，并且无论何时提及（5）中的过程，我们都将明确说明。考虑以下两个一般的Azema-Yor过程：Vt:=Xt- h（Xt）；Ut:=Xt- g（Xt），V=U=x，（7）其中h和g定义为n[x，∞) 满足06h（u）6u- x、 0.6克（铀）6铀- x和h（x）=g（x）=0。请注意，VT和UTA都是使用（Xt，Xt）构造的，但它们可能有不同的h（·）和g（·）。如果h（·）=g（·），那么Vt=Ut，P-a.s.，t>0。在下文中，fix两个常数y和a-x6y<a。

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2022-5-6 02:07:11

定义y′=y+x和a′=a+x，它们满足0.6y′<a′，并且在以后我们将我们的结果与Zhang（2014）的结果进行比较时很有用。确定V到V的首次命中时间-a作为τh，a:=inf{t>0:Vt6-a} =inft>0:h（Xt）- Xt>a. （8）我们将介绍一些与Zhang（2014）一致的符号，这些符号将在稍后的证明中使用。定义τ±m:=inf{t>0:XtT m}，m∈ J、定义φ+q（·）和φ-q（·）分别为Sturm-Liouville微分方程σ（x）f′（x）+u（x）f′（x）=qf（x）的正解的递增和递减。如果我们把x的标度函数定义为s（·），那么存在一个正常数wqs，比如wqs′（x）=（φ+q）′（x）φ-q（x）-（φ+q）′（x）φ+q（x）。定义辅助函数Wq（x，y）：=Wq（φ+q（x）φ-q（y）- φ+q（y）φ-q（x）），Wq，1（x，y）：=xWq（x，y）和Wq，2（x，y）：=yWq，1（x，y）。感兴趣的主要对象是UTC的占用时间-y直到τh，a:Ga，h，gy:=Zτh，a{Ut<-y} dt。（9）以下是张和Hadjiliadis（2012）的命题1的一个轻微概括，该命题研究UTT的路径分解∈ [0，τh，a]。将X的首次下降时间定义为σa:=inf{t>0:Xt- Xt>a}。如果g（u）=0，h（u）=u- x、然后Ut=xt和τu，a=σa′，P-a.s，以下结果通过替换a′简化为Zhang和Hadj iliadis（2012）的命题1→ K在那里。提议3.1。（直到Azema Yor停车时间，Zhang和Hadjiliadis（2012）的命题1的推广）的路径装饰位置）对于τh，在（8）中定义，考虑X在τh之前的最后一次通过时间T∈ [0，τh，a]：Xt=Xt. （10）以Xρ为条件，路径片段{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个独立的过程。表示Yρt:=Px（ρ>t | Ft）。

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2022-5-6 02:07:14

那么Yρ是一个超鞅，并且具有Doob-meyerdeco s理论Yρt=Mρt- Lρt，（11）其中yρt=Px（ρ>t|Ft）=s（Xt）- s（h（Xt）- a） s（Xt）- s（h（Xt）- a） {t<τh，a}，（12）Mρt=1+Zt∧τh，as′（Xu）σ（Xu）s（Xu）- s（h（Xu）- a） dWu，（13）和lρt=Zt∧τh，as′（Xu）s（Xu）- s（h（Xu）- a） dXu。（14）证据。这与张和哈吉利亚迪斯（2012）的第74页第1项提案类似，但有些步骤需要进行非琐碎的调整。因此，我们在这里给出了完整性的证明。注意，{ρ>t}意味着，{t<τh，a}成立，X的路径将在到达h（Xt）之前重新确定- a、所以我们有ρt=Px（ρ>t | Ft）=s（Xt）- s（h（Xt）- a） s（Xt）- s（h（Xt）- a） {t<τh，a}，（15）对于任何t∈ [0，τh，a），应用Ito的lemmadYρt=d[s（Xt）- s（h（Xt）- a） ]s（Xt）- s（h（Xt）- （a）-s（Xt）- s（h（Xt）- a） [s（Xt）- s（h（Xt）- a） [s（Xt）- s（h（Xt）- a） ]。（16）我们有以下中间计算：d[s（Xt）-s（h（Xt）-a） ]=s′（Xt）σ（Xt）dWt-s′（h（Xt）-a） h′（Xt））dx和d[s（Xt）-s（h（Xt）-a） ]=[s′（Xt）-s′（h（Xt）-a） h′（Xt））]dXt。注意，{t|Xt=Xt}上支持度量dXtis。以上两个表达式加上（16）导致ρt=s′（Xt）σ（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dWt-s′（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dXt。（17） Int egr ate（17）从0到t∈ [0，τh，a），注意Yρ=1和limt↑τh，aYρt=0，然后是（13）和（14）。我们可以得出类似于张和哈德吉利亚迪斯（2012）的命题2和命题4的结果。特别地，在Xρ=m，{Xt}t上有条件地∈[0，ρ]具有与以下SDE的唯一弱解相同的规律，该解在mdZt级别的第一次命中时停止=u（Zt）+s′（Zt）σ（Zt）s（Zt）- s（h（Zt）- （a）dt+σ（Zt）dBt，Z=x.（18）在xρ=m，{m- Xt}t∈[ρ，τh，a]与在水平调整的第一次命中时间停止的下列SDE的唯一弱解具有相同的规律=-u（m）- Jt）+s′（m）- Jt）σ（m）- Jt）s（m）- s（h（m）- （Jt）dt- σ（m）- Jt）dBt，J=0。

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2022-5-6 02:07:18

（19）类似于张和哈吉利亚迪斯（2012）命题4的证明，我们有{Xt}t∈[ρ，τh，a]和{Xt}t∈[0，ρ]或等价的Fρ是条件独立的。有条件的onXρ=m，对于t∈ [ρ，τh，a]，我们有Xt=Xρ=m和Ut=Xt-g（Xt）=Xt-g（m），P-a.s.那么我们有{Ut}t∈[ρ，τh，a]和Fρ是条件独立的。对于t∈ [0，ρ]，Ut=Xt- g（Xt）与Fρ相适应，因此{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个条件依赖的过程。这就完成了证明。现在我们给出这一部分的主要结果：Ga，h，gy的拉普拉斯变换。定理3.1。（两个Azema-Yor过程到达前的占用时间，张（2014）定理4.5的推广）对于q>0，-x6y<a，如果g（u）>h（u）代表u∈ [x，∞), 然后我们有了-qGa，h，gy；τh，a<∞] =Z∞xs′（m）Wq（g（m）-y、 h（m）-a） 1+s（米）-s（g（m）-y） s′（g（m）-y） Wq，1（克（米）-y、 h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a） ×exp-Zmxs′（u）s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a） 1+s（u）-s（g（u）-y） s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a）杜马克。（20）证据。该证明类似于张（2014）的定理4.5，但在需要时需要一些非平凡的修改。我们给出了完整性的证明。简介非负有界可选进程it=exp-qZt{Us<-y} ds{t<τh，a<∞}, t>0。根据Protter（2005）的定理15，p.380，结合命题3.1中的分解，我们得到了[0]上的任何正测试函数f（·），∞ )Ex[f（Xρ）Iρ]=ExZ∞f（Xt）ItdLt= 前任Z∞f（Xt）Its′（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dXt.应用变量m=Xt的变化，回想一下{t|Xt=Xt}上支持的度量dxts，thenEx[f（Xρ）Iρ]=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Us<-y} ds！{τ+m<τh，a}#s′（m）s（m）- s（h（m）- a）马克。（21）根据Lehoczky（1977）第607页上的方程式（20），用替换v-h（v）+a→u（v），我们有px（τ+m<τh，a）=exp-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dv, （22）Px（Xρ）∈ dm）=s′（m）s（m）- s（h（m）- a）经验-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dv.

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kedemingshi

2022-5-6 02:07:22

（23）从（21）和（22）中，我们得到了[f（Xρ）Iρ]=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#×s′（m）s（m）- s（h（m）- a）经验-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dvdm=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#Px（Xρ∈ dm）。（24）另一方面X[f（Xρ）Iρ）]=Z∞xf（m）Ex经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=mPx（Xρ）∈ dm）。（25）从（24）和（25）以及f（·）的任意性，我们得到了经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=m= Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#定义Aa，通过：=Rτ-A.∧τ+b{Xt<y}dt，以及ε=（m- x） /N表示大整数N>0。对于i=0，1。。。，N-1，当X从X+iε开始时，条件{τ+m<τh，a}要求每次过程在达到h（X+iε）之前达到水平X+（i+1）ε-a、从Lebesgue支配的收敛定理、连续性和X的强Markov性质，我们得到了-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#=limN→∞N-1Yi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-ai=limN→∞爆炸-1Xi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-哎！！=解释→∞N-1Xi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-人工智能- 1.!= 经验Zmxs′（u）s（u）- s（h（u）- （a）-s′（u）s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a） 1+s（u）-s（g（u）-y） s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-（a）杜, （26）最后一个等式来自命题4中等式（18）的第二个表达式。张（2014）的第1页。这是因为h（x+iε）- a<g（x+iε）- y6x+iε- 十、- y 6x+iε<x+（i+1）ε-x6y<a。

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2022-5-6 02:07:25

注意，Zhang（2014）方程（18）中的两个表达式在边界情况下是一致的，因此我们可以将y=-并继续应用方程式（18）的第二个表达式。对于[ρ，τh，a]上的占据时间，我们有经验-qZτh，aρ{Ut<-y} dt| Xρ=m= Em“exp-qZτ-h（m）-a{Xt<g（m）-y} dt！|τ-h（m）-a<τ+m#=limδ→0+Emhe-qAh（男）-a、 m+δg（m）-Yτ-h（m）-a<τ+m+δiPm（τ-h（m）-a<τ+m+δ）=s（m）-s（h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a） 1+s（米）-s（g（m）-y） s′（g（m）-y） Wq，1（克（米）-y、 h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a），（27），最后一个等式来自张（2014）的（19）的第二部分，因为h（m）-a<g（m）-y 6米-十、-y6m<m+δ。根据命题3.1，{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个条件独立的过程，因此我们有经验-qZτh，a{Ut<-y} dt| Xρ=m= 前任经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=m×Ex经验-qZτh，aρ{Ut<-y} dt| Xρ=m.（28）我们使用（23）中的密度来积分（28），这就完成了证明。备注3.2。u的假设g（u）>h（u）∈ [x，∞) 没有太多限制，因为它包含许多有趣的应用程序。特别是，如果h（·）=g（·），它不限制g（·）的形式。如果g（u）=h（u）=u- x、然后τu-x、 a=σa′和1{Ut<-y} ={Yt>y′}，其中Yt=Xt-这是缩编过程。然后嘎，你-x、 u-xy=Rσa′{Yt>y′}dt=：Ca′y′，这是张（2014）的等式（21）中的替换y′→ y和a′→ a在那里。注意，通过上述替换，0 6 y′<a′和我们的公式（20）简化为张（2014）定理4.5中的公式。当y=-x和g（u）=u- x、我们有Ga，h，u-x=Rτh，a{Xt<Xt}dt=τh，a，P-a.s，对于q>0，我们的公式（20）reducetoexE-qτh，a=Z∞xs′（m）Wq（m，h（m）- a）经验-ZmxWq，1（u，h（u）- a） Wq（u，h（u）- a）杜dm，（29）与Lehoczky（1977）第601页的公式（21）一致，替换为0→ α、 q→ β和m- h（m）→ u（m）。

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2022-5-6 02:07:28

如果我们进一步取h（u）=u- x、然后（29）降低了张（2014）的排名3.3。如果g（u）=h（u）=0，那么τ0，a=τ--a、和Ga，0,0y=Rτ--a{Xt<-y} dt，它在下面重新显示了进程X的占用时间-直到第一次击球时-a从上面传来。从（20）开始，我们有-qGa，0,0y；τ--a<∞] =Z∞xs′（m）Wq(-Y-a） 1+s（米）-s(-y） s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a） ×exp-Zmxs′（u）s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a） 1+s（u）-s(-y） s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a）杜dm=Z∞xs′（m）Wq(-Y-a） 1+a（s（m）- s(-y））1+A（s（x）- s(-y））1+A（s（m）- s（y））dm=AWq(-Y-（a）-AWq(-Y-a） 1+a（s（x）- s(-y））1+A（s(∞) - s(-y））=（s(∞) - s（x））s′(-y）（s）(∞) - s(-y））Wq，1(-Y-a） +s′(-y） Wq(-Y-a），（30）式中a=Wq，1(-Y-a） s′(-y） Wq(-Y-a）。注意，（30）与张（2014）的命题4.1的等式（19）中的第二个表达式一致→ ∞ 并替换-A.→ a、及-Y→ 好的。3.1 Azema-Yor工艺在独立指数时间之前的占用时间y>-x、考虑一下下面U的占用时间-直到一个独立的指数时间eq，q>0:Oq，gy:=Zeq{Ut<-y} dt。定理3.2。对于所有p，q>0和y>-xEx[e-pOq，gy]=1- 经验-Z∞xWq，2（g（u）- y、 u）+Wq，1（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） Wq，1（g（u）- y、 u）+Wq（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y）杜-Z∞xexp-ZmxWq，2（克（u）- y、 u）+Wq，1（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） Wq，1（g（u）- y、 u）+Wq（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y）杜×pq+ps′（m）φ+′q+p（g（m）-y） φ+q+p（g（m）-y） Wq，1（克（米）- y、 m）+Wq（m，g（m）- y） φ+′q+p（g（m）-y） φ+q+p（g（m）-y）马克。（31）证据。我们考虑1{Ut<-y} 而不是1{Yt>y}，并且该证明基于张（2014）中定理4.7的类似非平凡改编，替换了g（u）-Y→ U-yand g（男）- Y→ M- 我自始至终都很紧张。注意g（x+iε）- y6x+iε- 十、- y6x+iε<x+（i+1）ε，对于i=0，1。。。，N- 1和ε>0。

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2022-5-6 02:07:31

因此，我们可以在证明的中间阶段安全地应用张（2014）的推论4.2。备注3.3。如果g（u）=u- x、然后Oq，u-xy=Req{Yt>y′}dt=:Eqy′，如张（2014）的等式（29）所定义。在这种情况下，我们的公式（31）通过替换y′简化为hisTheorem 4.7的方程式（30）→ 好的。如果y=-x和d g（u）=u- x、公式（31）简化为Ex[e-pOq，u]=qq+p.另一方面，例如[e]-pOq，u- 十、-x] =Ex[e-pReq{Xt<Xt}dt]=Ex[e-peq]=qq+p。如果g（u）=0，那么y>-x、 Oq，0-x=Req{Xt<-y} dt，代表下面流程X的占用时间-直到一个独立的指数时间。在下文中，表示A=φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y），注意Wq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） A=Bφ+q（m）+Cφ-q（m），其中b=Aφ-q(-y）- φ-′q(-y） C=φ+′q(-y）- Aφ+q(-y）。从（31）开始，对于所有p，q>0，wehaveEx[e]-pOq，0y]=1- 经验-Z∞xWq，2(-y、 u）+Wq，1（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y）杜-Z∞xexp-ZmxWq，2(-y、 u）+Wq，1（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y）杜×pq+ps′（m）φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） dm=1- 利木→∞Wq，1(-y、 x）+Wq（x，-y） AWq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） A-Z∞xWq，1(-y、 x）+Wq（x，-y） AWq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） A×pq+ps′（m）AWq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） Adm=1+pq+pACφ+q（x）- （Bφ+q（x）+Cφ-q（x））利木→∞1+pq+pACφ+q（u）Bφ+q（u）+Cφ-q（u）=1+pq+pACφ+q（x）- （Bφ+q（x）+Cφ-q（x））pq+pABC=1-pq+pφ+′q+p(-y） φ-q（x）φ+′q+p(-y） φ-q(-y）- φ-′q(-y） φ+q+p(-y），（32）最后一个等式是由于limu→∞φ+q（u）=∞. 为了与Li和Zhou（2013）中的旋转一致，定义ψ±q（·）=±φ±′q（·）φ±q（·）。如果我们取x=0，y=-x=0，那么（32）变成[e]-pOq，0]=1-pq+pφ+q+p（0）φ-q（0）φ+′q+p（0）φ-q（0）- φ-′q（0）φ+q+p（0）=qq+pψ+q+p（0）+ψ-q（0）ψ+q+p（0）+ψ-q（0），（33）与李和周（2013）的定理3.1一致，替换为p→ λ和q→ 在那里。

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2022-5-6 02:07:34

我们进一步将Li和Zhou（2013）的推论3.2推广到非零水平，如下所示。提议3.2。一般来说，bExhe-pReq{Xt<b}dti=1-pq+pφ+q+p（b）φ-q（x）φ+′q+p（b）φ-q（b）- φ-′q（b）φ+q+p（b）。（34）对于x<bExhe-pReq{Xt<b}dti=pq+pφ+q+p（x）φ+q+p（b）1-φ+′q+p（b）φ-q（b）φ+\'q+p（b）φ-q（b）- φ-′q（b）φ+q+p（b）+qq+p.（35）证明。对于x>b，取y=-b>-x在（32）中，我们在（34）中得到了期望的结果。对于x<b，从eq的无记忆性和x的强马尔可夫性，我们得到-pReq{Xt<b}dti=Exhe-pτ+b；τ+b<eqiEbhe-pReq{Xt<b}dti+ExE-peq；eq<τ+b= 告密-（q+p）τ+biEbhe-pReq{Xt<b}dti+qq+p1.- 告密-（q+p）τ+bi.（36）然后（35）从ta king y=-方程（32）中的b和x=b，以及张（2014）的引理2.2。备注3.4。如果我们在（34）和（35）中取b=0，那么它们在李和周（2013）的推论3.2中简化为方程（18）和（19）。注意，（34）和（35）在x=b的边界情况下是相等的。现在我们提出了含税的欧米茄风险模型，并假设U是（5）中给出的税后剩余价值过程，这对应于（7）中的Azema-Yor过程，G（U）=U-γ（u）=Ruxγ（z）dz。对于y>0和破产率函数ω（.）>0，将破产时间定义为^τω：=inft>0:Ztω（Us）1{Us<-y} ds>e, （37）式中，eis是一个具有单位费率的独立指数随机变量。现在我们可以给出含税O超风险模型中^τω的空间变换的主要结果。定理3.3。

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2022-5-6 02:07:37

如果破产率函数ω（·）=ω为正常数ω，那么对于q>0，y>-x、 Omega风险模型中破产时间的Laplace变换E-q^τω= 1.- 告密-ωReq{Us<-y} dsi=exp-Z∞xWq，2（美国）-γ（u）- y、 u）+Wq，1（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） Wq，1（u）- γ（u）- y、 u）+Wq（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y）杜+Z∞xexp-ZmxWq，2（u）-γ（u）- y、 u）+Wq，1（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） Wq，1（u）- γ（u）- y、 u）+Wq（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y）杜××ωq+ωs′（m）φ+′q+ω（m）-γ（m）-y） φ+q+ω（m）-γ（m）-y） Wq，1（米）- γ（m）- y、 m）+Wq（m，m）- γ（m）- y） φ+′q+ω（m）-γ（m）-y） φ+q+ω（m）-γ（m）-y）马克。（38）证据。所需的表达式是定理3.2的一个结果，替换为ω→ 潘杜-γ（u）→ g（u）.3.2主要结果的应用在这一节中，我们看一下下面定理3.1和3.2.3.2.1的一些重要应用-直到X第一次点击-如果h（·）=0.6g（·），那么Vt=xt，τ0，a=τ--a、 P-a.s.因此a，0，gy=Rτ的L空间变换--a{Ut<-y} dt由（20）给出，替换为0→ h（·）。如果我们考虑有税的特大风险模型，并设置g（u）=u-γ（u），那么Ga，0，gy代表以下税后过程u的占用时间-y，直到税前流程X首次点击-一个从上面来的。3.2.2以下U的占用时间-直到你第一次击中-aIf h（u）=g（u），那么Vt=utan和τh，a=inf{t>0:Ut>-a} =：τg，a，P-a.s.因此，Ga，g，gy的拉普拉斯变换=Rτg，a{Ut<-y} dt由（20）和替换g（·）给出→ h（·）。

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2022-5-6 02:07:40

如果我们考虑带税的欧米茄风险模型，并设置g（u）=u-γ（u），thenGa，g，gy代表以下税后过程u的占用时间-直到它第一次击中-a从上面传来。在定理3.3中，我们没有使用独立的指数随机变量eqas，而是将破产时间定义为该占用时间超过一段时间或该过程发生时的第一个瞬间-a、由于以下经济动机，一家公司的价值通常被设定为较高：如果其剩余价值低于较低的水平，该公司将被宣布破产-y的宽限期（美国破产法第11章的重组阶段），或当其盈余首次低于非常严重的水平时立即破产-a（《美国破产法》第7章的imm ediate liq uida阶段）。最近的文献中也出现了类似的考虑，即利用这一占用时间来模拟破产，有关文献的指针，请参考Li（2013）及其参考文献。3.2.3在X orU首次命中之前，X的相对缩进超过尺寸α的占用时间-在市场实践中，提款事件通常以百分比而不是绝对意义上的百分比来引用。假设x>0，并确定x在α值上的首次相对下降∈ （0，1）作为ηα：=inft>0:Xt- XtXt>α= inft>0:Xt- (1 - α） Xt6 0, 例如，Hadjiliadis和Vecer（2006年）、Pospisil、Vecer和Hadjiliadis（2009年）、Zha ng和Hadjiliadis（2010年）对其进行了研究，这对“市场崩溃”的建模尤其重要（Zhang和Hadjiliadis（2012年））。有关最新文献的指针，请参考张（2010）及其参考文献。如果h（u）=（1- β）（u）- x）对于β∈ [α，1]，g（u）=（1）- α）（u）- x） >h（u），y=（1- α） X和a>（1）- α） x，然后是1{Ut<-y} =1{（Xt）-Xt）/（Xt）>α}。

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2022-5-6 02:07:43

因此，A，h，g（1）的拉普拉斯变换-α） x=Rτh，a{（Xt-Xt）/（Xt）>α}dt由（20）和相应的替换给出。它代表了在税后过程V（恒定税率β）首次命中之前，X相对于尺寸α的相对下降的占用时间-a从上面传来。如果β=1，那么h（u）=0，而Ga，0，（1-α） u（1）-α） xis指在税前流程X首次达到之前，相对于α规模X的相对提款的占用时间-a从上面传来。如果β=α。然后h（·）=g（·），和ga，（1）-α） u，（1）-α） u（1）-α） xis是税前流程x相对于α的相对提取量在税后流程U（税率α不变）首次命中之前的占用时间-一个从上面来的。类似地，如果我们在Albrecher、Cheung和Thonhauser（（2011）（2013））中引入了随机观察的广义风险模型，那么破产时间与占用时间相关，直到一个独立的指数时间q>0。如果g（u）=（1- α）（u）- x），y=（1）- α）然后是Q的拉普拉斯变换（1）-α）（u）-x） y=Req{Ut<-y} dt=Req{（Xt-Xt）/（Xt）>α}dt由（31）和相应的替换给出。它表示在独立的指数时间之前，Xover sizeα相对下降的占用时间。它可以应用于使用双拉普拉斯倒推法（类似于Zhang（2014）第5.2节）对α大小的相对提款过程进行数字看涨定价，其中他考虑了（绝对）提款过程。3.2.4 V在尺寸α上的相对下降直到V firsthits的占用时间-Aasume x>0，并确定尺寸α的第一个相关压降∈ （0，1）对于过程V，作为ηα，h:=inft>0:Vt- vt>a= inft>0:Xt-(1 - α）（Xt）- x） +αh（Xt）<-Y> α,（40）式中y=（1）-α） x>-x、如果我们取g（u）=（1-α）（u）-x） +αh（u），然后h（u）6g（u）6u-xbecause 0 6小时（u）6小时- 十、

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2022-5-6 02:07:48

对于>（1）- α） x，我们有ga，h，gy=Zτh，anVt-VtVt>αodt=Zτh，a{Xt-((1-α）（Xt）-x） +αh（Xt））<-y} dt，（41），其拉普拉斯变换由（20）和替换（1）给出-α）（u）-x） +αh（u）→ g（u）和（1）- α） x→ 好的。上述结果适用于Azema-Yor过程，一般为（·）。如果我们考虑带有税收和集h（u）=u的欧米茄风险模型-γ（u），然后（41）表示税后过程V oversizeα“相对下降”的占用时间，直到V fir first hits-a、 3.2.5假设X>0，假设h（u）=（1），则X在尺寸α上的第一个相对dr awdown之前的下降时间- α）（u）- x） a=（1）- α） x代表α∈ （0，1），然后τh，a=ηα。如果我们取g（u）=u- x>h（u），那么对于-x 6 y<（1- α） x，G（1）的拉普拉斯变换-α） x，（1）-α）你，你-xy=Rηα{Xt-Xt>y}dt由（20）给出，并有相应的替换。它代表Yun以上X的水位下降过程的占用时间，直到X的第一次相对水位下降超过α。符号Cay:=Rσa{Xt-Zhang（2014）的Xt>y}不等式（21）衡量了（绝对）下降过程完成从y到a的“最后一次旅行”所需的时间-α） x，（1）-α）你，你-XY测量绝对下降量大于y的占用时间，直到第一次相对下降量超过α∈ (0, 1). 这提供了另一种风险函数来衡量绝对和相对提款风险。3.2.6在假设x>0 a的情况下，直到尺寸α上的第一次相对压降之前，V下降的占用时间，并考虑Azema-Yor过程V的功能h（·）。因为vt=Xt-h（Xt），P-a.s.，我们有Vt-Vt=Xt- Xt，P-a.s.，V和X有相同的下降过程。如果我们取h（u）=（1- α）（u）- x） +αh（u）和a=（1- α） x f或α∈ （0，1），然后τeh，a=ηα，h。

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2022-5-6 02:07:51

如果我们取g（u）=u- x>~h（u），然后-x 6 y<（1- α） x，G（1）的拉普拉斯变换-α） x，~h，u-xy=Rηα，h{Xt-Xt>y}dt=Rηα，h{Vt-Vt>y}dt由（20）给出，并有相应的替换。如果我们取h（u）=u-γ（u），然后它代表税后过程V在y以上的提取过程的占用时间，直到V在α上的第一次相对提取。3.3通过时间变化扩展到积分泛函使用Cui（2013b）定理1（或博士论文Cui（2013a）中的定理3.2.1）中的结果，我们可以将定理3.1扩展到更一般的积分泛函。该方法基于随机时间变化和下面列出的关键步骤。如果我们定义了一个北方可测函数b（x）>0，且φt=Rtb（Xs）ds，t>0在无条件下是一致的，并且假设了一些技术假设（恩格尔伯特-施密特条件），那么从Cui（2013b）的定理1（i）中，我们有以下随机表示xt=SRtb（Xs）ds=S~nt，P-a.S。，（42）过程S是一个时间齐次微分，满足以下条件：SDEdSt=u（St）b（St）dt+σ（St）b（St）dBt，S=X=X。（43）让τ表示St的Ft停止时间，根据Cui（2013b）的定理1（iii），我们得到了τ：=Rτb（Xs）ds是Gt停止时间，τS=ττ，P-a.S，其中τ是St的相应停止时间，Gt=F~nt。我们有xt:=max06u6tXu=max06u6tS~nu=max06u6~ntSu=：Sаt，P-a.S.，第二个等式是由于（42），第三个等式是由于连续性。与第（7）条类似，如果我们定义V*t=St- h（St）和U*t=St- g（St），那么Vt=V*νt，P-a.s.，和Ut=U*如果我们定义了停止时间τ，则为t，P-a.s*h、 a:=inf{t>0:V*t6-a} 从Cui（2 013b）的定理1（iii）中，我们得到了τ*h、 a=τh，a，P-a.s.定义以下积分函数ga，h，g，by:=Rτh，ab（Xt）1{Ut<-y} dt。

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2022-5-6 02:07:54

应用变量变化公式（问题3.4.5（vi），K aratzas和Shreve（1991）的第174页）Ga，h，g，by:=Zτh，ab（Xt）1{Ut<-y} dt=Zτh，ab（Xt）1{U*~nt<-y} dt=Z~nτh，a{U*t<-y} dt=Zτ*h、 a{U*t<-y} dt=：Ga，h，g，*y、（44）其中Ga，h，g，*因此，我们将整体功能性Ga，h，g的研究转化为对美国占领时间的研究*下面-从y到V*Firsthits-a、观察到STI也是SDE（43）的时间齐次扩散，我们可以应用定理3.1来定义φ+，*q（·）和φ-,*q（·）分别作为S的Sturm-Liouville常微分方程的正解的递增和递减：σ（x）f′（x）+u（x）f′（x）=qb（x）f（x）。请注意，S与X具有相同的标度函数S（·）（因为（u（·）b（·））/（σ（·）b（·））=u（·）σ（·）），所以存在一个正常数w*那么w*qs′（x）=（φ+，*q） ′（x）φ-,*q（x）-(φ+,*q） ′（x）φ+，*q（x）。定义辅助功能W*q（x，y）：=w*q（φ+，*q（x）φ-,*q（y）-φ+,*q（y）φ-,*q（x）），W*q、 1（x，y）：=xW*q（x，y）和W*q、 2（x，y）：=yW*q、 1（x，y）。现在我们可以提供下面的一般拉普拉斯变换。定理3.4。对于q>0，-x6y<a，如果g（u）>h（u）代表u∈ [x，∞), 然后我们有了-qGa，h，g，by；τh，a<∞] = 例如-qRτh，ab（Xt）1{Ut<-y} dt；τh，a<∞]=Z∞xs′（m）W*q（g（m）-y、 h（m）-a） 1+s（米）-s（g（m）-y） s′（g（m）-y） W*q、 1（克（米）-y、 h（m）-a） W*q（g（m）-y、 h（m）-a） ×exp-Zmxs′（u）s′（g（u）-y） W*q、 1（g（u）-y、 h（u）-a） W*q（g（u）-y、 h（u）-a） 1+s（u）-s（g（u）-y） s′（g（u）-y） W*q、 1（g（u）-y、 h（u）-a） W*q（g（u）-y、 h（u）-a）杜马克。（45）证据。根据（44）的证明，定理3.1适用于（43）中的S。备注3.5。如果b（·）=1，那么（45）减少到（20）。积分函数Ga，h，g，Byr表示X扫过的条件“随机区域”，直到anAzema的第一次命中时间，或过程V到-a、条件是另一个Azema Yor流程必须在下面进行-Y

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2022-5-6 02:07:57

如果我们取h（u）=0和g（u）=u-x、对于y′=y+x>0和a>y，我们有Ga，0，u-x、 by=Rτ--ab（Xt）1{Xt-Xt>y′}dt，它重新呈现了X扫描的随机区域（带有adrawdown约束），直到X到达-a从上面传来。4例在本节中，我们使用漂移布朗运动来说明主要结果：Xt=σBt+ut，X=X=0，状态空间J=(-∞, ∞), 其中u6=0，σ>0。从张（2014）的第6.1节中，表示δ：=μσ，γ：=qδ+2qσ，然后s（x）=δ（1- E-2δx），φ+q（x）=e（γ-δ） x，φ-q（x）=e-（γ+δ）x，wq=γ，wq（x，y）=2e-δ（x+y）sinh[γ（x-y） ]γ，和Wq，1（x，y）Wq（x，y）=γcoth[γ（x- y） ]- δ.在下文中，我们考虑税收具有常数破产率ω（·）=ω>0和常数税率γ（·）=c的欧米茄风险模型∈ [0，1）。如果我们取h（u）=g（u）=cu，那么从定理3.1中，取c∈ [0,1]、q>0和0.6y<aE[e]-qGa，h，gy；τh，a<∞] =Z∞s′（m）Wq（cm）-y、厘米-a） 1+s（米）-s（厘米）-y） s′（厘米）-y） Wq，1（厘米）-y、厘米-a） Wq（厘米）-y、厘米-a） ×exp-Zms′（u）s′（cu）-y） Wq，1（铜）-y、特写-a） Wq（铜）-y、特写-a） 1+s（u）-s（铜）-y） s′（cu）-y） Wq，1（铜）-y、特写-a） Wq（铜）-y、特写-a）杜dm=2Δγe-δ（a）-y） γcosh[γ（a）]- y） ]- δsinh[γ（a- y） ]Z∞e2δmBe2δ（1-c） m+2δy- 1.Be2δy- 1Be2δ（1-c） m+2δy- 1.1.-cdm，（46），其中b=γcoth[γ（a- y） ]+Δγcoth[γ（a）- y） ]- δ. （47）根据定理3.3，对于c∈ [0,1]，p，q>0，y>0EE-q^τω= 经验-Z∞Wq，2（cu）- y、 u）+Wq，1（u，cu- y） φ+′q+ω（cu）-y） φ+q+ω（cu）-y） Wq，1（铜）- y、 u）+Wq（u，cu）- y） φ+′q+ω（cu）-y） φ+q+ω（cu）-y）杜+Z∞经验-ZmWq，2（铜）- y、 u）+Wq，1（u，cu- y） φ+′q+ω（cu）-y） φ+q+ω（cu）-y） Wq，1（铜）- y、 u）+Wq（u，cu）- y） φ+′q+ω（cu）-y） φ+q+ω（cu）-y）杜×ωq+ωs′（m）φ+′q+ω（cm）-y） φ+q+ω（cm）-y） Wq，1（厘米）- y、 m）+Wq（m，cm）- y） φ+′q+ω（cm）-y） φ+q+ω（cm）-y） dm=ωq+ω（γ′）- δ） e-δyZ∞ecδm（γcosh[γy]+γ′sinh[γy]）1-c（γcosh[γ（1- c） m+γy]+γ′sinh[γ（1）]- c） m+γy]）1-c+1dm，（48），其中γ′=qδ+2（q+ω）σ。备注4.1。

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2022-5-6 02:08:00

我们仅设法将（46）和（48）简化为一维标准积分，我们将在实践中使用数值积分对其进行评估。如果我们接受极限c→ 1在（46）中，然后它减少到张（2014）的推论6.2中的表达。如果我们在（46）中取c=0，那么积分可以显式计算，我们有e[e]-qGa，h，gy；τh，a<∞] =γe-δ（a+y）γcosh[γ（a）]-y） ]+δsinh[γ（a）-y） ]中，其中含有公式（2.2.5.1）onp。298个Borodin a和Salminen（200 2）的替换物1→ σ和0→ 十、-Y→ R-A.→ z、 q→ γ, γ →√2p，δ→√第二季度。如果我们取c=0in（48），那么积分可以显式计算，我们有E-q^τω= 1.- 告密-ωReq{Xs<-y} dsi=ω（γcosh[γy]+γ′sinh[γy]）（q+ω）γ′-Δγ+γ′e-（γ+δ）y，与秒的结果一致。李和周（2013）的5.1，替换0→ y、一,→ σ和ω→ λ、 q→ δ, γ′-δ → β+δ+λ, -(γ + δ) → β-在那里。请注意，它与Borodin和Salminen（2002）第254页的公式（2.1.4.1）一致。5结论和未来研究我们明确描述了在恒定水平下，直到另一个AzemaYor过程的第一个消息时间或直到一个独立的指数时间，anAzema Yor过程占领时间的拉普拉斯变换。作为应用，我们得到了本文提出的“含附加税的欧米茄风险模型”中破产时间m的显式拉普拉斯变换。未来的研究将是将本文的结果扩展到Albrecher和Ivanovs（2014）中介绍的“税收和资本注入风险模型”，其中剩余价值过程在其运行最大值处折射，在零处折射。应用第3节中的结果也很有趣。2.设计新的风险函数，同时考虑绝对风险和相对风险。参考文献Albrecher，H.，C.Cheung和S。

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2022-5-6 02:08:03

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